高中数学全套讲义 必修4 向量的数量积与坐标运算 中等教师版

人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计一、教学目标1.掌握向量数量积的定义，并能够利用坐标运算求解向量数量积。

2.掌握向量数量积的度量公式，并能够灵活应用。

3.能够在实际问题中运用向量数量积解决几何问题。

二、教学重点和难点1.教学重点：向量数量积的坐标运算和度量公式的应用。

2.教学难点：向量数量积的概念和度量公式的证明。

三、教学方法与手段1.探究式教学：通过让学生自己发现向量数量积的性质和应用方法，激发其学习兴趣和求知欲。

2.讲授式教学：通过教师讲解向量数量积的定义、性质和应用，使学生全面理解该知识点。

3.互动式教学：通过师生互动，让学生积极参与讨论，提高教学效果。

4.录屏演示：通过PPT和教学软件，演示向量数量积的坐标运算和度量公式的应用，加深学生对知识点的理解。

四、教学内容和步骤第一步：向量数量积的概念和坐标运算公式1.讲解向量数量积的定义和性质，并给出两个向量的数量积的向量形式和标量形式。

2.教师以矢量坐标运算符 $ \cdot $ 为例，讲解向量数量积的坐标运算公式和求解方法。

3.设计数学实例，让学生自己动手计算两个向量的数量积，加深其对该知识点的理解。

第二步：向量数量积的度量公式1.讲解向量数量积的度量公式和应用方法，包括向量夹角余弦公式和向量模长公式。

2.教师以例题和练习题为例，演示应用向量数量积的度量公式解决几何问题的过程。

3.让学生自己设计一个实际问题，通过向量数量积的度量公式解决问题，提高其应用能力。

第三步：练习和巩固1.给学生准备一些模拟测试题目，让他们在课后进行复习和练习，巩固所学知识。

2.班内进行一次小测验，检验学生对该知识点的掌握程度，及时纠正学生存在的问题。

五、教学评价与反思在教学过程中，教师应该注意引导学生积极参与课堂活动，并及时纠正学生存在的问题，以达到高效的教学效果。

并在教学评价中，关注学生对向量数量积知识点的掌握情况，及时评价和反馈学生的学习成果，以便教师更好的指导学生。

2.3 平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量｜a ｜×｜b ｜×cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝｜｜×｜｜×cos θ。

注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量．．．．．．．．．．．．．．．，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．．．．．．．．．．．；．（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“·． ”不能省略，也不能也成“×”．．．．．．．．．．．．．．；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：．．．．．．．．．．．．0．0．≤．θ≤．180．．．0．。

．（4）规定：．．．零向量与任．．．．．一向量的数量积为．．．．．．．．0．，即．．0·b ＝．0．；（5）当向量a 与b 的夹角为900时，叫a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b ，此时：a ⊥b ⇔a ·b ＝0。

2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于·＝｜｜×｜｜×cos θ，其中｜｜×cos θ叫做在方向上的投影，当θ为锐角时，投影为正；当θ为钝角时，投影为负；当θ就直角时，投影为0； 当θ为0度时，投影是｜｜； 当θ为180度时，投影为－｜｜；（2）．在．方向上的投影．．．．．．与．在．方向上的投影就不同的．．．．．．．．．．；（3））在方向。

例1：已知｜｜＝2，｜｜＝5，当（1）与夹角为300时；（2）当⊥时；（3）当当a ∥b 时；分别计算a 与b 的数量积。

【解析】：（1）53； （2）0； （3）±10变式练习1：已知｜｜＝3，｜｜＝5，且与的夹角为450，则在方向上的投影是（ ） A ：223 B ：3 C ：4 D ：5 【解析】：A变式练习2：已知｜｜＝6，｜｜＝3，且·＝－12，则在方向上的投影是（）A：－4 B：－2 C：4 D：2【解析】：A二、平面向量数量积的性质若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角1、·＝·＝｜｜×｜｜×cosθ2、⊥⇔·＝03、若与同向，则·＝｜｜×｜｜( 夹角为0度)；若反向，则·＝－｜｜×｜｜( 夹角为180度)；特别地，·＝()2＝｜｜2或｜｜＝4、若θ是a与b的夹角，则cosθ＝5、｜·｜≤｜｜×｜｜（当与共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律1、·＝·2、(λ)·＝λ(·)＝·(λ)3、(a＋b)·c＝a·c＋b·c4、(a＋b)·(a－b)＝(a)2－(b)2＝｜a｜2－｜b｜25、(＋)2＝｜｜2＋2×·＋｜｜2注意：（1）没有(·)·＝·(·)这个运算定律；（2）·＝·，则不能得到a＝b；（3）若a·b＝0，则a＝0或b＝0或<a，b>＝900。

5．4 平面向量的数量积要点透视： 1．两个向量的夹角：两个非零向量a 和b ，作 OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ (0°≤θ≤180°)，叫做两向量a 与b 的夹角。

如果a 与b 的夹角是90°，则说a 与b 垂直，记作a ⊥b 2．两向量的数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则把数量|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a |·|b |·cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积为0.向量的数量积满足下列运算律： （1）a ·b ＝b ·a ； （2）(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； （3）(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． 3．向量数量积的坐标运算：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2． 4定理：两个向量a ，b 垂直的充要条件是a ·b =0.活题精析： 例1．(2001年上海卷)若非零向量以α ，β 满足|α +β |=|α －β |，则α 与β 所成角的大小是 . 要点精析：由作向量和与差的平行四边形法则可知：|α +β |，|α －β |正好是以α ，β 为邻边的平行四边形的两对角线的长度，∵ |α +β |=|α －β |．∴ 平行四边形是矩形，∴ α 与β 所成角是90°．思维延伸：作平面向量的某些题目时，应注意与平面几何知识相结合．本例还可采用两边平方，得α ·β =0. 例2．( 2003年天津卷)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线． （1）(a ·b )c －(c ·a )b =0 ；（2）|a |－|b |<|a －b |；（3）(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；（4）(3a ＋2b )· (3a －2b )=9|a |2－4|b }2．其中是真命题的有（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（4） 要点解析：(a ·b )c 是与向量c 平行的向量(c ·a )b 是与向量b 平行的向量，因此(a ·b )c 与(c ·a )b 不一定相等，因此（1）不正确． 因为a ，b ，c 是任意的非零向量，是相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边可知（2）正确． [(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，因此(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，答案（3）不正确． (3a ＋2b )·(3a －2b )=9a 2－4b 2=9|a |2－4|b |2，答案（4）正确，应选D 。

《向量数量积的概念》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的课题是《向量数量积的概念》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修 4 第二章第四节。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

向量数量积是向量运算的重要内容，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且为后续学习向量的坐标运算、向量的模以及夹角等知识奠定了基础。

二、学情分析学生在之前已经学习了向量的线性运算，对向量的概念和运算有了一定的了解，但对于向量数量积这一新概念的理解和应用可能会存在一定的困难。

此外，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力还有待进一步提高。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解向量数量积的概念，掌握向量数量积的运算律。

（2）能够运用向量数量积的定义和运算律进行计算和证明。

2、过程与方法目标（1）通过物理实例引入向量数量积的概念，培养学生的数学建模能力和从实际问题中抽象出数学问题的能力。

（2）通过对向量数量积性质的探究，培养学生的逻辑推理能力和运算能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生体会数学与物理的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

四、教学重难点1、教学重点向量数量积的概念及其运算律。

2、教学难点对向量数量积概念的理解以及向量数量积的应用。

五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过创设问题情境，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。

（2）讲授法：对于一些重要的概念和定理，通过教师的讲解，让学生能够准确理解和掌握。

2、学法（1）自主探究法：让学生通过自主思考和探究，理解向量数量积的概念和性质。

（2）合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作学习，培养学生的合作意识和交流能力。

六、教学过程1、导入新课通过回顾物理中力做功的公式：＼（W ＝｜F|＼cdot|s|＼cos\theta\），其中\（F\）是力的大小，＼（s\）是位移的大小，＼（＼theta\）是力与位移的夹角。

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考点学习目标核心素养向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积数学运算平面向量的模与夹角的坐标表示能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P106－P107，并思考下列问题：1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．三个重要公式判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( ) 答案：(1)× (2)√已知a ＝(－3，4)，b ＝(5，2)，则a ·b 的值是( ) A ．23 B ．7 C ．－23 D ．－7 答案：D已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，若a ⊥b ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4答案：C已知a ＝(3，1)，b ＝(－3，1)，则向量a ，b 的夹角θ＝______. 答案：120°数量积的坐标运算向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 【解析】 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 【答案】 C数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15，12) B ．0 C ．－3 D ．－11 解析：选C.依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，AF →＝2FD →，则BE →·CF →＝________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，2)，E (2，1)，D (2，2)，B (0，0)，C (2，0)，因为AF →＝2FD →，所以F (43，2)．所以BE →＝(2，1)，CF →＝(43，2)－(2，0)＝(－23，2)，所以BE →·CF →＝(2，1)·(－23，2)＝2×(－23)＋1×2＝23.答案：23平面向量的模(1)已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________． (2)(2019·山东枣庄三中期中检测)已知平面向量a ＝(2m －1，2)，b ＝(－2，3m －2)，且|a ＋b |＝|a －b |，则5a －3b 在向量a 方向上的投影为________．【解析】 (1)设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC →＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y －1)＝(4，－1)，所以{x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC →＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13.(2)由|a ＋b |＝|a －b |得a ·b ＝0，所以－2(2m －1)＋2(3m －2)＝0，解得m ＝1，所以a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)，5a －3b ＝(11，7)，由投影公式可得所求投影为a ·（5a －3b ）|a |＝255＝5 5.【答案】 (1)13 (2)55求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是()A．42，0 B．4，2 2C．25，1 D．5，1解析：选D.因为2a－b＝2(cos θ，sin θ)－(3，0)＝(2cos θ－3，2sin θ)，所以|2a－b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2＝13－12cos θ，又cos θ∈[－1，1]，所以|2a－b|2∈[1，25]，所以|2a－b|∈[1，5]，故|2a－b|的最大值和最小值分别是5，1，故选D.平面向量的夹角(垂直)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【解】(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.利用数量积求两向量夹角的步骤1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．23 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B.因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ，又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.2．已知A (－2，1)，B (6，－3)，C (0，5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A.由题设知AB →＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB →⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形.规范解答平面向量的夹角和垂直问题(本题满分12分)已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．【解】 (1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)．(2分)AB →·AD →＝1×（－3）＋1×3＝0，利用数量积为0，证明向量垂直所以AB →⊥AD →，所以AB ⊥AD . (4分)(2)因为AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， 所以AB →＝DC →.(5分)设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)．又因为AB →＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.(7分)所以点C 的坐标为(0，5)．所以AC →＝(－2，4)． 又BD →＝(－4，2)，所以|AC →|＝25，|BD →|＝25， AC →·BD →＝8＋8＝16.(9分)正确求出这三个量是求两向量夹角的关键设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1625×25＝45.(11分)故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.(12分)(1)解答两向量的夹角的步骤：求数量积、求模、求余弦值、求角．(2)利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.1．已知向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝2 B ．a ∥b C ．b ⊥(a ＋b ) D ．|a |＝|b |解析：选C.因为向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝3，0－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以b ＝(－1，－1)，a ＋b ＝(1，－1)，b ·(a ＋b )＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b ⊥(a ＋b )．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝________．解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：53．已知a ＝(1，3)，b ＝(2，m )． (1)当3a －2b 与a 垂直时，求m 的值； (2)当a 与b 的夹角为120°时，求m 的值． 解：(1)由题意得3a －2b ＝(－1，33－2m )， 由3a －2b 与a 垂直，得－1＋9－23m ＝0， 所以m ＝433.(2)由题意得|a |＝2，|b |＝m 2＋4，a ·b ＝2＋3m ，所以cos 120°＝a ·b |a |·|b |＝2＋3m 2m 2＋4＝－12，整理得2＋3m ＋m 2＋4＝0，化简得m 2＋23m ＝0， 解得m ＝－23或m ＝0(舍去)． 所以m ＝－2 3.[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解析：由题意得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝15，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3229．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4.(2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5.设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52， 所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ， 所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12， 所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC→的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2 B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1) ＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)．(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32. 因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．14．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)．(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， 所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

一、向量的概念：★（1）向量的概念：既有大小又有方向的量．向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以任意平移） ★（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； ★（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量； ★（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；★（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a //b ，规定零向量和任何向量平行；★（6）位置向量：起点为原点的向量．二、向量的几何运算：1、向量的基本运算： ★（1）向量的加法运算：三角形法则和平行四边形法则； ★（2）向量的减法运算：三角形法则；（减数指向被减数）★（3）实数与向量的乘积：实数λ与非零向量a 的积是一个向量，记作a ⋅λ． ①0λ>，a λ与a 方向相同，长度为a λ； ②0λ<，a λ与a 方向相反，长度为a λ；③0λ=，0a λ=．2、向量的数量积：★（1）向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，如果以O 为原点，作,OA a OB b ==，那么射线OA 与OB 的夹角θ叫做a 和b 的夹角，θ的取值范围是[]0,π；高考数学基础知识回顾：向量基础知识★（2）向量的投影：b 在a 上的投影为||cos b θ，θ为向量a 和b 的夹角； ★（3）向量的数量积公式：a b ＝cos a b θ；（22a a =）★★（4）a b ⋅的几何意义：a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影cos b θ的乘积．★3、向量的夹角公式：cos a b a bθ⋅=．4、向量的平行与垂直： ★（1）向量的平行：//a b a b λ⇔=；★（2）向量的垂直：0a b a b ⊥⇔=．★★5、平面向量分解定理：如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+． 6、三点共线： ★（1）平面上有A B C 、、三点，若()AB BC R λλ=∈，则A B C 、、三点共线；★★（2）设 OA OB 、不平行，点P 在AB 上⇔存在实数λμ，使得OP OA OB λμ=+1()R λμλμ+=∈且，． 三、向量的坐标表示与运算：1、向量的坐标表示： ★（1）i ：x 轴正方向单位向量，j ：y 轴正方向单位向量；★（2）向量的坐标表示：平面直角坐标系中，以i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标；★（3）()()11222121,,,(,)A x y B x y AB x x y y ⇒=--．2、向量的模：★（1）()221111,a x y a x y =⇒=+；POBA★（2）已知()11,a x y =，则a 的单位向量0a a a=．3、向量的坐标运算： ★（1）()()()11221212,,,,a x y b x y a b x x y y ==⇒±=±±； ★（2）()()1111,,,a x y R a x y λλλλ=∈⇒=；★（3）()()11221212,,,a x y b x y a b x x y y ==⇒=+．4、向量的平行与垂直： ★（1）向量的平行：()()11221221,,,,//a x y b x y a b x y x y ==⇔=；★（2）向量的垂直：()()11221212,,,,0a x y b x y a b x x y y ==⊥⇔+=．5、定比分点：★★（1）定比分点公式：已知11(,)A x y 、22(,)B x y 是直线上任一点，且(,1)AP PB R λλλ=∈≠-，令),(y x P ，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ；★（2）中点公式：若点),(y x P 为11(,)A x y 、22(,)B x y 两点中点，则1212212x x x y y y λ+⎧=⎪⎪=⇒⎨+⎪=⎪⎩；★★（3）重心公式：若点(),G x y 为ABC ∆重心，且11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩．一、向量的概念与运算（加法、减法、数乘）【例1】在下列命题中：（1）若a b =，则a b =；（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；（5）若,a b b c ==，则a c =；（6）若//,//a b b c ，则//a c ．其中正确的是_______． 【难度】★ 【答案】（4）（5）【例2】已知，，则=_____． 【难度】★ 【答案】【例3】已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，35 【难度】★【答案】A【例4】已知),1(x a =，)2,4(=b ，若b a ⊥，则实数=x _______． 【难度】★ 【答案】-2【例5】如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与BD 相交于O ，设AB a =，DC b =，用,a b 表示BO ，则BO = ． 【难度】★★ 【答案】b a 3234+-()5,4-=a ()4,2-=b b a -226题型与方法【例6】在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点P 在直线12P P 上，且122PP PP =，求出P 的坐标．【难度】★★ 【答案】(8,15)P -【巩固训练】1．判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；②若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； ③对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；④向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．【难度】★【答案】①不正确；②不正确；③正确；④不正确．2．设x ∈R ，向量)2,1(),1,(-==b x a ，且b a ⊥ ，则=+||b a ________． 【难度】★ 103．已知向量()(),4,,1,2k b k k a =+= 若b a //，则实数k 的值是 ．【难度】★★ 【答案】310==k k 或4．已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点P 的坐标． 【难度】★★ 【答案】155(,)22P --5．有以下命题成立：设点,P Q 是线段AB 的三等分点，则有OP OQ OA OB +=+．将此命题推广，设点12345,,,,A A A A A 是线段AB 的六等分点，则()12345OA OA OA OA OA OA OB ++++=+．【难度】★★★ 【答案】526．已知点P Q 、是ABC ∆所在平面上的两个定点，且满足0,PA PC +=2QA QB QC BC ++=,若||=||PQ BC λ，则正实数λ= ． 【难度】★★★ 【答案】21二、向量的数量积向量数量积运算的基本方法：1、向量的分解；2、坐标法；3、向量数量积的几何意义． 【例7】已知向量()()3,4,0,1a b =-=-，则向量在向量的方向上的投影是 ． 【难度】★★ 【答案】【例8】平面向量a 与b 的夹角为60︒，1a =，(3,0)b =，则2a b += ． 【难度】★ 【答案】19 【方法】22a a =【例9】在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM EC ⋅ 的最大值为___________． 【难度】★★ 【答案】23 【方法】向量的分解；坐标法a b 4【例10】已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则=⋅BC AO ． 【难度】★★★ 【答案】14-【方法】向量数量积的几何意义【巩固训练】1．在平行四边形ABCD 中，若2,1,60AB AD BAD ==∠=，则AB BD ⋅=___________． 【难度】★★ 【答案】3-2．已知向量与向量，，，、的夹角为，当时，的最大值为 ．【难度】★★ 【答案】3．在Rt ABC ∆中，3==AC AB ，,M N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN ⋅的值为 ． 【难度】★★ 【答案】4【方法】向量的分解；坐标法4．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则·的值是__________．【难度】★★ 【答案】8【方法】向量数量积的几何意义a b 2a =3b =a b 60︒12,02m n ≤≤≤≤ma nb +219三、向量的应用（一）三点共线的应用； （二）三角形“四心”： 1．⇔=++0GC GB GA G 是ABC ∆的重心．2．()(0)||||AC AB AP AB AC λλ=+≠⇔P 经过ABC ∆的内心．3OC OB OA ==⇔O 为ABC ∆的外心．4．⇔⋅=⋅=⋅HA HC HC HB HB HA H 为ABC ∆的垂心．【例11】已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且，则的值为 . 【难度】★★ 【答案】31 【方法】三点共线【例12】设12,e e 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+，122AC be e =-，0,0a b >>.若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值是 ． 【难度】★★ 【答案】4【方法】平面向量分解定理，三点共线【例13】已知同一平面上的向量PA ，PB ，AQ ，BQ 满足如下条件：①||||2PA PB AB +==；②0||||AB AQ BQ AB AQ ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭；③||||AB AQ AB AQ +=-，则||PQ 的最大值与最小值之差是 ． 【难度】★★【答案】2【方法】三角形“四心” ,AM x AB AN y AC ==xyx y+【巩固训练】1．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【难度】★★ 【答案】2【解析】取特殊位置，设M 与B 重合，N 与C 重合，则1m n ==，所以2m n +=．【方法】三点共线2．已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且23203a OAb OBc OC ⋅+⋅+⋅=，则角C 的大小是 ． 【难度】★★ 【答案】3π 【方法】三角形重心零向量、向量的夹角【例1】已知点A ()31，，()14-，B ，则与AB 共线的单位向量为 【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-5453，和⎪⎭⎫ ⎝⎛-5453， 【解析】与向量a 同向的单位向量为aaABC △O BC O AB AC 易错题型【易错点】①长度为1个单位的向量叫单位向量；②与向量a aa 多会记得第二点，容易忽略反向的单位向量。

向量的数量积和坐标运算1平面向量的坐标运算 （1）a=),(y x 叫向量的坐标表示,其中x 叫a 在x 上的坐标, y 叫做叫a 在y 上的坐标；（2）设a=),(11y x , b =),(22y x ,R ∈λ,则a+b= , a-b= , λa = .设A ),(11y x , B ),(22y x ,则= ；BA = ；OA = ；OB = ；（O 是坐标原点） （3）a//b （b ≠0）的充要条件是 ；2线段定比分点3平面向量的数量积的定义（1）两个向量的夹角（2）数量积和投影已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在方向上的投影．（3）如果两个向量夹角为锐角（4）如果两个向量夹角为钝角（5）如果两个向量垂直4向量数量积的性质若=（11,y x ）,b =（22,y x ）则e ·=·e =︱︱cos θ (e 为单位向量); a⊥b ⇔a ·b =0⇔02121=+y y x x （a ，b 为非零向量）;︱︱=2121y x a a +=∙;cos θ=b a b a ∙∙=222221212121y x y x y y x x +⋅++． 例题和习题1已知|a |=3，|b |=1，且a 与b 同向，则a .b 的值是 （ ）A ．-3 B. 0 C. 3 D. –3或32平面内有321=++op op op ，且1||||||321===op op op ，则∆P 1P 2P 3是 ( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 34设21,e e 为两不共线的向量，则21e e λ+=与()1232e e b --=共线的充要条件是 (A)23=λ (B) 32=λ (C) 32-=λ (D) 23-=λ5已知()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P 22PP =，则点P 坐标是（ ） (A)(-2,11) (B)(34,3) (C) (32,3) (D)(2,-7)6下列命题中正确的是（ ） （A ）若||||b a =，则b a = （B ）若||||b a >，则b a >（C ）b a =，则b a // （D ）c b b a //,//，则c a //7设→a →b 是两个非零向量，则(→a +→b )2=(→a )2+(→b )2是→a ⊥→b 的___________条件. 8已知||=3,｜｜＝2，与的夹角为600,则｜－｜＝ 。

向量知识点总结一、向量的概念（1）向量：既有大小，又有方向的量； （2）数量：只有大小，没有方向的量；（3）有向线段的三要素：起点、方向、长度； （4）零向量：长度为0的向量；（5）单位向量：长度等于1个单位的向量； （6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行； （7）相等向量：长度相等且方向相同的向量。

二、向量加法运算⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r rr r r ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r rrr；②结合律：()()a b c a b c ++=++rrrr rr；③00a a a +=+=r r r r r 。

⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++rr 。

三、向量减法运算⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量；⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--rr ，设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r。

四、向量数乘运算⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr； ①a a λλ=r r；②当0λ>时，a λr的方向与a r的方向相同；当0λ<时，a λr的方向与a r的方向相反；当0λ=时，0a λ=rr ；⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r；③()a b a b λλλ+=+r r r r ；⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r；b ra rC BAa b C C -=A -AB =B u u ur u u u r u u u r r r五、向量共线定理向量()0a a ≠rr r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ；设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()0b b ≠r r r共线；六、平面向量基本定理如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底）七、分点坐标公式设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP u u u r u u u r时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭； 八、平面向量的数量积⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤o or r r r r r r r ．零向量与任一向量的数量积为0；⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ．②当a r 与b r同向时，a b a b ⋅=r r r r ；当a r 与b r反向时，a b a b ⋅=-r r r r ；22a a a a ⋅==r r r r或a =r ．③a b a b ⋅≤r r r r ； ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅r r r r ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r；⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则1212a b x x y y ⋅=+rr ，若(),a x y =r ，则222a x y =+r，或a =r设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=rr ；设a r、b r 都是非零向量，()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，θ是a r 与b r 的夹角，则cos a ba b θ⋅==rr r r ；。

平面向量的数量积2．3.3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[新知初探]1．向量数量积及向量垂直的坐标表示设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)(1)数量积a·b＝a1b1＋a2b2.(2)若a，b为非零向量，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．三个重要公式(1)向量的长度公式：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝a21＋a22.(2)两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(3)向量的夹角公式：a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) 预习课本P112～114，思考并完成以下问题(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是()A．23B．7C．－23D．－7答案：D3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是()A．{2,3}B．{－1,6} C．{2}D．{6}答案：C4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.答案：2平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[解析](1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案](1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10. (1)求向量a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )·a .解：(1)因为a 与b 同向，又b ＝(1,2)， 所以a ＝λb ＝(λ，2λ)．又a ·b ＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0. 因为λ＝2符合a 与b 同向的条件，所以a ＝(2,4)． (2)因为b ·c ＝1×2＋2×(－1)＝0， 所以(b ·c )·a ＝0·a ＝0.向量的模的问题[典例] (1)b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17D.26(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. [解析] (1)∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0， 解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. [答案] A (2)设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52. ① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0. ②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－4.∴a ＝(6,4)或a ＝(－6，－4)． ∴a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)，∴|a＋b|＝65.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.[活学活用]1．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值为________．解析：2a－b＝(2cos θ－3，2sin θ)，|2a－b|＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2＝4cos2θ－43cos θ＋3＋4sin2θ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋ 3.答案：2＋ 32．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析：∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c|＝82＋(－8)2＝8 2.答案：8 2向量的夹角和垂直问题[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(c－b)·a＝152，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C ．120°D ．150°(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标． [解析] (1)∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. [答案] C(2)设c 的坐标为(x ，y )，则a ＋c ＝(1＋x,2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0，即3x －2y ＝1. ① 又a ＋b ＝(3,5)，且(a ＋b )⊥c ，∴3x ＋5y ＝0. ②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝⎛⎭⎫521，－17.解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m ，n 的夹角为θ， 则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 即m ，n 的夹角为3π4.[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[解] [法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.[法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．∴AB ＝(－3,0)，BC ＝(0,4)，CA ＝(3，－4)．∴AB ·BC ＝－3×0＋0×4＝0， BC ·CA ＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ·AB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0－16－9＝－25. [法三 转化法]∵|AB |＝3，|BC |＝4，|AC |＝5，∴AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(AB ＋BC ) ＝CA ·AC ＝－|AC |2＝－25.[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE ＝⎝⎛⎭⎫12，1.故cos ∠DOE ＝OD ·OE | OD |·|OE |＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋12OC ，OE ＝OC ＋CE ＝OC ＋12OA ，∴|OD |＝52，|OE |＝52， OD ·OE ＝12OA 2＋12OC 2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ·OE | OD ||OE |＝45.答案：45层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D.2．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2，∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865C.1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A 由题设知AB ＝(8，－4)， AC ＝(2,4)，BC ＝(－6,8)，∴AB ·AC ＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ⊥AC .∴∠BAC ＝90°， 故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2. 答案： 27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，故b ＝⎝⎛⎭⎫12，32. 答案：⎝⎛⎭⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)．(1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．解：(1)∵AB ＝(－3，－1)，AC ＝(1，－5)， ∴AB ·AC ＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. ∵AB ＋AC ＝(－2，－6)，∴|AB ＋AC |＝4＋36＝210.(2)∵AB －t OC ＝(－3－2t ，－1＋t )，OC ＝(2，－1)，且(AB －t OC )⊥OC ，∴(AB －t OC )·OC ＝0， ∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0，∴t ＝－1.层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0， 故a －b 与b 垂直． 2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 解析：选C 设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)，∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时点P 的坐标为(3,0)． 3．已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA ―→＋OC ―→|＝13，α∈(0，π)，则OB ―→，OC ―→的夹角为( )A.π2B.π4C.π3D.π6解析：选D 因为|OA ―→＋OC ―→|2＝(OA ―→＋OC ―→)2＝OA ―→2＋2OA ―→·OC ―→＋OC ―→2＝9＋6cos α＋1＝13，所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB ―→，OC ―→〉＝OB ―→·OC ―→|OB ―→||OC ―→|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB ―→，OC ―→〉≤π，所以〈OB ―→，OC ―→〉＝π6，所以OB ―→，OC ―→的夹角为π6. 4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )． 又OA ＝(－3,1)，∴AC ＝OC －OA ＝(x ＋3，y －1)．∵AC ∥OB ，∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0，∴x ＝－3. ∵OB ＝(0,5)，∴BC ＝OC －OB ＝(x ，y －5)，AB ＝OB －OA ＝(3,4)．∵BC ⊥AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294， ∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025， 解得m ＝2.答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)．所以DE ·CB ＝(1，a )·(1,0)＝1，DE ·DC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1，故DE ·DC 的最大值为1.答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 的两对角线所成的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB ―→＝(1,1)，AD ―→＝(－3,3)．又AB ―→·AD ―→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB ―→⊥AD ―→，即AB ⊥AD .(2)∵AB ―→⊥AD ―→，四边形ABCD 为矩形，∴AB ―→＝DC ―→.设C 点坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(1,1)，DC ―→＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝5，∴点C 的坐标为(0,5)． 由于AC ―→＝(－2,4)，BD ―→＝(－4,2)，∴AC ―→·BD ―→＝8＋8＝16，|AC ―→|＝25，|BD ―→|＝2 5.设AC ―→与BD ―→的夹角为θ，则cos θ＝AC ―→·BD ―→|AC ―→|·|BD ―→|＝1620＝45， ∴矩形ABCD 的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。