角的平分线的性质教材分析
本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式──利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等．
角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法．数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段（角的平分线上的点到角的两边的垂线段）相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法．因此它既是对前面所学知识的应用,又是为后续学习作铺垫,具有举足轻重的作用.因此本节课在教材中占有非常重要的地位．
基于以上分析,确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质．
教学难点是：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质．
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our
busy schedule. We proofread the content carefully before the release of
this article, but it is inevitable that there will be some
unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I
北师大版八年级下册数学1.4 角平分线 教案设计
1 / 4 课 题 1.4、角平分线(二) 课型 新授课
教学目标 要求学生掌握三角形三条角平分线的性质定理，会用这个定理解决一些简单问题。
教学重点 三角形三条角平分线的性质定理
教学难点 掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明。
教学方法 动手 观察 讨论 交流
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
教师活动 学生活动
引入：习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
学生尝试折纸验证。
三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
探索新知：
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受到了数学中的和谐，对数学对象之间的相互联系有了感性的体验。在教师的帮助下提炼出数学中的联系，建构的认知结构。
动手折出三角形的三条角平分线，观察它们有什么性质。联想到三角形三条线段垂直平分线的性质，观察到三线共点。
1.4 角平分线的性质
教学目标
1．角的平分线的性质
2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
教学重难点
重点：角平分线的性质及其应用．
难点：灵活应用两个性质解决问题．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．
Ⅱ．导入新课
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
折出如图所示的折痕PD、PE．
画一画
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．
结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．
由已知事项推出的事项：PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？(出示投影)
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL)．于是可得∠PDE=∠POD．
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．
1．4 角平分线的性质
令公桃李满天下，何用堂前更种花。出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》
学校 陈道元
东宫白庶子,南寺远禅师。——白居易《远师》
枫岭头学校
张海泉
1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)
2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)
一、情境导入
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等
【类型一】
利用角平分线的性质求线段长
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．
解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm.
方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
【类型二】
利用角平分线的性质求面积
如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.若AB＝18cm，BC＝12cm，DE＝2.4cm，求△ABC的面积．
解析：根据角平分线的性质得到DE＝DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形，分别求出它们的面积再求和．
解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝12BC·DF＋12AB·DE＝(BC＋AB)·DE＝12×30×2.4＝36cm2)．
方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．
