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初等基本函数知识点总结函数是数学中最基本的概念之一，它在数学的各个分支中都有着重要的应用。
初等基本函数是指在初等数学范围内常见的基本函数，包括常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
本文将对这些初等基本函数的概念、性质等进行总结和介绍。
一、常数函数常数函数的定义是f(x) = c （c为常数）。
这里的c就是常数函数的函数值，它是一个常数，和x的取值无关。
在坐标系中，常数函数的图象是一条水平的直线，它的斜率为0。
常数函数的性质有：1. 常数函数的图象是一条水平的直线。
2. 常数函数的定义域是全体实数集R，值域为{c}。
3. 常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
4. 常数函数是一个一一对应的函数。
5. 常数函数是奇函数，偶函数，周期函数，增函数，减函数等的特殊情况。
二、一次函数一次函数的定义是f(x) = kx + b （k和b为常数，k≠0）。
在坐标系中，一次函数的图象是一条通过点P(k，b)的直线，它的斜率为k，截距为b。
一次函数的性质有：1. 一次函数的图象是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点位置。
2. 一次函数的定义域是全体实数集R，值域是一切实数集R。
3. 一次函数的导数为k，即f'(x) = k。
4. 当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数；当k=0时，一次函数是常数函数。
5. 一次函数是一个奇函数，因为f(-x) = -kx + b = -f(x)。
三、二次函数二次函数的定义是f(x) = ax^2 + bx + c （a、b和c为常数，a≠0）。
二次函数的图象是一个开口向上或者向下的抛物线，它的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的性质有：1. 二次函数的图象是一个抛物线，它关于y轴对称，对称轴方程为x = -b/2a。
函数1. 映射定义：设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对集合A 中任一元素x ，在集合B 中有唯一元素y 与之对应，则称f 是从集合A 到集合B 的映射。
这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象记作f （x ）。
x 称作y 的原象。
2.函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f(x)|x ∈A}为值域。
定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素3.求函数的定义域常涉及到的依据为 ①分母不为0；11+=x y②偶次根式中被开方数不小于0；x x y --=21③实际问题要考虑实际意义 ④零指数幂的底数不等于零；⑤对数的真数大于0，底数大于零且不等于1； ⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响4.函数值域： ①xy 23= ②xx y -+=535、函数图像变换知识①平移变换：形如：y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左或向右平移｜a ｜个单位，就得到y=f(x+a)的图象。
形如：y=f(x)+a ：把函数y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上或向下平移｜a ｜个单位，就得到y=f(x)+a 的图象②.对称变换 y=f(x)→ y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→ y=－f(x) ,关于ｘ轴对称 ③.翻折变换y=f(x)→y=f|x|, (左折变换)把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近y 轴。
6函数的表示方法①列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法②图像法：如果图形F是函数)fy=的图像，则图像上的任意点的坐标满足(x函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.③如果在函数)x∈中，)(xf是用代数式来表达的，这种方法叫做(Ay=)(xf解析法7．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
第二单元 函数概念与基本初等函数A 卷 基础过关检测一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ）A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)22．（2020·重庆南开中学高三其他（文））下列函数中，值域是R 且是奇函数的是（ ）A ．31y x =+B ．sin y x =C ．3y x x =-D ．2x y =3．（2020·河南省高三三模（文））已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于原点对称，且0x >时，(2)4()f x f x +=.当(0,2]x ∈时，3()log 22x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则(8)(4)f f -+=（ ） A ．60- B ．8- C ．12 D ．684．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（文））设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>5．（2020·河北省衡水中学高三其他（文））函数()()ln 3f x x =-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6．（2020·哈尔滨市第一中学校高三一模（文））已知()1f x +是定义在R 上的奇函数，()22f =-，且对任意11x ≤，21x ≤，12x x ≠，()()1212f x f x x x --0<恒成立，则使不等式()22log 2f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．()4,+∞D ．()1,47．（2020·重庆高三其他（文））定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-18．（2020·江西省高三二模（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x -=-+，(0)1f =，则(0)(1)(2020)f f f +++=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．20209．（2019·天津高考模拟（文））已知函数()22,0,0ax x x f x ax x x ⎧+=⎨-+<⎩，当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，恒有()()f x a f x +<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1515-+⎝⎭B ．15⎛+- ⎝⎭ C ．15⎫-⎪⎪⎝⎭ D ．1512⎤--⎥⎝⎦ 10．（2020·四川省仁寿第二中学高三三模（文））已知函数()()2ln 1f x x x =++，若对于[]1,2x ∈-，()22229ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．261a --<<B ．11a -<<C．22a +>或22a -< D．2222a -<< 11．（2020·福建省厦门一中高三其他（文））已知函数()()ln ,02,0,x x x f x x x e x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩若函数()()g x f x a =-的零点有2个或3个，则实数a 的取值范围为（ ）A ．311,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．311,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．31,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．（2020·四川省遂宁市第二中学校高三其他（文））已知函数()3,00,0133,1x x f x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，若函数()()3g x x f x λ=+恰有3个零点，则λ的取值范围为A ．()9,04⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭B ．9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()9,0,4⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，共20分。
函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域．注意：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2．值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .(2) 画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．5．映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：AB 为从集合A 到集合B 的一个映射。
函数概念与基本初等函数一、知识回顾： 1. 根式（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号na 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号na 表示，负的n 次方根用符号na -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，n na a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n mna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.函数：定义域、值域、对应法则3.函数性质 (1)单调性 (2)奇偶性偶函数性质：①定义域关于原点对称 ②)()(x f x f =-③图像关于y 轴对称即 设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 奇函数性质：①定义域关于原点对称 ②)()(x f x f -=-③图像关于原点对称，即 设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 4.反函数（1）反函数的定义：)(1y fx -=,习惯上改写成)(1x f y -=（2）性质：①互为反函数的两个函数图像关于y=x 对称；②如果g （x ）和h(x)互为反函数，则g(x)的定义域f(x)的值域，g(x)的值域是f(x)的定义域5. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称x f y y -=−−−→− ②y =f （x ））（轴对称x f y x -=−−−→− ③y =f （x ））（原点对称x f y --=−−−→− 6.指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质函数名称指数函数定义 4函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．7.对数函数 （1）对数运算xa y =xy (0,1)O 1y =xa y =xy(0,1)O1y =（2）y =log a x 的图象和性质: 函数名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<()n a n a a a c b a b b a Na n a a na a a a a a a a a a a a cb aN N Na M nM M n M NM N M N M N M n a1121log log ...log log 1log log log log log log log 1log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=⋅⋅⋅⇒=⋅⋅===±=-=+=⋅-推论：换底公式：定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．8.幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是xyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 9.函数的零点：与x 轴的焦点，或者令f(x)=0，x 的解10.零点存在定理：如定义域内[a,b]，有f(a)*f(b)<=0，可推出f 在[a,b]上至少有一个零点； 11.二分法求近似解12.函数模型（应用题）：注意定义域的取值范围。
高中数学专题讲义:函数概念与基本初等函数1第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念；2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数,并能简单地应用(函数分段不超过三段).知识梳理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A,B 设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合对应关系f:A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x),x∈A 映射:f:A→B2.(1)在函数y＝f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数.( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( )解析 (1)函数y ＝1的定义域为R ,而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0},其定义域不同,故不是同一函数.(3)由于x 2＋1≥1,故y ＝x 2＋1－1≥0,故函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时,才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2},值域为N ＝{y |0≤y ≤2},则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2,2],C 中图象不表示函数,D 中函数值域不是[0,2]. 答案 B3.(2017·青岛一模)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞,1]B.[－1,1]C.[1,2)∪(2,＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1解析 由题意,得⎩⎨⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0.解之得－1≤x ≤1且x ≠－12. 答案 D4.(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))等于( )A.－1B.14C.12D.32解析 因为－2<0,所以f (－2)＝2－2＝14>0,所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12,故选C.答案 C5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4),则a ＝________. 解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上,所以4＝－a ＋2,则a ＝－2. 答案 －2考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2017·郑州调研)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A.(0,＋∞)B.(1,＋∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1,＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 017],则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________.解析 (1)要使函数f (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1,故函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为(1,＋∞).(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1,2 017], ∴g (x )有意义,应满足⎩⎨⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016,且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016,且x ≠1}. 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016,且x ≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(－1,3)∪(3,6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ,则a 的取值范围为________. 解析(1)要使函数f (x )有意义,应满足⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎨⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4,且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4].(2)因为函数f (x )的定义域为R ,所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立,则x 2＋2ax －a ≥0恒成立.因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0,解得－1≤a ≤0. 答案 (1)C (2)[－1,0] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ,则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1,则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1),则x ＝2t －1,∴f (t )＝lg 2t －1,即f (x )＝lg 2x －1(x >1).(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 由f (0)＝2,得c ＝2,f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1, 则2ax ＋a ＋b ＝x －1,∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中,将x 换成1x ,则1x 换成x , 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1,由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg 2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)构造法:已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出f (x ).(4)配凑法:由已知条件f (g (x ))＝F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式.【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ,则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )＝x (1－x ),则当－1≤x ≤0时,f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1),则f (x )＝__________. 解析 (1)令x ＋1＝t ,则x ＝(t －1)2(t ≥1),代入原式得 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1, 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1).(2)当－1≤x ≤0时,0≤x ＋1≤1, 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1). (3)当x ∈(－1,1)时, 有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 将x 换成－x ,则－x 换成x , 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得,f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ),x ∈(－1,1). 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1) (3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度一 求分段函数的函数值【例3－1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12解析 根据分段函数的意义,f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6, 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C命题角度二 求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4,则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ,若52－b <1,即b >32时,则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4,解之得b ＝78,不合题意舍去.若52－b ≥1,即b ≤32,则252－b ＝4,解得b ＝12. (2)当x <1时,e x －1≤2,解得x ≤1＋ln 2,所以x <1.当x ≥1时,x 13≤2,解得x ≤8,所以1≤x ≤8. 综上可知x 的取值范围是(－∞,8]. 答案 (1)D (2)(－∞,8]规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3,则f (6－a )＝( ) A.－74 B.－54 C.－34D.－14(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________.解析 (1)当a ≤1时,f (a )＝2a －1－2＝－3, 即2a －1＝－1,不成立,舍去； 当a >1时,f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3, 即log 2(a ＋1)＝3,解得a ＝7,此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.(2)当x ≤0时,由题意得x2＋1≥－1, 解之得－4≤x ≤0.当x >0时, 由题意得－(x －1)2≥－1, 解之得0<x ≤2,综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}. 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}[思想方法]1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质和图象的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.[易错防范]1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围,不要和f(x)的定义域相混.2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A,B若不是数集,则这个映射便不是函数.3.分段函数无论分成几段,都是一个函数,求分段函数的函数值,如果自变量的范围不确定,要分类讨论.基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1.(2017·唐山质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A.[－3,1]B.(－3,1)C.(－∞,－3]∪[1,＋∞)D.(－∞,－3)∪(1,＋∞)解析使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3>0,解得x>1或x<－3,所以f(x)的定义域为(－∞,－3)∪(1,＋∞).答案 D2.(2017·衡水中学月考)设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下:映射f的对应法则x 123 4f(x)342 1则f [g (1)]的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 由映射g 的对应法则,可知g (1)＝4, 由映射f 的对应法则,知f (4)＝1,故f [g (1)]＝1. 答案 A3.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]＝x ＋2,则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －1解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0),又f [f (x )]＝x ＋2, 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2,即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1,且kb ＋b ＝2,解得k ＝b ＝1. 答案 A4.(2017·湖南衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x （x ≤0），log 3x （x >0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝()A.－2B.－3C.9D.－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2,∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案 C5.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 取特殊值法,若x ＝56,则y ＝5,排除C ,D ；若x ＝57,则y ＝6,排除A ,选B.答案 B6.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2xD.y ＝1x解析 函数y ＝10lg x 的定义域、值域均为(0,＋∞),而y ＝x ,y ＝2x 的定义域均为R ,排除A ,C ；y ＝lg x 的值域为R ,排除B ,故选D. 答案 D7.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[－1,1)上,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R . 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92,则f (5a )的值是( )A.12B.14C.－25D.18解析 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a , f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110, ∴－12＋a ＝110,则a ＝35,故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案 C8.(2017·铜陵一模)设P (x 0,y 0)是函数f (x )图象上任意一点,且y 20≥x 20,则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x －1xB.f (x )＝e x －1C.f (x )＝x ＋4xD.f (x )＝tan x解析 对于A 项,当x ＝1,f (1)＝0,此时02≥12不成立.对于B 项,取x ＝－1,f (－1)＝1e －1,此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立.在D 项中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1,此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立.∴A ,B ,D 均不正确.选C.事实上,在C 项中,对∀x 0∈R ,y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x 20＋8>0,有y 20≥x 20成立. 答案 C 二、填空题9.(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 解析 要使函数有意义,则3－2x －x 2≥0, ∴x 2＋2x －3≤0,解之得－3≤x ≤1. 答案 [－3,1]10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1.∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.答案 －211.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |,则f (x )的解析式是________.解析 根据题意知x >0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ,则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2 x12.设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.解析 由题意知,若x ≤0,则2x＝12,解得x ＝－1；若x >0,则|log 2x |＝12,解得x ＝212或x ＝2－12,故x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22能力提升题组 (建议用时:15分钟)13.(2015·湖北卷)设x ∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则()A.|x |＝x |sgn x |B.|x |＝x sgn|x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析 当x >0时,|x |＝x ,sgn x ＝1,则|x |＝x sgn x ； 当x <0时,|x |＝－x ,sgn x ＝－1,则|x |＝x sgn x ； 当x ＝0时,|x |＝x ＝0,sgn x ＝0,则|x |＝x sgn x . 答案 D14.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D.[1,＋∞)解析 由f (f (a ))＝2f (a )得,f (a )≥1.当a <1时,有3a －1≥1,∴a ≥23,∴23≤a <1. 当a ≥1时,有2a ≥1,∴a ≥0,∴a ≥1. 综上,a ≥23. 答案 C15.函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.解析要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0,1].答案 (0,1]16.(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋2x－3，x≥1，lg（x2＋1），x<1，则f(f(－3))＝________,f(x)的最小值是________.解析∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1,∴f(f(－3))＝f(1)＝0,当x≥1时,f(x)＝x＋2x－3≥22－3,当且仅当x＝2时,取等号,此时f(x)min＝22－3<0；当x<1时,f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0,当且仅当x＝0时,取等号,此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为22－3.答案022－3第2讲函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I,使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I,使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D 上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).()(3)对于函数y＝f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1,＋∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,＋∞).()解析(2)此单调区间不能用并集符号连接,取x1＝－1,x2＝1,则f(－1)＜f(1),故应说成单调递减区间为(－∞,0)和(0,＋∞).(3)应对任意的x1＜x2,f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x,f(x)在[1,＋∞)上为增函数,但y＝f(x)的单调递增区间可以是R.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(2017·合肥调研)下列函数中,在区间(0,＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－x B.y＝x2－xC.y＝ln x－xD.y＝e x－x解析对于A,y1＝1x在(0,＋∞)内是减函数,y2＝x在(0,＋∞)内是增函数,则y＝1x－x在(0,＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在(0,＋∞)上均不单调；选项D中,y′＝e x－1,而当x∈(0,＋∞)时,y′＞0,所以函数y＝e x－x在(0,＋∞)上是增函数.答案 A3.如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞,1)上是减函数,那么()A.a＝－2B.a＝2C.a≤－2D.a≥2解析二次函数的对称轴方程为x＝－a－1 3,由题意知－a－13≥1,即a≤－2.答案 C4.函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________.解析f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),y＝lg u在(0,＋∞)上为增函数,u＝x2在(－∞,0)上递减,在(0,＋∞)上递增,故f(x)在(－∞,0)上单调递减.答案(－∞,0)5.(2016·北京卷)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________.解析易得f(x)＝xx－1＝1＋1x－1,当x≥2时,x－1>0,易知f(x)在[2,＋∞)是减函数,∴f(x)max＝f(2)＝1＋12－1＝2.答案 2考点一确定函数的单调性(区间)【例1】(1)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为() A.(0,＋∞) B.(－∞,0) C.(2,＋∞) D.(－∞,－2)(2)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性.(1)解析由x2－4>0,得x>2或x<－2.∴f(x)的定义域为(－∞,－2)∪(2,＋∞).令t＝x2－4,则y＝log12t(t>0).∵t＝x2－4在(－∞,－2)上是减函数,且y＝log12t在(0,＋∞)上是减函数,∴函数f(x)在(－∞,－2)上是增函数,即f(x)单调递增区间为(－∞,－2).答案 D(2)解 法一 设－1<x 1<x 2<1, f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1, f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）,由于－1<x 1<x 2<1,所以x 2－x 1>0,x 1－1<0,x 2－1<0,故当a >0时,f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时,f (x 1)－f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),函数f (x )在(－1,1)上递增. 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(－1,1)上递增.规律方法 (1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如例1(1). (2)函数单调性的判断方法有:①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (3)函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【训练1】 判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0,＋∞)上的单调性,并给出证明. 解 f (x )在(0,a ]上是减函数,在[a ,＋∞)上是增函数. 证明如下:法一 设x 1,x 2是任意两个正数,且0<x 1<x 2, 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a ).当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,又x 1－x 2<0, 所以f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数. a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,又x 1－x 2<0,所以f (x 1)－f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,＋∞)上是增函数.综上可知,函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0,a ]上是减函数,在[a ,＋∞)上为增函数. 法二 f ′(x )＝1－a x 2,令f ′(x )>0,则1－ax 2>0, 解得x >a 或x <－a (舍).令f ′(x )<0,则1－ax 2<0,解得－a <x <a . ∵x >0,∴0<x <a .∴f (x )在(0,a ]上为减函数,在[a ,＋∞)上为增函数. 考点二 确定函数的最值【例2】 (1)(2017·丽水一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1，则f (f (3))＝________,函数f (x )的最大值是________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ,x ∈[1,＋∞)且a ≤1.①当a ＝12时,求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1,＋∞),f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围. (1)解析 ①由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1.所以f (3)＝log 133＝－1,则f (f (3))＝f (－1)＝－3,②当x >1时,f (x )＝log 13x 是减函数,得f (x )<0.当x ≤1时,f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在(－∞,1]上单调递增,则f (x )≤1,综上可知,f (x )的最大值为1. 答案 －3 1(2)解 ①当a ＝12时,f (x )＝x ＋12x ＋2,设1≤x 1＜x 2,则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2, ∵1≤x 1＜x 2,∴x 2－x 1＞0,2x 1x 2＞2, ∴0＜12x 1x 2＜12,1－12x 1x 2＞0,∴f (x 2)－f (x 1)＞0,f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在区间[1,＋∞)上为增函数,∴f (x )在区间[1,＋∞)上的最小值为f (1)＝72. ②当x ∈[1,＋∞)时,x 2＋2x ＋ax >0恒成立.则x 2＋2x ＋a >0对x ∈[1,＋∞)上恒成立. 即a >－(x 2＋2x )在x ∈[1,＋∞)上恒成立. 令g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1,x ∈[1,＋∞), ∴g (x )在[1,＋∞)上是减函数,g (x )max ＝g (1)＝－3.又a ≤1,∴当－3<a ≤1时,f (x )>0在x ∈[1,＋∞)上恒成立.故实数a 的取值范围是(－3,1]. 规律方法 (1)求函数最值的常用方法:①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法.(2)利用单调性求最值,应先确定函数的单调性,然后根据性质求解.若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上是增函数,则f (x )在[a ,b ]上的最大值为f (b ),最小值为f (a ).若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上是减函数,则f (x )在[a ,b ]上的最大值为f (a ),最小值为f (b ).【训练2】 如果函数f (x )对任意的实数x ,都有f (1＋x )＝f (－x ),且当x ≥12时,f (x )＝log 2(3x －1),那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( ) A.2 B.3 C.4D.－1解析 根据f (1＋x )＝f (－x ),可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称.又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增,故f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减,则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 答案 C考点三 函数单调性的应用(典例迁移)【例3】 (1)如果函数f (x )＝⎩⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.(2)(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0,＋∞)上递增,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,则不等式f (log 19x )>0的解集为________. 解析 (1)对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.所以y ＝f (x )在(－∞,＋∞)上是增函数.所以⎩⎨⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.(2)∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数,且y ＝f (x )在(0,＋∞)上递增. ∴y ＝f (x )在(－∞,0)上也是增函数, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12,∴log 19x >12或－12<log 19x <0,解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3. 答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3【迁移探究1】 在例题第(1)题中,条件不变,若设m ＝f (－12),n ＝f (a ),t ＝f (2),试比较m ,n ,t 的大小.解 由例题知f (x )在(－∞,＋∞)上是增函数, 且32≤a <2,又－12<a <2, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (a )<f (2),即m <n <t .【迁移探究2】 在例题第(2)题中,若条件改为:“定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0,＋∞)上单调递减”,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,则不等式f (log 19x )>0的解集是________.解析 因为f (x )在R 上为偶函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 19x ＞0等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 19x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,又f (x )在[0,＋∞)上为减函数,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 19x ＜12,即－12＜log 19x ＜12,解得13＜x ＜3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是:根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.(2)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解,此时应特别注意函数的定义域.【训练3】 (2016·天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2),则a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )在R 上是偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增, ∴f (x )在(0,＋∞)上是减函数, 则f (2|a －1|)>f (－2)＝f (2), 因此2|a －1|<2＝212, 又y ＝2x 是增函数, ∴|a －1|<12,解得12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32[思想方法]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤: (1)取值 ；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法:定义法、导数法、复合函数法、图象法,也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法:单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到. [易错防范]1.区分两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.例如,函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数,在(0 ,1)上是减函数,但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数,如函数f (x )＝1x .基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3,＋∞),则a 的值为( ) A.－2B.2C.－6D.6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2,＋∞),令－a2＝3,∴a ＝－6. 答案 C2.(2016·北京卷)下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x解析 ∵y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数,且y ＝cos x 在(－1,1)上不具备单调性.∴A ,B ,C 不满足题意.只有y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1,1)上是减函数.答案 D3.定义新运算“⊕”:当a ≥b 时,a ⊕b ＝a 2；当a <b 时,a ⊕b ＝b 2,则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x ),在区间[－2,2]上的最大值等于( ) A.－1B.1C.6D.12解析 由已知得当－2≤x ≤1时,f (x )＝x －2, 当1<x ≤2时,f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2,f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数. ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案 C4.已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称,且在(1,＋∞)上单调递增,设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12,b ＝f (2),c ＝f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <aD.a <b <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称,∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,又y ＝f (x )在(1,＋∞)上单调递增,∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3),即b <a <c .答案 B5.f (x )是定义在(0,＋∞)上的单调增函数,满足f (xy )＝f (x )＋f (y ),f (3)＝1,当f (x )＋f (x －8)≤2时,x 的取值范围是( ) A.(8,＋∞) B.(8,9] C.[8,9]D.(0,8)解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9),由f (x )＋f (x －8)≤2,可得f [x (x －8)]≤f (9),因为f (x )是定义在(0,＋∞)上的增函数,所以有⎩⎨⎧x >0，x －8>0，x （x －8）≤9，解得8<x ≤9.答案 B 二、填空题6.(2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1),则函数g (x )的递减区间是________.解析 由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2 （x >1），0 （x ＝1），－x 2 （x <1），函数的图象如图所示的实线部分,根据图象,g (x )的减区间是[0,1). 答案 [0,1)7.(2017·石家庄调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________.解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减,y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增,所以f (x )在[－1,1]上单调递减,故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 38.(2017·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ,a ＋1)上单调递增,则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a ＋1)上单调递增,需满足a ≥4或a ＋1≤2,即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞,1]∪[4,＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0,x >0). (1)求证:f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,求a 的值.(1)证明 设x 2>x 1>0,则x 2－x 1>0,x 1x 2>0,∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0,∴f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12,f (2)＝2,易知a ＝25.10.已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0,1](a 为实数). (1)当a ＝1时,求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f (x )取得最值时x 的值. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝2x －1x ,任取1≥x 1＞x 2＞0, 则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.∵1≥x 1＞x 2＞0,∴x 1－x 2＞0,x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2),∴f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值,当x ＝1时取得最大值1,所以f (x )的值域为(－∞,1].(2)当a ≥0时,y ＝f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值, 当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a ＜0时,f (x )＝2x ＋－ax , －a2≥1,即a ∈(－∞,－2]时,y ＝f (x )在(0,1]上单调递减,无最大值,当x ＝1时取得最小值2－a ； －a 2＜1,即a ∈(－2,0)时,y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增,无最大值,当x ＝－a2时取得最小值2－2a .能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.(2017·郑州质检)若函数f (x )＝a x (a >0,a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0,＋∞)上是增函数,则a ＝( )A.4B.2C.12D.14解析 当a >1,则y ＝a x 为增函数,有a 2＝4,a －1＝m ,此时a ＝2,m ＝12, 此时g (x )＝－x 在[0,＋∞)上为减函数,不合题意. 当0<a <1,则y ＝a x 为减函数, 有a －1＝4,a 2＝m ,此时a ＝14,m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0,＋∞)上是增函数.故a ＝14. 答案 D12.(2017·枣阳第一中学模拟)已知函数f (x )＝e x －1,g (x )＝－x 2＋4x －3,若存在f (a )＝g (b ),则实数b 的取值范围为( ) A.[0,3]B.(1,3)C.[2－2,2＋2]D.(2－2,2＋2)解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1,g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1, 若f (a )＝g (b ),则g (b )∈(－1,1], 即－b 2＋4b －3>－1,即b 2－4b ＋2<0, 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2,2＋2). 答案 D13.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3,g (x )＝log 2x ,则函数h (x )＝min{f (x ),g (x )}的最大值是________. 解析 依题意,h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时,h (x )＝log 2x 是增函数, 当x >2时,h (x )＝3－x 是减函数, ∴h (x )在x ＝2时,取得最大值h (2)＝1. 答案 114.已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2),其中a 是大于0的常数.(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围. 解 (1)由x ＋ax －2＞0,得x 2－2x ＋a x＞0,当a ＞1时,x 2－2x ＋a ＞0恒成立,定义域为(0,＋∞), 当a ＝1时,定义域为{x |x ＞0且x ≠1},当0＜a ＜1时,定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }. (2)设g (x )＝x ＋ax －2,当a ∈(1,4),x ∈[2,＋∞)时, ∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0. 因此g (x )在[2,＋∞)上是增函数, ∴f (x )在[2,＋∞)上是增函数. 则f (x )min ＝f (2)＝ln a2.(3)对任意x ∈[2,＋∞),恒有f (x )>0. 即x ＋ax －2>1对x ∈[2,＋∞)恒成立. ∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2,x ∈[2,＋∞).由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2,＋∞)上是减函数,∴h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时,恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2,＋∞).第3讲 函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.(1)周期函数:对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么就称函数y＝f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数y＝x2在x∈(0,＋∞)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数,则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y＝x2在(0,＋∞)上不是偶函数,(1)错.(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0,(2)错.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(2017·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是()A.y＝xB.y＝e xC.y＝cos xD.y＝e x－e－x解析A,B中显然为非奇非偶函数；C中y＝cos x为偶函数.D中函数定义域为R,又f(－x)＝e－x－e x＝－(e x－e－x)＝－f(x),∴y＝e x－e－x为奇函数.答案 D3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数,那么a＋b的值是()A.－13 B.13 C.12 D.－12解析依题意b＝0,且2a＝－(a－1),∴a＝13,则a＋b＝13.答案 B4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[－1,1)时,f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 ∵f (x )的周期为2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12, 又∵当－1≤x <0时,f (x )＝－4x 2＋2, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.答案 15.(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称,f (3)＝3,则f (－1)＝________. 解析 ∵f (x )为偶函数,∴f (－1)＝f (1). 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称, ∴f (1)＝f (3).∴f (－1)＝3. 答案 3考点一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3,解得x ＝±3,即函数f (x )的定义域为{－3,3}, 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x ), ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1),关于原点对称.∴x－2<0,∴|x－2|－2＝－x,∴f(x)＝lg（1－x2）－x.又∵f(－x)＝lg[1－（－x）2]x＝－lg（1－x2）x＝－f(x),∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称.∵当x<0时,－x>0,则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时,－x<0,则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(－x)＝－f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.【训练1】(1)(2017·佛山质检)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y＝x＋sin 2xB.y＝x2－cos xC.y＝2x＋12x D.y＝x2＋sin x(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析(1)对于A,定义域为R,f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x),为奇函数；对于B,定义域为R,f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x),为偶函数；对于C,定义域为R,f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x),为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数,故选D.(2)依题意得对任意x∈R,都有f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x),因此,f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)],f(x)g(x)是奇函数,A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B 错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|],f(x)|g(x)|是奇函数,C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D错.答案(1)D(2)C考点二函数奇偶性的应用【例2】(1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1,则f(1)＋g(1)等于()A.－3B.－1C.1D.3(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数,则a＝________.解析(1)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f(x)为偶函数,则ln(x＋a＋x2)为奇函数,所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0,则ln(a＋x2－x2)＝0,∴a＝1.答案(1)C(2)1规律方法(1)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住在已知区间上的解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式或函数值.【训练2】(1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A.(－∞,－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,＋∞)(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)＝x2－4x,则f(x)＝________.解析(1)易知f(－x)＝2－x＋12－x－a＝2x＋11－a2x,由f(－x)＝－f(x),得2x＋11－a2x＝－2x＋12x－a,即1－a2x＝－2x＋a,化简得a(1＋2x)＝1＋2x,所以a＝1,f(x)＝2x＋12x－1,由f(x)>3,得0<x<1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数,∴f (0)＝0. 又当x <0时,－x >0,∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数,∴f (－x )＝－f (x ), 则f (x )＝－x 2－4x (x <0),∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.答案 (1)C(2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.考点三 函数的周期性及其应用【例3】 (2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )＝4x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. 解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数, ∴f (0)＝0,又f (x )在R 上的周期为2, ∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.答案 －2规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间.(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数,且a ≠0),则2a 为函数f (x )的一个周期. 【训练3】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x ＋2)＝－1f （x ）,当2≤x ≤3时,f (x )＝x ,则f (105.5)＝______.解析 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x ).故函数的周期为4.。
函数概念与基本初等函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值. 6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。
（四）幂函数1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第1课时 函数及其表示1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。
二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有 、 、 。
例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. 1,x y y x== B. y y ==C. ,y x y ==D. 2||,y x y ==解：C变式训练1：下列函数中，与函数y=x 相同的函数是 （ ） A.y=xx2B .y=(x)2 C.y=lg10xD.y=x2log 2解：C例2.给出下列两个条件：（1）f(x+1)=x+2x; (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式. 解：（1）令t=x+1,∴t≥1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2-1,x∈［1，+∞).（2）设f(x)=ax 2+bx+c (a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ， ∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f(0)=3⇒c=3,∴f(x)=x 2-x+3.变式训练2：（1）已知f （12+x ）=lgx ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解：(1)令x2+1=t ，则x=12-t ，∴f（t ）=lg 12-t ，∴f（x ）=lg12-x ,x∈(1,+∞).（2）设f （x ）=ax+b ，则3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7.（3）2f （x ）+f （x1）=3x ， ①把①中的x 换成x1，得2f （x1）+f （x ）=x3 ②①³2-②得3f （x ）=6x-x3，∴f（x ）=2x-x1.例3. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD=2a ，BC=a ，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM=x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域.解：作BH⊥AD，H 为垂足，CG⊥AD，G 为垂足，依题意，则有AH=2a ，AG=23a.（1）当M 位于点H 的左侧时，N∈AB，由于AM=x ，∠BAD=45°. ∴MN=x. ∴y=S △AMN =21x 2（0≤x≤2a ）.（2）当M 位于HG 之间时，由于AM=x ， ∴MN=2a ，BN=x-2a .∴y=S AMNB =2·21a ［x+（x-2a ）］=21ax-).232(82a x a a≤<（3）当M 位于点G 的右侧时，由于AM=x ，MN=MD=2a-x.∴y=S ABCD -S △MDN =).223(45221)44(2143)2(21)2(2·21222222a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+综上：y=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x aax a x x2,2345221.23,28212,0212222变式训练3：已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值.解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略.（2）f(1)=12=1,f(-1)=-,111=-f [])1(-f =f(1)=1.1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化．3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．第2课时 函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x+，可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用 法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x-1，可采用 法；⑤ y ＝x －21x-，可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.例1. 求下列函数的定义域： （1）y=xx x -+||)1(0; (2)y=232531xx -+-; (3)y=1·1-+x x .解：（1）由题意得,||01⎩⎨⎧>-≠+x x x 化简得,||1⎩⎨⎧>-≠xx x即.01⎩⎨⎧<-≠x x 故函数的定义域为{x|x ＜0且x≠-1}.（2）由题意可得,050322⎩⎨⎧≥-≠-x x 解得.553⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠x x故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3}.（3）要使函数有意义，必须有,0101⎩⎨⎧≥-≥+x x 即,11⎩⎨⎧≥-≥x x ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.变式训练1：求下列函数的定义域： （1）y=212)2lg(xx x -+-+(x-1)0; (2)y=)34lg(2+x x+(5x-4)0; (3)y=225x-+lgcosx;解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-01,012022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<1,432x x x 所以-3＜x ＜2且x≠1.故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->54,2143x x x ∴函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--（3）由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x ,得,)(222255⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-Z k k x k x ππππ借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5,23)2,2(23,5⎥⎦⎤⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ππππ 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31-++x f x ; (4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤31, y=f(3x)的定义域为［0, 31］.（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞). （3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x 定义域的交集.列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31.（４）由条件得,111010⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 讨论：①当⎩⎨⎧+≤--≤,11,1a a a a 即0≤a≤21时，定义域为［a,1-a ］;②当⎩⎨⎧+≤--≤,1,a a a a 即-21≤a≤0时，定义域为［-a,1+a ］.综上所述：当0≤a≤21时，定义域为［a ，1-a ］；当-21≤a≤0时，定义域为［-a ，1+a ］.变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)²f(x -a)（0＜a ＜21）的定义域是 （ ）A.∅B.［a ，1-a ］C.［-a ，1+a ］D.［0，1］解： B例3. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x x x (2)y=x-x21-; (3)y=1e 1e +-xx.解：（1）方法一 （配方法） ∵y=1-,112+-x x 而,4343)21(122≥+-=+-x x x∴0＜,34112≤+-x x ∴.131<≤-y ∴值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.方法二 （判别式法） 由y=,122+--x x x x 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0. ∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.（2）方法一 （单调性法）定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯--∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,.方法二 （换元法） 令x21-=t,则t≥0，且x=.212t - ∴y=-21（t+1）2+1≤21（t≥0）,∴y∈（-∞，21］.（3）由y=1e 1e +-xx得,e x=.11yy -+ ∵ex＞0,即yy -+11＞0,解得-1＜y ＜1.∴函数的值域为{y|-1＜y ＜1}. 变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=521+-x x ; (2)y=|x|21x-. 解：（1）(分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21}.(2)方法一 (换元法)∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α|,故函数值域为［0，21］.方法二 y=|x|²,41)21(122242+--=+-=-x x x x∴0≤y≤,21即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.例4．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值.解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21.∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间.∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ①f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23b a变式训练4：已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.解： (1）∵函数的值域为［0，+∞),∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.（2）对一切x∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a≤23,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,1).∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f（a ）min =f )23(=-419，f （a ）max =f （-1）=4，∴f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.第3课时 函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有 ，则称f (x )在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；②都有 ，则称f (x )在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间，则f (x )称为 . 2．判断单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ . (2) 导数法，若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x )在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为 ，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .例1. 已知函数f(x)=a x+12+-x x (a ＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明 方法一 任取x 1,x 2∈(-1,+∞),不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, 12x x a -＞1且1x a ＞0, ∴0)1(12112>-=--x x x x x a a a a ，又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0,∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122*********++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x ＞0,于是f(x 2)-f(x 1)=12x x aa-+12121122+--+-x x x x ＞0,故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 f(x)=a x+1-13+x (a ＞1),求导数得)(x f '=a x lna+2)1(3+x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a xlna ＞0,2)1(3+x ＞0,)(x f '＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法三 ∵a ＞1,∴y=a x为增函数， 又y=13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数.∴y=a x+12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数.变式训练1：讨论函数f （x ）=x+xa （a ＞0）的单调性.解：方法一 显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性， 设x 1＞x 2＞0,则f(x 1)-f(x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a ）=(x 1-x 2)²（1-21x x a ）.∴当0＜x 2＜x 1≤a时，21x x a ＞1,则f （x 1）-f （x 2）＜0，即f(x 1)＜f(x 2),故f （x ）在（0，a］上是减函数.当x 1＞x 2≥a时，0＜21x x a ＜1，则f （x 1）-f （x 2）＞0,即f(x 1)＞f(x 2),故f （x ）在［a，+∞）上是增函数.∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）分别在（-∞，-a］、［a，+∞）上为增函数；f （x ）分别在［-a，0）、（0，a］上为减函数.方法二 由)(x f '=1-2xa =0可得x=±a当x ＞a或x ＜-a时，)(x f '＞0∴f （x ）分别在（a，+∞）、（-∞，-a］上是增函数.同理0＜x ＜a或-a＜x ＜0时，)(x f '＜0即f （x ）分别在（0，a］、［-a，0）上是减函数.例2. 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.解： 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1}, 则f(x)=12-x ,可分解成两个简单函数. f(x)=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时，u(x)为增函数，)(x u 为增函数.∴f （x ）=12-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u （x)为减函数，)(x u 为减函数，∴f(x)=12-x 在（-∞,-1］上为减函数.变式训练2：求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.解： 由4x-x 2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x 2，则y=21log t.∵t=4x-x 2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y=21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y=21log （4x-x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).例3. 求下列函数的最值与值域：（1）y=4-223xx -+; (2)y=x+x4;(3)y=4)2(122+-++x x .解：（1）由3+2x-x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x 2=4-(x-1)2.∴t ∈［0，4］，t∈［0，2］，从而，当x=1时，y min =2，当x=-1或x=3时，y max =4.故值域为［2，4］. (2)方法一 函数y=x+x4是定义域为{x|x ≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x ＞0时,即可知x ＜0时的最值. ∴当x ＞0时,y=x+x4≥2xx 4⋅=4，等号当且仅当x=2时取得.当x ＜0时，y ≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.方法二 任取x 1,x 2,且x 1＜x 2, 因为f(x 1)-f(x 2)=x 1+14x -(x 2+24x )=,)4)((212121x x x x x x --所以当x ≤-2或x ≥2时，f(x)递增,当-2＜x ＜0或0＜x ＜2时，f(x)递减. 故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （3）将函数式变形为 y=2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ,可视为动点M （x,0）与定点A （0，1）、B （2，-2）距离之和，连结AB ，则直线AB 与x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点. y min =|AB|=13)21()20(22=++-，可求得x=32时，y min =13.显然无最大值.故值域为［13，+∞）.变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf （x ）=f （x+1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x ＞0）台的收入函数为R （x ）=3 000x-20x 2(单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）是否具有相同的最大值？解：（1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=（3 000x-20x 2）-（500x+4 000）=-20x 2+2 500x-4 000（x ∈［1，100］且x ∈N,）MP （x ）=P （x+1）-P （x ）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x 2+2 500x-4 000） =2 480-40x （x ∈［1，100］且x ∈N ）.（2）P （x ）=-20(x-)21252+74 125，当x=62或63时，P(x)max =74 120（元）.因为MP （x ）=2 480-40x 是减函数，所以当x=1时，MP(x)max =2 440(元）. 因此，利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）不具有相同的最大值. 例4．（2009²广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.解：（1）令x 1=x 2＞0,代入得f(1)=f(x 1)-f(x 1)=0,故f(1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则21x x ＞1,由于当x ＞1时，f(x)＜0,所以f )(21x x ＜0,即f(x 1)-f(x 2)＜0,因此f(x 1)＜f(x 2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f(21x x )=f(x 1)-f(x 2)得f()39=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x|x ＞9或x ＜-9}.变式训练4：函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3. 解：（1）设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,∴f(x 2-x 1)＞1.f(x 2)-f(x 1)=f((x 2-x 1)+x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-1-f(x 1)=f(x 2-x 1)-1＞0. ∴f （x 2）＞f(x 1).即f(x)是R 上的增函数.（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5，∴f （2）=3，∴原不等式可化为f(3m 2-m-2)＜f(2),∵f(x)是R 上的增函数，∴3m 2-m-2＜2,解得-1＜m ＜34,故解集为（-1,34）.1．证明一个函数在区间D 上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论.2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.第4课时 函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为奇函数；若 ，则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数，0>a ），都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称，均可以得到)(x f 周期例1. 判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=2211xx -⋅-;(2)f(x)=log 2(x+12+x ) (x ∈R );(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1）∵x 2-1≥0且1-x 2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}. ∵f （1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一 易知f(x)的定义域为R ， 又∵f(-x)=log 2［-x+1)(2+-x ］=log 2112++x x =-log 2(x+12+x )=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二 易知f(x)的定义域为R ， 又∵f （-x ）+f （x ）=log 2［-x+1)(2+-x ］+log 2(x+12+x )=log 21=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由|x-2|＞0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x|x ≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. 变式训练1：判断下列各函数的奇偶性： （1）f （x ）=（x-2）xx -+22；（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x ；（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x解：（1）由xx -+22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数.（2）由⎩⎨⎧≠-->-.02|2|0122x x ，得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f （x ）=2222)1lg(2)2()1lg(xx x x --=----.∵f （-x ）=-[]),()1lg()()(1lg 2222x f xx x x =--=---∴f （x ）为偶函数.（3）x ＜-1时，f （x ）=x+2，-x ＞1,∴f （-x ）=-（-x ）+2=x+2=f （x ）. x ＞1时，f （x ）=-x+2，-x ＜-1，f(-x)=x+2=f(x).-1≤x ≤1时，f （x ）=0，-1≤-x ≤1,f （-x ）=0=f （x ）.∴对定义域内的每个x 都有f （-x ）=f （x ）.因此f （x ）是偶函数. 例2 已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). （1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果x ∈R +，f （x ）＜0,并且f(1)=-21,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.（1）证明： ∵函数定义域为R ，其定义域关于原点对称.∵f （x+y ）=f （x ）+f （y ），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f （x ）+f （-x ）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.（2）解：方法一 设x,y ∈R +，∵f （x+y ）=f （x ）+f （y ），∴f （x+y ）-f （x ）=f （y ）. ∵x ∈R +，f （x ）＜0, ∴f(x+y)-f(x)＜0, ∴f(x+y)＜f(x).∵x+y ＞x, ∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f （x ）为奇函数，f （0）=0， ∴f （x ）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f （-2）为最大值，f(6)为最小值. ∵f(1)=-21,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二 设x 1＜x 2,且x 1,x 2∈R.则f(x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2)-f(x 1).∵x 2-x 1＞0,∴f(x 2-x 1)＜0.∴f(x 2)-f(x 1)＜0.即f(x)在R 上单调递减. ∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21，∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1，f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3. ∴所求f(x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.变式训练2：已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解：∵f （x ）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f （x ）=xlg （2+x ）， 即f （x ）=-xlg(2+x) （x ＞0）.∴f(x)=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x即f(x)=-xlg(2+|x|) (x ∈R ).例3 已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x) . （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明： ∵f （x+2）=-f （x ），∴f （x+4）=-f （x+2）=-［-f （x ）］=f （x ）， ∴f （x ）是以4为周期的周期函数. （2）解： 当0≤x ≤1时，f(x)=21x,设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f （-x ）=21（-x ）=-21x.∵f(x)是奇函数，∴f （-x ）=-f （x ）, ∴-f （x ）=-21x ，即f(x)= 21x.故f(x)= 21x(-1≤x ≤1)又设1＜x ＜3,则-1＜x-2＜1,∴f(x-2)=21(x-2),又∵f （x-2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x ）， ∴-f （x ）=21（x-2），∴f （x ）=-21（x-2）（1＜x ＜3）.∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x由f(x)=-21,解得x=-1.∵f （x ）是以4为周期的周期函数. 故f(x)=-21的所有x=4n-1 (n ∈Z ).令0≤4n-1≤2 009,则41≤n ≤20051,又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）,∴在［0，2 009］上共有502个x 使f(x)=-21.变式训练3：已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R .（1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a 2+1,f(-a)=a 2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数. （2）当x ≤a 时,f(x)=x 2-x+a+1=(x-21)2+a+43,∵a ≤21,故函数f(x)在（-∞，a ］上单调递减，从而函数f(x)在（-∞，a ］上的最小值为f(a)=a 2+1. 当x ≥a 时，函数f(x)=x 2+x-a+1=(x+21)2-a+43,∵a ≥-21，故函数f(x)在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a ，+∞)上的最小值为f(a)=a 2+1.综上得，当-21≤a ≤21时，函数f(x)的最小值为a 2+1.1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y 轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.第5课时 指数函数1(1) 定义：若a x n=，则x 称为a 的n 次方根① 当n 为奇数时，n a 的次方根记作__________；② 当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作________(a >0). (2) 性质： ①aa nn=)(；② 当n 为奇数时，aa n n =；③ 当n 为偶数时，=n na _______＝ ⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a2．指数：(1) 规定：① a 0＝ (a ≠0)； ② a -p ＝ ；③ (0,mnmn a a a m =>.(2) 运算性质： ① a a aa sr sr,0(>=⋅+(a>0, r 、∈s Q )② a a a sr s r ,0()(>=⋅(a>0, r 、∈s Q ) ③>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( (a>0, r 、∈s Q )注：上述性质对r 、∈s R 均适用.3．指数函数：① 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当________时函数为减函数，当_______时为增函数. ② 函数图像：1) 过点 ，图象在 ；2) 指数函数以 为渐近线(当10<<a 时，图象向 无限接近x 轴，当1>a 时，图象向 无限接近x 轴)；3)函数xxay a y -==与的图象关于 对称. ③ 函数值的变化特征：例1. 已知a=91,b=9.求： （1）;315383327aaaa⋅÷-- （2）111)(---+ab ba.解：（1）原式=3127⨯a.3123⨯-a÷［a21)38(⨯-²21315⨯a］ = 2167-a)2534(+--=a 21-.∵a=91，∴原式=3.（2）方法一 化去负指数后解..1111)(111b a abab b a abb aab ba+=+=+=+---∵a=,9,91=b ∴a+b=.982方法二 利用运算性质解..11)(11111111111a b ab ba bba aab ba+=+=+=+-----------∵a=,9,91=b ∴a+b=.982变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba b a b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a解：（1）原式=.10653121612131656131212131=⋅=⋅=⋅-+-+--b a bab a b a b a（2）原式=-.4514545)(45)·2(2523232123313612331361abab abbab a ba b a ba -=⋅-=⋅-=÷-=÷--------例2. 函数f(x)=x 2-bx+c 满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是 （ ）A.f(b x )≤f(c x )B.f(b x )≥f(c x)C.f(b x )＞f(c x) D.大小关系随x 的不同而不同 解：A变式训练2：已知实数a 、b 满足等式ba)31()21(=，下列五个关系式： ①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 解：B例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3452+-x x ; （2）g(x)=-(5)21(4)41++xx.解：（1）依题意x 2-5x+4≥0, 解得x ≥4或x ≤1,∴f （x ）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）. 令u=,49)25(4522--=+-x x x ∵x ∈（-∞，1］∪［4，+∞），∴u ≥0，即452+-x x ≥0，而f(x)=3452+-x x ≥30=1,∴函数f(x)的值域是［1，+∞）. ∵u=49)25(2--x ,∴当x ∈（-∞，1］时，u 是减函数，当x ∈［4，+∞）时，u 是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知， f （x ）=3452+-x x 在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.故f （x ）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］. （2）由g(x)=-(,5)21(4)21(5)21(4)412++-=++xx x x∴函数的定义域为R ，令t=()21x(t ＞0),∴g(t)=-t 2+4t+5=-(t-2)2+9,∵t ＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立的条件是t=2, 即g(x)≤9,等号成立的条件是(x)21=2，即x=-1，∴g （x ）的值域是（-∞，9］.由g(t)=-(t-2)2+9 (t ＞0),而t=(x)21是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间， 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.∵g （t ）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减， 由0＜t=(x)21≤2,可得x ≥-1, 由t=(x)21≥2,可得x ≤-1.∴g （x ）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）. 变式训练3：求下列函数的单调递增区间： （1）y=(226)21xx -+;(2)y=262--x x .解：（1）函数的定义域为R. 令u=6+x-2x 2,则y=(u)21.∵二次函数u=6+x-2x 2的对称轴为x=41,在区间［41，+∞）上，u=6+x-2x 2是减函数，又函数y=()21u是减函数，∴函数y=(226)21xx -+在［41，+∞）上是增函数.故y=(226)21xx -+单调递增区间为［41，+∞）.（2）令u=x 2-x-6,则y=2u,∵二次函数u=x 2-x-6的对称轴是x=21,在区间［21，+∞）上u=x 2-x-6是增函数.又函数y=2u为增函数， ∴函数y=262--x x 在区间［21，+∞）上是增函数.故函数y=262--x x 的单调递增区间是［21，+∞）.例4．设a ＞0,f(x)=xxa aee+是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.（1）解： ∵f （x ）是R 上的偶函数，∴f （-x ）=f （x ）， ∴,eeeexxxxa aa a+=+--∴（a-)e1e )(1xxa -=0对一切x 均成立，∴a-a 1=0，而a ＞0,∴a=1.（2）证明 在（0，+∞)上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=1e x +1e1x -2e x -2e1x=)e e(12x x - ().1e121-+x x∵x 1＜x 2,∴,e e21x x <有.0e e 12>-x x∵x 1＞0,x 2＞0,∴x 1+x 2＞0,∴21e x x +＞1,21e1x x +-1＜0.∴f(x 1)-f(x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2),故f(x)在（0,+∞）上是增函数.变式训练4：已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f(x)=142+xx.（1）求f （x)在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. （1）解： 当x ∈(-1,0)时，-x ∈(0,1). ∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）=-f （-x ）=-.142142+-=+--xxxx由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f （x ）={}⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-∈+-∈+1,0,10)0,1(142)1,0(142x x x xxxx(2)证明 当x ∈(0,1)时，f(x)=.142+xx设0＜x 1＜x 2＜1, 则f(x 1)-f(x 2)=,)14)(14()12)(22(1421422121122211++--=+-++x x x x x x x x x x∵0＜x 1＜x 2＜1,∴1222x x -＞0，221x x +-1＞0,∴f(x 1)-f(x 2)＞0,即f(x 1)＞f(x 2),故f(x)在（0，1）上单调递减.1．bN＝a ，a b ＝N ，log a N ＝b (其中N>0，a >0，a ≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.2．处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 3．含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.第6课时 对数函数1(1)定义：如果N a b=)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数.① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________． ② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________．(2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a=log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________；② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤log m na a nb b m =.2．对数函数：① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ③例1 计算：（1）)32(log 32-+（2）2(lg 2)2+lg 2²lg5+12lg )2(lg2+-;（3）21lg4932-34lg8+lg245.解：（1）方法一 利用对数定义求值 设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解)32(log32-+=32log+321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg2)2(lg2+-=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1|=lg2+(1-lg2)=1.（3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-34³2lg 23+21(2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2³5)= 21lg10=21.变式训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2²lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)²(log 43+log 83). 解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log221log242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c的大小关系.解：（1）∵log 332＜log 31=0, 而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log1.1log 7.00.7>,∴2.1log11.1log17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x21log为减函数，且ca b 212121log loglog<<,∴b ＞a ＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a ＞2c. 变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log,log,1的大小关系是 （ ）A.log a b b bba 1loglog 1<<B.bb b baa1log1log log<< C.bbb aba1log1loglog<< D.bbba ablog 1log1log<<解： C例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3.当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x).∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数， ∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立，。
