高中数学高考竞赛与自主招生专题讲义第三讲：不等式的性质及证明(教师版)

全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>⇒>> 对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

不等式的证明课后练习1.选择题(1) 方程 x2-y 2=105 的正整数解有 (.. ).（ A）一组（B）二组.（C）三组.（D）四组(2) 在 0,1,2, ， 50 这 51 个整数中，能同时被2，3，4 整除的有（ ..）.（A）3 个（B）4 个.（C）5个.（D）6个2．填空题（1）的个位数分别为 _________及_________.(2) 满足不等式104≤A≤105的整数A的个数是x×104+1，则x的值________.(3)已知整数 y 被 7 除余数为 5, 那么 y3被 7 除时余数为 ________.(4)求出任何一组满足方程 x2-51y 2=1 的自然数解 x 和 y_________. 3.求三个正整数 x、 y、z 满足.4．在数列 4，8，17，77，97，106，125，238 中相邻若干个数之和是 3 的倍数，而不是 9 的倍数的数组共有多少组？5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．求满足条件的整数x，y的所有可能的值.8．已知直角三角形的两直角边长分别为 l 厘米、m厘米，斜边长为 n 厘米，且 l ，m， n 均为正整数， l 为质数 . 证明： 2（l+m+n）是完全平方数 .9. 如果 p、 q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求 p+q 的值 .课后练习答案1.D.C.2.(1)9及1.....(2)9....(3)4.(4) 原方程可变形为x2=(7y+1) 2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3. 不妨设 x≤y≤z, 则, 故 x≤3. 又有故x≥2.若x=2,则,故 y≤6. 又有, 故 y≥4. 若 y=4, 则 z=20. 若 y=5, 则 z=10. 若 y=6, 则 z 无整数解 . 若 x=3, 类似可以确定 3≤y≤4,y=3 或 4,z 都不能是整数 . 4.可仿例 2 解.5.分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换．．的方法.略解： a2b22ab,同理 b2c32bc, c2a22ca ；三式相加再除以2即得证 .评述：（ 1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.如 x12x22x n2x1 x2x n，可在不等式两边同时加上x2x3x n x1 .x2x3x1再如证 (a1)(b1)(a c) 3 (b c) 3256a 2b 2c3 (a,b, c 0) 时，可连续使用基本不等式.（2）基本不等式有各种变式a b2a2b2如 ()2等.但其本质特征不等式两边的次数及2系数是相等的 .如上式左右两边次数均为2，系数和为 1.222226.8888 ≡8(mod37), ∴8888≡8(mod37).3333322223333 2 3而7777≡7(mod37),7777 ≡7(mod37),8888 +7777 ≡(8 +7 )(mod37), 82+73=407,37|407, ∴37|N.7. 简解 : 原方程变形为 3x 2-(3y+7)x+3y 2-7y=0 由关于 x 的二次方程有解的条件△≥0及 y 为整数可得 0≤y ≤5, 即 y=0,1,2,3,4,5. 逐一代入原方程可知 , 原方程仅有两组解 (4,5) 、(5,4).2 2 2 2 2,n-m=1. 于是8. ∵l +m=n , ∴l =(n+m)(n- m). ∵l 为质数 , 且 n+m ＞ n-m ＞0, ∴n+m=l 22 2 +2l+1=(l+1) 2是 l =n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l . 即 2(l+m+1) 完全平方数 .9. 易知 p ≠q, 不妨设 p ＞q. 令=n, 则 m ＞n 由此可得不定方程(4-mn)p=m+2, 解此方程可得 p 、q 之值 .。

不等式的性质证明不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数、两个算式或两个函数之间的大小关系。

在数学研究和实际问题中，不等式的性质具有重要的意义。

本文将深入探讨不等式的基本性质，并进行相应的证明。

一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。

即如果一个数小于另一个数，而另一个数又小于另一个数，那么第一个数一定小于第三个数。

证明：设a < b，b < c，用反证法。

假设a ≥ c，那么由于a < b，根据传递性得知b ≥ c，与b < c矛盾。

故假设不成立，得证。

2. 加法性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，则有a + c < b + c。

即两个不等式的同侧同时加上一个相同的数，不等号的方向不变。

证明：设a < b，用反证法。

假设a + c ≥ b + c，那么由于a < b，根据传递性得知a + c < b + c，与假设矛盾。

故假设不成立，得证。

3. 乘法性：对于任意的实数a、b和正数c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。

即两个不等式的同侧同时乘上一个正数，不等号的方向不变；若c < 0，则有ac > bc，即两个不等式的同侧同时乘上一个负数，不等号的方向反向。

证明：设a < b，用反证法。

假设ac ≥ bc，若c > 0，则由于a < b，根据乘法性得知ac < bc，与假设矛盾；若c < 0，则有ac > bc，同样与假设矛盾。

故假设不成立，得证。

二、不等式中的常见定理及证明1. 加法定理：对于任意的实数a，b和c，若a < b，则有a + c < b + c。

证明：设a < b，令d = b - a，根据传递性得知0 < d。

由于c > 0，根据乘法性可得0 < c × d。

不等式的性质与证明方法不等式是数学中常见的一种数对关系，描述了数值之间的大小关系。

在不等式中，我们关注的是不同数值之间的相对大小，而不是它们的具体数值。

本文将介绍不等式的一些基本性质以及一些常用的证明方法。

一、不等式的性质1. 传递性在不等式中，如果a>b，且b>c，那么有a>c。

这个性质叫做不等式的传递性。

传递性是不等式证明中常用到的性质，可以通过多次使用传递性来推导出一些复杂的不等式。

2. 反身性在不等式中，对于任何一个数a，都有a≥a。

这个性质叫做不等式的反身性。

即一个数总是大于等于自身。

3. 反对称性在不等式中，如果a≥b且b≥a，那么有a=b。

这个性质叫做不等式的反对称性。

反对称性表示如果两个数既大于等于彼此又小于等于彼此，则这两个数应该相等。

4. 加法性和减法性在不等式中，如果a≥b，那么有a+c≥b+c；如果a≥b，那么有a-c≥b-c。

这个性质叫做不等式的加法性和减法性。

加法性和减法性表示在不等式两边同时加或减一个常数，原不等式的大小关系仍然成立。

5. 乘法性和除法性在不等式中，如果a≥b且c>0，那么有ac≥bc；如果a≥b且c<0，那么有ac≤bc。

这个性质叫做不等式的乘法性和除法性。

乘法性和除法性表示在不等式两边同时乘或除一个正数（或负数），原不等式的大小关系仍然成立，但需要注意，当乘或除一个负数时，不等号的方向会颠倒。

二、证明方法1. 直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，也是最简单的一种方法。

这种方法通过对不等式进行一系列的推导和化简，最终直接得出结论。

例如，对于不等式a+b≥2√(ab)，可以利用乘法性、加法性和反身性进行证明。

2. 对偶证明法对偶证明法是一种证明方法，通过将不等式中的符号进行翻转，然后利用已知的性质或定理进行证明。

例如，对于不等式a+b≥2√(ab)，可以对偶后得到4ab≥(a+b)²，然后再利用乘法性和加法性进行证明。

2023《不等式的基本性质教学课件ppt》contents •不等式的定义和表示方法•不等式的基本性质•不等式的解法•不等式的应用•不等式的历史和未来发展•课后习题与答案目录01不等式的定义和表示方法1不等式的定义23不等式是表示两个数或两个式子之间不相等关系的数学符号。

不等式的定义包括算术不等式、几何不等式、函数不等式等。

不等式的种类描述两个数或式子之间的数量关系，可以反映事物的某些性质和规律。

不等式的意义一般用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号来表示两个数或式子之间的大小关系。

不等式的表示方法数学符号如x > 3，a < b等都是不等式。

举例说明不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变。

注意问题03解题步骤首先分析问题中涉及的变量及其关系，然后建立相应的不等式模型，最后解不等式得到所需的结果。

如何使用不等式进行数学建模01建立数学模型通过建立不等式模型，可以描述实际问题中变量之间的关系，反映事物的规律和性质。

02实例说明如实际生活中的购物问题、投资问题等都可以通过建立不等式模型来分析解决。

02不等式的基本性质总结词基础且重要详细描述不等式的传递性是不等式基本性质的核心内容之一，它表明如果a>b和c>d，那么ac>bd。

这个性质在解决一些复杂不等式问题时非常有用，需要学生熟练掌握。

不等式的传递性总结词基础且常用详细描述不等式的可加性表明，如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。

这个性质在解决一些实际问题时非常常用，如比较两个商品的价格等。

不等式的可加性重要但较难理解总结词不等式的可乘性表明，如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。

这个性质在解决一些复杂不等式问题时需要逆用，同时需要注意乘积为负的情况。

详细描述不等式的可乘性总结词易忽视但有技巧详细描述不等式的可除性表明，如果a>b>0，c>d>0，那么ad>bc。

不等式的性质与证明方法不等式是数学中常见的一种数值关系表达方式，它描述了数值之间的大小关系。

在数学的研究中，不等式具有重要的意义，它在许多领域中都得到了广泛的应用。

本文将介绍不等式的性质和证明方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a > b，b > c，那么可以得出 a > c。

这是不等式的一种基本性质，也是比较大小关系的基础。

2. 对称性：如果 a > b，则有 b < a。

不等式的对称性使得我们可以在不改变大小关系的前提下，对不等式进行变换和操作。

3. 相加性：如果 a > b，则对任意的 c，a + c > b + c。

不等式的相加性允许我们在不等式的两边同时加上一个相同的数，不改变大小关系。

4. 相乘性：如果 a > b，且 c > 0，则有 ac > bc。

不等式的相乘性使我们能够在不等式的两边同时乘以一个正数，仍然保持大小关系不变。

二、不等式的常见证明方法1. 直接证明法：通过逐步推导和运算，从已知条件出发，逐步推导出要证明的不等式，直至推导出所要证明的结论。

这是一种简单直接的证明方法，常用于证明不等式的基本性质。

例子：证明对任意正整数 n，都有 n^2 + n > 2n。

证明：对于任意正整数 n，我们有n^2 + n = n(n + 1)。

由于 n 是正整数，所以 n + 1 > 1，因此 n(n + 1) > n。

又因为对于任意正整数 n，n > 2，所以 n > 2n。

因此，n(n + 1) > n > 2n，即 n^2 + n > 2n。

2. 反证法：假设要证明的不等式不成立，即假设不等式的否定成立，然后通过推导得到矛盾，从而推断出假设的不等式成立。

这是一种常用的证明方法，适用于复杂的不等式证明。

例子：证明当 x > 0 时，有 x^2 + 1 > 2x。

高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法高中数学知识点归纳——不等式的性质与求解方法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数或者表达式之间大小的关系。

不等式是数学中重要且广泛应用的概念，在高中数学学习中，学生需要掌握不等式的性质及求解方法。

本文将对不等式的性质及求解方法进行归纳总结。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性是指如果a>b，b>c，则有a>c。

这个性质在求解不等式问题时经常会使用到。

2. 不等式的加减性对于不等式a>b和一个非负实数c，有以下结论：a+c > b+ca-c > b-c利用这个性质可以对不等式进行加减运算，从而简化不等式的形式。

3. 不等式的乘除性对于不等式a>b和一个正实数c，有以下结论：a*c > b*c (当c>0时)a*c < b*c (当c<0时)同样地，利用这个性质可以对不等式进行乘除运算，从而简化不等式的形式。

4. 不等式的倒置性对于不等式a>b，将不等式两边同时取负，得到-b>-a，即b<a。

这就是不等式的倒置性。

二、不等式的求解方法1. 图像法图像法是一种简单可行的不等式求解方法。

对于一元一次不等式，可以将其转化为一条直线，根据直线在数轴上的位置来判断不等式的解集。

2. 实数集合法通过观察不等式中的变量范围，结合实数集合的性质，可以得到不等式的解集。

例如，对于不等式2x-3<5，可以通过观察得到x的范围应该是(-∞, 4)。

3. 符号法符号法是一种常用的不等式求解方法，通过对不等式两边进行推导和变形，利用不等式的性质进行运算，最终得到不等式的解集。

4. 区间法对于一元一次不等式，可以通过构造不等式的区间来求解。

例如，对于不等式x+2>5，可以通过将不等式两边同时减去2，得到x>3，表示x的取值范围是(3, +∞)。

三、不等式的分类与求解1. 一元一次不等式一元一次不等式是最简单的一类不等式，通常形式为ax+b>c或者ax+b<c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。

不等式的性质与不等式的证明不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。

在不等式中，我们需要根据已知条件推导出新的不等式，这就需要借助不等式的性质进行证明。

本文将重点介绍不等式的性质以及不等式的证明方法。

1.不等式的性质(1)传递性：如果a<b，b<c，那么可以推出a<c。

这个性质可以简单地通过比较大小关系来理解，如果a比b小，b比c小，那么a当然比c 小。

(2)加法性：如果a<b，那么对于任意的c，有a+c<b+c。

这个性质也比较直观，如果a比b小，那么加上同一个正数c，a+c就会变得小于b+c。

同样地，如果a>b，那么对于任意的c，有a+c>b+c。

(3)乘法性：如果a<b，那么对于任意的正数c，有a×c<b×c。

这个性质也比较直观，正数的乘法会拉大不等式之间的差距。

同样地，如果a>b，那么对于任意的正数c，有a×c>b×c。

需要注意的是，如果c是负数，那么不等号的方向会发生翻转。

(4)反身性：任何数a都满足a=a。

这个性质是显然的，每个数都等于它自己。

2.不等式的证明方法(1)数学归纳法：对于一些给定的自然数n，如果我们可以证明当n=1时不等式成立，且对于任意的n=k时成立，那么我们就可以证明当n=k+1时不等式也成立。

这种方法通常用于证明关于自然数的不等式，其中k为任意自然数。

(2)反证法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明不等式是正确的。

反证法通常用于证明数学问题中的一些结论。

(3)矛盾法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的前提，从而证明不等式是正确的。

矛盾法通常用于证明的过程中需要排除一些条件才能得到结论的情况。

(4)代入法：将不等式中的符号用具体的数值代入，通过对具体的数值进行计算来验证不等式的正确性。

代入法相对于其他方法来说，更直观、容易理解。

《不等式的基本性质》讲义一、不等式的定义在数学中，不等式是表示两个数或者表达式之间大小关系的一种数学表达式。

用不等号（如“＞”大于、“＜”小于、“≥”大于等于、“≤”小于等于）连接两个数或表达式所组成的式子，就叫做不等式。

例如：3 ＜5，x ＋ 2 ＞ 5 等等。

二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b，那么 b ＞ a 。

这就好像两个人比身高，如果甲比乙高，那么反过来乙就比甲矮，道理是很直观易懂的。

2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜ c，那么 a ＜c 。

比如说，甲比乙高，乙又比丙高，那自然甲就比丙高；反过来，如果甲比乙矮，乙又比丙矮，那甲肯定比丙矮。

3、加法性质如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

这意味着，当不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。

就好比甲和乙有身高差，两人同时穿上一样厚的增高鞋，身高差依然不变。

4、减法性质如果 a ＞ b，那么 a c ＞ b c 。

跟加法性质类似，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向也不变。

5、乘法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc 。

当不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。

可以想象成把两个长度不同的线段同时按相同的比例放大，它们的长度差还是保持原来的大小关系。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。

但如果乘以一个负数，不等号方向就要改变。

这有点像在镜子里看东西，左右方向会反过来。

6、除法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 a/c ＞ b/c 。

不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 a/c ＜ b/c 。

除以一个负数时，不等号方向改变。

7、乘方性质如果 a ＞ b ＞ 0，那么 a^n ＞ b^n（n 为正整数，n ≥ 1）。

版块一．不等式的性质1．用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式．2．对于任意两个实数a 和b ，在,,a b a b a b =><三种关系中，有且仅有一种关系成立． 3．两个实数的大小比较：对于任意两个实数,a b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．作差比较法：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．其中符号⇔表示它的左边与右边能够互相推出．4．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：如果a b >，则a c b c +>+． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2：如果,a b c d >>，则a c b d +>+．我们把a b >和c d >（或a b <和c d <）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <．实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1a b >，且0b >，则a b >；若1ab>，且0b <，则a b <．推论1：如果0,0a b c d >>>>，则ac bd >．推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2：如果0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N ． 推论3：如果0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N<教师备案>1． 对于任意两个实数,a b ，有0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序．由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号．这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与1比较，知识内容不等式的证明但这时要注意分母的正负情况．2．比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法．它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者．这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便．3．可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减．对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质４的推论３可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识．版块二．均值不等式1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a b+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b,a b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点： ⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2．均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==； ⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=， ∵,AC BC CD AB ⊥⊥∴CD 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，有2a bOC CD +=>CODB A当且仅当a b =时，,O D两点重合，有2a bOC CD +=== 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），22112a b a b+⎝⎭+≥2a b +称为算术平均数，211a b+称为调和平均数．证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，∴2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭Q ≥∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104-=⎝⎭≥∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立．∴2211ab a b a b==++=0=∴211a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．板块三．解不等式1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．2． 解不等式⑴解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；⑵分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； ⑶高次不等式主要利用“序轴标根法”解．【例1】 a ，b ，c 是三角形的三边，0m >.求证：a b ca mb mc m+>+++； 【考点】不等式的证明 【难度】星 【题型】解答 【关键字】无【解析】略【答案】a b ca mb mc m+>+++ 需证()()()()a b m b a m ca mb mc m+++>+++ 即证()()22ab m a b cab m a b m c m ++>++++只需证()()22ab m a b m c mab m a b c++++<++只需证()22m ab mab m a b c-<++只需证()222m c abc mab m a b -<++ 即证()()22m c a b ab m c -+<+⎡⎤⎣⎦在三角形中，有c a b <+，又0m >，故上式左端小于0，右端大于a ，说明这个不等式是成立的，故要证的不等式成立.【例2】 已知a b c >>，求证111a b b c a c+>---. 【考点】不等式的证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略典例分析【答案】方法一：证111a b b c a c +>--- 即证()()1a c ab bc a c->--- 由已知，有a b -、b c -、a c -均为正数，故只需证()()()2a c ab bc ->--即证()()()()2a b b c a b b c -+->--⎡⎤⎣⎦ 只需证()()()()22a b b c a b b c -+->---上式左端为正，右端为负，故成立，所以原不等式成立. 方法二：证111a c b c a c +>---，由已知知10b c >-，故只需证11a b a c>--.再由0a b ->，0a c ->，则只需证a b a c -<-.只需证0c b -<.由已知0c b -<成立，故原不等式得证.【例3】 已知a b c >>，求证：114a b b c a c+---≥． 【考点】不等式的证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】法一（换元法）∵a b c >>，∴0,0,0a b b c a c ->->->， 设,a b x b c y -=-=，则a c x y -=+，原不等式转化为：114x y x y ++≥，即证：11()()4x y x y++≥，∵11()()4x y x y ++≥，故原不等式成立．法二：∵a b c >>，∴0,0,0a b b c a c ->->->， ∴1111()()()()a c a b b c a b b c+-=+-+---4=≥，∴114a b b c a c+---≥．【例4】 已知0a >，0b >，且1a b +=．求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥．【考点】不等式的证明【难度】3星 【题型】解答【关键字】2005年，江苏模拟 【解析】略【答案】证法一：欲证原式，即证2224()4()2540ab a b ab ++-+≥，即证24()33()80ab ab -+≥，即证14ab ≤或8ab ≥．∵0a >，0b >，1a b +=，∴8ab ≥不可能成立∵1a b =+≥14ab ≤，从而得证．证法二：设112a t =+，212b t =+．∵1a b +=，0a >，0b >，∴120t t +=，11||2t <，21||2t <，∴221111a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫++=⨯⎪⎪⎝⎭⎝⎭2212121111221122t t t t ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯++ 22112212111144122t t t t t t ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=1⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2211222211114414t t t t t ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=- 22222225414t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-24222225325251626111444t t t ++==-≥． 显然当且仅当120t t ==，即12a b ==时，等号成立．证法三：∵1a b +=，0a >，0b >，∴a b +≥，∴14ab ≤．∴213911(1)4416ab ab --=⇒-≥≥2225(1)1(1)12516144ab ab ab ab⎧-+⎪-+⎪⇒⇒⎨⎪⎪⎩≥≥≥即11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥证法四：∵0a >，0b >，1a b +=，故令sin a α=，2cos b α=，π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22221111sin cos sin cos a b a b αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭44222sin cos 2sin cos 21sin 24ααααα-+=42211sin 22sin 22221sin 24ααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=422sin 28sin 2324sin 2ααα-+=2(4sin 2)164sin 2αα-+=∵2sin 21α≤，∴24sin 2413α--=≥．222222(4sin 2)1625(4sin 2)2516114sin 24sin 4αααα⎫-+-⎪⇒⎬⎪⎭≥+≥≥ 即得11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥．【例5】 若a b c +∈R 、、，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥．【考点】不等式的证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】法一（综合法）∵111a b caa -+-==，又0a >，0b >，0c >， ∴b ca +，即1aa - 同理11b -，11c -，∵1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立．法二（综合法）∵a b c +∈R 、、，1a b c ++=，∴111111()()()8b c a c a ba b c a a b b c c⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当,,b c a c a b a a b b c c ===，即13a b c ===时，等号成立．法三（分析法）∵a b c +∈R 、、，∴要证1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，即证：(1)(1)(1)8a b c abc ---≥，又1a bc ++=，故证明不等式()()()8b c a c a b abc +++≥即可， 又()()()8b c a c a b abc +++≥，故原不等式成立，且当13a b c ===时取到等号．【例6】 设,,a b c +∈R ，求证：11()()4a b c a b c++++≥．【考点】不等式的证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】∵,,0a b c >，∴1111()()[()]()4a b c a b c a b c a b c +++=+++++≥,当且仅当a b c =+时，等号成立．【例7】 已知,,a b c +∈R ，求证：222a b c a b c b c a++++≥．【考点】不等式的证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】∵,,0a b c >，∴2222,2,2a b c b a c b a c b c a +++≥≥≥，两边分别相加得：222()()()222a b c b c a a b c b c a+++++++≥，即222a b c a b c b c a++++≥．【例8】 已知,,x y z +∈R ，且1x y z ++=【考点】不等式的证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】略 【答案】只需证3x y z +++≤1．∵,,x y z+∈R ，∴x y +≥，x z +≥y z +≥ ∴2()x y z ++≥，∴1成立．∴【例9】 若半径为1的圆内接ABC ∆的面积是14，三边长分别为，，a b c ，求证：⑴1abc =111a b c++．【考点】不等式的证明 【难度】5星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴由1sin 24abc S ab C R ==，及1R =，14S =易知⑴成立．⑵式左边是12次式，右边是负一次式，两边相差3次，而条件（即⑴式）是三次111a b c +++．因为 1112a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+11c a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2≥． 所以原不等式得证．【例10】 已知a b c 、、是互不相等的正数，求证：222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>．【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】∵2220b c bc a +>>，，∴22()2a b c abc +>同理可得：2222()2()2b a c abc c a b abc +>+>，． 三个同向不等式相加，得222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>【例11】 已知,,a b c 是一个三角形的三边之长，求证：(1)(1)(1)8a b c a b c a b cb c a c a b a b c++++++---+-+-+-≥．【考点】不等式的证明 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】略【答案】法一（综合法）：222(1)(1)(1)a b c a b c a b c a b cb c a c a b a b c b c a c a b a b c ++++++---=⋅⋅+-+-+-+-+-+-， ∵0,0,0a b c a c b b c a +->+->+->，∴2()()a a b c a c b b c a b c a +-++-=+-+-，2()()b a b c c b a c a b c a b +-++-=+-+-，2()()c a c b b c a a b c a b c +-++-=+-+-． 两边分别相乘得：2228a b cb c a c a b a b c⋅⋅+-+-+-≥，即(1)(1)(1)8a b c a b c a b c b c a c a b a b c ++++++---+-+-+-≥．法二（换元法）：设,,x b c a y a c b z a b c =+-=+-=+-，则,,0x y z >，且可解得：2,2,2a y z b x z c x y =+=+=+，代入不等式的左边得：左边8y z x z x y x y z +++=⋅⋅=， 当且仅当x y z ==，即对应的a b c ==时等号成立．故命题得证．【例12】 若a b c +∈R 、、，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥．【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】略【答案】∵111a b ca a -+-==，又0a >，0b >，0c >，∴b c a +，即1a a -同理11b -，11c -，∴1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立．【例13】 ⑴已知,,a b c ∈R ，求证：222a b c ab bc ca ++++≥⑵若0a >，0b >，且1a b +=，求证：114a b+≥．【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，三式相加，得2222()2()a b c ab bc ca ++++≥， 即222.a b c ab bc ca ++++≥ ⑵法一：1a b += ∴1111()()2b aa b a b a b a b+=++=++24+=≥法二：1a b =+Q ≥∴111424ab ab⇒⇒≤≥，∴114a b +=≥ 法三：∵111a b a b ab ab ++==，21()24a b ab +=≤，∴114a b+≥．【例14】 设x ，y ，z【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】C BAxyz 120︒120︒120︒构造如图所示的三角形，使AO x =，BO y =，CO z =， 120AOC AOB BOC ∠=∠=∠=︒.由余弦定理，得2222cos120AC x z xz =+-︒，即AC 2222cos120AB x y xy =+-︒，即AB ， 2222cos120BC y z yz =+-︒，即BC =. 因为AB BC AC +>，【例15】 已知a ，b ，c)a b c ++.【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】cb acbaDCBA法一：构造法如图所示，作边长为a b c ++的正方形，取两相对的顶点A 、D 及纵横分隔线的两个交点B 、C，则AB，BC =，CD =AD =)a b c =++.因为折线ABCD 的长不小于线段AD 的长， 所以AB BC CD AD ++≥，)a b c ++. 法二：综合法 ∵a b c +∈R 、、，∴)a b +，)bc +)c a +．)a b c ++．【例16】 已知锐角ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c，且a 边上的高为h ，求证：b c +【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】FED CB AH法一：构造法构造平行四边形BCEF ，倍长CA 到F ，倍长BA 到E ，连结,BF EF ，得到平行四边形BCEF如图所示，作CH FE ⊥，垂足为H ，则2CH h =，BH =要证b c + 只需证AB AC BH +≥ 又AH FA AC ==，HAB CD如图，AB AH BH +≥，即b c +成立 因此原不等式得证另外也可直接构造Rt BCH ∆，如图所示 作2CH AD =,即2CH h =，连结AH 以下与构造平行四边形同理 法二：分析法（边转化成角）要证b c +只需证222()4b c a h ++≥，即222224b c bc a h ++-≥D CB A①由222cos 2b c a A bc+-=，sin h b C =sin c B =代入①式有2cos 2bc A bc +≥4sin sin bc B C即证1cos 2sin sin A B C +≥ 只需证1cos()2sin sin B C B C -+≥ 即证cos()1B C -≤由cos()1B C -≤成立，因此原不等式得证 法三：分析法（边转化成边）要证b c +只需要证222()4b c a h ++≥ ②由图可知a ③将③代入②有222224b c bc h +++≥即证222bc h +≥只需证2bc h -即证()222bc h-≥只需证22422242222()b c h bch b c h b c h +-+-+≥ 由222bc b c +≤成立 因此原不等式得证【例17】 设a 、b 、c 是正实数，且满足1abc =，证明：1111111a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤．【考点】不等式的证明 【难度】6星 【题型】解答 【关键字】41届IMO 【解析】略 【答案】令x a y =，y b z=，zc x =，其中x 、y 、z 为正实数，、 则原不等式变为()()()x y z y z x z x y xyz -+-+-+≤ 记u x y z =-+，v y z x =-+，w z x y =-+．因为这三个数中的任意两个数之和都是正数，所以它们中间最多只有一个是负数． 如果恰有一个是负数，则0uvw xyz <≤，不等式得证． 如果这三个数都大于0，则由均值不等式可得1[()()]2x y z y z x x -++-+=z y ．于是，uvw xyz ≤，不等式得证．【例18】 证明下列不等式：⑴若,,x y z ∈R，,,a b c +∈R （+R 为正实数），则2222()b c c a a b x y z xy yz zx a b c+++++++≥． ⑵若x ，y ，z +∈R （+R 为正实数），且x y z xyz ++=，则21112y z z x x yx y z x y z ⎛⎫+++++++ ⎪⎝⎭≥． 【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2006年，重庆初赛【解析】略【答案】⑴2222()b c c a a b x y z xy yz zx a c c+++++-++222222222b a c b a c x y xy y z yz z x zx a b b c c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2220⎫⎫⎫=++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭≥， ∴2222()b c c a a b x y z xy yz zx a b c +++++++≥．⑵所证不等式等价于22222()y z z x x y x y z xy yz zx xy z ⎛⎫+++++++ ⎪⎝⎭≥⇔2[()()()]2()xyz yz y z zx z x xy x y xy yz zx ⋅+++++++≥222222222222222()()2()4()x y z y z yz z x zx x y xy x y y z z x x yz xy z xyz ⇔++++++++++++≥333333222222x z x y xy y z yz xz xy z x yz xyz ⇔+++++++≥222222222()()()()()()0yz y z zx z x xy x y x y z y z x z x y ⇔-+-+-+-+-+-≥．∵上式显然成立，∴原不等式得证．【例19】 设0a b +>，求证：2211122211log ()log (1)log (1)22≥a b a b ++++．【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】当所证结论在形式上比较繁杂时，一般都可采用分析法．要证明2211122211log ()log (1)log (1)22≥a b a b ++++，只要证221112222log ()log (1)log (1)≥a b a b ++++，因为0a b +>，210a +>，210b +>，故只要证2221122log ()log [(1)(1)]≥a b a b +++由于函数12log y x =在(0)，+∞上是减函数，故只要证222()(1)(1)≤a b a b +++，即证22222221≤a ab b a b a b +++++， 只要证22210≥a b ab -+，即证2(1)0≥ab - 这是显然成立的，故原不等式成立．【例20】 已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，证明：2223333a b c a b c ++++≥【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】利用柯西不等式()23131312222222222ab ca ab bc c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤ ()()2333a b c a b c =++++ （∵1a b c ++=）又∵222a b c ab bc ca ++++≥，在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++++≤∵()()()22223332223a b c a b c a b c ++++⋅++≤故2223333a b c a b c ++++≥【例21】 设0(12)i x i n >=L ，，，且121n x x x +++=L ，n ∈N ，n ≥2．求证12121313112323111()()()()()4n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+++++++++++L L ≤．【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】原式左端记为A ，则222123213121()()()n n n n A x x x x x x x x x x x x -=++++++++++++L L L L2221121212212[()][()][()]n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x =+++-++++-+++++-L L L L 因为121n x x x +++=L ，所以2221122(1)(1)(1)n n A x x x x x x =-+-++-L2223331212()()n n x x x x x x =+++-+++L L ①对于0(12)i x i n >=L ，，，，根据柯西不等式，有3231212()()n n x x x x x x ++++++L L 23131312222221122n n x x x x x x ⎛⎫⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭L ≥ 222212()n x x x =+++L ②由①，②，有22222221212()()n n A x x x x x x +++-+++L L ≤222212111()244n x x x ⎡⎤=-+++-+⎢⎥⎣⎦L ≤【例22】 证明柯西不等式：()21122n n a b a b a b +++L ()()2222221212n n a a a b b b ++++++L L ≤(),1,2i i a b R i n ∈=L等号当且仅当120n a a a ====L 或i i b ka =时成立（k 为常数，1,2i n =L ）【考点】不等式的证明 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】证明1：构造二次函数 ()()()2221122()n n f x a x b a x b a x b =++++++L()()()2222222121122122n n n n a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++++L L L⑴当222120n a a a ++⋅⋅⋅=时，有120n a a a ==⋅⋅⋅=，原不等式为00≤成立， ∴当120n a a a ==⋅⋅⋅=时原不等式能取到等号；⑵当222120n a a a +++>L 时，且()0f x ≥恒成立 ∴()()()222222211221212440n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++L L L ≤即()()()222222211221212n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++L L L ≤当且仅当()01,2i i a x b i n +==L 时等号成立，即i i b ka =时等号成立 证明2：数学归纳法⑴当1n =时，左式()211a b =，右式2211a b =显然，左式=右式；当2n =时，右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ++=+=≥左式当且仅当2112a b a b =时等号成立 故1,2n =时，不等式成立⑵假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即()()()222222211221212k k k k a b a b a b a a a b b b +++++++++L L L ≤当 i i b ka =，k 为常数，1,2i k =L 或120k a a a ====L 时等号成立设22212k a a a A =+++L ，22212k b b b B =+++L ，1122k k C a b a b a b =+++L 则()()222222111111k k k k k k a b b a a b ++++++A +B +=AB +A +B + ()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++++=+≥∴()()22222222121121k k k k aa a ab b b b ++++++++++L L ()2112211k k k k a b a b a b a b ++++++L ≥当i i b ka =，k 为常数，1,21i k =+L 或1210k a a a +====L 时等号成立 即1n k =+时不等式成立 综合⑴⑵可知不等式成立【例23】 设()()20f x ax bx c a =++≠，若(0)1f ≤，(1)f ≤1，(1)1f -≤，试证明：对于任意11x -≤≤，有()54f x ≤．【考点】不等式的证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】∵()()()110f a b c f a b c f c -=-+=++=，，，∴()()()()11(1120)((1)(1))022a f f fb f fc f =+--=--=，，，∴()()()()()222110122x x x x f x f f f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴ 当10x -≤≤时，()()()()222110122x x x xf x f f f x +-⋅+-⋅+⋅-≤2222221(1)2222x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤221551244x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭≤．当01x ≤≤时，()()()()222110122x x x xf x f f f x +-⋅+-⋅+⋅-≤222122x x x x x +-++-≤222(1)22x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221551244x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭≤．综上，问题获证．。