【配套K12】山西省阳高县高中数学 2.3 等差数列的前n项和 第二课时 等差数列的前项和的应用测试题(无答案

2.3等差数列前n 项和(二)一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第三节等差数列前n 项和第二课时。

在学生已掌握等差数列前n 项和公式后,例3强调了等差数列前n 项和公式与二次函数之间的关系，探究题是为了进一步认识等差数列前n 项和公式是一个常数项为0的二次函数，例4是对等差数列前n 项和公式性质（二次型）的一个应用。

从特殊到一般，可以帮助学生获取一般等差数列求和思路；从一般到特殊，可以使学生应用等差数列求和公式解决一些实际问题，使其来于实际，用于实际。

二、学生学习情况分析大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、教学目标掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。

四、教学重点与难点重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应用;难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题.五、教学过程(一) 课题导入问题1: 等差数列的前n 项和是什么?1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= (二)例题分析例3 已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据 121...n n n S a a a a -=++++与 1121...n n S a a a --=+++（n 1） ＞可知，当n ＞1时，221111[11]2222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-（）（） ① 当n=1时，211131122a S ==+⨯= 也满足①式. 所以数列{}n a 的通项公式为122n a n =-. 由此可知，数列{}n a 是一个首项为32，公差为2的等差数列。

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数列前n项和公式的应用课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．已知某等差数列共有21项,其奇数项之和为352，偶数项之和为320，则a11＝导学号 54742368（ D )A．0 B．－32C．64 D．32[解析］解法1：a11＝S奇－S偶＝352－320＝32.故选D．解法2：a11＝错误!＝错误!＝32.故选D．解法3：a11＝错误!＝32。

2．已知{a n｝为等差数列,a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，S n是等差数列｛a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是错误!( B ）A．21 B．20C．19 D．18［解析］由题设求得:a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴a n＝41－2n，a20＝1,a21＝－1，所以当n＝20时S n最大．故选B．3．等差数列｛a n｝中，S16>0，S17〈0，当其前n项和取得最大值时，n＝错误!( B ）A．16 B．8C．9 D．17[解析]∵S16＝错误!＝8（a8＋a9）>0,∴a8＋a9〉0；又S17＝17a9<0,∴错误!∴前8项之和最大．4．设等差数列{a n}的前n项的和为S n，若a1>0，S4＝S8,则当S n取得最大值时，n的值为错误!（ B ）A．5 B．6C．7 D．8［解析］解法一:∵a1〉0，S4＝S8，∴d〈0，且a1＝112d，∴a n＝－错误!d＋(n－1）d＝nd－错误!d,由错误!,得错误!,∴5错误!〈n≤6错误!，∴n＝6，解法二：∵a1〉0,S4＝S8,∴d〈0且a5＋a6＋a7＋a8＝0，∴a6＋a7＝0，∴a6〉0，a7<0，∴前六项之和S6取最大值．5．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列｛错误!｝的前100项和为错误!( A ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]∵a5＝5,S5＝15∴错误!＝15，∴a1＝1.∴d＝错误!＝1，∴a n＝n。

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2.3 第2课时等差数列的前n项和(习题课）A级基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480,则中间项为（）A．30 B．31 C．32 D．33解析：中间项为a n＋1.S＝错误!·（n＋1）＝(n＋1）a n＋1＝512.奇S＝错误!·n＝n·a n＋1＝480.偶所以a n＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32。

答案：C2．等差数列｛a n｝的公差d＝错误!且S100＝145,则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为（)A．52。

5 B．72.5 C．60 D．85解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y,则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.答案：C3．设S n是等差数列{a n}的前n项和,若错误!＝错误!,则错误!为( )A。

错误! B.错误! C。

错误! D.错误!解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列,因为S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4。

2.3 等差数列的前n 项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ． 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、 复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+= 2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n. 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n 项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值. 例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。

教学目标（一）教学知识点等差数列的前n项和公式：S” =川①=旳” 21 2（二）能力训练要求1.进一步熟练掌握等茅数列的通项公式和前n项和公式。

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关的问题。

（三）德育渗透目标提高学牛的应用意识。

教学重点熟练掌握等差数列的求和公式。

教学难点灵活应用求和公式解决问题。

教学方法讲练结合法结合具体例了讲解分析问题、解决问题的方法，从而捉高学生分析问题、解决问题的能力。

教学过程I复习回顾通项公式:a n = + （n一l）d = a m + （n一m）dDO- n 项和公式：S” ="⑷ +"〃）= g + "d dn 21 2II讲授新课利用这些公式，可以求解哪些问题呢？例1.求集合M =pnlm = 7n,n G N：\且加vlOO｝屮元素的个数，并求这些元素的和。

分析：符合M中的元素为in,且满足m=7n,m<100,7G素个数如何求？（提问式）（总结分析）满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数，这些元素中最小的是7,最大的是98,且是公差为7的等差数列。

即坷=7,色=98, d = 7,那么n的值…［生甲］彳弋d”=w+S — l）d公式可得98 = 7 + （川一1） x 7 /. n = 14.即集合M中的元素共有14个。

［生乙］还可以由加V 100,得7/? <100,即z? < —= 14-o7 7又T n G N\:. n = 14.［师］那么这些数的和…?［生］代入等差数列询n项和公式可求。

解: &2 = 12吗+ 依题设有｛答：集合M 中共有14个元素,它们的和等于735。

例2.已知一•个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n 项和的 公式吗?分析：已知S]°, S20的值求Sn 的表达式，由S“=〃d]+ ~ d 可知，如果基本量a],d 确定了，就 2可以写岀h 的表达式。

2.3第一课时等差数列的前n 项和一、课前准备 1.课时目标通过等差数列求和公式的发现，探究过程，掌握等差数列的前n 项和的公式的推导及应用，会利用等差数列通项公式与前n 项和公式研究n S 的最值.常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展，通过例题及变式训练，进一步熟悉等差数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，使学生感受数学来源于生活，又服务生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题. 2.基础预探 1.任一等差数列{}n a 中，与首末两项等距离的两相和相等，即1_____n a a +=.2.在等差数列的两个求和公式中，应根据题目条件灵活选用：_____时，宜选用1()2n n nS a a =+，_____时，宜选用()112n n n S na d -=+，因此等差数列()0d ≠前n 项和是关于n 的二次函数，且_____项为零，3.等差数列求和公式()112n n n S na d -=+可以变形为2n S pn qn =+，其中_____,_____.p q ==二、基本知识习题化 1. 在等差数列{}n a 中，123,5a a =-=，求{}n a 的前10项和10S .2. 12399100________+++++=L .3. 在等差数列{}n a 中，已知15,95,10n a a n ===，求n S .4.设等差数列{}n a 满足81335a a =，且10a >，n S 为其前n 项和，则n S 的最大值是A.10S B. 11S C. 20S D. 21S三、学习引领利用等差数列求和公式1()2n n nS a a =+与()112n n n S na d -=+求和，首先确定1,n a a ，n 或d 求解，()112n n n S na d -=+，当0d ≠是n 的一个二次函数，没有常数项，利用二次函数可以求n S 的最大值或最小值.特别注意：n 的取值为自然数，也可以用二次函数的图像求解，如果有n S 求n a 一定要注意分两种情况进行求解.等差数列求和公式的推导是数列求和的一种方法即倒序相加，在遇到多项数列求和的问题，要注意倒序相加求和的方法.等差数列的性质是解决数学问题的关键，对于数列问题首先考虑的是等差数列的特性，利用数列的特性解决问题，等差数列有几个常用的特性①S S a -=奇偶中m n p q+=+时满足m n p qa a a a +=+；②在等差数列中，每k 项的和为等差数列，即232,,k k k k k S S S S S --仍成等差数列；③在等差数列中项数为偶数时，满足-S =2nS d偶奇；当项数为奇数时满足S S a -=奇偶中，S ()n n m na a a n m d ==+-中S n na =中④()n m a a n m d =+-，充分利用等差数列的性质解决问题可以起到事办功倍的效果. 四、 典型例题题型1 利用等差数列的求和公式 已知一个等差数列{}n a 的前10项和是310，前20项和是1220，由此可以求前n 项和的公式. 变式训练1.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，410714,30S S S =-=，求9S .题型2 等差数列中的最大项问题 例2 等差数列{}n a 中，19120,a S S <=，求该数列前多少项的和最小？变式训练 2.在等差数列{}n a 中，125a =，17S =9S ，则数列的前n 项和最大？并求此最大值？题型3 等差数列的性质的应用.已知等差数列{}na中，公差0d>，其前n项和为n S，且满足231445,14a a a a⋅=+=.求数列{}na的通项公式；变式训练3.在小于100的正整数中，共有多少个被3除余2的呢？这些数的和是多少？题型4 已知数列{}n a 的前n 项和2320522n S n n =-+，求数列{}n a 的前n 项和n T . .变式训练4.在数列{}n a 中，128,2a a ==，且满足()*2120n n n a a a n N ++-+=∈. 求数列{}n a 的通项公式；设12n nS a a a =+++，求nS .。

9 2.3第二课时等差数列的前n项和的应用 、夯实基础A.12B.13C.24D.25A.7B.8C.9D.10O ，a 2o 03 92004 0，则使前n 项和S 0成立的最大自然6. 一个等差数列的前 12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32： 27，求该数列的过公差d .、巩固作业1.设S n 为数列9n 的前n 项和，a n2n 49 则Sn 取最小值时，n 的值为（）. 2.已知数列 9n 的前n 项和为 S n , S n 数列 9n 9n 1的前n 项和为Tn 帀，则 3.数列9n 的前n 项和 S n 5n 3n 2(n ），则当 n 2时，有S n nQ na n S n na n nQna n S n na nq S na 54.设Sn 等差数列9n 前n 项和, S5 3 82 98，则33的值5 a n 等差 9i 0,92003 920041 在等差数列an 中，设S a1比 a n S2 a n 1 a n 2 a 2nS n 2n 36•某公司决定给员工增加工资，提出两个方案，让每位员工自由选择其中一种.甲方案是公 司在每年末给每位员工增资 1000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元. 你会怎样选择增资方案？请说明你的理由；若保持方案甲不变，而乙方案中每半年末的增资额改为a 元，问a 为何值时，方案乙总比方 案甲增资多？（说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资总额为准；②假定员工工作年限均为整数） S 3 a 2n 1a 2n 2 a3n ，则se ，%关系为（ A 等差数列 等比数列C 等差数列或等比数列D 都不对2..已知数列｛an ｝的通项公式为1 （n € N*）,若前n 项和为 9,则项数n 为（） A.99 B.100 C.101 D.102 3.已知等差数列 a n 的公差d 2&3昂 a 7&9 0 则当 an 取得最大值时, n 等于4.设等差数列 an ， bn ，前n 项和分别为 S1，T1，若对任意自然数n 都有Tn 4n 3， a 则 b 5 b 7 b 8 b 4a 色1，a n 籍5.在数列K 中，2B 1 ，求an。

2.3第二课时等差数列的前n 项和的应用一、 课前准备1.课时目标：搞清等差数列求和公式的推导及应用，利用等差数列前n 项和的性质解决数列问题，掌握等差数列和的性质，培养学生利用数形结合的思想解决问题的方法，能够利用等差数列的和解决实际问题.2.基础预探：(1)等差数列前n 项和的公式的有两种形式①_____与②_____.(2)常用的等差数列前n 和的性质①_____；②_____；③_____.（3）若数列{},{}n n a b 均为等比数列，且前n 项的和分别为n S 和T n ，那么___.m m a b =（4）利用等差数列求和公式解决应用问题一般确定首项，公差与___.二、基础知识习题化（1）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（2）数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 （4）设等差数列}{n a 的前n 项和为,36,9,63==S S S n 若则987a a a ++= （ ）A ．63B ．45C ．36D ．27（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = 。

三、学习引领 等差数列的前n 项和的公式的(1)2n n n S na d -=+是关于n 二次函数，注意没有常数项，若有常数项不为等差数列，利用等差数列求和计算问题，首先要考虑等差数列的性质，能利用性质解决问题就利用性质来解决，遇到等差数列求和的最值问题要注意利用数形结合思想来解决，在解实际问题时，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键，注意确定首项，公差与项数；注意把所有量都用基本量1,a d 来表示，变量归一从而发现其中的规律，这就是基本思想与方法，树立目标意识，需要什么就求什么，充分合理的运用条件，时刻注意题目的目标往往也能取得与巧用性质相同的效果，从而提高思维的灵活性和对知识掌握的深刻性.四、典型例题题型一 有n S 证明等差数列数列{}n a 的前n 项和为*()n n S npa n N =∈且12a a ≠， 求常数P 的值；证明：数列{}n a 是等差数列变式训练 1.数列{}n a ，*n a N ∈，n S 是前n 项和，21(2)8n n S a =+ 求证：{}n a 是等差数列； 设1302n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和的最小值.题型二应用问题例2 2015年“七上八下”的防汛关键时刻，某抗洪指挥部接到预报，24销售后有一洪峰到达，为确保安全指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道放线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道放线？思路导析：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道放线工程.变式训练2.若只有25辆车可以抽调，则最长每隔多少分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务？题型三利用等差数列和的性质解题例3 设等差数列{},{}n na b的前n项的和分别为,n nS T，若23+1nnS nT n=，则63ab的值为（）A.2B.1C. 511 D.38变式训练 3. 已知等差数列{}na是公差不为零的等差数列，且2222mnS m mS n n-=-，求mnaa。