第22章 二次函数图像与性质拔高题【答案】(精编文档).doc

第22 章二次函数难题精编一．选择题（共28小题）1．若整数a使得关于x的分式方程有整数解，且使得二次函数y＝（a﹣2）x2+2（a﹣1）x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．12B．15C．17D．202．用一根铁丝围成正方形、长方形、正三角形和圆，那么面积最大的是（）A．长方形B．正方形C．正三角形D．圆3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2a+c＜0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝，x2＝﹣1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+1）（x﹣3）+2＝0的两个根，则m＜﹣1且n＞3．其中正确的结论有（）个．A．2B．3C．4D．54．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，可得m的取值范围为（）A．＜m≤B．≤m＜C．0＜m＜D．0＜m≤5．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与x轴交于点A，与二次函数交于点B、点C，点A、B、C三点的横坐标分别是a、b、c，则下面四个等式中不一定成立的是（）A．a2+bc＝c2﹣ab B．＝C．b2（c﹣a）＝c2（b﹣a）D．＝+6．将函数y＝﹣x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（）A．2.5B．3C．3.5D．47．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在B（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论不正确的是（）A．9a+3b+c＝0B．4b﹣3c＞0C．4ac﹣b2＜﹣4a D．＜a＜8．已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值9．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确的判断有（）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③10．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5，当x≤2时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤3B．﹣1≤a≤2C．2≤a≤3D．2≤a≤411．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B 的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（）A．①②B．①②⑤C．②③④D．①②④⑤12．已知二次函数y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），下列说法中：①m≠﹣1；②该函数图象过定点（1，﹣1）；③若该函数图象开口向下，则m的取值范围为﹣2＜m＜﹣1；④当m＞0，且﹣2≤x≤﹣1时，y的最大值为：9m+3；⑤当m＞﹣1，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2时，m的取值范围为：﹣＜m＜．正确是（）A．①②③B．①③④C．②③④⑤D．①②③⑤13．已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y114．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．﹣3＜c＜﹣2C．﹣2＜c＜D．c＞15．函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（）A．m＝2b+5B．m＝4b+8C．m＝6b+15D．m＝﹣b2+416．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①a+c＜0；②1≤a ≤；③c＝a+m；④关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个17．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0B．4a+c＞0C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞018．如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1，有以下四个结论：①ab ＜0，②b＜，③a＝﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确的结论是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④19．已知二次函数y＝x2﹣bx+a﹣3的图象与x轴有交点，对称轴位于y轴左侧，则当关于a，b的代数式（a﹣6）2+b2有最小值时，该二次函数的顶点坐标为（）A．（1，0）B．（1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）20．表中所列x、y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7x…x1x2x3x4x5x6x7…y…6m11k11m6…根据表中提供约信息，有以下4个判断：①a＜0；②6＜m＜11；③当x＝时，y的值是k；④b2≥4a（c﹣k）；其中判断正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④21．如图是抛物线y＝﹣（x+1）2+k的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点（0，3），与x轴的一个交点为A，连接MO，MA．以下结论：①k＝3；②抛物线经过点（﹣2，3）；③S△OMA＝4；④当x＝﹣3+时，y＞0．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④22．如图，抛物线y＝x2+x+3与直线y＝﹣x﹣交于A，B两点，点C为y轴上点，当△ABC周长最短时，周长的值为（）A．+5B．+3C．+3D．+523．如图，已知抛物线y1＝x2﹣2x，直线y2＝﹣2x+b相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．当x 任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，取m＝（|y1﹣y2|+y1+y2）．则（）A．当x＜﹣2时，m＝y2B．m随x的增大而减小C．当m＝2时，x＝0D．m≥﹣224．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜025．如图，直线y＝kx（k＞0）分别与二次函数y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝x2﹣6x+6在各自对称轴左侧的图象交于A，B两点，若平移直线y＝kx（k＞0），AB长度保持不变，则k的值为（）A．B．C．D．226．已知函数y＝4x2﹣4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），且（x1+x2）（4x12﹣5x1﹣x2）＝10，则该函数的最小值为（）A．12B．﹣12C．13D．﹣1327．如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB 是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）28．如图，已知抛物线y＝﹣x2+m（m＞0）的图象分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D是y轴上一点，线段BC的延长线交线段AD于点P．若BP＝，△DPC与△COB的面积相等，则点C的坐标为（）A．（0，6）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）二．解答题（共7小题）29．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内的抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+ CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线BC的方向平移个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点G．点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．30．如图，已知抛物线C1的顶点为E（，﹣），与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣2）；（1）求抛物线C1的解析式；（2）点D是抛物线C1上一点，且∠ACO+∠BCD＝45°，求点D的坐标；（3）M为抛物线在点B右侧上的一点，M与N两点关于抛物线的对称轴对称，MB，NA分别交y轴于P、Q两点，求OP﹣2OQ的值．31．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．32．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．抛物线顶点纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的解析式及C点坐标．（2）如图1，过C作x轴的平行线，与抛物线交于点M，连接AM、BM，在y轴上是否存在点N，使∠ANB＝∠AMB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）把线段OC绕O点顺时针旋转，使C点恰好落在抛物线对称轴上的点P处，如图2，再将线段OP绕P点逆时针旋转45°得线段PQ，请计算Q点坐标，并判断Q点在抛物线上吗？33．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式；（2）E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP．①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标；②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出m的值．34．如图，直线y＝x﹣3与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，3）．△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（t＞0）秒，直线DF交x轴于点G，交抛物线于点P，连接PE．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当S△PEF＝3时，请求出t的值；（3）如图2，点M为抛物线顶点，在平面内找一点N，使点O，M，F，N为顶点构成菱形，请直接写出满足条件的点N的坐标．35．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3，与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴的交于点C．点P是线段BC上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）连接CD、DB．当△BDC的面积最大时，求△BDC面积的最大值以及此时点P的坐标？（3）是否存在点P，使得△PCD是等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由．第22 章二次函数难题精编参考答案与试题解析一．选择题（共28小题）1．若整数a使得关于x的分式方程有整数解，且使得二次函数y＝（a﹣2）x2+2（a﹣1）x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．12B．15C．17D．20【分析】由抛物线的性质得到，然后通过解分式方程求得a的取值；然后求和．【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2+2（a﹣1）x+a+1的值恒为非负数，∴，解得a≥3，解关于x的分式方程得到：x＝，由x≠2得，a≠5，由于a、x是整数，所以a＝3，x＝6，a＝4，x＝3，a＝8，x＝1，同理符合a≥3的a值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a的值之和＝3+4+8＝15，故选：B．【点评】本题考查的是抛物线和x轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．2．用一根铁丝围成正方形、长方形、正三角形和圆，那么面积最大的是（）A．长方形B．正方形C．正三角形D．圆【分析】设铁丝的长度为a，用函数的观点求出相应图形的面积即可．【解答】解：设铁丝的长度为a，①当围成长方形时，设长为x，则宽为（a﹣x），则长方形的面积＝x×（a﹣x）＝﹣x（x﹣a），当x＝a时，长方形的面积最大为，此时长方形为正方形，即正方形的面积大于长方形的面积；②当围成正三角形时，则三角形的边长为a，则正三角形的面积为×a×a sin60°＝；③当围成圆时，则圆的半径为，则圆的面积为π（）2＝；而＞＞，即圆的面积最大，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，进行数据处理．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2a+c＜0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝，x2＝﹣1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+1）（x﹣3）+2＝0的两个根，则m＜﹣1且n＞3．其中正确的结论有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，于是①不正确；当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，因此②正确；抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，又x＝﹣＝1，有2a+b＝0，所以3a+c＝0，而a＜0，因此2a+c＞0，③不正确；抛物线与x轴交点（3，0），（﹣1，0），即方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1；因此cx2+bx+a ＝0的两根x1＝，x2＝﹣1，故④正确；抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点（3，0），（﹣1，0），且a＜0，因此当y＝﹣2时，相应的x的值大于3，或者小于﹣1，即m＜﹣1，n＞3，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：②④⑤，故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的a、b、c的值决定抛物线的位置是正确判断的关键．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，可得m的取值范围为（）A．＜m≤B．≤m＜C．0＜m＜D．0＜m≤【分析】根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．【解答】解：如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，对称轴x＝1，∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），当抛物线经过（﹣1，0）时，m＝，当抛物线经过点（﹣2，0）时，m＝，∴m的取值范围为＜m≤．故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与x轴交于点A，与二次函数交于点B、点C，点A、B、C三点的横坐标分别是a、b、c，则下面四个等式中不一定成立的是（）A．a2+bc＝c2﹣ab B．＝C．b2（c﹣a）＝c2（b﹣a）D．＝+【分析】将点A（a，0）坐标代入一次函数表达式，求得一次函数的表达式为y＝mx﹣am，而点B、C 在该二次函数上，则，对①②两式进行处理，即可求解．【解答】解：一次函数y＝mx+n与x轴的轴交于点A，故点（a，0），将点A（a，0）坐标代入一次函数表达式得：0＝am+n，解得：n＝﹣am，故一次函数的表达式为y＝mx﹣am，∵点B、C在一次函数上，故点B、C的坐标分别为（b，mb﹣ma）、（c，mc﹣ma），设二次函数的表达式为y＝Ax2，点B、C在该二次函数上，则，（1）②﹣①得：A（b2﹣c2）＝m（c﹣b），等式两边同除以Ab2得，，即，故B正确，不符合题意；（2）①÷②得：③，即C正确，不符合题意；（3）化简③得：a＝，即＝，故D正确，不符合题意；（4）化简A得：a2﹣c2＝﹣bc﹣ab，化简得：a+b＝c，而从上述各式看，该式不一定成立，故A符合题意，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，涉及到一次函数图象上点的特征，确定二次函数表达式是本题解题的关键．6．将函数y＝﹣x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（）A．2.5B．3C．3.5D．4【分析】令y＝0，则x＝1±，设抛物线于x轴右侧的交点A（1+，0），翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+m，当x＝4时，y′＝8﹣m，当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可，即可求解．【解答】解：如下图，函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，故顶点P的坐标为（1，m+1），令y＝0，则x＝1±，设抛物线于x轴右侧的交点A（1+，0），根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+m，当x＝4时，y′＝8﹣m，当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；①当点A在直线x＝4的左侧时（直线n所处的位置），即1+＜4，解得：m＜8；当函数在点P处取得最大值时，即m+1≥8﹣m，解得：m≥3.5，当m＝3.5时，此时最大值最小为3.5；当函数在x＝4处取得最大值时，即m+1≤8﹣m，解得：m≤3.5，m最大为3.5时，此时最大值为m+1＝4.5，故m＝3.5；②当点A在直线x＝4的右侧时（直线m所处的位置），即1+＞4，解得：m＞8；函数的最大为m+1＞9＞3.5；综上，m＝3.5，故选：C．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．7．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在B（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论不正确的是（）A．9a+3b+c＝0B．4b﹣3c＞0C．4ac﹣b2＜﹣4a D．＜a＜【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与x轴、y轴的交点坐标综合进行判断即可．【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），有﹣＝1，即2a+b＝0，图象过点（3，0），因此，9a+3b+c＝0，故选项A不符合题意；图象过点（﹣1，0），故有a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，∴4b﹣3c＝b+3a＝﹣2a+3a＝a＞0，因此选项B不符合题意，由于﹣2＜c＜﹣1，对称轴为x＝1，因此顶点的纵坐标小于﹣1，即＜﹣1，就是4ac﹣b2＜﹣4a，故选项C不符合题意；由﹣2＜c＜﹣1，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可得，﹣2＜﹣3a＜﹣1，所以＜a＜，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，数形结合，不等式的性质以及等量代换在解题过程中起到非常重要的作用．8．已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值【分析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE ＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出45°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围，当a，b异号时，m＝0，当a＝﹣，b＝时，n最小＝，即可得出n﹣m 的范围；②当n﹣m＝1时，当a，b同号时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判断出45°≤∠MNH＜90°，当a，b异号时，m＝0，则n＝1，即可求出a，b，即可得出结论．方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．【解答】解：方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，∴∠BCD＝90°，∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，∵点A，B在抛物线y＝x2上，且a，b同号，∴45°≤∠ABC＜90°，∴tan∠ABC≥1，∴n﹣m≥1，当a，b异号时，m＝0，当a＝﹣，b＝时，n＝，此时，n﹣m＝，∴≤n﹣m＜1，即n﹣m≥，即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为，故选项C，D都错误；②当n﹣m＝1时，如图2，当a，b同号时，过点N作NH⊥MQ于H，同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，在Rt△MHN中，tan∠MNH＝＝，∵点M，N在抛物线y＝x2上，∴m≥0，当m＝0时，n＝1，∴点N（0，0），M（1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴≥1，当a，b异号时，m＝0，∴n＝1，∴a＝﹣1，b＝1，即b﹣a＝2，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；故选：B．方法2、当n﹣m＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，当a，b在y轴两侧时，当a＝﹣，b＝时，n﹣m取到最小，最小值为，因此，只有选项B正确，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键．9．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确的判断有（）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③【分析】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；②根据二次函数的性质进行判断；③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确；综上所述，正确的结论是①③④．故选：C．【点评】本题是二次函数的应用，主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．10．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5，当x≤2时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤3B．﹣1≤a≤2C．2≤a≤3D．2≤a≤4【分析】对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，只需最大值与最小值的差小于等于4即可，进而求解．【解答】解：函数的对称轴为x＝a，而x≤2时，函数值随x增大而减小，故a≥2；∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，∴x＝a时，函数的最小值＝5﹣a2，故函数的最大值在x＝1和x＝a+1中产生，则x＝1，x＝a+1那个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值，∵a≥2，∴a﹣1≥1，而a+1﹣a＝1，∴1距离a更远，∴x＝1时，函数取得最大值为：6﹣2a，∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，只需最大值与最小值的差小于等于4即可，∴6﹣2a﹣（5﹣a2）≤4，a2﹣2a﹣3≤0，解得﹣1≤a≤3，而a≥2，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，|y1﹣y2|≤4转换为最大值与最小值的差小于等于4，是解题的关键．11．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B 的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（）A．①②B．①②⑤C．②③④D．①②④⑤【分析】①由顶点坐标公式判断即可；②根据图象得到一次函数y＝kx+b当y的值随的x的增大而增大，抛物线当x大于0时y的值随的x的增大而增大，本选项正确；③AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知矛盾；④三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y＝﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．【解答】解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时y的值随的x的增大而增大，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，则正确的结论有①②⑤．故选：B．【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函数的增减性，关于y轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题⑤的关键．12．已知二次函数y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），下列说法中：①m≠﹣1；②该函数图象过定点（1，﹣1）；③若该函数图象开口向下，则m的取值范围为﹣2＜m＜﹣1；④当m＞0，且﹣2≤x≤﹣1时，y的最大值为：9m+3；⑤当m＞﹣1，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2时，m的取值范围为：﹣＜m＜．正确是（）A．①②③B．①③④C．②③④⑤D．①②③⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①函数为二次函数，故m+1≠0，故m≠﹣1，正确；②当x＝1时，y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2＝﹣1，正确；③该函数图象开口向下，且与x轴有两个交点，故m+1＜0，△＝（﹣2m）2﹣4（m+1）（m﹣2）＞0，解得：﹣2＜m＜﹣1，故③正确；④函数的对称轴为﹣＝，当m＞0时，﹣＞0，故函数在x＝﹣2时，取得最大值，当x＝﹣2时，y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2＝9m+2，故④错误；⑤由﹣2＜x1＜﹣1知，当x＝﹣2和x＝﹣1函数值异号，当x＝﹣2时，y＝9m+2，当x＝﹣1时，y＝4m﹣1，故（9m+2）（4m﹣1）＜0，故m的取值范围为：﹣＜m＜，正确．故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．13．已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【分析】逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解．【解答】解：抛物线开口向上，对称轴为x＝a，点A、B的情况：n＞m，故点B比点A离对称轴远，故y2＞y1；点A、C的情况：m＜b，故点C比点A离对称轴远，故y3＞y1；点B、C的情况：b＜n，故点B比点C离对称轴远，故y2＞y3；故y1＜y3＜y2，故选：B．【点评】本题的关键是找到二次函数的对称轴；掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．14．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．﹣3＜c＜﹣2C．﹣2＜c＜D．c＞【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由△＞0且x＝1时y＞0，即可求解．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1﹣4c＞0①，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2+x+c＝2+c＞0②，联立①②并解得：﹣2＜c＜；故选：C．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．15．函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（）A．m＝2b+5B．m＝4b+8C．m＝6b+15D．m＝﹣b2+4【分析】由韦达定理得：x1•x2＝6，而x2﹣x1＝4，求出x1、x2的值，函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＜3，故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即可求解．【解答】解：函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1•x2＝6，而x2﹣x1＝4，解得：x1＝﹣2，x2＝2+，∵x1+x2＝﹣2b，∴b＝﹣；函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＞3，故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即m＝y＝x2+2bx+6＝15+6b，故选：C．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是利用韦达定理处理根和系数之间的关系．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①a+c＜0；②1≤a ≤；③c＝a+m；④关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故a+c＜0，正确，符合题意；②函数的对称轴为x＝1，故b＝﹣2a，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，故a＝﹣c，而﹣4≤c≤﹣3，故1≤a≤，正确，符合题意；③由②知，b＝﹣2a，c＝﹣3a，所以m＝a+b+c＝﹣4a，则a+m＝﹣3a＝c，故③正确，符合题意；④y＝ax2+bx+c向上平移m个单位时，抛物线顶点在x轴上，故ax2+bx+c+﹣m+1＝0，无实数根，故④正确，符合题意；故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．17．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0B．4a+c＞0C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，而a＜0，故4a+c＜0，故B错误，符合题意；。

人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质一、选择题1. 二次函数y＝－x2＋1的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C.下列说法中，错误．．的是()A．△ABC是等腰三角形B．点C的坐标是(0，1)C．AB的长为2 D．y随x的增大而减小2. （2020·宿迁）将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（）A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2－1 D．y＝(x－1)2＋53. 如图所示，根据图象提供的信息，下列结论正确的是()A．a1>a2>a3>a4B．a1<a2<a3<a4C．a4>a1>a2>a3D．a2>a3>a1>a44. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋45. (2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根6. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x ＝1D. 抛物线与x 轴有两个交点7. 已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( ) A ．1或－5 B ．－1或5 C ．1或－3 D ．1或38. 二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( )二、填空题9. 抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．10. 若二次函数y ＝2x 2＋bx ＋3的图象的对称轴是直线x ＝1，则常数b 的值为________．11. 二次函数y ＝－2x 2－4x ＋5的最大值是________．12. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y ＝－3x 2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．13. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42Ma b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)14. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，有下列结论： ①abc ＞0； ②3a ＋c ＜0； ③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形． 其中正确结论的序号为________．15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．16. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．三、解答题17. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．18. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] 由解析式y＝－x2＋1可知，图象是以y轴为对称轴的抛物线，它与横轴的交点坐标为(－1，0)，(1，0)，顶点坐标为C(0，1)(选项A，B 正确)；AB＝2(选项C正确)．在对称轴的两侧，函数y随x的增减性不同(选项D错误)．故选D.2. 【答案】D【解析】将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是y＝(x－1)2＋2＋3，即y＝(x－1)2＋5，故选D．3. 【答案】A[解析] 开口越大，|a|越小，故a1>a2>a3>a4.故选A.4. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.5. 【答案】C【解析】依题意得a＋b＋c＝－1．∴c＝－(1＋a＋b)．∵原方程的判别式△＝b2－4ac＝b2＋4a(1＋a＋b)＝b2＋4a＋4a2＋4ab＝(2a＋b)2＋4a＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝c a＋b a＋1＝1a(a ＋b ＋c )＝－1a＜0．∴x 1－1与x 2－1异号，这说明x 1，x 2中一个大于1，另一个小于1．故选C ．6. 【答案】D 【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A 选项错误；由于当x ＝2时，y ＝8－3＝5，所以B 选项错误；由于y ＝2x 2－3的对称轴是y 轴，所以C 选项错误；由2x 2－3＝0得b 2－4ac ＝24>0，则该抛物线与x 轴有两个交点，所以D 选项正确．7. 【答案】B 【解析】∵二次函数y ＝(x －h )2＋ 1，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝h ，∴二次函数值在x <h 时，y 随x 的增大而减小，在x >h 时，y 随x 的增大而增大，∴①当h ＜1时，在1≤x ≤3中，x ＝1时二次函数有最小值，此时(1－h )2＋ 1＝5，解得h ＝－1或h ＝3(舍去)；②当1≤h ≤3时，x ＝h 时，二次函数的最小值为1；③当h ＞3时，在1≤x ≤3中，x ＝3时二次函数有最小值，此时，(3－h )2＋ 1＝5，解得h ＝5或h ＝1(舍去)，综上所述，h 的值为－1或5.8. 【答案】D [解析] 由一次函数y ＝ax ＋a 可知，其图象与x 轴交于点(－1，0)，排除A ，B ；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第一、二、三象限；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向下，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第二、三、四象限．排除C.二、填空题9. 【答案】下 y 轴 (0，0) 减小 增大10. 【答案】－4[解析] ∵二次函数y ＝2x 2＋bx ＋3的图象的对称轴是直线x ＝1，∴x ＝－b2×2＝1，∴b ＝－4. 则b 的值为－4.11. 【答案】712. 【答案】y ＝－3(x －2)213. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<， 即M N <， 故答案为：<．14. 【答案】②③ [解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x ＝m －12＝－b 2a， ∴－ba ＝m －1.∵1＜m ＜3，∴ab ＜0.画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0， ∴b ＞0.把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0， ∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误． 当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确． ∴－ba ＝m －1，∴a(m －1)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确．当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋c ， ∴P(b 2，b ＋1＋b 24)．若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形， ∴b ＋1＋b 24＝b2＋1，∴b ＝－2或b ＝0.∵b ＞0，∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形， 故④错误． 故答案为②③.15. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．16. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）bb＝3－ 3.三、解答题17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1， ∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧． 又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大， ∴m ＜n.18. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2， 所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)22.2 二次函数与一元二次方程 一．选择题1．关于x 的二次函数y ＝﹣2x 2+4x +m 2+2m ，下列说法正确的是（ ） A ．该二次函数的图象与x 轴始终有两个交点 B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 C ．当该二次函数的图象经过原点时，m ＝﹣2D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值2．已知直线l经过点（0，6）且平行于x轴，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线l 相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣4＜x＜4 B．x＞4 C．x＜﹣4 D．﹣2＜x＜4 3．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．54．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（1，3）C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点5．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（，0）B．（3，0）C．（，0）D．（2，0）6．对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（）个①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．A．1 B．2 C．3 D．47．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．38．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B （0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C．a＝D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y29．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．①④D．②③④10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（）A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0 12．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a ＝﹣5B．当x＝12时，y有最小值a﹣9C．x＝2对应的函数值比最小值大7D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点二．解答题13．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）与点B（3，0），与y轴交于点C （0，3），P为抛物线上的点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）若△P AB的面积为，求P点的坐标．14．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．（I）求二次函数的表达式．（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．15．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．参考答案一．选择题1．解：A．由题意得：△＝42﹣4×（﹣2）×（m2+2m）＝8（m+1）2+8＞0，故该二次函数的图象与x轴始终有两个交点，故A正确，符合题意；B．函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，故当x＞1时，y随x的增大而增大，故B错误，不符合题意；C．当该二次函数的图象经过原点时，即x＝0时，y＝﹣2x2+4x+m2+2m＝m2+2m ＝0，解得：m＝0或﹣2，故C错误，不符合题意；D．函数的对称轴为x＝1，此时y＝m2+2m+2＝（m+1）2+1≥1，故顶点的纵坐标最小值为1，故D错误，不符合题意．故选：A．2．解：∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，∵C（0，﹣2），则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2；则CD＝6﹣（﹣2）＝8，则点B（8，6），将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2，令y＝0，则x＝±4，故y＜0时，﹣4＜x＜4，故选：A．3．解：由题意可知，二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象开口向上，经过定点（0，﹣1），最小值为﹣2，则二次函数y＝ax2+bx﹣1 的大致图象如图1所示，函数y＝|ax2+bx﹣1|的图象则是由二次函数y＝ax2+bx﹣1位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，由图2可知，方程|ax2+bx﹣1|＝2 的不相同实数根的个数是3个，故选：B．4．解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，∴抛物线与x轴有两个交点．故选：C．5．解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，即x2﹣1＝2，得x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），6．解：①∵a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3，∴y＝x2﹣2|x|﹣3的图象关于y轴对称，故①正确；②∵y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣4，故②正确；③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣2|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣1）2＝0，解得x＝±1，有两个不相等的实数根，此时m＝﹣4＜﹣3，故③错误；④∵直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，∴方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，∴方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）与方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）一共有3个解，∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个相等的负数根；或当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有一个负数根；或方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．即或或，解得，b＝﹣，或b＝﹣3，∴当b＝﹣或b＝﹣3时，直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，故④错误；故选：B．7．解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，∴点A1（4，0），∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，∴m＝﹣3，故选：C．8．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以A选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m，∴a＝，所以C选项的结论正确；∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t ＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误．故选：D．9．解：依照题意，画出图形如下：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为x＝﹣1，∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：，可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于0，∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3时，当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，故选：C．10．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确，当x＝﹣1时，0＝a﹣b+c，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c＝3b，故②错误；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）∴点C（0，﹣3a），当BC＝AB时，4＝，∴a＝﹣，当AC＝BA时，4＝，∴a＝﹣，∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点D（1，4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a＝﹣，若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或﹣，故④错误．故选：B．11．解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，∵抛物线的对称轴为x＝2，∴＝2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误；∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，∴﹣1＜4﹣x2＜0，解得：4＜x2＜5，故选项B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，∴ab＜0，故选项D错误；故选：B．12．解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：，若过点（4，5），则，解得：a＝﹣5，故选项正确；B、∵，开口向上，∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，故选：C．二．解答题13．解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点A、B的坐标知，AB＝4，∵△P AB的面积为＝AB×|y P|＝，即×4×|y P|＝，解得y P＝，∴﹣x2+2x+3＝，解得x＝或或或，故点P的坐标为（，）或（，）或（，﹣）或（，﹣）．14．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝4﹣8+3＝﹣1，故顶点坐标为（2，﹣1）．15．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣3上，∴b＝﹣2，∴抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标（1，﹣4）；（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0），由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM＝BC为最小值，而BC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，故点M（1，﹣2）．22.3【实际问题与二次函数】一．选择题1．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为：y＝﹣（x﹣25）2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（）m．A．12B．25C．13D．142．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y 关于x的函数表达式是（）A．y＝7.9（1+2x）B．y＝7.9（1﹣x）2C．y＝7.9（1+x）2D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）23．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）4．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A．1米B．2米C．5米D．6米5．某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1﹣x）2B．y＝a（1+x）2C．y＝ax2D．y＝x2+a6．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是（）A．14B．15C．16D．不能确定7．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．2B．2或C．2或或D．2或或8．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5B．有最大值2，有最小值1.5C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D．有最大值2，无最小值9．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．3或5B．﹣1或1C．﹣1或5D．3或110．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x二．填空题11．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s．12．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为．13．已知抛物线y＝x2+5的最小值是y＝．14．一抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面的宽为m．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．三．解答题16．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y＝﹣x2，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为多少米？17．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x 的函数关系式；（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．18．阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20米长的院墙，另三边用总长为32米的离笆恰好围成．如图，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．19．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？20．已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点Q从点B出发，沿B→C方向匀速运动，速度为每秒1个单位；同时点P以相同的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动；当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动的时间为t，连接PQ（1）求△QPC的面积S与t的函数关系式，并求出s的最大值．（2）连接BP，问是否存在某一时刻，使△BQP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵y＝﹣（x﹣25）2+12，顶点坐标为（25，12），∵﹣＜0，∴当x＝25时，y有最大值，最大值为12．故选：A．2．解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．故选：C．3．解：∵长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，∴y与x之间的关系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x（0＜x＜6）．故选：A．4．解：方法一：根据题意，得y＝x2+6x（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x＝＝2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．5．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．6．解：由已知得：y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x，＝﹣x2+8x，＝﹣（x﹣4）2+16，又y2＝﹣2x2+6x≥0，解得：0≤x≤3，∴当x＝3时，y＝0，所以x2+y2+2x的最大值为15．故选：B．7．解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣（舍），最大当﹣2≤m≤1，x＝m时，y＝m2+1＝4，解得m＝﹣；最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，当m＞1，x＝1时，y最大解得m＝2，综上所述：m的值为﹣或2，故选：B．8．解：∵二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，∴x＝1时，有最大值2，x＝4时，有最小值﹣2.5．故选：A．9．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：C．10．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．故选：D．二．填空题11．解：∵h＝30t﹣5t2，∴当h＝0时，t＝0或t＝6，∴水流从喷出至回落到水池所需要的时间是：6﹣0＝6，故答案为：6．12．解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．故应填：y＝x2+6x．13．解：∵a＝1＞0，∴当x＝0时，y有最小值，最小值为5．故答案为5．14．解：如图：以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意设二次函数解析式为：y＝ax2+2把A（2，0）代入，得a＝﹣，所以二次函数解析式为：y＝﹣x2+2，当y＝﹣1时，﹣x2+2＝﹣1解得x＝±．所以水面的宽度为2．故答案为2．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．三．解答题16．解：在y＝﹣x2中，当y＝﹣时，x＝±，故水面的宽度为＝（米）．答：水面的宽度为米．17．解：（1）根据题意得：w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000；（2）w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，∵a＝﹣10＜0，∴对称轴为x＝25，＝12250（元）∴当销售价格定为40+25＝65时，W最大值答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．18．解：（1）由题意可得，S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，∵，解得，6≤x＜16，即S与x之间的函数关系式是S＝﹣2x2+32x（6≤x＜16）；（2）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∴当x＝8时，S有最大值，最大值是128平方米．19．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+170；（2）W＝（x﹣90）（﹣x+170）＝﹣x2+260x﹣15300，∵W＝﹣x2+260x﹣15300＝﹣（x﹣130）2+1600，而a＝﹣1＜0，∴当x＝130时，W有最大值1600．答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．20．解：（1）过P作PG⊥BC于G，由题意得：BQ＝CP＝t，∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，sin∠C＝，∴，∴PG＝，S＝＝•（5﹣t）＝﹣（0≤x≤4）；（2）由勾股定理得：PB2＝32+（4﹣t）2，PQ2＝+（5﹣t﹣t）2，△BQP为等腰三角形时，分三种情况：①当BQ＝PQ时，t2＝+（5﹣t﹣t）2，13t2﹣90t+125＝0，（t﹣5）（13t﹣25）＝0，t1＝5（舍），t2＝，②当PB＝PQ时，32+（4﹣t）2＝+（5﹣t﹣t）2，13t2﹣50t＝0，t（13t﹣50）＝0，t1＝0，t2＝；③当PB＝BQ时，32+（4﹣t）2＝t2，8t＝25，t＝，综上所述，当t＝s或s或s时，△BQP为等腰三角形．。

人教版 九年级数学上册 第23章 二次函数图像与性质专题练习（含答案）巩固练习1．下列函数是二次函数的有（ ）()()222222(1)1;(2);(3)(3);(4);(5)623212y x y y x x y ax bx c y y xx x x =+=-==-=++=+；－A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个 2.关于，，的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4.已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 5.已知二次函数213x y -=、2231x y -=、2323x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）A 、321y y y <<B 、123y y y <<C 、231y y y <<D 、132y y y <<6．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 7．已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；213y x =2y x =23y x =2y x =2y x =-2y ax bx c =++0a ≠0abc >②a +b +c >0 ③a -b +c <0；；其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8. 已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10）， 则这条抛物线的表达式为（ ）A. y =3－2 B ．y =3＋2 C ．y =3－2 D ．y =－32)1(-x +29．抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A.B. C. D. 10．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）11.与抛物线y =－x 2+3x －5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（ ） A. y = x 2+3x －5 B. y =－x 2x C. y =x 2+3x －5 D. y =x 2 12．对抛物线y =－3与y =－＋4的说法不正确的是（ ）A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反 13.对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标 B ．开口向上，顶点坐标 C ．开口向下，顶点坐标D ．开口向上，顶点坐标2(1)x -2(1)x +2(1)x +23y x =23(1)2y x =--23(1)2y x =+-23(1)2y x =++23(1)2y x =-+244y x x =--1212121222(2)x -22(2)x -21(5)33y x =--+(53)，(53)，(53)-，(53)-，14．抛物线y =的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ） A ．m ＜－1或m ＞2 B ．m ＜0或m ＞－1 C ．－1＜m ＜0 D ．m ＜－115.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）16．函数y =＋2x －5的图像的对称轴是（ ） A ．直线x =2 B ．直线a =－2 C ．直线y =2 D ．直线x =4 17.二次函数y =图像的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 18．如果抛物线y =的顶点在x 轴上，那么c 的值为（ ）A ．0B ．6C ．3D ．919．已知二次函数，如果a ＞0,b ＜0,c ＜0，那么这个函数图像的顶点必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20.若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y =x 2+4x -5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 2 二、填空题：21.二次函数（0<a ）的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

第二十二章第1节《二次函数的图象和性质》解答题专题 (10)1．已知关于x 的方程2(41)40kx k x -++=． （1）当k 取何值时，方程有两个实数根；（2）若二次函数2(41)4y kx k x =-++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值并用配方法求出抛物线的顶点坐标．2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点．（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值．3．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12xx <，若222133x x k +=（k 为正整数），我们把该抛物线称为“B 系抛物线”．特例感知（1）当2b =，15c =-时，请判断抛物线2y x bx c =++是否是“B 系抛物线”，并说明理由． 推广验证 （2）若234c b =-，且b 为负整数，请判断抛物线2y x bx c =++是否是“B 系抛物线”，并说明理由． 拓展应用（3）在（2）的条件下，若M 为该抛物线的顶点，且ABM ∆为等腰直角三角形，求该抛物线的解析式．4．已知：如图抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ()2,0C -与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点连结PA 、PB ．设PAB △的面积为S ．点P 的横坐标为m ．①试求S 关于m 的函数关系式；②请说明当点P 运动到什么位置时PAB △的面积有最大值？③过点P 作x 轴的垂线交线段AB 于点D 再过点P 做//PE x 轴交抛物线于点E 连结DE 请问是否存在点P 使PDE △为等腰直角三角形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy 中抛物线()2420y axax a a =-+≠的顶点为P 且与y 轴交于点A 与直线y a =-交于点BC （点B 在点C 的左侧）.（1）求抛物线()2420y axax a a =-+≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记抛物线与线段AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”.①当2a =时请直接写出“W 区域”内的整点个数；②当“W 区域”内恰有2个整点时结合函数图象直接写出a 的取值范围.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知，点A （3，0）、B （－2，5）、C （0，－3）．求经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线25y ax bx a =+-与y 轴交于点A ，将点A 向左平移4个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点()1,2P a --，()4,2Q -．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．8．如图1在平面直角坐标系xOy 中抛物线y=-（x-a ）（x-4）（a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C 点D 为抛物线的顶点．（1）若D 点坐标为（32524，）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）若点M 为抛物线对称轴上一点且点M 的纵坐标为a 点N 为抛物线在x 轴上方一点若以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形时求a 的值；（3）直线y=2x+b 与（1）中的抛物线交于点D 、E （如图2）将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移平移后抛物线的顶点为D′与直线的另一个交点为E′与x 轴的交点为B′在平移的过程中求D′E′的长度；当∠E′D′B′=90°时求点B′的坐标．9．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y=x 2﹣2x+1，求：b ，c 的值． 10．在平面直角坐标系中，抛物线y 14=x 2沿x 轴正方向平移后经过点A （x 1，y 2），B （x 2，y 2），其中x 1，x 2是方程x 2﹣2x ＝0的两根，且x 1＞x 2， （1）如图．求A ，B 两点的坐标及平移后抛物线的解析式； （2）平移直线AB 交抛物线于M ，交x 轴于N ，且14AB MN =，求△MNO 的面积； （3）如图，点C 为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点C 作直线交抛物线于E 、F ，交x 轴于点D ，探究CD CDCE CF+的值是否为定值？如果是，求出其值；如果不是，请说明理由．11．已知：关于x 的二次函数2y x ax =-+（a ＞0），点A （n ，y 1）、B （n+1，y 2）、C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，其中n 为正整数．（1）y 1=y 2，请说明a 必为奇数；（2）设a=11，求使y 1≤y 2≤y 3成立的所有n 的值；（3）对于给定的正实数a ，是否存在n ，使△ABC 是以AC 为底边的等腰三角形？如果存在，求n 的值（用含a 的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．12．如图①定义：直线:(0,0)l y mx n m n =+<>与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点将AOB ∆绕着点O 逆时针旋转90°得到COD ∆过点A 、B 、D 的抛物线P 叫做直线l 的“纠缠抛物线”反之直线l 叫做P 的“纠缠直线"两线“互为纠缠线”．（1）若:22l y x =-+则纠缠物线P 的函数解析式是____________． （2）判断并说明22y x k =-+与212y x x k k=--+是否“互为纠缠线”． （3）如图②若纠缠直线:24l y x =-+纠缠抛物线P 的对称轴与CD 相交于点E 点F 在l 上点Q 在P 的对称轴上当以点C 、E 、Q 、F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时求点Q 的坐标．13．已知二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图象经过点（﹣2，3） （1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式； （2）求出此抛物线上纵坐标为3的点的坐标． 14．关于x 的二次函数y 1＝x 2+kx+k ﹣1（k 为常数） （1）对任意实数k ，函数图象与x 轴都有交点（2）若当x≥75时，函数y 的值都随x 的增大而增大，求满足条件的最小整数k 的值 （3）K 取不同的值时，函数抛物线的顶点位置也会变化，但会在某一函数图象上，求该函数图象的解析式（4）若当自变量x 满足0≤x≤3时，与其对应的函数值y 的最小值为10，求此时k 的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+经过(2,4)A --，(2,0)B . （1）求抛物线2y ax bx =+的解析式.（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM OM的最小值.16．在同一个直角坐标系中作出y＝12x2，y＝12x2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2有什么关系？17．如图：已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3）与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点.（1）求抛物线的解析式；（2）当PA+PB的值是最小时，求点P的坐标.18．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q是x轴上一点，①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．19．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．20．如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点交y轴正半轴于C点D为抛物线的顶点A （-10）B（30）．（1）求出二次函数的表达式．（2）点P在x轴上且∠PCB=∠CBD求点P的坐标．（3）在x轴上方抛物线上是否存在一点Q使得以QCBO为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在请直接写出点Q的坐标；如果不存在请说明理由．【答案与解析】1．（1）0k ≠；（2）k=1，（52，94-）.(1)要使方程有两个实数根，必须满足两个条件：[]2(41)440k k k ⎧∆=-+-⨯≥⎨≠⎩从而可求出k 的取值范围；(2)令y=0，得到一个一元二次方程，用含有k 的代数式表示方程的解，根据题意求出k 的值.(1)依题意得[]2(41)4400k k k ⎧∆=-+-⨯≥⎨≠⎩，整理得24k-100k ⎧∆=≥⎨≠⎩（）∵当k 取任何值时，2(41)0k -≥， ∴0k ≠∴当0k ≠时，方程总有两个实数根.(2)解方程2(41)40kx k x -++=，得14x =，21x k=． ∵12x x 和均为整数且k 为正整数，∴取k=1． ∴254y x x =-+222555()()422x x =-+-+ 259()24x =--∴抛物线的顶点坐标为（52，94-）．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是掌握根的判别式和抛物线的顶点坐标的求法.2．（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）214y x x =-++；（Ⅲ）3b = （Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式；（Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值.解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2y x bx c =-++，有10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩．解得2,3b c == 2223(1)4y x x x ∴=-++=--+(0,3),(1,4)A E ∴（Ⅱ）由222424b c b y x bx c x +⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，得24,24b c b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∵点E 在直线y x =上，2424b c b+∴=221111(1)4244c b b b ∴=-+=--+2110,(1)44A b ⎛⎫∴--+ ⎪⎝⎭ 当1b =时，点A 是最高点此时，214y x x =-++（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=1c b ∴=+24,,(0,)24b c b E A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2(2),,(0,1)24b b E A b ⎛⎫+∴+ ⎪⎝⎭∴E 关于x 轴的对称点E '为2(2),24b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得(1)(1)y b x =-+-把点2(2),24b b E '⎛⎫+- ⎪⎝⎭代入(1)(1)y b x =-+-.得2(2)(1)142b b b +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，即2680b b --=解得，3b =0,3b b >∴=舍去.317b ∴=+ 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．3．（1）是；理由见解析；（2）是；理由见解析；（3）23y 4x x =--． （1）根据“B 系抛物线”代入2b =，15c =-，然后计算与x 轴交点坐标，然后判断22213x x +的值判断即可；（2）将234c b =-代入表达式后计算与x 轴交点坐标，然后判断22213x x +的值判断即可； （3）过M 作MH ⊥AB ，然后根据（2）得到AB 长度和M 的横坐标，然后计算即可．解：（1）当2b =，15c =-时，代入2y x bx c =++即2215y x x =+-令y =0，即20215x x +=-∴(3)(x 5)0x -+= ∴125,3x x =-=∴22213x x +=2233?(-5)3k +=即28k=∴是“B 系抛物线” （2）∵234c b =-∴2234y x bx b =+-令y =0，即22304x bx b =+-∴13()()022x b x b -+= ∵b 为非负数 ∴1213,22x b x b ==- ∴2231()3?()322b b k -+=即233b k =此时2k b = ∴是“B 系抛物线”；（3）如图，当△ABM 为等腰直角三角形时，过M 作MH ⊥AB ，其中AB=2b ，点M 横坐标为2b - 将2b x =-代入2234y x bx b =+-即2223()()224b b y b b b =-+--= ∴MH=-2b∵△ABM 为等腰直角三角形 ∴MH=12AB ∴21×22b b -=解的120(),1b b ==-舍去∴抛物线的解析式234y x x =--【点睛】本题主要考查二次函数性质，理解“B 系抛物线”是解题的关键． 4．（1）2162y x bx =-++；（2）①()2327322S m =--+②当m=3时S 有最大值③点P 的坐标为（4,6）或（55-）．（1）由()2(6)(2)412y a x x a x x =-+=-- 则-12a=6求得a 即可； （2）①过点P 作x 轴的垂线交AB 于点D 先求出AB 的表达式y=-x+6设点21,262P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则点D （m-m+6）然后再表示()222113327332669322222S PD OB PD m m m m m m ⎛⎫=⨯⨯==-+++-=-+=--+ ⎪⎝⎭即可；②由在()2327322S m =--+中32-＜0故S 有最大值；③△PDE 为等腰直角三角形则PE=PD 然后再确定函数的对称轴、E 点的横坐标进一步可得|PE|=2m-4即21266242m m m m -+++-=-求得m 即可确定P 的坐标． 解：（1）由抛物线的表达式可化为()22(6)6=(2)412y a x x a x ax bx x =+-++-=- 则-12a=6解得：a=12-故抛物线的表达式为：2162y x bx =-++； （2）①过点P 作x 轴的垂线交AB 于点D由点A(0,6)、B 的坐标可得直线AB 的表达式为：y=-x+6 设点21,262P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则点D （m-m+6） ∴()222113327332669=322222S PD OB PD m m m m m m ⎛⎫=⨯⨯==-+++-=-+--+ ⎪⎝⎭； ②∵()2327322S m =--+32-＜0 ∴当m=3时S 有最大值； ③∵△PDE 为等腰直角三角形 ∴PE=PD ∵点21,262P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭函数的对称轴为：x=2则点E 的横坐标为：4-m 则|PE|=2m-4 即21266242m m m m -+++-=- 解得：m=4或-2或517+517-2和517 当m=4时21262m m -++=6； 当m=517-21262m m -++=3175． 故点P 的坐标为（4,6）或（5173175）． 【点睛】本题属于二次函数综合应用题主要考查了一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等知识点掌握并灵活应用所学知识是解答本题的关键． 5．（1）顶点P 的坐标为()2,2a -；（2）① 6个；② 112a <≤112a -≤<-． （1）由抛物线解析式直接可求；（2）①由已知可知A （02）C （2+2 -2）画出函数图象观察图象可得；②分两种情况求：当a ＞0时抛物线定点经过（2-2）时a=1抛物线定点经过（2-1）时a=12则12＜a≤1；当a ＜0时抛物线定点经过（22）时a=-1抛物线定点经过（21）时a=-12则-1≤a<-12． 解：（1）∵y=ax 2-4ax+2a=a （x-2）2-2a ∴顶点为（2-2a ）；（2）如图①∵a=2∴y=2x 2-8x+2y=-2 ∴A （02）C （2-2） ∴有6个整数点；②当a ＞0时抛物线定点经过（2-2）时a=1 抛物线定点经过（2-1）时12a =； ∴112a <≤． 当0a <时抛物线顶点经过点（22）时1a =-； 抛物线顶点经过点（21）时12a =-； ∴ 112a -≤<-． ∴综上所述：112a <≤112a -≤<-． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．6．223y x x =--设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，再把三个已知点的坐标代入得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程组即可得到二次函数的解析式．解：设经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠．则9304253a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩． ∴经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式为223y x x =--． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 7．（1）()4,5B a --；（2）2x =-；（3）205a -≤< （1）根据解析式得到点A 的坐标，利用平移即可得到带你B 的坐标； （2）根据点A 、B 的对称性即可求出对称轴；（3）分两种情况：a>0或a<0时，分别确定点P 、Q 的位置，根据抛物线与线段PQ 恰有一个公共点求出答案.（1）∵抛物线25y ax bx a =+-与y 轴交于点A ，∴点A(0，-5a)，∵将点A 向左平移4个单位长度，得到点B ， ∴B(-4，-5a)； （2）对称轴是x=0422-=-； （3）如图：当a<0时，∵A(0，-5a), ()1,2P a --,且-5a>-2a ， ∴点P 在抛物线下方，∵()4,2Q -，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，B(-4，-5a)， ∴点Q 在抛物线上方或是在抛物线上，即25a ≥-， 解得25a ≥-， ∴205a -≤<时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；当a>0时，∵A(0，-5a), ()1,2P a --，且-5a<-2a<0， ∴点P 在抛物线上方，在x 轴下方， ∵()4,2Q -，B(-4，-5a)， ∴点Q 在抛物线上方，∴此时抛物线与线段PQ 没有公共点；综上，205a -≤<时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 【点睛】此题考查抛物线的性质，利用解析式求点坐标，点平移的规律，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题.8．（1）y=-x 2+3x+4C （04）；（2）a 11326221-；（3）D ′E ′5B′（-10）．（1）将点D 的坐标代入函数解析式求得a 的值；利用抛物线解析式来求点C 的值． （2）需要分类讨论：BC 为边和BC 为对角线两种情况根据“平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角线相互平分”的性质列出方程组利用方程思想解答．（3）根据平移规律得到D ′E ′的长度、平移后抛物线的解析式然后由函数图象上点的坐标特征求得点B ′的坐标． （1）依题意得：254=-（32-a ）（32-4）． 解得a=-1．∴抛物线解析式为：y=-（x+1）（x-4）或y=-x 2+3x+4． ∴C （04）．（2）由题意知：A （a0）B （40）C （0-4a ）． 对称轴为直线x=42a +则M （42a +a ）． ①MN ∥BC 且MN=BC 根据点的平移特征可知N （42a --3a ）． 则-3a=-（42a --a ）（42a --4）． 解得：②当BC 为对角线时设N （xy ）．根据平行四边形的对角线互相平分可得：4424a x a y a +⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩．解得425a x y a-⎧=⎪⎨⎪=-⎩．则-5a=-（42a --a ）（42a --4）． 解得a=63±．（舍去正值） ∴a 12=63-． （3）把D （32524，）代入y=2x+b 得到：2×32+b=254．则b=134． 故直线解析式为：y=2x+134． 联立2132434y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩．解得1132254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）221294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴E （-1294）∴．根据抛物线的平移规律则平移后线段D′E′始终等于 设平移后的D′（m2m+134）则E′（m-22m-34）． 平移后抛物线的解析式为：y=-（x-m ）2+2m+134． 则D′B′：y=-12x+n 过点（m2m+134） ∴y=-12x+52m+134则B′（5m+1320）． ∴-12（5m+132）+52m+134=0． 解得m 1=-32m 2=-138． ∴B ′1（-10）B′2（-1380）（与D′重合舍去）． 综上所述B′（-10）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来利用点的坐标的意义表示线段的长度从而求出线段之间的关系． 9．b=﹣10，c=22．此题实际上是将抛物线y=x 2﹣2x+1向下平移3个单位，向右平移4个单位得到抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0），由此求得b ，c 的值．解：将y=x 2﹣2x+1向下平移3个单位，向右平移4个单位， 得：y=（x ﹣1﹣4）2﹣3=（x ﹣5）2﹣3=x 2﹣10x+22． 故：b=﹣10，c=22． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式是关键．10．（1）点A 坐标为（2，0），点B 坐标为（0，1），21(2)4y x =-;（2）12或28；（3）CD CDCE CF+为定值，定值为1． （1）解方程x 2﹣2x ＝0得x 1＝2，x 2＝0．即可求得点A 坐标为（2，0），抛物线解析式为()2124y x =- ，把x ＝0代入抛物线解析式得y ＝1，即可得点B 坐标为（0，1）；（2）如图，过M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，由AB ∥MN ，即可得△ABO ∽△MHN ，根据相似三角形的性质可得14BO HN AB MH AO MN ===，由此求得MH ＝4，HN ＝8，将y ＝4代入抛物线()2124y x =-求得x 1＝﹣2，x 2＝6，所以M 1（﹣2，4），N 1（6，0），M 2（6，4），N 2（14，0）,由此求得△MNO 的面积即可；（3）设C （2，m ），求得CD 解析式为y ＝kx +m ﹣2k ，令y ＝0得kx +m ﹣2k ＝0，由此求得点D 为（2k mk-，0）；把CD 的解析式与抛物线的解析式联立221(2)4y kx m ky x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得，kx +m ﹣2k ＝14（x ﹣2）2．化简得x 2﹣4（k +1）x +4﹣4m +8k ＝0，由根与系数关系得，x 1+x 2＝4k +4，x 1•x 2＝4﹣4m +8k ．过E 、F 分别作EP ⊥CA 于P ，FQ ⊥CA 于Q ，由AD ∥EP ，AD ∥FQ ，可得CD CDCE CF+＝AD AD EP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅ ＝（2k mk -﹣2）×()()121212424x x x x x x +-⋅-++＝()()()4444482444k m k m k k +--⋅-+-++＝1，由此可得CD CD CE CF+为定值，定值为1． （1）解方程x 2﹣2x ＝0得x 1＝2，x 2＝0． ∴点A 坐标为（2，0），抛物线解析式为()2124y x =- ． 把x ＝0代入抛物线解析式得y ＝1． ∴点B 坐标为（0，1）．（2）如图，过M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ∵AB ∥MN ∴△ABO ∽△MHN∴14BO HN AB MH AO MN === ∴MH ＝4，HN ＝8将y ＝4代入抛物线()2124y x =- 可得x 1＝﹣2，x 2＝6∴M 1（﹣2，4），N 1（6，0），M 2（6，4），N 2（14，0）, ∴11164122M N O S ∆=⨯⨯= 221144282M N O S ∆=⨯⨯=（3）设C （2，m ），设直线CD 为y ＝kx +b 将C （2，m ）代入上式，m ＝2k +b ，即b ＝m ﹣2k ． ∴CD 解析式为y ＝kx +m ﹣2k ， 令y ＝0得kx +m ﹣2k ＝0， ∴点D 为（2k mk-，0） 联立221(2)4y kx m k y x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 消去y 得，kx +m ﹣2k ＝14（x ﹣2）2． 化简得，x 2﹣4（k +1）x +4﹣4m +8k ＝0由根与系数关系得，x 1+x 2＝4k +4，x 1•x 2＝4﹣4m +8k ．过E 、F 分别作EP ⊥CA 于P ，FQ ⊥CA 于Q ， ∴AD ∥EP ，AD ∥FQ ， ∴CD CD CE CF+＝AD ADEP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅ ＝（2k mk-﹣2）×()()121212424x x x x x x +-⋅-++＝()()()4444482444k mk m k k +--⋅-+-++ ＝1∴CD CDCE CF +为定值，定值为1． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数与二次函数图象的交点问题，解决第（3）问的关键是确定CD CD CE CF+＝AD ADEP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅，再利用根与系数的关系解决． 11．解：（1）∵点A （n ，y 1）、B （n+1，y 2）都在二次函数2y x ax =-+（a ＞0）的图象上，∴()()2212y n an y n 1a n 1=-+=-+++，． ∵y 1=y 2，∴()()22n an n 1a n 1-+=-+++，整理得：a=2n+1． ∵n 为正整数，∴a 必为奇数． （2）当a=11时，∵y 1＜y 2＜y 3，∴()()()()222n 11n n 111n 1n 211n 2-+≤-+++≤-+++． 化简得：0102n 184n ≤-≤-．解得：n 4≤． ∵n 为正整数，∴n=1、2、3、4． （3）存在． 假设存在，则AB=AC ，如图所示，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，过点A 作AD ⊥BN 于点D ，CE ⊥BN 于点E ，∵x A =n ，x B =n+1，x C =n+2，∴AD=CE=1． 在Rt △ABD 与Rt △CBE 中，AB=BC ，AD=CE ， ∴Rt △ABD ≌Rt △CBE （HL ）．∴∠BAD=∠CBE ，即BN 为顶角的平分线． 由等腰三角形性质可知，点A 、C 关于BN 对称． ∴BN 为抛物线的对称轴，点B 为抛物线的顶点， ∴()a an 1212+=-=⨯-．∴a n 12=-．∴存在n ，使△ABC 是以AC 为底边的等腰三角形，an 12=-． （1）将点A 和点B 的坐标代入二次函数的解析式，利用y 1=y 2得到用n 表示a 的式子，即可得到答案；（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解． （3）本问为存在型问题，如图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A 、C 关于对称轴对称，于是得到()a a n 1212+=-=⨯-，从而可以求出a n 12=-． 12．答案见解析.（1）若l ：y=-2x+2则点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（10）、（02）、（01）、（-20）则抛物线的表达式为：y=a （x+2）（x-1）即可求解；（2）同理：点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（k0）、（02k ）、（0k ）、（-2k0）则抛物线的表达式为：y=a （x+2k ）（x-k ）即可求解；（3）以点C 、E 、Q 、F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时由题意得：|x Q -x F |=1即：m+1=±1即可求解．解：（1）若l ：y=-2x+2则点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（10）、（02）、（01）、（-20）则抛物线的表达式为：y=a （x+2）（x-1）将点B 的坐标代入上式得：2=a （0+2）（0-1）解得：a=-1故答案为：y=-x 2-x+2；(2)同理：点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（k0）、（02k ）、（0k ）、（-2k0） 则抛物线的表达式为：y=a （x+2k ）（x-k ）将点B 的坐标代入上式并解得：a=1-k 故抛物线的表达式为：y=211-(2)()2x k x k x x k k k +-=--+ 故y=-2x+2k 与y ＝212x x k k--+“互为纠缠线”； 点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（20）、（04）、（02）、（-40） 同理可得：抛物线的表达式为：y=21--42x x + 抛物线的对称轴为：x=-1设点F （m-2m+4）点Q （-1n ）将点C 、D 的坐标代入一次函数表达式并求得：直线CD 的表达式为：y=12x+2 点CE 横坐标差为1故纵坐标差为12以点C 、E 、Q 、F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时由题意得：|x Q -x F |=1即：m+1=±1解得：m=0或-2当m=0时点F （04）则点Q （-192）；同理当m=-2时点Q （-1172）； 综上点Q 坐标为：Q （-192）或Q （-1172）． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用涉及到一次函数、平行四边形性质等其中（3）要注意分类求解避免遗漏．13．（1）34，234y x = （2）（﹣2，3），（2，3） （1）根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把点（-2，3）代入解析式得到关于a 的方程，然后解方程即可；（2）把y=3代入解析式求出x 的值即可．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2经过点（﹣2，3），∴4a ＝3，∴a=34， ∴二次函数的解析式为234y x =； （2）∵抛物线上点的纵坐标为3， ∴3＝34x 2， 解得x ＝±2， ∴此抛物线上纵坐标为3的点的坐标为（﹣2，3），（2，3）．【点睛】考查了待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与图象上的点之间的关系，点在图象上，则满足解析式；反之，满足解析式则在函数图象上．14．（1）见解析；（2）﹣150；（3）y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（4）11．（1）计算△，根据△的值进行判断；（2）根据二次函数的增减性即可判断；（3）得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k 得y =-x 2-2x -1，即可判断；（4）函数配方后得y =x 2+kx +k -1=22124k k x k ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，根据对称轴的位置分三种情况进行讨论可得结论.解：（1）∵△＝k 2﹣4（k ﹣1）＝k 2﹣4k+4＝（k ﹣2）2≥0，∴对任意实数k ，函数图象与x 轴都有交点；（2）∵a＝1＞0，抛物线的对称轴x b k 2a 2=-=-， ∴在对称轴的右侧函数y 的值都随x 的增大而增大，即当x k 2-＞时，函数y 的值都随x 的增大而增大， ∵x≥75时，函数y 的值都随x 的增大而增大， ∴k 2-≤75，k≥﹣150， ∴k 的最小整数是﹣150， ∴满足条件的最小整数k 的值是﹣150；（3）∵y＝x 2+kx+k ﹣1＝（x k 2+）22k 4-+k ﹣1， ∴抛物线的顶点为（k 2-，2k 4-+k ﹣1）， ∴2k x 2k y k 14⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩， 消去k 得，y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1，由此可见，不论k 取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1，即抛物线的顶点在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1的图象上； （4）∵y＝x 2+kx+k ﹣1＝（x k 2+）22k 4-+k ﹣1， ∴抛物线的顶点为（k 2-，2k 4-+k ﹣1）， 又∵0≤x≤3时，与其对应的函数值y 的最小值为10， ①当k 2-≤0时，即k≤0， 此时x ＝0时，y 取得最小值是10，则有10＝k ﹣1，k ＝11． ②当k 2-≥3时，即k≤﹣6， 此时x ＝3时，y 取得最小值是10，则有10＝32+3k+k ﹣1， k 12=，不符合题意； ③当0k 2-＜＜3时，即﹣6＜k ＜0， 此时x k 2=-时，y 取得最小值是10，即2k 4-+k ﹣1＝10， 此方程无实根，综上所述，k 的值是11．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解决本题的关键是要熟悉函数关系式和方程的关系、函数的性质.15．（1）抛物线的解析式为212y x x =-+；（2）AM OM +的最小值为42. （1）利用待定系数法可求出该抛物线的解析式； （2）根据O 、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A 、B ，直线AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M 点，而AM +OM 的最小值正好是AB 的长，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ．在Rt △ABN 中，根据勾股定理即可得出结论．（1）把A （﹣2，﹣4），B （2，0）两点的坐标代入y =ax 2+bx 中，得：424420a b a b -=-⎧⎨+=⎩，解方程组，得：a 12=-，b =1，∴解析式为y 12=-x 2+x ． （2）由y 12=-x 2+x 12=-（x ﹣1）212+，可得抛物线的对称轴为直线x =1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM =BM ，∴OM +AM =BM +AM ．连接AB 交直线x =1于M 点，则此时OM +AM 最小．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ．在Rt △ABN 中，AB 222244AN BN =+=+=42，因此OM +AM 最小值为42．【点睛】本题是二次函数的综合题，难点在于点M 位置的确定，正确理解二次函数的轴对称性以及两点之间线段最短是解题的关键．16．见解析试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y 轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝12x2－1可由抛物线y＝12x2向下平移1个单位长度得到的．解：如图所示：(1)抛物线y＝12x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y＝12x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．(2)抛物线y＝12x2－1可由抛物线y＝12x2向下平移1个单位长度得到．17．（1）y=﹣（x﹣1）2+4；（2）当PA+PB的值是最小时，点P的坐标是（37，0）.试题分析：（1）由题意可设抛物线解析式为“顶点式”，再代入点B的坐标可求得解析式；（2）由题意作出点B关于x轴的对称轴点E，连接AE交x轴于点P，P为所求的点，由A、E的坐标可求得直线AE的解析式，再由AE的解析式就可求得点P的坐标.试题解析：(1)∵抛物线的顶点A的坐标为（1，4），∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4.∵抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4.解得a＝－1.∴二次函数的表达式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.(2)作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连接AE交x轴于点P，点P即为所求点．设AE所在直线的表达式为y＝kx＋b，分别代入A，E坐标，得43k bb+=⎧⎨=-⎩，解得73kb=⎧⎨=-⎩，∴y＝7x－3.当y＝0时，x＝3 7 .∴点P 的坐标为(37，0)． 18．（1）y ＝x 2﹣4x +4；（2）①点P 的坐标为（1，1）或（4，4）；②在图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，n 的取值范围为0≤n ≤4．（1）根据抛物线顶点在x 轴上，列式计算可得m 的值；（2）由∠POQ ＝45°，作直线y ＝x ，交抛物线y ＝x 2﹣4x +4于点P ，联立解析式求出P 点坐标即可；（3）分两种情况考虑：当点P ，Q 在y 轴右侧时与点P ，Q 在y 轴左侧时，列出不等式求解即可.解：（1）∵抛物线y ＝x 2﹣4x +m +2的顶点在x 轴上，∴()()2412441m ⨯⨯+--⨯＝0，解得：m ＝2， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2﹣4x +4．（2）①作直线y ＝x ，交抛物线y ＝x 2﹣4x +4于点P ，如图1所示．联立直线OP 及抛物线的表达式成方程组，得：244y x y x x =⎧⎨=+⎩﹣， 解得：1111x y =⎧⎨=⎩，2244x y =⎧⎨=⎩， ∴点P 的坐标为（1，1）或（4，4）．②当y ＝1时，x 2﹣4x +4＝1，解得：x 1＝1，x 2＝3，∴点E 的坐标为（1，1），点F 的坐标为（3，1）．分两种情况考虑：（i ）当点P ，Q 在y 轴右侧时，∵抛物线y ＝x 2﹣4x +4与直线y ＝x 交于点（1，1）， ∴当1≤3﹣n ≤3时，图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，解得：0≤n ≤2；（ii ）当点P ，Q 在y 轴左侧时，同①可得出，抛物线y ＝x 2﹣4x +4与直线y ＝﹣x 交于点（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），∴当﹣1≤3﹣n ≤1时，图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，解得：2≤n ≤4． 综上所述：若在图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，n 的取值范围为0≤n ≤4．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，正确理解∠POQ＝45°的意义，运用数形结合的思想解决问题是解题关键.19．（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）△ACE的最大面积278，此时E点坐标为（52，34）．（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可．（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D．（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF ，再根据直线l 与x 轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+3经过点A （1，0），点C （4，3），∴a b 30{16a 4b 33++=++=，解得a 1{b 4==-． ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+3．（2）存在．∵点A 、B 关于对称轴对称，∴点D 为AC 与对称轴的交点时△BCD 的周长最小． ∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2．设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），则k b 0{4k b 3+=+=，解得：k 1{b 1==-．∴直线AC 的解析式为y=x ﹣1．当x=2时，y=2﹣1=1．∴抛物线对称轴上存在点D （2，1），使△BCD 的周长最小．（3）如图，设过点E 与直线AC 平行线的直线为y=x+m ，联立243y x my x x =+⎧⎨=-+⎩，消掉y 得，x 2﹣5x+3﹣m=0．由△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m ）=0得m=134-．∴m=134-时，点E 到AC 的距离最大，△ACE 的面积最大．此时x=52，y=5133244-=-．∴点E 的坐标为（52，34-）．设过点E 的直线与x 轴交点为F ，则F （134，0）．∴AF=139144-=．∵直线AC 的解析式为y=x ﹣1，∴∠CAB=45°．∴点F 到AC 的距离为9292428⨯=． 又∵223(41)32AC =+-=．∴△ACE 的最大面积192273228=⨯⨯=，此时E 点坐标为（52，34-）． 20．（1）y=-x 2+2x+3；（2）P （60）或P 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在点Q 113113,⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或17,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）将点A 、B 坐标代入解析式求出b 、c 的值即可得；（2）∠PCB=∠CBD 有两种情况①P 在B 的右侧时延长BD 交y 轴于点H 由∠OCB=∠OBC=45°可证明∠HCB=∠CBP 从而△PCB ≌△HBC 由直线BD 即可求得：OH=OP=6从而得到P 点坐标；②P 在B 的左侧时此时PC ∥BD 根据一次函数解析式即可求出P ； （3）分以下两种情况分别求解①点Q 在y 轴右侧时由OB=OC 可得出OQ 是∠BOC 的平分线联立二次函数解析式与直线OQ 的解析式即可求解；②点Q 在y 轴左侧时可得这条对角线只能是BQ 过点C 作x 轴的平行线EF 过点QB 分别作EF 的垂线垂足分别为FE 延长FQ 交x 轴于点G 设点Q 的坐标为(mn)根据S △BOQ =S △CBQ =S 梯形FQBE -S △FCQ -S △BEC 可得出关于mn 的关系式再与二次函数的解析式联立即可求解．解：（1）将点A （-10）B （30）代入y=-x 2+bx+c 得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩解得23b c =⎧⎨=⎩∴二次函数的表达式为y=-x 2+2x+3；（2）①当点P 在点B 右侧时延长BD 交y 轴于点H∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4∴点D 的坐标为（14）设直线BD 的解析式为y=kx+b 则304k b k b +=⎧⎨+=⎩解得26k b =-⎧⎨=⎩即直线BD 的解析式为y=-2x+6 ∴点H 的坐标为（06）∵OB=OC=3∴∠OBC=∠OCB=45°∴∠HCB=∠CBP=135°又∠PCB=∠CBDBC=BC∴△PCB ≌△HBC∴CH=PB∴OH=OB=6故此时点P 的坐标为（60）；②当点P （P′）在点B 左侧时直线BD 的表达式为：y=-2x+6∵∠P′CB=∠CBD 则P′C ∥BD则直线P′C 的表达式为：y=-2x+3当y=0x=32故此时点P′的坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述点P 的坐标为（60）或3,02⎛⎫⎪⎝⎭； （3）存在．理由如下：①当点Q 在y 轴右侧时以QCBO 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分这条对角线只能是OQS △COQ =S △BOQ 如图而OB=OC 故OQ 是∠BOC 的平分线即OQ 的函数表达式为：y=x将y=x 与y=-x 2+2x+3联立得-x 2+2x+3=x 解得113+ 故此时点Q 的坐标为（1132+1132+）； ②当点Q 在y 轴左侧时以QCBO 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分这条对角线只能是BQS △BOQ =S △CBQ 如图过点C 作x 轴的平行线EF 过点QB 分别作EF 的垂线垂足分别。

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（）A.y=（x+1）2+1B.y=（x+1）2﹣1C.y=（x﹣1）2﹣1D.y=（x-1）2+12、将抛物线y＝﹣（x+1）2+4平移，使平移后所得抛物线经过原点，那么平移的过程为（）A.向下平移3个单位B.向上平移3个单位C.向左平移4个单位 D.向右平移4个单位3、若二次函数y=x2＋bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx =5的解为( )A. B. C. D.4、如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n 的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为( )A.－3B.1C.5D.85、已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（）A.1，3B.3，-4C.1，-3D.3，-36、如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成-一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。

已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长。

小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2。

则：（）A.小明正确，小亮错误B.小明错误，小亮正确C.两人均正确 D.两人均错误7、已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y 随x的增大而减小，其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（）A. B.± C.﹣ D.09、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个10、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11、抛物线的顶点坐标是（）A.（–3，1）B.（3，1）C.（3，–1）D.（–3，–1）12、把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y=x2-2x+1，则b，c的值分别是( )A.b=2，c=-2B.b=-2，c=-2C.b=-6，c=-6D.b=-6，c=613、某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（）A.35元B.36元C.37元D.36或37元14、已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0.则n取（）时，s的值最小.A.3 &nbsp;B.4C.5D.615、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④对于任意x均有ax2﹣a+bx﹣b＞0，其中正确的个数有（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、二次函数，当x=________时，y有最________值，这个值是________．17、二次函数y＝（x-2）2+3的顶点坐标是________.18、抛物线开口向下，且经过原点，则________.19、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是________.20、小亮同学在探究一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解时，填好了下面的表格：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09根据以上信息请你确定方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是________ ．21、如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点，则k=________22、关于x的一元二次方程x2-x-n=0无实数根，则抛物线y=x2-x-n的顶点在第________象限．23、二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是________．24、如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________ m．25、二次函数y=﹣2（x﹣3）2﹣8的最大值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式．27、已知：二次函数，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；28、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，-），且与y 轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．29、如图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值．30、m取何值时，函数是以x为自变量的二次函数？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A4、D5、A6、B7、C8、C9、B10、D11、C12、D13、C14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。

人教版九年级数学上册第22章二次函数二次函数的图象和性质二次函数y ＝ax2的图象和性质同步训练题含答案22.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质 同步训练题1. 抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2共有的性质是( ) A ．启齿向下 B ．对称轴是y 轴 C ．都有最高点 D ．y 随x 的增大而增大2．有抛物线①y ＝－3x 2，②y ＝23x 2，③y ＝43x 2，它们的启齿由大到小的顺序是( ) A ．②＞③＞① B ．①＞②＞③ C ．①＞③＞② D ．②＞①＞③3. 如图，一座拱桥外形为抛物线，其函数解析式为y ＝－14x 2.当水位线在AB 位置时，水面宽12m ，这时水面离桥顶的高度h 是( )A ．3mB ．26mC ．43mD ．9m4. 假定二次函数y ＝ax 2的图象经过点P(－2,4)，那么该图象必经过点( )A ．(2,4)B ．(－2，－4)C ．(－4,2)D ．(4，－2)5. 关于函数y ＝3x 2的性质表述正确的选项是( )A ．无论x 为任何实数，y 的值总为正B ．当x 值增大时，y 的值也增大C ．它的图象关于y 轴对称D ．它的图象在第一、三象限6. a≠0，在同不时角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有能够是( )7．抛物线y ＝ax 2启齿向下，那么当x 1＞x 2＞0时，对应的函数值y 1与y 2的大小关系为 .8．二次函数y ＝(k －1)xk 2－3k ＋2的图象启齿向上，那么k ＝ .9．点(x 1，－7)和点(x 2，－7)(x 1≠x 2)均在抛物线y ＝ax 2上，那么当x ＝x 1＋x 2时，y 的值是 .10. 抛物线y ＝－5x 2的启齿向 ，对称轴是 轴，图象有最 点．11．抛物线y ＝12x 2与y ＝－12x 2的外形 ，启齿方向 ，它们关于 轴对称． 12．抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－2)，那么抛物线的解析式为 .13. 函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值．(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？14. 如下图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB 时，桥下水面宽度为20m ，水位上升3m 就抵达警戒线CD ，这时桥下水面宽度为10m.(1)树立适当的坐标系，求抛物线的关系式及B 、D 两点的坐标；(2)假定洪水到来时水位以0.2m/h 的速度上升，从正常水位末尾，再过几小时水就能抵达桥面？15. y ＝(m －3)xm 2－3m －2为x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)当m 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)当m 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？16. 抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)．(1)判别点B(－1，－4)能否在此抛物线上；(2)求此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．17. 一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y 轴，且经过点(－1，19)． (1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个二次函数的图象；(3)指出图象的外形，当x ＞0时，y 随x 的变化状况；(4)指出函数的最大值或最小值．18. 如下图，有一城门洞呈抛物线形，拱高4m(最高点到空中的距离)，把它放在平面直角坐标系中，其解析式为y ＝－x 2.(1)求城门洞最宽处AB 的长；(2)如今有一高2.6m ，宽2.2m 的小型运货车，问它能否平安经过此城门？ 参考答案：1---6 BADAC C7. y 1＜y 28. 39. 010. 下 y 高11. 相反 相反 x12. y ＝－12x 2 13. 解： (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2或m ＝－3，m≠－2∴m ＝2或m ＝－3.(2)依题意得m ＋2＞0，即m ＞－2，∴取m ＝2.∴这个最低点的坐标为(0,0)．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(3)假定函数有最大值，那么抛物线启齿向下，∴m ＋2＜0，即m ＜－2，∴取m ＝－3.14. (1)树立如下图的平面直角坐标系，那么D 点的横坐标为5，B 点的横坐标为10，EF ＝3.设OE ＝h ，那么OF ＝h －3，那么B(10，－h)，D(5,3－h)．设抛物线的关系式为y ＝ax 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 100a ＝－h 25a ＝3－h 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－125h ＝4，∴y ＝－125x 2，B(10，－4)，D(5，－1)．(2)由(1)知OE ＝4,4÷0.2＝20(h)，∴再过20小时水就能抵达桥面．15. 解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －2＝2m －3≠0解得m ＝－1或4即m 的值为－1或4(2)当m ＝－1时，抛物线有最高点(0,0)；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(3)当m ＝4时，函数有最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．16. 解：由得a ＝－2，故y ＝－2x 2；(1)当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)2＝－2≠－4，故(－1，－4)不在此抛物线上．(2)(－3，－6)(3，－6)17. 解：(1)设此二次函数的解析式为y ＝ax 2，把点(－1，19)代入y ＝ax 2中得：19＝a×(－1)2，∴a ＝19，∴此二次函数的解析式为y ＝19x 2. (2)图象略．(3)图象的外形是抛物线，当x ＞0时，y 随x 增大而增大．(4)函数有小值0.18. 解：(1)∵点O 到AB 的距离为4m ，∴A 、B 两点的纵坐标都为－4，∴－4＝－x 2，x ＝±2∴A(－2，－4)，B(2，－4)∴AB ＝4即城门洞最宽处AB 的长为4m.(2)如答图所示，设小货车行驶到城门洞正中，用矩形CDEF 表示小货车的横截面，那么E、F到AB的距离均为2.6m，F点的横坐标为1.1，设CF的延伸线交抛物线于G，G点的横坐标为1.1，纵坐标为－1.12＝－1.21，G到AB的距离为4－|－1.21|＝2.79＞2.6，所以小货车能平安经过此城门.。

九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题带答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，﹣1），此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，则a、b、c、d之值何者为正？（）A．a B．b C．c D．d2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x …-1 0 1 2 ……y …0 3 4 3那么关于它的图象，下列判断正确的是（）A．开口向上B．与x轴的另一个交点是（3，0）C．与y轴交于负半轴D．在直线x=1的左侧部分是下降的3．已知抛物线C：y=(x+2)2+1，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线C和C′关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是（）A．将抛物线C向右平移3个单位B．将抛物线C向右平移6个单位C．将抛物线C向左平移3个单位D．将抛物线C向左平移6个单位4．将函数y=x2-2x-5变形为y=a（x-h）2+k的形式，正确的是（）A．y=（x-1）2-5 B．y=（x-2）2+5C．y=（x-1）2-6 D．y=（x+1）2-45．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（）A．x>-3 B．-3<x<1 C．x<-3或x>1 D．x<1x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 13，则a、b的值分别为（）围成的阴影部分的面积为83A．和B．和﹣C．和﹣D．﹣和7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：x …0 1 2 3 …y …﹣1 2 3 2 …在该函数的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1＜y28．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜x A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC=2OA，则2b﹣ac=4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．10．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过象限．11．若函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式．12．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.有下列结论：①b2−4ac<0；②ab>0；③a−b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能等于0 .其中正确的是13．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，当y˃0时，x的范围是.三、解答题14．将长为156cm的铁线剪成两段，每段都围成一个边长为整数（cm）的正方形，求这两个正方形面积和的最小值．15．已知二次函数y=x2+bx+c的图象过（2，-1）和（4，3）两点，求y=x2+bx+c的表达式16．已知二次函数y=-2x2+8x-6，完成下列各题：（1）写出它的顶点坐标C；（2）它的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，求S△ABC．x2﹣x+4.17．已知抛物线y=﹣12（1）用配方法确定它的顶点坐标和对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？18．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，−2m+3)，过点A作y轴的平行线交二次函数y=x2的图象于点B．（1）点B的纵坐标为（用含m的代数式表示）；（2）当点A落在二次函数y=x2的图象上时，求m的值；（3）当m<0时，若AB=2．求m的值；（4）当线段AB的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．19．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.x⋯−3−52−2−10 1 2523 ⋯y⋯ 3 540 −10 −10543 ⋯（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（2）观察函数图象，写出2条函数的性质；（3）进一步探究函数图象发现：①方程x2−2|x|=0的实数根为；②方程x2−2|x|=2有个实数根.③关于x 的方程 x 2−2|x|=a 有4个实数根时，a 的取值范围 .参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】-1；增大 10．【答案】三、四11．【答案】y=﹣2（x ﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8 12．【答案】③④ 13．【答案】−1<x <314．【答案】解：设其中一段铁丝的长度为xcm ，另一段为（156﹣x ）cm 则两个正方形面积和S= 116 x 2+ 116 （156﹣x ）2= 18 （x ﹣78）2+761 ∴由函数当x=78cm 时，S 最小，为761cm 2． 答：这两个正方形面积之和的最小值是761cm 215．【答案】解：把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x 2+bx+c 得 {1+2b +c =−116+4b +c =3解得 {b =−4c =3所以二次函数解析式为y=x 2﹣4x+316．【答案】（1）解：∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2 ∴顶点坐标C 为（2，2） （2）解：∵二次函数y=-2x 2+8x-6的图象与x 轴交于A ，B 两点 ∴当y=0时，0=-2x 2+8x-6 ∴x 1=1，x 2=3∴点A （1，0），点B （3，0） ∴AB=2∴S △ABC = 12 ×AB ×2=2.17．【答案】（1）解：∵y=﹣ 12 x 2﹣x+4=﹣ 12 （x 2+2x ﹣8）=﹣ 12 [（x+1）2﹣9]=﹣ 12 （x+1）2+ 92 ∴它的顶点坐标为（﹣1， 92 ），对称轴为直线x=﹣1 （2）解：∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，开口向下 ∴当x ＞﹣1时，y 随x 增大而减小 18．【答案】（1）m 2（2）解：把A （m ，-2m+3）代入y=x 2，得-2m+3=m 2． 解得m 1=-3，m 2=1；（3）解：根据题意知：|-2m+3-m 2|=2． ①-2m+3-m 2=2解得m 1=−√2−1，m 2=√2−1 ∵m ＜0∴m=−√2−1，符合题意； ②-2m+3-m 2=-2解得m 1=−√6−1，m 2=√6−1 ∵m ＜0∴m=−√6−1，符合题意．综上所述，m 的值为−√2−1或−√6−1； （4）-3＜m ≤-1或m ＞119．【答案】（1）解：如图所示；（2）①函数图象是轴对称图形，关于 y 轴对称；②当 x >1 时， y 随 x 的增大而增大 （3）x 1=−2，x 2=0，x 3=2；2；−1<a <0。

人教版九年级数学第22章基础测试题（含答案）22.1 二次函数的图象和性质一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知直线y＝bx－c与抛物线y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象可能是()2. 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是() A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度3. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是A．c<-3 B．c<-2C．c<14D．c<14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动．过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP 的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是()5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象可能是()6. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()7. 如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6 cm，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝10 cm，点C和点M重合，点B，C(M)，N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1 cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止．设移动x s 后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y cm2，则y关于x的大致图象是()8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y＝ax2＋bx＋c …t m －2 －2 n …且当x ＝－12时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：(1)abc>0；(2)－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝t 的两个根；(3)0<m ＋n<203.其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共8道小题）9. 抛物线y ＝12(x ＋3)2－2是由抛物线y ＝12x 2先向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的.10. 函数y ＝－4x 2－3的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ________0时，y 随x 的增大而减小，当x ________时，y 有最________值，是________，这个函数的图象是由y ＝－4x 2的图象向________平移________个单位长度得到的．11. 二次函数y ＝－x 2＋6x －5的图象开口________，对称轴是________，顶点坐标是________；与x 轴的两个交点坐标分别是________，与y 轴的交点坐标是________；在对称轴左侧，即x ________时，y 随x 的增大而________，在对称轴右侧，即x ________时，y 随x 的增大而________，当x ＝________时，y 有最________值为________；抛物线y ＝－x 2＋6x －5是由抛物线y ＝－x 2向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的．12. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a (x －2)2交于点B ，抛物线y ＝a (x －2)2交y 轴于点E ，过点B 作x 轴的平行线与两条抛物线分别交于D ，C 两点．若A 是x 轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD ，AC ，EC ，ED ，则四边形ACED 的面积为________．(用含a 的代数式表示)14. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点为P(m ，n)．给出下列结论：①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③若关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ；④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)15. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．18. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P，使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19. 已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．(1)求抛物线的解析式．(2)设点P在该抛物线上滑动，则满足条件S△PAB＝1的点P有几个？求出所有点P的坐标．(3)设抛物线交y轴于点C，该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20. (2019·山西)综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A (–2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，D C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质 培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】C【解析】在A 中，抛物线的对称轴在y 轴右边，∴－b2a ＞0，∵a＞0，∴b ＜0；而从一次函数图象知b ＞0，∴选项A 错误；在B 中，抛物线对称轴－b2a ＞0，∵a ＜0，∴b ＞0；而从一次函数图象知b ＜0，∴选项B 错误；在C 中，抛物线的对称轴在y 轴左边，∴－b2a ＜0，∵a ＞0，∴b ＞0；抛物线与y 轴负半轴相交，∴c ＜0；而从一次函数图象知b ＞0，－c ＞0，∴c ＜0，∴选项C 正确；在D 中，抛物线与y 轴的正半轴相交，c ＞0，由一次函数图象知－c ＞0，即c ＜0，∴选项D 错误．2. 【答案】D [解析] A ．将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝(x ＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位长度得到函数y ＝(x －3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x 2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝x 2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.3. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c 有两个相异的不动点x1、x2， 所以x1、x2是方程x2+2x+c=x 的两个不相等的实数根， 整理，得：x2+x+c=0， 所以∆=1–4c>0，又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2， 所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0， 即1+1+c<0，综上则140110c c ->⎧⎨++<⎩，解得c<-2， 故选B ．4. 【答案】B【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2 (0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，∴y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．5. 【答案】C 【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b 异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax ＋b过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx 位于第二、四象限，故答案为C.6. 【答案】D [解析] 由一次函数y ＝ax ＋a 可知，其图象与x 轴交于点(－1，0)，排除A ，B ；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第一、二、三象限；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向下，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第二、三、四象限．排除C.7. 【答案】A [解析] (1)当点D 位于PM 上时，x ＝2.当0≤x ＜2时，重叠部分是等腰直角三角形，y ＝12x2，图象是顶点为(0，0)且开口向上的抛物线的一部分．(2)当点D 位于PN 上时，x ＝4.当2≤x≤4时，重叠部分是直角梯形，y ＝12×(x －2＋x)×2＝2x －2，图象是直线的一部分；(3)当4＜x≤6时，重叠部分是一个五边形，y ＝12×(2＋6)×2－12(6－x)2＝8－12(6－x)2，图象是顶点为(6，8)且开口向下的抛物线的一部分．故选A.8. 【答案】C [解析] (1)因为当x ＝－12时，与其对应的函数值y>0，由表格可知x ＝0时，y＝－2，x ＝1时，y ＝－2，可以判断在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，图象开口向上，a>0；由表格可知x ＝0时，y ＝－2，x ＝1时，y ＝－2，可得对称轴为直线x ＝12，所以b<0；当x ＝0时，y ＝－2，所以c ＝－2<0，故abc>0，(1)正确．(2)由于对称轴是直线x ＝12，x ＝－2和x ＝3关于对称轴对称，当x ＝－2时，y ＝t ，所以当x ＝3时，y ＝t ，即－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝t 的两个根，所以(2)正确．(3)依题意可得c ＝－2，a ＋b ＝0，当x ＝－12时，与其对应的函数值y>0可得a>83，当x ＝－1时，m ＝a －b －2＝2a －2>103.因为x＝－1和x ＝2关于对称轴对称，所以m ＝n ，所以m ＋n>203，故(3)错误．故选C.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】左3 下 2 [解析] 抛物线y ＝12x 2的顶点坐标为(0，0)，而抛物线y ＝12(x ＋3)2－2的顶点坐标为(－3，－2)，所以把抛物线y ＝12x 2先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，就得到抛物线y ＝12(x ＋3)2－2.10. 【答案】下y 轴 (0，－3) ＞ ＝0 大 －3 下 311. 【答案】向下直线x ＝3 (3，4) (1，0)，(5，0) (0，－5) ＜3 增大 ＞3 减小 3 大4 右 3 上 412. 【答案】0 [解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点的坐标为(1，0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.13. 【答案】8a[解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ，∴BD ＝BC ＝2， ∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ， ∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.14. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误； (2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y ＝－1n (x －m)2＋n(n ＜0)．令y ＝0，得－1n (x －m)2＋n ＝0.∴n 2－(x －m)2＝0，∴(n －x ＋m)(n ＋x －m)＝0.∴x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n.AB ＝|x 1－x 2|＝－2n.设对称轴交x 轴于点H ，则AH ＝BH ＝PH ＝－n ，∴△ABP 为等腰直角三角形，④正确．15. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）bb＝3－ 3.16. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋1与x 轴仅有一个交点， ∴b 2－4ac ＝(2a)2－4a ＝0，解得a ＝1，a ＝0(舍去)， ∴抛物线的解析式：y ＝x 2＋2x ＋1.(3分)(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵抛物线解析式y ＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∴A(－1，0)，(4分)过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如解图， ∵OC ⊥x 轴， ∴OC ∥BD ，∵C 是AB 中点， ∴O 是AD 中点， ∴AO ＝OD ＝1，(6分) ∴点B 的横坐标为1，把x ＝1代入抛物线中，得y ＝(x ＋1)2＝(1＋1)2＝4， ∴B 的坐标为(1，4)．(7分)把点A(－1，0) ，B(1，4)代入y ＝kx ＋b ， 得⎩⎨⎧0＝－k ＋b 4＝k ＋b ， 解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝2，∴直线AB 的解析式为： y ＝2x ＋2.(8分)18. 【答案】解：(1)设y ＝a(x ＋1)(x －6)，把(5，－6)代入解析式，得a(5＋1)(5－6)＝－6， 解得a ＝1，∴y ＝(x ＋1)(x －6)＝x2－5x －6. (2)存在．如图，分别过点P ，B 向x 轴作垂线，垂足为M ，N.设P(m ，m2－5m －6)，其中－1＜m ＜5，设四边形PACB 的面积为S ，则PM ＝－m2＋5m ＋6，AM ＝m ＋1，MN ＝5－m ，CN ＝6－5＝1，BN ＝6，∴S ＝S △AMP ＋S 梯形PMNB ＋S △BNC ＝12(－m2＋5m ＋6)(m ＋1)＋12(6－m2＋5m ＋6)(5－m)＋12×1×6＝－3m2＋12m ＋36＝－3(m －2)2＋48，当m ＝2时，S 有最大值为48，这时m2－5m －6＝22－5×2－6＝－12， ∴P(2，－12)．19. 【答案】解：(1)将(1，0)，(3，0)分别代入y ＝－x2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－3.∴该抛物线的解析式为y ＝－x2＋4x －3. (2)设点P 的坐标为(x ，y)．∵AB ＝2，S △PAB ＝12AB·|y|＝1，∴y ＝±1.当y ＝1时，有1＝－x2＋4x －3， 即x2－4x ＋4＝(x －2)2＝0， 解得x1＝x2＝2；当y ＝－1时，有－1＝－x2＋4x －3，即x2－4x ＋2＝0，解得x1＝2－2，x2＝2＋ 2. ∴满足条件的点P 有3个，坐标分别为(2，1)， (2＋2，－1)，(2－2，－1)． (3)存在．作点C 关于抛物线的对称轴的对称点C′，连接AC′交抛物线的对称轴于点M ，连接MC ，任取抛物线对称轴上除点M 外的任意一点N ，连接NA ，NC ，NC′，如图所示．∵NA ＋NC ＝NA ＋NC′＞AC′＝MA ＋MC′＝MA ＋MC ， ∴当点A ，M ，C′共线时，△MAC 的周长最小． ∵抛物线的解析式为y ＝－x2＋4x －3，∴点C 的坐标为(0，－3)，抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－1）＝2，∴C′(4，－3)．设直线AC′的解析式为y ＝mx ＋n. ∵点A(1，0)，C′(4，－3)在直线AC′上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，4m ＋n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴直线AC′的解析式为y ＝－x ＋1. 当x ＝2时，y ＝－x ＋1＝－1，∴直线AC′与抛物线对称轴的交点的坐标为(2，－1)，即M(2，－1)． ∴存在点M(2，－1)，使得△MAC 的周长最小．20. 【答案】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(–2，0)，B(4，0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(–2，0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0，6)，∴OC=6，∴S △OAC=1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=，∵S△BCD=34S△AOC，∴S△BCD=39642⨯=，设直线BC的函数表达式为y kx n=+，由B，C两点的坐标得406k nn+=⎧⎨=⎩，解得326kn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的函数表达式为362y x=-+，∴点G的坐标为3(,6)2m m-+，∴2233336(6)34224DG m m m m m=-++--+=-+，∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅，∴S△BCD=22133346242m m m m-+⨯=-+（），∴239622m m-+=，解得11m=(舍)，23m=，∴m的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，∵D点坐标为15(3,)4，∴点N点纵坐标为±154，当点N的纵坐标为154时，如点N2，此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)，∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N3，N4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+∴315(114,)4N +-，415(114,)4N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合， ∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N1D=4， ∴BM1=N1D=4， ∴OM1=OB+BM1=8， ∴M1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【22.2二次函数与一元二次方程】一．选择题1．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．﹣6B．6C．3D．92．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x ＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（）A．5B．8C．10D．113．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：x…0100400…y…2﹣22…则方程ax2+bx+4＝0的根是（）A．x1＝x2＝200B．x1＝0，x2＝400C．x1＝100，x2＝300D．x1＝100，x2＝5005．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，m）（2，m）（m＞0），与x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0．则下列结论：①若点（，y）是函数图象上一点，则y＞0；②若点（﹣），（）是函数图象上一点，则y2＞y1；③（a+c）2＜b2．其中正确的是（）A．①B．①②C．①③D．②③6．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c ＝0的一个解的范围是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04A．﹣0.01＜x＜0.02B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.208．已知函数y＝3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 9．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0），则b和c的值为（）A．b＝4，c＝﹣3B．b＝﹣4，c＝3C．b＝﹣4，c＝﹣3D．b＝4，c＝﹣3 10．如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x 轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）A．或B．或C．或D．或二．填空题11．抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为．12．已知函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为13．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是．14．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过点A（﹣2，0），B（3，0）两点．若关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0的一个根是1，则m的值为．15．抛物线y＝ax2﹣3x+2与x轴正半轴交于A、B两点，且AB＝2，则a＝．三．解答题16．已知关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点，求k的取值范围．17．抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D为顶点，对称轴l交x轴于点E，点P是抛物线上一点，AP交对称轴于点M，BP交对称轴于点N．求点D坐标及对称轴l．18．如图，已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y 轴于C点．（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）二次函数图象的开口方向，顶点坐标是，m的值为；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1y2（填＜、＞、＝）；（3）当y＜0时，x的取值范围是；（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为．20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是．（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是．参考答案一．选择题1．解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9．故选：D．2．解：∵某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，该二次函数图象的对称轴是直线x ＝3，且点A的坐标是（8，0），∴点B的坐标为（﹣2，0），∴AB＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10，故选：C．3．解：由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，故选：D．4．解：由抛物线经过点（0，2）得到c＝2，因为抛物线经过点（0，2）、（400，2），所以抛物线的对称轴为直线x＝200，而抛物线经过点（100，﹣2），所以抛物线经过点（300，﹣2），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，方程ax2+bx+4＝0变形为ax2+bx+2＝﹣2，所以方程ax2+bx+4＝0的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+4＝0的根为x1＝100，x2＝300．故选：C．5．解：∵抛物线经过点（0，m）（2，m）（m＞0），（x1，0）（﹣1＜x1＜0），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∴当x＝时，y＞0，则①正确；∵点（）到直线x＝1和点（）到直线x＝1的距离相等，∴y1＝y2，所以②错误；∵x＝1，y＞0；x＝﹣1，y＜0，即a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2，则③正确．故选：C．6．解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．7．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．8．解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0变形得（x﹣m）（x﹣n）＝3，∴x﹣m＞0，x﹣n＞0或x﹣m＜0，x﹣n＜0，∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n，∵a，b是方程的两个根，将a，b代入，得：a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或a＜m，a＜n，b＞m，b＞n，观察选项可知：a＜b，m＜n，只有D可能成立．故选：D．9．解：抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．所以b＝﹣4，c＝3．故选：B．10．解：∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x+1）2﹣4a，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B（1，0），点D（﹣1，﹣4a），∴D′（3，4a），C（5，0），∵△CDD′是直角三角形，∴当∠DD′C＝90°时，4a＝×（5﹣1）＝2，得a＝，当∠D′CD＝90°时，CB＝DD′，∴5﹣1＝，解得，a1＝，a2＝﹣（舍去），由上可得，a的值是或，故选：A．二．填空题21．解：∵抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，∴，解得，a＞﹣1且a≠0，故答案为：a＞﹣1且a≠0．22．解：∵函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，∴或（m+3）＝0，解得，m＝﹣1或m＝﹣3，故答案为：m＝﹣1或m＝﹣3．23．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，若抛物线与x轴有一个交点，则当x＝﹣1，y＝0；当x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解得﹣3≤n ＜0；所以，n的取值范围是n＝1或﹣3≤n＜0．故答案为n＝1或﹣3≤n＜0．24．解：由已知可得：对称轴为x＝，∴h＝，∴y＝a（x﹣）2+k，将点A（﹣2，0）代入y＝a（x﹣）2+k，∴k＝﹣a，∵a（x﹣h+m）2+k＝0，∴a（x﹣+m）2﹣a＝0，∵a≠0，∴（x﹣+m）2＝，∵方程的一个根为1，∴（1﹣+m）2＝，故答案为m＝2或m＝﹣3．25．解：当y＝0时，ax2﹣3x+2＝0，∵a＞0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得x1＝，x2＝，∴A、B两点的坐标为（，0），（，0），∵AB＝2，∴﹣＝2，解得a＝．故答案为．三．解答题31．解：∵关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点，∴或，解得，k≤2且k≠1或k＝1，由上可得，k的取值范围是k≤2．32．解：把A（﹣3，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，因为y＝﹣（x﹣1）2+4，所以D点坐标为（1，4），抛物线的对称轴l为直线x＝1．33．解：（1）令y＝0，得：﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴点A（﹣3，0），点B（1，0）；令x＝0，得：y＝3，∴点C（0，3）；设直线AC的解析式为：y＝kx+b，点A（﹣3，0），点C（0，3）在直线AC上，，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝x+3．（2）如图所示，设点P的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），由PM∥x轴，可知点M的纵坐标为﹣a2﹣2a+3，∴x＝﹣a2﹣2a，∴PM＝﹣a2﹣2a﹣a＝﹣a2﹣3a（﹣3＜a＜0），＝．当a＝时，PM最大34．解：（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），根据函数的对称性m＝5；故答案为：向上；（1，﹣4）；5；（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；故答案为：＞；（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3；（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝﹣2或4，故答案为：x＝﹣2或4．35．解：（Ⅰ）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴m＝3；（Ⅱ）∵m＝3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；（Ⅲ）∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y的值随x的增大而减小，故答案为x＞1；（Ⅳ）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，故答案为x＜﹣1或x＞3．22.3 实际问题与二次函数一、选择题（本大题共10道小题）1. 小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是()A．4 cm2B．8 cm2C．16 cm2D．32 cm22. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m3. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是()A．①④B．①②C．②③④D．②③4. 如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为()A．800平方米B．750平方米C ．600平方米D ．2400平方米5. 如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，点P 从点A出发，沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP 面积的最小值是( )A ．8 cm 2B ．16 cm 2C ．24 cm 2D ．32 cm 26. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )A ．y ＝26675x 2 B ．y ＝－26675x 2 C ．y ＝131350x 2D ．y ＝－131350x 27. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形P ABQ 的面积的最小值为 ( )A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 28. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －19. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A ．此抛物线的解析式是y ＝－15x 2＋3.5 B ．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C ．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D ．篮球出手时离地面的高度是2 m10. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD 是边长为80 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四点重合于图中的点O ，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE ＝CF ＝x cm ，要使包装盒的侧面积最大，则x 应取( )A．30 B．25 C．20 D．15二、填空题（本大题共7道小题）11. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.12. 已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.14. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数．．．．)的增大而增大，a 的取值范围应为________．15. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．16. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．17. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.三、解答题（本大题共4道小题）18. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若每件售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价x元．(1)每件衬衫的盈利为多少？(2)用含x的代数式表示每天可售出的衬衫件数．(3)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？(4)这次降价活动中，1920元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高日盈利值．19. 如图，工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)．(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形的边长；(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少元？20. 如图，某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图②，当饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图③，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．21. 有一块形状如图所示的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B ＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A [解析] 设矩形的一边长为x cm ，则另一边长为()4－x cm ，故矩形的面积S ＝x ()4－x ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，S 最大值＝4.故矩形的最大面积为4 cm2.2. 【答案】C [解析] 以2 m 长线段所在直线为x 轴，以其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．3. 【答案】D [解析] ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确； ④设函数解析式为h ＝a(t －3)2＋40， 把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40. 解得a ＝－409，∴函数解析式为h ＝－409(t －3)2＋40.把h ＝30代入解析式，得30＝－409(t －3)2＋40，解得t ＝4.5或t ＝1.5，∴小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s 或4.5 s ，故④错误．故选D.4. 【答案】B[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x 米，则垂直于墙的边长为80－x2米，围成矩形场地的面积为y 平方米， 则y ＝x ·（80－x ）2＝－12x 2＋40x ＝－12(x －40)2＋800.∵a <0，∴x <40时，y 随x 的增大而增大，由于墙长为30米，∴0<x ≤30，∴当x ＝30时，y 取得最大值，为－12×(30－40)2＋800＝750.5. 【答案】A[解析] 设运动时间为t s ，四边形BCQP 的面积为S m 2，。

专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。

九年级上册数学第二十二章第1节《二次函数的图象和性质》解答题精选 (14)一、解答题1．已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象过A(2，0)，B(0，-1)两点（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；2．已知抛物线y=x 2-2x-8（1）求出抛物线y=x 2-2x-8图象的顶点坐标及对称轴（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，求线段AB 的长。

3．如图，对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a ＝1，C 为抛物线与y 轴的交点：①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；②在抛物线的对称轴上找出一点Q ，使BQ +CQ 的值最小，并求出点Q 的坐标．4．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为直线x ＝﹣1．（1）b ＝ ；（用含a 的代数式表示）（2）当a ＝﹣1时，若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0在﹣4＜x ＜1的范围内有解，求c 的取值范围； （3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x ≤1时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为4，求a 的值．5．如图1所示，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点()A 4,0-和点()B 1,0，交y 轴于点()C 0,4．()1求抛物线的函数表达式；()2如图2所示，若点M是抛物线上一动点，且AOM S BOC=，求点M的坐标；S3()3如图3所示，设点N是线段AC上的一动点，作PN x⊥轴，交抛物线于点P，求线段PN长度的最大值．6．有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．7．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），点B是点C 关于该函数图象对称轴对称的点．（1）求二次函数的解析式；（2）求点B的坐标．8． 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是直角△ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 、F 的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线2234(a 0,m 0)y ax amx am 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 左边)，与y 轴交于C 点，顶点为P ，OC=2AO.(1)求a 与m 满足的关系式；(2)直线AD//BC ，与抛物线交于另一点D ，△ADP 的面积为10532，求a 的值； (3)在(2)的条件下，过(1，-1)的直线与抛物线交于M 、N 两点，分别过M 、N 且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G ，求OG 长的最小值.10．如图1，点A 在x 轴的负半轴上，点B 的坐标为（﹣2，﹣4），抛物线y ＝ax 2+bx 的对称轴为x ＝﹣5，该抛物线经过点A 、B ，点E 是AB 与对称轴x ＝﹣5的交点．（1）如图1，点P为直线AB下方的抛物线上的任意一点，在对称轴x＝﹣5上有一动点M，当△ABP 的面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值以及点P的坐标．（2）如图2，把△ABO沿射线BA方向平移，得到△CDF，其中点C、D、F分别是点A、B、O的对应点，且点F与点O不重合，平移过程中，是否存在这样的点F，使得以点A、E、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．11．小明对函数y＝﹣|x2﹣4|的图象和性质进行了探究，其探究过程中的列表如下：（1）求表中m，n的值；（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条函数的性质；（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣|x2﹣4|＞x﹣2的解集．12．若两个二次函数的图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同类二次函数”．（1）请直接写出两个为“同类二次函数”的函数；（2）已知关于x 的二次函数y 1＝（x +2）2﹣3和y 2＝ax 2+bx ﹣1，若y 1+y 2与y 1为“同类二次函数”，求函数y 2的表达式，并求出当﹣3≤x ≤0时，y 2的最大值．13．已知二次函数2y x bx c =+-的图像经过两点()1,P a 、()2,10Q a .（1）如果a 、b 、c 都是整数，且8c b a <<，求a 、b 、c 的值；（2）设二次函数2y x bx c =+-的图像与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C .如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC ∆的面积.14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于点()2,0A 、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，1tan 2CBA ∠=.（1）求抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，BCE ∆是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标.15．如图，二次函数y ＝﹣16x 2+32x +6与x 轴相交A ，B 两点，与y 轴相交于点C ． （1）若点E 为线段BC 上一动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点P ，垂足为F ，当PE ﹣2EF取得最大值时，在抛物线y 的对称轴上找点M ，在x 轴上找点N ，使得PM +MN NB 的和最小，若存在，求出该最小值及点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在（1）的条件下，若点P ′为点P 关于x 轴的对称点，将抛物线y 沿射线BP ′的方向平移得到新的抛物线y ′，当y ′经过点A 时停止平移，将△BCN 沿CN 边翻折，点B 的对应点为点B ′，B ′C 与x 轴交于点K ，若抛物线y ′的对称轴上有点R ，在平画内有点S ，是否存在点R 、S 使得以K 、B ′、R 、S 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S 的坐标；若不存在，请说明理由．16．某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数y＝223(1)1(1)ax bx xx x⎧+-≥⎨-<⎩的图象与性质进了探究，请补充完整以下的探索过程．（1）填空：a＝．b＝．（2）①提上述表格补全函数图象；②该函数图象是关于对称的（横线上填轴对称或中心对称）图形．（3）若直线y＝12x+t与该函数图象有三个交点，直接写出t的取值范围．17．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y＝ax2+bx+c顶点在二次函数y ＝2x 2﹣3x ﹣4图象上并且二次函数y ＝ax 2+bx+c 经过一次函数y ＝x+2与y 轴的交点，求二次函数y ＝ax 2+bx+c 的解析式；（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣4的最小值为a ，若“丘比特函数组”中的一次函数y ＝2x+3和二次函数y ＝ax 2+bx+c （b 、c 为参数）相交于PQ 两点请问PQ 的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2﹣2mx ﹣3（m≠0）与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B 、C(B 在C 的左侧)（1）求点A 的坐标和对称轴（2）若∠ACB ＝45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，对称轴上是否存在一点P,使△PAB 的周长最小？若存在，求出P 点坐标和△PAB 的周长，若不存在，请说明理由。