“相反数”典型例题5

祖π数学新人教 七年级上册之精讲精练 1【知识点1】相反数的概念知识要点：(1)只有 不同的两个数互为相反数．如：1与 互为相反数．(2)在任意一个数的前面添上 ，新的数就表示原数的相反数，即a 的相反数是 .(3)一个正数的相反数是 ，一个负数的相反数是 ，0的相反数是 ．【典型例题】1．下列说法：①－6是相反数；②6是相反数；③－6是6的相反数；④－6和6互为相反数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若一个数的相反数是3，则这个数是( )A ．－13B 13C ．－3D ．3 3．下列说法中正确的是( )A ．一个数的相反数是负数B ．0没有相反数C ．只有一个数的相反数等于它本身D ．表示相反数的两个点，可以在原点的同一侧4．下列判断正确的是( )A ．符号不同的两个数互为相反数B ．互为相反数的两个数一定是一正一负C ．相反数等于本身的数只有零D ．互为相反数的两个数的符号一定不同5．-5的相反数是 ；-（-8）的相反数是 ；0的相反数是 ； a 的相反数是 ；的相反数是_ _； -的相反数是_ _ .6.如图，数轴上有A 、B 、C 、D 四个点，其中表示互为相反数的点是 .7.在数轴上离原点距离5个单位的所有点的数之和是______；离原点距离100个单位的所有点的数之和是_ _____.8．若a －2与－7互为相反数，则a 的值为 ；当n= 时，2n-3与n-9互为相反数.9．写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来：－1.5，－534，＋225，－2.8，7，＋5.5.。

绝对值与相反数（提高）责编：康红梅【学习目标】1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4． 通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．【要点梳理】要点一、相反数1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．要点二、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．要点诠释：　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．要点三、绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点四、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：同为正号：绝对值大的数大两数同号同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数正数与0：正数大于0－数为0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若，则；若，则；若，1a b >a b >1a b =a b =1a b <则；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．a b <5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【典型例题】类型一、相反数的概念1．（2014•常德一模）若m 与n 互为相反数，则|m+n﹣2|= ．【答案】2【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：|m+n﹣2|=0m n +=|0﹣2|=2．【总结升华】若互为相反数，则或．,m n 0m n +=m n =-举一反三：【变式】（2014秋•监利县期末）若|x﹣2|与（y+3）2互为相反数，则x+y= ．【答案】-1.∵|x ﹣2|与（y+3）2互为相反数，∴|x ﹣2|+（y+3）2=0，∴x ﹣2=0，y+3=0，解得x=2，y=﹣3，∴x+y=2+（﹣3）=﹣1．故答案为：﹣1．类型二、多重符号的化简2．化简下列各数．①； ②； ③ ；④；⑤(6)--(6)-+[(6)]--+{[(6)]}---+{[(6)]}----【答案】①6； ②；③6；④-6；⑤66-【解析】①表示-6的相反数，所以；(6)--(6)6--=②表示+6的相反数，所以；(6)-+(6)6-+=-③ 前面共有2个“-”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以；[(6)]--+[(6)]6--+=④中共有3个“-”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以=-{[(6)]}---+{[(6)]}---+6；⑤中共有4个“-”号，即偶数个，而 “+”可以省略，所以{[(6)]}----{[(6)]}6----=【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．类型三、绝对值的概念3．如果|x|＝6，|y|＝4，且x ＜y ．试求x 、y 的值．【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．【答案与解析】因为|x|＝6，所以x ＝6或x ＝-6；因为|y|＝4，所以y ＝4或y ＝-4；由于x ＜y ，故x 只能是-6，因此x ＝-6，y ＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x ＝-6，y ＝±4，就是x ＝-6，y ＝4或x ＝-6，y ＝-4．举一反三：【变式】如果数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ．如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ；如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．【答案】6或-6；1或3；或x>3x<-3类型四、比较大小4． 比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．45-34--π-| 3.14|--【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，3344--=-44165520-==，且．所以．33154420-==16152020>4354-<-- (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．类型五、含有字母的绝对值的化简5． 把下列各式去掉绝对值的符号．(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b ＞5)．【思路点拨】绝对值的化简问题主要看绝对值里面的数或式子是大于等于0，还是小于0，如果是大于等于0，化简后等于它本身；如果小于0，化简后等于它的相反数.【答案与解析】(1)∵ a≥4，∴a-4≥0，∴ |a-4|＝a-4．(2)∵ b ＞5，∴ 5-b ＜0，∴ |5-b|＝-(5-b)＝b-5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号．举一反三：【变式】已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示： 化简：【答案】由图所示，可得． ∴ ，，，30a c -> ∵ ． ∴ 原式．类型六、绝对值非负性的应用6． 已知a 、b 为有理数，且满足：，则a =_______，12b =________．【答案与解析】由，，，可得 ∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式】已知b 为正整数，且a 、b 满足，求的值．【答案】由题意得∴ 所以，2ba 类型七、绝对值的实际应用7．一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关.【答案与解析】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻．【总结升华】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.。

《相反数》典型例题相反数是只有符号不同的两个数．（1）从数轴上看，表示互为相反数的两个点，它们分别在原点的两旁且与原点的距离相等．（2）相反数是成对出现的，不能单独存在．（3）“+a”和“－a”互为相反数．这里a可以是正数、负数、也可以是0．我们来看看相反的两种题型：知识点一：相反数的概念【例1】（1）2(1)7--的相反数是；（2）如果－a=+（－80.5），那么a= ．【分析】（1）因为2(1)7--=217，所以此题就是求的相反数217；（2）已知a的相反数求原数的问题．【解】（1）因为2(1)7--=217，所以2(1)7--的相反数是217．（2）因为－a=+（－80.5）=－80.5，所以a=80.5．变式练习：写出下列各数的相反数：4.5，－3，0，35，58-，－0.03，+7.参考答案：－4.5，3，0，35-，58，0.03，－7.知识点二：利用相反数的概念简化数的符号【例2】化简下列各数：（1）－（+3）（2）－（－2）（3）－（a）（4）+(－a).【分析】在一个数前面加上“+”号，所得数不是来的数；在一个数前面加上“－”号，表示求这个数的相反数．如：（1）题表示求+3的相反数；（2）、（3）题表示求－2和a的相反数；（4）题表示仍为－a自身．【解】（1）－（+3）= －3；（2）－（－2）=+2；（3）－（a）=－a；（4）+（－a）=－a.【说明】所谓简化一个数的符号，就是把多重符号化成单一符号，结果是正号则可省略不写．变式练习：化简下列各数：－（－68），－（+0.75），－（35），－（+3.8）.参考答案：68，－0.75，35，－3.8.。

《相反数》典型例题相反数是只有符号不同的两个数．（1）从数轴上看，表示互为相反数的两个点，它们分别在原点的两旁且与原点的距离相等．（2）相反数是成对出现的，不能单独存在．（3）“+a”和“－a”互为相反数．这里a可以是正数、负数、也可以是0．我们来看看相反的两种题型：知识点一：相反数的概念【例1】（1）2(1)7--的相反数是；（2）如果－a=+（－80.5），那么a= ．【分析】（1）因为2(1)7--=217，所以此题就是求的相反数217；（2）已知a的相反数求原数的问题．【解】（1）因为2(1)7--=217，所以2(1)7--的相反数是217．（2）因为－a=+（－80.5）=－80.5，所以a=80.5．变式练习：写出下列各数的相反数：4.5，－3，0，35，58-，－0.03，+7.参考答案：－4.5，3，0，35-，58，0.03，－7.知识点二：利用相反数的概念简化数的符号【例2】化简下列各数：（1）－（+3）（2）－（－2）（3）－（a）（4）+(－a).【分析】在一个数前面加上“+”号，所得数不是来的数；在一个数前面加上“－”号，表示求这个数的相反数．如：（1）题表示求+3的相反数；（2）、（3）题表示求－2和a的相反数；（4）题表示仍为－a自身．【解】（1）－（+3）= －3；（2）－（－2）=+2；（3）－（a）=－a；（4）+（－a）=－a.【说明】所谓简化一个数的符号，就是把多重符号化成单一符号，结果是正号则可省略不写．变式练习：化简下列各数：－（－68），－（+0.75），－（35），－（+3.8）.参考答案：68，－0.75，35，－3.8.。

第二讲数轴相反数一、知识要点1、数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的画法：(1)画一条水平的直线；(2)在直线上适当的选取一点为原点；(3)通常规定直线上从原点向右为正方向，用箭头表示出来(箭头标在画出部分的最右端)；(4)根据需要选取适当的长度为单位长度，从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点，依次标为1，2，3，…；－1，－2，－3，…知识延伸：画数轴要注意以下三点：(1)三要素缺一不可；(2)数轴是一条直线，不要画成线段或射线；(3)单位长度要一致。

规律方法小结：(1)数轴是一条直线，可以向两方无限延伸，画出的部分两端不要描点，以免画成射线或线段；(2)原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，一般取向右为正方向，箭头标在画出部分的最右端。

2、数轴上的点与有理数之间的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数。

如数轴上表示π的点表示的数就不是有理数。

正数可以用原点右边的点表示，反过来原点右边的点都表示正数；负数可以用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数。

0用原点表示，反过来原点表示0。

3、相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数是0。

相反数的几何意义：在数轴上位于原点两旁并且到原点的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。

－a 与a 互为相反数，a 的相反数是－a ，－a 的相反数是a 。

知识延伸：(1)相反数总是成对出现的，只能两个数互为相反数，对一个数而言是谈不上互为相反数的。

例如：说－2是相反数是错误的。

(2)“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除符号不同外，其他完全相同，并不是符号不同的两个数就是互为相反数。

例如：－3与2符号不同，但它们不是互为相反数。

规律方法小结：(1)当a >0时，－a <0；当a =0时，－a =0；当a <0时，－a >0。

以上说明a 不一定是正数，－a 也不一定是负数；(2)多重符号的化简方法：一个数前面是“＋”号，可以把“＋”号去掉；一个正数前面有偶数个“－”号，可以把“－”号都去掉；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简符号后只有一个“－”号。