2012考研数学参考书及复习计划

2012考研《数学》大纲综述及备考指导2011年9月15日教育部考试中心发布了2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲，与去年相比考试内容和考试要求上没有变化，具体如下：试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分;填空题 6小题，每小题4分，共24分;解答题(包括证明题) 9小题，共94分.数学一高等数学部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.概率论与数理统计部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.数学二高等数学部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.数学三2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.概率论与数理统计部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.农学数学高等数学部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.概率论与数理统计部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.大纲在考试要求和考试内容上没有变化，对于考生来说可以按照既定的复习计划，按部就班的进行备考了。

与此同时，同学们最好能够根据考试大纲上的知识点再系统的复习一下相应的考试点，一方面可以起到巩固提高的作用，另外一方方面，可以形成知识体系脉络。

2012年考研《数学》大纲解析及复习指导一、手中必备新大纲今年新的大纲，也就是说2012年全国硕士生入学考试的大纲和2011年在概率统计部分上是没有什么区别的。

大家可以按照2011年的大纲去复习。

作为研究生入学考试大纲，我们需要把它仔细认真读一下，很多同学曾经问过我，作为研究生考试，哪本书必须有，那我就说考试大纲，考试大纲是我们命题的依据，所以，每个同学要把大纲的每一个考核点，以及每个考点的要求读懂读清楚，结合前一段你的复习，这样才能正确地掌握有关考试的一些内容，一些要求，才有可能取得好的成绩。

二、全面研读新大纲，了解、理解、掌握和灵活运用不同要求要区别对持新的大纲公布了，我们首先要把大纲当中的内容看清楚，比如说，概率统计部分，概率论与数学统计部分，分为八个内容，我们简称为八章，这八章在大纲当中写的很清楚，我就不在一一说了。

比如说像数学三的考试，概率论与数理统计部分就是随机概率，首先知道我们要考哪些内容?特别是数学一同学跟数学三同学有哪些区别要搞清楚。

作为每一章有考试内容，第一章考试内容大纲写的很清楚，如随机事件与样本空间，事件的关系与运算等等，作为每一个考试内容，都有考试要求。

比如说一，了解样本空间的概念，有些人问我了，什么叫做了解?下面还有理解，以及掌握灵活运用等等。

这就是大纲上对该考核点的一个认知层次，这里我必须说清楚，是考研要求的最高层次。

如果这里要求理解，那样怎么办?就可以考，考核点的理解和了解，如果他要求了解，作为考试来说，不能高于这样的一个考试要求，这样就把每一个考点的考试要求一一都给读清楚。

这就有一个问题，我必须说明，认知层次和难度不是一回事，认知层次和考与不考没有关系。

这就是很多同学在读大纲当中容易出现的一些问题。

作为研究生入学考试数学部分，只要求四个层次。

他们分别是了解、理解、掌握和灵活运用。

我先把四个层次简单地给说一下。

作为这四个层次，比如说什么是了解?我们先可以看一下，所谓了解实际上是比实际这样一个认知层次高的一种层次，它要求对知识的含义有感性的初步认识，能够说出这一知识是什么?能够在有关问题当中识别他们，这些很多同学不知道，那么了解是这样一个层次。

(免积分)2012考研数学一大纲(整理版,便于打印)2012年硕士研究生入学统一考试数学考试大纲数学一考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学约56％线性代数约22%概率论与数理统计22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．洛必达（L ’Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘 函数的最大值和最小值4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间«Skip Record If...»内，设函数«Skip Record If...»具有二阶导数。

2012年硕士研究生入学统一考试数学考试大纲数学一考试科目:高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分,考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构高等教学约56%线性代数约22%概率论与数理统计22%四、试卷题型结构试卷题型结构为:单选题8小题,每题4分,共32分填空题6小题,每题4分,共24分解答题(包括证明题9小题,共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续,会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理,并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle定理、拉格朗日(Lagrange中值定理和泰勒(Taylor定理,了解并会用柯西(Cauchy中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间内,设函数具有二阶导数。

第一阶段夯实基础，全面复习主要目标：基本教材阶段。

吃透考研大纲的要求，做到准确定位，事无巨细地对大纲涉及到的知识点进行地毯式的复习，夯实基础，训练数学思维，掌握一些基本题型的解题思路和技巧，为下一个阶段的题型突破做好准备。

第二阶段熟悉题型，前后贯通主要目标：复习全书阶段。

大量习题训练，熟悉考研题型，加强知识点的前后联系，分清重难点，让复习周期尽量缩短，把握整体的知识体系，熟练掌握定理公式和解题技巧。

第三阶段查缺补漏，模拟训练主要目标：套题、模拟训练题阶段。

练习答题规范，保持卷面整洁，增加信心，练习掌握考试时间的分配，增强临场应变的能力，要对自己前两个阶段复习中出现含糊不清，掌握不牢的地方重点加强。

第四阶段强化记忆，保持状态主要目标：查漏补缺，回归教材。

强化记忆，调整心态，保持状态，积极应考。

三、学习方法解读（1）强调学习而不是复习对于大部分同学而言，由于高等数学学习的时间比较早，而且原来学习所针对的难度并不是很大，又加上遗忘，现在数学知识恐怕已经所剩无几了，所以，这一遍强调学习，要拿出重新学习的劲头亲自动手去做，去思考。

（2）复习顺序的选择问题我们建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。

高等数学是线性代数和概率论与数理统计的基础，一定要先学习。

我们并不主张三门课齐头并进，毕竟三门课有所区别，要学一门就先学精了再继续推进，做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉，到时你反而会耗费更多的时间去收拾烂摊子。

同学们也可根据自己的特殊情况调整复习顺序。

（3）注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握结合考研辅导书和大纲，先吃透基本概念、基本方法和基本定理，只有对基本概念深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。

分析表明，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理理解不准确，基本解题方法没有掌握。

因此，首轮复习必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学原理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫，如果这个基础打不牢，其他一切都是空中楼阁。

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2012考研复习计划第一轮复习策略：英语、数学和专业课的第一轮复习都安排在起步期（3—6月）英语：重点是考研词汇、基本语法，同时阅读理解训练也要开始。

数学：重点在于先全面整理一下基本概念、定理、公式及其基本应用。

第二轮复习策略：所有科目的第二轮复习都安排在强化期（7-10月）。

关键是要完成两个任务：一是对各科重点、难点的提炼和把握；二是逐步将已经掌握的知识转化为实际解题能力。

政治：重点提炼没门课程的基本理论和重要结论，以及考试知识点，特别是新增考点和新修考点，对跨章节甚至跨学科的相关知识点进行初步综合。

二是当年重大时事政治与相关基本理论的结合。

英语：词汇方面尤其是固定搭配和习惯用法。

另一个重点是解决长难句，掌握各种句式。

同时加大阅读量。

数学：在首轮复习大量练习的基础上，回头总结、归纳，提炼解题规律。

专业课：对各专业课程进行逻辑框架上的整理，在心中建立起整个专业体系。

另外一点就是要开始按照专题归纳整理专业知识内容。

第三轮复习策略：政治：一是时事政治与基本理论的结合，二是进行答题方法训练，强化答题技巧。

英语：一是进行大量模考练习。

二是强化训练短文写作。

数学：进行大量模拟训。

模考带复习：一是自我模考。

二是参加模考班。

复习参考书：政治：《考试大纲解析》、《万学海文·强化班讲义》、《万学海文·冲刺班讲义》、《模拟卷》。

英语：《词汇》、《历年真题》、《模拟卷》。

数学：《大纲解析》、《基础过关660题》、《复习全书》、《教材》、《历年真题》、《模拟卷》、《万学海文·强化班讲义》、《万学海文·冲刺班讲义》。

专业课：《专业课教材》、《万学海文·专业课辅导讲义》。

2012考研数学详细复习计划D首轮复习中需要注意的问题：1.注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握结合考研辅导书和大纲，先吃透基本概念、基本方法和基本定理，只有对基本概念深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。

分析表明，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理理解不准确，基本解题方法没有掌握。

因此，首轮复习必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学原理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫，如果不打牢这个基础，其他一切都是空中楼阁。

2.加强练习，充分利用历年真题，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。

试题千变万化，但其知识结构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。

通过大量的训练可以切实提高数学的解题做习题巩固。

对于数学基础较差的同学建议每天再加一个小时的复习时间用来做习题并总结。

以上所提供的学习计划仅供参考.。

对于每天的学习时间，你可以根据自己的习惯自行调整，但是要求保持每两周和我们计划内容相同。

第一阶段夯实基础，全面复习（3月-8月）主要目标：吃透考研大纲的要求，做到准确定位，事无巨细地对大纲涉及到的知识点进行地毯式的复习，夯实基础，训练数学思维，掌握一些基本题型的解题思路和技巧，为下一个阶段的题型突破做好准备。

从历年试卷的内容分布上可以看出，凡是考试大纲中提及的内容，都有可能考到，甚至某些不太重要的内容也可以以大题的形式在试题中出现。

由此可见，任何的投机取巧到头来只会坑害自己，明智的做法应当是参照考试大纲，全面复习，不留遗漏。

因此我们复习的主要思路就是以考纲为纲，先把数学课本从头到尾认真地学习一遍，主要先不针对重点和难点，而是一视同仁地对照课本和辅导资料对知识点进行事无巨细的复习。

对一些重要的概念，公式要进行理解基础上的记忆，顺便做一些比较简单的习题，这些课后习题和辅导资料习题对于总结一些相关的解题技巧很有帮助，同时也有助于知识点的回忆和巩固。

2012考研数学详细的全程辅导书选择及复习规划[233网校论坛精品资料]【233网校会员中心】为您提供计算机类、外语类、资格类、学历类，会计类、建筑类、医学类、外贸类及公务员九大类免费在线题库及专家答疑2012考研数学必看：很详细的考研数学全程辅导书选择及复习规划《寒假配套特训100题》特训题1、 设2(1)x x x f e e e x +=++，求f (x ). 解 令1x e u +=，ln(1)x u =-22()(1)(1)ln(1)ln(1)f u u u u u u u =-+-+-=-+-于是 2()ln(1)f x x x x =-+- 特训题2、 求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦解：4300(sin sin sin )sin sin sin sin limlim x x x x x x x x x →→--=20cos cos(sin )cos lim3x x x x x →-⋅=200cos (1cos(sin ))sin(sin )cos limlim36x x x x x xx x →→-⋅==0sin 1lim 66x x x →==特训题3、 求1132lim 23n n n n n ++→∞-+.解 分子、分母用3n除之，原式＝233lim 32213nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（注：主要用当1r <时，lim 0nn r→∞=）特训题4、 求下列各极限 （1）0x → （2）0x →解 （1）解一 原式＝11212x x x →+--==解二 原式＝))011limx x→-0122lim 1x x x x→⎛⎫--⎪⎝⎭=等价无穷小量代换解三用洛必达法则1 原式＝01lim 11x →-⎛⎫⎝⎭=（2）解一原式＝()()22112lim3x x x x →+--=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦解二 类似（1）中解二用等价无穷小量代换 解三 类似（1）中解三用洛必达法则（2）222111lim 11123n n→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 解 原式＝111111lim 1111112233n n n→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ＝13241111lim lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++==g g g L g特训题5、 求下列极限（1）102lim 1x x x+→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）11lim 1xx x x →-⎛⎫⎪+⎝⎭解 （1）2(10)10222lim 1lim 1x x x x n x xx +⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝()1021222lim 1x x x e x ⎛⎫-+⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭-→∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫+-=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎩⎭（2）解一 ()()[]111(1)120100lim 1lim 1()1lim 1lim 1x xxx x x xx x x x e e x e ex ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭-→→→→-+--⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+g解二12112120001122lim lim lim 1111x x x x x x x x x x x x e x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭-→→→-+-⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦特训题6、 求下列极限（1）cot 0lim(1tan )xx x →+ （2）411lim x x x -→（3）2cot 0lim(cos )xx x →解 （1）令 tan x t=则1cot x t=，当0x →时0t → 于是 1cot 0lim(1tan )lim(1)xtx t x t e→→+=+=（2）令1x t -=则1x t =+，当1x →时，0t →于是 ()444141100lim lim(1)lim 1x tt x t t xt t e -→→→⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦（3）()()22222cos 1cos cot 222sin2sin 0lim(cos )lim(1sin )lim 1(sin )xx xxx x x x x x x --→→→⎡⎤=-=+-⎣⎦g＝12e -特训题7、 求下列极限（1）1lim nn k →∞= （2）21lim nn k k nn k→∞=++∑解 （1）∵nk =≤≤而1n n ==1n n ==由夹逼定理可知lim 1nn k →∞== （2）∵222112121n k n k nn n n n n kn n =++++++≤≤++++++∑L L而21(1)1212lim lim 2(2)2n n n n n n n n n →∞→∞++++==++L 221(1)1212lim lim 112n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++L则夹逼定理可知211lim 2nn k k n n k →∞==++∑特训题8、 求221lim nn k nnk →∞=+∑.分析 如果还想用夹逼定理中方法来考虑2222222211nk n n n n n n k n =≤≤+++∑而2221lim 2n n n n →∞=+，222lim 11n n n →∞=+由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑.解2221111lim lim 1nnn n k k n n k n k n →∞→∞===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑＝11200arctan 14dxx xπ==+⎰特训题9、 求311sinlim 1sin n nn n→∞-.解 离散型不能直接用洛必达法则，故考虑33sin sin limlimsin x x x x x x xx →→--等价无穷小代换＝21cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-== ∴原式＝16. 特训题10、 求21100lim x x e x-→. 解 若直接用“00”型洛必达法则1，则得22113912002lim lim 105x x x x e e x xx --→→⎛⎫ ⎪⎝⎭=（不好办了，分母x 的次数反而增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令21tx =，于是 2151050lim lim lim t x t x t t e e t x t e---→→+∞→+∞== (“∞∞”型) ＝455!lim lim 0t t t t t e e→+∞→+∞===L特训题11、求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 解 0011(1)lim lim1(1)x x x x x e x x e x e →→--⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ （“00”型） ＝001lim lim (1)x xx x x x xx x e e e xe e e xe →→-=-+++＝011lim22x x →=+ 特训题12、 求22201cos lim()sin x xx x→-. 解 原式＝222220sin cos lim sin x x x x x x→-g＝22401sin 24limx x xx →-＝3042sin 2cos 24lim4x x x xx →-＝301sin 44lim 2x x x x →-＝21cos 44sin 44lim lim 6123x x x x x x →→-== 特训题13、设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .解：1分析：由()()22lim lim 11x c x c f x f x cc c+-→→=⇒+=⇒=特训题14、 求2sin 0lim xx x +→. 解 令2sin x y x =，2ln sin ln y x x =200lim ln lim sin ln 0x x y x x ++→→==（见2中例3）∴00lim 1x y e+→==特训题15、 求()2cot 0lim cos xx x →（前面已用重要公式的方法）. 解 令()2cot cos xy x =，2ln cot ln cos y x x =222000ln cos ln cos limln limcot ln cos lim limtan x x x x x xy x x x x→→→→=== （“00”型）＝0tan 1lim 22x x x →-=-，∴12lim x y e -→=特训题16、 求11lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 令11sin cos xy x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11ln ln sin cos y x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭011ln sin cos ln(sin cos )lim ln lim lim 1x x t t t x x y tx→∞→∞→⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==＝0cos sin lim 1sincos t t tt t→-=+ ∴lim x y e →∞=特训题17、 求极限21sin lim ln x xx x→. 解：221sin 1sin lim ln lim ln 11x x x x x x x x→→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-特训题18、 求0(1cos 2)arctan 3lim (1)ln(12)sin 5xx x x e x x→--+. 解 用等价无穷小量代换 原式＝201(2)(3)32lim (2)(5)5x x x x x x →=g g g特训题19、 求2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++.解 这个极限虽是“00”型，但分子、分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则.原式＝0sin 13cos 13lim ln(1)1cos 2x xx x x x x x →⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦特训题20、 求3501sin 6lim x x x x x→-+.解 ∵355sin ()3!5!x x x x o x =-++ （当0x →时） ∴原式＝5550()115!lim 5!120x x o x x →+==特训题21、 设0()2f x '=，求000(3)(2)lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆.解 原式＝[][]0000(3)()(2)()lim x f xx f x f x x f x x∆→+∆---∆-∆ ＝()000000(3)()(2)()3lim2lim 32x x f x x f x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-+∆-∆＝03()2()5()10f x f x f x '''+==特训题22、 设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切，求2lim ()n nf n →∞.解 由题设可知(0)0f =，0(0)(sin )1x f x =''== 于是2(0)2lim lim 22(0)220n n f f n nf f n n→∞→∞⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭'=== ⎪⎝⎭-g特训题23、 设0>a ，10x b =>，21112a x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， (11)12n n n a x x x--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求lim nn x →∞. 解∵0n x ≥=>（算术平均值≥几何平均值） 又211022n n n n n n na x a x x x x x x +⎛⎫--=+-=≤ ⎪⎝⎭，则1n n x x +≤因此{}n x 单调减少，又有下界，根据准则1，lim nn xA→∞= 存在把1112n n n a x x x--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边取极限，得12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2A a=，∵A ＞0，∴取A =lim nn x→∞=特训题24、 求下列函数在分段点处的极限2sin 2 <0() >01cos xx xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩　解0sin 2sin 2(00)lim lim 222x x x xf x x--→→-===22002(00)lim lim 211cos 2x x x x f x x ++→→+===-∴0lim ()2x f x →=特训题25、 求1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭.解1402sin lim 211()1x x x e x x e -→⎛⎫+ ⎪+=-= ⎪- ⎪+⎝⎭43402sin lim 0111x xx x e e x x e +--→-⎛⎫+ ⎪+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭∴1402sin lim 11x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭特训题26、 设221lim 3sin(1)x x ax bx →++=-，求a 和b. 解 由题设可知21lim()0x xax b →++=，∴1+a+b=0再对极限用洛必达法则2221122lim lim 3sin(1)2cos(1)2x x x ax b x a a x x x →→++++===-- 4,5a b ==-特训题27、()f x 连续，21cos(sin )lim 1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =解：12 分析：220011sin 22lim 1,lim 1()()x x x x f x f x →→==则，由()f x 连续，则1(0)2f = 特训题28、 讨论函数()10001sin 0x e x f x x x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩在点0x =处的连续性。