2019-2020年高三一模试题及答案(数学理)
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2019-2020 年高三一模试题及答案（数学理） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 . 共 150 分 .考试时间 120 分钟． 注意事项：
1 ．答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2 ．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3 ．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
3．设 p和 q是两个简单命题，若 p是 q的充分不必要条件，则 p是 q 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是
a1
b3
a a b
b a b
PRINT a,b
A． 1 3 B． 41 C ． 0 0 D．60
2
5 ．若 a sin xdx ，
2 b 1 cosxdx ，
0 则 a 与 b 的关系是
A ． a b B． ab C． a b D ． a b 0
6．圆 x2 y2 2x 2y 1 0上的点到直线 x y 2 的距离的最大值是 1． 复数 1 3i （i 为虚数单位 ）等于
A．1 B ． 1
1
2．若集合 A {y|y x3, 1 x 1} ， C． i D． i
B {x y 1 x} ，则 A B
A ． ,1 B． [ 1,1] C． D ．{1} A． 2 B. 1 2 C． 2 D. 1 2 2 2
7．已知抛物线 x2 ay的焦点恰好为双曲线 y2 x2 2的上焦点，则 a 的值为
A．1 B． 4 C．8 D．16
8．将奇函数 f(x) Asin( x )(A 0, 0, ) 的图象向左平移 个单位得到 2 2 6
的图象关于原点对称，则 的值可以为
A． 2 B ． 3 C．4 D．6
9．已知 28 xy 1(x 0,y 0) ，则 x y 的最小值为
A． 12 B． 14 C．16 D ． 18
xx
10 ．过原点的直线与函数 y 2x的图像交于 A,B两点，过B作 y轴的垂线交于函数 y 4x的
图像于点 C ，若直线 AC 平行于 y 轴，则点 A 的坐标是
A． (1,2) 1
B． (2,4) C．( , 2) D ． (0,1) 2
11 ．在数列 {an}
中， an 1 an a( n N , a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量
OA,OB,OC满足 OC a1OA a2010OB
，三点 A,B,C 共线且该直线不过 O点，则 S2010 等
12．平面 外有两条直线 m和n，如果 m和 n在平面 内的射影分别是直线 m1和直线 n1，
给出下列四个命题： ① m1 ⊥ n1 m ⊥ n ； ② m ⊥ n m1 ⊥ n1 ；
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16分．
1n
13 ．若 (x )n 展开式中第 2 项与第 6项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数
x
14 ．已知区域 {(x,y)|x y 10,x 0,y 0},A {(x,y)|x y 0,x 5,y 0} ，若 于
A． 1005 B ． 1006 C． 2010 D． 2012
③ m1与 n1相交 m与 n相交或重合；
其中不．正．确．的命题个数是
A.1 B. 2 ④ m1 与 n1 平行 m 与 n 平行或重合；
C. 3 D. 4 侧视图 向区域 上随机投 1个点，则这个点落入区域 A 的概率 P A ；
15 ．关于 x 的不等式 |x 2| |x 1| 5的解集为 ；
log2 x (x 0)
16 ．已知函数 f (x) 3x 2 (x 0) ，且关于 x 的方程 f(x) x a 0有且只有一个实根， 则实数 a 的范围是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤．
17 ．(本小题满分 12 分)
已知向量 m ( 3sin2x t,cosx) ， n (1,2 cosx) ，设函数 f (x) m n.
1
(Ⅰ)若 cos(2x ) ，且 m n ，求实数 t 的值 ;
32
3
(Ⅱ)在 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边 ,若 f (A) 3,b 1,且 ABC 的面积为 3 , 2
实数 t 1,求边长 a的值 .
18 ．(本小题满分 12 分)
某商场准备在国庆节期间举行促销活动 ,根据市场调查 ,该商场决定从 2 种服装商品 , 2 种家电
商品 , 3种日用商品中 ,选出 3种商品进行促销活动 .
(Ⅰ)试求选出的 3 种商品中至多有一种是家电商品的概率 ;
(Ⅱ )商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售 ,即在该商品现价的基础上将价格提高 x
元,同时 ,若顾客购买该商品 ,则允许有 3次抽奖的机会 ,若中奖 ,则每次中奖都获得数额为 40元
1
的奖券 .假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是 ,若使促销方案对商场有利，则 x 最少为多少
2
元？
19. ( 本题满分共 12 分 ) 下图分别为三棱锥 S ABC 的直观图与三视图，在直观图中， SA SC ，
M、 N 分别为 AB、SB的中点 .
(Ⅰ)求证： AC SB;
(Ⅱ)求二面角 M NC B 的余弦值 . 20. ( 本题满分共 12 分 )
已知各项均为正数的数列 an 满足 an21 2an2 anan 1,且a2 a4 2a3 4,其中 n N . (Ⅰ )求数列 an 的通项公式 ;
2 Tn 1 12 2log2 bn 1 2
(Ⅱ)设数列 bn 的前 n项和为 Tn,令bn an2,其中 n N ,试比较 n 1 与 2 n1 n n n n 4Tn 2log2 bn 1
的大小 , 并加以证明 .
21. ( 本题满分 12 分 ) 1 2 2 已知定义在正实数集上的函数 f(x) x2 2ex, g(x) 3e2ln x b(其中 e为常数，
e 2.71828 ) ,若这两个函数的图象有公共点 ,且在该点处的切线相同 .
(Ⅰ)求实数 b 的值;
(Ⅱ)当 x 1,e 时,2(f(x) 2ex) a2 (2g(x) e2) (a 2)x恒成立 ,求实数 a的取值范 e 6e
围.
22. ( 本题满分 14 分 )
22 已知椭圆 C: x2 y2 1(a b 0)的左右两焦点分别为 F1,F2，P是椭圆 C上的一点，且 ab
在 x轴的上方， H 是 PF1上一点，若 PF2 F1F2 0,OH PF1 0,OH OF1 ，
11 , (其中 O 为坐标原点) . 32
(Ⅰ)求椭圆 C 离心率 e的最大值 ;
2 (Ⅱ)如果离心率 e取(Ⅰ)中求得的最大值 , 已知 b2 2，点 M( 1，0)，设 Q 是椭圆 C 上的一
点，过 Q、M 两点的直线 l交y轴于点 N,若NQ 2QM , 求直线 l的方程 .3 8分
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一、选择题：
CBBBA
二、填空题： 本大题共
BCDDA
本大题共
13 ． 20 14 ．
三、解答题（共 74 分）．
17 ．（本小题满分 12 分） 数学试题（理科）答案
12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
AD
4 小题，每小题 4 分，共 16 分
1
4 15 ．（ 3，2） 16 ．（1，
）
解: ( Ⅰ )由题意得 m n ( 3 sin2x t) 2cos2 x 2sin(2x ) t 1 0 6 3分
所以 t 2sin(2x ) 1 2cos(2x ) 1 2
63 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ )知 f (x) 2sin(2x ) t 1 2sin(2x ) 2
由题意得 f (A) 2sin(2A ) 2 3
1
所以 sin(2A )
13 5
因为 0 A ， 2A ，所以 2A
6 6 6 6 6 8分 2010.3
13
解得 A 3
3 1 3
因为 ABC的面积为 ,所以 bcsin A ,bc 2即c 2 22 10 分
由余弦定理得 a b2 c2 2bc cos A 12 分
18 ．（本小题满分 12 分）
3
解: （Ⅰ）选出 3种商品一共有 C7 种选法 , 选出的 3 种商品中至多有一种是家电商品有 ⋯⋯ 2 分
C53 C21C52 种. ⋯⋯
C3 C1C2 6
所以至多有一种是家电商品的概率为 P C5 C32C5 6 .⋯⋯
C73 7 ⋯⋯
（Ⅱ）奖券总额是一随机变量 ,设为 ,可能值为 0, 40, 80, 120. P
0 C30 1 4分
5分
6分
1 3 1
2 2 8,
P 40 C31 1 1
3 2 2 8 7分
