2019年全国初中数学联合竞赛试题 (含答案)

2019年全国初中数学联合竞赛试题 (含答案)

全国初中数学联合竞赛试题

第一试

(3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)

1.用x表示不超过x的最大整数，把xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba （ ）

.A 12 .B 32 .C 1 .D 3

2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）

.A 9种 .B 10种 .C11种 .D12种

3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）

.A6858 .B6860 .C9260 .D9262

3(B）.已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当ab为整数时，ab （ ）

.A0 .B14 .C34 .D2

4.已知O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O于点E,若8,AB2CD,则BCE的面积为 （ ）

.A12 .B15 .C 16 .D18

5.如图，在四边形ABCD中，090BACBDC，5ABAC,1CD,对角线的交点为M，则DM ( )

.A32 .B 53

.C22 .D12 2019年全国初中数学联合竞赛试题 (含答案)

6.设实数,,xyz满足1,xyz 则23Mxyyzxz的最大值为 ( )

.A 12 .B 23 .C 34 .D1

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)

1.【1(A)、2（B）】 已知ABC的顶点A、C在反比例函数3yx（0x）的图象上，090ACB,030ABC,ABx轴，点B在点A的上方，且6,AB则点C的坐标为 .

1(B).已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，3AD,则AM .

2(A).在四边形ABCD中，BC∥AD,CA平分BCD,O为对角线的交点，,CDAO,BCOD则ABC .

3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .

3(B).若质数p、q满足：340,111,qppq则pq的最大值为 .

4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 .

第二试

(3月20日上午9:50 — 11:20)

一、（本题满分20分）

已知,ab为正整数，求22324Maabb能取到的最小正整数值.

2019年全国初中数学联合竞赛试题 (含答案)

二、（本题满分25分）

(A).如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB于点D,点E在BD上，,AEAC四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N.证明:FNDE.

(B).已知：5,abc 22215,abc 33347.abc

求222222()()()aabbbbccccaa的值.

2019年全国初中数学联合竞赛试题 (含答案)

三、（本题满分25分）

(A).已知正实数,,xyz满足：1xyyzzx ,且

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx .

(1) 求111xyyzzx的值.

(2) 证明:9()()()8()xyyzzxxyzxyyzzx.

(B).如图，在等腰ABC中,5,ABACD为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点,F 求ADAF的值.

2019年全国初中数学联合竞赛试题 (含答案)

2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解

第一试

(3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)

1.用x表示不超过x的最大整数，把xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba （ ）

.A 12 .B 32 .C 1 .D 3

【答案】A.

【解析】123,132,23t3234, 即34,t

331.at 又23,231,t4233,

(4)23,bt111123311,22222(23)31ba故选A.

2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）

.A 9种 .B 10种 .C11种 .D12种

【答案】C.

【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,xyz则30101520500xyzxyz，

即30341002yzxyzx，解得20210yxzx 依题意得，,,xyz为自然数（非负整数），

故010,xx有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)，对于每一个x值，y和z都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C.

3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，2019年全国初中数学联合竞赛试题 (含答案)

所有的“和谐数”之和为 （ ）

.A6858 .B6860 .C9260 .D9262

【答案】B.

【解析】3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)kkkkkkkk

22(121)k （其中k为非负整数），由22(121)2016k得，9k

0,1,2,,8,9k，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为

333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.故选B.

3(B）.已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当ab为整数时，ab （ ）

.A0 .B14 .C34 .D2

【答案】B.

【解析】依题意知0,0,10,2baaba 故0,b 且1ba，

(1)21abaaa，于是10,a 1211a

又ab为整数，210,a 故1,2ab14ab，故选B.

4.已知O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O于点E,若8,AB2CD,则BCE的面积为（ ）

.A12 .B15 .C 16 .D18

【解析】设,OCx则2,OAODx

ODAB于,C14,2ACCBAB

在RtOAC中，222,OCACOA

即2224(2),xx解得3x，即3OC （第4题答案图）

OC为ABE的中位线，26.BEOC AE是O的直径，90,B

114612.22BCESCBBE 故选A.