【数学】2015年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷和解析

无锡市2011年秋学期高三期末考试试卷数 学 2012.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡的．．．．相应位置．．．．上1.已知复数)3(-=i i z （i 是虚数单位），则复数z 的虚部为 ．2.已知集合{}0),(=+=y x y x P ，{}2),(=-=y x y x Q ，则=P Q I ． 3.不等式0242>-+x x的解集为 ．4.已知函数)1(log 2-=ax y 在)2,1(单调递增，则a 的取值范围为 ．5.随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a ，若4=n ，1951=a ，1972=a ，1933=a ，1994=a ，则如右图所示的程序框图输出的=S ．6.函数)sin(ϕω+=x y （πϕω<<>0,0）的周期为π，且函数图象关于点)0,3(π-对称，则函数解析式为 ．7.对于直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题：（1）若α//m ，n m ⊥，则α⊥n （2）若α⊥m ，n m ⊥，则α//n（3）若βα⊥，βγ⊥，则γα// （4）若α⊥m ，n m //，β⊂n ，则βα⊥8.直线3+=kx y 与圆4)2()3(22=-+-y x 相交于M ，N 两点，若32≥MN ，则k 的取值范围是 ．9.命题p ：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过2F 作21PF F ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线)0(12222>>=-b a b y a x ，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过2F 作21PF F ∠的 的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.10.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且m a a a 252=+，则=m ． 11.已知ABC ∆中，︒=∠45B ，4=AC ，则ABC ∆面积的最大值为 ．12.设点),(b a 在平面区域{}1,1),(≤≤=b a b a D 中均匀分布出现，则双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的离心率e 满足21<<e 的概率为 ．13.设点O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，且0222=+-AB AC AC ，则AO BC •的范围是 ．14.设函数na n ix f n i x x∑-=+=11lg)(，其中R a ∈，对于任意的正整数n （2≥n ），如果不等式n x x f lg )1()(->在区间[)+∞,1有解，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知)sin ,(sin βα=，)1),(cos(--=βα，)2),(cos(βα+=，)(2,Z k k ∈+≠ππβα.（1）若c b //，求βαtan tan •的值； （2）求•+2的值.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 、G 分别是1AA ，C D 1，AD 的中点. 求证：（1）//MN 平面ABCD ；（2）设α是过MN 的任一平面，求证：⊥α平面BG B 1.17.（本小题满分14分）如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，B 点坐标为)0,1(，︒=∠60BOA ，质点A 以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B 以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A 作y AA ⊥1轴于1A ，过点B 作y BB ⊥1轴于.1B（1）求经过1秒后，BOA ∠的弧度数；（2）求质点A 、B 在单位圆上第一次相遇所用的时间；（3）记11B A 的距离为y ，请写出y 与时间t18.（本小题满分16分）已知长轴在x 轴上的椭圆的离心率36=e ，且过点).1,1(P （1）求椭圆的方程；（2）若点),(00y x A 为圆122=+y x 上任一点，过点A 作圆的切线交椭圆于B 、C 两点，求证：OB CO ⊥（O 为坐标原点）. C 1A 1MC已知函数cx bx x x f ++=23)(在1=x 处的切线方程为0126=--y x ，)('x f 为)(x f 的导函数，x e a x g ⋅=)(（a ，b ，R c ∈）.（1）求b ，c 的值；（2）若存在(]2,00∈x ，使)()(0'0x f x g =成立，求a 的范围.20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，已知对+∈∀N m n ,，当m n >时，总有m m n m n mnq T T T )(--⋅=（0>q 是常数）. （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）设正整数k ，m ，n （n m k <<）成等差数列，试比较k n T T ⋅和2)(m T 的大小，并说明理由； （3）探究：命题p ：“对+∈∀N m n ,，当m n >时，总有m m n m n mnq T T T )(--⋅=（0>q 是常数）”是命题t ：“数列{}n a 是公比为)0(>q q 的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.无锡市2011年秋学期高三期末考试试卷数学（理科加试卷）1.随机抽取某厂的某种产品100件，经质检，其中有甲等品70件，乙等品25件，另有5件是次品。

2016-2017学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．设集合{|0},={|-1<2}A x x B x x =>≤，则A B = ． 2．复数21z i=-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 ． 3．命题22,4x x ∀≥≥的否定是 ．4．从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为 ．5．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 ．6．已知向量(2,1),(1,1)a b ==-，若a b - 与ma b + 垂直，则m 的值为 ．7．设不等式104x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是 ．8．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则((2))f g -= ．9．设公比不为1的等比数列{}n a 满足12318a a a =-，且243,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为 ．10．设2()s i n 3c o s )2f x x x x π=-+，则()f x 在[0,]2π上的单调递增区间为 ．11．已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于 ．12．设P 为有公共焦点12,F F 的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且12PF PF ⊥，椭圆C1的离心率为1e ，双曲线C2的离心率为2e ，若123e e =，则1e = ．13．若函数()f x 在[,]()m n m n <上的值域恰好为[,]m n ，则称()f x 为函数的一个“等值映射区间”．下列函数：①21y x =-；②22log y x =+；③21x y =-；④11y x =-．其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 个．14．已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2sin cos12B CA ++=，D 为BC 上一点，且1344AD AB AC =+．（1）求sin A 的值；（2）若5a b ==，求AD 的长．16．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点．求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）EF ∥平面PAD ．17、某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ 上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M 处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为l．（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值．18、已知椭圆22143x y +=，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点（B 在第一象限）．（1）若点B 的坐标为3(1,)2，求△OBC 面积的最大值；（2）设1122(,),(,)B x y C x y ，且1230y y +=，求当△OBC 面积最大时，直线l 的方程．19．数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12,()(,)3n n n a S a r r R n N ==+∈∈． （1）求r 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设*()n nnb n N a =∈，记{}n b 的前n 项和为n T ． ①当*n N ∈时，2n n T T λ<-恒成立，求实数λ的取值范围； ②求证：存在关于n 的整式()g n ，使得11(1)()1n nn i TT g n -=+=⋅-∑对一切*2,n n N ≥∈都成立．20．已知2()1(),()x f x x mx m R g x e =++∈=．（1）当[0,2]x ∈时，()()()F x f x g x =-为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若(1,0)m ∈-，设函数()15(),()()44f x G x H x xg x ==-+，求证：对任意1212,[1,1],()()x x m G x H x ∈-<恒成立．附加题[选修4-4：坐标系与参数方程]21．设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴．已知曲线C 的极坐标方程为ρ=8sinθ（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线2x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T 将平面上的点1(1,),(0,1)2分别变换为点93(,2),(,4)42--．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值．23．某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为1﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：=，则复数z的共轭复数为：1﹣i．故答案为：1﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是∃x0≥2，x02＜4．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是：∃x0≥2，x02＜4．故答案为：∃x0≥2，x02＜4．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4．从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出选出的2人恰好为1男1女包含的基本事件个数m=，由此能求出选出的2人恰好为1男1女的概率．【解答】解：从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，基本事件总数n==10，选出的2人恰好为1男1女包含的基本事件个数m=，∴选出的2人恰好为1男1女的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为70．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，可得当i=9时不满足条件i ＜8，退出循环，输出S的值为70．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=﹣2满足条件i＜8，执行循环体，i=3，S=7满足条件i＜8，执行循环体，i=5，S=22满足条件i＜8，执行循环体，i=7，S=43满足条件i＜8，执行循环体，i=9，S=70不满足条件i＜8，退出循环，输出S的值为70．故答案为：70．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．6．已知向量，若与垂直，则m的值为．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量若与，然后再由垂直向量的数量积为0列式求解m的值【解答】解：∵向量，∴=（1，2），=（2m+1，m﹣1），∵与垂直∴（）（）=0，即2m+1+2（m﹣1）=0，解得m=，故答案为：【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．7．设不等式表示的平面区域为M，若直线y=kx﹣2上存在M内的点，则实数k的取值范围是[2，5] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数y=kx+1的图象是过点A（0，﹣2），斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围．．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，如图．因为函数y=kx﹣2的图象是过点A（0，﹣2），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B（1，3）时，k取最大值=5，当直线l过点C（2，2）时，k取最小值=2，故实数k的取值范围是[2，5]．故答案为：[2，5]．【点评】本题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值．这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档题．8．已知是奇函数，则f（g（﹣2））=1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣3）=﹣1，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2﹣3）=1，故f（g（﹣2））=1，故答案为：1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．9．设公比不为1的等比数列{a n}满足，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{a n}的前4项和为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，根据a2，a4，a3成等差数列，可得=a2+a2q，q ≠1，解得q．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=a2+a3，∴=a2+a2q，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠1，解得q=﹣．∵，∴=﹣，解得a1=1．则数列{a n}的前4项和==．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．设，则f（x）在上的单调递增区间为[0，] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的辅助角公式进行化简结合三角函数的性质进行求解即可．【解答】解：=sin2x+sinxcosx=（1﹣cos2x）+sin2x=sin（2x﹣）+，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈，∴当k=0时，﹣≤x≤，即0≤x≤，即函数f（x）在上的单调递增区间为[0，]，故答案为：[0，]．【点评】本题主要考查三角函数图象和性质的考查，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．11．已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的母线为l，底面半径为r，由已知条件求出l=3，r=1，从而求出圆锥的高，由此能求出圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，∵3π=πl2，∴l=3，∴120°=×360°，∴r=1，∴圆锥的高是=2，∴圆锥的体积是×π×12×2=．故答案为：．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．12．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若3e1=e2，则e1=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ，根据双曲线的几何性质可得，=以及离心率以及a，b，c的关系即可求出答案．【解答】解：设∠F1AF2=2θ根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ=b12，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=c2（﹣1）根据双曲线的几何性质可得，==b22，∵e2=a2=∴b22=c2﹣a22=c2（1﹣），∴c2（﹣1）=c2（1﹣），即+=2，∵3e1=e2，∴e1=故答案为：【点评】本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题．13．若函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”．下列函数：①y=x2﹣1；②y=2+log2x；③y=2x﹣1；④．其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有2个．【考点】函数的值域．【分析】若函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”．根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点．即可判断．【解答】解：根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点．对于①y=x2﹣1；根据新定义可得：x2﹣1=x，方程有两个解，即函数y=x2﹣1与函数y=x有两个交点．故①是；对于②y=2+log2x；根据新定义可得：2+log2x=x，即函数y=2+log2x与函数y=x有一个交点．故②不是；对于③y=2x﹣1；根据新定义可得：2x﹣1=x，即函数y=2x﹣1与函数y=x有一个交点．故③不是；对于④；根据新定义可得：x2﹣x=1，方程有两个解，即函数与函数y=x 有两个交点．故④是；故答案为：2．【点评】本题考查了新定义的理解和定义域，值域的关系的运用．属于中档题．14．已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，则的最小值为+．【考点】基本不等式．【分析】由2=，先将+﹣变形为，运用基本不等式可得最小值，再求c+= [（c﹣2）++1]的最小值，运用基本不等式即可得到所求值．【解答】解：a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，则=c（+﹣）+=+，由2=，可得==≥=，当且仅当b=a时，取得等号．则原式≥c+= [（c﹣2）++1]≥ [2+1]=+．当且仅当c=2+时，取得等号．则所求最小值为+．故答案为： +．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三等，考查化简和运算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）（2016秋•无锡期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+cos2=1，D为BC上一点，且．（1）求sinA的值；（2）若a=4，b=5，求AD的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得5sin2A﹣4sinA=0，结合范围A∈（0，π），即可解得sinA的值．（2）由余弦定理可得c2﹣6c﹣7=0，解得c的值，利用平面向量的运算可求2的值，进而可求AD的值．【解答】解：（1）∵sinA+cos2=1，∴sinA+=1，即2sinA﹣cosA=1，…2分∴（2sinA﹣1）2=cos2A，即5sin2A﹣4sinA=0，∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA=，cosA=…6分（2）∵a=4，b=5，cosA=，∴由余弦定理可得：32=25+c2﹣2×5c×，即：c2﹣6c﹣7=0，解得：c=7，…10分∵，∴2=++bccosA=++=25，…12分∴AD=5…14分【点评】本题主要考查了降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．（14分）（2016秋•无锡期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．求证：（1）平面PAD⊥平面ABCD；（2）EF∥平面PAD．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面垂直的性质可证AP⊥CD，又ABCD为矩形，AD⊥CD，利用线面垂直的判定定理可证CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定可证平面PAD⊥平面ABCD．（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，由ABCD为矩形，O点为AC中点，可证OE∥PA，进而可证OE∥平面PAD，同理可得：OF∥平面PAD，通过证明平面OEF∥平面PAD，即可证明EF∥平面PAD．【解答】证明：（1）∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，…2分又∵AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，…4分∵CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD…6分（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，∵ABCD为矩形，∴O点为AC中点，∵E为PC中点，∴OE∥PA，∵OE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴OE∥平面PAD，…8分同理可得：OF∥平面PAD，…10分∵OE∩OF=O，∴平面OEF∥平面PAD，…12分∵EF⊂平面OEF，∴EF∥平面PAD…14分【点评】本题主要考查了线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，线面平行的判定与面面平行的性质的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17．（14分）（2016秋•无锡期末）某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为l．（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）设∠AME=2θ，求出EM，MN，即可求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）令f（θ）=sinθ（1﹣sinθ），sinθ∈（0，），即可求l的最小值．【解答】解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，∴△BMN≌△EMN，∴∠BNM=∠MNE，∵∠AME=2θ，∴∠BNM=∠MNE=θ，设MN=x，在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ，∵AM+BM=a，∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，∴x=，∴l=EM+MN=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1﹣sinθ），sinθ∈（0，），∴f（θ）≤，当且仅当θ=时，取得最大值，此时l min=2a．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．18．（16分）（2016秋•无锡期末）已知椭圆，动直线l与椭圆交于B，C两点（B在第一象限）．（1）若点B的坐标为（1，），求△OBC面积的最大值；（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），且3y1+y2=0，求当△OBC面积最大时，直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）直线OB的方程为：y=x，即3x﹣2y=0，设经过点C且平行于直线OB的直线l′方程为：y=x+b．则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大．此时直线与椭圆相切．（2）直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立化为：（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12=0，利用根与系数的关系及其3y1+y2=0，可得n2=．则S△OBC=•|y1﹣y2|=2|n||y1|==．进而得出结论．【解答】解：（1）直线OB的方程为：y=x，即3x﹣2y=0，设经过点C且平行于直线OB的直线l′方程为：y=x+b．则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大．联立，化为：3x2+3bx+b2﹣3=0，由△=9b2﹣12（b2﹣3）=0，解得b=．当b=2时，C；当b=﹣2时，C．S△OBC≤×=．（2）直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为：x=my+n，联立，化为：（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12=0，∴y 1+y 2=，y 1•y 2=．∵3y 1+y 2=0，∴y 1=， =，∴=，∴n 2=．∴S △OBC =•|y 1﹣y 2|=2|n ||y 1|==．∵B 在第一象限，∴x 1=my 1+n=+n ＞0，∴n ＞0．∵y 1＞0，∴m ＞0．∴S △OBC ===，当且仅当m=时取等号．此时n=．此时直线l 的方程为：x=y +，即2x ﹣y +=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、直线与椭圆相切问题、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 19．（16分）（2016秋•无锡期末）数列{a n }的前n 项和为S n ，．（1）求r 的值及数列{a n }的通项公式；（2）设，记{b n }的前n 项和为T n ．①当n ∈N *时，λ＜T 2n ﹣T n 恒成立，求实数λ的取值范围；②求证：存在关于n 的整式g （n ），使得对一切n ≥2，n ∈N*都成立．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（1）n=1时，S 1=a 1×=a 1，解得r ，可得S n =a n．利用递推关系可得=，（n ≥2）．利用“累乘求积”方法可得a n ．（2）①b n ==，T n =+…+，T 2n =…+，作差可得数列{T 2n ﹣T n }的单调性．利用当n ∈N *时，λ＜T 2n ﹣T n 恒成立，可得λ的求值范围．②由①可得：n≥2时T n﹣T n﹣1=，即（n+1）T n﹣nT n﹣1=T n﹣1+1，n≥2时，可得=（n+1）T n﹣1．即可得出．【解答】（1）解：n=1时，S1=a1×=a1，解得r=，∴S n=a n．n≥2时，S n﹣1=a n﹣1．两式相减可得：a n=a n﹣a n﹣1．∴=，（n≥2）．∴a n=•…=•…••2=n（n+1），n=1时也适合．∴a n=n（n+1）．（2）①解：b n==，T n=+…+，T2n=…+，∴T2n﹣T n=+…+，令B n=T2n﹣T n，则B n+1﹣B n=﹣=＞0，因此数列{B n}单调递增，∴（B n）min=．∵当n∈N*时，λ＜T2n﹣T n恒成立，∴．②证明：由①可得：n≥2时T n﹣T n﹣1=，即（n+1）T n﹣nT n﹣1=T n﹣1+1，∴n≥2时，=（3T2﹣2T1）+（4T3﹣3T2）+…+[（n+1）T n﹣nT n﹣1]=（n+1）T n﹣2T1=（n+1）T n﹣1．∴存在关于n的整式g（n）=n+1，使得对一切n≥2，n∈N*都成立．【点评】本题考查了数列的递推关系、“累乘求积”方法、“累加求和”方法、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）（2016秋•无锡期末）已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=e x．（1）当x∈[0，2]时，F（x）=f（x）﹣g（x）为增函数，求实数m的取值范围；（2）若m∈（﹣1，0），设函数，求证：对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数F（x）的导数，分离参数，问题转化为m≥e x﹣2x在[0，2]恒成立，令h（x）=e x﹣2x，x∈[0，2]，根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为证G（x）max≤H（x）min，根据函数的单调性分别求出G（x）的最大值和H（x）的最小值，从而证出结论．【解答】解：（1）∵F（x）=x2+mx+1﹣e x，∴F′（x）=2x+m﹣e x，∵x∈[0，2]时，F（x）是增函数，∴F′（x）≥0即2x+m﹣e x≥0在[0，2]上恒成立，即m≥e x﹣2x在[0，2]恒成立，令h（x）=e x﹣2x，x∈[0，2]，则h′（x）=e x﹣2，令h′（x）=0，解得：x=ln2，∴h（x）在[0，ln2]递减，在[ln2，2]递增，∵h（0）=1，h（2）=e2﹣4＞1，∴h（x）max=h（2）=e2﹣4；（2）G（x）=，则G′（x）=﹣，对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立，即证G（x）max≤H（x）min，∵x∈[1，1﹣m]，∴G（x）在[1，1﹣m]递增，G（x）max=G（1﹣m）=，∵H（x）在[1，1﹣m]递减，H（x）min=H（1﹣m）=﹣（1﹣m）+，要证G（x）max≤H（x）min，即证≤﹣（1﹣m）+，即证4（2﹣m）≤e1﹣m[5﹣（1﹣m）]，令1﹣m=t，则t∈（1，2），设r（x）=e x（5﹣x）﹣4（x+1），x∈[1，2]，即r（x）=5e x﹣xe x﹣4x﹣4，r′（x）=（4﹣x）e x﹣4≥2e x﹣4＞0，∴r（x）在[1，2]递增，∵r（1）=4e﹣8＞0，∴e x（5﹣x）≥4（x+1），从而有﹣（1﹣m）+≥，即当x∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．加试题说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-4：坐标系与参数方程]21．（2016秋•无锡期末）设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴．已知曲线C的极坐标方程为ρ=8sinθ（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=8sinθ，即ρ2=8ρsinθ．利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程．（2）设直线（t为参数）的直角坐标方程为y=x+2．x2+y2=8y，配方为x2+（y﹣4）2=16，可得圆心C（0，4），半径r=4．求出圆心C到直线的距离d．可得|AB|=2．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=8sinθ，即ρ2=8ρsinθ．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=8y．（2）设直线（t为参数）的直角坐标方程为y=x+2．x2+y2=8y，配方为x2+（y﹣4）2=16，可得圆心C（0，4），半径r=4．∴圆心C到直线的距离d==．∴|AB|=2=2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式公式、直线与圆直角弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2016秋•无锡期末）已知变换T将平面上的点分别变换为点．设变换T对应的矩阵为M．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值．【考点】特征向量的意义；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）设M=，由矩阵变换可得方程组，解方程即可得到所求；（2）设矩阵M的特征多项式为f（λ），可得特征多项式，解方程可得特征值．【解答】解：（1）设M=，则=，=，即为，即a=3，b=﹣，c=﹣4，d=4，则M=；（2）设矩阵M的特征多项式为f（λ），可得f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣4）﹣6=λ2﹣7λ+6，令f（λ）=0，可得λ=1或λ=6．【点评】本题考查矩阵变换和特征值的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想的运用，属于基础题．23．（2016秋•无锡期末）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）首先求出x、y，个人停车所付费用相同即停车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时且不超过四小时三类求解即可．（2）随机变量ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（1）由题意得．．记甲乙两人所付车费相同的事件为A，P（A）=，甲、乙两人所付车费相同的概率为．（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=P（ξ=4）=，P（ξ=5）=．所以ξ的分布列为：∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题．24．（2016秋•无锡期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC 的中点．（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与DG所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量，若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则∥，由此利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∵E、F、G分别为BC、PD、PC的中点，∴，F（0，1，），G（），∴=（﹣1，），=（），设EF与DG所成角为θ，则cosθ==．∴EF与DG所成角的余弦值为．（2）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），∵=（0，1，0），=（1，0，﹣1），∴，取x=1，得=（1，0，1），M为EF上一点，N为DG上一点，若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则∥，设M（），N（x2，y2，z2），则，①∵点M，N分别是线段EF与DG上的点，∴，∵=（），=（x2，y2﹣2，z2），∴，且，②把②代入①，得，解得，∴M（），N（）．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。

2015-2016学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，a，2}，若A∩B={﹣1，0}，则a=．2．（5分）若复数z=（i为虚数单位），则z的模为．3．（5分）按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．4．（5分）随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为．5．（5分）将函数f（x）=2sin2x的图象上每一点向右平移个单位，得函数y=g （x）的图象，则g（x）=．6．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为．7．（5分）已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为．8．（5分）在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA=VO=1，则O到平面VAB的距离为9．（5分）在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．10．（5分）对于数列{a n}，定义数列{b n}满足：b n=a n+1﹣a n（n∈N*），且b n+1﹣b n=1（n∈N*），a3=1，a4=﹣1，则a1=．11．（5分）已知平面向量，满足|β|=1，且与﹣的夹角为120°，则的模的取值范围为．12．（5分）过曲线y=x﹣（x＞0）上一点P（x0，y0）处的切线分别与x轴，y 轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0=．13．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，线段EF在直线l：y=x+1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得•≤0，则线段EF长度的最大值是．14．（5分）已知函数f（x）=，若对于∀t∈R，f（t）≤kt 恒成立，则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．16．（14分）如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点．（1）若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC；（2）若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．17．（14分）在一个直角边长为10m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小，现有两种设计方案：方案﹣：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上．请问应选用哪一种方案？并说明理由．18．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为（x﹣c）2+y2=a2+c2（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别为A，B．（1）求椭圆方程和直线方程；（2）试在圆N上求一点P，使=2．19．（16分）已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）当a=2时，求出函数f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=q（b n+1﹣b n），n∈N*（1）若b n=2n﹣3，a1=1，q=2，求数列{an}的通项公式；（2）若a1=1，b1=2，且数列{b n}为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列{a n}也是等比数列；（3）若a 1=q，b n=q n（n∈N*），且q∈（﹣1，0），数列{an}有最大值M与最小值m，求的取值范围．加试题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1. （5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A U B中元素的个数为5 .考点：并集及其运算.专题：集合.分析：求出A U B，再明确元素个数解答：解：集合A={1 , 2, 3} , B={2 , 4, 5}，则A U B={1 , 2, 3, 4, 5};所以A U B中元素的个数为5;故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2. （5分）（2015?江苏）已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为6考点：众数、中位数、平均数. 专题：概率与统计.分析：直接求解数据的平均数即可.解答:解：数据4, 6, 5, 8, 7, 6, 那么这组数据的平均数为：'=6.| 6 |故答案为：6.点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查.3. （5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i （i是虚数单位），则z的模为—仃考点：复数求模.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可.解答：解：复数z满足z2=3+4i,可得|z||z|=|3+4i|=二.：_=5,••• |z|=，厂故答案为：.口.点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力.4. （5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7考点：伪代码.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I ,S的值，当1=10时不满足条件I v 8, 退出循环，输出S的值为7.解答：解：模拟执行程序，可得S=1 , I=1满足条件I v8,S=3,I=4满足条件I v8,S=5,I=7满足条件I v8,S=7,I=10不满足条件I v 8，退出循环，输出S的值为7.故答案为：7.点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题.5. （5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为—考点：古典概型及其概率计算公式.专题：概率与统计.分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可. 解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2,则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC 2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是卩二.故答案为：上.点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目.6. ( 5 分)(2015?江苏)已知向量3= (2, 1), b| = (1, - 2),若nb= ( 9,- 8) ( m, n €R),贝U m - n的值为 -3 考点：平面向量的基本定理及其意义. 专题：平面向量及应用.分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可.解答：农宀曰-1 - 卄f r解：向量 3= （2,1） , b =（ 1，— 2）,右 m 右+nb= （9, - 8）可得卜於口一9 ，解得m=2 , n=5,［阳 _ 2n= _ 8 /• m - n= — 3. 故答案为：-3.点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力.考点：指、对数不等式的解法.专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用.分析：利用指数函数的单调性转化为 X 2- x < 2,求解即可. 解答：■■解；•/ 2 套 K < 4,/• x 2 - x < 2, 即 X 2- X - 2< 0, 解得：-1 < x < 2 故答案为：（-1, 2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大.解得 tan 3=3. 故答案为：3.本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查.9. （ 5分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为4的圆锥和底面半径为 2, 高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变， 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 _ ' _.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.7. （ 5分）（2015?江苏）不等式(-1, 2)& （ 5分）（2015?江苏）已知tan a = - 2, tan ( a + ®=■，贝U tan 3的值为考点：两角和与差的正切函数. 专题：三角函数的求值.分析: 解答:直接利用两角和的正切函数, 解：tan a = - 2, tan ( a + 3)求解即可.刁,可知 tan (3)=tan 。

2015-2016学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是．2．（5分）命题“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定是．3．（5分）过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为．4．（5分）已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是．5．（5分）“x＞0”是“x≠0”的条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）6．（5分）过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为．8．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为．9．（5分）若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为cm2．10．（5分）下列命题，其中正确的是（填写序号）．①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若直线m∥n，则直线m就平行于平面α内的无数条直线；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1．11．（5分）椭圆+=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为．12．（5分）已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为．13．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f （x）＞x+1的解集为．14．（5分）已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是．二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．17．（14分）抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A 的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．（1）求直线l的方程；（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．18．（16分）（文科班选做此题）已知a＞0，命题p：∀x≥1，x﹣+2≥0恒成立，命题q：点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真命题；p∧q假命题，若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．19．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC 的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．（16分）已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．21．（16分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值；（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．2015-2016学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是60°．【分析】根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，由直线的方程可得直线的斜率k=，进而可得tanα=，结合α的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，直线x﹣y+a=0可以变形为y=x+a，其斜率k=，tanα=且0°≤α＜180°，则有α=60°，故答案为：60°2．（5分）命题“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定是∀x∈R，e x≠x﹣1．【分析】由题意，命题“∃x∈R，e x=x﹣1”，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可【解答】解：命题“∃x∈R，e x=x﹣1”是一个特称命题，其否定是一个全称命题所以命题“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定为“∀x∈R，e x≠x﹣1”故答案为：∀x∈R，e x≠x﹣1．3．（5分）过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为x+3y﹣2=0．【分析】设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入即可得出．【解答】解：设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入可得：﹣1+3+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：x+3y﹣2=0．故答案为：x+3y﹣2=0．4．（5分）已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒．【分析】据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=4时的值，即为物体在4秒末的瞬时速度．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，求导函数可得s′=2t﹣1当t=4时，s′=2t﹣1=2×4﹣1=7，故物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒，故答案为：7米/秒．5．（5分）“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）【分析】将题设中的命题改写成命题的形式，分别判断它的真假及其逆命题的真假，再依据充分条件，必要条件的定义作出判断得出正确答案【解答】解：原命题：若“x＞0”则“x≠0”，此是个真命题其逆命题：若“x≠0”，则“x＞0”，是个假命题，因为当“x≠0”时“x＜0”，也可能成立，故不一定得出“x＞0”，综上知“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件故答案为：充分不必要．6．（5分）过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为+=1．【分析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0且m≠n），再由点（2，）、（，﹣）代入椭圆方程，解方程即可得到m，n，进而得到所求标准方程．【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0且m≠n），由题意可得，解得，即有椭圆方程为+=1．故答案为：+=1．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为60°．【分析】连接B1D1和D1C，由BD∥B1D1，知∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．由△D1B1C是等边三角形，知异面直线DB与B1C所成角为60°．【解答】解：连接B1D1和D1C，∵BD∥B1D1，∴∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．在△D1B1C中，∵B1D1=D1C=B1C，∴∠D1B1C=60°．故答案为：60°8．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为（2，12）．【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆心坐标为（1，1），半径r=1，则若直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则圆心到直线的距离d==＜1，即|b﹣7|＜5，则﹣5＜b﹣7＜5，即2＜b＜12，故答案为：（2，12）9．（5分）若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为8 cm2．【分析】设出正四棱锥的底面边长为a=2，h为高，运用体积公式求解得出h=1，求解斜高h′=2，运用面积公式求解即可．【解答】解：∵正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，∴a=2，h为高，即（2）2×h=4，h=1，∴斜高为：=2，∴侧面积为：4×2=8故答案为：10．（5分）下列命题，其中正确的是①（填写序号）．①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若直线m∥n，则直线m就平行于平面α内的无数条直线；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1．【分析】在①中，由线面垂直的性质得n⊥α在②中，α与β相交或平行；在③中，直线m与平面α有可能相交；在④中，∠ABC=∠A1B1C1或∠ABC和∠A1B1C1互补．【解答】解：①若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的性质得n⊥α，故①正确；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故②错误；③若直线m∥n，则直线m与平面α有可能相交，故③错误；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1或∠ABC和∠A1B1C1互补，故④错误．故答案为：①．11．（5分）椭圆+=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为x2+（y﹣）2=．【分析】先根据中位线定理可推断出PF2垂直于x轴，根据椭圆的标准方程求出焦距，进而设|PF1|=t，根据勾股定理求得t和|PF2|，可得M的坐标，可得所求圆的标准方程．【解答】解：∵O是F1F2的中点，M为PF1的中点，∴PF2平行于y轴，即PF2垂直于x轴，∵c===2，∴|F1F2|=4设|PF1|=t，根据椭圆定义可知|PF2|=8﹣t，∴（8﹣t）2+16=t2，解得t=5，∴|PF2|=3，可得M（0，），|PM|=，即有所求圆的方程为x2+（y﹣）2=．故答案为：x2+（y﹣）2=．12．（5分）已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为y=±x．【分析】双曲线的焦点在y轴上，且=3，焦点到渐近线距离为2，求出a，b，c，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵一条准线方程为y=﹣3，∴双曲线的焦点在y轴上，且=3，∵焦点到渐近线的距离为2，∴=2，∴b=2，∴a=2，c=4∴渐近线方程为y=±x=±x．故答案为：y=±x．13．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f （x）＞x+1的解集为（1，+∞）．【分析】由f′（x）＞1，f（x）＞x+1可抽象出一个新函数g（x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答案．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣（x+1），因为f（1）=2，f′（x）＞1，所以g（1）=f（1）﹣（1+1）=0，g′（x）=f′（x）﹣1＞0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．所以f（x）＞x+1的解集即是g（x）＞0=g（1）的解集．∴x＞1．故答案为：（1，+∞）．14．（5分）已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是（）．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B 点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横坐标方位计算即可．【解答】解：由得，抛物线y2=4x与椭圆在第一象限的交点横坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜，＜x2＜2，由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=x1++x2﹣x1+a﹣ex2=+a+x2=3+x2，∵，＜x2＜2，∴＜3+x2＜4故答案为（）二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y ﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．【分析】（1）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；（2）连接BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，可得DF⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）取PD的中点M，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME∥FB，∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF，∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）连接BD，∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，∴DF⊥AB，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DF，又由PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB，又∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．17．（14分）抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A 的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．（1）求直线l的方程；（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．【分析】（1）利用导数的运算法则可得y′，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程；（2）利用切线的方程即可得出点B，C的坐标，再利用三角形的面积公式，求得S（a），再由导数求得单调区间和最值，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y=x2，∴y'=2x，可得切线l的斜率为2a，∴切线l的方程是y﹣a2=2a（x﹣a），即2ax﹣y﹣a2=0；（2）由2ax﹣y﹣a2=0，令y=0，解得x=，∴B（，0）；令x=1，解得y=2a﹣a2，即C（1，2a﹣a2），∴|BD|=1﹣，|CD|=2a﹣a2，∴△BCD的面积S（a）=（1﹣）（2a﹣a2）=（a3﹣4a2+4a），S′（a）=（3a2﹣8a+4）=（3a﹣2）（a﹣2），令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=．当0＜a＜时，S'（a）＞0；当＜a＜1时，S'（a）＜0．∴a=时，S（a）有最大值．18．（16分）（文科班选做此题）已知a＞0，命题p：∀x≥1，x﹣+2≥0恒成立，命题q：点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真命题；p∧q假命题，若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．【分析】根据条件求出命题的成立的等价条件，根据复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若：∀x≥1，x﹣+2≥0，即x+2≥，即x2+2x≥a在x≥1时成立，设f（x）=x2+2x，则f（x）=（x+1）2﹣1，当x≥1时，函数f（x）为增函数，则函数f（x）的最小值为f（1）=1+2=3，则a≤3，即p：a≤3若点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，则（1﹣a）2+（1﹣a）2＞4，即（a﹣1）2＞2，即a＞1+或a＜1﹣，若存在正数a，使得p∨q为真命题；p∧q假命题，则p，q为一真一假，则此时p：0＜a≤3，q：a＞1+，若p真q假，则，得0＜a≤1+，若p假q真，则，得a＞3，综上0＜a≤1+或a＞3．19．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC 的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．20．（16分）已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．【分析】（I）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；（Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），及函数g（x）=ax﹣lnx．我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）==f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，故此时（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0≤a≤e21．（16分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值；（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出|y1﹣y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面积，利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值；（3）设AB中点为H（x0，y0），运用中点坐标公式可得y0，再由两点的距离公式可得|GH|，再由弦长公式，可得|AB|，作差|GH|2﹣|AB|2，化简整理，即可判断G与AB为直径的圆的位置关系．【解答】解：（1）由题意可得2b=2，e==，由a2﹣b2=c2，解得b=1，a=，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由直线x=my﹣1代入椭圆的方程可得，（3+m2）y2﹣2my﹣2=0，判别式为4m2+8（3+m2）＞0恒成立，y1+y2=，y1y2=﹣，设直线与x轴的交点为N（﹣1，0），|y1﹣y2|===，S△AOB=|ON||y1﹣y2|=×1×=，令=t（t≥），则m2=t2﹣2，∴S△AOB ==，∵t ≥，t +是增函数，∴当t=，即m=0时，S △AOB 取得最大值，最大值为=．（3）AB 中点为H （x 0，y 0）． 由（2）可得，y 1+y 2=，y 1y 2=﹣，∴y 0==．G （﹣2，0），∴|GH |2=（x 0+2）2+y 02=（my 0+1）2+y 02=（1+m 2）y 02+2my 0+1 =（1+m 2）•++1，|AB |2=（1+m 2）（y 1﹣y 2）2=（1+m 2）[+]，故|GH |2﹣|AB |2=（1+m 2）•++1﹣（1+m 2）[+]=＞0．∴|GH |＞，故G 在以AB 为直径的圆外．。

无锡市2014年秋学期期末考试试卷高三英语 2015. 02命题单位：无锡市教科院制卷单位：无锡市教科院注意事项及说明：1.考试前请将密封线内的项目填写消楚。

2.试卷分第一卷（选择题)和第二卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间120分钟。

3.答案一律写在答题纸上；考试结束吋，只需交答题纸。

第一卷(选择题，共85分）第一部分：听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上.录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共15小题；每小题 1分，满分5分）听下面5段对话-每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位罝。

听完每段对话后，你有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题.每段对话仅读一遍。

1.When can the woman get her watch？A. In the morning。

B。

At noon。

C。

In the afternoon。

2.Where is the woman’s husband now？A. In Japan。

B。

In England. C。

In France.3.What can we know from the conversation?A. The book is not worth reading。

B. The man wants to read the book, too.C。

The woman has finished reading Gone with the Wind.4.Which floor is the man on?A. The first door。

B. The 2nd floor。

C. The 3rd floor,5.How much should the man pay if he buys two yellow T-shirts？A. $16。

2014-2015学年江苏省苏州市高三上学期数学期末试卷【选做题】本题包括1、2、3、4四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）1．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，连结OP与⊙O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D．若PA=12cm，PC=6cm，求CD的长．【选修4-2：矩阵与变换】（共1小题，满分10分）2．（10分）已知矩阵，A=，向量=，求向量，使得A2=．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）3．在极坐标系中，已知圆ρ=3cosθ与直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）4．设实数x，y，z满足x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值．二、【必做题】第5题、第6题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．（10分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1．（1）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为60°．6．（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．2014-2015学年江苏省苏州市高三上学期数学期末试卷参考答案与试题解析【选做题】本题包括1、2、3、4四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）1．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，连结OP与⊙O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D．若PA=12cm，PC=6cm，求CD的长．【解答】解：连接AO，∵PA为圆的切线，∴△PAO为Rt△，∴122+r2=（r+6）2，∴r=9．又CD垂直于PA，∴OA∥CD，∴=，解得CD=cm．【选修4-2：矩阵与变换】（共1小题，满分10分）2．（10分）已知矩阵，A=，向量=，求向量，使得A2=．【解答】解：设，由可知：，故，解得，所以．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）3．在极坐标系中，已知圆ρ=3cosθ与直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．【解答】解：由圆ρ=3cosθ，可得ρ2=3ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=3x，配方为，圆心为C，半径r=．直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0化为直角坐标方程：2x+4y+a=0．∵直线与圆相切可得：=，解得a=﹣3．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）4．设实数x，y，z满足x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值．【解答】解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=36，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值是，当且仅当x==，即x=，y=，z=．二、【必做题】第5题、第6题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．（10分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1．（1）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为60°．【解答】解：（1）如图，以，，为正交基底，建立空间直角坐标系，则E（0，0，1），D（，0，0），B（0，，0），F（，1），平面ADF的法向量=（1，0，0），=（，0），=（），设平面DFB的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，﹣），∴cos＜＞==，∵二面角A﹣DF﹣B的平面角是锐角，∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°．（2）解：由题意，设P（a，a，0），（0），则=（，，1），=（0，，0），∵PF与BC所成的角为60°，∴cos60°=|cos＜＞|==，解得a=或a=（舍），∴点P在线段AC的中点处．6．（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，P （ξ=1）=，P （ξ=0）=，P （ξ=﹣1）=，∴ξ的分布列为：Eξ=﹣=．…（6分） （2）设η表示10万元投资乙项目的收益， 则η的可能取值为2，﹣2， P （η=2）=α， 2p ∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2，∵把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，∴4α﹣2≥，解得．…（12分）。

2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．．1．已知集合A ＝{x |－1 < x < 1}，B ＝{x |x > 0}，则A ∩B ＝▲　．2．若复数51-2m i(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝▲　．3．双曲线2212yx的离心率为▲　．4．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：成绩（分）80分以下[80,100)[100,120)[120,140)[140,160]人数8812102在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为▲．5．函数2ln -2y x 的定义域为▲　．6．如图，四棱锥PA B C D 中，PA底面A B C D ，底面A B C D 是矩形，2,3,4A B A D P A ，E 为棱CD 上一点，则三棱锥E PAB 的体积为▲　．7．右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为▲　．8．已知等比数列n a 的各项均为正数，若242a a ，24516a a ，则5a ▲　．9．若曲线321:612C yaxxx 与曲线2:xC ye 在1x处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为▲　．10．设函数()sin()3cos()(0,)2f x x x 的最小正周期为，且满足()()f x f x ，则函数()f x 的单调增区间为▲　．11．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点E ，AB2，AD=1，且16MA MBuu u r uuu r，则AB ADuu u r uuu r ▲　．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)2C xy ，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的取值范围是▲　．13．已知直线y=kx+1与曲线f(x)= 11xxxx恰有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为▲．14．已知实数x ，y 满足x>y>0，且x+y 2，则213xyxy的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本小题满分14分）已知向量(sin(),3),(1,4cos )6a b ，(0,)．（1）若a ⊥b ，求tan 的值；（2）若a ∥b ，求的值．16. （本小题满分14分）如图，四边形 A A 1C 1C 为矩形，四边形CC 1B 1B为菱形，且平面CC 1B 1 B ⊥A A 1 C 1C ，D ，E 分别是A 1 B 1和C 1C 的中点．求证：（1）BC 1⊥平面AB 1C ；（2）DE ∥平面AB 1C ．17. （本小题满分14分）如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为米的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为 E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45°，30°和60°．（1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a bab，的离心率为22，且经过点6(1,)2，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点（点M 与点A 在不重合），点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：AP ⊥OM ；（3）试问OP OM 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．19. （本小题满分16分）已知函数2()e (0)xf x xa a .（1）当1a时，求函数f x 的单调减区间；（2）若方程f(x)=m 的恰好有一个正根和一个负根，求实数m 的最大值.20. （本小题满分16分）已知数列n a 的前n 项和为n S ，设数列n b 满足*112()()()n nn n nn b S S S n S S nN ．（1）若数列n a 为等差数列，且0nb ，求数列n a 的通项公式；（2）若121,3a a ，且数列21n a 的，2n a 都是以2为公比的等比数列，求满足不等式221n nb b 的所有正整数的n 集合．。