重复博弈的经典例子

浅析博弈中的囚徒困境

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摘要：囚徒困境是博弈论的非零和博弈中具代表性的例子，个人最佳选择并非团体最佳选择，个人理性有时会导致集体的非理性——机关算尽却因而作茧自缚，这就是囚徒困境所反映的问题。

一经典的囚徒困境

“囚徒困境”是1950年美国兰德公司的梅里尔·弗勒德（Merrill Flood）和梅尔文·德雷希尔（Melvin Dresher）拟定出相关困境的理论，后来由顾问艾伯特·塔克（Albert Tucker）以囚徒方式阐述，并命名为“囚徒困境”。两个共谋犯罪的人被关入监狱，不能互相沟通情况。如果两个人都不揭发对方，则由于证据不确定，每个人都坐牢一年；若一人揭发，而另一人隐瞒，则揭发者因为立功而立即获释，隐瞒者因不合作而入狱五年；若互相揭发，则因证据确实，二者都判刑三年。

从集体上看，他们应当互相合作，都隐瞒，这样总服刑时间最短（为2年）。但他们会仔细考虑对方可能采取什么样的选择，并从自身利益出发做出选择。他们会意识到，如果同伙隐瞒而自己背叛，就能使自身利益最大化（0年）。但他也意识到，他的同伙也不傻，也会这样来设想，这样的话，他就更不可能让同伙得利（服刑0年）而自己受害（服刑5年）所以结论就是，唯一正确的选择就是背叛同伙，把一切都告诉警方，如果他的同伙保持隐瞒，那么他就会是那个获释出狱，服刑0年。而如果他的同伙也向警方交代了，那么，他只需服刑3年而不是5年。所以结果只能是两个囚犯都坐牢服刑3年，而不是都服刑1年。所以对于他们个人来说都是理性的，然而对集体来说却是非理性的。

二重复多次

如果囚徒困境的情况重复多次，会有什么新的变化？假设重复10次。我们可以合理地设想，如果囚徒第一次被对方指控，第二次这个囚徒也会指控对方。相反，如果第一次相反，如果第一次别人保持隐瞒，建立了互信的关系，你也会保持隐瞒，导致最优。当然，两个囚徒都会有相似的想法，在第一局保持隐瞒，以期望建立互信关系，所以双方都会保持隐瞒。第二局时，双方亦应有相似的想法，继续保持隐瞒，以期继续在互信的情况下进行第三局， 甲隐瞒 甲背叛

不会令人后悔的均衡

在纳什均衡中，你不一定满意其他的策略，但你的策略是回馈对手招数的最佳策略。

从囚徒困境中我们会发现，作为博弈各方的行动就是针对对方行动而确定的最佳对策，而一旦知道对方在做什么，就没人愿意改变自己的做法。博弈论学把这么一个结果称为均衡。这个概念是有普林斯顿大学数学家约翰·纳什提出的，因此被称为纳什均衡。

诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森有句名言，你可以将一只鹦鹉训练成经济学家，因为它所需要学习的只有两个词，供给与需求。博弈论专家坎多瑞引申说：“要成为现代经济学家，这只鹦鹉必须再多学一个词，这个词就是纳什均衡”。

1950年，还是一名研究生的纳什写了一篇论文，题为《n人博弈的均衡问题》，该文只有短短一页纸，可就这短短一页纸成了博弈论的经典文献。

纳什的贡献是，他证明了在这一类的竞争中，在很广泛的条件下是有稳定解存在的，只要是别人的行为确定下来，竞争者就可以有最佳的策略。

那么，什么纳什均衡呢？简单说，就是一策略组合中，所有的参与者面临这样的一种情况：给定你的策略，我的策略是我最好的策略。给定我的策略，你的策略也是你最好的策略，即双方在对方给定的策略下不愿意调整自己的策略。

纳什均衡从此成为经济学家用来分析商业竞争到贸易谈判 现象的有力工具，所以纳什均衡是对冯诺依曼和摩根斯坦的合作博弈论的重大发展，甚至说是一场革命。

纳什均衡首先对亚当斯密“看不见的手”的原理提出挑战，按照斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达到利他的效果，从纳什均衡引出一个悖论：从利己的目的触发，结果损人不利己。“囚徒困境”就是如此，从这个意义说，纳什均衡提出的悖论实际上动摇了西方经济学的基石。

纳什的想法成为我们指导“同时行动博弈”的最后一个法则的基础。这个法则如下：走完寻找优势策略和剔除劣势策略的捷径之后，下一步就是寻找这个博弈的均衡。所谓博弈均衡，它是一稳定的博弈结果。均衡是博弈的一结果，但不是说博弈的结果都能成为均衡。博弈的均衡是稳定的，因而是可以预测的。

猎人博弈与帕累托优势

要想再改善任何人都必须损害别的人了， 这时候就说一个经济已经实现了帕累托效率。相反，如果还可以在不损害别人的情况下改善任何人，就认为经济资源尚未充分利用，就不能说已经达到帕累托效率。

设想在古代的一个村庄有两个猎人。为了简化问题，假设主要的猎物只有柄种：鹿和兔子。在古代，人类的狩猎手段比较落后，弓箭的威力也有限。在这样的条件下，我们以假设，两个猎人一起去猎鹿，才能猎获1只鹿。如果一个猎人单兵作战，他只能打到4只兔了。从填饱肚子的角度来说，4只兔子算管4天吧，

1只鹿却可以能够解决20天的问题。这样，两个人的行为决策就成为这样的博弈形式：

要么分别打兔了，每人得4天的粮食；

要么合作，每人平分后得到10天的粮食；

两个纳什均衡，就是两个可能的结局。那么，究竟哪个会发生呢？是一起去猎鹿还是各自去打兔子呢？这就和“夫妻博弈”一样，不能完全由纳什均衡本身来确定。

比较两个纳什均衡，明显的事实是，两人－起去猎鹿的获利比各自去打兔子的获利要大得多。 甲乙一起去猎鹿的纳什均衡，比两人各自去打兔子的纳什均衡，具有帕累托优势。 猎人博弈的结局，最大可能是只有帕累托优势的那个纳什均衡：甲乙一起去猎鹿。

什么是帕累托效率和帕累托优势？帕累托（意大利经济学家）效率准则是：经济的效率体现于配置社会资源以改善人们的境况，主要看资源是否已经被充分利用。如果资源已经被充分利用，要想再改善我就必须损害你或别的什么人，要想再改善你就必须损害另外某个人，一句话，要想再改善任何人都必须损害别的人了，这时候就说一个经济已经实现了帕累托效率。相反，如果还可以在不损害别人的情况下改善任何人，就认为经济资源尚未充分利用，就不能说已经达到帕累托效率。

比起打兔子来，猎鹿不仅是总额的改善，而且每个人都得到很大改善。这就是猎鹿对于打兔子具有帕累托优势的意思。关键是每个人都得到改善，帕累托改善是各方的境况都不受损害的改善。

可是上面的情况是假设双方平均分配猎物于也就是说， 两个猎人的能力和贡献斗不多，但是实际并不一定如此。如果一个猎人能力强、贡献大，他就会要求得到较大的－份，这样分配的结果就可能是(14,6)（15, 5)，但有一点是确定的，那就是能力较差的猎人的所得，至少要多于他独自打猎的收益，否则他就没有合作的动机。

纯策略纳什均衡

纯策略纳什均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium）

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什么是纯策略纳什均衡

纯策略纳什均衡是指在一个纯策略组合中，如果给定其他的策略不变,该节点不会单方面改变自己的策略，否则不会使节点访问代价变小.

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存在纯策略纳什均衡的有限次重复博弈[1]

如果重复博弈中有惟一纯策略纳什均衡，那么我们怎么找出它的纯策略纳什均衡呢？首先看下面囚徒的困境的博弈的例子：

我们现在考虑该博弈重复两次的重复博弈，这可以理解成给囚徒两次坦白机会,最后的得益是两个阶段博弈中各自得益之和．在两次博弈过程中，双方知道第一次博弈的结果再进行二次博弈．用逆推归纳法来分析，先分析第二阶段,也就是第二次重复时两博弈方的选择．很明显，这个第二阶段仍然是两囚徒之间的一个囚徒的困境博弈，此时前一阶段的结果已成为既成事实，此后又不再有任何的后续阶段，因此实现自身当前的最大利益是两博弈方在该阶段决策中的惟一原则．

因此我们不难得出结论，不管前一次的博弈得到的结果如何，第二阶段的惟一结果就是原博弈惟一的纳什均衡(坦白，坦白)，双方得益（—5，-5）．

现在再回到第一阶段，即第一次博弈．理性的博弈方在第一阶段就对后一阶段的结局非常清楚，知道第二阶段的结果必然是(坦白，坦白)，因此不管第一阶段的博弈结果是什么,双方在整个重复博弈中的最终得益,都将是第一阶段的基础上各加—5．因此从第一阶段的选择来看，这个重复博弈与图l中得益矩阵表示的一次性博弈实际上是完全等价的．

于是我们可以得出惟一纯策略均衡的有限次重复博弈的结果就是重复原博弈惟一的纯策略纳什均衡，这就是这种重复博弈惟一的子博弈完美纳什均衡路径．

如果重复博弈中有多个纯策略纳什均衡，设某一市场有两个生产同样质量产品的厂商，他们对产品的定价同有高(H)、中（M)、低(L)三种可能．设高价时市场总利润为10个单位，中价时市场总利润为6个单位，低价时市场总利润为2个单位．再假设两厂商同时决定价格，价格不等时低价格者独享利润，价格相等时双方平分利润．这时候两厂商对价格的选择就构成了一个静态博弈问题．我们看一个三价博弈的重复博弈的例子：