2020年新高考数学核心知识点25.1 空间向量方法--空间的角(精讲精析篇)(学生版)

高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点一、空间向量的概念与表示空间向量是指具有大小、方向和作用线的量，可以用一个有向线段来表示。

设 A、B 是空间中的两点，用线段 AB 表示的向量称为向量AB，记作⃗AB 或 AB。

二、向量的加法与减法1. 向量的加法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的和，记作⃗AB + ⃗BC = ⃗AC。

2. 向量的减法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的差，记作⃗AB - ⃗BC = ⃗AC。

三、数量积与向量积1. 数量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量 ⃗b = (x₂, y₂, z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的数量积为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。

2. 数量积的性质：- 交换律：⃗a·⃗b = ⃗b·⃗a- 结合律：(k⃗a)·⃗b = k(⃗a·⃗b) = ⃗a·(k⃗b) (k 为常数)- 分配律：⃗a·(⃗b + ⃗c) = ⃗a·⃗b + ⃗a·⃗c- ⃗a·⃗a ≥ 0，当且仅当⃗a = ⃗0 时，⃗a·⃗a = 03. 向量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量⃗b = (x₂, y₂,z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的向量积为⃗a × ⃗b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。

4. 向量积的性质：- ⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a- (k⃗a) × ⃗b = ⃗a × (k⃗b) = k(⃗a × ⃗b) (k 为常数)- ⃗a × ⃗b = ⃗0，当且仅当⃗a 与 ⃗b 共线或其中一个为⃗0 时，⃗a × ⃗b = ⃗0四、平面与空间向量的关系1. 平面方程的向量表示：设平面过点 A(x₁, y₁, z₁)，且法向量为 ⃗n = (A, B, C)，则平面上任意一点 M(x, y, z) 满足向量⃗AM·⃗n = 0。

高三数学空间角与空间距离的计算通用版【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】 【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1. 空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X 围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，2π） ②直线与平面所成的角θ∈[0，2π] ③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； ③求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法： （ⅰ）根据定义； （ⅱ）过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB （垂足为B ），或棱l 的垂线AC （垂足为C ），连结AC ，则∠ACB ＝θ或∠ACB ＝π－θ（图2）；（ⅳ）设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S ‘，则cos θ＝SS '．2. 空间的距离问题 （1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是： 一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值． 此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1. 三棱锥P-ABC 中，∠ABC ＝90，PA ＝1，AB ＝3，AC ＝2，PA ⊥平面ABC.（1）求直线AB 与直线PC 所成的角； （2）求PC 和面ABC 所成的角； （3）求二面角A-PC-B 的大小．PA BC解：（1）作矩形ABCD.∴AB 和PC 所成角即为CD 和PC 所成角，且CD ⊥PD ．CD ＝3，AD ＝1，PD ＝2，tanPCD ＝3632=.故AB 和PC 所成角为arctan 36（2）∵PA ⊥面ABC ，PC 和面ABC 所成角即为∠ACP ，求得tanACP ＝21， ∴∠ACP ＝arctan21 （3）∵PA ⊥面ABC ，∴面PAC ⊥面ABC ，过B 作BG ⊥AC 于G ，则BG ⊥面PAC.过G 作GH ⊥PC 于H ，连接BH ，则BH ⊥PC ． ∴∠BHG 为二面角A-PC-B 的平面角． 在Rt △ABC 与Rt △PBC 中，PB ＝2，BC ＝1，AC ＝2，AB ＝3∴PC ＝5∴BH ＝52，BG ＝23． ∴sinBHG ＝4155223==BH BG ∴∠BHG ＝arcsin 45．故二面角A-PC-B 的大小为arcsin 45．例2. 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点， （1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小； （3）求点1C 到平面AEC 的距离．解：（1）取AC 中点F ，连接DF ．∵ D 是1AC 的中点，F∴DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点， ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，DE ＝BF ．∵1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，∴1BB ⊥BF ．又∵F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，∴BF ⊥AC ，a BF 23=． ∵1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，∴BF ⊥1CC ，∴BF ⊥面11A ACC ， 又∵⊂1AC 面11A ACC ，∴BF ⊥1AC ， ∵DE ∥BF ，∴DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，∴DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=． （2）∵11//CC BB ，DE ⊥1BB ， ∴DE ⊥1CC ， 又∵为DE ⊥1AC ，∴DE ⊥面11A ACC ． 又⊂DE 面1AEC ，∴面1AEC ⊥面1ACC ， ∴二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅， 所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 23【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念．它是空间图形中的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视．【典型例题分析】例1. （2003全国卷文）如图，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解法1：（1）连结AC 交BD 于点O ，则点O 为BD 中点，连OF ，则可证OCEF 为矩形， 故EF ⊥CC 1 ，EF ∥AC ．又可证AC ⊥平面BD 1 ∴AC ⊥BD 1，∴EF ⊥BD 1， 故 EF 为BD 1与CC 1的公垂线．O（2）连结D 1E ，则有三棱锥D1-DBE 的高d 即为点1D 到平面BDE 的距离． 由已知可证三角形DBE 为边长为2的正三角形，故2331311⋅⋅=⋅⋅=∆-d S d V DBE DBE D ； 又31311111=⋅===∆---DBD DBD C DBD E DBE D S CO V V V∴3123=d ∴332=d ， 即1D 到平面BDE 的距离为332解法2：解（1）以D 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(D ，)2,0,0(1D)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)1,1,0(E ，)1,21,21(F ，∴)0,21,21(-=EF ，)2,1,1(1--=BD ，)2,0,0(1=CC∴01=⋅BD EF ，01=⋅CC EF ；∴1BD EF ⊥，1BD EF ⊥ 又EF 与CC 1、BD 1分别交于E 、F ，故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （2）由（1）)0,1,1(--=BD ，)1,0,1(-=BE ，)2,1,1(1--BD ， 设 平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =，则BD n ⊥，BE n ⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ， ∴⎩⎨⎧=+-=--00z x y x ， 即 ⎩⎨⎧=-=z x y x ，∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为33232||1===n n BD d ， 即为所求．例2. （2006全国卷Ⅲ文20）如图，12l l ，是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A B ，在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==．（Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．Ｃ1l2解法一：（Ⅰ）由已知221l MN l l ⊥⊥，，1MNl M =，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN ⊥==，，可知AN NB =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， AC NB ∴⊥．（Ⅱ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB ∠=︒，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心， 连结BH ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ∠===．N1l l解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -．1l令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，．（Ⅰ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥， 2l ∴⊥平面ABN ．2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，．于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， ∵0011=+-=⋅NB AC AC NB ∴⊥． （Ⅱ）(11)AC m =，，，(11)BC m =-，，，AC BC ∴=．又已知60ACB ∠=︒，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NB =NC =(0C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H ，设(0)(0)H λλ>，．(012)(01HN MC λλ∴=--=，，，，，．∵021=--=⋅λλMC HN ，∴31=λ1033H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，，可得2033HN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 连结BH ，则1133BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，∵092920=-+=⋅BH HN ，HN BH ∴⊥，又MC BH H =， HN ∴⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．又(110)BN =-，，， ∴3623234cos =⨯=⋅=∠BN BH BN BH NBH【综合测试】一、选择题1、已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 与b 成30°，在直线a 上取AP ＝4，则点P 到直线b 的距离是（ ）A 、22B 、25C 、142D 、5 2、将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A 、a 43B 、a 43C 、a 23 D 、64a 3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 4、二面角α-AB-β大小为θ（0°≤θ≤90°），AC ⊂α，∠CAB ＝45o ，AC 与平面β所成角为30o ，则θ角等于（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 5、（2005某某卷文4）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ）A 、23 B 、22C 、21 D 、336、已知直线a 及平面α，a 与α间的距离为d ．a 在平面α内的射影为a '，l 为平面α内与a '相交的任一直线，则a 与l 间的距离的取值X 围为（ ）A 、[),d +∞B 、(),d +∞C 、(]0,dD 、{}d二、填空题 7、（2005某某卷理12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于____________．8、已知∠60o ，则以OC三、解答题：9. C 点到AB 1ABC DA 1E B 1C10.（2006理17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．B[参考答案]一、选择题1. 选A 提示：过P 做直线b 的垂线2. 选A 提示：用异面直线距离公式求解3. 选D 提示：过A 1做OP 的平行线4. 选B 提示：过C 做平面β的垂线5. 选B. 提示：转化为求B 1到平面AB C 1D 1的距离6. 选D 提示：转化为a 与α间的距离 二、填空题7.2. 提示：将三角形ABC 补成正方形ACBD. 8. 33- 提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：9. 解：由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1，∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE ＝23，AC ＝1 ，∴CD ＝.22∴21)()(22=-=CD CE DEABC DA 1E B 1C 110. 解法一：（Ⅰ）（Ⅱ）（略 解见第45讲【达标测试】第9题）（Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．CDAB AC ⊥，OG AC ∴⊥． 又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥． EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，1122EF PA FO AB ==，，word11 / 11 又PA AB EF FO =，⊥，45135EOF EOG ∴∠=∠=，，∴二面角E AC B --的大小为135．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图．y 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==-，，，，，，从而0=⋅PB AC ，AC PB ∴⊥．（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222ab b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴=，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ， PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，00=⋅=⋅∴AC OG AC OE ，．OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．22cos -=⋅<OGOE OG OE ．135EOG ∴∠=． ∴二面角E AC B --的大小为135．。

解析高考几何题中的空间向量知识点在高考数学中，几何题一直是重点和难点，而空间向量的引入为解决这类问题提供了有力的工具。

空间向量不仅能够简化复杂的几何推理，还能帮助我们更直观、高效地找到解题思路。

接下来，咱们就深入剖析一下高考几何题中涉及的空间向量知识点。

一、空间向量的基本概念空间向量是在空间中既有大小又有方向的量。

它与平面向量类似，但多了一个维度。

一个空间向量可以用有向线段来表示，其长度表示向量的模，方向表示向量的指向。

在直角坐标系中，空间向量可以用坐标形式表示，比如向量 a ＝（x, y, z) 。

通过坐标，我们可以方便地进行向量的运算。

二、空间向量的运算1、加法和减法两个空间向量的加法和减法遵循三角形法则和平行四边形法则。

通过坐标运算，若向量 a ＝（x1, y1, z1) ，向量 b ＝（x2, y2, z2) ，则向量 a ＋ b ＝（x1 ＋ x2, y1 ＋ y2, z1 ＋ z2) ，向量 a b ＝（x1 x2, y1 y2, z1 z2) 。

2、数乘运算一个实数 k 乘以一个空间向量 a ，得到的向量 k a 的模是原向量模的｜k| 倍，方向当 k ＞ 0 时与原向量相同，当 k ＜ 0 时与原向量相反。

坐标运算为 k a ＝（kx, ky, kz) 。

3、数量积空间向量的数量积 a · b ＝｜a| ｜b| cosθ ，其中θ 是两个向量的夹角。

通过坐标运算，若向量 a ＝（x1, y1, z1) ，向量 b ＝（x2, y2, z2) ，则 a · b ＝ x1x2 ＋ y1y2 ＋ z1z2 。

数量积的应用非常广泛，比如可以用来求向量的模、判断向量的垂直关系等。

三、空间向量在证明平行与垂直关系中的应用1、平行关系若向量 a ＝（x1, y1, z1) ，向量 b ＝（x2, y2, z2) ，当存在实数 k ，使得 a ＝ k b 时，向量 a 与向量 b 平行。

高考数学中的空间向量解析技巧高考数学是每个学生都要面对的考试之一，而在数学中，空间向量解析技巧是一个极为重要的知识点。

空间向量与平面向量的计算和性质有着很大的不同之处，空间解析几何是高中数学的一个重要部分。

在高考数学中，空间向量解析技巧的掌握直接关系到考生是否能在限定时间内完成高考数学题目，因此在备考时，空间向量解析技巧也是很必要的。

一、空间向量的概念空间向量是指空间中具有大小、方向和作用点（或起点）的量。

在空间中，空间向量可以用一个有向线段表示，这个有向线段的起点在空间中的任意一点，终点在该点的任意方向上。

二、空间向量的加、减、数乘与数量积空间向量和平面向量的加减法原理是一样的，只是需要注意方向和长度，即可以将空间向量看做是平面向量的推广，因此空间向量的加减法也需要考虑方向和长度。

而数乘就是一个向量与一个标量的积，在空间向量中也是这样，标量代表的是一个数，即乘以一个数来改变向量的长度和方向。

而空间向量的数量积是指将两个向量对应位置的数相乘，然后将所得的积相加，这就是点积公式，点积的值可以表示两个向量之间的关系。

三、空间向量的叉积在空间向量的计算中，叉积是一个非常重要的概念，它也是高考中最容易出现的空间向量问题之一。

空间向量的叉积是指将两个向量的值按照特定的顺序叉乘，得到叉积向量。

叉积向量垂直于这两个向量组成的平面，并且满足右手定则，也就是将右手伸出，让拇指指向第一个向量，食指指向第二个向量，那么中指的方向就是叉积向量的方向。

叉积向量的大小可以通过公式计算，它的值等于第一个向量和第二个向量构成的平行四边形的面积。

四、利用空间向量解析技巧解题的具体方法在高考数学考试中，空间解析几何的应用范围很广，而空间向量解析技巧也是很重要的一部分。

当学生在面对空间向量解析的题目时，应该按照下面的步骤来解决问题：1、首先，理解题目的要求和根据题目所给的条件，画出相关的图形。

2、根据图形和条件，确定需要用到的向量和叉积，并且确定向量的方向和大小。

高考空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要概念之一，也是高考中常考的知识点。

掌握好空间向量的相关知识对于解题和理解几何概念都非常重要。

本文将为您总结高考空间向量的相关知识点，帮助您更好地备考高考。

一、空间向量的定义和表示方法空间向量是有大小和方向的量，通常用有序三元组表示。

设有两点A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)，则向量AB可以表示为：AB = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)二、空间向量的模、方向余弦和共线性1. 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，计算方式为：|AB| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]2. 向量的方向余弦：设向量AB与坐标轴的夹角分别为α、β、γ，则方向余弦分别为：cosα = (x₂-x₁) / |AB|cosβ = (y₂-y₁) / |AB|cosγ = (z₂-z₁) / |AB|3. 向量的共线性：若两个向量平行或反向平行，则称其共线。

当两个向量的坐标比例相等时，它们共线。

三、空间向量的运算1. 向量的加法：设有两个向量AB和CD，其和可以表示为：AB + CD = (x₂-x₁+x₄-x₃, y₂-y₁+y₄-y₃, z₂-z₁+z₄-z₃)2. 向量的数量乘法：设有一个向量AB和实数k，其数量乘积为：kAB = (kx, ky, kz)，其中x, y, z分别为向量AB的坐标3. 向量的点乘和叉乘：(1) 点乘：设有两个向量AB和CD，其点乘结果为：AB · CD = |AB||CD|cosθ，其中θ为两个向量夹角的余弦值(2) 叉乘：设有两个向量AB和CD，其叉乘结果为：AB × CD = (i, j, k)，其中i表示x轴分量，j表示y轴分量，k表示z 轴分量四、空间向量的应用1. 向量在平面内的投影：设有一个向量AB和平面α，向量AB在平面α上的投影为向量AC，计算公式为：AC = |AB|cosθ，其中θ为向量AB与平面α的夹角的余弦值2. 平面的方程：设平面α过点A(x₁,y₁,z₁)且法向量为n(a,b,c)，则平面α的方程为：ax + by + cz = d，其中d = ax₁ + by₁ + cz₁3. 空间向量的夹角：设有两个向量AB和CD，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (AB · CD) / (|AB||CD|)五、空间向量的坐标表示和平行四边形法则1. 坐标表示：空间中的向量可以通过坐标表示，即将向量的尾点移到坐标原点，将向量的起点坐标作为表示该向量的坐标。

空间角问题高三数学知识点空间角问题是高三数学中的重要知识点之一。

在解决空间角问题时，我们需要熟练掌握一系列概念、定理和计算方法。

本文将系统介绍空间角问题的相关内容，包括空间角的定义、分类和性质，以及求解空间角问题的具体方法和技巧。

一、空间角的定义和分类1.1 空间角的定义空间角是在三维空间中由两条射线形成的角。

它可以看作是平面角在立体空间中的推广。

通常用小写的希腊字母表示空间角，如α、β、γ等。

1.2 空间角的分类根据空间角的大小和位置关系，空间角可以分为以下几种类型：1) 零角：两条射线重合，形成的角为零角。

2) 锐角：两条射线夹角小于90度，形成的角为锐角。

3) 直角：两条射线夹角等于90度，形成的角为直角。

4) 钝角：两条射线夹角大于90度但小于180度，形成的角为钝角。

5) 平角：两条射线夹角等于180度，形成的角为平角。

二、空间角的性质空间角具有一系列重要的性质，掌握这些性质有助于我们解决空间角问题。

2.1 垂直性质若两个空间角互为互补角，则它们所对的两条射线垂直。

2.2 同位角性质若两个空间角由相同的两条射线所形成（其中一条射线相互重合），则这两个空间角互为同位角。

同位角具有以下性质：1) 同位角相等：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角也为α。

2) 同位角的补角关系：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角为180度减α的补角。

2.3 对顶角性质若两个空间角互为对顶角，则它们所对的两条射线互相重合。

三、求解空间角问题的方法和技巧3.1 判断空间角的类型在解决空间角问题时，首先要能够准确地判断空间角的类型。

可以通过观察两条射线的位置关系和夹角的大小来判断空间角是锐角、直角、钝角还是平角。

3.2 应用对顶角和同位角的性质对顶角和同位角的性质在求解空间角问题时经常被应用。

通过利用对顶角和同位角的性质，可以得到空间角的相关信息，进而解决问题。

3.3 运用向量方法在空间角问题的求解中，向量方法也是一种重要的技巧。

高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。

本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。

一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。

3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。

4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。

二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。

2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。

3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。

4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。

点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。

5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。

叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。

三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。

2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。

3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。

4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。

5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。

6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。

高中数学中的空间向量重点知识点归纳在高中数学中，空间向量是一个十分重要的概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学等学科中起到关键作用。

掌握空间向量的相关知识对于解决现实生活和学习中的问题具有重要意义。

本文将对高中数学中空间向量的重点知识点进行归纳总结。

1. 空间向量的概念空间向量是指空间中的有方向的线段，它由起点和终点确定，并且可以平移。

空间向量常用字母表示，如AB、CD等。

空间向量具有大小和方向两个重要特征，可以用坐标表示，也可以用向量的箭头和尾巴表示。

2. 向量的坐标表示向量的坐标表示是指用数值表示向量在坐标系中的位置。

在三维直角坐标系中，空间向量可以用三个有序实数表示。

通常我们用尖括号 < a, b, c > 表示一个向量，其中a、b、c分别表示向量在x、y、z轴上的分量。

例如向量AB可以表示为< x2-x1, y2-y1, z2-z1 >，其中A的坐标为(x1, y1, z1)，B的坐标为(x2, y2, z2)。

3. 向量的运算(1) 向量的加法向量的加法是指将两个向量相连接形成一个新的向量的运算。

假设有向量AB和向量BC，将它们的起点和终点相连得到一条新的向量AC，表示为向量AC = 向量AB + 向量BC。

向量的加法满足“平行四边形法则”，即将两个向量的起点相连得到的向量与两个向量终点相连得到的向量是相等的。

(2) 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

假设有向量AB，将其与实数k相乘得到一个新的向量kAB。

当k>1时，新向量与原向量的方向相同；当0<k<1时，新向量与原向量的方向相反；当k<0时，新向量与原向量的方向相反。

(3) 向量的点积向量的点积是指将两个向量进行数量乘法后再求和得到一个实数的运算。

假设有向量AB和向量AC，将它们的数量乘法相加得到一个实数AB·AC，表示为AB·AC = |AB| |AC| cosθ，其中θ表示两个向量之间的夹角，|AB|和|AC|分别表示两个向量的模长。

高中数学立体几何中的空间角解析立体几何是高中数学中的重要内容之一，其中空间角是立体几何中的一个重要概念。

本文将以具体的题目为例，详细介绍空间角的定义、性质和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用空间角。

一、空间角的定义和性质空间角是指由两条射线在同一平面内围成的角，也可以理解为由两条射线在三维空间中围成的角。

具体来说，设有两条射线OA和OB，它们在同一平面内，那么角AOB就是由这两条射线所围成的空间角。

空间角的度量单位与平面角相同，可以用度（°）或弧度（rad）来表示。

在解题中，我们通常使用度来度量空间角。

空间角具有以下性质：1. 两条射线的方向不同，所围成的空间角大小在0°到180°之间；2. 如果两条射线的方向相同，所围成的空间角大小为0°；3. 如果两条射线的反向延长线相交，所围成的空间角大小为180°。

二、空间角的解题技巧1. 利用空间角的定义和性质进行解题在解题过程中，我们可以根据空间角的定义和性质来推导出一些结论，从而解决问题。

例如，如果题目给出了两条射线的夹角，我们可以利用空间角的定义直接得出答案；如果题目给出了两条射线的方向，我们可以根据空间角的性质判断空间角的大小。

举例：已知射线OA与射线OB的夹角为60°，射线OC与射线OB的夹角为120°，求射线OA与射线OC的夹角。

解析：根据空间角的定义，射线OA与射线OC的夹角等于射线OA与射线OB的夹角加上射线OB与射线OC的夹角。

即所求角度为60°+120°=180°。

根据空间角的性质，当两条射线的反向延长线相交时，所围成的空间角大小为180°。

因此，射线OA与射线OC的夹角为180°。

2. 利用平面角的知识解决空间角问题在解决空间角问题时，我们还可以利用平面角的知识进行推导和计算。

由于空间角是由两条射线在同一平面内围成的角，所以可以将空间角转化为平面角进行计算。

高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。

接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。

一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。

它与平面向量类似，但存在于三维空间中。

一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。

零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。

单位向量：长度为\（1\）的向量。

二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。

若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。

空间向量高考知识点总结一、空间向量的定义与性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指有大小和方向的线段，可以用有向线段来表示，通常用小写字母表示。

2. 空间向量的性质：空间中的向量满足向量的相等、相反、共线和共面的性质。

3. 空间向量的运算：空间向量的加法、数量乘法、内积和叉乘等运算。

二、空间向量的坐标表示1. 空间向量的坐标表示：空间中的向量可以用坐标表示，一般用三元组表示。

2. 空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算包括向量相加、数量乘法和点积等运算。

三、空间向量的数量积1. 空间向量的数量积定义：两个向量的数量积又称内积，记作a·b，表示为|a||b|cosθ，其中θ为a、b之间的夹角。

2. 空间向量的数量积的性质：数量积具有对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。

3. 空间向量的数量积的几何意义：数量积可以用来计算向量的夹角、向量的投影以及向量的长度等。

4. 空间向量的数量积的应用：数量积可以用来解决空间中的几何问题，如判断两个向量的方向、判断点的位置、计算三角形的面积等。

四、空间向量的叉积1. 空间向量的叉积定义：两个向量的叉积，记作a×b，是另一个向量c，其大小等于以a、b为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在的平面。

2. 空间向量的叉积的性质：叉积具有反对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。

3. 空间向量的叉积的几何意义：叉积可以用来计算平行四边形的面积、判断向量的方向以及判断向量的共线性等。

4. 空间向量的叉积的应用：叉积可以用来计算平行四边形和平行六面体的体积、判断三角形的面积、判断四边形的面积等。

五、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：空间向量可以用来解决空间中的共线、共面、投影、距离、面积、体积等几何问题。

2. 空间向量在物理中的应用：空间向量可以用来描述力的合成、速度的方向、加速度的方向、质心的位置等物理问题。

3. 空间向量在工程中的应用：空间向量可以用来解决工程中的坐标系、平面构图、体积计算、力矩计算等问题。

空间向量知识点总结空间向量是数学中一个重要的概念，它在解析几何、物理学、工程学等多个领域中都有广泛的应用。

以下是空间向量的一些基础知识点总结：1. 空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，通常用一个箭头表示，箭头的起点和终点分别代表向量的起点和终点。

2. 空间向量的表示：空间向量可以用有序的三个实数来表示，即(x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在三个正交坐标轴上的分量。

3. 空间向量的运算：- 向量加法：两个向量相加，其结果向量的方向由第一个向量的起点指向第二个向量的终点，分量相加。

- 向量减法：向量减去另一个向量，结果向量的方向由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，分量相减。

- 数量乘法：一个向量乘以一个实数，结果向量的方向不变，其长度按实数的倍数缩放。

4. 向量的模：向量的模是向量长度的大小，可以通过勾股定理计算得出，即模长= √(x² + y² + z²)。

5. 向量的单位化：将一个向量除以其模，得到一个长度为1的单位向量。

6. 向量的点积（内积）：两个向量的点积是一个标量，其值等于两个向量对应分量乘积的和，即a·b = |a||b|cosθ，其中θ是两个向量之间的夹角。

7. 向量的叉积（外积）：两个向量的叉积是一个向量，其方向垂直于原来的两个向量，其大小等于原来两个向量构成的平行四边形的面积，计算公式为a×b = (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y -a_yb_x)。

8. 空间向量的坐标变换：在不同的坐标系下，同一个向量的坐标表示可能会不同，坐标变换可以通过旋转矩阵或者变换矩阵来实现。

9. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个新的向量，其方向与被投影的向量相同，长度是原向量在被投影向量方向上的分量。

10. 向量的线性相关与无关：如果一组向量可以通过线性组合得到零向量，则这些向量是线性相关的；反之，如果无法得到零向量，则这些向量是线性无关的。

空间向量角知识点总结一、空间向量的概念1、空间向量的引入在几何学中，我们常常需要表示空间中的物体或运动状态，这时就引入了空间向量的概念。

空间向量是指空间中的一条有方向的线段，它可以表示空间中任意一点与原点之间的位置关系。

空间向量通常用字母a, b, c等表示，向量a可以表示为a = (x, y, z)，其中x, y, z分别表示向量a在x轴、y轴、z轴上的投影。

2、空间向量的运算（1）空间向量的加法：向量a + 向量b = 向量c，表示向量c的起点在向量a的终点，终点在向量b的终点。

（2）空间向量的减法：向量a - 向量b = 向量c，表示向量c的起点在向量a的终点，终点在向量b的起点。

（3）空间向量的数乘：数乘k * 向量a = 向量b，表示向量b的长度是向量a的长度的k 倍，方向与向量a相同（k > 0）或相反（k < 0）。

3、空间向量的数量积空间向量的数量积也叫点积，表示为a·b，定义为|a|·|b|·cosθ。

其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b的夹角。

数量积的性质：（1）对称性：a·b = b·a（2）分配律：a·(b + c) = a·b + a·c（3）数乘结合律：(k·a)·b = k·(a·b)4、空间向量的向量积空间向量的向量积也叫叉积，表示为a×b，它是一个向量，其模表示为|a|·|b|·sinθ，方向垂直于a和b所在的平面，符合右手法则。

向量积的性质：（1）反对称性：a×b = -b×a（2）分配律：a×(b + c) = a×b + a×c（3）数乘结合律：k·(a×b) = (k·a)×b = a×(k·b)二、空间向量的角1、向量的夹角如果空间中有两个向量a和b，它们之间的夹角可以用余弦定理来求解。

空间角”攻略［题型分析高考展望］空间角包括异面直线所成的角，线面角以及二面角，在高考中频繁出现，也是高考立体几何题目中的难点所在•掌握好本节内容：首先要理解这些角的概念，其次要弄清这些角的范围，最后再求解这些角•在未来的高考中，空间角将是高考考查的重点，借助向量求空间角，将是解决这类题目的主要方法常考题型精析题型一异面直线所成的角例1在棱长为a的正方体ABCD —A I B I C I D I中，求异面直线BA i与AC所成的角•n点评（1）异面直线所成的角的范围是（0, ?］•求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上;② 证明作出的角即为所求的角;③ 利用三角形来求角•⑵如果题目条件易建立空间坐标系， 可以借助空间向量来求异面直线所成角：设异面直线11, 12的方向向量分别为 m i ，m 2，则l i 与12所成的角B 满足cos 0= |cos < m i , m 2〉|.变式训练1 （2014课标全国n ）直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，/ BCA = 90° M , N 分别是 A i B i , A 1C 1的中点，BC = CA = CC i ,贝U BM 与AN 所成角的余弦值为（）题型二直线与平面所成的角例 2 （2015 课标全国 n ）如图，长方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，AB = 16, BC = 10, AA 1= 8，点 E , F 分别在A 1B 1, D 1C 1 上, A 1E = D 1F = 4•过点E , F 的平面a 与此长方体的面相交，交线 围成一个正方形•（1） 在图中画出这个正方形 （不必说明画法和理由）;（2） 求直线AF 与平面a 所成角的正弦值•C. 30 10D.2 &点评(1)求直线I与平面a所成的角，先确定I在a上的射影，在I上取点作a的垂线，或观察原图中是否存在这样的线，或是否存在过I上一点与a垂直的面.(2)找到线面角、作出说明，并通过解三角形求之⑶利用向量求线面角：设直线I的方向向量和平面a的法向量分别为m, n,贝y直线I与平面a所成角B满足sin 0= |cos〈m, n> |,变式训练2如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB// CD , AC丄BD，垂足为H , PH是四棱锥的高，E为AD的中点.(1) 证明：PE丄BC;⑵若/ APB =/ ADB = 60 °求直线PA与平面PEH所成角的正弦值题型三.面角例3 （2015山东）如图，在三棱台DEF —ABC中，AB = 2DE , G, H分别为AC, BC的中点.（1）求证：BD //平面FGH ;⑵若CF丄平面ABC, AB丄BC, CF = DE, / BAC = 45 °求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.点评(i)二面角的范围是(0, n，解题时要注意图形的位置和题目的要求•作二面角的平面角常有三种方法.①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.(2) 用向量法求二面角的大小①如图(1) , AB、CD是二面角a—I —B的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小9=〈AB, CD > .(2)如图⑵(3), n i, n2分别是二面角a—I —3的两个半平面a B的法向量，则二面角的大小9满足cos 9= cos〈 n i, n2> 或—cos〈 n i, n2> .变式训练3 (2015安徽)如图所示，在多面体A1B1D1-ABCD，四边形AA1B1B, ADD1A1, ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1, D , E的平面交CD1于F.Ai D,（1）证明：EF // B i C.⑵求二面角 E — A i D — B i 的余弦值•高考题型精练1. （2015浙江）如图，已知△ ABC , D 是AB 的中点，沿直线 CD 将厶ACD 翻折成△ A ' CD ，所 成二面角ACD — B 的平面角为 a 贝U （ ）2. （2015北京朝阳区模拟）在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，点E 为BB i 的中点，则平面 A i ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为（ ）2B.2 3. （2014大纲全国）已知二面角 a — I —B 为60° AB? a,AB 丄I, A 为垂足，CD?伏C € I ，/ACD=135°，则异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为（4. （2014四川）如图，在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1 A.2 C.D. __2 2 B._3 4 CB. / A ' DB > aC.1CC 1上，直线OP 与平面A I BD 所成的角为 a 则sin a 的取值范围是（A.[~3，1]C 能鸥C . [ 3， 3 ] 5. 如图所示，在二棱柱 ABC —A iB iC i 中，AA 1 丄底面 ABC , AB = BC = AA i ,/ ABC = 90，点E 、F 分别是棱 AB 、BB i 的中点，则直线 EF 和BC i 所成的角是 ____________ .A6.正四棱锥S — ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO = OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是 __________ . 7. （2014四川）三棱锥A — BCD 及其侧（左）视图、俯视图如图所示.设M , N 分别为线段 AD , AB的中点，P 为线段BC 上的点，且 MN 丄NP.（1）证明：P 是线段BC 的中点；⑵求二面角 A — NP — M 的余弦值.B.[f ，1] 2t 2 ..D .["T ，1]8. (2015课标全国I )如图，四边形ABCD为菱形，/ ABC = 120 ° E, F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD , DF丄平面ABCD , BE = 2DF , AE丄EC.(1)证明：平面AEC丄平面AFC ,⑵求直线AE与直线CF所成角的余弦值(1)求平面FAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；⑵点Q 是线段BP 上的动点，当直线 CQ 与DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长.9. (2015江苏)如图，在四棱锥 n梯形，/ ABC = Z BAD = 2, P — ABCD 中，已知 PA 丄平面ABCD ，且四边形 ABCD 为直角PA = AD = 2, AB = BC = 1.10. （2015北京）如图，在四棱锥A —EFCB中，△ AEF为等边三角形，平面AEF丄平面EFCB , EF // BC, BC = 4, EF = 2a,/ EBC=Z FCB = 60° O 为EF 的中点.(1)求证：AO丄BE ;⑵求二面角F —AE —B的余弦值;⑶若BE丄平面AOC，求a的值.=60°第28练 空间角”攻略常考题型精析 例1解方法一因为 B A i = BA + B B i , AC = AB + BC , 所以 B A i AC =(BA + B B i ) (AB + BC) =BA A B + BA BC + EBB i AB + B B iBC.因为 AB 丄 BC , BB i 丄 AB , BB i 丄 BC , 所以 BA BC =0, BB i AB = 0,BB i BC = 0, BA AB =- a .所以 BA i AC = — a .又BA i AC = |BA i | |AC| cos < BA i , AC>,iC0S < BA i , AC >= 2a - .2a 一 2.所以〈BA i , AC > = i20°所以异面直线BA i 与AC 所成的角为60°方法二 连接A i C i , BC i ，则由条件可知 A i C i // AC ,从而BA i 与AC 所成的角即为BA i 与A i C i 所成的角，由于该几何体为边长为 a 的正方体，于是△ A i BC i 为正三角形,答案精析—a 2从而所求异面直线BA i与AC所成的角为60°=60°方法三由于该几何体为正方体,所以DA, DC, DD i两两垂直且长度均为a,于是以D为坐标原点，DA , DC ,元1分别为x, y, z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,于是有A(a,O,O), C(0, a,0), A i(a,O, a), B(a, a,0),从而AC = (—a, a,0), BA i = (0 , — a ,a),且|AC|= |B A i|= 2a , AC BA i=- a2,—a2-> -> a1••• cos〈AC, BA i〉= --------- =—一,1V2a ^2a 2,即〈AC , BA i〉= 120°,所以所求异面直线BA i与AC所成角为60°变式训练1 C ［由于/ BCA = 90° °三棱柱为直三棱柱，且BC = CA= CC1,可将三棱柱补成正方体建立如图所示空间直角坐标系设正方体棱长为2,则可得A(0,0,0), B(2,2,0) , M(1,1,2) , N(0,1,2),• BM = (1,1,2) —(2,2,0) = (—1, —1,2) , AN=(0,1,2).BM AN• cos〈 BM , AN>|BM||AN|='—1 2+ —1 2+ 22. 02+ 12+ 22= 6 • 5V3D10」例2解 ⑴交线围成的正方形 EHGF 如图:(2)作 EM 丄 AB ,垂足为 M ，贝U AM = A i E = 4, EM = AA i = 8.因为 EHGF 为正方形，所以 EH = EF = BC = 10.于是 MH =- EH 2— EM 2= 6,所以 AH = 10.以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(10,0,0), H(10,10,0), E(10, 4,8), F(0,4,8), FE = (10,0,0), HE = (0, — 6, 8).设 n = (x , y , z)是平面EHGF[n FE = 0,的法向量，贝U Tn HE = 0, 所以可取 n = (0,4,3).又A F = (— 10,4,8)，故 |cos 〈n , A F > |= |n丫=|n ||AF| 变式训练2 (1)证明以H 为原点，HA , HB , HP 所在直线分别为x , y , z 轴，线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图),设 C(m,0,0), P(0,0, n) (m<0, n>0),则 D(0, m,0), E 2 ,罗,0 .可得 PE = 1, m , — n , BC = (m , — 1,0). T T m m因为 PE BC = - — - + 0= 0,所以 PE 丄 BC.10x = 0, 即—6y + 8z = 0,所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为 4,5 15 .则 A(1,0,0), B(0,1,0). M H B⑵解由已知条件可得m=-身，n= 1,E1,P(0,0,1).设n = (x, y, z)为平面PEH的法向量,n H E=0，即2「^y"，z= 0.n HP = 0,因此可以取n = (1, ,3, 0).又PA= (1,0，- 1),所以|cos <PA, n> 1= ¥•所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为-q2.例3 (1)证明如图，连接DG , CD，设CD n GF = O,连接OH ,在三棱台DEFABC中，AB = 2DE,G为AC的中点，可得DF // GC,DF = GC,所以四边形DFCG为平行四边形则O为CD的中点，又H为BC的中点,所以OH // BD , 又OH?平面FGH , BD?平面FGH ,所以BD //平面FGH .⑵解方法一设AB= 2,贝U CF = DE = 1.在三棱台DEFABC中,G为AC的中点，由DF = |A C= GC,可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG // FC,又FC丄平面ABC,所以DG丄平面ABC.在厶ABC中，由AB丄BC , / BAC = 45° G是AC中点.所以AB = BC , GB丄GC,因此GB, GC, GD两两垂直以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系所以G(0,0,0) , B( 2, 0,0), C(0, 2, 0), D(0,0,1).可得 H^2，T ，0，F (°， 2, 1), 故昴=，舟,0 , <3F = (0, 2，1). 设n = (x , y , z)是平面FGH 的一个法向量,由HM 丄平面 ACFD , MN?平面 ACFD , 得 HM 丄 MN ，因此 tan / MNH == .3, n GH = 0, 则由 -n G F = 0,可得 歩+爭=0,2y + z = 0. 可得平面FGH 的一个法向量 n = (1 , - 1, 2).因为GB 是平面 ACFD 的一个法向量， GB = ( 2, 0,0).所以 cos 〈 GB , n > GB n & _ 1|GB| |n| 2 2所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°方法二 作HM 丄AC 于点M ，作MN 丄GF 于点N ,连接 NH.设AB = 2.由FC 丄平面 ABC ，得HM 丄FC ,又 FC A AC = C ,所以HM 丄平面ACFD.因此GF 丄NH ，所以/ MNH 即为所求的角在厶BGC 中, MH // BG , MH =1BG =由厶GNM GCF ，可得MN FC GMGF， 从而MN = .6 6 .所以 / MNH = 60°所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°变式训练3 ⑴证明 由正方形的性质可知 A I B I // AB // DC ,且A I B I = AB = DC ,所以四边形 A i B i CD 为平行四边形，从而 B i C // A i D ，又 A i D?面 A i DE,B i C?面 A i DE ,于是 B i C // 面 A i DE. 又 B i C?面 B i CD i ，面 A i DE 门面 B i CD i = EF ，所以 EF // B i C.⑵解 因为四边形 AA i B i B, ADD i A i, ABCD 均为正方形，所以AA i 丄AB, AA i 丄AD , AB 丄AD 且AA i = AB = AD.以A 为原点，分别以AB , A D , A A I 为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图 所示的空间直角坐标系，可得点的坐标 A(0,0,0), B(i,0,0), D(0,i,0), A i (0,0,i), B i (i,0,i), D i (0,i,i)，而E 点为B i D i 的中点，所以E 点的坐标为2 2，i .T <i i \ T, 设面 A i DE 的法向量 n i = (r i , s i , t i ),而该面上向量A i E = -, ?, 0 , A i D = (0,i ,- i)，由 n i 丄 A i E.i i T 2「i + 2S i = 0,n i 丄A i D 得r i , s i , t i 应满足的方程组Qi — t i = 0,(-i,i,i)为其一组解，所以可取 n i = (— i,i,i).设面 A i B i CD 的法向量 n 2= (r 2, S 2, t 2)，而该面上向量 A i B i = (i,0,0), A i D = (0,i ,— i)，由此 同理可得n 2= (0,i,i).高考题型精练i.B ［极限思想：若 a= n,则/ A ' CB V n 排除D ;若a= 0，如图, 所以结合图形知二面角A i D —B i 的余弦值为 I n i 饥1 = 2 = V6 |n i | |n 2|= 3 • 2= 3=60° °1 V2 V 2 又/ EAF = 45° ° 由 cos / BAF = cos / BAE cos / EAF 得 cos / BAF = 丁 帀=丁方法二 如图⑵，设AB = 2a ,过点B 作BB 1丄3垂足为B 1 ,作AD 1// CD ,则/ BAD 1即为 所求.过点B 1作B 1D 1丄AD 1于D 1,连接AB 1 , BD 1 ,则易知/ BAB 1为二面角的平面角，即/ BAB 1 = 60° ,则/ A ' DB , / A ' CB 都可以大于0,排除A , C.故选B.]2.B [以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为 1 ,则"(0,0,1)，E 1, 0, 2，D(0,1,0),二 AD = (0,1 , - 1),A i E = 1 , 0，— 2 ,设平面A 1ED 的一个法向量为 n 1= (1 , y , z), y -z =0, 则1 h — 2z = 0 ,y = 2 ,z = 2. 2 2••• n 1= (1,2,2). v 平面 ABCD 的一个法向量为 n 2= (0,0,1),二 cos 〈m , n 2>=荡=勺2即所成的锐二面角的余弦值为2」3.B ［方法如图(1),平移CD 至AF ,则/ BAF 为所求•作二面角 a — l — 3的平面角 / BAE A从而 BB i = 2asin 60 =辰,在 Rt △ BB i D i 中，BD i = BB i + B i D 2= .3a 2 + ga 2= -^a.在厶BAD i 中，由余弦定理，得2X 2a x即异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为于］4.B ［根据题意可知平面 A i BD 丄平面A i ACC i 且两平面的交线是 A i O , 所以过点P 作交线A i O 的垂线PE ,则PE 丄平面A i BD ,所以/ A i OP 或其补角就是直线 OP 与平面A i BD 所成的角a 设正方体的边长为 2,则根据图形可知直线 OP 与平面A i BD 可以垂直. 当点P 与点C i 重合时可得 A i O = OP = 6, A i C i = 2 2,i i所以，x .6X .6X Sin a= ?x 所以 sin a= ；根据选项可知B 正确•］5.60 °解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB i 为z 轴，建立空间直角坐标系/ B i AD i = 45° ° AB i = a , AD i = B i D i = cos / BAD i2 1 24a + 2a2 2X 2, 当点P 与点C 重合时，可得 2 心Sin a= .6= 丁设 AB = BC = AA i = 2,则 C i (2,0,2), E(0,1,0), F(0,0,1),则EF = (0, - 1,1), BC i = (2,0,2),• EF 和BC i 所成的角为60° 6.30 °解析如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系设 OD = SO = OA = OB = OC = a ，a a 则A(a,0,0), B(0, a,0), C(-a,0,0), P(0,-夕 刁, 则 CA =(2a,0,0), AP = ( — a ,- |, |), C B = (a , a,0). 设平面PAC 的法向量为n ,可求得n = (0,1,1),则 cos 〈CB , n > = CB n a1扁「2几2 = 2.〈CB , n >= 60 ° ° •直线BC 与平面PAC 所成的角为90° - 60° = 30°7.(1)证明 如图(1),取BD 的中点O ,连接AO ,CO. A,二 EF BC i = 2,••• cos 〈 EF , BCi >图⑴由侧视图及俯视图知，△ ABD , △ BCD均为正三角形, 因此A0丄BD , OC丄BD.因为AO, 0C?平面AOC，且AO A 0C = 0,所以BD丄平面A0C.又因为AC?平面A0C，所以BD丄AC.取B0的中点H，连接NH, PH.又M , N分别为线段AD, AB的中点，所以NH // A0, MN / / BD.因为A0 丄BD ,所以NH 丄BD.因为MN 丄NP,所以BD 丄NP.因为NH, NP?平面NHP，且NH A NP = N,所以BD丄平面NHP.又因为HP?平面NHP，所以BD丄HP.又0C 丄BD , HP?平面BCD , 0C?平面BCD , 所以HP // 0C.因为H为B0中点，故P为BC中点.⑵解方法一如图⑵，作NQ丄AC于Q,连接MQ.图⑵由(1)知，NP// AC,所以NQ 丄NP.因为MN丄NP,所以/ MNQ为二面角 A —NP —M的一个平面角由⑴知，△ ABD , △ BCD为边长为2的正三角形,所以A0= OC =、：：：.•"3.由俯视图可知，A0丄平面BCD.因为0C?平面BCD，所以A0丄0C,因此在等腰Rt△ A0C中，AC = .6.作BR丄AC于只，在厶ABC中，AB = BC,因为在平面ABC内，NQ丄AC, BR丄AC,所以NQ // BR.又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点, 因此NQ = 罟二严.同理，可得MQ = -^.MN BD _所以在等腰△ MNQ中，cos/ MNQ =幺=-4=半NQ NQ 5故二面角A —NP—M的余弦值为亠严.图⑶方法二由俯视图及⑴可知，A0丄BCD.因为0C, 0B?平面BCD ,所以A0丄0C , A0丄0B.又0C丄0B ,所以直线0A, 0B, 0C两两垂直如图⑶，以0为坐标原点，以OB, OC , OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0, 3), B(1,0,0), C(0, 3, 0), D( —1,0,0).因为M , N分别为线段AD, AB的中点，又由⑴知，P为线段BC的中点，所以M( —2, 0,于)，N(2 0,中)，P(2 "23，0).于是AB = (1,0, —.3), B C= (—1, .3, 0), MN = (1,0,0), NP= (0 冷，一^).设平面ABC的一个法向量n 1= (X1, y1, z",丄AB , [m AB= 0 ,则$ 〜即f 〜|m丄BC , |m BC = 0,X1 , y1 , Z1 -1 , 0, —. 3 = 0 , 有_[X1 , y1 , Z1 •—1, .3 , 0= 0,X1 —百Z1 = 0 ,从而| —X1 + ：..., 3y1 = 0.取Z1= 1,则X1= ,3 , y1= 1,所以n1 = ( 3 , 1,1). 设平面MNP的一个法向量n2= (X2 , y2 , Z2), n2 丄MN , n2 MN = 0 ,则$ 〜即f 〜I n2丄NP , I n2 NP = 0 ,[X2 , y2 , Z2 -1 , 0 , 0 = 0 ,有X2 , y2, Z2 o 于—宁=0,X2 = 0 ,从而」空2=0.T y2—取Z2= 1,所以n2= (0,1,1).设二面角A — NP — M 的大小为0,故二面角A — NP — M 的余弦值是8. (1)证明 连接 BD ，设 BD A AC = G ,连接 EG , FG , EF.在菱形ABCD 中，不妨设 GB = 1.由/ ABC = 120° 可得 AG = GC = Q 3.由 BE 丄平面 ABCD , AB = BC ,可知 AE = EC.又AE 丄EC ,所以EG = ,3,且EG 丄AC. 在Rt △ EBG 中，可得BE = ■.2,故 DF =¥.在Rt △ FDG 中，可得 FG亞 FG = 2.在直角梯形BDFE 中， 由 BD = 2, BE = 2, DF = 22 可得 EF = ；2,o o o从而EG + FG = EF ,所以EG 丄FG. 又AC A FG = G ,可得EG 丄平面AFC.因为EG?平面AEC ，所以平面 AEC 丄平面AFC.⑵解 如图，以G 为坐标原点，分别以 GB , GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB|为单位长,(1)可得 A(0, — 3, 0), E(1,0, 2), F — 1 , 0,宁， C(0, j 3, 0)，所以 AE = (1 , '；■3, . 2), CF = — 1,则 cos 0= n i 们2|ni | |ri2|(V 3 1, 1 )(0, 1, 1) <5农JQ~5~ -3,于.建立空间直角坐标系，由故|cos 〈AE , CF > | = AE CF|AE||CF| 3 3 .所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为彳.9.解 以｛AB, AD , AP ｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，贝U 各点的坐标为B(1,0,0), C(1 ,1,0), D(0,2,0), P(0,0,2).(1)因为AD 丄平面PAB ,所以AD 是平面FAB 的一个法向量，AD = (0,2,0). 因为 PC = (1,1 , - 2), PD = (0,2 , - 2).设平面PCD 的法向量为 m = (x , y , z),则 m PC = 0, m PD = 0,x + y -2z = 0 ,即令y = 1,解得z = 1, x = 1. 2y — 2z = 0.所以m = (1,1,1)是平面PCD 的一个法向量所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为又 CB = (0 , — 1,0),则 CQ = CB + BQ =(—入—1,2?), 又 DP = (0 , — 2,2),设 1+ 2 ? t , t € [1,3],2 w -9 1 5 2 20 10't — 9 + 9当且仅当t = 5,即冶5时，Rs 〈 CQ , DP 〉|的最大值为3i00从而 cos 〈 CQ , DP > CQ DP |CQ||DP| 1 + 2? 2 10? + 2 A(0,0,0), 从而cos 〈 A D , m >AD m |AD||m |⑵因为 BP = (— 1,0,2), 设BQ = 扫P =(—入 0,2 ?)(0< 冶 1),则 cos 2〈 CQ , DP > 2 2t2 5t — 10t + 9因为y= cos x在0,扌上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值又因为BP= ‘12+ 22= 5,所以BQ= |BP = ~5~.10. (1)证明因为△ AEF是等边三角形，O为EF的中点,所以AO丄EF.又因为平面AEF丄平面EFCB，平面AEF门平面EFCB = EF , AO?平面AEF，所以AO丄平面EFCB.又BE?平面EFCB，所以AO丄BE.⑵解取BC中点G,连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形，所以OG丄EF.由(1)知AO丄平面EFCB.又OG?平面EFCB ,所以OA丄OG.如图建立空间直角坐标系，则E(a,0,0), A(0,0, 3a),B(2, 3(2- a), 0), EA = ( -a,0, .3a),BE= (a —2, 3(a —2), 0).设平面AEB的法向量为n= (x , y , z),n EA= 0, 则f Tn BE= 0,[—ax+ ■. ；3az= 0, 即I a —2 x+ 3 a—2 y= 0.令z= 1,则x=・3, y=—1，于是n = (：;：3, — 1,1).平面AEF的一个法向量为p= (0,1,0).所以cos〈n, P>= |n||p|=— 5.由题知二面角FAEB为钝角，所以它的余弦值为—(3) 解因为BE丄平面AOC，所以BE丄OC ,即卩BE OC= 0, 因为BE = (a —2,3(a—2), 0), OC = (—2, 3(2 —a), 0),所以BE OC = —2(a—2) —3(a—2)2.~T -T4由BE OC = 0 及0<a<2，解得a= 3.。

空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。

下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。

一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。

2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。

3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。

4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。

5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。

若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。

6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。

二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。

设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。

2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。

3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。

当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。

高考数学中的空间角与直线夹角知识点整理数学是高考中必考科目，涉及了很多知识点。

空间角与直线夹角是其中比较重要的一个知识点。

掌握好这些知识点，有助于我们在高考中取得好成绩。

下面，本文将对这个知识点进行整理。

一、空间角空间角是三维空间中两条射线所夹的角度。

在高中数学中，我们主要学习了以下三个方面的内容：1. 空间角的度量方法空间角可以用角度或者弧度表示。

一般情况下，我们使用角度来度量空间角。

空间角的度量方法和平面角是一样的，都有度、分、秒三个单位。

2. 空间角的性质空间角的性质包括：对顶角相等、余角相等、补角相等、同位角相等等。

这些性质在计算空间角时非常有用。

3. 空间角的平面角平面角是二维平面中的角度，它可以用来计算空间角。

在计算空间角时，我们一般会把空间中的角度投影到一个平面上，然后用平面角来度量。

二、直线夹角直线夹角是在平面内的两条直线相交时形成的角度。

它也是高考数学中比较重要的一个知识点。

我们主要学习了以下两个方面的内容：1. 直线夹角的度量方法直线夹角可以用角度或者弧度表示。

一般情况下，我们使用角度来度量直线夹角。

直线夹角的度量方法和空间角是一样的，都有度、分、秒三个单位。

2. 直线夹角的性质直线夹角的性质包括：对顶角相等、余角相等、补角相等、同位角相等等。

这些性质在计算直线夹角时非常有用。

三、空间角与直线夹角的联系空间角与直线夹角之间有一定的联系。

当两个直线在空间中相交时，它们之间的夹角就是一个空间角。

而当两个直线在平面内相交时，它们之间的夹角就是一个直线夹角。

这就是它们的联系。

四、应用举例下面，我们通过几个例子来应用上文所学的知识点。

例1：如图，求空间角BAC的大小。

解：因为在平面AGD内，∠BED=∠JGF，所以角BED和角JGF是同位角。

同时，在平面BCE内，∠AED=∠FGJ，所以角AED和角FGJ是同位角。

因此，∠BED=∠JGF=74°，∠AED=∠FGJ=106°。

高考空间向量几何知识点高考是每个中国学生都经历的一场重要考试，其中数学科目的考试题型也是多种多样。

而空间向量几何作为数学题型的一个重要部分，经常出现在高考试题中。

本文将对高考空间向量几何的知识点进行论述，帮助考生更好地复习和应对考试。

一、向量的定义和运算在空间向量几何中，首先需要掌握的知识点是向量的定义和运算。

向量的定义是指通过起点和终点确定的有方向和大小的几何量。

向量可以用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的终点表示向量的终点。

向量的运算包括向量的加法、减法、数乘和数量积等。

向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点放在一起，再将两个向量的箭头相接，可以得到一个新的向量。

向量的减法可以转化为向量的加法，即将减数取相反数，然后进行向量的加法运算。

向量的数乘是指将向量的大小与一个实数相乘，同时也会改变向量的方向。

数量积是指将两个向量的模长相乘，再与两个向量的夹角的余弦值相乘，求得一个实数。

二、向量的线性相关性与线性无关性在考试中，还会遇到关于向量线性相关性和线性无关性的问题。

若存在一组实数k1，k2...kn，使得k1v1+k2v2+...+knvn=0，其中v1,v2...vn均为非零向量，则称这组向量线性相关。

而若不存在这样的实数组，我们称这组向量线性无关。

判断一组向量是否线性相关无关，可以通过构造齐次线性方程组，然后求解方程组的解空间。

如果方程组的解空间只有零向量，则这组向量是线性无关的；如果方程组的解空间还存在其他非零向量，则这组向量是线性相关的。

三、向量共线与平面定位在空间向量几何中，常常需要判断向量的共线性以及向量在平面上的定位。

当两个向量的方向相同或者相反，或者一个向量与另一个向量的倍数等于第三个向量时，我们称这三个向量共线。

利用向量共线的特性，可以通过构造连线进行判断。

在平面定位中，我们可以利用向量的平移性将向量的起点移动到坐标系原点。

然后可以通过分解向量等于不同方向上的单位向量的线性组合来表示向量所在的平面。