高中数学立体几何正交与垂直关系分析

高中立体几何垂直技巧立体几何是数学中的一个重要分支，研究物体在空间中的形状、大小、位置等问题。

其中，垂直是一个基本概念，它在解决立体几何问题时起着重要的作用。

本文将介绍一些高中立体几何中常用的垂直技巧，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、垂直的概念在几何中，垂直是指两个线段、两个直线或两个平面相互垂直，即互相成直角的关系。

垂直关系是立体几何中最基本的关系之一，它决定了空间中物体的相对位置和方向。

因此，掌握垂直的概念对于解决立体几何问题至关重要。

二、垂直的性质1. 垂直线段的性质：如果两个线段相互垂直，则它们的乘积等于它们的长度之和的平方减去它们的长度之差的平方。

即若AB⊥CD，则有AB × CD = (AB + CD)(AB - CD)。

2. 垂直直线的性质：如果两条直线相互垂直，则它们的斜率的乘积等于-1。

3. 垂直平面的性质：如果两个平面相互垂直，则它们的法向量互相垂直。

三、垂直的判定方法1. 通过斜率判定垂直：对于已知直线的斜率，如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们相互垂直。

2. 通过向量判定垂直：对于已知直线的方向向量，如果两条直线的方向向量互相垂直，则它们相互垂直。

3. 通过点和直线的关系判定垂直：如果一条直线上的两个向量分别与另一条直线上的两个向量的点积为零，则这两条直线相互垂直。

四、垂直的应用技巧1. 垂直平分线的性质：如果一条直线垂直平分另一条线段，那么这条直线一定过这条线段的中点。

2. 垂直平面与直线的关系：如果一条直线与一个平面相交，且与该平面的两个垂直线互相垂直，则该直线垂直于该平面。

3. 垂直平面的性质：如果一个平面与两个相互垂直的直线相交，则该平面与这两条直线互相垂直。

4. 垂直关系的应用：在解决立体几何问题时，可以利用垂直关系简化问题，减少计算量。

通过合理运用垂直的判定方法和性质，可以快速确定物体的位置、方向和大小。

五、垂直技巧的例题例题1：已知三棱锥ABCD的底面ABCD为矩形，AB=3，BC=4，垂直于底面的侧棱BN=5，求三棱锥ABCD的体积。

高中数学立体几何与解析几何立体几何与解析几何是高中数学中的重要内容，它们研究了几何图形在三维空间中的形态和性质，以及利用坐标系进行几何问题的解析计算。

本文将介绍高中数学中立体几何和解析几何的基本概念和应用。

一、立体几何的基本概念与性质立体几何是研究三维空间中的几何图形的学科。

在立体几何中，我们主要关注的图形包括点、线、面以及各种立体体形（如球、锥、柱、棱锥等）。

下面将介绍几个常见的立体几何概念和性质。

1.1 点、线、面的定义在三维空间中，点是没有大小和形状的，用坐标表示。

线是由两个点确定的直线段，可以延伸到无穷远。

面是由三个或多个点确定的平面，它没有厚度，只有长度和宽度。

1.2 正交投影与投影性质正交投影是指物体在垂直于投影面的直线上的投影。

投影性质包括平行线投影后仍为平行线、线段长度比例保持不变、角度保持不变等。

1.3 空间几何体的性质各种空间几何体如球体、立方体、锥体等都有各自的性质，如体积、表面积、对称性等。

二、解析几何的基本概念与性质解析几何是通过坐标系和代数方法研究几何问题的学科。

它将几何问题转化为代数问题，通过运用代数方法解决几何问题。

下面将介绍几个常见的解析几何概念和性质。

2.1 坐标系及其表示方法在解析几何中，我们通常使用直角坐标系或参数方程来表示几何图形。

直角坐标系是由横轴和纵轴组成的，图形的坐标表示为(x, y)。

参数方程是通过参数t的取值来表示几何图形的坐标。

2.2 点、线、面的解析表示通过坐标表示，我们可以用方程的形式来表示点、线、面的几何性质，将几何问题转化为代数问题。

例如，直线的解析表示为y = kx + b，平面的解析表示为ax + by + cz + d = 0。

2.3 距离、角度的解析计算在解析几何中，我们可以通过坐标计算两点间的距离和线段的长度。

同时，也可以通过坐标计算两条直线的夹角和两个平面的夹角。

三、立体几何与解析几何的应用立体几何和解析几何在实际问题中有着广泛的应用。

浅谈立体几何中的垂直问题黎武兵湛江市太平中学交流QQ：306582633关键词：立体几何，维数转化，非90度垂直，线线垂直垂直问题在立体几何中占有重要的地位，是历年高考命题的热点.空间中的垂直关系有三种：线线垂直、线面垂直、面面垂直.而线线垂直是最基本、最重要的一种，它在三者转化过程中起着穿针引线、承前启后的作用.因此线线垂直的证明更是解决垂直问题的关键.立体几何是平面几何的升级与综合.例如正方体的侧棱垂直形式就有45度角，90度角、135度角和异面垂直等四种形式.而学生对非90度垂直的理解，不是不透彻就是误解.因此，如何帮助学生透彻理解非90度垂直，便成了立体几何的重中之重.以下的三种可以帮助学生正确理解非90度垂直.一是错误视觉分析.这就要求老师从视觉角度分析和演示线、角、面的变化，教会学生理解视觉的误导性.通过实物演示，让学生明白“横看成岭侧成峰”的道理，从而达到培养学生建立发散思维习惯和锻炼空间想象力的目的.二是维数转化思想.从初中的平面几何到高中的立体几何，即是从二维思想过渡到三维思想，大部分学生的几何思考还停留在二维思想上，这就要求老师正确引导学生掌握用二维思想理解三维思想.让学生理解立体几何中的三维表示长、宽和高，而平面几何中的二维表示长和宽，但长、宽、高并没有确定的界限.例如把正方体的左侧面独立提取出来，它就是一个正方形，原先表示正方体的宽和高，都成了正方形的边长.再例如正方体A1B1C1D1-ABCD中的对角面A1ACC1是一个长方形，其长AC和A1C1分别为正方体上底面和下底面的对角线.在垂直的证明过程中，常常要把立体几何拆分成几个平面图形分别证明，再对证明结果加以综合，从二维回到三维，即可获得证明。

三是知识系统理解.如何让学生正确理解垂直的传递性，便成了老师课堂教学的重点和难点.通过垂直传递性的理解分析，培养学生的逻辑推理能力和空间想像能力.从线线垂直到线面垂直，再到面面垂直，反之一样.这里就要求学生把其中的条件理解并熟记，在求解过程中可以信手拈来，在证明过程中可以一呼即出.在垂直传递过程中，要善于利用逆向思维思考问题.例如，正方体A1B1C1D1-ABCD中，求证：A C⊥BD1.分析：显然，直线AC与BD1没有交点，是异面直线，不能利用平面几何中的勾股定理及高线性质来证明。

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。

高中数学中的立体几何知识点总结立体几何是高中数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的物体形状、大小以及它们之间的相互关系。

本文将对高中数学中的立体几何知识点进行总结，帮助同学们梳理和复习相关内容。

一、点、线、面的关系1. 点：点是空间中最基本的概念，没有大小和形状，只有位置坐标。

2. 线：两个点确定一条线段，线段有长度，可以延伸成直线。

3. 面：三个或三个以上的点确定一个面，面有面积，可以延伸成平面。

二、多面体1. 三棱锥：底面为三角形，侧面为三角形的四面体。

2. 四棱锥：底面为四边形，侧面为三角形的五面体。

3. 五棱锥：底面为五边形，侧面为三角形的六面体。

4. 正棱锥：底面为正多边形，侧面为等边三角形的多面体。

5. 正方体：六个面都是正方形的多面体。

6. 正四面体：四个面都是正三角形的多面体。

7. 正六面体：六个面都是正方形的多面体。

三、平面图形与立体图形1. 投影：图形在投影面上的图象。

2. 平行投影：平行于投影面的投影方式，不改变图形的形状和面积。

3. 斜投影：不平行于投影面的投影方式，改变图形的形状和面积。

4. 立体图形的展开图：将立体图形展开成平面图，便于计算和分析。

5. 空间几何体的视图：主视图、俯视图和侧视图，用来描述一个立体图形。

四、平行与垂直1. 平行关系：两条直线在同一个平面上，且永远不相交。

2. 垂直关系：两条直线在同一个平面上，且相交成直角。

五、角与平面的关系1. 角：由两条射线共同确定的图形，可以是平面角或空间角。

2. 平面角：两个相交的平面所夹的角，范围为0到180度。

3. 相对角：两个相交直线上相对的两个角。

六、面积与体积1. 面积：平面图形所占的面积，常见的有三角形、四边形、圆形的计算公式。

2. 体积：三维物体所占的空间大小，常见的有长方体、正方体、棱柱、棱锥、球体的计算公式。

七、相交与相切1. 相交：两个或多个图形交叠在一起。

2. 相切：两个或多个图形只有一个点是共同的。

高中数学的归纳立体几何的基本概念与性质总结在高中数学学习中，立体几何是一个重要的部分。

归纳立体几何是通过对形状的观察和分析，总结出其基本概念与性质，并运用它们解决相关问题。

本文将对高中数学的归纳立体几何的基本概念与性质进行总结。

一、点、直线、面、体立体几何的基础概念包括点、直线、面和体。

点是几何中最基本的元素，它没有大小和形状，只有位置。

直线是无限延伸的点的集合，具有长度和方向。

面是由无限多个点组成的平坦表面，没有厚度。

体由无限多个面组成，有长度、宽度和高度。

二、多面体与特殊多面体多面体是由平面多边形构成的立体图形。

常见的多面体有四面体、六面体、八面体等。

这些特殊多面体有一些独特的性质，如四面体的顶点数、边数和面数的关系满足欧拉公式。

三、平行关系与平行截割在立体几何中，平行关系是很重要的性质。

当两个面之间的任意直线都与第三个面平行时，我们称这两个面是平行的。

平行关系可以应用于平行截割问题中，通过截割平面和被截割体之间的关系，求解相关问题。

四、相交关系与角相交关系是指两个或多个立体之间的交叉或重叠关系。

在相交关系中，角是一个重要的概念。

角是由两条射线共享一个公共端点而形成的，可以用来描述平面的倾斜程度。

角可以进一步分为锐角、直角、钝角等不同类型。

五、正交关系与垂直正交关系是指两条直线或两个面之间的垂直关系。

当两条直线或两个面之间的夹角为90度时，我们称它们是垂直的。

垂直关系在求解立体几何问题中具有重要作用，可以帮助我们确定未知量或推导结论。

六、对称关系与对称性质对称关系是指图形在特定参考点或参考轴上的镜像重合关系。

当一个图形经过镜像变换后与自身完全重合时，该图形具有对称性质。

对称关系可以帮助我们研究图形的特征，解决与对称性质相关的问题。

七、等腰关系与等腰性质等腰关系是指一个图形中两个或多个边的长度相等的关系。

等腰关系常常出现在与等腰性质相关的问题中。

等腰三角形、等腰梯形等图形具有一些特殊性质，如对称性、角度关系等。

线面垂直●知识点１.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直.２.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3．三垂线定理和它的逆定理．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直.逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例１】如图所示，已知点S是平面ＡBC外一点，∠ＡＢＣ=９0°，ＳＡ⊥平面ABC，点A在直线ＳB和SＣ上的射影分别为点E、F，求证:EF⊥ＳC.【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径,假设ＥF⊥SC成立，结合AＦ⊥ＳC可推证SC⊥平面AEF，这样SC⊥AE,结合AE⊥SB，可推证AＥ⊥平面ＳＢC,因此证明ＡＥ⊥平面SＢC是解决本题的关键环节．由题设SA⊥平面ABC，∠ＡＢC＝90°，可以推证BC⊥ＡE，结合ＡE⊥SB完成AE⊥平例1题图面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】题设中条件多，图形复杂,结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.【例2】已知：M∩N＝ＡB,PQ⊥M于Q,ＰO⊥N于O,OR⊥M于R,求证:ＱR⊥AB.【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c⇒b⊥ｃ；(２)ａ⊥α,b⊂α⇒a⊥ｂ;（３）三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”:就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”:就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线,牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作:确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例３】已知如图(1)所示,矩形纸片AＡ′A′１A1,B、Ｃ、Ｂ1、Ｃ1分别为ＡＡ′,A1Ａ′的三等分点，将矩形纸片沿ＢB1,CC１折成如图(2)形状(正三棱柱)，若面对角线AＢ1⊥BC1，求证:A１Ｃ⊥AB1.例3题图解(1)【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥ＢC ，而结论是A Ｂ１⊥A 1Ｃ，题设,题断有对答性，可在ABB 1Ａ1上作文章,只要取A 1Ｂ1中点D １,就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ＡBB １Ａ1同一平面内AB 1与ＢD １垂直关系,这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断A Ｂ1与A 1C 垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D 即可,只要证得Ａ1D 垂直于A Ｂ１,事实上D ＢＤ1A １，为平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：(1）三垂线正逆定理，（2)线面,线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作,在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直,线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.【例４】 空间三条线段A Ｂ，BC ,CD ,AB ⊥ＢC ,BC ⊥C Ｄ,已知AB ＝3,BC =4，CD =6,则AD 的取值范围是 .【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中，C Ｄ1=６,AD １的长是AD 的最小值，其中AH ⊥C Ｄ１，AH =B Ｃ=4，HD １＝3,∴ＡＤ1=５;在直角△AH Ｄ２中,ＣD 2=6,AD ２是A Ｄ的最大值为974)36(22222=++=+AH HD【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手，其实冷静分析,找出隐藏的条件很容易得出结论.例4题图●对应训练 分阶提升一、基础夯实1．设M 表示平面,ａ、b 表示直线，给出下列四个命题:①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 （ )A.①② Ｂ.①②③ C.②③④ Ｄ.①②④２.下列命题中正确的是 （ )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示,在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、B Ｃ的中点.现在沿D Ｅ、DF 及EF 把△A ＤE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、Ｂ、C 三点重合,重合后的点记为Ｐ．那么,在四面体P —DEF 中,必有 （ ）Ａ.D Ｐ⊥平面PE Ｆ B ．ＤM ⊥平面PEF C.PM ⊥平面DE Ｆ Ｄ.PF ⊥平面DEF4.设a 、b 是异面直线,下列命题正确的是 ( )A.过不在ａ、b 上的一点Ｐ一定可以作一条直线和ａ、b 都相交B ．过不在a 、b 上的一点Ｐ一定可以作一个平面和a 、b 都垂直Ｃ.过ａ一定可以作一个平面与ｂ垂直D.过ａ一定可以作一个平面与b 平行5．如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:ｌ=β∩γ,l ∥α,ｍ⊂α和m ⊥γ,那么必有 （ ) Ａ.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.ｍ∥β且l ⊥ｍ Ｄ.α∥β且α⊥γ6.ＡＢ是圆的直径，C 是圆周上一点,ＰC 垂直于圆所在平面，若B Ｃ=１,ＡC =２,P Ｃ＝1，则P 到ＡＢ的距离为 ( )A.１B.２ Ｃ.552 D.553 ７.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过ａ的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1 Ｃ.2 Ｄ.38.d 是异面直线a 、ｂ的公垂线,平面α、β满足a ⊥α,ｂ⊥β,则下面正确的结论是 （ )第3题图Ａ.α与β必相交且交线m ∥ｄ或m 与ｄ重合B.α与β必相交且交线ｍ∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行D.α与β不一定相交9.设ｌ、m 为直线，α为平面，且l ⊥α,给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥ｌ;②若m ⊥l ，则ｍ∥α;③若ｍ∥α,则m ⊥l ;④若ｍ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ Ｂ.①②④ C ．②③④ D.①③④10．已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,给出下列四个命题:①若α∥β，则l ⊥ｍ;②若α⊥β，则l ∥m ;③若ｌ∥ｍ,则α⊥β；④若l ⊥m ,则α∥β. 其中正确的命题是 ( ）A.③与④B.①与③ Ｃ.②与④ D.①与②二、思维激活11．如图所示,△ABC 是直角三角形,AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为Ａ′，Ｂ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，B Ｂ′＝5cm ，ＣC ′＝4cm ，则△A ′B ′Ｃ′的面积是 .12．如图所示,在直四棱柱A １B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A １Ｃ⊥B 1Ｄ1(注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)13.如图所示,在三棱锥V —ＡB Ｃ中，当三条侧棱ＶA 、VB 、VC 之间满足条件 时,有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高1４.如图所示，三棱锥V -AB Ｃ中,ＡH ⊥侧面ＶBC ,且H 是△VB Ｃ的垂心,BE 是VC 边上的高.（1)求证:VC ⊥AB ;(2)若二面角E —ＡＢ—C 的大小为30°,求VC 与平面AB Ｃ所成角的大小.第11题图 第12题图第13题图 第14题图１5．如图所示，ＰＡ⊥矩形AＢＣD所在平面，M、N分别是AB、ＰC的中点．(1)求证：ＭN∥平面P AD.(2)求证：ＭＮ⊥CＤ．(３)若∠ＰDA＝45°，求证:ＭN⊥平面PCＤ.第15题图16.如图所示，在四棱锥P—AＢCD中,底面ABCD是平行四边形，∠BＡD＝60°，AＢ=4,AD＝２，侧棱PB=15，ＰD ＝3.(1)求证：BD ⊥平面P AD.(2）若PD与底面AＢCD成60°的角,试求二面角P—BＣ—A的大小.第16题图1７.已知直三棱柱ＡBＣ-A1B1C１中，∠ACＢ=9０°,∠ＢＡＣ＝30°,BC=1,ＡＡ1＝6，M是CC1的中点，求证：AＢ1⊥A１M.１8.如图所示,正方体ABCD—A′B′Ｃ′Ｄ′的棱长为a，M是AD的中点，Ｎ是BD′上一点,且D′N∶NB＝1∶2,MＣ与BD交于P.(1)求证:NＰ⊥平面ＡBＣD.（2)求平面PＮC与平面CC′Ｄ′D所成的角.(3)求点Ｃ到平面D′MB的距离.第18题图第4课 线面垂直习题解答１.A 两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2．C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DP ⊥ＰE ,D Ｐ⊥PF ,P Ｅ⊥ＰF .４.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则ａ，b ′确定的平面与直线ｂ平行.5．A 依题意，ｍ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则ｌ⊥m ,故选A.6．D 过P 作PD ⊥A Ｂ于D ,连CD ，则CD ⊥ＡB ,AB ＝522=+BC AC ，52=⋅=AB BC AC CD , ∴PD =55354122=+=+CD PC . ７.Ｄ 由定理及性质知三个命题均正确．8.Ａ 显然α与β不平行.９.Ｄ 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直．10．B ∵α∥β,ｌ⊥α，∴l ⊥m 11.23c ｍ2 设正三角A ′Ｂ′Ｃ′的边长为a ． ∴A Ｃ２=a 2+１,BC 2=a 2+1，A Ｂ２=ａ２+4,又AC 2＋ＢC ２=AB 2，∴a 2=２. Ｓ△Ａ′Ｂ′C ′＝23432=⋅a cm 2． １2.在直四棱柱A 1B １C １Ｄ1—A ＢCD 中当底面四边形AB ＣD 满足条件ＡC ⊥B Ｄ(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如A ＢCD 是正方形,菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D １（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 点评:本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ,ＶC ⊥AB . 由ＶC ⊥ＶA ,ＶC ⊥AB 知VC ⊥平面V ＡB .14.(1)证明：∵H 为△V ＢC 的垂心,∴VC ⊥B Ｅ,又AH ⊥平面VBC ，∴BE 为斜线A Ｂ在平面ＶBC 上的射影,∴AB ⊥VC .(2）解:由(1）知VC ⊥A Ｂ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥平面ABE ,在平面A ＢＥ上,作ＥＤ⊥AB ,又A Ｂ⊥ＶC ,∴ＡB ⊥面D ＥC .∴ＡB ⊥CD ,∴∠ＥDC 为二面角E —A Ｂ—C 的平面角,∴∠ＥD Ｃ=30°,∵AB ⊥平面VCD ,∴VC 在底面AB Ｃ上的射影为CD ．∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角，又VC ⊥A Ｂ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥面AB Ｅ,∴VC ⊥ＤE ,∴∠ＣE Ｄ＝90°,故∠ECD=６0°，∴VC 与面A ＢC 所成角为60°.1５.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ,ＥN ，则有ＥＮ∥CD ∥AB ∥ＡＭ,E Ｎ＝21C Ｄ=21AB =ＡＭ,故ＡMNE 为平行四边形. ∴MN ∥ＡＥ． ∵ＡE 平面P AD ,ＭN 平面P AD ，∴MN ∥平面ＰAD ．（2)∵ＰA ⊥平面ABCD ，∴P Ａ⊥AB .又A Ｄ⊥AB ,∴A Ｂ⊥平面P A Ｄ.∴A Ｂ⊥ＡE ，即ＡB ⊥ＭN .又C Ｄ∥ＡB ,∴MN ⊥ＣＤ．(3）∵P A ⊥平面ＡＢCD ,∴P A ⊥AD .又∠PDA =４5°，E 为PD 的中点.∴AE ⊥P Ｄ，即MN ⊥ＰD .又ＭN ⊥ＣD ,∴ＭN ⊥平面P ＣD .1６.如图(1)证:由已知A Ｂ＝４,ＡD ＝２，∠BAD =60°，故ＢD 2=ＡD 2＋A Ｂ2-2AD ·A Ｂc ｏs60°＝４＋16-2×2×4×21＝１2.又AB 2=ＡD ２+B Ｄ２,∴△A ＢＤ是直角三角形,∠AD Ｂ＝９0°,即AD ⊥ＢＤ.在△ＰDB 中，PD =3,PB ＝15，BD =12,∴PB 2＝PD 2+ＢD 2,故得ＰD ⊥B Ｄ.又P Ｄ∩AD ＝D ,∴BD ⊥平面P ＡＤ.(2)由BD ⊥平面P AD ，ＢＤ平面A ＢCD .∴平面P AD ⊥平面A ＢＣD .作PE ⊥AD 于Ｅ，又P Ｅ平面P ＡD ，∴PE ⊥平面ＡＢCD ,∴∠ＰD Ｅ是PD 与底面AB ＣＤ所成的角.∴∠PD Ｅ＝60°，∴P Ｅ=PD si ｎ60°＝23233=⨯．作ＥF ⊥ＢC 于Ｆ，连PF ,则PF ⊥BF,∴∠PF Ｅ是二面角P —BC —Ａ的平面角.又E Ｆ＝BD =12，在Rt △P ＥF 中,ｔａn ∠PFE ＝433223==EF PE .故二面角P —ＢＣ—A 的大小为ar ｃtan 43. 第15题图解第16题图解17.连结AC １,∵11112263A C CC MC AC ===. ∴Rt △ＡCC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠ＭA 1Ｃ１,∴∠Ａ1ＭC 1+∠ＡC １C ＝∠A １M Ｃ1+∠ＭＡ１Ｃ1=90°．∴Ａ1M ⊥AC 1,又ABC -A 1Ｂ1C １为直三棱柱，∴C Ｃ1⊥B １C 1,又B 1Ｃ1⊥Ａ1C 1,∴B １C １⊥平面AC 1M .由三垂线定理知AB 1⊥A 1M ．点评:要证ＡB 1⊥A 1Ｍ,因B 1C 1⊥平面A Ｃ１,由三垂线定理可转化成证AC １⊥A 1M ，而ＡC １⊥A 1M 一定会成立.1８.(1)证明：在正方形ABCD 中,∵△ＭＰD ∽△C ＰB ,且MD =21B Ｃ, ∴D Ｐ∶PB ＝ＭD ∶ＢC =1∶２.又已知D ′N ∶ＮB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得ＮＰ∥ＤＤ′，又DD ′⊥平面ABCD ，∴NP ⊥平面ABCD .(2）∵N Ｐ∥DD ′∥CC ′，∴N Ｐ、C Ｃ′在同一平面内,CC ′为平面ＮPC 与平面C Ｃ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面AB ＣD ，得CC ′⊥CD ,CC ′⊥CM ,∴∠ＭＣD 为该二面角的平面角.在Ｒt △M ＣD 中可知∠ＭＣD =arc ｔan 21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为ａ可得,等腰△MBC 面积S 1＝22a ,等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ,即为三棱锥C —Ｄ′ＭＢ的高．∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131='⋅, ∴.3621a S a S h =⋅=。

立体几何中的平行与垂直判定立体几何是研究三维空间中的几何关系和性质的一门学科，平行与垂直判定是其中重要的一部分。

在解题过程中，准确判定两个线、面或空间立体之间的平行与垂直关系至关重要。

本文将介绍几种常用的判定方法，并通过具体例子进行说明。

一、平面与平面的判定在立体几何中，平面与平面间的平行与垂直关系是经常需要判断的。

下面将介绍两种常用的判定方法。

1. 垂直判定两个平面互相垂直的条件是它们的法向量垂直。

设平面1的法向量为n1(x1, y1, z1)，平面2的法向量为n2(x2, y2, z2)，则平面1和平面2垂直的条件可以表示为：n1·n2 = 0（向量的点积为0）例如，假设平面1过点A(1, 2, 3)，其法向量为n1(2, -1, 3)；平面2过点B(4, -1, 2)，其法向量为n2(1, 2, -1)。

我们可以计算两个法向量的点积：n1·n2 = (2, -1, 3)·(1, 2, -1) = 2×1 + (-1)×2 + 3×(-1) = 0因此，平面1和平面2是垂直的。

2. 平行判定两个平面互相平行的条件是它们的法向量平行。

设平面1的法向量为n1(x1, y1, z1)，平面2的法向量为n2(x2, y2, z2)，则平面1和平面2平行的条件可以表示为：n1 = k·n2（k为非零实数）例如，假设平面1过点A(1, 2, 3)，其法向量为n1(2, -1, 3)；平面2过点B(4, -1, 2)，其法向量为n2(1, 2, -1)。

我们可以通过判断两个法向量的比例关系来确定其是否平行。

在本例中，两个法向量的各个分量之间的比例并不相等，因此平面1和平面2不是平行的。

二、直线与直线的判定在立体几何中，直线与直线的平行与垂直关系也经常需要判断。

下面将介绍两种常用的判定方法。

1. 垂直判定两条直线互相垂直的条件是它们的方向向量垂直。

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

ααα⊂⇒∈∈∈∈lBAlBlA,,,①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）llP∈=⋂⇒⋂∈P且βαβα①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。

公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面确定一个平面不共线CBACBA,,,,⇒用来证明多点共面，多线共面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面αααα⊂∈⇒∉aAA,使，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒=⋂baPba,使，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒baba,使，有且只有一个平面∥公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

ααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

baabb∥∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂=⋂ββαβ（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.βαααββ∥∥∥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊂=⋂baObaba（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

βαβα∥⇒⎭⎬⎫⊥'⊥'OOOO（6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示xx年xx月xx日contents •空间向量基本概念及性质•空间向量的坐标表示•立体几何中空间向量的应用•空间向量与立体几何的结合•例题分析和解答目录01空间向量基本概念及性质三角形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。

其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和平行四边形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。

其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和对于任意一个实数$r$和任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$。

其数乘向量$r\overset{\longrightarrow}{a}$等于$r$与$\overset{\longrightarrow}{a}$在平面上的投影向量的数乘向量的长度：对于任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$，其长度记作$\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$，其中$|\overset{\longrightarrow}{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$。

对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。

设$\theta$为向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角空间向量的夹角及垂直、平行关系向量的垂直：如果两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$90^{\circ}$或者一个向量是另一个向量的零向量，则称这两个向量互相垂直。

立体几何证垂直的方法
证明两条线段垂直的方法通常有以下几种：
1. 垂直线段的定义：根据垂直线段的定义，如果两条线段的斜率乘积为-1，则它们是垂直的。

可以通过计算两条线段的斜率并判断它们的乘积是否为-1。

2. 垂直平分线：如果一条线段上的点到另一条线段的距离都相等且垂直于另一条线段，则它们是垂直的。

可以通过计算两条线段上的某个点到另一条线段的距离，并判断这些距离是否相等。

3. 垂直平行线：如果两条平行线段与第三条互相垂直，则它们本身也是垂直的。

可以通过找到与两条平行线段都垂直的第三条线段，并判断它们之间的关系。

4. 正交投影：如果两条线段在平面上的正交投影相交，则它们是垂直的。

可以将两条线段的正交投影投影到平面上，并判断它们是否相交。

以上是一些常见的证明两条线段垂直的方法，具体证明方法还要根据具体的题目和条件来进行选择和应用。

立体几何中不易建系的用空间向量证明垂直问题。

1. 引言1.1 概述立体几何是数学中的一个重要分支，研究空间中的图形和特定关系。

建系问题是立体几何中一个常见的难题，它涉及到如何确定或构建一个合适的坐标系来描述和表示空间中的元素和关系。

在解决建系问题时，传统的方法存在一定局限性和困难，例如难以应对复杂的几何结构、缺乏普适性等。

1.2 文章结构本文将通过引入空间向量理论来探讨解决立体几何中不易建系的问题。

文章分为以下几个部分：- 引言：介绍本文的背景和论文结构。

- 立体几何中的建系问题：阐述建系定义与重要性、传统方法的局限性与困难，以及空间向量在解决建系问题中的优势。

- 空间向量证明垂直问题的基本原理与方法：讨论垂直关系的定义与特征、空间向量表示垂直关系的有效途径，以及应用空间向量证明垂直性质时需要考虑的因素。

- 实例分析：通过一个具体案例来说明使用空间向量证明垂直问题的步骤和推理过程，并对结果进行分析和讨论。

- 结论与展望：总结研究成果并得出结论，同时提出未来研究方向和进一步工作的展望。

1.3 目的本文的目的是介绍空间向量在解决立体几何中不易建系的问题中所起到的作用和优势，并通过实例分析来验证其有效性。

通过本文的研究，读者将能够理解空间向量在解决建系问题中的重要性，并了解使用空间向量证明垂直问题的基本原理与方法。

最终，本文希望为立体几何领域中建系问题的解决提供一种新思路和有价值的参考。

2. 立体几何中的建系问题：2.1 建系的定义与重要性：在立体几何中，建系是指通过选取适当的点或向量作为参照，构建坐标系或基底来描述和表示空间中的几何事物或运动。

建系是解决立体几何问题和进行进一步分析的基础，它可以帮助我们确定方向、测量距离和角度，从而推导出更多关于空间图形、运动和变换的性质。

2.2 建系方法的局限性与困难：传统的建系方法主要包括平行四边形法、角平分线法、垂直线法等。

然而，这些方法在实际应用中存在一定的局限性和困难。

高三数学 立体几何中的垂直问题 知识精讲 苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何中的垂直问题二. 高考要求：1. 理解直线和平面垂直的概念掌握直线和平面垂直的判定定理；2. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理。

3. 通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法；（5）向量法。

三. 知识点归纳：1. 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。

其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面足。

直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α。

2. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

3. 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

4. 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

5. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 。

其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理。

⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

6. 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

7. 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

了解解析几何中的立体几何问题解决高中数学题解析几何是高中数学中的一个重要分支，它可以通过运用代数和几何的知识来解决各种几何问题。

其中，立体几何是解析几何中的重要内容之一。

本文将主要介绍如何利用解析几何的方法解决高中数学中的立体几何问题。

一、直线与平面的相交问题在解决立体几何问题时，我们常常需要考虑直线与平面的相交问题。

对于给定的平面方程ax + by + cz + d = 0和直线方程x = x_0 + lm, y = y_0 + ln, z = z_0 + ln，我们可以通过将直线方程代入平面方程，得到方程组ax_0 + by_0 + cz_0 + d + lam + lbn + lcn = 0。

从中可以解出l的值，即可确定直线与平面的交点坐标。

二、直线的相对位置关系在解析几何中，我们还经常需要研究直线的相对位置关系。

具体来说，有以下几种情况需要注意：1. 平行关系：对于给定的两条直线L1和L2，如果它们的方向向量平行，则可以判定L1与L2平行。

2. 垂直关系：对于给定的两条直线L1和L2，如果它们的方向向量垂直，则可以判定L1与L2垂直。

3. 相交关系：对于给定的两条直线L1和L2，如果它们既不平行也不垂直，则可以判定L1与L2相交。

利用上述关系，我们可以通过解出直线方程的方向向量，并进行相应的判断。

三、平面的相对位置关系与直线类似，我们在解析几何中也需要研究平面的相对位置关系。

具体来说，有以下几种情况需要注意：1. 平行关系：对于给定的两个平面P1和P2，如果它们的法向量平行，则可以判定P1与P2平行。

2. 垂直关系：对于给定的两个平面P1和P2，如果它们的法向量垂直，则可以判定P1与P2垂直。

3. 相交关系：对于给定的两个平面P1和P2，如果它们既不平行也不垂直，则可以判定P1与P2相交。

同样，我们可以通过解出平面方程的法向量，并进行相应的判断。

四、空间几何体的体积计算在解决立体几何问题时，我们还需要掌握一些空间几何体的体积计算方法。

高中几何知识解析立体几何中的正交投影在几何学中，正交投影是一种将三维物体投影到二维平面上的方法。

它在立体几何的研究中具有重要的应用。

本文将对高中几何知识中的正交投影进行解析，探讨其原理和应用。

一、正交投影的原理正交投影是将三维物体投影到垂直于某一平面上的二维平面上。

在正交投影中，我们可以选择不同的视点和投影平面，从而得到不同的投影结果。

在解析正交投影原理时，我们可以以一个简单的长方体为例。

假设我们有一个长方体，它的边长分别为a、b、c。

为了进行正交投影，我们选择一个垂直于底面的平面作为投影平面。

当我们将长方体放置在该平面上时，底面的四边形在投影平面上呈现出一个矩形。

投影平面上的矩形宽度是由平行于长方体底面的边决定的，而高度则由长方体的高度决定。

所以，经过投影后，长方体在投影平面上的投影呈现为一个矩形，其长和宽与长方体的尺寸有关。

二、正交投影的应用正交投影在实际应用中有着广泛的应用。

下面我们将讨论几个与正交投影相关的应用领域。

1. 工程制图在工程制图中，正交投影是一种常用的绘图方法。

工程师和设计师使用正交投影将三维物体的形状和尺寸转化为平面上的二维图像。

这样可以更清楚地展示物体的外观和尺寸，方便进行制造和装配。

2. 建筑设计建筑设计师使用正交投影来展示建筑物的外观和结构。

通过对建筑物各个部分的投影，设计师可以更准确地分析和评估建筑物的特点和问题。

正交投影也用于绘制建筑蓝图和模型，以便实施建设。

3. 机械设计在机械设计中，正交投影被广泛用于制造和装配工程。

通过正交投影，工程师可以准确地表示机械零件的形状和尺寸。

这有助于确保零件之间的相互配合，提高生产效率和质量。

4. 计算机图形学在计算机图形学中，正交投影是一种重要的图像渲染技术。

通过应用正交投影，计算机可以将三维模型转化为二维图像，从而在屏幕上显示出来。

这使得计算机图形学在游戏开发、虚拟现实和动画制作等领域得到了广泛应用。

三、总结正交投影是一种重要的几何学概念，广泛应用于工程制图、建筑设计、机械设计和计算机图形学等领域。

高考立体几何知识点分布立体几何是高中数学中的重要内容之一，也是高考中必考的知识点。

在高考中，立体几何的知识点分布广泛，不同年份的考题涉及的内容也有所不同。

本文将分析高考立体几何知识点的分布情况，帮助学生更好地准备高考。

1.平面与直线的位置关系在立体几何中，平面与直线的位置关系是一个基本的知识点。

高考试卷中常常涉及平面与直线的相交、平行和垂直等问题。

例如，要求判断两个平面是否相交、两条直线是否相交等。

此类题目需要掌握平面与直线的方程，灵活运用相关的几何定理和性质。

2.立体的表面积与体积计算立体的表面积和体积是高考中常见的题型。

对于常见的几何体，如长方体、正方体、圆柱体等，需要准确计算其表面积和体积。

同时，还要能够应用这些计算结果解决实际问题。

例如，给定一个容器的体积和尺寸，要求计算能够装入其中的最大物体的体积。

3.立体图形的投影在立体几何中，图形的投影是一个重要的概念。

高考中常常要求画出某个几何体在不同方向上的投影，或者根据已知的投影图像来还原几何体的形状。

此类题目需要掌握正交投影和斜投影的基本方法，理解投影的本质，并且具备良好的空间想象能力。

4.球与球面球与球面是立体几何中的重要概念。

高考中经常涉及球的体积、表面积以及球表面上的点与点的位置关系等问题。

此外，还需要掌握球面上的切线、切平面以及球内部和外部的点与球面的位置关系。

掌握球与球面的性质，对解决相关题目非常有帮助。

5.空间几何体的相交关系在高考中，空间几何体的相交关系也是一个重要的考点。

此类题目常常要求判断两个或多个几何体是否相交，并求出它们相交的部分的性质。

例如，判断两个平面是否相交，或者判断一个点是否在某个几何体内部。

理解几何体的相交关系，需要掌握相关的几何定理和性质，具备一定的逻辑思维能力。

以上是的一些主要内容。

在备考过程中，学生应该注重掌握基本概念和性质，理解几何定理的证明和应用，并多进行真题训练，提高解题能力和思维灵活性。

此外，空间想象能力的培养也是非常重要的，只有通过多看、多思考、多动手实践才能够获得。

第5节 垂直关系最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.(2)判定定理与性质定理⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥ba ∩b ＝O a αb α⇒l ⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角；(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理⎭⎬⎫l⊥αlβ⇒α⊥β⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥alβ⇒l⊥α[常用结论与微点提醒]1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.3.线线、线面、面面垂直间的转化诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l α或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误. (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(教材习题改编)下列命题中不正确的是()A.如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析根据面面垂直的性质，A不正确，直线l∥平面β或lβ或直线l与β相交.答案 A3.(2018·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且mαB.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案 C4.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案 C5.边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则折叠后AC 的长为________.解析 如图所示，取BD 的中点O ，连接A ′O ，CO ，则∠A ′OC是二面角A ′－BD －C 的平面角， 即∠A ′OC ＝90°.又A ′O ＝CO ＝22a ，∴A ′C ＝a 22＋a 22＝a ，即折叠后AC 的长(A ′C )为a . 答案 a考点一 线面垂直的判定与性质【例1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点.证明： (1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵PA ⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又∵AC ⊥CD ，且PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC .又AE 平面PAC ， ∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC . 由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， ∴AE ⊥平面PCD .又PD 平面PCD ，∴AE ⊥PD . ∵PA ⊥底面ABCD ，AB平面ABCD ，∴PA ⊥AB . 又∵AB ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面PAD ，又PD平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l β⇒l ⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 【训练1】 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB . 求证：PA ⊥CD .证明 因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB . 在Rt △ABC 中，由3AC ＝BC 得，∠ABC ＝30°. 设AD ＝1，由3AD ＝DB 得，DB ＝3，BC ＝2 3. 由余弦定理得CD 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 30°＝3， 所以CD 2＋DB 2＝BC 2，即CD ⊥AB . 因为PD ⊥平面ABC ，CD平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ∩AB ＝D 得，CD ⊥平面PAB ， 又PA平面PAB ，所以PA ⊥CD .考点二 面面垂直的判定与性质【例2】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： (1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .证明 (1)∵平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】(2017·北京卷)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积.(1)证明 ∵PA ⊥AB ，PA ⊥BC ， AB平面ABC ，BC平面ABC ，且AB ∩BC ＝B ，∴PA ⊥平面ABC ，又BD平面ABC ，∴PA ⊥BD .(2)证明 ∵AB ＝BC ，D 是AC 的中点， ∴BD ⊥AC .由(1)知PA ⊥平面ABC ，∵PA 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC .∵平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，BD 平面ABC ，BD ⊥AC ， ∴BD ⊥平面PAC . ∵BD平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ，(3)解 ∵PA ∥平面BDE ， 又平面BDE ∩平面PAC ＝DE ，PA 平面PAC ，∴PA ∥DE .由(1)知PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC . ∵D 是AC 的中点，∴E 为PC 的中点， ∴DE ＝12PA ＝1.∵D 是AC 的中点，∴S △BCD ＝12S △ABC ＝12×12×2×2＝1， ∴V E －BCD ＝13×S △BCD ×DE ＝13×1×1＝13. 考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究) 命题角度1 多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】 (2017·山东卷)由四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1－B 1CD 1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD . (1)证明：A 1O ∥平面B 1CD 1；(2)设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1. 证明 (1)取B 1D 1的中点O 1，连接CO 1，A 1O 1，由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E，EM平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度2平行垂直中探索性问题【例3－2】如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点.(1)证明：AE∥平面BDF.(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明连接AC交BD于O，连接OF，如图①.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点，∴OF为△ACE的中位线，∴OF∥AE，又OF平面BDF，AE平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)解当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH.∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.命题角度3空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】(2017·天津卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD ∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(1)解如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，PD平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，故cos∠DAP＝ADAP＝55.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)证明由(1)知AD⊥PD，又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)解过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF 和平面PBC所成的角.由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝2 5.在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.【训练3】（2018·延安调研）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG.(2)求二面角P－AD－C的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明因为PD＝PC且点E为CD的中点，所以PE⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，所以PE⊥平面ABCD，又FG平面ABCD，所以PE⊥FG.(2)解由(1)知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又AD⊥CD，PE∩CD＝E，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PD，∴∠PDC为二面角P－AD－C的平面角，在Rt△PDE中，PD＝4，DE＝3，∴PE＝16－9＝7，∴tan∠PDC＝PEDE＝73.故二面角P－AD－C的正切值为7 3.(3)解如图，连接AC，∵AF＝2FB，CG＝2GB，∴AC∥FG.∴直线PA与FG所成角即直线PA与AC所成角∠PAC.在Rt△PDA中，PA2＝AD2＋PD2＝25，∴PA＝5.又PC＝4.AC2＝CD2＋AD2＝36＋9＝45，∴AC＝3 5.又cos∠PAC＝PA2＋AC2－PC22PA·AC＝25＋45－162×5×35＝925 5.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为95 25.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析因为α∩β＝l，所以lβ，又n⊥β，所以n⊥l.答案 C2.(2018·福州质检)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥m⇒l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内.故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件.答案 B3.(2018·衡水中学质检)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析因AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD.又AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD.所以D在平面ABC内的射影必在交线AB上.答案 A4.(2018·广州一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nB.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC.若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD.若α∥β，mα，nβ，则m∥n解析若α⊥β，mα，nβ，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，mα，nβ，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，mα，nβ，则m∥n或m，n异面，故D错误.答案 B5.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又BE∩DE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.答案 C二、填空题6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.解析∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形. 答案 47.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.解析连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝22，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝AA1AC1＝1 3.答案1 3三、解答题9.(2016·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.(1)证明因为PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PC ⊥DC .又因为AC ⊥DC ，且PC ∩AC ＝C ，所以DC ⊥平面PAC .(2)证明 因为AB ∥CD ，DC ⊥AC ，所以AB ⊥AC .因为PC ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，所以PC ⊥AB .又因为PC ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面PAC .又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAC .(3)解 棱PB 上存在点F ，使得PA ∥平面CEF .理由如下：取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF ，又因为E 为AB 的中点，所以EF ∥PA .又因为PA平面CEF ，且EF 平面CEF ，所以PA ∥平面CEF .10.(2018·九江调研)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，现在沿AE 将三角形ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列问题：(1)在线段AB 上是否存在一点K ，使BC ∥平面DFK ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面ADE ⊥平面ABCE ，求证：平面BDE ⊥平面ADE .(1)解 如图，线段AB 上存在一点K ，且当AK ＝14AB 时，BC ∥平面DFK .证明如下：设H 为AB 的中点，连接EH ，则BC ∥EH .∵AK ＝14AB ，F 为AE 的中点，∴KF ∥EH ，∴KF ∥BC ，∵KF 平面DFK ，BC 平面DFK ，∴BC ∥平面DFK .(2)证明 ∵在折起前的图形中E 为CD 的中点，AB ＝2，BC ＝1，∴在折起后的图形中，AE ＝BE ＝2，从而AE2＋BE2＝4＝AB2，∴AE⊥BE.∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE平面ABCE，∴BE⊥平面ADE，∵BE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ADE.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G 是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，B正确.∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确.∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确.由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确.答案 B12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的命题序号是________.①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.解析因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又AB平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.答案④13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A－PD－C的正弦值.(1)解在四棱锥P－ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P－ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC，∴AE⊥CD.由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示. 由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则可证得AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A －PD －C 的平面角.由已知，可得∠CAD ＝30°.设AC ＝a ，得PA ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a .在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA ·AD PD ＝a ·233a 213a＝277a .在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144.所以二面角A －PD －C 的正弦值为144.。