13.4课题学习 最短路径问题教学设计

13.4 课题学习 最短路径问题（第一课时）

一、内容和内容解析 1.内容 利用轴对称研究某些最短路径问题。 2.内容解析

最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。

本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

二、目标和目标解析 1.目标

（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。体会数学在实际生活中的价值。 2.目标解析

达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。

三、教学问题诊断分析 已形成的：

我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。 不足的地方:

最短路径问题从本质来说是最值问题，作为八年级学生，对这类问题直观的接触就是“两点间线段最短”和“垂线段最短”等知识，除此之外很少涉及最值问题，解决这方面的数学经验尚显不足。在将“同侧”转化到“异侧”的过程中，为什么需要这样转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。

本节课的教学难点:思考用什么方法将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。以及如何证明此路径最短。 .

四、教学过程设计 1.情境引入，导入新课

教师利用智慧平台推送视频：暖民心，繁昌在行动。创设情境：为推动繁昌暖民心行动，欲在团村 A、藤村 B 之间小路附近建设健身设施，在路边的哪个位置搭建使得到两座村庄的路程最短呢？

引导学生发现生活中的数学问题，并把它抽象成数学问题，建立模型 1。请一位学生来回答怎么规划路径使得最短，引出“两点之间，线段最短”的知识储备。

模型 1：

设计意图：通过播放视频引入激发学生探究兴趣，感受到数学来源于生活实际，从生活直观到理论适应学生认知规律，培养了学生数学抽象的能力。自然的引出“两点间线段最短”的知识储备，为后面的探究搭建台阶。 2. 建立模型，推进新课

教师改变情境：若大冲村 A、杨家湾 B 位于道路同侧，又该如何建立健身设施呢？

学生类比于刚才的思考过程抽象数学问题并建立模型 2。

模型 2：

设计意图：此环节锻炼学生利用类比方法自主学习的能力。让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”，培养学生发现问题和数学建模的能力。

然后教师利用借助几何画板软件动态演示，让学生发现最短路径是存在的。同时利用智慧课堂提前分好小组，鼓励小组学生之间相互交流，比较模型一和模型二的区别，在备好的图片上画出本组思考的最短路径，并用直尺测量线段和，通过拍照上传。教师展示每组学生的最短路径及测量结果，通过动画和数据猜想正是其中一种利用轴对称知识做出的图象得到的路径最短。

设计意图：让学生分组探究，交流思考，培养学生合作探究能力，丰富数学活动经验。通过几何画板演示和画图操作，利用动画和数据直观的让学生感受最短路径是存在的，恰好是利用轴对称变换做出的图形，突破学生对寻找最短路径问题的难点，同时也验证了将“同侧”的点转化为“异侧”的点的可行性，感受到轴对称在本节中的重要作用，渗透转化思想。

教师请画图正确小组代表说明一下思考方法和作图方法。

设计意图：通过学生说出思考方法和作图方法，加深学生对利用轴对称变换解决最值问题的理解和运用，感悟转化思想。

3.几何论证，归纳课题 教师追问：你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？

学生相互交流，教师适时点拨，然后学生说明过程，教师板书。 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′ (与点 C 不重合)，连接 AC′，BC′，

B′C′. 由轴对称的性质知：

BC = B′C，BC′ = B′C′．

∴ AC + BC = AC + B′C = AB′，

在△AB′C′ 中，AB′＜AC′ + B′C′，

∴ AC + BC＜AC′ + BC′，即 AC + BC 最短.

设计意图：利用“三边关系”证明，体会数学单元知识的连贯性，提高学生数学逻辑推理能力。

教师给出“古诗”视频：白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河——《古从军行》。通过史料归纳这类问题——将军饮马问题。强调这类问题模型的特征，即两定点 到定直线的距离和最小问题，并由学生给出解决方案 。

设计意图：通过古诗引入“将军饮马问题”，传统经典的古诗词蕴含了许多数学元素，利用学科交叉的优势为枯燥的数学课堂增添了活力和魅力，同时归纳模型特点：两定一动，给模型命名，便于学生加强理解和记忆。 4.巩固练习，检测反馈 利用智慧平台发布全班作业，学生完成作答。

例 1：欲在马路边建立一快递站，要求到居民区 P,Q 的距离和最短，则路径 最短的方案是（ ）

设计意图：利用智慧平台发布全班作业，学生在平台上作答，此练习设置为选择题，立刻生成答题报告，快速反馈对新知的掌握情况，让评价方式多元化。教师能及时发现问题并让后续习题的设置更有针对性。 5.知识运用，提升能力

教师再次改变情境：欲在村庄附近的两条小路分别建立健身设施和快递站，若村民想饭后健身，再顺便取完快递回家，如何规划使得路径最短呢？给出模型3，学生分析解题思路，有了之前的学习经验，有助于学生自己找出解决方案并给出证明方法。

教师巡视，对解答问题中遇到困难的同学给予点拨和帮助，对独立完成正确的同学给予鼓励和表扬。

模型 3：

设计意图：此情境在已有模型基础上提高难度：一定两动，进一步培养学生利用数学思想解决生活实际问题的能力。因材施教，让不同层次的学生得到不同程度的发展。可先让学生回答解题思路，可利用智慧平台抢答功能，调动学生参与的积极性。然后再此基础上完成作图，拍照上传。教师可利用随机诊断分析问题，精准评价。

6.设计题目，发散思维

教师给出模型 4 的图片：两定两动，你能根据图片自己设计一个最短路径问 题么？

教师给出图片，在已有的知识经验上鼓励学生大胆设计题目，请一个学生谈谈自己的设计，教师加以点评。由于课堂时间不充分，可以利用课余时间查阅资料，把自己设计的题目完善，并给出解决方案。 模型 4：

设计意图：此环节采用自主学习法，让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。自己发现问题，自己解决问题，让学生站在出题人的角度思考问题，有助于学生发散思维，激发学生主动学习数学的兴趣。

五、课堂小结

利用智慧平台随机选人功能，分享学习收获。

一起来分享：

（1）本节课我们学习了什么问题？

（最短路径实际问题，四种模型）

（2）怎样解决这个问题的？

（先数学抽象，再建立模型，利用轴对称变化解决实际问题）

（3）轴对称在这个问题中起着什么作用？

（作为桥梁，把“同侧”难解决转化简单的“异侧”问题）

设计意图：通过小结，梳理本节课所学内容，层层递进的几类数学模型虽不同但所使用数学原理保持一致，培养学生的抽象概括能力.

六、作业布置

1.必做题：如图，边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐标分别是 A（3，2），B（1，3）．点 P 在 x 轴上，当

PA+PB 的值最小时，在图中画出点 P．

2.选择题：如图，P 为 Rt△ABC 直角边 AC 上一定点,∠A=90°，∠B=30°，BP=10。试在另外两边上各求一点 M 与 N，使△PMN 周长最小，此时△MPN 的周长是多少？

3.课后活动：黄浒初中依河而建，为方便河对岸学生也能到我校就学，在河面哪里建桥最节省上学时间呢? 请学生课后利用网络或书籍资源查阅资料，提出方案。

设计意图：分层作业对全体学生都进行规划，做到面向全体学生，有梯度的培养学生能力。除此之外，我还设计了一个课后活动，此课题贴合我们的生活，容易引发学生探究兴趣。利用网络拓展授课空间，为学有余力的学生提供帮助，通过实践活动的方式调动学生学习的积极性，为下个课时做准备。

七、板书设计

设计意图：这样设计是为了让四个模型清晰的展示，让学生感受整堂课的过程条理分明，便于学生记忆和理解。几何证明的过程更是本节课的重难点，更需要老师进行板书，帮助学生理解。

八、教学效果与反思

教学效果：本节课基本完成教学目标，学生们对将军饮马问题的记忆深刻，能独立解决简单的最短路径问题。但部分学生仍然对难度较高的模型三和模型四的理解不够透彻，还需要在课后加强练习，巩固今天的知识点。本堂课充分发挥以学生主体，教师为主导的作用，利用智慧课堂，多媒体，几何画板等软件辅助教学。

教学反思：在新形式下，教学评价不再是传统的单一模式，应该淡化教师作为“裁判员”的角色，更加注重学生的自评和学生互评。例如：在学生回答完问