2016年春新人教版八年级下册：16.3 二次根式的加减 PPT课件03

（4）4 8 4 18
练习1： (1) 18 8
(2) 75 27
(3) 48 6 1 3
(4)下列计算正确的是（Ｄ）
A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2
C.4 5 5 4 D. a 3 a 1 a
2
2
探究
计算:
(1)2 8 1 18 1 32
2
4
(2) 24 1 2 2 1 6 2 38
2. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A. 32 B.二次根式 mn2 2 与 m n 是同类二次根式,求m、n 的值.
16.3二次根式的加减
温故知新
(1) 16 (2) (5)2 (3) (5)2 (4) 52
二次根式的乘法法则是怎样的？
a • b ab（a ≥0 ， b≥0）
二次根式的除法法则是怎样的？
a a （a ≥0 ， b＞0） bb
二次根式计算时，化简 的结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
（1） 50与 0.5（ 是）
（2） 12与 1（8 ）不是
（3） a2b与2（b ） 是
（4） （5）
2ab与 2（ab
33
a3 与 （1 a
）不是 ）是
回顾
计算
（1） 2x 3x 5x
（2） 2x2 3x2 5x2 4x2
（3） x 2x 3y 3x 3y
（4） 3a2 2a2 a3 a2 a3 以上，是我们以前所学的整式加减—— 同类项合并。同类项合并就是字母不变，系 数相加减。
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。21:40:1421:40:1421:408/24/2021 9:40:14 PM
•

知识点一 同类二次根式
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
（1） 2，3 2，-
2
5
1
2，
3
2 ···
2
（2） 3，17 3，- 5 3， ·
3··
13
每组的二次根式的被开方数相同
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
9
（3） 2， 8， 18， 32， 0.5，2
2 10
8
2
3
5
3
2
ab
2
b
(1) 75 =____；(2) 8a b =_______；(3) =_____.
5
5
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这
块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
8 18
8
18
2
2
2
5
2
1 4.
课堂总结
一般地，二次根式的
法
则
加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根
二次根
式加减
式进行合并.
注
运算原理
运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运
算顺序一样
意
(乘法分配律逆用)
5 2
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
典例精析
【例3】计算:
(1) 80 45;
1

知识点二
练一练 1.下列计算是否正确？为什么？
(1) 8 3 8 3 错误
(2) 4 9 4 9 错误
(3) 3 2 2 2 2 正确
(4) 2 2 2 2
错误
9
新课讲解
2.计算
(1). 18 98 27
解：原式 3 2 7
新课讲解
二次根式的加减法法则
例1 计算：
(1) 80 45 (2) 9a 25a
解：(1)原式＝ 4 5 3 5（化成 最简 二次根式）
＝( 4 - 3 ) 5 （ 分配 律）
＝5
（合并）
(2)原式＝ 3 a + 5 a （化成 最简 二次根式）
＝（ 3 + 5 ) a （ 分配 律）
＝8 a
解：(1)原式＝
2
4 36
3
3
3
16 3
＝4 3 2 3 12 3 （化简二次根式）
＝ 14 3
（合并）
(2)原式＝2 3 2 5 3 5 （去括号并化简）
＝3 3 5
（合并）
温馨提示：化简后被开方数 相同的二次根式（同类
二次根式）才能合并，因此 3与 5 不能
合并（填能或不能）
8
新课讲解
3 6
13
强化训练
计算
（3） 45 18 8 125
解：原式= 3 5 3 2 2 2 5 5
8 5 2
（4）1 2 3 3 2 27
2
4
解：原式= 2 3 3 2 9 3 22 4 4
27 3 44
14
0.5
1 8
6
解：原式 2 6 2 2 6
24
3 6 2 4

b
2a+3b
如果把a,b用二次根式来替代，能得到什么呢？
当a= 2 ,b= 8 时，得2a+3b= 2 2 3 8 .
因为 3 8 3 22 2 6 2，由前面知两者可以合并.
你又发现
了什么？
2a+3b=2 2+6 2=8 2
我们发现：要将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，
则这样的二次根式可以合并.
归纳总结
将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，
则这样的二次根式可以合并.
注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要
化为最简二次根式再判断.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)
相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
m a n a m n a
例题讲解
例1 若最简根式
3 − 2 与 3 可以合并，
2
4 5 , 3 5, 2 5 .
化简后被开方数相同
获取新知
知识点一：同类二次根式
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们
的被开方数相同， 这些二次根式就称为同类二次根式
备注：
1.同类二次根式首先必须是最简二次根式；
2.同类二次根式再次必须是被开方数相同
例题讲解
例1 下列根式中，与 3 不是同类二次根式的是( C )
第十六章 二次根式
16.3 第1课时 二次根式的加减
知识回顾
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式?
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?
(1) 8 ，18 ，0.5;

【小组讨论2】
(1)比较二次根式的加减与整式的加减， 你能得出什么结论？
【针对训练】
【答案】
●总结梳理整合提高
1.二次根式的加减，先把每个二次根式化 成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根 式合并.这类似于和并同类项.
2.化简后被开方数不同的二次根式只能用+ 或—号连接在一起，如果要求近似值，可以用 计算器分别求出各个的近似值再相加.
（1）问题中的列式计算应该如何计算？ （2）在计算时每一步的理论依据是什么 ？能够合并的二次根式有什么特征？
【小组讨论1】
（1）用语言归纳出计算的每一步； （2）二次根式的合并需要注意些什么？
【针对训练】
【答案】
探究点二 二次根式加减法则的应用
Ø 活动二：阅读教材第15页例1、例2、例3， 相互交流思考下列问题 ：
• （3）合并被开方数相同的二次整式，就等同于整式加减 的__________，把被开方数相同的二次根式看成各项的 字母部分，合并时根指数及被开方数_________，只把系 数_________。
●聚焦主题合作探究
探究点一 二次根式加减运算法则
➢活动一：阅读教材第14页，相互交流思考 下列问题 ：
（1）例1中的二次根式是最简二次根式吗？化 简后能合并吗？请指出每一步计算的依据是什么？
（2）例2与例1的区别是什么？含有括号的应该 先算什么？例2第（2）小题中的3与能合并吗？
(3) 例3图中有哪些已知条件？要求什么？由已 知条件求AB、AC的依据是什么？求需要的钢材的总 长需要把哪些线段的和求出来？
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020

归纳总结 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同， 则这样的二次根式可以合并. 注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化 为最简二次根式再判断; 2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式) 相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
m a n a m n a
巩固练习
下列各式中，与 3 是同类二次根式的是（ D ）
解：原式 2 6 2 2 6
24
3 6 2 .
4
探究新知 考 点 3 二次根式的综合性题目
有一个等腰三角形的两边长分别为5 2,2 6 ，求其周长.
解：①当腰长为
时，
∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴此时能构成三角形，周长为
②当腰长为
时，
∵2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴此时能构成三角形，周长为
18 3 2 5,5 2 7.5,
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正 方形木板．
探究新知
二次根 式性质
整式加 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
27
33
9
巩固练习
下列计算正确的是 （ C ）
A. 2 2 2
B. 3 2 3 2
C. 12 3 3 D. 3 2 5
已知一个矩形的长为 48 ,宽为 12 ，则其周
长为__1_2__3_.
探究新知
考 点 2 二次根式的加减混合运算
计算: （1）2 12 - 6 1 3 48 ; （2）（ 12 20）（ 3 - 5）.

●聚焦主题合作探究
探究点一 二次根式加减运算法则
活动一：阅读教材第14页，相互交流思考 下列问题 ：
（1）问题中的列式计算应该如何计算？ （2）在计算时每一步的理论依据是什么 ？能够合并的二次根式有什么特征？
【小组讨论1】
（1）用语言归纳出计算的每一步； （2）二次根式的合并需要注意些什么？
●当堂检测反馈矫正
【答案】
●课后作业测评：
• 上交作业：教科书第17页第1,2题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后评价 案”部分．
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
励志学习的名言警句 1、在强者的眼中，没有最好，只有更好。 2、成功是努力的结晶，只有努力才会有成功。 3、只有一条路不能选择——那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝——那就是成长的路。 4、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 5、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 6、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 7、没有天生的信心，只有不断培养的信心。 8、成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。 9、自己打败自己的远远多于比别人打败的。 10、当一个小小的心念变成行为时，便能成了习惯，从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。 11、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 12、高峰只对攀登它而不是仰望它的人来说才有真正意义。 13、你可以这样理解impossible（不可能）——I'm possible（我是可能的）。 14、自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 15、你可以选择这样的三心二意：信心恒心决心；创意乐意。 16、成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。 17、呈概率分布，关键是你能不能坚持到成功开始呈现的那一刻。 18、书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处 19、动是成功的阶梯，行动越多，登得越高。 20、天比昨天好，就是希望。 21、力的人影响别人，没能力的人，受人影响。 22、做的事情总找得出时间和机会； 23、要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 24、面对机遇，不犹豫；面对抉择，不彷徨；面对决战，不惧怕！ 25、个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。 26、超越自己，向自己挑战，向弱项挑战，向懒惰挑战，向陋习挑战。 27、不必每分钟都学习，但求学习中每分钟都有收获。 28、取时间就是争取成功，提高效率就是提高分数。 29、紧张而有序，效率是关键。 30、永远不要以粗心为借口原谅自己。

18 3 2 5,5 2 7.5,
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正 方形木板．
探究新知
二次根 式性质
整式加 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
探究新知
归纳总结
二次根式的加减法法则: 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 加减法的运算步骤： (1)化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
探究新知
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被 开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
a
b
b
2a+3b
这两个二次根
a
b
式可以合并吗？
当a= 2 ,b= 8 时，得2a+3b= 2 2 3 8 . 因为 3 8 3 22 2 6 2，由前面知两者可以合并. 你又有什么发现吗?
探究新知
使式子 4a 2x 有意义，求x的取值范围.
xa
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴ 4a 2x 20 2x ,
xa
x5
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
课堂检测
能力提升题
已知a,b,c满足
a
2
8
b5 c3 2 0
.
(1)求a,b,c的值；

达标检测
1.二 次 根 式 2a - 4与 2可 以 合 并 ， 那 么a的 值 ∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
可 以 为 （B ） （2）化简后被开方式不相同的不能合并，只能用+
（2）化简后被开方式不相同的不能合并，只能用+ 1、二次根式加减法运算法则
二次根式的加减运算法则
的二相次同根式分别
。 合并
注意:合并的实质是对被开方式相同的二次 根式的系数进行合并,即把根号外系数相加减,根
指数和被开方数不变。
梳理
二次根式加减法运算步骤
（1）将每个二次根式化为最简二次根；一化 （2）合并被开方数相同的二次根式。 二合并
注意： 化简后被开方式不相同的不能合并，只能用+或-号连接 在一起。
3.细心算一算
(1)( 8 2 0.25) ( 11 50 2 72)
8
3
(2)( 80 14) ( 31 4 45)
5
55
(3)2a 3ab2 (b 27a3 2ab 3 a)
6
4
拓展提升
如 果a, b都 是 有 理 数 ， 且a 2b 5 7 (a b) 5, 求a, b的 值 。
试一试
判断下列计算是否正确？ 如有错误，说出错误 原因并改正。
(1) 8 2 2
22 3 5 2 7 5 X
2 3与5 2被开放式不相同, 所以不能合并。
例1计算下列各题：
(1) 54 24
(2) 1 18 3 8
2
9
(3) 90 2 20 5 4 5
解：
4 (1) 54 24 (3) 90 2 20 5
也就是被开方数是整数或整式；

7.5dm
5dm S=18dm2
S=8dm2
8+ 18
探究新知
【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中 各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算
的依据）.
解：列式如下：
8+ 18
2 2+3 2 （化成最简二次根式） （2+3） 2 （逆用分配律）
5 2.
在有理数 范围内成立的 运算律，在实 数范围内仍然 成立.
探究新知
知识点 1 二次根式的混合运算 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体 现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 素养考点 1 考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力 例1 计算：
（1）（ 8 3） 6 （2）（4 2 - 3 6） 2 2
解：（1）（ 8 3） 6 （2）（4 2 - 3 6） 2 2
二次根式 加减
法则
一般地，二次根式加减时， 可以先将二次根式化成最简二次 根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并.
注意
运算原理 运算顺序
运算律仍然适用
与实数的运算 顺序一样
第二课时
二次根式的混合运算
返回
导入新知
如何进行单项式与多项式相乘的运算？
你能用字母表示这一结论吗？
m(a+b+c) = ma+mb+mc
27
33
9 15
巩固练习
4.下列计算正确的是 （ C ）
A. 2 2 2
B. 3 2 3 2
C. 12 3 3 D. 3 2 5
5.已知一个矩形的长为 48 ,宽为 12 ，则其 周长为_1_2__3__.

【例题1】计算（1）
解：（1）
24 − 0.5 + 2
= 2 6−
= 2+
=
11
3
2
3
24 − 0.5 + 2
2
3
−
1
8
−
− 6
1
2
1
2+
6−
2+ 6
2
3
4
2
+1
3
3
6 − 4 2.
1 1
6+ − −
2 4
2
1
−
8
6 .
2
（2）3 9 + 6

4
− 2
解：（2）2 9 + 6
3
1
.


4
− 2
二次根式的加减
我们学过，整式的加减就是合并同类项，如2 + 3 = 5，那么怎样进行
二次根式的加减（如2 3 + 2 3）运算呢？
二次根式的加减
二次根式的加减
二次根式加减的运算法则
二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二
次根式进行合并.
2 2+3 2
合并
= (2 + 3) 2 = 5 2
被开方数相同
20 − 45
化简
= 2 5−3 5
被开方数相同
合并
= (2 − 3) 5 = − 5
解析
有理数与无理数的和是无理数，于是得到下面的结论：
如果, , , 都是有理数， 是无理数，且 + = + ,则 =
, = .
如2 − 2 = + 5 2,则 = 2, = −5.

61 4
2
1.同类二次根式的定义?
2.二次根式加减运算的步骤? 3.如何合并同类二次根式?
合并同类二次根式与合并同类项类似.
趁热打铁
补充练习1: 下列各式中,哪些是
同类二次根式?
1
1
2 75
27
50
2
53
3
10
3 2 8ab3
9
6b
a
3
4b 2ab
2b
3
3 2ab
(4)下列计算正确的是（Ｄ）
A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2
C.4 5
54
D. a 3 a 1 a
2
2
趁热打铁
(5)计算:
答案
(1) 18 98 27 10 2 3 3
(2)

0.5
1 8
6 3
温故知新
（1）被开方数不含分母；
（2） 分母不含根号；
（3）被开方数中不含能开得尽方的
因数或因式.
18,
5x4 y,2
x2 y, ab ,
3xy ,
1
2 5 3x
×× √
×√ ×
探究
如何计算8 2 4 2呢？
分析： 类似8a+4a=12a，我们可以 这样计算:
解： 8 2 4 2 12 2
如何计算 4 27 4 12 呢？
分析：题中二次根式不是最简 二次根式，所以先要对其进行化简。 再计算。
解：4 27 4 12 12 3 8 3
20 3
讨论
2 3?
你能算出这个题吗？ 有什么发现？
梳理
几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。

2 （ 2 + 3 ）（ 2 5 ）（ = 2 ） +3 2 -5 2 -15 解： （ 1）
= 2- 2 2 -15 = -13- 2 2 ；
思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：多项式乘多项式法则； 第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数 相同的二次根式（依据是：分配律）； 第三步的依据是：合并同类项．
强化训练 练习1 计算： -14+ 2 7 ； （ 7 -1 ） = ________ （1）2 7 （ 2 3 -3 2）（ - 2 3 -3 2） =________ ． 6 （ 2） 练习2 （ A ）． 20 A． 3 计算（ 24 -3 15 + 2 2
3 -3 30 2 3 3 20 B． 3
2 ） 3 2
的结果是
3 - 30 2 3 3
3 30 C．
D．2 30 -
强化训练 练习3 的值. 已知
x （
4 x 2 +y 2 - 4 x - 6 y +10= 0
，求下面式子
1 ） 2 y
x + y
y ） x
y （
x +x y
课时小结
（1）二次根式的加减运算分哪几步进行？每一个步骤 的依据是什么？ （2）在二次根式的加减中，主要的想法是怎样的？ （3）在二次根式加减中，有哪些地方容易出现错误？ （4）本节课二次根式的加减与上节课二次根式的加 减有什么不同？
化为最简 二次根式
用分配 律合并
整式 加减
讲授新课
请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想．
步骤： “一化简、二判断、三合并”； 依据： 二次根式的性质、分配律和整式加减法则； 基本思想： 把二次根式加减问题转化为整式加减问题．

2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
组二次根式的被开方数都是 ；第3组二次 根式的被开方数化成最简二次根式后都是 ；
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
判断是否同类二次根式注意问题： （1）被开方数相同。（2）二次根式不能再化简。（3）与二次根式的系数无关