最新高三教案-2018年高考第一轮复习数学：7.1直线的方程2 精品

数学课程教案科目数学章节直线方程授课题目（教学章、节或主题）：直线方程教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1、通过本次课的学习初步建立学习的信心。

2、掌握直线方程的基本表达式。

3、直线方程的简单应用。

教学重点及难点：直线方程的简单应用。

教学基本内容方法及手段1、高三复习八大诀窍2、直线方程的五种基本表达式。

3、直线方程简单应用。

1、讲授法2、讨论法3、练习法作业、讨论题、思考题：见发给学生试卷。

课后小结：通过本次课的学习，学生掌握了直线方程的5种基本表达式及简单应用。

附页：教学内容高三第一轮复习8大诀窍高考(论坛)是大家学习中的重要环节，甚至可以说是每一位学生一生中的一个重要“关口”，而要顺利通过这个关口，高三一年的学习是至关重要的。

高考虽然是通过一次考试来选拔人才，但它绝不仅仅是一次知识上的考察，而是对学生高中三年，以至于进入学校十几年来的综合能力的检验。

高三的学习不同于高一、高二学习，他不是高一、高二的知识重复，而是基础知识的重组和提高，如何顺利完成高三一年的学习，不仅是每一位高三学生，也是学生家长迫切想知道的，下面是给同学的一些建议，希望能对同学在高三的学习过程中较好的处理各种困难，顺利进入高等学校。

1．关于“听话”高三学生首先要做到“听话”，这里的“听话”是全方位的。

如果你认为高三学习是第一位的，而忽视了对自己的日常行为的要求，那你就错了，学校和老师在高三一年中不会因为学习任务的加重，而放松对纪律的要求，反而会强化纪律以保证学习的正常进行。

学习上更要听话，而不听老师的教诲，认为自有一套很好的复习方法的学生（每年都有）最后会碰的“头破血流”的。

2．关于“上课”高考是个人行为，也是集体行为，复习中最重要的环节就是“听讲”，这就要求学生上课时紧跟老师，仔细听讲，积极思考，倾听别人的想法，提出自己的见解，在讨论中完成对知识、方法、能力的提高。

如果高三任课教师发生变化，大家应该尽快适应。

一、考纲要求：1、了解确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）；2、掌握直线方程的五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；3、熟悉直线方程各形式的特征，理解各形式之间的关系，会由已知直线方程求相关的特征量。

二、知识梳理回顾要求1．阅读教材第80页~86页，完成以下任务：（1）掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，能根据条件熟练地求出直线的方程；（2）能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式化为一般式，知道这几种形式的直线方程的局限性；2.教材第83页思考你会回答吗？你能分清121121121211x x x x y y y y x x y y x x y y --=----=--和所表示的图形吗？ 3.平面内的任意一条直线是否都可以用形如)0,(0不全为B A C By Ax =++的方程来表示？并在课本空白处完成：教材87页练习第4题。

要点解析1、确定一条直线需要两个独立的条件，一是方向（斜率或倾斜角），二是位置（一个定点）；2、点斜式方程是直线方程其它形式的源头，因此尤为重要，斜截式是点斜式的特例，两者均不能表示与x 轴垂直的直线。

截距式为两点式的特例，两者均不能表示与x ，y 轴平行的直线，截距式还不能表示过原点的直线。

直线的方程都是二元一次方程，任何一个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线。

3、求直线的方程主要有两种方法：①直接法，根据已知条件，选择适当的形式，直接写出直线的方程；②待定系数法，先设出直线方程，根据已知条件求出待定的系数，再代入，求出直线方程。

4、分类讨论、数形结合是常用的数学思想，分类讨论主要是针对斜率存在与不存在。

三、诊断练习：1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

2、诊断练习点评：1、已知点()()4,6,2,4A B --，则直线AB 的一般式方程为 。

第1课时 直线及其方程1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．『梳理自测』一、直线的倾斜角与斜率1．(教材改编)直线过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为( ) A .23 B .32 C ．－23 D ．－322．(教材改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 『答案』：1.C 2.B◆以上题目主要考查了以下内容： (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．②倾斜角的取值范围：『0°，180°)． (2)直线的斜率①定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan _α，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在．②经过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 1－y 2x 1－x 2．二、直线方程1．(教材改编)过点(－1，2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A .3x －3y ＋6＋3＝0 B .3x －3y －6＋3＝0 C .3x ＋3y ＋6＋ 3 D .3x ＋3y －6＋3＝02．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是________．3．经过两点M(1，－2)，N(－3，4)的直线方程为________． 『答案』：1.A 2.x －3y －2＝0 3.3x ＋2y ＋1＝0 ◆以上题目主要考查了以下内容： 直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k(x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含垂直于坐标轴的直线 截距式x a ＋yb＝1(ab≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用『指点迷津』1．一个关系——直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率． (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°kk ＞0不存在k ＜02.两种方法——求直线方程(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3．三个因素——确定直线的倾斜角①前提：直线l 与x 轴相交；②基准：x 轴；③方向：x 轴正向与l 向上的方向．考向一 直线的倾斜角与斜率(1)若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A .⎣⎡⎭⎫π6，π3B .⎝⎛⎭⎫π6，π2C .⎝⎛⎭⎫π3，π2D .⎣⎡⎦⎤π3，π2 (2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．『审题视点』 确定直线过的定点，结合图象，使直线绕定点转动，使之符合题意，找出边界线所处的位置．『典例精讲』 (1)由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π6，π2.(2)如图，由斜率公式，得k AP ＝1－（－3）1－2＝－4，k BP ＝1－（－2）1－（－3）＝34，∴k≥34或k≤－4.『『答案』』 (1)B (2)(－∞，－4』∪『34，＋∞)『类题通法』 直线倾斜角的范围是『0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈『0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．1．(2014·贵阳模拟)直线l 经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1『解析』选D .设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k(x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．考向二 求直线方程求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A(1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB|＝5. 『审题视点』 选择适当的直线方程形式， 把所需要的条件求出即可．『典例精讲』 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(3，2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3，2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1，4)，此时|AB|＝5， 即x ＝1为所求．设过A(1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k(x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k （x －1）.得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2y ＝4k －2k ＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.『类题通法』 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．2．(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A(－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 『解析』(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0，综上可知，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.考向三 直线方程的应用为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？『审题视点』 首先明确题目的要求，借助直线方程解决，需要建立直角坐标系，然后设出参数进行求解．『典例精讲』 如图所示，建立平面直角坐标系，则 E(30，0)、F(0，20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P(m ，n)，作PQ ⊥BC 于点Q ， PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)． 又m 30＋n20＝1(0≤m≤30)， ∴n ＝20－23m.∴S ＝(100－m)⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP||PF|＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．『类题通法』 (1)本题考查实际问题，在确定EF 的方程时，需要关注已知条件合理选择直线方程的形式，并且要注意0≤m≤30，在此范围内求最值．(2)在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决．3．已知直线l 过点P(3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．『解析』由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1.由基本不等式知3a ＋2b≥26ab， 即ab≥24(当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a·b≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0.忽视直线的特殊情况致误(2014·杭州调研)已知直线l 过点P(2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b.则直线l 的方程为________．『正解』 ①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0，0)， 此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0.②若a ＝3b≠0，设直线方程为x a ＋yb ＝1，即x 3b ＋y b＝1. 由于点P(2，－1)在直线上， 所以b ＝－13.从而直线方程为－x －3y ＝1， 即x ＋3y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0. 『『答案』』 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0 『易错点』 本题易忽视直线过原点的情况．『警示』 求直线方程时，要注意斜率是否存在，注意截距是否存在，是否为0；注意区分截距与距离．1．(2013·高考辽宁卷)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 『解析』选C .根据直角三角形的直角的位置求解．若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意； 若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a(a 3－b)＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．2．(2014·江门模拟)如果A·C ＜0，且B·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 『解析』选C .由题意知A·B·C≠0， 直线方程变为y ＝－A B x －CB .∵A·C ＜0，B·C ＜0，∴A·B ＞0， ∴其斜率k ＝－AB ＜0，又y 轴上的截距b ＝－CB ＞0，∴直线过第一、二、四象限．3．(2014·北京海淀一模)已知点A(－1，0)，B(cos α，sin α)，且|AB|＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x －3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x －2 『解析』选B .|AB|＝（cos α＋1）2＋sin 2α ＝2＋2cos α＝3， 所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B . 4．(2014·太原二模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( ) A ．36 B ．45 C ．50 D ．55『解析』选B.由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1，又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，∴n ＝9.∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45，故选B.。

高三数学第一轮复习课教学设计授课课题：直线的方程授课教师：哈尔滨市第六十四中 赵云翔教学目标知识与技能：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.掌握确定直线位置的几何要素．3.掌握直线方程的五种形式，了解斜截式与一次函数的关系.过程与方法：促进学生对求直线方程方法及贯穿其中的联系转化、数形结合思想的认识.情感态度与价值观：通过对求直线方程方法及思想的学习，感受五种形式间联系与转化.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神.教学重点1.直线的倾斜角和斜率的范围问题.2.直线方程的五种形式及其相互关系，用待定系数法求直线方程.教学难点直线的倾斜角和斜率的范围问题；具体情况下方程形式的选择。

教学过程（一）基础梳理问题一：什么是直线的倾斜角、斜率、截距1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴_______与直线l _______方向之间所成的α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_____． ②倾斜角的范围为________．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠的直线的斜率公式为k ＝___________双基自测1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：（1） A=0°（2） A=30°（3） A=90 °（4） A=120 °（5） A=135°2.求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角是钝角，锐角还是直角：(1)A （18,8），B （4，-4）；(2)C （0，0），D （-1，3）;(3)P （ b ，1 ），Q （b ， 2 ）.问题二：确定一条直线的条件有哪些？3.根据下列直线方程，指出其对应的直线的斜率，及直线在y 轴的截距：（1）y= （2）x-3y-10=04.写出满足下列条件的直线方程：（1）斜率是2，经过点A （8，-2）;（2）斜率为-4，在y 轴上的截距为7;（3）经过点A （-1,8），B （4，-2）;（4）在x 轴，y 轴上的截距分别是4，-3.（5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行;（6）经过点B （-2,0），且与x 轴垂直;(二)典例解析例题：已知直线经过点P （3,2）且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程变式训练：2.直线l 过点A （-1，-3），斜率是直线y=3x 的斜率的- 41 ，求直线l 的方程。

高中数学直线的方程教案教学目标：1. 理解直线的方程和直线的图象之间的关系。

2. 掌握直线的一般方程、点斜式方程和两点式方程的求法。

3. 能在实际问题中灵活运用直线的方程。

教学重点：1. 直线的一般方程的求法和性质。

2. 直线的点斜式方程的求法和应用。

3. 直线的两点式方程的求法和实际问题中的应用。

教学难点：1. 理解直线的一般方程和点斜式方程的转换。

2. 能应用直线的两点式方程解决实际问题。

教学准备：1. 课件：包含直线方程的相关概念和求解方法。

2. 教学用具：板书、直尺、铅笔等。

教学过程：一、导入（5分钟）教师可通过一个简单的问题引出直线方程的概念，如“如何表示一条直线在坐标系中的位置关系？”。

引导学生思考直线方程的重要性和应用场景。

二、讲解直线的一般方程（15分钟）1. 引导学生回顾直线的定义和特点。

2. 讲解直线的一般方程的定义和表示方法：Ax + By + C = 0。

3. 举例说明如何确定直线的一般方程。

三、讲解直线的点斜式方程（20分钟）1. 引导学生思考直线上已知一点和斜率的关系。

2. 讲解直线的点斜式方程的定义和表示方法：y - y₁ = k(x - x₁)。

3. 通过例题演示如何求解直线的点斜式方程。

四、讲解直线的两点式方程（20分钟）1. 引导学生思考直线上两点和直线方程的关系。

2. 讲解直线的两点式方程的定义和表示方法：(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。

3. 通过例题演示如何求解直线的两点式方程并应用于实际问题。

五、活动和练习（15分钟）1. 设计一些练习题，让学生巩固所学知识。

2. 分组讨论并互相交流解题思路和答案。

六、总结和评价（5分钟）1. 给学生提出问题，让他们回顾本节课的重点知识。

2. 对学生的课堂表现进行总结评价，鼓励他们继续努力。

七、布置作业（5分钟）布置相关习题作业，巩固本节课所学内容。

教学反思：本节课主要围绕直线的方程展开讲解，通过讲解直线的一般方程、点斜式方程和两点式方程的求法，引导学生掌握直线方程的应用方法。

第1课时 直线及其方程考纲传真1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．(2)范围：直线l 倾斜角的范围是『0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1．3．直线方程的五种形式名称方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0， A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用1．(人教A 版教材习题改编)直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 『解析』 k ＝tan α＝3，且0°≤α＜180°，∴α＝60°. 『答案』 B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1『解析』 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋a a，得a ＝－2或a ＝1.『答案』 D3．(2011·安徽高考)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3『解析』 圆的方程(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1，2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1. 『答案』 B4．已知A (3，5)，B (4，7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________． 『解析』 由已知得x －5－1－3＝7－54－3，∴x ＝－3.『答案』 －35．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________，斜截式方程是________．『解析』 ∵直线y ＝13x 的倾斜角α＝30°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线的方程为y －(－3)＝tan 60°(x －2)，即3x －y －23－3＝0，化成斜截式为y ＝3x －23－3. 『答案』3x －y －23－3＝0 y ＝3x －23－3直线的倾斜角和斜率(1) 若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 (2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．『π6，π2)∪(π2，5π6』 B ．『0，π6』∪『5π6，π)C ．『0，5π6』D ．『π6，5π6』『思路点拨』 (1)分别设出P 、Q 点的坐标，利用中点坐标公式求解．(2)根据cos α的范围确定直线斜率的范围，结合正切函数图象求倾斜角的范围．『尝试解答』 (1)设P (x ，1)，Q (7，y )， 则x ＋72＝1，y ＋12＝－1， ∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5，1)，Q (7，－3)， 故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.(2)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈『－1，1』，∴－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在『0，π2)及(π2，π)上均为增函数，故θ∈『0，π6』∪『56π，π)．『答案』 (1)B (2)B1．解答本例(2)时极易错选D ，出错的原因是忽视了正切函数在『0，π2)和(π2，π)上的变化情况．2．已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k ＝tan α的值域问题；已知斜率k 的范围求倾斜角的范围，实质上是在『0，π2)∪(π2，π)上解关于正切函数的三角不等式问题．由于函数k ＝tan α在『0，π2)∪(π2，π)上不单调，故一般运用数形结合思想解决此类问题．(2013·郑州质检)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1『解析』 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k. 令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.『答案』 D求直线的方程已知点A (3，4)，求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 『思路点拨』 (1)分截距等于0和不等于0两种情况求解． (2)直线的斜率为±1，可由点斜式写出直线方程． 『尝试解答』 (1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0，0)及(3，4) ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，则设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3，4)在直线上， ∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7， ∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1， 又过点(3，4)．由点斜式得y －4＝±(x －3)，所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.,1．截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．(1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 『解』 (1)设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.直线方程的应用图8－1－1已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图8－1－1所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．『思路点拨』 本题中条件与截距有关，可设直线方程为截距式，也可根据直线过点P (3，2)，把直线方程设为点斜式，然后求出横纵截距．『尝试解答』 法一 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则A (a ，0)，B (0，b )，△ABO 的面积S ＝12ab ，∵直线l 过点P (3，2)， ∴3a ＋2b＝1≥2 6ab，即ab ≥24. 当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．∴S ＝12ab ≥12，当且仅当a ＝6，b ＝4时有最小值12.此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)． 令x ＝0，得y ＝2－3k ，令y ＝0，得x ＝3－2k ，即A (3－2k，0)，B (0，2－3k )．∴S △ABO ＝12(2－3k )(3－2k )＝12『12＋(－9k )＋4（－k ）』≥12『12＋2 （－9k ）·4（－k ）』＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k时， 即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.,1．解答本题的关键是面积最小值的求法，两种解法都使用了均值不等式，仔细体会法一中的解法．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．在本例条件下，求l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程．『解』 设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2， 令x ＝0，得B (0，2－3k )；令y ＝0，得A (3－2k ，0)．∴l 在两轴上的截距之和为2－3k ＋3－2k ＝5＋『(－3k )＋(－2k )』≥5＋26，(当且仅当k ＝－63时，等号成立)， ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小， 此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.一条规律斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．两种方法求直线方程的方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数的方程(组)．求出待定系数，从而求出直线方程．三点注意1.求直线的倾斜角时要注意其范围．2．应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点．直线的倾斜角与斜率、直线方程一般不单独考查，多与导数、圆、圆锥曲线等其他知识点交汇命题，结合直线的斜率与方程，考查其他曲线的综合应用．考查转化思想及数形结合思想的应用．思想方法之十五转化思想在直线方程中的应用(2012·北京高考)某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图8－1－2所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为()图8－1－2A ．5B ．7C ．9D ．11『解析』 依题意S nn 表示图象上的点(n ，S n )与原点连线的斜率，由图象可知，当n ＝9时，S nn 最大，故m ＝9.『答案』 C易错提示：(1)本题出错主要原因是不能将问题转化为图象上的点与原点连线的斜率问题．(2)题意理解不清、盲目作答．防范措施：(1)正确理解和掌握斜率公式的结构特征，并灵活应用． (2)提高分析问题、解决问题的能力，注意文字、图形、符号间转化．1．(2013·烟台模拟)已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14『解析』 ∵{a n }为等差数列，a 4＝15，S 5＝55， ∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3＝11， ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝4.『答案』 A2．(2013·江门模拟)如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 『解析』 由题意知A ·B ·C ≠0， 直线方程变为y ＝－A B x －CB .∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0， ∴其斜率k ＝－AB <0，又y 轴上的截距b ＝－CB >0.∴直线过第一、二、四象限． 『答案』 C。