函数单调性课本

函数单调性

函数单调性概念：

如果函数xfy在某个区间I上是增函数或减函数，那么就说函数xfy在这个区间上具有单调性，区间I叫做xfy的单调区间．

一般地，设函数xf的定义域为I，区间ID:如果Dxx21,，当21xx时，都有21xfxf，那么就称函数xf在区间D上单调递增，区间D称为函数xf的单调递增区间。

一般地，设函数xf的定义域为I，区间ID:如果Dxx21,，当21xx时，都有21xfxf，那么就称函数xf在区间D上单调递减，区间D称为函数xf的单调递减区间。

注意：①函数的单调性是函数局部上的性质，是函数在其定义域内的某个区间上的增减性质。这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集。有的函数不具有单调性，例如常函数：2y，或者RxQxQxy,0,1。

②单调区间的书写，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，若函数在区间端点处有有意义，则写成闭区间（也可以写成开区间）；若函数在区间端点处无意义，则必须写成开区间。

函数单调性与函数最值间的关系：

（1）若函数xf在区间ba,上是增函数，则函数的最小值为afymin，最大值为bfymax；若函数xf在区间ba,上是减函数，则函数的最小值为bfymin，最大值为afymax。 函数的单调性其实就是函数在定义域某个区间内函数值随自变量的增大而增大（减小），或者函数的图像在定义域某个区间上一直上升或者下降，我们就说函数在这个区间上单调。 （2）如果函数xf在某个开区间上是增函数或者减函数，则函数xf在这个区间上不存在最值。

（3）在利用函数单调性求函数最值时，一定要求函数的定义域。

判断函数单调性的基本方法：

⑴ 定义法：任取21xx，，21xx，判断21xfxf的正负；

⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数；

中等职业学校教材试用本 数学 第一册（上海教育出版社 版本）配套教案

hs04-1

hs04_3.2(1)函数的基本性质 —— 单调性

课题名称 3.2(1)函数的基本性质 —— 单调性

课时 1 课型 新授

一 教学目标 知识与技能：

1. 正确理解增函数、减函数的概念，掌握函数单调性的定义.

2. 会根据函数的图像判断函数的单调性,掌握数形结合的思维方法.

3. 能根据单调性的定义判断函数在某一区间上是增函数还是减函数.

过程与方法：

1. 培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力.

2. 通过利用函数单调性的定义判断函数的单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养.

情感态度与价值观：

1. 通过本节课的教学，启发学生养成细心观察事物的能力，学会分析和归纳。

2. 根据定义进行判断从另外一个侧面也告诉我们一个哲理：要走好人生的每一步，我们都需要思考，才能作出正确的判断。

二 教学重点与难点 教学重点：

函数单调性概念的理解

教学难点：

函数单调性的判断.

三 教学方法 启发式教学、判断和归纳的方法.

四 教学手段 利用多媒体课件hs04、黑板等.

五 教学过程

【新课导入】 中等职业学校教材试用本 数学

第一册（上海教育出版社 版本）配套教案

hs04-2

【双基讲解】

1. 函数的单调性

函数在定义域的某个区间上，随着自变量的增加，函数值逐渐增加或减小的这种特性，就是函数的单调性.

对于函数yfx，xD，在给定区间I（I  D）上,

(1) 如果对任意12,xxI，当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数yfx，在区间I上是增函数.

(2) 如果对任意12,xxI，当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数yfx，在区间I上是减函数. 中等职业学校教材试用本 数学 第一册（上海教育出版社 版本）配套教案

【导语】

【正文】

§4.4 函数单调性的判定

在我们已经学习过函数在某个区间上单调的定义，本节将讨论函数单调性与函数导数之

间的关系，从而提供一种判别函数单调性的方法．

定理7如果函数()fx在区间[,]ab上连续、在(,)ab内可导，则()fx在[,]ab上单调递增

的充分必要条件是：()0fx′

≥且()fx′

在[,]ab的任意子区间上不恒为零．

如果函数()fx在区间[,]ab上连续、在(,)ab内可导，则()fx在[,]ab上单调递减的充分

必要条件是：()0fx′

≤且()fx′

在[,]ab的任意子区间上不恒为零．

证必要性．因为函数()fx在[,]ab上单调递增，所以对任意的[,]xab∈及[,]xxab+∆∈，

都有

()()

0fxxfx

x+∆−

>

∆．

根据极限的保号性及导数定义，得

0()()

()lim0

xfxxfx

fx

x

∆→+∆−

′

=

∆≥．

若()0fx′

=在[,]ab的某子区间上成立，则函数()fx在此子区间上恒为常数．这与条件

“()fx单调递增”矛盾．

充分性．由()0fx′

≥，根据拉格朗日中值定理

2121()()()()fxfxfxxξ′

−=−，知函数()fx

在[,]ab上单调不减．

假设存在

12,[,]xxab∈使得

12xx<，且

12()()fxfx=，

则函数()fx在子区间

12[,]xx上恒为常数，从而()fx′

恒为零．这与条件“()fx′

在[,]ab的任

意子区间上不恒为零”矛盾．

综上，定理得证．

注如果定理中的区间],[ba

换成其他各种区间（包括无穷区间），结论仍然成立．

判定函数)(xf

单调性的步骤：

①确定函数)(xf

的定义域；

②求)(xf′

，找出0)(=′

xf

或)(xf′

不存在的点，这些点将定义域分成若干区间；

③列表，由)(xf′

在各个小区间内的符号判别函数)(xf

的单调性．

注只要在每个小区间内各取一个特殊点，计算相应的导数值，即知)(xf′

在各个小区间

戴氏教育簇桥校区 高一数学 授课老师:唐老师

1 函数单调性

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

函数的

性 质 定义 图象 判定方法

函数的

单调性 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)

（2）利用已知函数的单调性

（3）利用函数图象（在某个区间图

象上升为增）

（4）利用复合函数

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211 （1）利用定义

（2）利用已知函数的单调性

（3）利用函数图象（在某个区间图

象下降为减）

（4）利用复合函数

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数[()]yfgx，令()ugx，若()yfu为增，()ugx为增，则[()]yfgx为增；若()yfu为减，()ugx为减，则[()]yfgx为增；若()yfu为增，()ugx为减，则[()]yfgx为减；若()yfu为减，()ugx为增，则[()]yfgx为减．

戴氏教育簇桥校区 高一数学 授课老师:唐老师

2 （2）最大（小）值定义

①一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM．那么，我们称M是函数()fx的最大值，记作max()fxM．

②一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有()fxm；（2）存在0xI，使得0()fxm．那么，我们称m是函数()fx的最小值，记作max()fxm．