2019届北师大版(文科数学) §11.1 排列 组合 单元测试

2019届北师大版（文科数学） 数列 单元测试1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12B ．cos n π2C.n ＋12πD ．cos n ＋22π[解析] 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． [答案] D2．(2017·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N)，则a 2017＝( )A ．1B ．0C ．2017D ．－2017[解析] ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2017＝a 1＝1.[答案] A3．(2016·青岛模拟)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 10= ( ) A.4B.5C.6D.7【解析】选B.由题意=a 3a 11=16,且a 7>0,所以a 7=4,所以a 10=a 7·q 3=4×23=25, 从而log 2a 10=5.3．(2018·湖北武汉调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( )A.16B.13C.35D.56[解析] 因为S 5＝3(a 2＋a 8)，所以5a 1＋10d ＝3(2a 1＋8d )，即a 1＝－14d ，所以a 5a 3＝a 1＋4da 1＋2d ＝－14d ＋4d －14d ＋2d ＝56. [答案] D5．已知数列{a n }为等差数列,若a 2=3,a 1+a 6=12,则a 7+a 8+a 9= ( )A.27B.36C.45D.63【解析】选 C.设公差为d,则a 1+d=3,2a 1+5d=12,解得a 1=1,d=2,所以a 7+a 8+a 9=3a 1+21d=3+42=45.6．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3，选择B.[答案] B7．数列{a n }的通项公式a n =2,设此数列的前n 项和为S n ,则S 10-S 21+S 100的值是 ( ) A.9746B.4873C.9736D.9748【解析】选A.当n 为奇数时,a n =2(n+1);当n 为偶数时,a n =2(n-1), 故有S 10=×5+×5=60+50=110, S 21=×11+×10=464,S 100=×50+×50=10100.故S 10-S 21+S 100=9746.8．(2017·河南百校联盟质量监测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( )A ．－20B ．4C ．12D ．20[解析] 设{a n }的公差为d ，∵S 5＝5(a 1＋a 5)2＝－20，∴a 1＋a 5＝－8，∴a 3＝－4.又－6a 4＋3a 5＝－6(a 3＋d )＋3(a 3＋2d )＝－3a 3＝12.选C.[答案] C9．(2017·安徽安庆模拟)已知数列{a n }满足a n ＋2＝－a n (n ∈N ＋)，且a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的前2017项的和为( )A ．2B ．－3C ．3D ．1[解析] ∵a n ＋2＝－a n ＝－(－a n －2)＝a n －2，n >2，∴数列{a n }是以4为周期的周期数列．S 2017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2017＝504(a 1＋a 2－a 1－a 2)＋a 504×4＋1＝a 1＝1.故选D.[答案] D10.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为( ) A.n ＋12(n ＋2)B.34－n ＋12(n ＋2)C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 D.32－1n ＋1－1n ＋2 [解析] 因为1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2所以原式＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，故选C. [答案] C11．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若不等式+≥m对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立,则实数m 的最大值为 ( ) A.B.C.D. 【解析】选D.因为S n =n,所以+≥m,即+a 1a n +≥0, 整理得5+2a 1a n +(1-4m)≥0,即+≥0,若不等式+≥m 对任意等差数列{a n }和正整数n 恒成立,满足-4m ≥0,所以m ≤,所以实数m 的最大值为.12．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110[解析] 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (n ＋1)2.由题意可知，N >100，令n (n ＋1)2>100，所以n ≥14，n ∈N，即N 出现在第13组之后．易得第n 组的所有项的和为1－2n 1－2＝2n－1，前n 组的所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N ，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N )个数，第k ＋1组的前t 项的和2t －1应与－2－k 互为相反数，即2t －1＝k ＋2，所以2t ＝k ＋3，所以t ＝log 2(k ＋3)，所以当t ＝4，k ＝13时，N ＝13×(13＋1)2＋4＝95<100，不满足题意，当t ＝5，k ＝29时，N ＝29×(29＋1)2＋5＝440，当t >5时，N >440，故选A.[答案] A 二．填空题12.(2016·天津模拟)已知等差数列{a n },a 1=2,a 3=6,若将a 1,a 4,a 5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为 .【解析】由已知可得等差数列的通项为a n =2n,设所加的数为x,由已知2+x,8+x,10+x 成等比数列,所以(8+x)2=(2+x)(10+x),解得x=-11. 答案:-1113．(2017·辽宁师大附中期末)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝ . [解析] 在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641.[答案]564114．(2016·德州模拟)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S m-1=45,S m =93,S m+1=189,则m= .【解析】因为S m-1=45,S m =93,所以a m =S m -S m-1=93-45=48,同理得a m+1=S m+1-S m =189-93=96,公比q=2, 又S m-1==45,S m ==93,两式相除得2m=32,即m=5. 答案:515．(2017·安徽合肥一中第三次段考)已知数列{a n }是各项为正且首项为1的等差数列，S n 为其前n 项和，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋8a n ＋1的最小值是 ．[解析] 设数列{a n }的公差为d (d >0)， 即有a n ＝1＋(n －1)d ，S n ＝n ＋12n (n －1)d ，S n ＝12dn 2＋⎝⎛⎭⎫1－12d n ，由于数列{S n }也为等差数列， 可得1－12d ＝0，即d ＝2，即有a n ＝2n －1，S n ＝n 2，则S n ＋8a n ＋1＝n 2＋82n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋8n ≥12·2·n ·8n ＝22，当且仅当n ＝22取得等号，由于n 为正整数，即有n ＝2或3取得最小值．当n ＝2时，取得3；n ＝3时，取得176.故最小值为176.[答案]176。

2019北京各地高考数学联考分类篇：11排列组合、二项式定理 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
【一】选择题：
〔6〕〔2018年4月北京市海淀区高三一模理科〕从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，那么甲不在排头的排法种数是
〔A 〕12〔B 〕24
〔C 〕36〔D 〕48
【答案】D
8、(北京市西城区2018年4月高三第一次模拟文)集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且 30a ≠.那么A 中所有元素之和是〔C 〕
〔A 〕120 〔B 〕112 〔C 〕92 〔D 〕84
【答案】C
【二】填空题：
〔用数字作答〕
【答案】256,672
【解析】显然card()10M =表示集合M 中有10个元素，card()2A =表示集合A 中有2个元素，而A X M ⊆⊆，故集合X 中可以只含A 中的2个元素，也可以除了A 中的2个元素
外，在剩下的8个元素中任取1个，2个，3个，。

8个，共有01788888256
C C C C ++⋅⋅⋅++=种情况，即符合要求所求的集合M 有256个；满足条件Y M ⊆的集合Y 的个数为102，其中
不满足条件A Y ⊄的集合Y 的个数为82，不满足条件。

19 排列、组合、二项式定理（1）第1卷一、选择题1、现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片个4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为( )A.232B.252C.472D.4842、将2名教师,4名生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名生组成,不同的安排方案共有( )A.12种B.10种C.9种D.8种3、从这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为,,共可得到的不同值的个数是( )A.9B.10C.18D.204、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )A.1440种B.960种C.720种D.480种5、5位同报名参加两个课外活动小组,每位同限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( )A.10种B.20种C.25种D.32种6、8名生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为( )A.B.C.D.7、从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种8、若展开式的二项式系数之和为,则展开式的常数项为( )A.10B.20C.30D.1209、某校开设类选修课门,类选修课门,一位同从中共选门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )A.30种B.35种C.42种D.48种10、北京《财富》全球论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( )A.B.C.D.11、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有( )A.140种B.120种C.35种D.34种12、从5位男教师和4名女教师中选出3位教师,派到3个班担任班主任(每班一位班主任),要求这三位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有( )A.210种B.420种C.630种D.840种13、某同有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )A.4 种B.10 种C.18 种D.20 种14、将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )A.12种B.18种C.36种D.54种15、我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有架歼飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )A.12种B.18种C.24种D.48种16、某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种17、用,,…,十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.27918、的展开式中的系数为( )A.-80B.-40C.40D.8019、安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种20、展开式中的系数为( )A.15B.20C.3021、已知的展开式中的系数为,则.22、的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.23、某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有种.(用数字作答)24、甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的战法种数是(用数字作答)。

【备战2018】（北京版）高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式
定理（含解析）文
（ ）
A ． 33
B ． 29
C ．23
D ．19
2. 【2009高考北京文第5题】用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A ．8
B ．24
C ．48
D ．120
3. 【2006高考北京文第4题】在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有 A.36 B.24 C.18 D.6
4. 【2007高考北京文第5题】某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）
Ａ．()2142610C A 个 Ｂ．242610A A 个 Ｃ．()2142610C 个 Ｄ．242610A 个
5. 【2005高考北京文第8题】五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )
（A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44
C 种 （
D ）44A 种
6. （用数字作答）
7.
)
作答）
【答案】10 32。

1．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C .边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N *) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N *) D ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N *) 解析：选B .因为n 为正奇数，所以n ＝2k －1(k ∈N *)．3．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．解析：当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1.左边增加了2k 项． 答案：2k4．(2018·绍兴模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则其一般结论为________．解析：因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.答案：f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)5．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a n ＝1a n ＋1－12. (1)求证：23≤a n ≤1；(2)求证：|a n ＋1－a n |≤13.证明：(1)由已知得a n ＋1＝1a n ＋12，计算a 2＝23，a 3＝67，a 4＝1419，猜想23≤a n ≤1.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，命题显然成立；②假设n ＝k 时，有23≤a n ≤1成立，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1a k ＋12≤123＋12＜1，a k ＋1＝1a k ＋12≥11＋12＝23，即当n ＝k ＋1时也成立，所以对任意n ∈N *，都有23≤a n ≤1.(2)当n ＝1时，|a 1－a 2|＝13，当n ≥2时，因为(a n ＋12)(a n －1＋12)＝(a n ＋12)·1a n ＝1＋12a n ≥1＋12＝32，所以|a n ＋1－a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a n ＋12－1a n －1＋12＝|a n －a n －1|（a n ＋12）（a n －1＋12）≤23|a n －a n －1|≤…≤⎝⎛⎭⎫23n －1|a 2－a 1|＝13·⎝⎛⎭⎫23n －1. 6．(2018·温州高考模拟节选)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，b 1＝4，且2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4；(2)猜想{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．解：(1)因为2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，且a 1＝2，b 1＝4.令n ＝1，得到⎩⎪⎨⎪⎧8＝2＋a 2，a 22＝4b 2解得a 2＝6，b 2＝9；同理令n ＝2，3分别解得a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.(2)证明：猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．7．(2018·台州市高三期末考试)在正项数列{a n }中，已知a 1＝1，且满足a n ＋1＝2a n －1a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3； (2)证明：a n ≥(32)n －1.解：(1)因为在正项数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝2a n －1a n ＋1(n ∈N *)，所以a 2＝2×1－11＋1＝32，a 3＝2×32－132＋1＝135.(2)证明：①当n ＝1时，由已知a 1＝1≥(32)1－1＝1，不等式成立；②假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥(32)k －1，因为f (x )＝2x －1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，所以a k ＋1＝2a k －1a k ＋1≥2(32)k －1－1（32）k －1＋1＝(32)k ＋13(32)k －1（32）k －1＋1 ＝(32)k ＋13（32）2k －1＋13（32）k－1（32）k －1＋1 ＝(32)k ＋19[（32）k ＋3][2×（32）k －3]（32）k －1＋1， 因为k ≥1，所以2×(32)k －3≥2×32－3＝0，所以a k ＋1≥(32)k ，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②知不等式对任何n ∈N *都成立．8．(2018·台州市书生中学月考)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ≠0，S n 为该数列的前n 项和，且S n ＋1＝a n (1－a n ＋1)＋S n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 3n >a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：(1)因为S n ＋1＝a n (1－a n ＋1)＋S n ，n ∈N *， 所以S n ＋1－S n ＝a n (1－a n ＋1)， 所以a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)＝a n －a n a n ＋1， 所以a n －a n ＋1＝a n a n ＋1.又a n ≠0，所以1a n ＋1－1a n＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 构成以2为首项，以1为公差的等差数列，所以1a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，所以a n ＝1n ＋1，n ∈N *.(2)当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24，即2624>a24，所以a <26.而a 是最大的正整数， 所以取a ＝25.下面用数学归纳法证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524，则当n ＝k ＋1时， 有1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13（k ＋1）＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋⎣⎡⎦⎤13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）.因为13k ＋2＋13k ＋4＝6（k ＋1）9k 2＋18k ＋8>6（k ＋1）9k 2＋18k ＋9＝23（k ＋1），即13k ＋2＋13k ＋4>23（k ＋1）， 所以13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）>0.所以当n ＝k ＋1时不等式也成立． 由①②知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， 所以a 的最大值等于25.1．(2018·宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，n ∈N *，设b n ＝log 2(a n ＋1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1b n －1＜n (n ≥2)；(3)若2c n ＝b n ，求证：2≤(c n ＋1c n)n＜3.解：(1)由a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，则a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，由a 1＝3，则a n ＞0，两边取对数得到log 2(a n ＋1＋1)＝log 2(a n ＋1)2＝2 log 2(a n ＋1)，即b n ＋1＝2b n . 又b 1＝log 2(a 1＋1)＝2≠0，所以{b n }是以2为公比的等比数列． 即b n ＝2n .又因为b n ＝log 2(a n ＋1)， 所以a n ＝22n －1.(2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝2时，左边为1＋12＋13＝116＜2＝右边，此时不等式成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＜k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＜k ＋＜k ＋1＝右边，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．综上可得：对一切n ∈N *，n ≥2，命题成立． (3)证明：由2c n ＝b n 得c n ＝n ， 所以(c n ＋1c n )n ＝(1＋n n )n ＝(1＋1n)n ，首先(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n 1n ＋C 2n 1n 2＋…＋C k n 1n k ＋… ＋C n n 1nn ≥2， 其次因为C k n 1n k＝n （n －1）…（n －k ＋1）k ！n k ＜1k ！≤1k （k －1）＝1k －1－1k(k ≥2)， 所以(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n 1n ＋C 2n 1n 2＋…＋C k n 1n k ＋…＋C n n 1n n ＜1＋1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝3－1n＜3， 当n ＝1时显然成立．所以得证．2．已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝⎛⎭⎫1＋1n na n (n ∈N *)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x的单调区间，并比较⎝⎛⎭⎫1＋1n n与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b n a 1a 2…a n 的公式，并给出证明．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x . 当f ′(x )>0，即x <0时，f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >0时，f (x )单调递减.故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). 当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即1＋x <e x . 令x ＝1n ，得1＋1n <e 1n ，即⎝⎛⎭⎫1＋1n n <e . (2)b 1a 1＝1·⎝⎛⎭⎫1＋111＝1＋1＝2； b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2·2⎝⎛⎭⎫1＋122＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32·3⎝⎛⎭⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2…b na 1a 2…a n ＝(n ＋1)n .(*)下面用数学归纳法证明(*)成立． ①当n ＝1时，左边＝右边＝2，(*)成立. ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，(*)成立， 即b 1b 2…b k a 1a 2…a k＝(k ＋1)k . 当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k ·(k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，(*)也成立.根据①②，可知(*)对一切正整数n 都成立.。

（三十八） 数学归纳法(二)重点高中适用A 级——保分题目巧做快做1．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N *)，则f (1)的值为( ) A ．1B.15 C ．1＋12＋13＋14＋15 D ．非以上答案解析 选C 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5，故选C.2.下列结论能用数学归纳法证明的是( )A ．x >sin ，x ∈(0，π)B ．e x ≥x ＋1(x ∈R)C ．1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1(n ∈N *) D ．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)解析 选C 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项C 符合题意．3．已知f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f ( ＋1)与f ( )的关系是( )A ．f ( ＋1)＝f ( )＋(2 ＋1)2＋(2 ＋2)2B ．f ( ＋1)＝f ( )＋( ＋1)2C ．f ( ＋1)＝f ( )＋(2 ＋2)2D ．f ( ＋1)＝f ( )＋(2 ＋1)2解析 选A f ( ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2 )2＋(2 ＋1)2＋[2( ＋1)]2＝f ( )＋(2 ＋1)2＋(2 ＋2)2.4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足 “当f ( )≥ 2成立时，总可推出f ( ＋1)≥( ＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<1成立，则f (10)<100成立B ．若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当 ≥1时，均有f ( )≥ 2成立D ．若f (4)≥16成立，则当 ≥4时，均有f ( )≥ 2成立解析 选D 选项A 、B 与题设中不等号方向不同，故A 、B 错；选项C 中，应该是 ≥3时，均有f ( )≥ 2成立；选项D 符合题意．5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝ ＋1时，只需展开( )A ．( ＋3)3B ．( ＋2)3C ．( ＋1)3D ．( ＋1)3＋( ＋2)3解析 选A 假设n ＝ 时，原式 3＋( ＋1)3＋( ＋2)3能被9整除，当n ＝ ＋1时，( ＋1)3＋( ＋2)3＋( ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将( ＋3)3展开，让其出现 3即可．6.用数学归纳法证明“1＋a 2＋a 4＋…＋a2n ＋4＝1－a 2n ＋61－a 2(n ∈N *，a ≠1)”，在验证n ＝1时，左端的式子为________．解析 当n ＝1时，等式的左端为1＋a 2＋a 4＋a 6.答案 1＋a 2＋a 4＋a 67．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有 (S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.解析 由(S 1－1)2＝S 21得，S 1＝12； 由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2得，S 2＝23； 由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3得，S 3＝34. 猜想S n ＝n n ＋1. 答案 n n ＋18.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________． 解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4(个)区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7(个)区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22(个)区域． 答案 n 2＋n ＋229．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×(1＋1)2＝1，左边＝右边，原等式成立． (2)假设n ＝ ( ≥1， ∈N *)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)－1· 2＝(－1) －1·k (k ＋1)2. 那么，当n ＝ ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)－1· 2＋(－1) ·( ＋1)2 ＝(－1) －1·k (k ＋1)2＋(－1) ·( ＋1)2 ＝(－1) ·k ＋12[－ ＋2( ＋1)] ＝(－1) ·(k ＋1)(k ＋2)2. ∴n ＝ ＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n ∈N *，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 10．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程； (2)试用数学归纳法证明 对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解 (1)由点P 1的坐标为(1，－1)知，a 1＝1，b 1＝－1.所以b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. 所以点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫13，13.所以直线l 的方程为2x ＋y －1＝0.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝ ( ≥1， ∈N *)时，2a ＋b ＝1成立，则2a ＋1＋b ＋1＝2a ·b ＋1＋b ＋1＝b k 1－4a 2k(2a ＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， 所以当n ＝ ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 都在直线l 上．B 级——拔高题目稳做准做1.设等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 1＞0.记T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1. (1)用a 1，d 分别表示T 1，T 2，T 3，并猜想T n ；(2)用数学归纳法证明你的猜想．解 (1)T 1＝1a 1a 2＝1a 1(a 1＋d )； T 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3×1d＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 1＋2d ×1d ＝2a 1(a 1＋2d )； T 3＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋1a 3－1a 4×1d＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 1＋3d ×1d ＝3a 1(a 1＋3d ). 由此可猜想 T n ＝n a 1(a 1＋nd ). (2)证明 ①当n ＝1时，T 1＝1a 1(a 1＋d )结论成立． ②假设当n ＝ ( ≥1， ∈N *)时结论成立，即T ＝k a 1(a 1＋kd ). 则当n ＝ ＋1时，T＋1＝T ＋1a k ＋1a k ＋2＝k a 1(a 1＋kd )＋1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝(k ＋1)(a 1＋kd )a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k ＋1a 1[a 1＋(k ＋1)d ]. 即n ＝ ＋1时，结论成立．由①②可知，T n ＝n a 1(a 1＋nd )对于一切n ∈N *恒成立． 2.已知函数f (x )＝a ln ＋2x ＋1(a ∈R)． (1)当a ＝1时，求f (x )在[1，＋∞)上的最小值．(2)求证 ln(n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln ＋2x ＋1，定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在x ∈[1，＋∞)内的最小值为f (1)＝1.(2)证明 当n ＝1时，ln(n ＋1)＝ln 2，因为3ln 2＝ln 8>1，所以ln 2>13，即当n ＝1时，不等式成立． 假设当n ＝ ( ≥1， ∈N *)时，ln( ＋1)>13＋15＋17＋…＋12k ＋1成立． 那么，当n ＝ ＋1时，ln( ＋2)＝ln( ＋1)＋lnk ＋2k ＋1>13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1. 根据(1)的结论可知，当x >1时，ln ＋2x ＋1>1， 即ln >x －1x ＋1. 令x ＝k ＋2k ＋1，所以ln k ＋2k ＋1>12k ＋3，则有ln( ＋2)>13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3， 即当n ＝ ＋1时，不等式也成立．综上可知不等式成立．3．已知数列{a n }满足a 1＝a ＞2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证 对任意n ∈N *，a n ＞2恒成立；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证 当a ＝3时，S n ＜2n ＋43. 解 (1)证明 用数学归纳法证明a n ＞2(n ∈N *)恒成立．①当n ＝1时，a 1＝a ＞2，结论成立；②假设n ＝ ( ≥1， ∈N *)时结论成立，即a ＞2，则n ＝ ＋1时，a ＋1＝a k ＋2＞2＋2＝2，所以n ＝ ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N *，都有a n ＞2成立．(2)数列{a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n ＞2，所以a 2n ＋1－a 2n ＜0，所以a n ＋1＜a n . 这说明{a n }是单调递减的数列．(3)证明 由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2，所以a 2n ＋1－4＝a n －2.根据(1)知a n ＞2(n ∈N *)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2＜14，所以a n ＋1－2＜14(a n －2)＜⎝⎛⎭⎫142(a n －1－2)＜…＜⎝⎛⎭⎫14n ·(a 1－2)． 所以，当a ＝3时，a n ＋1－2＜⎝⎛⎭⎫14n ，即a n ＋1＜⎝⎛⎭⎫14n ＋2.当n ＝1时，S 1＝3＜2＋43， 当n ≥2时，S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n＜3＋⎝⎛⎭⎫14＋2＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋2＋…＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14n －1＋2 ＝3＋2(n －1)＋141－14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1 ＝2n ＋1＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1＜2n ＋43. 综上，当a ＝3时，S n ＜2n ＋43(n ∈N *)．。

2019届北师大版（文科数学）排列的应用单元测试1把15人分成前、中、后三排,每排5人,则共有不同的排法种数为()A BC D15人排成三排,可按一排处理,共有种.26个停车位置,有3辆汽车需要停放,若要使3个空位连在一起,则停放的方法种数为()A BC D个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列,故有种停放方法.3某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐法种数为()A.12B.16C.24D.32,有=24种坐法.4从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.60,2中选出的是2,则2可以在百位也可以在十位,所以有=12个奇数;若从0,2中选出的是0,则0只能在十位,所以有=6个奇数,所以共有12+6=18个奇数.5将甲、乙、丙等六位同学排成一排,且甲、乙在丙的两侧,则不同的排法种数共有()A.480种B.360种C.120种D.240种,所以符合条件的排法有2=240种.6某班准备从含有甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛,要求甲、乙两人同时参加,且他们在赛道上顺序不能相邻,则不同的排法种数是()A.720B.20C.240D.120,所以共有=120种.7将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()A.12种B.18种C.24种D.36种:排第一列有=6种方法,第二步:排第二列,当第一列确定时,第二列有2种方法,如图所示.根据分步乘法计数原理,可得共有6×2=12种排列方法.8两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为.种排法,两个小孩排在一起有种排法,小孩与两位妈妈排列有种排法,所以共有=24种排法.9有10幅画展出,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画排成一排,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,则不同的陈列方式有种..第一步:水彩画在中间,油画、国画放在两端,有种放法;第二步:油画内部排列,有种;第三步:国画内部排列,有种.由分步乘法计数原理,得共有=5 760种不同的陈列方式.10将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.1,2,3,4,5的5张参观券分成4组,然后再分配给4人,连号的情况1和2 ,2和3,3和4,4和5,故其方法数是4=96.★11由A,B,C,…等7人担任班级的7个班委.(1)若正、副班长两职只能由A,B,C这三人中选两人担任,则有多少种分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选A,B,C这三人中的1人担任,有多少种分工方案?先安排正、副班长有种方法,再安排其余职务有种方法,依分步乘法计数原理,共有=720种分工方案.(2)7人的任意分工方案有种,A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有种,因此A,B,C三人中至少有1人任正、副班长的方案有=3 600种.★12用0,1,2,3, 4,5六个数字:(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)能组成多少个比1 325大的四位数?符合要求的四位偶数可分为三类.第一类:0在个位时有个;第二类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个有种,十位和百位从余下的数字中选有种,于是有个;第三类:4在个位时,与第二类同理,也有个.由分类加法计数原理知,共有四位偶数:=156个.(2)五位数中5的倍数的数可分为两类:个位上的数字是0的五位数有个;个位上的数字是5的五位数有个.故所求数共有=216个.(3)比1 325大的四位数可分为三类.第一类:千位数字分别为2,3,4,5时,共个;第二类:千位数字为1,百位数字分别为4,5时,共有个;第三类:千位数字为1,百位数字为3,十位数字分别为4,5时,共有个.由分类加法计数原理知,比1 325大的四位数共有=270个.。

单元评估检测(一) 集合与常用逻辑用语(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，则∁U M ＝( ) A ．{2,4,6} B ．{1,3,5} C ．{1,2,4} D ．UA2．(2017·武汉模拟)已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，B ＝{x ∈Z |x 2＜9}，则A ∩B ＝( ) A ．{2} B ．(－3,3) C ．(1,3) D ．{1,2}D3．命题“存在x 0∈∁R Q ，x 20∈Q ”的否定是( )【导学号：00090384】A ．存在x 0∉∁R Q ，x 20∈Q B ．存在x 0∈∁R Q ，x 20∉Q C ．任意x ∉∁R Q ，x 2∈Q D ．任意x ∈∁R Q ，x 2∉QD4．设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜5，x ∈Z，B ＝{x |x ≥a }．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ≤1D ．a ＜1C5．使x 2＞4成立的充分不必要条件是( ) A ．2＜x ＜4 B ．－2＜x ＜2 C ．x ＜0 D ．x ＞2或x ＜－2A6．(2017·郑州模拟)已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为( ) A ．{1} B ．{0} C ．{0,1} D ．∅C7．已知原命题：已知ab ＞0，若a ＞b ，则1a ＜1b，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4D8．(2017·广州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1d ＞0是数列(3a 1a n )为递增数列的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件A9．已知命题p ：存在x 0∈R ，x 0＜x 20＋1，命题q ：任意x ∈R ，sin 4x －cos 4x ≤1，则p 或q ，p 且q ，(綈p )或q ，p 且(綈q )中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“存在x 0∈R ，使f (x 0)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件A11．(2017·阜阳模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x，x ∈R }，则A ⊕B 等于( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) C12．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )【导学号：00090385】A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合Q ＝{m ∈Z |mx 2＋mx －2＜0对任意实数x 恒成立}，则Q 用列举法表示为________． {－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}14．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素的个数是________． 415．下列3个命题：①“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”； ②“如果x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞12”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． ②16．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－1＜0}，B ＝{x |x ＋a ＞0}． (1)若a ＝－12，求A ∩B .(2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． [解] A ＝{x |－1＜x ＜1}．(1)当a ＝－12时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －12＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞12，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜1. (2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为B ＝{x |x ＞－a }，所以－a ≤－1，即a ≥1.18．(12分)设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求a ，b ，c 的值．[解] 因为A ∩B ＝{－3}，所以－3∈A ，且－3∈B ， 所以(－3)2－3a －12＝0，解得a ＝－1，A ＝{x |x 2－x －12＝0}＝{－3,4}．因为A ∪B ＝{－3,4}，且A ≠B ， 所以B ＝{－3}，即方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个等根为－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋－＝－b ，－3－＝c ，即b ＝6，c ＝9.综上，a ，b ，c 的值分别为－1,6,9.19．(12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． [解] 命题p 为真时，因为函数y ＝c x在R 上单调递减，所以0＜c ＜1. 即p 真时，0＜c ＜1.因为c ＞0且c ≠1，所以p 假时，c ＞1.命题q 为真时，因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q 真时，0＜c ≤12，因为c ＞0且c ≠1，所以q 假时，c ＞12，且c ≠1.又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以p 真q 假或p 假q 真． (1)当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. (2)当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0＜c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. 20．(12分)(2017·保定模拟)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0. (1)若p 是真命题，求对应x 的取值范围． (2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． [解] (1)因为x 2≤5x －4， 所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4， 即对应x 的取值范围为1≤x ≤4. (2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}． 由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0， 得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a ＞2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }； 当a ＜2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}．若p 是q 的必要不充分条件，则B A ， 当a ＝2时，满足条件；当a ＞2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2≤x ≤a }，要使B A ，则满足2＜a ≤4；当a ＜2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a ＜2. 综上，a 的取值范围为1≤a ≤4.21．(12分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3. (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .【导学号：00090386】[解] A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，解得3≤a ≤2或a ≤－ 3. 即a ∈(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2. 所以a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}． 所以∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}， 故(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．22．(12分)求证：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1. 【证明】 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程只有一负根．当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，其根为x ＝－1，方程只有一负根． 当a ＜0时，Δ＝4(1－a )＞0，方程有两个不相等的根， 且1a＜0，方程有一正一负两个根．所以充分性得证．必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一负根． 当a ＝0时，符合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a ≥0，所以a ≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1. 当a ＜1时，若方程有且只有一负根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，1a＜0，所以a ＜0.所以必要性得证．综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.单元评估检测(二) 函数、导数及其应用(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝1－3x＋1log12x ＋，则函数的定义域为( )【导学号：00090387】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C ．19D ．9C3．(2017·太原模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜bD4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，则g (f (－7))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为( )D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0D10．(2017·厦门模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数g (x )＝|a x －2|的图象可能是( )图1D11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4D12．(2017·商丘模拟)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________．(1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. －615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.【导学号：00090388】1816．(2017·岳阳模拟)某同学在研究函数f (x )＝x 2＋1＋x 2－6x ＋10的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f (x )变形为f (x )＝x －2＋－2＋x －2＋＋2，则f (x )表示|PA |＋|PB |(如图2)，下列关于函数f (x )的描述正确的是________(填上所有正确结论的序号)图2①f (x )的图象是中心对称图形； ②f (x )的图象是轴对称图形； ③函数f (x )的值域为[13，＋∞)； ④方程f (f (x ))＝1＋10有两个解． ②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－f x ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立． (1)求F (x )的表达式．(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．(1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞) 18．(12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x 2·log 2x2. (1)求实数x 的取值范围．(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x 2·log 2x 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2，即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(12分)(2017·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图象都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值．(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝b ＝1，f＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1，g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝d ＝1，g＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x －(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x ＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值．(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围． (3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2. (2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)． 因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4， 所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1， 所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值．(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －x －ax2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－A ．②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1， 所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(12分)(2017·石家庄模拟)设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)(a 为常数)． (1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围． (2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 【导学号：00090389】[解] (1)根据题意知：f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立．即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝－2x 2－2x ， 因为g (x )＝－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上的最大值为－4，所以a ≥－4. 经检验：当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝x ＋x －x ＋1≥0，x ∈[1，＋∞)．所以a 的取值范围是[－4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根，即方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根． 记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＞－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，g －＞0，解得0＜a ＜12.所以x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12＜x 2＜0. 所以f x 2x 1＝x 22－x 22＋2x 2x 2＋－1－x 2.令k (x )＝x 2－x 2＋2xx ＋－1－x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.k ′(x )＝x 2＋x＋2ln(x ＋1)， 记p (x )＝x 2＋x2＋2ln(x ＋1)．所以p ′(x )＝2x 2＋6x ＋2＋x3，p ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，p ′(0)＝2.所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0使得p ′(x 0)＝0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0时，p ′(x )＜0； 当x ∈(x 0,0)时，p ′(x )＞0.所以k ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0上单调递减，在(x 0,0)上单调递增，因为k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－2ln 2＜0，k ′(0)＝0. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，k ′(x )＜0， 所以k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减， 即0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 单元评估检测(三) 三角函数、解三角形(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A ．1－k2k B ．－1－k2k C ．k1－k2D ．－k1－k2B2．(2017·九江模拟)已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(綈p )且(綈q )D ．p 或(綈q )B3．(2017·衡水模拟)已知sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－α＋cos α＝2，则tan α＝( )A ．15 B ．－23C ．12 D ．－5D4．(2017·太原模拟)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象向左平移π18个单位后，得到的图象可能为( ) 【导学号：00090390】D5．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A ．－125B ．512C ．177D ．－717D6．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( ) A ．3＋226B ．3－226 C ．1＋266D ．1－266A7．(2017·淄博模拟)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ 的一个值是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．5π3B8．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图1A ．±223B ．223C ．－223D ．13C9．(2017·襄阳模拟)在△ABC 中，6sin A ＋4cos B ＝1，且4sin B ＋6cos A ＝53，则cos C ＝( ) A ．12 B ．±32 C ．32D ．－32 C10．(2017·济宁模拟)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ，下面结论中错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )的图象关于x ＝π3对称 C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π6个单位长度得到D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数C11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图2)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图2A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米B12．(2017·上饶模拟)已知定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的函数f (x )＝sin x (cos x ＋1)－ax ，若该函数仅有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤2π，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2π∪[2，＋∞) C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 014．如图3，某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB 的大小为45°，山脚P 到山顶A 的直线距离为2 km ，在A 处测得山顶B 的仰角为30°，则乙山的高度为________km. 2图3 图415．如图4在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________． 516．(2017·太原模拟)若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则实数t 的值为________．1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图5，两同心圆(圆心在原点)分别与OA ，OB 交于A ，B 两点，其中A (2，1)，|OB |＝6，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为π2.图5(1)设角θ的始边为x 轴的正半轴，终边为OA ，求－θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π2θ－的值．(2)求点B 的坐标． (1)34 (2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－62，2＋232 18．(12分)(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sinA ．(1)求B ．(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．(1)B ＝π6 (2)26＋1619．(12分)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. 【导学号：00090391】图6(1)求ω和φ的值．(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． (3)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合． (1)ω＝2，φ＝－π3(2)描点画出图象(如图)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4＜x ＜k π＋13π12，k ∈Z 20.(12分)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，(1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) (2)1(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π621．(12分)已知如图7，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152.图7(1)求△ABC 的面积． (2)若AB ＝5，求AD 的长． (1)1534 (2)19222．(12分)(2017·石家庄模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C ．图8(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)．(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． [解] (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626，由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q . 在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010.在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin ∠ABC－∠ABC ＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．单元评估检测(四) 平面向量、数系的扩充与复数的引入(120分钟 150分) (对应学生用书第224页)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝1＋2i2－i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．1D ．iC2．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C ．45＋35i D ．45－35i D3．(2017·珠海模拟)若复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的虚部为( ) A ．－1 B ．－i C ．i D ．1A4．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－iD5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)B6．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D7．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5A8．在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2 3B ．－23iC ．3－3iD ．3＋3i B9．与向量a ＝(3,4)同方向的单位向量为b ，又向量c ＝(－5，5)，则b·c ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3，－4) C ．1 D ．－1 C10．如图1，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )图1A ．AC →＝AB →＋AD → B ．BD →＝AD →－AB →C ．AO →＝12AB →＋12AD →D ．AE →＝53AB →＋AD →D11．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 2＝( ) A ．3－2i B ．2－3i C ．－3－2i D ．2＋3iD12．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )【导学号：00090392】A ．－8B ．－6C ．6D ．8D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 214．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 215．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________. 216．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为________． 32＋32i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，AB →·AD →＝5，|AD →|＝10. (1)求D 点坐标．(2)若D 点在第二象限，用AB →，AD →表示AC →.(3)AE →＝(m,2)，若3AB →＋AC →与AE →垂直，求AE →的坐标． (1)D(2,1)或D(－2,3) (2)AC →＝－AB →＋AD → (3)AE →＝(－14,2)18．(12分)如图2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，求BE →·CE →的值. 【导学号：00090393】图27819．(12分)已知复数z ＝1＋i ，ω＝z 2－3z ＋6z ＋1.(1)求复数ω.(2)设复数ω在复平面内对应的向量为OA →，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量OA →的位置，求θ的最小值． (1)1－i (2)54π20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos A2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2sin A 2，m·n ＝－1.(1)求cos A 的值．(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． (1)－12(2)221．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(a,2c －b )，且m∥n . (1)求角A 的大小．(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)因为m∥n ，所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0， 由正弦定理得sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， 所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0， 所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 因此bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立； 因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤43，因此△ABC 面积的最大值为4 3.22．(12分)已知平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且a 2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝1.(1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)求|OP →|的最大值，并求出此时四边形OAPB 面积的最大值． [解] (1)证明：因为点M 为线段AB 的中点， 所以OM →＝12(OA →＋OB →)．所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →)－12(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|M A →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1.又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1， 得|MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 所以|MP →|＝|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1，所以P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP 是直径时，|OP →|max ＝2，这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边形OAPB ＝|OA →|·|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.单元评估检测(五) 数 列(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·唐山模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( ) A ．41 B ．48 C ．49 D ．56C2．(2017·青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．－1D ．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于( )A ．－54B ．54C ．516D ．2516D4．(2017·太原模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，a n ＞0，则数列{log 2a n }的前n 项和为( )【导学号：00090394】A ．n n －2 B ．n －22C ．n n ＋2D ．n ＋22A5．已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( ) A ．1－4nB ．4n－1 C ．1－4n 3D ．4n－13B6．若{a n }是由正数组成的等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1a 5＝1且S 3＝7，则S 7＝( ) A ．1516 B ．78 C ．12716D ．638C7．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·(2n －1)cos n π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120D8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A ．1210 B ．129 C ．110D ．159．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，－1为第7项的等差数列的公差，tan B 是以12为第3项，4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形D ．以上均错B 10.(2017·厦门模拟)在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2＞19的最大正整数n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6B11．若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n ＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8B12．(2017·淄博模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝3n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和为( ) A ．5－0 B ．5－3n ＋52nC ．5－3n －52nD ．5－3n ＋52n －1B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2017·唐山模拟)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________． 3n－114．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________. 【导学号：00090395】 10 10015．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．162916．(2017·保定模拟)如图1所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________．图1132三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2017·承德模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝16(a 2n ＋3a n ＋2)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若ak n ∈{a 1，a 2，…，a n ，…}，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，当k 1＝1，k 2＝4时，求k n . (1)a n ＝3n －2，n ∈N *(2)k n ＝10n －1＋23，n ∈N *18．(12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式．(2)若c n ＝a n ·b n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)b n ＝23n (2)T n ＝72－12·3n －2－3n －13n19．(12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)T n ＝1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －120．(12分)(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式．(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．(1)a n ＝2n ＋1 (2){b n }的前n 项和T n ＝n n ＋21．(12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .【导学号：00090396】(1)a n ＝4－n(2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2，q ＝1，nq n ＋1－n ＋q n ＋1q －2，q ≠1.22．(12分)(2017·石家庄模拟)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，并且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N *)．(1)求a n ，S n .(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值． [解] (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，因为a 1＝S 1＝a 2－12，所以a 2＝1，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2，n ∈N *，S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12，n ∈N *. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n－2＝n －2， 所以c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2，c n ＝1n ＋n ＋＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝12－1n ＋2＋12－2n1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1＝2n －1－1n ＋2. 由4T n ＞2n ＋1－1504，得 4⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－1n ＋2＞2n ＋1－1504， 即4n ＋2＜1504，n ＞2 014. 所以使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015. 单元评估检测(六) 不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1ab ≥12 B ．1a ＋1b≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18D2．(2017·新乡模拟)若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，则A ∩B ＝( ) 【导学号：00090397】A ．(－1,3)B ．(－1,5)C ．(2,5)D ．(2,3)D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xyB4．(2017·唐山模拟)不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14D5．(2017·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83C ．223D ．2B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞a 或x ＜1a D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a 或x ＜aC7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝( )A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC ．n －m d n c mD ．n －md n ·c mC8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A ．114B ．54C ．1D ．14C9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( ) A ．x ＞0 B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2C12．(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．a14．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值． 415．(2017·福州模拟)设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．12(n ＋1)(n －2) 16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________． 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n .(1)证明{a n }是等差数列． (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14. 【导学号：00090398】 【证明】 (1)因为S n ＝2n 2－n . 所以a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －2(n －1)2＋(n －1)＝4n －3. 对n ＝1也成立．所以a n ＝4n －3.a n ＋1－a n ＝4(n ＋1)－3－4n ＋3＝4，是常数．所以数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1n －n ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1所以T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1＜14. 18．(12分)如图1，在四棱锥P ­ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AB 的中点．图1求证：(1)直线EF ∥平面PBC ． (2)平面DEF ⊥平面PAB ． 略19．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋B ． (1)求f (1)＋f (3)－2f (2)．(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[解] (1)因为f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9，所以f (1)＋f (3)－2f (2)＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则－12＜f (1)＜12，－12＜f (2)＜12，－12＜f (3)＜12.所以－1＜－2f (2)＜1，－1＜f (1)＋f (3)＜1，。

高考数学一轮总复习 112排列与组合课后强化作业北师大版基础达标检测一、选择题1．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有()A．C14C44种B．C14A44种C．C44种D．A44种[答案] B[解析]先排甲工程队有C14种，其他4个元素在4个位置上的排法为A44种，总方案为C14A44种，故选B.2．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9![答案] C[解析]本题考查捆绑法排列问题．由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列，因此共(3！)4种．3．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27[答案] A[解析]不相邻问题用插空法，8名学生先排有A88种，产生9个空，2位老师插空有A29种排法，所以最终有A88·A29种排法．故选A4．(2014·福州质检)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种[答案] D[解析] 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A 34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C 23A 24种方法，由分类计数原理知共A 34＋C 23A 24＝60种方法．5．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A ．324 B ．328 C ．360 D ．648[答案] B[解析] 考查排列组合有关知识、特殊位置优先考虑． 分两类：个位数为0和个位数非零． 个位为0的有A 29＝72个个位不是0的有C 14·C 18·C 18＝64×4＝256个∴共有72＋256＝328个，∴选B.6．(2013·四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a 、b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20[答案] C[解析] 从1,3,5,7,9中取两个数计算lg a －lg b ＝lg a b .共有A 25＝20种取法．但是lg 31＝lg 93. lg 13＝lg 39.故共有20－2＝18个不同值． 二、填空题7．(2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．[答案] 590[解析] 本题考查排列组合的运算问题．依题意，C 33C 14C 15＋C 23(C 24C 15＋C 14C 25)＋C 13(C 24C 25＋C 14C 35＋C 34C 15)＝20＋210＋360＝590. 8．有5名男生3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．[答案] 840[解析] 由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A 47＝840(种)．9．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为________．[答案] 180[解析] 本小题主要考查排列组合的基础知识． 由题意知可分为两类，1)选“0”，共有C 23C 12C 13A 33＝108个， 2)不选“0”，共有C 23A 44＝72个，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180. 三、解答题10．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？ (3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？[解析] (1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A 34＝24种．(2)∵总的排法数为A 55＝120种， ∴甲在乙的右边的排法数为12A 55＝60种．(3)解法1：每个学校至少有一个名额，则分去7个，剩余3个名额到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法； 若分配到2所学校有C 27×2＝42种； 若分配到3所学校有C 37＝35种． ∴共有7＋42＋35＝84种方法．解法2：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有C 69＝84种不同方法．∴名额分配总数为84种.能力强化训练一、选择题1．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484[答案] C[解析] 本题考查了利用组合知识来解决实际问题．C 316－4C 34－C 24C 112＝16×15×146－16－72＝560－88＝472. 另解：C 04C 312－3C 34＋C 14C 212＝12×11×106－12＋4×12×112＝220＋264－12＝472. 解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重．2．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是( ) A ．36 B ．32 C ．28 D ．24[答案] A[解析] 本题考查排列与组合知识．当5排在两端时，有C 12C 12A 33＝24种排法； 当5不排在两端，即放在3和4之间时，有A 22A 33＝12种排法．故共有24＋12＝36种排法． 二、填空题3．(2013·新课标Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.[答案] 8[解析] 由已知从1,2,3，…，n 中取出的两数之和等于5，有以下情况：(1,4)，(2,3)，从n 个正整数中任取两数有C 2n 种取法，由条件知，2C 2n ＝114，∴C 2n ＝28，∴n ＝8. 4．(2014·天津模拟)将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案种数是________．[答案] 24种[解析] 将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C24A33种分配方案，其中甲同学分配到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此满足条件的不同方案共有C24A33－C23A22－C13A22＝24(种)．三、解答题5．在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？[解析]本题中的“双面手”有3人，仅能歌的2人，仅善舞的5人．把问题分为：(1)独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔；(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔．故选法种数是C13C47＋C12C48＝245.6．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直到找到所有4件次品为止．(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？[解析](1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．第2次测到第一件次品有4种抽法；第8次测到最后一件次品有3种抽法；第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A25种抽法；剩余4次抽到的是正品，共有A24 A25A46＝86 400种抽法．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A16种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A26＋A66种．由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为A44＋4A34A16＋4A35A26＋A66＝8 520.。

北师大版（2019） 必修第一册 模块综合检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B xx x =-=-+=∣，则()U A B È=ð（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-2．已知命题p ：x 为自然数，命题q ：x 为整数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．对一个样本容量为100的数据分组，各组的频数如表：A ．25人B ．50人C ．100．已知()f x 为奇函数，且当0x <时，()2f x x =+小值是（ ）A ．2B ．14C ．2-A．日成交量的中位数是16B．日成交量超过日平均成交量的有2天C．认购量与日期正相关D．10月7日认购量的增量大于10月7日成交量的增量12．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（）A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜D．小明小华两人各写一个数字､6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜四、解答题（1）请在所给的平面直角坐标（1）随时间t的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失.（用计算器计算）21．随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：定区间上的值域，只要a取这个值域内的数就可以了．。

2019届北师大版（文科数学） 排列组合与二项式定理 单元测试一、二项式定理1、（2018上海高考）在（1+x ）7的二项展开式中，x²项的系数为 。

（结果用数值表示）2、（2016上海高考）在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 3、（宝山区2018高三上期末）在n x x 23()+的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于 ．4（金山区2018高三二模）、(1+2x )n 的二项展开式中，含x 3项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n = ．5、（崇明区2018高三上期末（一模））在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 ．（用数字作答）6、（奉贤区2018高三上期末）921()x x +的二项展开式中，常数项的值为 . 7、（虹口区2018高三二模）若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于 ． 8、（黄浦区2018高三二模）二项式4031x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，其中是有理项的项数共有 答( ).(A ) 4项 (B ) 7项 (C ) 5项 (D ) 6项9、（浦东新区2018高三二模）91()x x +二项展开式中的常数项为10、（普陀区2018高三二模）若321()n x x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 .11、（青浦区2018高三二模）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 ． 12、（青浦区2018高三上期末）已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a= ． 13、（松江、闵行区2018高三二模）设*n ∈N ，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ，1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则22()()n n t b c -++的最小值为 .14、（杨浦区2018高三上期末）在62()x x-的二项展开式中，常数项的值为 15、（长宁、嘉定区2018高三上期末）若n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为 .16、（宝山区2018高三二模）在x x62()-的二项展开式中，常数项等于 （ ）（A ）160- （B ）160 （C ）150- （D ）150二、排列组合1、（2017上海高考）若排列数6654m P =⨯⨯，则m =2、（崇明区2018高三上期末（一模））从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）3、（奉贤区2018高三上期末）用1,2,3,4,5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有 个.4、（普陀区2018高三二模）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为 （结果用数值表示）.5、（奉贤区2018高三上期末）用1,2,3,4,5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有 个.6、（虹口区2018高三上期末）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学 中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 ．7、（黄浦区2018高三上期末）某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者(其中男生2人、女生5人)中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是 ．(结果用数值表示)8、（静安区2018高三上期末）从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案共有 种．（结果用数值表示）9、（闵行区2018高三上期末）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 （用数字作答）.10、（崇明县2017届高三第一次模拟）将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．11、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为．12、（静安区2017届向三上学期期质量检测）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有【】A．336种；B．320种；C．192种；D．144种.13、（闵行区2017届高三上学期质量调研）从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有种排法．（用数字作答）参考答案：一、二项式1、212、1123、4054、55、216、847、208、B9、8410、511、3012、1213、42514、11215、112016、A二、排列组合1、32、7803、604、245、606、187、258、609、9610、24 11、20012、A13、240。

数列求和1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为 ( )A.n3n ＋2B.n6n ＋4C.3n6n ＋4D.n ＋1n ＋22．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )A ．n (n ＋2)B.12n (n ＋4)C.12n (n ＋5)D.12n (n ＋7) 3．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13B ．－76C ．46D ．764．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( ) A ．2n －1B ．2n －1－1C ．2n ＋1D ．4n －15．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项是________． 6．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n2＋a n 对所有正整数n 都成立，且a 1＝2，则a n ＝______.7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N )，求数列{b n }的前n 项和T n .8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n .9．如果一个数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝H (H 为常数，n ∈N )，则称数列{a n }为等和数列，H 为公和，S n 是其前n 项的和，已知等和数列{a n }中，a 1＝1，H ＝－3，则S 2 011等于( ) A ．－3 016B ．－3 015C ．－3 014D ．－3 013 10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ()1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n答案1．B 2.C 3.B 4.A 5.－6 6.2n7．解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1， 所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1).8．(1)证明 数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为a 1＋1＝2.(2)解 由(1)知{a n ＋1}为等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.9．C 10.A11.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·()43n －2， n ≥2。

课时作业A 组——基础对点练1．复数2＋i1－2i ＝( )A ．iB ．－iC ．2(2＋i)D ．1＋i解析：复数2＋i1－2i ＝－21－2i＝i ，故选A.答案：A 2．若z ＝i2＋i，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为z ＝i2＋i＝－＋－＝1＋2i 5＝15＋25i ，z ＝15－25i ，所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(15，－25)，故选D.答案：D3．若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，i 是虚数单位，则乘积ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．5解析：＋＋－＋＝－5＋15i 5＝－1＋3i ，∴a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.答案：C4．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( )A ．1B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 解析：z|z |＝4－3i 42＋32＝45－35i ，故选D.答案：D5．已知复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i.若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB的中点C 对应的复数为z ，则|z |＝( ) A. 5 B ．5 C ．2 5D ．27解析：复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (2,6)，B (0，－2)，线段AB 的中点C (1,2)对应的复数z ＝1＋2i ，则|z |＝12＋22＝ 5.故选A. 答案：A6．已知z ＝m 2－1＋m i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0) C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：因为z ＝m 2－1＋m i 在复平面内对应的点是(m 2－1，m )，且该点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＜0，m ＞0，解得0＜m ＜1，所以实数m 的取值范围是(0,1)．答案：D7．已知i 是虚数单位，复数z 满足11＋i －11－i ＝1＋z 1－z ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：因为1－i －＋＋－＝1＋z 1－z，即－2i ＋－＝1＋z 1－z ，也即1＋z1－z＝－i ，故(1－i)z ＝－1－i ，所以z ＝－＋2＋－＝－2i2＝－i ，则|z |＝1，应选A.答案：A8.如图，在复平面内，表示复数z 的点为A ，则复数z1－2i对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由图可得z ＝－2＋i ，所以z 1－2i ＝－2＋i 1－2i ＝－2＋＋－＋＝－4－3i5，则对应的点在第三象限，故选C. 答案：C9．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 解析：4iz z －1＝4i＋－－1＝i.答案：C10．设i 是虚数单位，如果复数z ＝a －i2＋i，其实部与虚部互为相反数，那么实数a ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D.13解析：因为z ＝a －i 2＋i ＝a －－＋－＝2a －15－a ＋25i ，所以由题意，得2a －15＝a ＋25，解得a ＝3，故选B. 答案：B11．已知i 是虚数单位，复数z ＝1a －i(a ∈R)在复平面内对应的点位于直线y ＝2x 上，则a ＝( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12解析：z ＝1a －i ＝a ＋i a 2＋1＝a a 2＋1＋1a 2＋1i ，其对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫aa 2＋1，1a 2＋1，又该点位于直线y ＝2x 上，所以a ＝12.答案：B12．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 解析：因为z ＝21＋i ＝1－i ，所以z 的实部是1.答案：113．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________． 解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 14．|1＋2i|＋⎝⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝__________.解析：原式＝12＋22＋－32＋2＝3＋－2－23i 2i ＝3＋－22i ＋－23i2i＝i.答案：i15．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是__________．解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m 得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916.因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 B 组——能力提升练1．下面是关于复数z ＝2－i 的四个命题，p 1：|z |＝5；p 2：z 2＝3－4i ；p 3：z 的共轭复数为－2＋i ；p 4：z 的虚部为－1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：因为z ＝2－i ，所以|z |＝5≠5，则命题p 1是假命题；z 2＝(2－i)2＝3－4i ，所以p 2是真命题；易知z 的共轭复数为2＋i ，所以p 3是假命题；z 的实部为2，虚部为－1，所以p 4是真命题．故选C. 答案：C 2．设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C.32D ．2解析：11＋i ＋i ＝1－i ＋－＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝122＋122＝22，选B. 答案：B3．若复数z 满足i·z ＝－12(1＋i)，则z 的共轭复数的虚部是( )A ．－12iB.12i C ．－12D.12解析：由题意，得z ＝－12·1＋i i ＝－12·i1＋i i 2＝－12＋12i ，所以z 的共轭复数的虚部是－12，故选C.答案：C4．若z ＝(a 2－1)＋(a －1)i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a 2＋i1＋a i等于( )A ．－iB ．iC ． 1D ．1或i解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1，所以a 2＋i 1＋a i ＝1＋i1－i＝＋2－＋＝2i 2＝i.故选B. 答案：B5．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面内复数f＋3＋i对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： 由题可知f＋3＋i＝＋23＋i＝1＋2i ＋i 23＋i ＝2i 3＋i＝－32－i2＝2＋6i 10＝15＋35i ，所以其在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，该点在第一象限，故选A.答案：A 6.1＋2i－2＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i解析：1＋2i －2＝1＋2i－2i＝＋2＝－2＋i 2＝－1＋12i.答案：B7．如图，在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A 和B ，则z 2z 1＝( )A.15＋25iB.25＋15i C ．－15－25iD ．－25－15i解析：由题图知z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 2z 1＝－i2＋i＝－－＋－＝－2i －i 24－i2＝－1＋2i5.故选C. 答案：C8．(2018·长沙市模拟)若复数z 满足2z ＋z ·z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．－1－2i B ．－1－i C ．－1＋2iD ．1－2i解析：令z ＝x ＋y i ，则2z ＋z ·z＝x 2＋y 2＋2x ＋2y i ＝3－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＝3，2y ＝－4，解得x ＝－1，y ＝－2，则z ＝－1－2i. 答案：A9．若复数z 满足z 2＝－4，则|1＋z |＝( ) A ．3 B. 3 C ．5D. 5解析：由z 2＝－4知z 2＝(±2i)2，所以z ＝±2i，|1＋z |＝|1±2i|＝5，故选D. 答案：D10．(2018·开封模拟)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R)(i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝( ) A ．2B ．－2C ．±2D ．－12解析：由题意可得1－a i 1＋a i ＝－35＋45i ，即－a21＋a2＝1－a 2－2a i 1＋a 2＝－35＋45i ，∴1－a 21＋a 2＝－35，－2a 1＋a 2＝45，∴a ＝－2，故选B. 答案：B11．已知复数z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( ) A ．θ＝π4B ．θ＝π2C ．θ＝3π4D ．θ＝5π4解析：z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z 是纯虚数等价于⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝0cos θ－sin θ≠0，等价于θ＝34π＋k π，k ∈Z.故选C.答案：C12．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为__________．解析：复数z ＝x ＋y i 且|z －2|＝3，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆(x －2)2＋y 2＝3.y x 的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设y x＝k ，即y ＝kx ，|2k |1＋k2≤3，可得k ∈[－3，3]，则yx的最大值为 3. 答案： 313．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________. 解析：(1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由已知得a ＋1＝0，解得a ＝－1. 答案：－114．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c bd ＝ad －bc ，则满足等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －i 1－i 1＋i ＝0的复数z ＝________. 解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －i 1－i 1＋i ＝0，所以z (1＋i)＝－i(1－i)，即z ＝－－1＋i ＝－1－i1＋i＝－1. 答案：－115．在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是________．解析：21－i＝＋－＋＝1＋i ，所以复数21－i对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x ＋1的距离为1－1＋112＋－2＝22. 答案：22。

高考数学摆列组合专项练习题北师大版例 1. 从 1、 2 、 3 、⋯⋯、 20 二十个数中任取三个不一样的数成，的不一样样差数列有________ 个。

剖析：第一要把复的生活背景或其余数学背景化一个明确的摆列合。

a,b,c 成等差，∴ 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定，又∵ 2b 是偶数，∴ a,c 同奇或同偶，即：分从1， 3，5，⋯⋯， 19 或 2，4，6， 8 ，⋯⋯， 20 十个数中出两个数行摆列，由此便可确立等差数列，C（2,10） *2*P （ 2,2 ），因此本 180 。

例 2. 某城市有 4 条西街道和 6 条南北的街道，街道之的距同样，如。

若定只好向或向北两个方向沿中路前，从M 到 N 有多少种不一样的走法 ?剖析：背景的剖析能够逐深入（一）从M 到 N 必向上走三步，向右走五步，共走八步。

（二）每一步是向上是向右，决定了不一样的走法。

（三）事上，当把向上的步决定后，剩下的步只好向右。

进而，任可表达：从八个步中出哪三步是向上走，就能够确立走法数，∴本答案：=56 。

2．注意加法原理与乘法原理的特色，剖析是分是分步，是摆列是合例 3 ．在一并排的10 田地中，二分栽种 A ， B两种作物，每各栽种一，有益于作物生，要求 A ， B两种作物的隔许多于 6 ，不一样的法共有__ ____种。

剖析：条件中“要求 A 、 B 两种作物的隔许多于6” 个条件不简单用一个包括摆列数，合数的式子表示，因此采纳分的方法。

第一： A 在第一， B 有 3 种；第二： A 在第二， B 有 2 种；第三： A 在第三， B 有一种，同理A、 B 地点互，共12种。

例 4．从 6 双不一样色的手套中任取4 只，此中恰巧有一双同色的取法有_______ _ 。

(A)240 (B)180 (C)120 (D)60剖析：然本分步解决。

（一）从 6 双中出一双同色的手套，有 6 种方法；（二）从剩下的十只手套中任一只，有10 种方法。

1．计算5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．89×90×91×92×…×100可表示为()A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100解析：选C.由题意知：n＝100，∴100－m＋1＝89，∴m＝12，故选C.3．下列问题：①从1,2,3,5中任取两个不同的数相减可得多少种不同的结果？②从1,2,3,5中任取两个不同的数相乘可得多少种不同的结果？③一条公路线上有12个车站，共需准备多少种客车票？其中是排列问题的有()A．①②B．①③C．②③D．①②③解析：选B.由排列的定义可知①③是排列问题，②与顺序无关，不是排列问题，故选B.4．由1,2,3,4,5,6六个数字可组成无重复数字的两位数的个数为________个．解析：A26＝30(个)．答案：30一、选择题1．4×5×6×…×(n－1)等于()A．A4n－1B．A n－4n－1C．A n－5n－1D．A n n－1解析：选B.原式可写成(n－1)×(n－2)×…×6×5×4，由A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)知(n－1)－m＋1＝4，m＝n－4故选B.2．将两位新同学分到四个班中的两个班中去，共有的分法种数为()A．4B．12D．24解析：选B.共有A24＝12种，故选B.3．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160B．720C．240D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.4．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4B．5C．6D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.5．下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；④从a，b，c，d四个字母中取出2个字母，然后按顺序排成一列．其中是排列问题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.①是排列问题，因为取出的两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为取出的两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个字母还需要按顺序排成一列．6．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8B．12C．16D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.二、填空题7．写出从甲、乙、丙三个元素中任取两个元素的所有排列：________________.解析：按一定顺序一一列出，共6种．答案：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙8．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12种方法，由分步乘法计数原理，共有3×12＝36种选法．故填36.9．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．解析：分两步完成：第一步安排三名主力队员有A 33种，第二步安排另2名队员，有A 27种，所以共有A 33·A 27＝252种．答案：252三、解答题10．将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙两人，列出所有的分法．解： 甲 乙语文数学英语数学语文英语英语语文数学共有6种方法，分别为(语文，数学)，(语文，英语)，(数学，语文)，(数学，英语)，(英语，语文)，(英语，数学)．11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A 给B 写信与B 给A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．。