圆的三定理
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圆的三大定理巩固与应用 圆的重要性质定理:
⑴垂径定理; ⑵弧、弦、圆心角关系定理; ⑶圆周角定理. 基本图形:
〖应对练习〗 (1)垂径定理：
如图，CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 于点E 。
完成下列各题： ①若⊙O 的半径为5，AB=8，则OF= ；DF= ；CF= 。
②若DF=8，CF=2，则OF= ；⊙O 的半径为： ；AB= 。
③若CF=2，AB=8，则OF= ；⊙O 的半径为： 。
④若DF=AB=8，则⊙O 的半径为： ； （2）弧、弦、圆心角关系定理：
1.如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧CD=弧DE ，∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
2.已知：如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD=弧BC 。
求证AB ＝CD.
Q
P
B
O
A
D
C
B
O
A
E
O
C
B
A
E D
B
A
O
A
B
O
D
C
⑶圆周角定理：
如图：若∠A=50°，则∠B= ；∠COE= ；∠CDE= ； ∠EDF= 。
基础题分析：
1．如图⑴在直径为10m 的圆柱形油槽内装入一些油后, 截面如图所示, 油面宽 AB 为6m, 当油面宽AB 为8m 时, 油上升了____________m..
2．如图⑵在⊙O 中，弦AB=2cm ，圆周角∠ACB=30°，则⊙O 的直径等于（ ） A ．2cm B ．4cm C ．22cm D ．23cm
3.⊙O 中，OD ⊥AB ，∠AOD=500，C 是圆周上一点，则∠BCD=（ ）， A ．500 B ．250 C ．300 D ．400
4.如图，⊙O 直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，且CE BE ，∠A=20°，则∠C 的度数是（ ）
A ．25° B．50° C．32.5° D．30°
5．如图，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC= ( ) A 、35°
B 、55°
C 、70°
D 、110°
6．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=15°，连接OB ，则∠OBC 等于（ ） A ．30° Ｂ．60° Ｃ．65° Ｄ．75°
7．如图，AB 是⊙Ｏ的直径，E 是弧ＢC 的中点,OE 交BC 于点D ，OD=3, DE=2，则AD 的长为（ ） A 、 B 、313 C 、8 D 、213
（1）
B
O A
（2）
O D
A
C
B
E
（4）
（3） F
E D
C B
A
O
N
•
O
D
C
B
A
8．如图，将半径为8的⊙O 沿AB 折叠，AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为（ ）
A ．215
B ．415
C ．8
D ．10
综合分析：
1．在⊙O 中，直径MN=10正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 半径OM 以及OP 上，且∠POM=45°，求AB 的长。
2.如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切；
(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．
3.如图，在等边△ABC 中，以BC 为直径的半圆O 与AB 边交于点D ，DE ⊥AC 于E. ⑴求证：DE 是半圆O 的切线； ⑵延长ED ，CB 相交于点G ，求AE BG
的值.
G B
4. 如图，在⊙O 中，直径AB 垂于弦CD 于点H ，E 为AB 的延长线上一点，CE 交⊙O 于点F 。
（1）求证：BF 平分∠DFE ； （2）若DF=EF ，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径。
5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，交⊙O 于点G ，且CD ⊥AD. ⑴求证：OE=OF ；
⑵连接EF ，若⊙O 的半径为2，求线段EF 的长度。
6．如图，已知等边△ABC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 、AC 分别交于D 、E 两点， 过D 作DF ⊥AC ，垂足为点F 。
⑴判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论。
⑵过点F 作FH ⊥BC ，垂足为点H ，若等边△ABC 的边长为4，
求FH 的长。
总结知识：（1）圆的基本性质;（2）切线及切线长基本图形的性质;（3）直角三角形的相关性质 ;（4）勾股定理;（
5）相似或全等三角形;（6）三角函数和解直角（或一般）三角形。
(注意方程思想)
B。
