【全优学案】高中数学人教B版必修4同步训练：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)(含答案解析)

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
一．学习要点：余弦函数、正切函数的图象与性质
二．学习过程：
1．余弦函数的图象
2．余弦函数的性质
（1）定义域： ．
（2）值域：
当 时，max 1y =．
当 时，min 1y =-．
（3）周期：
余弦类函数()cos y A x ωϕ=+的最小正周期公式：
（4）奇偶性： 余弦曲线cos y x =的对称轴方程为: ； 中心的坐标为
（5）单调性：
余弦函数cos y x =在 上是减函数;
余弦函数cos y x =在 上是增函数．
例1求下列函数的最大值或最小值：
(1) 3cos 1y x =-+； (2)21cos 32y x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭．
例2判断下列函数的奇偶性：
(1) cos 2y x =+； (2)sin cos y x x =．
例３求函数12cos 3
4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期．
3．正切函数的图象
4．正切函数的性质
（1）定义域： ．
（2）值域：
（3）周期性：
正切类函数()tan y A x ωϕ=+最小正周期公式：
（4）奇偶性：
正切曲线tan y x =的对称中心的坐标为
（5）单调性：
例４求函数tan 3y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的定义域．
例４求下列函数的周期：
(1) tan 3y x =； (2)5tan
2
x y =
二．课堂练习：教材53页、57页练习
三．课后作业：见作业（10）。

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)一、基础过关1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( )A ．(0,0)B.⎝⎛⎭⎫π5，0C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0) 2． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )3． 下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是( )A ．y ＝tan|x |B ．y ＝|tan x |C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝cos 2x 4． 下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan9π8<tan π75． 函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是 ( )A ．0B ．1C ．－1D.π46． 函数y ＝tan x －1的定义域是____________．7． 函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝________.8． 求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域．二、能力提升9． 已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－110．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )11．判断函数f (x )＝lgtan x ＋1tan x －1的奇偶性．12．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心．三、探究与拓展13．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？答案1．C 2.A 3.B 4.D 5.A 6．[k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z 7.±28．[－4,4] 9.B 10.D 11．解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1. ∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称． f (－x )＋f (x )＝lgtan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．12．解 ①由π3x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠3k ＋34，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠3k ＋34，k ∈Z }．②T ＝ππ3＝3，∴函数的周期为3.③由k π－π2<π3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z .解得3k －94<x <3k ＋34，k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎫3k －94，3k ＋34，k ∈Z . ④由π3x ＋π4＝k π2，k ∈Z .解得x ＝3k 2－34，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫3k 2－34，0，k ∈Z . 13．解 因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]内的图象如图所示：观察图象可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]内有3个交点．。

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.函数y=xcosx （ ）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数解析：由f(-x)=(-x)·cos(-x)=-x·cosx=-f(x)，可知f(x)是奇函数.答案：A2.若α、β∈（2π，π），且tanα＜cotβ，则必有（ ） A.α＜β B.β＜α C.α+β＜23π D.α+β＞23π 解析：∵α、β∈（2π，π）, ∴23π-β∈（2π，π）. ∵tanα＜cotβ=tan （23π-β），且tanx 在（2π，π）上单调递增, ∴α＜23π-β,∴α+β＜23π. 答案：C3.函数y=xtan 11+的定义域是___________________. 解析：要使函数y=x tan 11+有意义，则有⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠+),(2,0tan 1Z k k x x ππ即x≠kπ-4π， 且x≠kπ+2π（k ∈Z ）. ∴函数的定义域为｛x ｜x ∈R ，且x≠kπ-4π，x≠kπ+2π，k ∈Z ｝. 答案：｛x ｜x ∈R ，且x≠kπ4π-，x≠kπ+2π，k ∈Z ｝ 4.函数y=3cosx+1的最大值是________________，最小值是________________.解析：∵-1≤cosx≤1,∴y=3cosx+1的最大值是4，最小值是-2.答案：4 -210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.余弦函数y=cosx 的单调减区间是（ ）A.［2kπ，2kπ+π］，k ∈ZB.［2kπ-2π，2kπ+2π］，k ∈Z C.［2kπ+π，2kπ+2π］，k ∈Z D.［2kπ+2π，2kπ+23π］，k ∈Z答案：A2.函数y=3cos （2x+3π）+1取得最大值时，x 的值应为（ ） A.2kπ-3π，k ∈Z B.kπ-6π，k ∈Z C.kπ-3π，k ∈Z D.kπ+6π，k ∈Z 解析：依题意，当cos （2x+3π）=1时，y 有最大值，此时2x+3π=2kπ，k ∈Z ，变形为x=kπ6π-，k ∈Z .答案：B3.下列说法不正确的是（ ）A.正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是［-1，1］B.余弦函数当且仅当x=2kπ（k ∈Z ）时取得最大值1，当且仅当x=（2k+1）π（k ∈Z ）时取得最小值-1C.正弦函数在每个区间［2π+2kπ，23π+2kπ］（k ∈Z ）上都是减函数 D.余弦函数在每个区间［2kπ-π，2kπ］（k ∈Z ）上都是减函数提示：画出正、余弦函数一个周期的图象，分析即得.答案：D4.(2006高考全国卷Ⅰ,5)函数f(x)=tan （x+4π）的单调增区间是（ ） A.(kπ-2π,kπ+2π)，k ∈Z B.(kπ,(k+1)π)，k ∈Z C.（kπ-43π，kπ+4π），k ∈Z D.（kπ-4π，kπ+43π），k ∈Z 解析：由题意kπ-2π＜x+4π＜kπ+2π， ∴k π43π-＜x ＜kπ+4π，k ∈Z . ∴增区间为（kπ43π-，kπ+4π），k ∈Z . 答案：C5.(1)三个数cos 23，sin 101,-cos 47的大小关系是_______________; (2)比较tan1、tan2、tan3的大小: _______________.(1)解析：∵sin101=cos （2π-101）=cos1.47, -cos 47=cos （π-47）=cos1.39，cos 23=cos1.5，而y=cosx 在［0，π］上是减函数， 故由0＜1.39＜1.47＜1.5＜π可得cos1.5＜cos1.47＜cos1.39，∴cos 23＜sin 101＜-cos 47.答案：cos 23＜sin 101＜-cos 47 (2)解析：∵tan2=tan （2-π）,tan3=tan （3-π）, 又∵2π＜3＜π, ∴2π-＜3-π＜0，显然，2π-＜2-π＜3-π＜1＜2π. 而y=tanx 在（2π-，2π）内是增函数， ∴tan （2-π）＜tan （3-π）＜tan1，即tan2＜tan3＜tan1.答案：tan2＜tan3＜tan16.如何由y=sinx 的图象得到y=2cos(21-x+4π)的图象? 解：∵y=2cos(21-x+4π)=2sin(21x+4π),∴可由y=sinx 的图象向左平移4π个单位,得到y=sin(x+4π)的图象,再把y=sin(x+4π)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin(21x+4π)的图象,再把纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin(21x+4π)的图象,即y=2cos(21-x+4π)的图象. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.函数y=-5cos （3x+1）的周期为（ ） A.3π B.3π C.32π D.23π 解析：该函数最小正周期T=ωπ2=32π. 答案：C2.函数y=tan2（x+4π）（ ） A.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数解析：∵y=tan2（x+4π）=tan （2x+2π）=-cot2x=x 2tan 1-， ∴f （-x ）=xx 2tan 1)2tan(1=--=-f （x ）. ∴f （x ）为奇函数.答案：A3.将函数y=cosx 图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移4π个单位，所得函数图象的解析式为（ ）A.y=cos （2x+4π） B.y=cos （2x -4π）C.y=cos （2x -8π）D.y=cos （2x +8π） 解析：根据题意,函数的变化过程是:y=cosx→y=cos 21x→y=cos 21（x-4π）=cos （2x -8π）. 答案：C4.函数y=cos （2x+2π）的图象的一条对称轴方程为（ ） A.x=2π- B.x=4π- C.x=8π D.x=π 解析：依题意，令cos （2x+2π）=-sin2x=±1，则2x=kπ+2π，x=21kπ+4π，k ∈Z . 显然当k=-1时，x=-4π. 答案：B5.今有一组生物实验数据如下：x 0 0.261 6 0.436 1 0.785 4 1.308 9 y 0 0.258 8 0.422 6 0.708 5 0.912 5 现准备用下列函数中的某个函数近似表示数据满足的规律，其中接近的一个是（ ）A.y=tanxB.y=1-cosxC.y=sinxD.y=2x -1解析：四个函数在［0，1.5］上都是增函数，且当x=0时都有y=0，但通过特值估算发现，4π≈0.785 4，此时tan 4π=1，1-cos 4π≈0.293，sin 4π≈0.707，0＜20.785 4-1＜1，可排除选项A 、B ；当x=1.308 9时，由图象知2x -1＞1，从而排除D 项.答案：C6.使sinx≤cosx 成立的一个x 的变化区间是（ ）A.［4π-，43π］ B.［2π-，2π］ C.［43π-，4π］ D.［0，π］ 解析：作出y=sinx 及y=cosx 在［-π，π］上的图象，观察可知C 项正确.答案：C7.(2006高考四川卷，5)下列函数中,图象的一部分如图1-3-5所示的是（ ）图1-3-5A.y=sin(x+6π) B.y=sin(2x-6π) C.y=cos(4x-3π) D.y=cos(2x-6π) 解析：（特殊值法）由于x=12π，y=1，故将x=12π分别代入各选项，可排除A 、B ；又x=6π-时，y=0，将x=6π-分别代入选项C 、D ，可排除C.所以选D. 答案：D 8.函数y=tan （2π+3π）的单调增区间是______________________. 解析：∵kπ-2π＜2x +3π＜kπ+2π，kπ-65π＜2x ＜kπ+6π， ∴2kπ-35π＜x ＜2kπ+3π. 答案：（2k π-35π，2kπ+3π），k ∈Z 9.函数y=4sin （3x+4π）+3cos （3x+4π）的最小正周期为_______________. 解析：∵4sin （3x+4π）和3cos （3x+4π）的最小正周期都是32π，∴所求函数的最小正周期为T=32π. 答案：32π 10.已知某海滨浴场的海浪高度y （m ）是时间t （0≤t≤24，单位：h ）的函数，记作y=f （t ），下表是某日各时的浪高数据：t （h ） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （m ） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y=f （t ）的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.（1）根据上述数据，求出函数y=Acosωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；（2）根据规定，当海浪高度不低于1 m 时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次?时间最长的一次是什么时候?有多长时间?时间最短的一次是什么时候?有多长时间?解：（1）A=25.05.1-=21，而A+b=1.5.∴b=1. 再根据T=12，得ω=6π. ∴y=21cos 6πt+1. （2）由y≥1⇒21cos 6πt+1≥1， ∴cos 6πt≥0. ∴2kπ-2π≤6πt≤2kπ+2π，k ∈Z . ∴12k-3≤t≤12k+3.∴k=0时，t ∈［0，3］；当k=1时，t ∈［9，15］；当k=2时，t ∈［21，24］.∴一天内对冲浪爱好者能开放三次.时间最长的一次是上午9时至下午3时，共有6个小时，时间最短的一次是早晨零点到3点或晚上21时至第二天零点，时间都是3小时.11.研究函数y=|tanx|与y=tan|x|的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及函数图象. 解：y=|tanx|的定义域为{x|x≠kπ+2π，x ∈R }，值域为{y|y≥0}，图象如下:由图象可知周期为π，为偶函数.［kπ，kπ+2π）（k ∈Z ）为增区间，（kπ-2π，kπ］（k ∈Z ）为减区间. y=tan|x|的定义域为{x|x≠kπ+2π，k ∈Z }，值域为R ，图象如下：由图象分析无周期性，（2π-，2π）的图象不会重复出现，为偶函数. 其中［0，2π)，（kπ-2π，kπ+2π）（k ∈Z 且k ＞0）为单调增区间, （2π-，0］，（kπ-2π，kπ+2π）（k ∈Z 且k ＜0)为单调减区间.。

§1.2 任意角的三角函数1．2.1 三角函数的定义一、基础过关 1． sin 150°等于( )A.12B ．－12C.32D ．－32 2． 当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－23． 角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．54． 点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 5． 设角α的终边经过点(－6t ，－8t ) (t ≠0)，则sin α－cos α的值是( )A.15B ．－15C ．±15D ．不确定6．已知sin θ·tan θ<0，则角θ位于第________象限．7．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 8．角α的终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．二、能力提升9． 已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为 ( ) A.5π6B.2π3C.5π6D.11π610．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.11．已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值． 12．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4； (3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角)．三、探究与拓展13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ答案1．A 2.C 3.A 4.A 5.C 6.二或三 7.－2<a ≤3 8． 当a >0时，2sin α＋cos α＝－25，当a <0时，2sin α＋cos α＝259． D 10.211．解 ∵P (x ，－2) (x ≠0)，∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝xx 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10.∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义， 有sin α＝－223＝－66，1tan α＝10－2＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－ 5＝－65＋66；当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.12．解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0. (3)∵θ为第二象限角，∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0， ∴sin (cos θ)cos (sin θ)<0.13．C。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
一、教学目标
1、知识目标
（1）理解余弦函数的图象与性质
（2）理解正切函数的图象与性质
2、能力目标
（1）引导学生自己由所学的知识推导未知的知识，根据正弦函数的图象、诱导公式推导出余弦函数的图象，并自己总结其性质
（2）引导学生仿照对正弦函数的研究，自己利用三角函数线得出正切函数的图象，并研究它的性质
（3）培养学生利用所学知识解决问题的能力，以及发现问题，研究问题的能力
3、情感目标
（1）渗透数形结合的思想
（2）培养学生触类旁通的推理能力
（3）培养学生实践出真知的辨证唯物思想
二、教学重点、难点
本节重点是理解余弦函数和正切函数的图象和性质，难点余弦函数和正切函数的图象和性质。

三、教学方法
引导学生进行推理，鼓励学生自主学习
四、教学过程。

正切函数的图像与性质2考纲要求：能画出y=tanx 的图像，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间（）的单调性.教学目的知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法；了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；掌握正切函数的性质。

能力目标： 掌握正弦函数的周期性，单调区间，奇偶性，能利用正切曲线解决简单的问题。

情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图像性质的过程中体会类比的思想。

教学过程复习回顾 1正弦曲线是怎样画的？ 2.. 正弦，余弦函数的性质。

讲授新课导入新课：1．正切函数tan y x =的定义域是什么？2．正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？讲授新课；（1（4（三）、典型例题 例1．求函数tan(2)3y x π=-的定义域、周期和单调区间.对称中心。

例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小： （1） 与 ； （2） 与．课堂练习：1 求下列函数的定义域和周期，单调区间。

（1） y=tan2x （2）y=5tan2x2利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小。

（1）tan 0138与tan 0143；（2）tan（—134π）与tan（—175π）。

3．函数的图像对称于（）A．原点B．轴C．轴D．直线4．要得到的图像，只需把的图像（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位5．函数的一个对称中心是（）A．B．C．D．6．函数的值域是（）A．B．C．D．7．下列函数中，同时满足①在上是增函数；②为奇函数；③以为最小正周期的函数是（）A．B．C．D．8．求函数的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．课堂小结：1．正切函数的图象和性质.2．的周期公式它没有极值，正切函数在定义域上不具有单调性（非增函数），也不存在减区间．3．求复合函数的单调区间课后反思：。

正切函数的性质与图象教学设计一、指导思想与理论依据三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。

但也要让学生明白，系统内部各个子系统有联系也有区别，作为正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特殊地研究其渐近线。

在此也向学生进一步说明华老的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。

二、教学背景分析本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。

学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质，体会研究函数方法的课，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，自制课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

三、本课教学目标设计根据新课标及教材的特点、教学要求以及我校学生的认知水平，我从不同的方面确定了以下教学目标． 1在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。

2通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图像，得到正切曲线。

3根据正切曲线，完善正切函数的性质。

4在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、 提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成． 四、教学过程及教学资源设计R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.知识点一 正切函数的图象类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，阅读课本，了解具体操作过程.思考1 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？思考2 一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？梳理 (1)正切函数的图象称作“正切曲线”，如下图所示.(2)正切函数的图象特征正切曲线是由通过点(π2＋k π，0)(k ∈Z )且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的.知识点二 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？思考5 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：解析式y ＝tan x图象定义域 值域 周期 奇偶性单调性在开区间________________内都是增函数类型一 正切函数的定义域例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x ).反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间.命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 (1)比较大小： ①tan 32°________tan 215°； ②tan 18π5________tan(－28π9).(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可.正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z ，故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数.跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4________tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三 正切函数的奇偶性与对称性问题 例4 (1)判断下列函数的奇偶性. ①y ＝tan 2x －tan x1－tan x ；②y ＝x tan 2x ＋x 4.(2)求y ＝3tan(2x ＋π3)的图象的对称中心.反思与感悟 (1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系. (2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心，方法是把ωx ＋φ看作一个整体，由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )解出的x 的值为对称中心的横坐标，纵坐标为零.跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性. (1)f (x )＝tan x ＋1tan x ；(2)f (x )＝lg|tan x |.类型四 正切函数的图象及应用例5 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.反思与感悟 (1)作出函数y ＝|f (x )|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y ＝f (x )图象在x 轴上方的部分；②将函数y ＝f (x )图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可. 跟踪训练5 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的周期，对称中心；(2)作出函数f (x )在一个周期内的简图.1.函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A.πB.2πC.π2D.π62.函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A.(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB.(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD.(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x2D.y ＝－tan x4.方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.25.比较大小：tan 1________tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.答案精析问题导学 知识点一思考1 我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z ))的图象．思考2 一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期． 知识点二思考1 {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思考2 周期性． 思考3 奇偶性． 思考4 是．思考5 正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数． 正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．梳理 {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) 题型探究例1 解 (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }．(2)因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为当tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象， 得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是{x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z }．跟踪训练1 ⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．例2 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ， 周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.跟踪训练2 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π， k ∈Z ，即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )． 例3 (1)①< ②< (2)tan 2<tan 3<tan 1 跟踪训练3 >例4 解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，tan x ≠1，得x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4(k ∈Z )，即定义域为{x |x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z }，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数．②函数定义域为{x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }，关于原点对称．令f (x )＝x tan 2x ＋x 4，则f (－x )＝(－x )tan 2(－x )＋(－x )4 ＝x tan 2x ＋x 4＝f (x )， ∴该函数是偶函数． (2)解 由2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )．故所求函数图象的对称中心为点(k π4－π6，0)(k ∈Z )． 跟踪训练4 (1)函数f (x )为奇函数 (2)函数f (x )是偶函数． 例5 解 由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π (k ∈Z )，周期为π.跟踪训练5 解 (1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )， 得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)． 当堂训练1．C 2.C 3.C 4.B 5.＞。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质第1课时余弦函数的图象与性质1.会用“五点法”、“图象变换法”作余弦函数和y＝A cos(ωx＋φ)的图象.(重点)2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.(难点)[基础·初探]教材整理1余弦函数的图象阅读教材P51内容，完成下列问题.把正弦函数y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度就得到余弦函数y＝cos x 的图象，该图象叫做余弦曲线.图1-3-5用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A.0，π2，π，3π2，2πB.0，π4，π2，3π4，πC.0，π，2π，3π，4πD.0，π6，π3，π2，2π3【解析】 令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B. 【答案】 B教材整理2 余弦函数的性质阅读教材P 52～P 53内容，完成下列问题. 1.余弦函数的性质：函数 y ＝cos x 定义域 R 值域 [－1,1] 奇偶性 偶函数周期性 以2k π为周期(k ∈Z ，k ≠0)，2π为最小正周期 单调性 当x ∈[2k π＋π，2k π＋2π](k ∈Z )时，递增； 当x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，递减 最大值与 最小值当x ＝2k π(k ∈Z )时，最大值为1； 当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，最小值为－12.，ω＞0)的周期T ＝2πω.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图象关于y 轴对称，对称轴有无数多条.( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.( ) (3)在区间[0,3π]上，函数y ＝cos x 仅在x ＝0时取得最大值1.( ) (4)函数y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]用“五点法”作余弦型函数的图象用“五点法”作函数y＝2＋cos x，x∈[0,2π]的简图.【精彩点拨】在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可.【自主解答】列表：x 0π2π32π2πcos x 10－10 12＋cos x 3212 31.“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点.2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点.[再练一题]1.用“五点法”作函数y ＝3－2cos x ，x ∈[0,2π]的简图. 【解】 按五个关键点列表，描点画出图象(如图).x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 y ＝3－2cos x13531求余弦型函数的单调区间求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递减区间.【导学号：72010027】【精彩点拨】 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 化为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6形式，故只需求y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递减区间即可. 【自主解答】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，令z ＝x －π6，则y ＝cos z ，即2k π≤z ≤2k π＋π，k ∈Z ， ∴2k π≤x －π6≤2k π＋π，k ∈Z ， ∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋76π，k ∈Z .故函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋76π，k ∈Z .1.求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (其中A ≠0，w >0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得.2.具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间.[再练一题]2.(2016·南京高一检测)求函数y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间.【解】 y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.结合y ＝|cos x |的图象.由k π－π2≤x－π4≤k π(k ∈Z )得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z ).所以函数y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).有关三角函数的最值问题已知函数y 1＝a －b cos x 的最大值是32，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin 3bx 的最大值.【精彩点拨】 欲求函数y 的最大值，须先求出a ，b ，为此可利用函数y 1的最大、最小值，结合分类讨论求解.【自主解答】 ∵函数y 1的最大值是32，最小值是－12. 当b >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝1.当b <0时，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝32，a ＋b ＝－12，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－1.因此y ＝－2sin 3x 或y ＝2sin 3x . 函数的最大值均为2.1.对于求形如y ＝a cos x ＋b 的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决.注意当x 有具体范围限制时，需考虑cos x 的范围.2.求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解.[再练一题]3.(2016·日照高一检测)函数y ＝sin 2x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x ≤π4的值域为________.【解析】 设cos x ＝t ，因为－π4≤x ≤π4，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以y ＝1－cos 2x ＋cos x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，故当t ＝22， 即x ＝±π4时，y max ＝1＋22； 当t ＝1，即x ＝0时，y min ＝1. 所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋22. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋22 [探究共研型]与正弦、余弦函数图象有关的零点问题探究1方程sin x＝x的实根个数有多少个？【提示】在同一坐标系内分别作出y＝sin x，y＝x图象可知在x∈[0,1]内，sin x<x没有交点，当x>1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.探究2函数f (x)＝x－cos x在[0，＋∞)内有多少个零点？【提示】令f (x)＝0，所以x＝cos x分别作出y＝x，y＝cos x可知两函数只有一个交点，所以f (x)在[0，＋∞)内只有一个零点.判断方程x4－cos x＝0根的个数.【精彩点拨】当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.【自主解答】设f (x)＝x4，g(x)＝cos x，在同一直角坐标系中画出f (x)与g(x)的图象，如图：由图可知，f (x)与g(x)的图象有三个交点，故方程x4－cos x＝0有三个根.1.求f (x)－A sin x＝0(A≠0)或f (x)－A cos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y ＝－1与y＝1之间，只需考虑－A≤f (x)≤A的x的范围，在该范围内f (x)的图象与A sin x或A cos x的图象的交点的个数即方程根的个数.2.准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解.[再练一题]4.求下列方程解的个数：(1)方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________. (2)方程sin x ＝lg x 的解的个数是__________.【解析】 (1)作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.(2)建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象.描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫110，－1，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示.由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个. 【答案】 (1)2 (2)31.函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A.关于直线x ＝1对称 B.关于原点对称 C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称【解析】 作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(略)，易知它们关于x 轴对称，故选C.【答案】 C2.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x2 B.y ＝sin 2x C.y ＝cos x4D.y ＝cos 4x【解析】 ∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4. 【答案】 D3.(2016·济南高一检测)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 0172π是( )【导学号：72010028】A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.即是奇函数又是偶函数【解析】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 0172π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋1 008π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 0172π是偶函数.【答案】 B4.(2016·山东省实验中学高一检测)函数y ＝cos(－x )，x ∈[0,2π]的单调递减区间是________.【解析】 y ＝cos(－x )＝cos x ，其单调递减区间为[0，π]. 【答案】 [0，π]5.用五点法作出函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图. 【解】 列表：x 0 π2 π 32π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x121我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·广州高一检测)已知函数f (x )＝－cos x ，下面结论错误．．的是( ) A.函数f (x )的最小正周期为2π B.函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C.函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D.函数f (x )是奇函数【解析】 ∵f (x )＝－cos x 的图象即为函数f (x )＝cos x 的图象绕x 轴翻转而成的，∴A 、B 、C 均正确，函数f (x )应是偶函数，故选D.【答案】 D2.(2016·南昌高一检测)函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是( )A.2k π(k ∈Z )B.3πC.πD.2π【解析】 因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图象知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π，故选C.【答案】 C3.函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A.－1,3B.－1,1C.0,3D.0,1【解析】 ∵cos π2x ∈[－1,1]，∴－2cos π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2cos π2x ∈[－1,3]的最小值为－1，最大值为3.【答案】 A4.下列关系式中正确的是( )A.sin 11°<cos 10°<sin 168°B.sin 168°<sin 11°<cos 10°C.sin 11°<sin 168°<cos 10°D.sin 168°<cos 10°<sin 11°【解析】 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°＝cos 78°，sin 11°＝cos 79°.由余弦函数的单调性得cos 79°<cos 78°<cos 10°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.【答案】 C5.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π4，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4 【解析】 ∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.【答案】 A二、填空题6.函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期为4π，则ω＝________. 【解析】 ∵4π＝2π|－ω|，∴ω＝±12.【答案】 ±127.利用余弦曲线，写出满足cos x >0，x ∈[0,2π]的x 的区间是__________.【解析】 画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]上的图象如图所示.cos x >0的区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π 8.(2016·徐州高一检测)函数y ＝lg(3－2cos x )的定义域为________.【解析】 由题意知3－2cos x ＞0，即cos x ＜32，所以π6＋2k π＜x ＜11π6＋2k π(k ∈Z )，即函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，11π6＋2k π(k ∈Z ). 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，11π6＋2k π(k ∈Z ) 三、解答题9.判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期.(1)y ＝3cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2，x ∈R . 【导学号：72010029】【解】 (1)把2x 看成一个新的变量u ，那么cos u 的最小正周期为2π，这就是说，当u 增加到u ＋2π且必须至少增加到u ＋2π时，函数cos u 的值重复出现.而u ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)，所以当自变量x 增加到x ＋π且必须至少增加到x ＋π时，函数值重复出现，因此，y ＝3cos 2x 的周期为π.∵y ＝f (x )＝3cos 2x ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ，∴y ＝3cos 2x 为偶函数.(2)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2的周期 T ＝2π34＝8π3.∵x ∈R ，且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2 ＝sin 34x ，∴f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝－sin 34x ＝－f (x )，∴y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2为奇函数. 10.求函数y ＝sin 2x ＋a cos x －12a －32的最大值为1时a 的值. 【解】 y ＝1－cos 2x ＋a cos x －12a －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24－12a －12. 因为cos x ∈[－1,1]，要使y 最大，则必须满足⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22最小. ①当a 2<－1，即a <－2时，若cos x ＝－1，则y max ＝－32a －32.由题设，令－32a －32＝1，得a ＝－53>－2(舍去)；②当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，若cos x ＝a 2，则y max ＝a 24－a 2－12.由题设，令a 24－a 2－12＝1，得a ＝1±7(舍去正值)；③当a 2>1，即a >2时，若cos x ＝1，则y max ＝a 2－32，由题设，令a 2－32＝1，得a ＝5.综上所述a ＝5或a ＝1－7.[能力提升]1.(2016·潍坊高一检测)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2的( ) A.最小正周期为2πB.图象关于y 轴对称C.图象关于原点对称D.图象关于x 轴对称【解析】 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2的周期为：2π2＝π. 所以A 不正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝sin 2x ，当x ＝0时，函数取得0，函数关于原点对称，故B 不正确，D 不正确.【答案】 C2.(2014·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________.【解析】 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ≤π，所以φ＝π6.【答案】 π63.已知函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.【解】 (1)∵f (x )的周期T ＝π，故2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减，因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z ).。

《余弦函数的图象和性质》教学设计一、教材分析 1.地位和作用本节选自人教B 版一般高中课程标准试验教科书必修四第一章第三单元其次节。

本节余弦函数图像可依据诱导公式cos sin()2x x π=+，通过对正弦函数图象的平移得到。

因此，余弦函数的图象和性质既是正弦函数图象和性质的转化与巩固，又是余弦型函数的基础。

因此，学好这节课不仅可以为我们今后学习正切、余切函数的性质打下基础，还可以进一步提高同学分析问题和解决问题的力量，它对学问起到了承上启下的作用。

2.教学目标（1）学问与技能目标：了解平移法，把握五点法做余弦函数图象，利用余弦函数的图象进一步争辩余弦函数的性质，并解决简洁余弦函数问题； （2）过程与方法目标：类比正弦函数性质获得余弦函数的性质，体会类比的思想方法； （3）情感态度与价值观目标：通过类比、学问迁移的学习方法，提高探究新知的力量，了解正弦函数、余弦函数的区分与内在联系。

3.教学重点和难点教学重点：余弦函数的图象与性质 。

教学难点：利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。

余弦函数的图象与性质的应用。

那么克服本节课的难点的关键在于复习好正弦函数图象的作法，充分利用图象讲清余弦函数的性质，梳理好讲解挨次，使同学通过适当的练习正确理解概念、图象、性质、实现教学目标和进一步提高同学的学习探究力量，充分发挥同学的主体作用。

二、学情分析结合对新课标的理解制定如下的学情分析：（1）认知分析：同学已学习了正弦函数的图像和性质、正弦型函数以及其性质的运用这三者形成了同学思维的“最近进展区”。

（2）力量分析：同学已经具备了肯定的函数图象平移力量和三角函数诱导公式的应用力量，但在数学的分析力量和应用意识方面等尚需进一步培育。

（3） 情感分析：大多数同学对数学学习很感爱好，能够乐观参与到争辩与争辩中来。

三、教法分析本节接受的是“先学后教，当堂检测”的教学方法，“先学”之前老师精确 地、明确地揭示学习的目标，还要指导同学自学，使同学明确自学的内容、方法、目标、要求.“后教”（1）明确教的内容。