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第2课时 三角函数的诱导公式五～六[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ等于( )A ．2B ．－2C ．0D ．3解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2. 答案：B2．如果sin(π－α)＝－13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α的值为( )A.13 B ．－13C.223D ．－223解析：∵sin(π－α)＝－13，∴sin α＝－13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α＝13.答案：A 3．化简： 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A ．sin αB ．|sin α|C ．cos αD ．|cos α|解析：原式＝1－cos 2α＝sin 2α＝|sin α|. 答案：B4．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2x解析：f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos (π－2x )＝3＋cos 2x . 答案：C5．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13解析：利用诱导公式化简为⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得：tan α＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝3，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝31010.答案：C6．已知cos(75°＋α)＝13且－180°<α<－9 0°，则cos(15°－α)＝________.解析：因为c os(75°＋α)＝13且－180°<α<－90°，所以sin(75°＋α)＝－223，故cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－223.答案：－2237．sin(π＋θ)＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则θ角的终边在第________象限．解析：因为sin(π＋θ)＝45，所以sin θ＝－45<0，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，所以cos θ＝35>0，所以θ角的终边在第四象限． 答案：四8．若sin(180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a ，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值是________．解析：由已知得sin α＝a2，∴cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3×a 2＝－3a2.答案：－3a29．已知sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－32π)，求sin 3π－α＋5cos 3π－α3cos 3π＋α－sin 3－α的值．解析：sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－32π)，得－sin α＝2cos α.则tan α＝－2，所以sin 3π－α＋5cos 3π－α3cos 3π＋α－sin 3－α＝sin 3α＋5cos 3α－3cos 3α＋sin 3α ＝tan 3α＋5－3＋tan 3α ＝－3＋5－3＋－3＝311. 10．已知sin α＝55，且α是第一象限角． (1)求cos α的值；(2)求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－απ－α的值．解析：(1)因为α是第一象限角，所以cos α>0. 因为sin α＝55.所以cos α＝1－sin 2α＝255. (2)因为tan α＝sin αcos α＝12.所以tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－απ－α＝tan α＋－cos α－cos α＝tan α＋1＝32.[B 组 能力提升]1．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos(A 2＋C )＝sin B D ．sinB ＋C2＝cos A2解析：∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C . 所以A ， B 都不正确；同理，B ＋C ＝π－A ， 所以sin B ＋C2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，因此D 是正确的． 答案：D2．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m 3 C ．－3m 2D.3m 2解析：因为sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin α－sin α＝－m ，所以sin α＝m2，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：C3．已知角α终边上一点P (－4,3)，则π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值为________．解析：因为角α的终边过点P (－4,3)，所以tan α＝－34，则π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin α·sin α3π2－απ2＋α＝－sin 2α－π2－αα＝sin 2αsin αcos α＝sin αcos α＝tan α＝－34. 答案：－344．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角α的弧度数为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－cos 3，cos α＝sin 3，∵3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 3>0，cos 3<0.即α的终边在第一象限．∴cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π2.又∵3－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＝3－π2.答案：3－π25．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝ －2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β与3cos(－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β同时成立． 解析：存在．所需成立的两个等式可化为sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β， 两式两边分别平方相加得： sin 2α＋3cos 2α＝2， 得2cos 2α＝1，所以cos 2α＝12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以α＝π4或－π4.当α＝π4时，由3cos α＝2cos β，得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6； 当α＝－π4时，由sin α＝2sin β，得sin β＝－12，而β∈(0，π)，所以无解．。
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
