2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版) 专题03 因式分解(解析版)

专题31 相似的有关概念【例1】(2020•闵行区一模)如果线段4c=厘米，那么线段a、c的比例中项b=a=厘米，9厘米．【分析】根据比例中项的定义得到::=，然后利用比例性质计算即可．a b b c【解答】解：Q线段a和c的比例中项为b，∴=，::a b b c即4::9b b=，∴=±(负值舍去)．6b故答案为：6．【例2】(2020•黄浦区一模)如果点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，那么BPAP的值是 ． 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫【解答】解：Q 点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，∴BP AP AP AB ==．【例3】(2020•徐汇区一模)已知：::2:3:5a b c = (1)求代数式323a b ca b c-++-的值；(2)如果324a b c -+=，求a ，b ，c 的值．【分析】(1)根据比例设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，然后代入比例式进行计算即可得解； (2)先设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，然后将其代入324a b c -+=，即可求得a 、b 、c 的值． 【解答】解：(1)::2:3:5a b c =Q ，∴设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，则3635123495a b c k k ka b c k k k-+-+==+-+-；(2)设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，则 63524k k k -+=，解得3k =． 则26a k ==， 39b k ==，515c k ==．1．(2020•嘉定区一模)下列选项中的两个图形一定相似的是( )A ．两个等腰三角形B ．两个矩形C ．两个菱形D ．两个正五边形．【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【解答】解：A ．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；B ．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C ．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；D ．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；故选：D ．2．(2019秋•静安区校级月考)下列说法正确的是( ) A ．四个内角对应相等的两个四边形一定相似 B ．四条边对应成比例的两个四边形一定相似 C ．一个顶角对应相等的两个等腰三角形相似D ．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 【分析】利用相似多边形的定义分别进行判定后即可确定正确的选项．【解答】解：A 、四个内角对应相等的两个四边形不一定相似，如两个矩形，故不符合题意；B 、四条边对应成比例的两个四边形不一定相似，因为它们的对应角不一定相等，故不符合题意；C 、一个顶角对应相等的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；D 、两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形不一定相似，如顶角和一个底角对应相等的等腰三角形不一定相似，不符合题意； 故选：C ．3．(2018秋•浦东新区校级月考)将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是( ) A ．边的长度B ．图形的周长C ．图形的面积D ．角的度数【分析】根据相似图形的性质解答．【解答】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数， 故选：D ．4．(2020•宝山区一模)如果23a b =-，那么(ab= ) A ．23-B ．32-C ．5D ．1-【分析】直接利用已知变形进而得出答案． 【解答】解：23a b =-Q ，∴32a b =-． 故选：B ．5．(2020•普陀区一模)已知35x y =，那么下列等式中，不一定正确的是( ) A ．53x y =B ．8x y +=C ．85x y y += D ．35x x y y +=+ 【分析】根据比例的性质作答．【解答】解：A 、由比例的性质得到35y x =，故本选项不符合题意．B 、根据比例的性质得到8(x y k k +=是正整数)，故本选项符合题意．C 、根据合比性质得到85x y y +=，故本选项不符合题意． D 、根据等比性质得到35x x y y +=+，故本选项不符合题意． 故选：B ．6．(2020•闵行区一模)已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，那么下列比例式能成立的是( )A ．AB APAP BP=B ．AB BPAP AB=C ．BP ABAP BP=D ．AB AP =【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AP 和()BP AP BP >，且使AP 是AB 和BP 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点 【解答】解：根据黄金分割定义可知：AP 是AB 和BP 的比例中项，即2AP AB BP =g ，∴AB APAP BP=． 故选：A ．7．(2020•奉贤区一模)已知线段a ，b ，c ，如果::1:2:3a b c =，那么a bc b++的值是( ) A ．13B ．23 C ．35D ．53【分析】直接利用已知进而表示出a ，b ，c ，进而代入求出答案． 【解答】解：::1:2:3a b c =Q ，∴设a x =，2b x =，3c x =，∴23325a b x x c b x x ++==++． 故选：C ．8．(2020•徐汇区一模)已知，P 是线段AB 上的点，且2AP BP AB =g ，那么:AP AB 的值是( )A B C D 【分析】根据黄金分割定义即可求解．【解答】解：设AB 为1，AP 为x ，则BP 为1x -，2AP BP AB =Q g ，2(1)1x x ∴=-⨯解得1x =，2x =(舍去)．:AP AB ∴=故选：A ．9．(2020•静安区一模)已知点P 在线段AB 上，且:2:3AP PB =，那么:AB PB 为( ) A ．3:2B ．3:5C ．5:2D ．5:3【分析】根据比例的合比性质直接求解即可． 【解答】解：由题意:2:3AP PB =， :():(23):35:3AB PB AP PB PB =+=+=；故选：D ．10．(2020•黄浦区一模)已知线段2a =，4b =，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是()A ．8B ．6C ．D ．2【分析】根据比例中项的定义，若b 是a ，c 的比例中项，即2b ac =．即可求解． 【解答】解：若b 是a 、c 的比例中项， 即2b ac =． 242c =，解得8c =， 故选：A ．11．(2020•浦东新区一模)如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，下列各比例式不一定能推得//DE BC的是()A．AD AEBD CE=B．AD DEAB BC=C．AB ACBD CE=D．AD AEAB AC=【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：Q AD AE BD CE=，//DE BC ∴，Q AB AC BD EC=，//DE BC∴，Q AD AE AB AC=，//DE BC∴，故选：B．12．(2020•徐汇区一模)如图，////AB CD FF，2AC=，5AE=， 1.5BD=，那么下列结论正确的是( )A．154DF=B．154EF=C．154CD=D．154BF=【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：////AB CD FFQ，2AC=，5AE=， 1.5BD=，∴AC BD CE DF=，即2 1.5 52DF=-，解得：94 DF=，9315424BF BD DF ∴=+=+=， 故选：D ．13．(2020•闵行区校级一模)已知线段2AB =，P 是AB 的黄金分割点，且AP BP >，那么AP = ．【解答】解：P Q 是AB 的黄金分割点，AP BP >，1AP AB ∴==，1．14．(2020•虹口区一模)如果:2:3a b =，且10a b +=，那么a = ．【分析】根据已知条件设2a k =，3b k =，再根据10a b +=求出k 的值，从而得出a 的值． 【解答】解：设2a k =，3b k =， 10a b +=Q ， 2310k k ∴+=，解得：2k =， 2224a k ∴==⨯=；故答案为：4．15．(2020•宝山区一模)已知1:23:x =，那么x = ． 【分析】直接利用比例的性质得出x 的值． 【解答】解：1:23:x =Q ，∴132x=， 6x ∴=．故答案为：6．16．(2020•浦东新区一模)已知线段2AB cm =，P 是线段AB 的黄金分割点，PA PB >，那么线段PA 的长度等于 cm ．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AP 和()BP PA PB >，且使AP 是AB 和BP 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点． 【解答】解：根据黄金分割定义，得2PA AB PB =g ，22(2)PA PA =-解得1PA ．1．17．(2020•金山区一模)已知点P 在线段AB 上，且满足2BP AB AP =g ，则BPAB的值等于 ． 【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AP 和()BP BP AP >，且使BP 是AB 和AP 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点． 【解答】解：根据黄金分割定义可知：2BP AB AP =Q g ，设AB 为1，则1AP BP =-，21(1)BP BP ∴=-g 210BP BP +-=，解得BP =)BP ∴=．18．(2020•崇明区一模)已知23x y =，那么x y x += ． 【分析】直接利用已知得出23x y =，进而得出答案． 【解答】解：Q 23x y =， 23x y ∴=， ∴253223y yx y x y ++==．故答案为：52． 19．(2020•静安区一模)已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -=- ． 【分析】根据分比性质可得答案．【解答】解：Q34x y =，且4y ≠， ∴3344x y -=-． 故答案为：3420．(2020•嘉定区一模)如果23a b =，那么ab= ． 【分析】直接利用已知进而表示出a ，b 之间的关系． 【解答】解：23a b =Q ，∴32a b =． 故答案为：32． 21．(2020•金山区一模)如果32x x y =-，那么xy的值等于 ． 【分析】直接利用已知得出x ，y 之间的关系进而得出答案． 【解答】解：Q32x x y =-， 332x y x ∴-=，故3x y =∴3xy=． 故答案为：3．22．(2020•松江区一模)已知：23x y =，那么2x y x y-=+ ． 【分析】直接利用已知用同一未知数表示出x ，y ，进而代入原式求出答案． 【解答】解：Q23x y =， ∴设2x a =，3y a =， ∴2431235x y a a x y a a --==++． 故答案为：15．23．(2020•浦东新区一模)已知3x y =，那么2x yx y+=+ ． 【分析】直接利用已知代入原式求出答案． 【解答】解：3x y =Q ，∴342325x y y y x y y y ++==++． 故答案为：45． 24．(2020•青浦区一模)已知25a b =，那么ab a-的值为 ． 【分析】直接利用已知表示出a ，b 的值，进而化简即可． 【解答】解：Q25a b =， ∴设2a x =，5b x =， ∴22523a xb a x x ==--． 故答案为：23． 25．(2020•杨浦区一模)已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP AB =g ，如果10AB cm =，那么BP =cm ．【分析】根据点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP AB =g ，列方程即可求解． 【解答】解：Q 点P 是线段AB 上的一点 10AP AB BP BP ∴=-=-，2BP AP AB =Q g ，10AB cm =，2(10)10BP BP =-⨯，解得5BP =．故答案为：5)．26．(2020•松江区一模)已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果2a =，3b =，那么c = ． 【分析】根据比例中项的定义，若b 是a ，c 的比例中项，即2b ac =．即可求解． 【解答】解：Q 线段a 是线段b 、c 的比例中项， 2a bc ∴=， 2a =Q ，3b =，243a cb ∴==故答案为：43． 27．(2020•杨浦区一模)在比例尺为1:8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 千米．【分析】根据比例尺=图上距离实际距离代入数据计算即可．【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，Q比例尺==图上距离实际距离，1:80000004:x∴=，32000000x∴=，∴甲、乙两地的实际距离为是320km，故答案为：320．28．(2020•浦东新区一模)如图，已知////AB CD EF，6AD=，3DF=，7BC=，那么线段CE的长度等于．【分析】根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．【解答】解：////AB CD EFQ，6AD=，3DF=，7BC=，∴AD BC DF CE=，即673CE =，解得：72 CE=，故答案为：7 229．(2020•青浦区一模)已知线段2AB=，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，那么AP的值为．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：Q点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，21AP AB∴===．1．。

2020年中考数学因式分解专题复习（后附答案）1．因式分解(1)定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．【因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．】【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．A．a(x＋y)＝ax＋ay B．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1) D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y答案：C点拨：A是整式乘法，B、D等号右边不是整式积的形式，而是和的形式，不是因式分解．2．公因式(1)定义：多项式的各项中都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式．(2)确定公因式的方法：确定一个多项式的公因式，要对数字系数和字母分别进行考虑，在确定多项式的公因式时，一看系数，二看字母，三看指数．【确定公因式的方法(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．】【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3D．3a2b2答案：D点拨：在多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3中，这三项系数的最大公约数是3，各项都含有字母a，b，字母a的最低次幂是a2，字母b的最低次幂是b2，所以各项的公因式是3a2b2，故选D.3．提公因式法(1)定义：一般地，如果多项式中各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． (2)提公因式的步骤： ①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； ③把多项式写成公因式与剩余因式的和这两个因式的积的形式．【提公因式的注意点 (1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式； (2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项全部提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．】【例3】 用提公因式法分解因式：(1)12x 2y －18xy 2－24x 3y 3； (2)5x 2－15x ＋5； (3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )． 解：【课堂练习】1、下列各式中，从等式左边到右边的变形，属因式分解的是 （填序号）①()22221y x y x -∙=- ②()()y x y x y x-+=-22③()()222244y x y x y x -+=- ④()2222y xy x y x ++=+2、若分解因式()()n x x mx x ++=-+3152，则m 的值为 .3、把下列各式分解因式：(1)ma+mb ； (2)5y 3-20y 2； (3)2ax 2y-axy 2；(4)-4kx-8ky ； (5)-4x+2x 2； (6)-8m 2n-2mn4、把下列各式分解因式：(1)a 2b-2ab 2 +ab ； (2)3x 3–3x 2–9x ； (3)-20x 2y 2-15xy 2+25y 3 ；(4)-24x 3+28x 2-12x ； (5)-4a 3b 3+6a 2b-2ab ； (6) 6a(m-2)+8b(m-2)；（7）(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)；（8）4（x-y）3-8x(y-x)2；（9）(1+x)(1-x)-(x-1)5、利用提公因式计算：（1）21×3.14+62×3.14+17×3.14；（2）1998×6.55+425×19.98－0.1998×80004．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．(2)平方差公式的特点：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．【例4】把下列多项式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.解：【随堂练习】1．下列多项式，能用平方差公式分解的是（）A．－x2－4y2B．9 x2+4y2C．－x2+4y2D．x2+（－2y）22.分解因式：25－(m+2p)2 = ；2ax2－2ay2= ；9(m+n)2-16(m-n)2= ；x5－x3= ；a2-(a+b)2= .3.拓展练习小明说：对于任意的整数n，多项式（4n2+5）2－9都能被8整除．他的说法正确吗？请说明理由．5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．(2)完全平方公式的特点：左边是一个二次三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．【例5】 把下列多项式分解因式：(1)x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9； (3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy . 解： 【随堂练习】1．23616x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为（ ） A ．48 B ．24C ．－48D ．±482．分解因式n n n +-2344＝ ．3．一次课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题，你认为小明做的不够完整的一题是（ ）A ．()123-=-x x x x B ．()2222y x y xy x -=+- C ．()y x xy xy y x -=-22 D ．()()y x y x y x -+=-224. 把下列各式分解因式：⑴t 2+22t+121； ⑵m 2+41n 2－mn ； （3）ax 2+2a 2x+a 3；（4）(x+y)2-4(x+y)+4； （5）25m 2-10mn+n 2； （6）4(x-y)2+12(y-x)+95．当a ＝3，a －b ＝1时，a 3－2a 2b+ab 2的值是 ．6．在多项式2a +1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式为 ． 7．分解因式：2mx 2+4mx +2m = 8、拓展练习用简便方法计算：（1）20012－4002+1； (2) 9992 ； (3 ) 200226．十字相乘法分解因式（1）十字相乘法的公式：利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．即 acx 2+（ad+bc ）x +bd =(ax ＋b )(cx ＋d )（2）特点：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（i ）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式： ))(()(2b x a x ab x b a x++=+++；（ii ）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=，它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．【十字相乘法分解因式的易错点：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．】【例6】把下列多项式分解因式：（1）x 2＋7x ＋12； (2) x 2-14x ＋45； （3）7x 2＋56x ＋49； （4）x 2-5xy -6y 2；解：【随堂练习】1、若x 2+mx+15=（x-3）（x+a ），则m= ，a= ；2、分解因式：3m 2+15mn+4n 2= ； 5x 2-6x+1= ；1522--x x = ； a 2-3ax-10x 2= ； -2x 3y+4x 2y 2+6xy 3= ； 3、把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ； （2）3832-+x x ； （3）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（4）120)8(22)8(222++++a a a a ； （5）22210235y aby b a -+； （6）90)242)(32(22+-+-+x x x x ．4、分解因式：①655222-+-+-y x y xy x ； ②ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟： ① 法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式．法2：把字母y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式． ②先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．7．因式分解的一般步骤根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤概括为：一提、二套、三查． 一提：如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式；二套：提公因式后或无公因式可提，就考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式； 三查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解．8．运用公式法分解因式易出现的错误在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．【例7】 把下列各式分解因式：(1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2； （3）22)1(2)1(4-+-b b a ； （4）244yz y z z --.解：【例8】（1）下列各式能用完全平方公式分解因式的有( )．①4x 2－4xy －y 2； ②x 2＋25x ＋125； ③－1－a －a 24； ④m 2n 2＋4－4mn ； ⑤a 2－2ab ＋4b 2； ⑥x 2－8x ＋9.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①⑤⑥不符合完全平方公式的结构特点，不能用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方公式的特点，③提取“－”号后也符合完全平方公式的特点，所以②③④能用完全平方公式分解．①中的y 2前面是“－”号，不能用完全平方公式分解．⑤中间项有a 、b 的积的2倍，前后项都是平方式，但中间项不是“首尾积的2倍”，不能用完全平方公式分解．⑥也不符合．（2）已知(19x -31)(13x -17)-(13x -17)(11x -23)可因式分解成(ax +b )(8x +c )，其中a 、b 、c 均为整数，则a +b +c =（ ）A ．-12B ．-32C ．38D ．729．运用分解因式解决动手操作题动手操作题是让学生在实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对同学们的能力有更高的要求，有利于培养学生乐于动手、勤于思考的意识和习惯，有利于培养学生的创新能力和实践能力．这类题目主要考查动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图等．不仅考查动手能力，还考查想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．此类题目就是通过拼图，用不同的式子表示图形面积，以达到把多项式分解因式的目的．【例9】 如某同学剪出若干个长方形和正方形卡片，如图(1)所示，请运用拼图的方法，选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形，使它的面积等于a 2＋4ab ＋3b 2，并根据你拼成的图形的面积，把此多项式分解因式．图(1) 图(2)解：因为拼成一个面积等于a 2＋4ab ＋3b 2的大长方形，就要用1个边长为a 的正方形、3个边长为b 的正方形和 4个边长分别为a ，b 的长方形，可以拼成如图(2)所示的图形，由此知长方形的边长分别为(a ＋b )和(a ＋3b )． 由面积可知a 2＋4ab ＋3b 2＝(a ＋b )(a ＋3b )．【巩固练习】1、 因式分解：①222axy y x a -； ②c ab ab abc 249714+--； ③()()x y y y x x ---；④()y x y x m +--2； ⑤324(1)2(1)q p p -+-； ⑥22412925x xy y -+-2、 若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 3、 分解因式：=+-+)(3)(2y x y x ，2m mn mx nx -+-= ．4、下列因式分解错误的是()A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．222()x y x y +=+5、把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．()224x - B ．()224x -C ．()222x -D ．()222x +6、已知3， 2a b ab +==， 22ab b a --的值为 ；7、用因式分解计算：151713191713⨯-⨯-； 2298196202202+⨯+8、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。

专题40几何综合型聚焦考点【题型特征】以几何知识为主体的综合题，简称几何综合题，主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心，以圆为重点，常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用 .【解题策略】解答几何综合题应注意：(1)注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路；(3)运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.一名师点睛【例1】(2020?宝山区一模)如图，OC是ABC中AB边的中线，ABC 36，点D为OC上一点，如果OD kgOC，过D作DE //CA交于BA点E ,点M是DE的中点，将ODE绕点O顺时针旋转度(其中0 180 )后，射线OM交直线BC于点N .⑴如果ABC的面积为26,求ODE的面积(用k的代数式表示)；(2)当N和B不重合时，请探究ONB的度数y与旋转角的度数之间的函数关系式；(3)写出当ONB为等腰三角形时，旋转角的度数.【分析】⑴通过证明ODEs OCA,可得S2E^ (OD)2即可求解;S OAC OC(2)通过证明OEMs BAC ,可得EOM ABC 36 ,分两种情况讨论可求解;(3)分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解.【解答】解：（1）QOC 是 ABC 中AB 边的中线，ABC 的面积为26,S OAC13,Q DE / /AC ,ODEs OCA , OEM OAC ,144 时，若 OB ON ,贝U ABC BNO 36DEOOACOD 2 「(OC)，且 OD kcOC ,S ODE 13k(2)Q ODEs OCA OE ODOA OCDE ACk,QOC 是 ABC 中AB 边的中线，点 M 是DE 的中点, 1 __AB 2AO , EM —DE, 2 OE k AB 2 OEM s幽，且ACOEMEOM ABC 36 ,如图2,当0144时，Q AONBONB ,AOE EOM BONBQ BNOABCNOB 36(144 ) 180⑶当0 y)NOB 144若OB BN ,则ONB 180-36- 72 ,2若ON BN ,贝U ABC BON 36 ,ONB 180 2 36 108 ,当144 180 时，若OB BN ,贝U N NOB 18 180 , 162 .【例2】（2020?嘉定区一模）已知：点P在ABC内，且满足APB APC （如图），APB BAC ⑴求证：PABs PCA；PC-（2）如果APB 120 , ABC 90 ,求——的值；PB⑶如果BAC 45，且ABC是等腰三角形，试求tan PBC的值.【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.(2)证明PABs PCA,利用相似三角形的性质解决问题即可.(3)分三种情形：AB AC, AB BC , AC BC分别求解即可解决问题.BAP APB 180 , APB BAC 180 ,ABP BAP APB APB BAC ,即ABP BAP APB APB BAP CAP ,ABP CAP,又Q APB APC ,PABs PCA .(2)如图1中,180【解答】证明：(1)Q ABPQ APB BAC 180 , APB 120 ,BAC 60 ,在 ABC 中，Q ABC 90 , BAC 60 ,1八AB -AC , 2又Q PABs PCA ,PB PA AB 1 PA PC AC 2 'PB PB PA 1 口口 PC , ————g- 二即—— 4 . PC PA PC 4 PB⑶ Q BAC 45 , APB BAC 180 , APB APC ,APB APC 135 . BPC 360 APB APC 360 135 135 90 ,Q PCAs PAB ,PA PC AC PB PA ABPC PC PA ,AC 、2 --- -------- g— ( ------- ) • PB PA PB AB②如图3中,A AC 时，tan PBCPC (空)2 1 PB AB①如图2中，当ABC 是等腰三角形，且 ABBM AC 于M .解直角三角形求出 BM , AM 即可解决问题.tan PBC PC (AC)1 2 PB AB(1)求cos A 的值;(2)当 A 2 ACD 时，求AD 的长;(3)点D 在边AB 上运动的过程中，AD : BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求 AD : BE 的值；如果变八 PC AC 2 tan PBC ——(——)PB ABAB BC 时， ACBBAC 45 ABC90 ,易得竺AB【例3】(2020?徐汇区一模 )如图，在 ABC 中, AB AC点D 是边AB 上的动点(点D 不与 点AB 重合)，点G 在边AB 的延长线上， CDE ABCDE 与边BC 交于点F .AC BC 时， ABCBAC 45 ACB90 ,易得空 AB当ABC 是等腰三角形，且③如图10 4,化，请说明理由.【分析】⑴作AH BC 于H,(2)设AH 交CD 于K .首先证明 AK CK ,设AK CK x ,在Rt CHK 中，理由勾股定理求出 x ,再证明 ADKs CDA ,理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题.【解答】解： ⑴作AH BC 于H , BMQ AB AC , AH BC , BH CH 3 , AH JA?BH^ 后^ 4 , …1 ”… QS ABCgB CgAH2BCgAH 24 ,AC 5 .AB^—BM 2 . 52 (24)2(2)设AH 交CD 于K . Q BAC 2 ACD , BAHCAK ACK ,CK AK ,设 CK AK x ,222在 Rt CKH 中，则有 x (4 x) 3 , 解得x 型， 8AK CK ”, 8 Q ADK ADC , DAK ACD ,ADKs CDA ,m 5 25 8 则有n T ,解得m 125 c 39m 2n(n 25) 8AD AK CD AC25DAD t I 设ADm ，DK n ，⑶结论：AD : BE 5:6值不变.证明一「AD ACDs BCE ,可得 AD BE AC 5BC 61 …-gACgBM , 2BMAM cos AAM 7 AB 25625 31239⑶结论：AD: BE 5:6值不变.理由：Q GBE ABC , BAC 2 ABC 180 , GBE EBC ABC 180 ,EBC BAC , QEDC BAC , EBCEDC ,D , B ,E , C 四点共圆，EDB ECB,QEDB EDC ACD DAC , EDC DAC , EDB ACD , ECB ACD , ACDs BCE ,AD AC 5 BE BC 6能力提升1 . （2020?金山区一模）如图，已知在 Rt ABC 中,125 AD6 ,点P 、Q 分别在边AC 、射线CB上，且AP CQ ,过点P作PM AB ,垂足为点M ,联结PQ ,以PM PQ为邻边作平行四边形PQNM ，设AP x ,平行四边形 PQNM 的面积为y .(1)当平行四边形PQNM 为矩形时，求 PQM 的正切值；(2)当点N 在 ABC 内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形 PQNM 一边的中点时，直接写出 x 的值.【分析】(1)当四边形PQMN 是矩形时，PQ//AB .根据tan PQM EM 求解即可. PQ(2)如图1中，延长QN 交AB 于K .求出MK , PM ,根据y PM gMK 求解即可.(3)分两种情形：①如图3 1中，当平分MN 时，D 为MN 的中点，作NE //BC 交PQ 于E ,作NH CB 交 1CB 的延长线于 H , EG BC 于G .根据EG — PC 构建万程求解.②如图3 2中，当平分NQ 时，D 是NQ 2的中点，作DH CB 交CB 的延长线于H .根据PC GH 构建方程求解即可. 【解答】解：(1)在 Rt ACB 中，Q C 90 , AC 8 , BC 6 ,AB V AC 2~BC 2 也2 62 10 ,当四边形PQMN 是矩形时，PQ//AB .(2)如图1中，延长QN 交AB 于K .tan PQMPM PQ3 PA _5_5CQ 3 25B由题意BQ 6 x, QN PM4AM -x , 54KQ BQ524 4xBK -BQ 518 3xMK AB AM BK32 x QQN24 4x24三'PMgMK 96x 3x2 25( ,⑶①如图3 1 中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE//BC交PQ于E, 作NH CB交CB的延长线EG0 B HQPD//BC, EN//BC,PD / /NE ,Q PE //DN ,四边形PDNE是平行四边形,PE DNQ DN DM , PQ MN ,PE EQ ,Q EG//PC ,CG GQ ,1 EG -PC , 2Q 四边形EGHN 是矩形,33 NH EG NQ -PM 5 5②如图3 2中，当平分 NQ 时，D 是NQ 的中点，作 DH CB 交CB 的延长线于 H .综上所述，满足条件x 的值为200或400 . 43 592. （2020?普陀区一模）如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC , C 90 , AD 2 , BC 5 , DC 边BC 上，tan AEC 3,点M 是射线DC 上一个动点(不与点D 、C 重合)，联结BM 交射线 设 DM x, AN y.(1)求BE 的长;9 —x, PC 8 x, 25 9 —x 25 2肥 x ）,解得x 200 解得x 40059Q DH PC ,(2)当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45 ,请直接写出这时线段DM的长.(2)延长AD交BM的延长线于G.利用平行线分线段成比例定理构建关系式即可解决问题.(3)分两种情形：①如图3 1中，当点M在线段DC上时，BNE ABC 45 .②如图3 2中,ABE 45 ,利用相似三角形的性质即可解决问题.Q AD //BCAHC四边形AHCD是矩形,Q tan AEC 3AH 3, EHBE BC CE(2)延长AD交BM的延长线于G .Q AG / /BC ,DG BC DM CM 'DG5DG5x 6 3xAN Q - AGNE BE 当点M在线段DC的延长线上时，ANB【解答】解: (1)如图1中，作AH BC 于H ，AD CH 2 AHEH 1, CE 3,【分析】⑴如图1中，作AH BC于H ,解直角三角形求出EH , CH即可解决问题.6 3xy 3 x- ------ ,10 y 23 10x 6 .而小yx 12 (BNE ABC 45 ,⑶①如图3 1中，当点M在线段DC上时,Q EBNs EAB ,__ 2 _ _EB ENgAE,4道色辿gW12 x解得x -.2②如图3 2中，当点M在线段DC的延长线上时，ANB ABE 45 , Q BNAs EBA_2 一AB AEgAN ,(3.2)2 .100 10 2 10(x 3)12 x解得x 13 ,综上所述DM的长为1或13.25 3. (2019?闵行区一模)如图，在梯形ABCD 中，AD//BC , AB CD , AD 5 , BC 15, cos ABC — . E13 为射线CD上任意一点，过点A作AF / /BE ,与射线CD相交于点F .连接BF ,与直线AD相交于点G .设CE x,9 y.DG⑴求AB的长;(2)当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;⑶如果:边形ABEF2 ,求线段CE的长.S四边形ABCD 3DN BC ,垂足为点M、N ,根据三角函数解答即可;(2)根据相似三角形的判定和性质解答，进而利用函数解析式解答即可；(3)根据两种情况，利用勾股定理解答即可.【分析】(1)分别过点A、D作AM BC【解答】解：⑴分别过点A、D作AM BC、DN BC ,垂足为点M、N.QAD//BC, AB CD , AD 5, BC 15,1 C 1BM -(BC AD) —(15 5) 5,2 2在Rt ABM 中，AMB 90 ,cos ABMBM 5 5AB AB 13AB 13.(2)Q AG yDGAG DGDGy 1. 即得DGQ AFD ADFADFs BCE .FD AD 5 1EC BC 15 3又QCE x, FD 1 r『-x , AB CD 13 ,即得FC 31-x 13 .3Q AD / /BC , FD DGFC BC3x 135y 11539 2x3x所求函数的解析式为39 2x3x函数定义域为392⑶在Rt ABM中，利用勾股定理，得AM ,AB2 BM 2 12 .- 1 … 1 / …S® 形ABCD -AD BC AM - 5 15 12 120 .2 2-S3边形ABEF 2Q ---------- -，边形设S ADF S .由ADF s BCE , EC 3,得S AEC(ii)如果点G 在边DA 的延长线上，则 S 四边形ABCD S 四边形ABEF S ADF 9S.过点E 作EH BC ,垂足为点由题意，本题有两种情况:(i )如果点G 在边AD 上，则 S 四边形ABCD Sffl 边形ABEF 8s 40.S AEC 9s 45._ 1 _ 1S BEC -BC EH — 15 EH 45.2 2又 CD AB 13,CE13 2由 DN BC , EH BC ,易得 EH //DN .CD DN 12 2在 Rt AEF 中，tan A 2 , AE m8s 200 .解得 S 25 .S BEC 9 s 225.1 1 S BEC -BCgEH - 15 EH 225.解得 EH 30.2 2(1)当点E 在边AD 上时，①求 CEF 的面积；(用含m 的代数式表示)②当S DCE 4S BFG 时，求AE:ED 的值；(2)当点E 在边AD 的延长线上时，如果 AEF 与 CFG 相似，求m 的值.【分析】(1)①先根据三角函数表示出 EF ,再用勾股定理表示出 AF ,再判断出 AEFs BGF ,得出比例 式表示出CG ,即可得出结论；②先表示出FG ,再用S DCE 4S BFG 建立方程求出m ,即可得出结论；(2)分两种情况：①当 AEFs CGF 时，得出 AFE CFG ,进而得出BG - BC —, 22 一2 2一5一. 515FG BG tan CBF 而，再根据勾股定理得，BF 寸BG 2 FG 2 —,进而彳#出AF AB BF 5 --,2 22 最后判断出 BGFs AEF ,得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当 AEFs CGF 时，先判断出 AFC 90 ,进而得出CF 2BF ,再根据勾股定理得，求出 BF 1 ,得 出AF AB BF 6,同理：BG 45 ,再判断出 BGFs AEF ,得出比例式建立方程求解即可得出结论.5 【解答】解：⑴①Q EF AD,AEF 90 , CE CD EH DN 3012CE 65CE13f 65 一或一. 4. (2020?奉贤区一模)如图，已知平行四边形 ABCD 中，AD V 5, AB 5 , tan A 2 ,点 E 在射线 AD 上, 过点E 作EF AD ,垂足为点 E ,交射线 AB 于点F , 交射线CB 于点G ,联结CEEF AE tan A 2 m根据勾股定理得，AF J AE 3 4 EF 2 厮, Q AB 5 ,BF 5 d 5m,Q 四边形ABCD 是平行四边形， BC AD 而，AD//BC,G AEF 90 ,AEFs BGF ,AE AFBG BF 'm .. 5mBG 5 75mBG J 5 m ,CG BC BG 押 J 5 m 2 新 m ,1 1 — — 2S CEF — EFgCG —g2mg(2q5 m) 245m m ;2 2 ②由①知，AEFs BGF ,FG BFEF AF-BF 5 . 5m-FG -gEF —=-g2m 2(V5 m), AF .5m EG EF FG 2m 2( j5 m) 275 ,1 1 - - - S CDE —DEgEG — (V 5 m)g275 5 V5m2 25m 4( 531 — — —2 S BFG -BGgFG—(而 m)g235 m) (J5 m)2 , 4 2S DCE 4s BFG 时5。

上海初中数学知识点大全1、一元一次方程根的情况△=b2-4ac当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根2、平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。

③平行四边形的对边/对角相等。

④平行四边形的对角线互相平分。

菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。

③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。

矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

②矩形的对角线相等，四个角都是直角。

③对角线相等的平行四边形是矩形。

④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。

⑤一组邻边相等的矩形是正方形。

多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）平均数：对于N个数X1，X2…X N，我们把（X1+X2+…+X N）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。

二、基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc ,那么a:b=c:d84、(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85、(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

第03讲 整式及其运算[基础篇]1、同底数幂的乘法：m n m n a a a +⋅=，逆用这个法则，也可以把一个幂分解为两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指数．如4312233333=⨯=⨯等．2、幂的乘方：()n m mn aa = 逆用法则：()()m n mn n m aa a ==可帮助我们根据问题的需要灵活地将式子变形． 如()()()43634342x x x x ⨯===． 3、积的乘方：()n n n ab a b =⋅ 性质的逆向使用，会使计算简化．如201020102010201011221122⎛⎫⎛⎫⨯=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[技能篇]类型一：同底数幂的乘法例1-1 计算：（1） 2()a b -⋅3()b a -（2） 223()()x x x -⋅-⋅- （3）()()2006200722-+-例1-2 化简：()()()()22-1212-2n n n n a b c c a b a b c c a b ++-⋅--++-⋅--例1-3 已知10x m =，50x y m +=，求x y m m +的值。

例1-4 若216m n x +=，2n x =，求m n x +的值。

例1-5 已知225,1a b a b +=-=-，求23222523()()()()a b b a a b a b +⋅-⋅--⋅-+的值类型二：幂的乘方例2-1 计算：（1）2322343()()()x x x x ⋅⋅⋅（2）()()()()()322312m n n m a a a a a -⋅-⋅⋅例2-2 已知36,4m n m aa +==求111119n a ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的值。

例2-3 计算：4523421042523()()()()()a a a a a a a ---⋅+---⋅-例2-4 已知436482,n ⨯=求n 的值例2-5 已知2,2x ya b ==，用,a b 表示3222x y x y +++的值例2-6 比较5554443333,4,5的大小关系例2-7 若123n a +++⋯+=，求代数式))(())()(123221n n n n n xy y x y x y x y x --- （的值．例2-8 比较550与2425的大小例2-9如果的值求12),0(020*******++≠=+a aa a a ．类型三：积的乘方；例3-1计算：（1）1222()()()n n n aa a --⋅⋅- （2）1111127331982⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）332223219()()3x y x y x y xy ⋅-+- （4）()()()()()()()4342332344232a a a a a a a ⋅---⋅+-⋅-⋅；（5）()()()()()()()242242423222x x x x x x x ---⋅--⋅-⋅-；例3-2 已知22131346x x x +++⋅=，求x 的值例3-3 若整数,,a b c 满足15018982725a b c c a b +⋅⋅=⋅⋅，求,,a b c 的值例3-4 已知877,8a b ==，用,a b 的代数式表示5656例3-5 比较大小：552，443，334，225.例3-6 若整数a ，b ，c 满足15018982725a b c c a b +⋅⋅=⋅⋅，求a ，b ，c 的值[竞技篇]一、填空题：1、若()8x x n m =，则()=-1mn mn _________2、a 、b 、c 、d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则a 、b 、c 、d 中，最大的数是3、设a 、b 、c 、d 都是自然数，且5432,a b c d ==，17a c -=，求d b -的值是4、已知2,3,m n a a ==则32m n a +=_________二、解答题：1、计算：245322(2)a a a a a ⋅+⋅-，2、计算：（1）23323()(2)(2)()x x y xy x y -⋅-+⋅-⋅（2）()()2322324.02331xy xy y x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）()()()22313232x y y x y x ⎡⎤⎡⎤--⋅--⋅⎡-⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3、已知5719,n m m x x +==，求3n x 的值。

专题03 因式分解1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+（2）运用公式法：))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-（3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++（4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

【例1】（2019•金山区二模）因式分解：32a a += ．【分析】运用提公因式法分解因式即可，提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式．【解答】解：322(2)a a a a +=+，故答案为2(2)a a +．【例2】（2018•静安区二模）分解因式2()4x y xy -+= ．【分析】根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式进行分解即可．【解答】解：222()424x y xy x xy y xy -+=-++，222x xy y =++，2()x y =+．故答案为：2()x y +．【例3】（2018•黄浦区二模）因式分解：212x x --= ．【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．【解答】解：212(4)(3)x x x x --=-+．1．（2018秋•浦东新区期末）下列关于x 的二次三项式中(m 表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是( )A ．222x x -+B ．221x mx -+C ．22x x m -+D ．21x mx --【分析】对每个选项，令其值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数范围内一定能分解因式的二次三项式．【解答】解：选项A ，2220x x -+=，△44240=-⨯=-<，方程没有实数根，即222x x -+在数范围内不能分解因式；选项B ，2210x mx -+=，△28m =-的值有可能小于0，即221x mx -+在数范围内不一定能分解因式； 选项C ，220x x m -+=，△44m =-的值有可能小于0，即22x x m -+在数范围内不一定能分解因式； 选项D ，210x mx --=，△240m =+>，方程有两个不相等的实数根，即21x mx --在数范围内一定能分解因式．故选：D ．2．（2018秋•静安区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解且分解结果正确的为( )A ．22(2)(1)63a a a +--=+B ．22111()442x x x ++=+C ．26(3)(2)x x x x --=-+D ．42216(4)(4)x x x -=+-【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．【解答】解：A 、22(2)(1)(21)(21)a a a a a a +--=++-+-+3(23)a =+，故此选项错误；B 、21144x x ++，无法运算完全平方公式分解因式，故此选项错误； C 、26(3)(2)x x x x --=-+，正确；D 、422216(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x -=+-=+-+，故此选项错误．故选：C ．3．（2018秋•闵行区期末）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是2216x mx ++能在有理数的范围内因式分解，则整数m 的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m 的值有几个？( )A ．4B ．5C ．6D ．8【分析】根据把16分解成两个因数的积，2m 等于这两个因数的和，分别分析得出即可．【解答】解：4416⨯=Q ，(4)(4)16-⨯-=，2816⨯=，(2)(8)16-⨯-=，11616⨯=，(1)(16)16-⨯-=， 442m ∴+=，4(4)2m -+-=，282m +=，282m --=，1162m +=，1162m --=， 分别解得：4m =，4-，5，5-，8.5（不合题意），8.5-（不合题意）；∴整数m 的值有4个，故选：A ．4．（2019春•长安区期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )A ．21234a b a ab =gB ．2(3)(3)9x x x +-=-C ．()ax ay a x y -=-D ．24814(2)1x x x x +-=+-【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．【解答】解：A 、不多项式变形，因而不是因式分解，错误；B 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；C 、是提公因式法，正确；D 、右边不是积的形式，错误；故选：C ．5．多项式22221x y y x --+因式分解的结果是( )A ．22(1)(1)x y ++B ．2(1)(1)(1)x x y -++C ．2(1)(1)(1)x y y ++-D ．(1)(1)(1)(1)x x y y +-+-【分析】直接将前两项提取公因式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：22221x y y x --+222(1)(1)y x x =---2(1)(1)(1)y x x =--+(1)(1)(1)(1)y y x x =-+-+．故选：D ．6．（2019•静安区二模）如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围是 ．【分析】关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程240x x m -+=无实数根，由此可解．【解答】关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程240x x m -+=无实数根，∴△2(4)41640m m =--=-<，4m ∴>．故答案为：4m >．7．（2019•浦东新区二模）分解因式：2224a ab b -+-= ．【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：2224a ab b -+-2()4a b =--(2)(2)a b a b =-+--．故答案为：(2)(2)a b a b -+--．8．（2019•闵行区二模）分解因式：29x x -= ．【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为x ，然后提取公因式即可．【解答】解：原式9(9)x x x x x =-=-g g ，故答案为：(9)x x -．9．（2019•徐汇区二模）在实数范围内分解因式34x x -的结果为 ．【分析】首先提取公因式，然后利用平方差公式即可分解．【解答】解：324(4)(2)(2)x x x x x x x -=-=+-．故答案为：(2)(2)x x x +-．10．（2018•宝山区二模）因式分解：24x x -= ．【分析】直接提取公因式x ，进而分解因式得出即可．【解答】解：24(4)x x x x -=-．故答案为：(4)x x -．11．（2018•闵行区二模）在实数范围内分解因式：243a -= ．【分析】符合平方差公式的特点，可以直接分解．平方差公式22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：243(2(2a a a -=-．故答案为：(2(2a a +．12．（2018•杨浦区三模）()()a a b b a b +-+= ．【分析】先确定公因式为()a b +，然后提取公因式后整理即可．【解答】解：()()()()a a b b a b a b a b +-+=+-．13．（2018秋•嘉定区期末）因式分解：ax ay bx by +++= ．【分析】原式两项两项结合，分解即可得到结果．【解答】解：原式()()()()a x y b x y a b x y =+++=++，故答案为：()()a b x y ++14．（2018秋•静安区期末）分解因式：32a a a -+= ．【分析】根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：原式2(1)a a a =-+， 故答案为：2(1)a a a -+。

专题04 分式1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式。

其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质(1)分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。

(2)分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则;;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n ba b a n nn = ;cb ac b c a ±=± bdbc ad d c b a ±=±【例1】(2019•浦东新区二模)如果分式x y x y +-有意义，则x 与y 必须满足( ) A ．x y =- B ．x y ≠- C ．x y = D ．x y ≠【分析】根据分式有意义的条件是0x y -≠，可得0x y -≠，进而可得答案．【解答】解：由题意得：0x y -≠，即：x y ≠，故选：D ．【例2】(2018秋•奉贤区期末)若分式22xy x y +中的x ，y 的值同时扩大到原来的2倍，则此分式的值( ) A ．扩大到原来的4倍B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的12 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：22444xy x y + 22xy x y =+， 故选：C ．【例3】(2018•浦东新区二模)计算：323b a a b=g ． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式23ab =故答案为：23ab【例4】(2018•上海)先化简，再求值：22212()11a a a a a a+-÷-+-，其中a ． 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 【解答】解：原式212[](1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a -+=-÷+-+-- 1(1)(1)(1)2a a a a a a +-=+-+g 2a a =+，当a 时，原式5===-1．(2018秋•嘉定区期末)下列四个选项中，可以表示2111x x x -++的计算结果的选项是( ) A ．21x - B ．1x - C ．2(1)x - D ．2(1)1x x -+ 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果 【解答】解：2211(1)(1)11111x x x x x x x x x -+--===-++++， 故选：B ．2．(2018秋•静安区期末)分式11x x +-有意义的条件是( ) A ．1x = B ．1x ≠ C ．1x =- D ．1x ≠-【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【解答】解：要使11x x +-有意义，得 10x -≠． 解得1x ≠，当1x ≠时，11x x +-有意义， 故选：B ．3．(2018秋•浦东新区期末)当2y =时，下列各式的值为0的是( )A ．22y -B ．224y y +-C ．224y y --D ．224y y -+ 【分析】根据分式的值为零的条件进行判断．【解答】解：A 、当2y =时，20y -=，由于分式的分母不能为0，故A 错误；B 、当2y =时，240y -=，分式的分母为0，故B 错误；C 、当2y =时，240y -=，故C 错误；D 、当2y =时，20y -=，且240y +≠，故D 正确；故选：D ．4．(2018秋•浦东新区期末)下列变形不正确的是( )A ．3344a a a a --=--B ．3223b a a b c c --+=-C ．22b a b a c c -++=-D ．221111a a a a --=--- 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：(C)原式(2)2b a b a c c---==-，故C 错误； 故选：C ．5．(2018秋•浦东新区期末)下列分式是最简分式的是( ) A ．2144x x -- B ．222345x x x x ---- C ．221x x -- D ．336x x - 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A ．21(1)(1)1444(1)4x x x x x x -+-+==--，不符合题意； B ．2223(1)(3)345(1)(5)5x x x x x x x x x x --+--==--+--，不符合题意； C ．221x x --是最简分式，符合题意； D ．33363(2)2x x x x x x ==---，不符合题意； 故选：C ．6．(2018•奉贤区二模)计算：112a a-= ． 【分析】首先通分，然后再根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．进行计算即可． 【解答】解：原式211222a a a=-=， 故答案为：12a ． 7．(2018秋•嘉定区期末)分式221x y -与分式21x xy-的最简公分母是 ． 【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案． 【解答】解：两个分式可化为：1()()x y x y +-，1()x x y -， 故最简公分母：()()x x y x y +-，故答案为：()()x x y x y +-．8．(2018秋•嘉定区期末)要使代数式423x +有意义，那么字母x 所表示的数的取值范围是 ． ． 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由分式有意义的条件可知：230x +≠，32x ∴≠- 故答案为：32x ≠-． 9．(2018秋•浦东新区校级月考)化简：2242x x x -=+- ． 【分析】先将分子、分母分别因式分解，再约去公因式即可得． 【解答】解：原式(2)(2)2(1)(2)1x x x x x x +--==-+-， 故答案为：21x x --．10．(2019•长宁区二模)先化简，再求值：22244(4)2x x x x x-+÷-+，其中x = 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算除法运算，化简后，代入x 的值求解． 【解答】解：原式2(2)(2)44(2)x x x x x x x+--+=÷+ 22(2)x x x x -=-g 12x =-．当x 122x ===-．11．(2019•奉贤区二模)先化简，再求值：22693111x x x x x x x -+--÷--+，其中x =【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x =代入，根据分母有理化法则计算即可． 【解答】解：原式2(3)11(1)(1)3x x x x x x x -+=--+--g 311x x x x -=--- 31x =-，当x =时，原式3==．12．(2019•崇明区二模)先化简，再求值：2221(1)121a a a a a a +-÷+---+，其中a 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算，得到答案．【解答】解：原式22(1)1111(1)a a a a a +-=--+-g 2111a a =--- 11a =-，当a 1．13．(2019•杨浦区三模)先化简，再计算：2221222x x x x x x x--+--+g ，其中1x =． 【分析】原式约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式(1)(2)12(1)1212(1)x x x x x x x x x x x x+-++-=-=-=-+g ，当1x =时，原式2==14．(2018•虹口区二模)先化简，再求值：2344(1)11a a a a a -+--÷++，其中a = 【分析】首先将括号里面通分运算，再将分子与分母分解因式，进而化简得出答案． 【解答】解：原式22131144a a a a a --+=+-+g 2(2)(2)11(2)a a a a a +-+=+-g 22a a +=-，当a =原式7==--。

一次函数的应用综合复习１．学会用待定系数法确定一次函数解析式． ２．具体感知数形结合思想在一次函数中的应用． ３．利用一次函数知识解决相关实际问题．知识结构【知识梳理】根据实际问题建立一次函数解析式的方法： （1）找等量关系；（2）把已知的条件代入，变化的两个量用变量x,y 来表示； （3）求定义域：既要根据解析式又要根据实际意义求定义域.【备注】该部分为题型分类讲解，讲解过程中注意讲练结合，共7个例题，试卷大概24分钟。

例1.某人要从A 地到B 地.A 、B 两地距离15公里，他有两种选择：（★★） 第一种：乘出租车，3公里以内起步价10元，超出3公里部分每公里1元； 第二种：租一辆自行车，可以异地还车，每天20元．(1)写出距离x ≥3时，出租车费用y 关于x 的函数解析式； (2)问此人选择哪一种更合算？【分析】（1）出租车费用=3公里以内起步价+超出3公里的费用；（2）由解析式画出图像即可知道. 【答案】（1）()73y x x =+≥（2）由图像可知此人应选择第二种.例2.某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5元。

（★★） （1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？（2）当倍价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）获利：（30-20）[105-5（30-25）]=800（元）（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元由题意，得：y=(x-20)[105-5（30-25）]=-5x2+330x-4600=-5(x-33)2+845当x=33时，y的最大值是845故当售价为定价格为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。

例3.小华同学利用假期时间乘坐一大巴去看望在外打工的妈妈.出发时，大巴的油箱装满了油，匀速行驶一段时间后，油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油，接着按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有13箱汽油.设油箱中所剩的汽油量为V（升），时间为t的大致图象是（）（★★）【答案】D例4.小吴今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分钟；再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（）（★★）【答案】D例5.某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点后原路返校，如图为师生离校路程s与时间t之A B C D间的图象.请回答下列问题：（★★） （1）求师生何时回到学校？（2）如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半个小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s 与时间t 之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程；（3）如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回学校，往返平均速度分别为每小时10km 、8km.现有A 、B 、C 、D 四个植树点与学校的路程分别是13km ，15km 、17km 、19km ，试通过计算说明哪几个植树点符合要求.)【解】：（1）设师生返校时的函数解析式为b kt s +=， 把（12，8）、（13，3）代入得，⎩⎨⎧+=+=b k b k 133,128 解得：⎩⎨⎧=-=68,5b k ∴685+-=t s ， 当0=s 时，t=13.6 ， ∴师生在13.6时回到学校； （2）图象正确２分.由图象得，当三轮车追上师生时，离学校4km ；（3）设符合学校要求的植树点与学校的路程为x （km ），由题意得：88210+++x x ＜14, 解得：x ＜9717，答：A 、B 、C 植树点符合学校的要求．例6.某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：（★★）（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？x (元/千度)y (元/千度)300200O【解】：（1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数解析式为： y=kx+b 该函数图象过点（0，300），（500，200） ∴ 200500300k b b =+⎧⎨=⎩ ，解得15300k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴y=-51x+300(x ≥0) 当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y=-51*600+300=180（元/千度） （2）设工厂每天消耗电产生利润为w 元，由题意得： W=my=m(-51x+300)=m [-51(10m+500)+300] 化简配方，得：w=-2(m-50)2+5000由题意，m ≤60, ∴当m=50时，w 最大=5000即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元.例7.某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y （元）与上网时间x （小时）的函数关系如图所示，其中BA 是线段，且BA ∥x 轴，AC 是射线．（★★） (1)当x ≥30．求，与x 之间的函数关系式；(2)若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？(3)若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？8.5 9.5Ot (时)s (千米)4 83 6 2 810 9 11 12 13 14【答案】（1）()33030y x x=-≥；（2）60元；（3）35小时.【备注】本部分为解题方法总结，可以让学生独立总结解题过程和心得，时间大概3分钟。

专题30 坐标系与图形的运动一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念点的坐标用(a ，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，(a ，b)和(b ，a)是两个不同点的坐标。

方法归纳1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为(0，0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y(2)点P(x,y)到y 轴的距离等于x(3)点P(x,y)到原点的距离等于22y x +二、图形的平移三、图形的翻折四、图形的旋转【例1】(2019•杨浦区三模)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(﹣1，2)，将点A向右平移4个单位，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是()A．(3，2)B．(3，﹣2)C．(﹣3，﹣2)D．(﹣3，2)【分析】直接利用平移规律得出点A'坐标，再根据关于y轴对称点的性质得出点A“坐标即可．【解答】解：∵点A的坐标是(﹣1，2)，∴将点A向右平移4个单位，得到点A′(3，2)，∵作点A'关于y轴的对称点，得到点A“，∴点A″的坐标是：(﹣3，2)．故选：D．【例2】(2019•上海)如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是．【分析】由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到∠AEB＝∠EDF，进而得到tan∠EDF＝tan∠AEB=ABAE=2．【解答】解：如图所示，由折叠可得AE ＝FE ，∠AEB ＝∠FEB =12∠AEF ，∵正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，∴AE ＝DE =12AD =12AB ，∴DE ＝FE ，∴∠EDF ＝∠EFD ，又∵∠AEF 是△DEF 的外角，∴∠AEF ＝∠EDF +∠EFD ，∴∠EDF =12∠AEF ，∴∠AEB ＝∠EDF ，∴tan ∠EDF ＝tan ∠AEB =AB AE =2．故答案为：2．【例3】(2020•徐汇区一模)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A 'BC 'D '，点A 的对应点A '在对角线AC 上，点C 、D 分别与点C '、D '对应，A ′D '与边BC 交于点E ，那么BE 的长是 ．【分析】如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，由勾股定理可求AC ＝5，由面积法可求BF =125，由勾股定理可求AF =95，由旋转的性质可得AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，可求AA '=75，由等腰三角形的性质可求HC 的长，通过证明△EHC ∽△ABC ，可得BC AC =HC EC ，可求EC 的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，∵AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC =√AB2+BC 2=√9+16=5， ∵S △ABC =12AB ×BC =12AC ×BF ，∴3×4＝5BF ，∴BF =125∴AF =√AB 2−BF 2=√9−14425=95， ∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A 'BC 'D '，∴AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，且BF ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠BA 'A ，AF ＝A 'F =95，∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∴A 'C ＝AC ﹣AA '=75，∵∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∠BAA '+∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠EA 'C ，∴A 'E ＝EC ，且EH ⊥AC ，∴A 'H ＝HC =12A 'C =710，∵∠ACB ＝∠ECH ，∠ABC ＝∠EHC ＝90°，∴△EHC ∽△ABC ，∴BC AC=HC EC ∴45=710EC∴EC =78，∴BE ＝BC ﹣EC ＝4−78=258，故答案为：258．1．(2019•浦东新区二模)在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：①线段是轴对称图形，②等边三角形是轴对称图形，③等腰梯形是轴对称图形，④平行四边形不是轴对称图形，综上所述，一定是轴对称图形的是①②③共3个．故选：C ．2．(2017•上海)下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )A ．菱形B ．等边三角形C ．平行四边形D ．等腰梯形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A 、菱形既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；B 、等边三角形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；C 、平行四边形不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；D 、等腰梯形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A ．3．(2019春•普陀区期末)如果点A (a ，b )在第二象限，那么a 、b 的符号是( )A ．0＞a ，0＞bB ．0＜a ，0＞bC ．0＞a ，0＜bD ．0＜a ，0＜b【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．【解答】解：∵点A (a ，b )在第二象限，∴a ＜0，b ＞0；故选：C ．4．(2019春•浦东新区期末)已知点P (2﹣a ，3a +10)且点P 到两坐标轴距离相等，则a ＝ ．【分析】根据点到两坐标轴的距离相等，即点的横纵坐标相等或互为相反数，计算即可．【解答】解：根据题意，得：2﹣a＝3a+10或2﹣a+3a+10＝0，解得：a＝﹣2或a＝﹣6，故答案为：﹣2或﹣6．5．(2018秋•长宁区期末)直角坐标平面内的两点P(﹣2，4)、Q(﹣3，5)的距离为．【分析】根据两点间的距离为√(x1−x2)2+(y1−y2)2可直接得到答案．【解答】解：∵P(﹣2，6)、Q(2，3)，∴PQ=√(−2+3)2+(4−5)2=√2，故答案为：√2．6．(2019春•长宁区期末)已知点M(a，b)是直角坐标平面内的点，若ab＞0，则点M在第象限．【分析】先根据有理数乘法法则得出ab＞0时有两种情况，再根据平面直角坐标系中各象限内的点的坐标符号特点即可求解．【解答】解：∵点M(a，b)是直角坐标平面内的点，若ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0．当a＞0，b＞0时，M(a，b)在第一象限；当a＜0，b＜0时，M(a，b)在第三象限；故答案为一、三．7．(2020•静安区一模)如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为．【分析】如图，连接BD．设BC＝2a．在Rt△BEF中，求出EF，BF即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD．设BC＝2a．∵四边形ABC 都是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2a ，∠A ＝∠C ＝60°，∴△BDC 是等边三角形，∵DE ＝EC ＝a ，∴BE ⊥CD ，∴BE =√BC 2−EC 2=√3a ，∵AB ∥CD ，BE ⊥CD ，∴BE ⊥AB ，∴∠EBF ＝90°，设AF ＝EF ＝x ，在Rt △EFB 中，则有x 2＝(2a ﹣x )2+(√3a )2，∴x =7a 4，∴AF ＝EF =7a 4，BF ＝AB ﹣AF =a 4，∴cos ∠EFB =BF EF =a 47a 4=17，故答案为17． 8．(2020•闵行区一模)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝6，点D 在底边BC 上，且∠DAC ＝∠ACD ，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为 ．【分析】只要证明△ABD ∽△MBE ，得AB BM =BD BE ，只要求出BM 、BD 即可解决问题． 【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠DAC ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ABC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CAD ∽△CBA ，∴CA CB =CD AC ，∴46=CD 4， ∴CD =83，BD ＝BC ﹣CD =103，∵∠DAM ＝∠DAC ＝∠DBA ，∠ADM ＝∠ADB ，∴△ADM ∽△BDA ，∴AD BD =DM DA ，即83103=DM 83，∴DM =3215，MB ＝BD ﹣DM =65， ∵∠ABM ＝∠C ＝∠MED ，∴A 、B 、E 、D 四点共圆，∴∠ADB ＝∠BEM ，∠EBM ＝∠EAD ＝∠ABD ，∴△ABD ∽△MBE ，(不用四点共圆，可以先证明△BMA ∽△EMD ，推出△BME ∽AMD ，推出∠ADB ＝∠BEM 也可以！)∴AB BM =BD BE ，∴BE =BM⋅DB AB=1． 故答案为：1．9．(2020•青浦区一模)已知，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝5cm ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，在折叠的过程中，如果点A 恰好落在线段EF 上，那么边AD 的长至少是 cm ．【分析】根据已知条件得到AE ＝DF ＝BE ＝CF ，求得四边形AEFD 是矩形，得到EF ＝AD ，∠AEN ＝∠BEN ＝90°，根据折叠的性质得到BN ＝AB ，根据直角三角形的性质得到∠BNE ＝30°，于是得到EN =√32BN =5√32，即可得到结论． 【解答】解：如图，∵在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，∴AE ＝DF ＝BE ＝CF ，∴四边形AEFD 是矩形，∴EF ＝AD ，∠AEN ＝∠BEN ＝90°，∵折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，∴BN ＝AB ，∵BE =12AB ，∴BE =12BN ，∴∠BNE ＝30°，∵AB ＝5cm ，∴EN =√32BN =5√32， ∴EF ≥EN 时，点A 恰好落在线段EF 上，即AD ≥5√32，∴边AD 的长至少是5√32， 故答案为：5√32．10．(2020•杨浦区一模)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝4，AB ＝a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a ＝ ．【分析】当△A 1EF 为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A 1EF ＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A 1C ＝A 1E ＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC ＝2A 1B ＝8，最后利用勾股定理可得AB 的长；②当∠A 1FE ＝90°时，如图2，证明△ABC 是等腰直角三角形，可得AB ＝AC ＝4．【解答】解：当△A 1EF 为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A 1EF ＝90°时，如图1，∵△A 1BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，∴A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A1EF，∴AC∥A1E，∴∠ACB＝∠A1EC，∴∠A1CB＝∠A1EC，∴A1C＝A1E＝4，Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A1E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB=√82−42=4√3；②当∠A1FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA1＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4√3或4；故答案为：4√3或4；11．(2020•崇明区一模)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，D 是AC 的中点，点E 在边AB 上，将△ADE 沿DE 翻折，使得点A 落在点A ′处，当A ′E ⊥AB 时，则A ′A ＝ ．【分析】分两种情形分别求解，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．想办法求出AE ，利用等腰直角三角形的性质求出AA ′即可．【解答】解：如图，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．在Rt △ACB 中，BC =√AB 2−AC 2=6，∵∠DAF ＝∠BAC ，∠AFD ＝∠C ＝90°，∴△AFD ∽△ACB ，∴DF BC =AD AB =AF AC ， ∴DF 6=410=AF 8，∴DF =125，AF =165，∵A ′E ⊥AB ，∴∠AEA ′＝90°，由翻折不变性可知：∠AED ＝45°，∴EF ＝DF =125，∴AE ＝A ′E =125+165=285，∴AA ′=28√25， 如图，作DF ⊥AB 于F ，当 EA ′⊥AB 时，同法可得AE =165−125=45，AA ′=√2AE =4√25．故答案为28√25或4√25． 12．(2020•闵行区一模)已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处，那么tan ∠BAE ＝ ．【分析】由正方形ABCD 中四个内角为直角，四条边相等，求出BC 与DC 的长，利用勾股定理求出BD 的长，由旋转的性质可求BE 的长，即可求解．【解答】解；如图，∵正方形ABCD ，∴∠ABC ＝∠C ＝90°，在Rt △BCD 中，DC ＝BC ＝2，根据勾股定理得：BD =√AD 2+AB 2=√4+4=2√2，∵将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处，∴BE ＝BD ＝2√2，∴tan ∠BAE =BE AB =2√22=√2， 故答案为：√2．13．(2020•普陀区一模)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，sin B =513，点P 为边BC 上一点，PC ＝3，将△ABC 绕点P 旋转得到△A 'B 'C '(点A 、B 、C 分别与点A '、B '、C '对应)，使B 'C '∥AB ，边A 'C '与边AB 交于点G ，那么A 'G 的长等于 ．【分析】如图，作PH ⊥AB 于H ．利用相似三角形的性质求出PH ，再证明四边形PHGC ′是矩形即可解决问题．【解答】解：如图，作PH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，sin B =513，∴AC AB =513，∴AB ＝13，BC =√AB 2−AC 2=√132−52=12，∵PC ＝3，∴PB ＝9，∵∠BPH ∽△BAC ，∴PH AC =PB AB ， ∴PH 5=913，∴PH =4513，∵AB ∥B ′C ′，∴∠HGC ′＝∠C ′＝∠PHG ＝90°，∴四边形PHGC ′是矩形，∴CG ′＝PH =4513， ∴A ′G ＝5−4513=2013，故答案为2013．14．(2020•奉贤区一模)如图，已知矩形ABCD (AB ＞CD )，将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，连接DF ，如果点G 是DF 的中点，那么∠BEG 的正切值是 ．【分析】连接BD ，BF ，EG ．利用四点共圆证明∠BEG ＝∠BFD ＝45°即可．【解答】解：连接BD ，BF ，EG ．由题意：BD ＝BF ，∠DBF ＝90°，∵DG ＝GF ，∴BG ⊥DF ，∴∠BGF ＝∠BEF ＝90°，∴∴B ，G ，E ，F 四点共圆，∠BEG ＝∠BFD ＝45°，∴∠BEG 的正切值是1．故答案为1．15．(2020•嘉定区一模)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，cos A =35(如图)，把△ABC 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，将A 、B 的对应点分别记为点A '、B '．如果A 'B '恰好经过点A ，那么点A 与点A '的距离为 ．【分析】如图，过点C 作CE ⊥A 'B '，由锐角三角函数可求AC ＝6，由旋转的性质可得AC ＝A 'C ＝6，∠A '＝∠BAC ，即可求A 'E 的长，由等腰三角形的性质可求AA '的长．【解答】解：如图，过点C 作CE ⊥A 'B '，∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，cos ∠BAC =35，∴AC ＝6，∵把△ABC 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，∴AC ＝A 'C ＝6，∠A '＝∠BAC ，∵cos ∠A '＝cos ∠BAC =A′E A′C =35， ∴A 'E =185，∵AC ＝A 'C ，CE ⊥A 'B '，∴AA '＝2A 'E =365，故答案我：365．16．(2020•金山区一模)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4，点P 在边BC 上，联结AP ，将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B 的对应点是点B ′，则BB ′的长等于 ．【分析】如图，延长AB '交BC 于E ，过点B '作B 'D ⊥AB 于点D ，由勾股定理可求AC 的长，由旋转的性质可求AP ＝AM =√5，∠P AB ＝∠CAE ，AB ＝AB '＝2，通过证明△ABP ∽△CBA ，可得∠P AB ＝∠C ，可得CE ＝AE ，由勾股定理可求CE ，BE 的长，由相似三角形的性质可求B 'D ，BD 的长，即可求解．【解答】解：如图，延长AB '交BC 于E ，过点B '作B 'D ⊥AB 于点D ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4，∴AC =√AB 2+BC 2=√16+4=2√5，∵点M 是AC 中点，∴AM =√5，∵将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，∴AP ＝AM =√5，∠P AB ＝∠CAE ，AB ＝AB '＝2，∵AP 2＝AB 2+PB 2，∴PB ＝1，∵BA PB =2=BC AB ，且∠ABP ＝∠ABC ＝90°， ∴△ABP ∽△CBA ，∴∠P AB ＝∠C ，∴∠C ＝∠CAE ，∴CE ＝AE ，∵AE 2＝AB 2+BE 2，∴CE 2＝4+(4﹣CE )2，∴CE ＝AE =52，∴BE =32，∵B 'D ∥BC ，∴△AB 'D ∽△AEB ，∴AB′AE =AD AB =B′D BE， ∴252=AD 2=B′D32， ∴AD =85，B 'D =65， ∴BD =25，∴BB '=√B′D2+BD 2=√3625+425=2√105， 故答案为：2√105． 17．(2020•松江区一模)如图，矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝k ，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，联结AD ′，分别交边CD ，A ′B 于E 、F ，如果AE =√2D ′F ，那么k ＝ ．【分析】由矩形的性质和旋转的性质可求AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，通过证明△ADE ∽△F A 'D '，可得AD A′F =DE A′D′=AE D′F ，可求DE ，A 'F 的长，通过证明△A 'D 'F ∽△CEF ，由相似三角形的性质可求解．【解答】解：∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，∴AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，∴A 'D '∥BA ∥CD∴∠A 'D 'F ＝∠FEC ＝∠DEA ，且∠D ＝∠A '＝90°，∴△ADE ∽△F A 'D '，∴AD A′F =DE A′D′=AE D′F ，且AE =√2D ′F ，∴DE =√2A 'D '=√2，A 'F =12AD =√22， ∵∠A '＝∠DCF ＝90°，∠A 'FD '＝∠EFC ，∴△A 'D 'F ∽△CEF ，∴EC A′D′=FC A′F ，∴k−√21=k−1−√22√22∴k =√2+1，故答案为：√2+1．18．(2019•浦东新区二模)如图，已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝45o ，将这个三角形绕点B 旋转，使点A 落在射线AC 上的点A 1处，点C 落在点C 1处，那么AC 1＝ ．【分析】连接AC 1，由旋转的性质先证△ABA 1为等腰直角三角形，再证△AA 1C 1为直角三角形，利用勾股定理可求AC 1的长度．【解答】解：如图，连接AC 1，由旋转知，△ABC ≌△A 1BC 1，∴AB ＝A 1B ＝3，AC ＝A 1C 1＝2，∠CAB ＝∠C 1A 1B ＝45°，∴∠CAB ＝∠CA 1B ＝45°，∴△ABA 1为等腰直角三角形，∠AA 1C 1＝∠CA 1B +∠C 1A 1B ＝90°，在等腰直角三角形ABA 1中，AA 1=√2AB ＝3√2，在Rt △AA 1C 1中，AC 1=√AA 12+A 1C 12=√(3√2)2+22=√22， 故答案为：√22．19．(2019•长宁区二模)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别是点A'、B'，若点B'恰好在线段AA'的延长线上，则AA'的长等于．【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C＝5，AB＝A'B'＝5，BC＝B'C＝8，由等腰三角形的性质可得AF＝A'F，由勾股定理列出方程组，可求AF的长，即可求AA'的长．【解答】解：如图，过点C作CF⊥AA'于点F，∵旋转∴AC＝A'C＝5，AB＝A'B'＝5，BC＝B'C＝8∵CF⊥AA'，∴AF＝A'F在Rt△AFC中，AC2＝AF2+CF2，在Rt△CFB'中，B'C2＝B'F2+CF2，∴B 'C 2﹣AC 2＝B 'F 2﹣AF 2，∴64﹣25＝(5+AF )2﹣AF 2，∴AF =75∴AA '=145故答案为：14520．(2019•普陀区二模)如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在边AB 上，且DE ⊥AD ，将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，连接AF 交BC 于点G ，如果AE BE =52，那么GF AB 的值等于 ．【分析】连接FC ，证明△EDB ≌△FDC ，可得ED ＝DF ，∠EBD ＝∠FCD ，FC ＝BE ，即FC ∥AB ，所以△CFG ∽△BAG ，可得FG AG =FC AB =BE AB =27，所以FG =29AF ，因为DE ⊥AD ，DE ＝DF ，所以AE ＝AF ，进而可得出GF AB 的值．【解答】解：如图，连接FC ，∵将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，∴BD ＝CD ，ED ＝FD ，∵∠EDB ＝∠FDC ，∴△EDB ≌△FDC (SAS )，∴ED ＝DF ，∠EBD ＝∠FCD ，FC ＝BE ，∴FC ∥AB ，∴△CFG ∽△BAG ，∴FG AG =FC AB =BE AB =27， ∴FG =29AF ，∵DE ⊥AD ，DE ＝DF ，∴AE ＝AF ，∴GF AB =29AE 75AE =1063． 故答案为：1063．。

分式方程及其应用1.理解分式方程的概念，会解一些简单的分式方程；2.通过将简单的分式方程转化为一元二次方程进行求解，领会分式方程“整体化”的化归思想和方法；3.理解增根的概念，会检验分式方程的根；4.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用。

知识结构【知识梳理】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

【备注】该部分共9个例题，大概25分钟，讲解过程中注意讲练结合。

例1. 解方程xxxxxxxx+++++=+++++12672356（★★★★）分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得 167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =-92。

例2. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2（★★★★） 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。

当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。

解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得622022()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。