高中三角恒等式大全

三角恒等式

1．三角恒等式

基本公式

sin（2kπ+α）＝sinα，cos（2kπ+α）＝cosα，tan（2kπ+α）＝tanα

cot（2kπ+α）＝cotα，sec（2kπ+α）＝secα，csc（2kπ+α）＝cscα

sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα

cot（π+α）＝cotα，sec（π+α）＝﹣secα，csc（π+α）＝﹣cscα

sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα

cot（﹣α）＝﹣cotα，sec（﹣α）＝secα，csc（﹣α）＝﹣cscα

sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα

cot（π﹣α）＝﹣cotα，sec（π﹣α）＝﹣secα，csc（π﹣α）＝cscα

sin（α﹣π）＝﹣sinα，cos（α﹣π）＝﹣cosα，tan（α﹣π）＝tanα

cot（α﹣π）＝cotα，sec（α﹣π）＝﹣secα，csc（α﹣π）＝﹣cscα

sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα，tan（2π﹣α）＝﹣tanα

cot（2π﹣α）＝﹣cotα，sec（2π﹣α）＝secα，csc（2π﹣α）＝﹣cscα

sin（π/2+α）＝cosα，cos（π/2+α）＝﹣sinα，tan（π/2+α）＝﹣cotα

cot（π/2+α）＝﹣tanα，sec（π/2+α）＝﹣cscα，csc（π/2+α）＝secα

sin（π/2﹣α）＝cosα，cos（π/2﹣α）＝sinα，tan（π/2﹣α）＝cotα

cot（π/2﹣α）＝tanα，sec（π/2﹣α）＝cscα，csc（π/2﹣α）＝secα

sin（3π/2+α）＝﹣cosα，cos（3π/2+α）＝sinα，tan（3π/2+α）＝cotα

cot（3π/2+α）＝tanα，sec（3π/2+α）＝cscα，csc（3π/2+α）＝﹣secα

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) =tanAtanB-1tanBtanA tan(A-B) =tanAtanB1tanBtanA

cot(A+B) =cotAcotB1-cotAcotB cot(A-B) =cotAcotB1cotAcotB

倍角公式

tan2A =Atan12tanA2 Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

半角公式

2cos1)2(sin2AA 2cos1)2(cos2AA

和差化积

sina+sinb=2sin2bacos2ba sina-sinb=2cos2basin2ba

cosa+cosb = 2cos2bacos2ba cosa-cosb = -2sin2basin2ba

积化和差

诱导公式

sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2-a) = cosa cos(2-a) = sina

sin(2+a) = cosa cos(2+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa

sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =aacossin

万能公式 sina=2)2(tan12tan2aa cosa=

22)2(tan1)2(tan1aa tana=2)2(tan12tan2aa

其他非重点三角函数

csc(a) =asin1 sec(a) =acos1 cot(a) =aasincos

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专业知识编辑整理 高中数学三角恒等式变形解题常用方法

一.知识分析

1. 三角函数恒等变形公式

（1）两角和与差公式

（2）二倍角公式

（3）三倍角公式

（4）半角公式

（5）万能公式

， ， WORD完美格式

专业知识编辑整理 （6）积化和差

，

，

，

（7）和差化积

，

，

，

2. 网络结构

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专业知识编辑整理

3. 基础知识疑点辨析

（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？

实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。另外，公式虽然形 WORD完美格式

专业知识编辑整理 式不同，结构不同，但本质相同：。

（2）怎样正确理解正切的和差角公式？

正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：

①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。

高中数学竞赛讲座9

9三角恒等式与三角不等式

三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.

三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2tanxt的代数恒等式的证明问题.

要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 相相相为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.

上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.

此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.

三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等.

其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.

三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式

)](21[))()((cbapcpbpappS其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用.

例题讲解

1．已知.cossin)tan(:,1||),sin(sinAAA求证