[高中数学]10B-7-学生-三角恒等式(二)
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初中/高中数学备课组 教师 班级 学生
日期 上课时间
学生情况：
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主课题： 三角恒等式（二）
教学目标：
1. 掌握同角三角比的八个基本关系式,并会应用同角三角比的关系求值、化简和证明
2. 掌握、、、、、的三角比与的三角比的关系,并会应用这些关系求值、化简和证明
教学重点：
1. 掌握两角的和与差的三角比公式,并会应用于求值、化简和证明
2. 会将化为一个角的一个三角比的形式,并会应用于求值和化简
教学难点：
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会应用于求值、化简和证明
2. 掌握半角的正弦、余弦、正切公式,并会应用于求值、化简和证明
考点及考试要求：
1. 倍半角的正弦、余弦、正切公式及应用
2. 知道万能置换公式,并会应用于求值、化简和证明
教学内容
【知识精要】
1、两角和与差的余弦公式
（1）𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝛽)=𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽
（2）𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽)=𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽
例1、求下列各式的值：
（1）𝑐𝑜𝑠15°； （2）𝑐𝑜𝑠70°𝑐𝑜𝑠10°+𝑠𝑖𝑛70°𝑠𝑖𝑛10°；
2、诱导公式：
（1）𝑠𝑖𝑛(𝜋2−𝛼)=𝑐𝑜𝑠𝛼； 𝑐𝑜𝑠(𝜋2−𝛼)=𝑠𝑖𝑛𝛼；
𝑡𝑎𝑛(𝜋2−𝛼)=𝑐𝑜𝑡𝛼； 𝑐𝑜𝑡(𝜋2−𝛼)=𝑡𝑎𝑛𝛼；
（2）𝑠𝑖𝑛(𝜋2+𝛼)=𝑐𝑜𝑠𝛼； 𝑐𝑜𝑠(𝜋2+𝛼)=−𝑠𝑖𝑛𝛼；
𝑡𝑎𝑛(𝜋2+𝛼)=−𝑐𝑜𝑡𝛼； 𝑐𝑜𝑡(𝜋2+𝛼)=−𝑡𝑎𝑛𝛼；
3、两角和与差的正弦公式：
（1）𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽
（2）𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽
例2、化简：𝑠𝑖𝑛(𝑥+27°)𝑐𝑜𝑠(18°−𝑥)−𝑐𝑜𝑠(𝑥+27°)𝑠𝑖𝑛(𝑥−18°)
例3、已知𝑐𝑜𝑠𝛼=45,𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽)=35,且𝛼、𝛽均为锐角,求𝑠𝑖𝑛𝛽的值
例4、计算11+𝑠𝑖𝑛15°−𝑐𝑜𝑠15°
例5、求证：12𝑐𝑠𝑐10°−√32𝑠𝑒𝑐10°=2
例6、已知𝑠𝑖𝑛𝛼=√55,𝛼∈(0,𝜋2),𝑐𝑜𝑠𝛼=√1010,𝛽∈(0,𝜋2),
（1）求𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝛽),𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝛽)的值；（2）求𝛼−𝛽
4、两角和 与差的正切公式：
（1）𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)=𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽1−𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽；𝛼≠𝑘𝜋+𝜋2,𝛽≠𝑘𝜋+𝜋2,𝛼+𝛽≠𝑘𝜋+𝜋2,𝑘∈𝑍
（2）𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝛽)=𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽1+𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽；𝛼≠𝑘𝜋+𝜋2,𝛽≠𝑘𝜋+𝜋2,𝛼+𝛽≠𝑘𝜋+𝜋2,𝑘∈𝑍
例7、已知𝑡𝑎𝑛𝛼=12,𝑡𝑎𝑛𝛽=−1,求下列三角比的值：
（1）𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)；（2）𝑐𝑜𝑡(𝛼−𝛽)
例8、已知A、B、C满足𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐶=0,求证：𝑐𝑜𝑠(𝐴−𝐵)=−12
【巩固练习】
1、化简：𝑡𝑎𝑛20°+𝑡𝑎𝑛40°+√3𝑡𝑎𝑛20°𝑡𝑎𝑛40°
2、已知𝑠𝑖𝑛𝜃=−45,且𝜃为第四象限角,判断2𝜃所在的象限
3、已知𝑠𝑖𝑛𝛼=−35,𝑠𝑖𝑛𝛽=1213,且180°<𝛼<270°,90°<𝛽<180°,求𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝛽)、𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽)
4、已知𝑐𝑜𝑠𝜃=−1213,𝜃∈(𝜋,3𝜋2),求𝑡𝑎𝑛(𝜃−𝜋4)的值
5、化简下列各式：
（1）√3𝑠𝑖𝑛(𝜋6−𝛼)−𝑐𝑜𝑠(𝜋6−𝛼)； （2）𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛10°(1+√3𝑡𝑎𝑛10°)
6、已知𝑠𝑖𝑛𝛼=513,𝛼∈(𝜋2,𝜋),求𝑠𝑖𝑛2𝛼、𝑐𝑜𝑠2𝛼、𝑡𝑎𝑛2𝛼
7、化简：1+𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃1+𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃+1+𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃1+𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃
【自我测试】
1、已知α、𝛽都是锐角,𝑠𝑖𝑛𝛼=√55,𝑠𝑖𝑛𝛽=√1010,求证：𝛼+𝛽=𝜋4
2、化简：𝑠𝑖𝑛𝛼(1+𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛼2)
3、已知𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛽=−23,𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛽=23,且𝛼、𝛽∈(0,𝜋2),试求𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝛽)
