四川大学期未考试试题
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四川大学期未考试试题参考答案(A卷)
（2006——2007学年第二学期）
一、解：该矩阵博弈无优超策略，所以直接用矩阵求解法求解。设局中人1采用2*n
混合策略，这里，局中人2的策略为。(x,1-x)∈x[0,1]
123yyy（，，）
则，()Fx
∈x[0,1]V=max
()min{5+2(1),36(1),43(1)}Fxxxxxxx=−+−+−
令。则可在平面上作如下三条直线，分别代表剧中人2在3+2,63,3zxzxzx==−=+
采用三个纯策略时局中人1采用混合策略时的收益。下图中的粗线是F（x）的图像。
在图中的S点时F（x）达到最大值，则点S坐标为局中人1的混合策略纳什均衡点，21
(,)
33
博弈值为。4
由于局中人的纳什均衡点只与局中人2的策略1和2相关，因此可替换为求解下面的矩阵博弈
，根据2*2矩阵博弈求解方法有：。1211
,
22yy==
则综上有，原矩阵博弈的纳什均衡点为（，），均衡值为4。21
(,)
3311
(,0)
22，
二、解:(1).
S
3+2zx=63zx=−
3zx=+3 48 4
B=
6 24 6A⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
设局中人1的混合策略为,局中人2的混合策略为(,1),[0,1]Xxxx=−∈
.(,1),[0,1]Yyyy=−∈
由上面推导的:
4Q=−2q=−
6R=2r=
则为纳什均衡,应满足下面两个不等式组:(,)((,1),(,1))XYxxyy=−−
0, -4y2
01, -4y=2
1, -4y2x
x
x=≤−⎧
⎪<<−⎨
⎪=≥−⎩
0, 6x2
01, 6x=2
1, 6x2y
y
y=≤⎧
⎪<<⎨
⎪=≥⎩
将上面两个不等式作图,如下所示:
由该图可知,有唯一的点满足两个不等式.因而该博弈的纳什均衡分别为(1/3,1/2)A
.对应的均衡结果分别为:((1/3,2/3),(1/2,1/2))
1223/6,16/3ππ==
(2).可达集S为上四个结果点围成,如下图:2R(3,8),(4,4),(6,4),(2,6)
根据定理4.3.1求解:
max(,)(23/6)(16/3)
. (,)
23/6guvuv
stuvS
u=−−
∈
≥
纳什谈判解一定在AB表示的直线上,即.带入目标有4/312vu=−+
2(23/6)(4/320/3)4/383/9230/9guuuu=−−+=−+−因而83/24 v=299/18u=
于是纳什谈判解为.(,)(83/24,299/18)uv=
三、解：根据题意有。下面我们来分析在位者和进入者的策略32
()=(2)=
55pp高成本，博弈
选择。
设在位者在高成本时选择高价的概率为，选择低价的概率则为。在市成本时1x
11-xx∈1，[0,1]
选择高价的概率为，选择低价的概率则为。进入者选择进入的概率为y，选2x
22-,xx∈1[0,1]
择不进入的概率为。-,yy∈1[0,1]
在位者是高成本时，其高价是占优策略，因此。在位者是低成本时低成本是占优策略，因11x=
此。则参与者2的收益为20x=
，当y为0211122221
-+2(1)(1)(1)-(1)(1)}
33xyxyxyxyxyxyyπ=−−−−−−−=−｛｝+｛3
的时候取得最大值0。所以进入者会选择不进入，在位者在高成本时会选择进入，低成本时选择不进入。则高成本时均衡为（高价，不进入），结果为（8，0）。低成本时均衡为（低价，不进入），
结果为（11，0）。
四、解：（1）根据题意有()
212
112112540,ssssssP⋅+−=
()
212
222122540,ssssssP⋅+−=
根据一阶条件解得那时均衡（5，5），均衡结果为（125，125）。
（2）合作情况下的收益为P=P1+P2，则，因()2
11212
22215404540,ssssssssP−+⋅+−=
为两者完全对称，所以，则。根据一阶条件有，结果为21ss=2680ssP−=
320
21==ss。
3400
12==PP
（3）当时，，根据一阶条件的到最优反应支付为。
320
j=s()2
215
3160
,iiissssP−=
316
i=s
此时的收益为，。()
96400,21=ssPi()
91040
,21j=ssP（4）触发策略为如果一方采取最优反映支付后，另外一方也在下一阶段采取最优支付，持续至
永远。其为子博弈纳什均衡的条件是
。6400400
20893
6400211125
9δ−
>=
−
即在条件下，触发策略为子博弈纳什均衡。208
211δ>
五、解：（1）归为的充分必要条件为:123(,,)()xxxxCv∈
1
2
3
12
23
13
12310
15
18
30
40
34
250x
x
x
xx
xx
xx
xxx≥
≥
≥
+≥
+≥
+≥
++=
简化后为:1
2
310210
15216
18220x
x
x≤≤
≤≤
≤≤
画出平面上的重心三角形123
该博弈的核心为ABCDEF组成的六边形,各点的坐标分别为
(10,216,24),(16,216,24),(210,22,18),
(210,15,25),(15,15,220),(10,20,220)ABC
DEF
（2）Shapley值为()(157/2,84,175/2)vΦ=
