初中数学辅助线专题

初中数学辅助线的添加方法

一、添辅助线有二种情况

1、按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2、按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形：

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形：

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

初中数学常见辅助线的做法

初中数学常见辅助线的做法

在初中数学中，辅助线是解题过程中常用的工具。通过适当地引入辅助线，可以使问题更加清晰明了，从而更容易解决。本文将介绍几种常见的辅助线做法。

1.平移法

平移法是一种常用的辅助线做法。它的基本思想是将图形沿某个方向平移，使得问题更加清晰。例如，在解决一个三角形的问题时，我们可以平移其中的一条边，使得三角形更加规则，从而更容易解决问题。

2.垂线法

垂线法也是一种常用的辅助线做法。它的基本思想是引入垂线，将原问题转化为更简单的问题。例如，在解决一个三角形的问题时，我们可以引入垂线，将三角形分成两个直角三角形，从而更容易解决问题。

3.对称法

对称法是一种常用的辅助线做法。它的基本思想是通过引入对称轴，将原问题转化为更简单的问题。例如，在解决一个图形的问题时，我们可以引入对称轴，将图形分成对称的两部分，从而更容易解决问题。

4.相似法

相似法是一种常用的辅助线做法。它的基本思想是通过找到相似的图形，将原问题转化为更简单的问题。例如，在解决一个三角形的问题时，我们可以找到一个相似的三角形，从而更容易解决问题。

总之，辅助线是解决初中数学问题的常用工具。通过灵活运用各种辅助线做法，我们可以更加轻松地解决各种数学问题。

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中考数学复习考点知识专题讲解

含中线问题的辅助线作法

初中几何问题中有一类含有中线的题目，往往图形中找不到全等三角形，使不少同学感觉无法入手．此时只要适当作出辅助线，问题便可迎刃而解，这里举例分析，供同学们学习参考．

例1 已知△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是BC边上的中线，求线段AD的取值范围．

分析 一个三角形只知道两边的长度，这个三角形是不确定的，则它的第三边上的中线也随着变动，长度也不固定．我们作出一个示意图来帮助分析，如图1．

图形中显然没有全等的三角形．AB，AD，AC三线段也不构成三角形，不可用三角形的三边关系性质，作什么辅助线呢？ 2 / 5

如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连CE．

∵AD是中线，∴BD＝DC，

又因为对顶角相等，

可得△ABD≌△ECD．

∴EC＝AB＝5．

此时对于△ACE，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，得

4< AE<14．

而由作图知AD＝12AE，

∴2

小结 中线延长相等后，必出现全等三角形．（连CE或连BE效果是一样的．）

例2 已知△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的面积．

分析 与例1的思路一样，构造全等三角形△ACE．则有 3 / 5

CE＝4，AC＝6，AE＝2AD＝213．

因为42＋62＝（213）2，由勾股定理逆定理知，△ACE

是直角三角形．

∴∠ACE＝90°，S△ACE＝4×6÷2＝12，

则S△ABC＝S△ACE＝12．

注 以上都是将三角形的中线延长构造全等形，事实上，只要经过中点的线段，都可以延长到相等线段的位置，则必定得到两个三角形全等．

例3 如图4，已知△ABC中，D是BC边上的中点，ED⊥DF，连EF，求证：BE＋CF>EF．

1全等三角形中辅助线的添法(三大模型)

【模型一：倍长中线模型】

1.(23-24八年级上·江苏·期末)如图，在△ABC中．AD是BC边上的中线，交BC于点D．

(1)如下图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD．

(2)如下图，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．

(3)如下图，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O．请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．

2.(23-24八年级上·广西北海·期末)八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经过合作交流，

得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小红的方法思考作答：

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB

的理由是；

2A.SSS B.SAS C.AAS D.HL

(2)求得AD的取值范围是；

A.5

C.2

(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解

答．

如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：AD平分

∠BAC．

3.(23-24八年级上·安徽安庆·期末)(1)如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD为BC边上的中线，

求AD的取值范围；

(2)如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，

判断BE+CF与EF的大小关系并证明；

(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是

∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

4.(23-24八年级上·江苏南通·期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若