淮北师范大学
2013届学士学位论文
常微分方程数值解法的误差分析
学院、专业 数学科学学院 数学与应用数学
研 究 方 向 计算数学
学 生 姓 名 李 娜
学 号 20091101070
指导教师姓名 陈 昊
指导教师职称 讲 师
年 月 日
常微分方程数值解法的误差分析
李 娜
（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）
摘 要
自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。
关键词： 常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差
Error Analysis of Numerical Method for Solving the
Ordinary Differential Equation
Li Na
(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)
Abstract
In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem
掌握常微分方程与偏微分方程的区别
常微分方程和偏微分方程是微积分中的两个重要分支，它们在数学和科学的各个领域里都起着关键作用。虽然两者都涉及到方程，但它们在定义、解法和应用上有着明显的区别。
一、定义
常微分方程(Differential Equations, 简称ODE)是指包含未知函数及其导数的方程。常微分方程的解是通过求解导数与未知函数之间的关系，找到满足方程条件的函数解。
偏微分方程(Partial Differential Equations, 简称PDE)是指包含未知函数及其各个偏导数的方程。不同于常微分方程中只涉及到未知函数的导数，偏微分方程中会同时涉及到未知函数的多个偏导数。偏微分方程的解是通过找到满足方程条件的函数解来描述函数的在空间上的特性。
二、解法
常微分方程的解法是相对简单的。对于一阶常微分方程，可以通过分离变量、常数变易法、齐次方程、一阶线性齐次方程等方法来求得解析解。对于高阶常微分方程，常用的方法包括特征方程法、欧拉方程、常系数线性齐次方程等。此外，常微分方程也可以通过数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等来近似求解。
相较而言，偏微分方程的解法较为复杂。对于一些特定的偏微分方程，如线性常系数的齐次方程，可以通过分离变量、变换到标准形式等方法来求得解析解。然而，大部分情况下，我们往往无法求得解析解，只能通过数值方法如有限差分法、有限元法、变分法等来近似求解。
三、应用
常微分方程和偏微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用。
常微分方程在物理学、生物学、经济学等领域中常常用于描述动力学系统、人口增长模型、经济增长模型等问题。例如，描述弹簧振动、电路中的电流、感染病例增长等等。
偏微分方程在物理学、工程学、金融学等领域中常用于描述连续介质中的传热、流体力学、量子力学等问题。例如，描述热传导方程、波动方程、薛定谔方程等等。
综上所述，常微分方程和偏微分方程在定义、解法和应用上都存在明显的差异。常微分方程是关于未知函数及其导数的方程，解法相对简单，应用于描述动力学系统等问题；而偏微分方程是关于未知函数及其各个偏导数的方程，解法较为复杂，应用于描述传热、流体力学等问题。对于数学和科学领域的研究人员来说，了解和掌握这两个概念的区别是非常重要的。
浙江大学城市学院实验报告
课程名称数值计算方法
实验项目名称常微分方程初值问题的数值解法
实验成绩指导老师签名日期2015/12/16
一.实验目的和要求
1． 用Matlab软件掌握求微分方程数值解的欧拉方法和龙格－库塔方法；
2． 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题;
二.实验内容和原理
编程题2-1要求写出Matlab源程序m文件,并有适当的注释语句；分析应用题2-2,2-3,2-4,2-5要求将问题的分析过程、Matlab源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上;
2-1 编程
编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab程序,问题如下：
在区间,ab内(1)N个等距点处,逼近下列初值问题的解,并对程序的每一句添上注释语句;
Euler法y=eulera,b,n,y0,f,f1,b1
改进Euler法y=eulerproa,b,n,y0,f,f1,b1
2-2 分析应用题
假设等分区间数100n,用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t内求解初值问题()()20(0)10ytyty
并作出解的曲线图形,同时将方程的解析解也画在同一张图上,并作比较,分析这两种方法的精度;
2-3 分析应用题
用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解,取10h
画出解的图形,与精确值比较并进行分析;
1欧拉法；
2改进欧拉法；
3龙格－库塔方法；
2-4 分析应用题
考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型;假设在时刻t单位为年,社会上有人口()xt人,又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人;而固定比例为r的所有其他的后代也是与众不同的人;如果对所有人来说出生率假定为常数b,又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的,则此问题可以用微分方程表示为：
其中变量()()()iptxtxt表示在时刻t社会上与众不同的人的比例,()ixt表示在时刻t人口中与众不同的人的数量;
偏微分方程的解法
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中一种重要的方程形式，广泛应用于物理、工程、金融等领域。本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法，并对其原理和应用进行详细的讨论。
一、分离变量法
分离变量法是求解偏微分方程中最常用的方法之一。该方法的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后通过分别求解这些单变量函数的常微分方程来得到原方程的解。以下以一个简单的例子来说明该方法的具体步骤。
考虑一个常见的一维热传导方程：
\[\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial^2 u}}{{\partial
x^2}}\]
假设 u(x,t) 可以表示为两个单变量函数的乘积形式：u(x,t) =
X(x)T(t)，将其代入原方程，可以得到如下的形式：
\[\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{X(x)}\cdot\frac{{d^2X}}{{dx^2}} =
\frac{1}{T(t)}\cdot\frac{{dT}}{{dt}} = -\lambda\]
通过解这两个单变量函数所满足的常微分方程，可以得到 X(x) 和
T(t) 的解，再将其组合即可得到原方程的通解。
二、变换方法 变换方法是另一种重要的求解偏微分方程的技巧。通过对原方程进行适当的变换，可以将其转化为常微分方程或者其他更容易求解的形式。以下介绍两种常见的变换方法。
1. 傅立叶变换法
傅立叶变换法被广泛应用于分析和求解各种偏微分方程。通过将原方程进行傅立叶变换，可以将其转化为代数方程，并通过解代数方程来得到原方程的解。具体来说，假设原方程为：
\[L[u(x,t)] = f(x,t)\]
将其进行傅立叶变换，可以得到：
\[L[\hat{u}(k,\omega)] = \hat{f}(k,\omega)\]
