2019年江西省南昌市高考数学三模试卷(文科)
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试卷第1页，总17页 2019年江西省南昌市高考数学三模试卷（文科）
一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ＝ ， ＝ ，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】
D
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的补集，交集的定义进行计算即可．
【解答】
＝ ＝ 或 ， ＝ ＝
＝ ，
则 ＝ ，
则 ＝ ，
2. 已知复数 的实部为 ，则其虚部为
A.
B.
C. D.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于 求得 值，则虚部可求．
【解答】
解：∵ 的实部为 ，
即 ，
∴
则 的虚部为 .
故选 ．
3. 已知等差数列 的前 项和为 ， ＝ ，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．
【解答】
等差数列 的前 项和为 ， 试卷第2页，总17页 ∴
，解得 ＝（10）
∴ ＝ ＝ ＝（11）
4. 若
＝ ，则
等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
根据二倍角的正切公式即可求出．
【解答】
∵
＝ ，
∴
＝
，
5. 已知直线 ＝ 与圆 ＝ 相交于 ， 两点， 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
圆 ＝ 的圆心坐标为 ，代入点到直线距离公式，可得圆心 到直线
的距离，求出弦长，然后求解三角形的面积．
【解答】
圆 ＝ 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离
，
弦长为：
，
则 的面积为：
．
6. 对具有相关关系的两个变量 ， ，收集了 组数据： ， …， ，根据最小二乘法得到线性回归方程
，则下列说法一定正确的是（ ）
A. ，都有 ＝
B. ，使得 ＝
C. ，都有
D. ，使得
【答案】 试卷第3页，总17页 D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
线性回归直线一定经过样本点的中心，样本点不一定在回归直线上，由此逐一核对四个选项得答案．
【解答】
如果变量 与 之间存在着线性相关关系，根据试验数据得到的点 ＝ ,…, 将散布在回归直线
的附近，故 错误；
线性回归方程不一定经过样本点，故 错误；
样本点可能在回归直线
的两侧，故 错误， 正确．
7. 设
，
， ＝ ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
容易得出
，
，
，从而可得出 ， ， 的大小关系．
【解答】
∵
，
，
，
∴ ．
8. 如图，长方体 ， ＝ ＝ ， ＝ ，点 在线段 上， 的方向为正（主）视方向，当 最短时，棱锥 的左（侧）视图为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
简单空间图形的三视图
【解析】
依题意，棱锥 的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱 ， 被底面 遮挡，显示为虚线，当 最短时， ，因为 ＝ ， ＝ ，所以试卷第4页，总17页 ，所以两虚线的交点离点 更近，即离右下角更近．
【解答】
依题意，棱锥 的左（侧）视图外部轮廓为正方形，
且侧棱 ， 被底面 遮挡，显示为虚线，
当 最短时， ，因为 ＝ ， ＝ ，所以 ，所以两虚线的交点离点 更近，即离右下角更近．
9. 如图所示框图，若输入 个不同的实数 ，输出的 值相同，则此输出结果 可能是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出
的值，画出函数的图象即可得解．
【解答】
模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出
的值，
作出函数的图象如下：
由题意，输入 个不同的实数 ，输出的 值相同，可得 ，比较各个选项可得输出结果 可能是
． 试卷第5页，总17页 10. 若直线 ＝ 与曲线 ＝
相切，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
设切点为 ，求出函数的导数，利用导数的几何意义表示出切线的斜率 ，再由切点在曲线上和切线上，列出满足条件的方程，求出 和 的值．
【解答】
设切点 为 ，
函数 ＝
的导数为 ＝
，
则切线的斜率为 ＝
，
又 ＝ ＝
，
所以
，
解得 ＝ ，
所以 ＝ ，
11. 已知抛物线 ＝ ，其焦点为 ，准线为 ， 为抛物线 上第一象限内的点，过点 作 的垂线，垂足为 当 周长为 时， 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
设出 求出 、 的坐标，利用三角形的周长，求解 的长，判断三角形的形状，然后求解三角形的面积．
【解答】
如图所示，设 ＝ ，则 ， ，
，∴ ，
∵ 周长为 ，所以 ，
解得 ＝ ，
∴ ＝ ，
所以三角形 是边长为 的正三角形，
所以三角形的面积为：
．
12. 如图，一个正四棱锥 和一个正三棱锥 ，所有棱长都相等， 为棱 的中点，将 ， 、 ， 、 ， 分别对应重合为 ， ， ，得到组合体关于该组合体有如下三个结论：① ；② ；③ ，其中错误的个数是（ ） 试卷第6页，总17页
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
画出正四棱锥和正三棱锥重合得到的图形，连接 ， ，运用等边三角形的性质和线面垂直的判定和性质，可判断①②；取 的中点 ，连接 ， ， ，设边长为 ，运用余弦定理和诱导公式计算可判断③．
【解答】
如图正四棱锥和正三棱锥重合得到的图形如右图：
连接 ， ，可得 ， ，
可得 平面 ，即有 ， ，
即有 ， ，
取 的中点 ，连接 ， ， ，
设边长为 ，可得 ＝ ＝ ＝ ，
可得
，
，
可得 ＝ ，即 ， ， 三点共线，
可得四边形 ， ， ， 为菱形，即有 ，
故①②③都对．
二.填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分
已知向量 ， ，则 ＝________．
【答案】
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
求出 的坐标，然后求解向量的模即可．
【解答】
向量 ， ，
则 ，
则 试卷第7页，总17页
若 ， 满足约束条件
，则 ＝ 的最小值为________．
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用 的几何意义，即可得到结论．
【解答】
作出 ， 满足约束条件
如图：
由 ＝ 得 ＝ ，
平移直线 ＝ ，
由图象可知当直线 ＝ 经过点 时，直线的截距最小，
此时 最小，
由
，解得 ，此时 ＝ ＝ ，
已知函数 ＝
若存在
使 ＝ 对一切实数
恒成立，则 ＝________
．
【答案】
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
由 ＝ 对一切实数 恒成立转化出满足条件的等式，从而列式求出
值．
【解答】
∵ 函数 ＝ 对一切实数 恒成立，
∴
＝ 对一切实数 恒成立，
化简得，
＝ 对一切实数 恒成立，
化简展开得，
＝ 对一切实数 恒成立，
∴ 只能
＝ ，又∵
∴
．
已知等差数列 的前 项和 ＝ ，若存在正整数 ， 使得 ， ， 成等比数列，则 的最大值与最小值的和为________．
