勾股定理复习专题——矩形的折叠问题

中考数学专题复习16——矩形折叠问来源：家学网【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】2012年05月18日思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出其他线段长度）例2．在长方形ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC 对折，如图所示：（1）请说明△ABF △CFF（2）求思路分析：在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了.例3. 在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着 EF 对折，使得 B 点与 D 点重合。

（1）说明 DE=DF（2）求（3）求EF 的长度思路分析：（1）要说明 DE=DF，有两种思路：①可说明全等；② 可说明△DEF 是等腰三角形，DE、DF 是两腰所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰例4 如图①，将边长为4cm 的正方形纸片 ABCD 沿EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)，使点B 落在AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与CD 交于点 P，连接 EP．(1)如图②，若M 为AD 边的中点，①,△AEM的周长= cm；②求证：EP=AE+DP；(2)随着落点 M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A、D 重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．思路分析：（1）①设 AE=x，由折叠的性质可知 EM=BE=12-x，在Rt△AEM 中，运用勾股定理求AE；②过点 F 作FG⊥AB，垂足为 G，连接 BM，根据折叠的性质得点 B 和点M 关于EF 对称，即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求 EF 的问题转化为求 BM；（2）设AE=x，AM=y，则 BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出 x、y 的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长．三.能力训练1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.A．2＋B．2＋2 C．12 D．182.如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 是 AB 的中点，点 G 是BC 上的一点，∠BEG>60°，现沿直线 EG 将纸片折叠，使点 B 落在纸片上的点 H 处，连接 AH，则与∠BEG相等的角的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．13.如图所示，把一长方形纸片沿MN 折叠后，点D，C 分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于（）（A）144°（B）126°（C）108°（D）72°4.如图，矩形纸片ABCD 中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG，记与点A 重合点为A＇，则△A＇BG 的面积与该矩形的面积比为（）A.B．C．D．第4题图第5题图5.如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的处，点A 对应点为，且=3，则AM 的长是（）A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.56.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 E、F 分别在 AB、CD 上，将矩形 ABCD 沿EF折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm7.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN，则线段CN 的长是（）A.3cm B．4cm C．5cm D．6cm8.小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为．9.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD 上有一点E，ED＝2cm，AD 上有一点P，PD＝3cm，过P 作PF⊥AD交BC 于F，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是cm.10.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B′的位置，AB′与CD 交于点E.（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P 为线段AC 上的任意一点，PG⊥AE 于G，PH⊥EC 于H，试求PG+PH 的值，并说明理由.思维拓展：1.如图，折叠矩形的一边 AD，折痕为AE，点E 在边CD 上，折叠后点 D 落在BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，AD=10cm，求AE 的长.2.如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在x 轴上，点 C 在y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点D 处．已知折痕,且，求直线 CE 与x 轴交点 P 的坐标；3.已知：在矩形 AOBC 中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA 所在直线为 x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与 B,C重合），过 F 点的反比例函数的图象与 AC 边交于点 E．请探索：是否存在这样的点 F，使得将△CEF沿EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动，设AP= ，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

活动八、布置作业
报纸41期
课后反思
这节课主要让学生掌握矩形折叠问题的本质是轴对称，以及解决折叠问题的思想是方程思想。学生通过预习，在相互学习交流中得出结论。
板书设计
专题复习动手操作——矩形的折叠
白板展示：例题折叠问题的本质
变式一
变式二折叠问题的解题思路
变式三
设计意图：从以上研究过程中我们感受到这几道题有着千丝万缕的联系，题目表面上有所不同，但是它们所蕴含的思想是统一的，解决问题的方法是类似的，只要我们抓住剧本图形的特征，综合运用三角形全等，勾股定理、轴对称的性质、三角形相似等相关知识进行探索、猜想，不难得出结论。总之，只要我们掌握了此类问题的好的试题，为学生的学习服务。
（1）若将折叠的图形恢复原状，点E与BC边上的点G正好重合，连接DG,试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若AB=8cm，AD=16cm，在（1）的条件下，求线段DG的长？
教师活动：展示变式一，并总结折叠问题解决边长问题的常用方法。
学生活动：学生通过讨论，得出解决折叠问题中求解边长的常用方法。
折叠问题中构造方程的方法：
折叠的本质是轴对称变换
轴对称的性质：（1）图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、角相等。
（2）点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。
（3）对应点连线或延长线的交点在对称轴上。
设计意图：学生通过解决本题，总结折叠问题的本质是什么。
活动三、变式一
如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E.
学习过程
活动一折叠图案创设情境
教师活动：学生欣赏一些由矩形纸折叠而成的一些精美图案，这些图案令人惊奇，在欣赏的过程中，引导学生理解数学在生活中的作用，激发学生学习数学的兴趣。

矩形折叠中的计算问题折叠矩形中这类计算，形式多样，新颖独特，有利于考查同学们的空间想象能力和动手操作能力。

解决这类问题应把握两点：①折叠前后折痕(即对称轴)两侧的图形是全等图形；②折叠前后对应点的连线被折痕((即对称轴)垂直平分。

解决这类问题的基本方法是利用勾股定理构建方程。

下面将有关的计算进行归纳整理，供同学们参考。

一、角度的计算例1、如图1，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=500，求∠AEF的度数。

二、边长的计算例2、如图2，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处。

若AB=8，且⊿ABF的面积为24，求EC的长。

例3、如图3，是一矩形的纸片，其中AD=2.5，AB=1.5。

按下列步骤折叠：将其对折，使AB落在AD上，折痕为AE，再将⊿ABE以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则CF的长是( )A.0.5B.0.75C.1D.1.25三、折痕的计算例4、有一矩形纸片，其中宽AB=6cm，长BC=8cm。

现按如图4所示的方法作折纸游戏，将它折叠使B点与D点重合，求折痕EF的长。

四、面积的计算例5、如图5，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点'C处，'BC交AD于E。

已知AD=8，AB=4，求⊿BDE的面积。

实战练习：1、如图1，是一矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，现作折纸游戏，使点B与点D 重合，折痕为EF，求DE的长。

2、在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D恰好落在对角线AC 上的点F处。

①求EF的长;②求梯形ABCE的面积.矩形的折叠与阴影部分的面积矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，其在考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力．解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来．请看几例．例1、如图1，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处．已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分的面积为_________．图1例2、把图2的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处如图），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_________．图2例3 如图3，矩形纸片ABCD 中，AB =3cm ，BC =4cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，则重叠部分△AFE 的面积是_________．细说矩形折叠题为了考查同学们的数行结合思想的运用和空间想象能力，近年来中考中出现众多的折叠问题。

探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm，
点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时的图形。
=EF＋EC=8，A
D
B F A2 F A2 B12 0 8 2 6
FC=BC-BF=10-6=4
设EC=x ,则EF=DC－EC=(8－x)
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC²=FC²=EF²
B
即x²＋4²=（8－x）²，x=3，
∴EC的长为3cm。
精选课件
F
图2
E
C
5
探究二
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
FD
B
C
精选课件
E
19
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点 落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是 多少？
精选课件
6
精选课件
7
发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。
E
A
E
DD
CA
D
F
B F
C
C
A
B
B
E FC
精选课件
8
课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。