(2020整理)中考数学总复习：四边形综合复习--巩固练习(提高)

专题：《四边形》（专题测试-提高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（每题4分，共48分）1．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）A．n＝6 B．n＝7 C．n＝8 D．n＝92．如图，点P是四边形ABCD内的一点，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，设∠C+∠D 的大小为x，∠P的大小为y，则x，y的关系是（）A．y＝2x﹣180°B．y＝x C．y＝x D．y＝180°﹣x 3．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．44．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝1，则AB的长是（）A．1 B．2 C．D．25．用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（）A．B．C．D．不能确定6．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，连AC、BE、DF、CE，AC分别交BE、DF于G、E，判断下列结论：（1）BF＝DE；（2）AG＝GH＝HC；（3）EG＝BG；（4）S＝6S△AGE，其中正确的结论有（）△BCEA．1 B．2 C．3 D．47．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法正确的是（）A．若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD相等B．若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等C．若AC＝BD，则四边形EFGH是矩形D．若AC⊥BD，则四边形EFGH是菱形8．我们知道，勾股定理反映了直角三角形三条边的关系：a2+b2＝c2，而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形的面积．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，O为AB的中点分别以AC，BC为边向△ABC外作正方形ACFG，BCED，连结OF，EF，OE，则△OEF的面积为（）A．B．C．D．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的大小为（）A．8 B．4C．8D．610．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．B．2C．2D．11．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（）个平行四边形．A．22 B．24 C．26 D．2812．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（每题4分，共20分）13．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是．14．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，则∠BOD的度数是度．15．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为．16．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为cm．17．一组正方形按如图所示放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C…在x轴上．已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，3则正方形A2019B2019C2019D2019的边长是．三．解答题（每题8分，共32分）18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，动点D从A出发，以每秒10个单位长度的速度向终点C运动．过点D作DF⊥AC交AB于点F，过点D做AB的平行线，与过点F且与AB垂直的直线交于点E，设点D的运动时间为t（秒）（＞0）（1）用含t的代数式表示线段DE的长；（2）求当点E落在BC边上时t的值；（3）设△DEF与△ABC重合部分图形的面积为S（平方单位），求S与t的函数关系式；（4）连结EC，若将△DEC沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形能形成菱形直接写出此时t的值．19．已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BDC＝45°，过点B作BH⊥DC交DC的延长线于点H，在DC上取DE＝CH，延长BH至F，使FH＝CH，连接DF、EF．（1）若AB＝2，AD＝，求BH的值；（2）求证：AC＝EF．20．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（与点O 不重合），作AF⊥BE，垂足为G，交BC于F，交BO于H，连接OG，CG．（1）求证：AH＝BE；（2）试探究：∠AGO的度数是否为定值？请说明理由；的值．（3）若OG⊥CG，BG＝2，求S21．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在D的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD之间的位置关系为，数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动（如图4）当∠ACB＝时，CF⊥BC（点C，F重合除外）？（3）若AC＝4，BC＝3．在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．参考答案一．选择题1．解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，解得：n＝8，故选：C．2．解：∵四边形ABCD，∠C+∠D的大小为x，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣x，∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝，∵∠P的大小为y，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠PBA），即y＝180°﹣（360°﹣x）＝x，故选：B．3．解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．4．解：在矩形ABCD中，OA＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝AD＝1，∴BD＝1+1＝2，由勾股定理得，AB＝＝＝．故选：C．5．解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1×1÷2＝；是原正方形的面积的一半；故选A．6．解：（1）∵▱ABCD，∴AD＝BC，AD∥BC．∵E、F分别是边AD、BC的中点，∴BF∥DE，BF＝DE．∴BEDF为平行四边形，BE＝DF．故正确；（2）根据平行线等分线段定理可得AG＝GH＝HC．故正确；（3）∵AD∥BC，AE＝AD＝BC，∴△AGE∽△CGB，AE：BC＝EG：BG＝1：2，∴EG＝BG．故正确．（4）∵BG＝2EG，∴△ABG的面积＝△AGE面积×2，∴S△ABE＝3S△AGE．又∵S△BCE＝2S△ABE．∴S△BCE＝6S△AGE．故正确．故选：D．7．解：∵E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理可知，HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形，AC与BD不一定相等，A说法错误；四边形EFGH是正方形时，AC与BD互相垂直且相等，B说法正确；若AC＝BD，则四边形EFGH是菱形，C说法错误；若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形，D说法错误；故选：B．8．解：如图，过点O作OH⊥AC于点H，∵∠ACB＝90°∴OH∥BC设OF与AC交于点G，∴＝∵O为AB的中点，∴H为AC的中点，∴OH BC＝a，AH＝AC＝b，设CG＝x，则GH＝b﹣x，∴＝解得x＝∴S△OEF＝（EC+CG）•（FC+OH）＝（a+）•（b+a）＝（a2+2ab+b2）＝（a+b）2故选：D．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，∵CE＝BC，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AB＝DC，AE＝AB，∴AE＝DC，∴四边形ACED是矩形；∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，∴OA＝OC，∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC＝AC＝4，∴CD＝2OC＝8；故选：A．10．解：设EF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴BD＝AB＝2，EF＝BF＝x，∴BE＝x，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴BD＝BE+ED＝x+2＝2，解得：x＝2﹣，即EF＝2﹣；故选：B．11．解：根据图形分析可知：第1幅时，有2×1﹣1＝1个平行四边形；第2幅时，有2×2﹣1＝3个平行四边形；第3幅时，有2×3﹣1＝5个平行四边形；第4幅时，有2×4﹣1＝7个平行四边形；…；第n幅时，有2×n﹣1＝2n﹣1个平行四边形；∴第6幅图时，有2×6﹣1＝11个平行四边形，第7幅图，有2×7﹣1＝13个平行四边形，∴第6幅和第7幅图中合计有11+13＝24个平行四边形；故选：B．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点F、G分别是AD、BC的中点，∴AF＝AD，BG＝BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四边形ABGF是菱形，故②正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，故③正确；∴∠FCD＝∠M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确，故选：D．二．填空题（共5小题）13．解：在梯形BCED中，作AG⊥BC于G，交DE于F，如图所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，解得：AF＝4，∴AG＝AF+GF＝4+2＝6．故答案为：6．14．解：在DO延长线上找一点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠BOM＝360°﹣220°＝140°．∵∠BOD+∠BOM＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠BOM＝180°﹣140°＝40°．故答案为：4015．解：连接BB′，∵BE＝B′E＝EC，∴∠BB′C＝90°，∴∠B′CD＜90°，（1）如图1，∠B′DC＝90°，则四边形ABEB′和ECDB′是正方形，∴BC＝2AB＝4，（2）如图2，∠CB′D＝90°，则B，B′D三点共线，设AE，BB′交于F，则F，B′是对角线BD的三等分点，∵△BCB′∽△CDB′，∴＝＝，∴＝， ∴BC ＝CD ＝2，故答案为：4或2．16．解：如图1，2中，连接AC ．在图2中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠B ＝90°，∵AC ＝a ，∴AB ＝BC ＝a ，在图1中，∵∠B ＝60°，BA ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝a ，故答案为：a ，17．解：∵∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，∴∠D 1C 1E 1＝∠C 2B 2E 2＝∠C 3B 3E 4＝30°，1111则B2C2＝＝＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形A n B n∁n D n的边长是：（）n﹣1．则正方形A2019B2019C2019D2019的边长是：（）2018．故答案为：（）2018．三．解答题（共4小题）18．解：（1）∵DF⊥AC，∴∠ADF＝∠C＝90°，∴tan∠A＝＝＝＝，∵AD＝t，∴DF＝t，∵EF⊥AB，∴∠EFD+∠AFD＝90°，又∵∠AFD+∠A＝90°，∴∠EFD＝∠A，在Rt△ABC中，AB＝＝10，sin∠A＝＝＝＝，∴sin∠EFD＝＝，∴DE＝DF＝t；（2）当点E落在BC边上时，如图1，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠A，∴EC＝DE＝t，∵DE∥BF，BE∥DF，∴四边形DEBF为平行四边形，∴BE＝DF＝t，∵BE+CE＝BC＝10，∴t+t＝10，解得，t＝；（3）当0＜t≤时，△DEF在△ABC内部，∴△DEF的面积即为△DEF与△ABC重合部分图形的面积，∴S＝S△DEF＝DE•EF＝×t×t＝t2；当＜t≤20时，如图2所示，过点E作EH⊥AD交AD的延长线于点H，则EH＝DE＝t，∴DH＝2EH＝t，∵DC＝AC﹣AD＝20﹣t，∴CH＝DH﹣DC＝t﹣20，∵MN∥ED，∴△EMN∽△EFD，∴＝＝，∵＝t2，∴＝t2﹣60t+500，∴S四边形MNDF＝S△DEF﹣S△EMN＝t2﹣（t2﹣60t+500）＝﹣t2+60t﹣500，综上所述，S＝；（3）当△DEC是等腰三角形时，沿着它的底边翻折，翻折前后的两个三角形形成的四边形的四边相等，即为菱形，①如图3﹣1，当ED＝DC时，沿DC翻折，得到菱形EDPC，连接EP交DC于O，则EO＝DE＝t，∴DO＝2EO＝t，DC＝2DC＝t，∵DC＝AC﹣AD，∴t＝20﹣t，∴t＝；②如图3﹣2，当DE＝DC时，沿EC翻折，得到菱形EDCP，则DC＝DE＝t，∵DC＝AC﹣AD，∴t＝20﹣t，∴t＝；③如图3﹣3，当CD＝CE时，沿延DE翻折，得到菱形EPDC，连接PC，交DE于O，∵DE＝t，∴DO＝DE＝t，∴OC＝DO＝t，DC＝OC＝t，∵DC＝AC﹣AD，∴t＝20﹣t，∴t＝，综上所述，t的值为或或．19．（1）解：过点A作AN⊥BD于N，如图1所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，∵AN⊥BD，∴△ABN是等腰直角三角形，∵AB＝2，∴AN＝BN＝AB＝，DN＝＝＝2，∴BD＝BN+DN＝+2＝3，∵BH⊥DC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴BH＝DH＝BD＝×3＝3；（2）证明：取DH的中点M，连接OM，如图2所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OM是△BDH的中位线，∴OM∥BH，OM＝BH＝DH＝DM，设DE＝a，CE＝b，则CH＝FH＝a，CD＝EH＝CE+CH＝a+b，BH＝DH＝DE+CE+CH ＝2a+b，∴OM＝DM＝（2a+b），∴CM＝CD﹣DM＝a+b﹣（2a+b）＝b，在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2＝（2a+b）2+b2＝AC2，∴AC2＝（2a+b）2+b2＝4a2+4ab+2b2＝2（2a2+2ab+b2），在Rt△EHF中，由勾股定理得：EF2＝EH2+FH2＝（a+b）2+a2＝2a2+2ab+b2，∴AC2＝2EF2，∴AC＝EF．20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOE＝90°，∵AF⊥BE，∴∠GAE+∠AEG＝∠OBE+∠AEG＝90°．∴∠GAE＝∠OBE，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），∴AH＝BE．（2）解：∠AGO的度数为定值，理由如下：∵∠AOH＝∠BGH＝90°，∠AHO＝∠BHG，∴△AOH∽△BGH，∴＝，∴＝，∵∠OHG＝∠AHB，∴△OHG∽△AHB，∴∠AGO＝∠ABO＝45°，即∠AGO的度数为定值．（3）解：∵∠ABC＝90°，AF⊥BE，∴∠BA G＝∠FBG，∠AGB＝∠BGF＝90°，∴△ABG∽△BFG，∴＝，∴AG•GF＝BG2＝20，∵△AHB∽△OHG，∴∠BAH＝∠GOH＝∠GBF．∵∠AOB＝∠BGF＝90°，∴∠AOG＝∠GFC，∵∠AGO＝45°，CG⊥GO，∴∠AGO＝∠FGC＝45°．∴△AGO∽△CGF，∴＝，∴GO•CG＝AG•GF＝20．∴S△OGC＝CG•GO＝10．21．解：（1）CF⊥BD，CF＝BD，理由如下：∵四边形ADEF是正方形，∴∠DAF＝90°，AD＝AF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF＝BD，∴∠B＝∠ACF，∴∠B+∠BCA＝90°，∴∠BCA+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．如图2，由正方形ADEF得：AD＝AF，∠DAF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC．∴∠DAB＝∠FAC．又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS）．∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠A CF＝45°．∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，∴CF⊥BD；（2）当∠BCA＝45°时，CF⊥BD；理由如下：如图3，过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G，∵∠ACB＝45°，∴△AGC等腰直角三角形，∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°，∵AG＝AC，AD＝AF，∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，∴CF⊥BC；故答案为：45°；（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，如图4所示：∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA＝45°，AC＝4，∴△ACQ是等腰直角三角形，∴AQ＝CQ＝4．设CD＝x，则DQ＝4﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC＝180°且∠ADE＝90°，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC＝90°∴∠ADQ＝∠DPC，∵∠AQD＝∠DCP＝90°∴△AQD∽△DCP，∴＝，即＝．解得：CP＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+1．∵0＜x≤3，∴当x＝1时，CP有最大值1，即线段CP长的最大值为1．。

中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图，在中，，是上异于、的一点，则的值是（）．A．16 B．20 C．25 D．302. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（）. A．处B．处C．处D．处3．（2012?孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）.A. 2004 B. 2005 C. 2006 D. 20075．如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC的面积是.若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（）.A．B． C．D．6.（2015?河南一模）如图，正方形ABCD的边长为1，将长为1的线段QR的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，按A→B→C→D→Ａ的方向滑动到A停止，同时点R从点B出发，按B→C→D→A→Ｂ的方向滑动到B停止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形面积为（）A．B．4﹣πC．πD．二、填空题7. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．第7题第8题8. 如图，在等腰梯形中，，= 4=，=45°．直角三角板含45°角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点．若为等腰三角形，则的长等于____________．9.（2012?锦州）如图，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，…，A n B n B n+1C n，按如图所示放置，使点A1、A2、A3、A4、…、A n在射线OA上，点B1、B2、B3、B4、…、B n在射线OB上．若∠AOB=45°，OB1=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1，S2，S3，…，S n，则S n=________________-．第9题第10题10.（2012?深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为．11.（2012?天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为．12.（2015?武汉模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．若射线EF经过点C，则AE的长是．三、解答题13.如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A?B，B?C，C?D，D?A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S（cm2），运动时间为t（s）．（1）试证明四边形EFGH是正方形；（2）写出S关于t的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？（3）是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14.如图,在矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，点P 在线段AB 上运动，设AP=x ，现将纸片还原，使点D 与P重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点，再将纸片还原。

中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．下列说法中，正确的是( )．A．等腰梯形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相垂直且相等2．如图，在中，于且是一元二次方程x2+x-2=0的根，则的周长为（）.A．B．4+C．8+D．3.如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）.A．B．C．D．4.下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5.（2015•蓬溪县校级模拟）下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（）A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形C．正三角形和正六边形D．正五边形和正十边形6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝15°，则∠A′BD的度数为（）．A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第6题二、填空题7.若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是______度.8. 矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为_________平方单位．9.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．10.如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，…，依次进行下去，则点的坐标是__________________.11.如图，若△ABC的边AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和的最大值为________.12.（2014秋•隆化县校级期中）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE的长为．三、解答题13. 如图，过正方形ABCD的顶点作，且作，又．求证：．14. (2014春•武侯区期末）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求∠CBD的度数．15.（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME ⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．16（2011•营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）【答案与解析】一．选择题1．【答案】D．2．3．4．【答案】B．【解析】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B．5．【答案】B.【解析】A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，3×60°+2×90°=360°，故能铺满，不合题意；B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满，不合题意；D、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能铺满，不合题意．故选：B．6．【答案】D.【解析】∵梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∴∠C=90°，∵∠A′BC=15°，∴∠DA′B=∠A′BC+∠C=15°+90°=105°，由折叠的性质可得：∠A=∠DA′B=105°，∠ABD=∠A′BD，二．填空题7．【答案】30.8．【答案】64.9．【答案】20.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．故答案为：20．10．【答案】.【解析】∵△ABC等腰直角三角形∴AC=BC，∵△ABD是等边三角形∴BD=AD∴△ADC≌△BDC∴∠BCD=（360°﹣90°）÷2=135°又∵∠CBD=60°﹣45°=15°∴∠CDB=180°﹣135°﹣15°=30°，∠BDE=60°﹣30°=30°∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD∴△BCD≌△BED∴BE=CB=×sin45°=1∴BE=1．三.综合题13．【解析】提示：易证菱形AEFC，∠AEB=∠ACF,设正方形边长为1，则，，做CG⊥AC,BG∥AC，即得等腰Rt△CBG,等腰Rt△CBG中，故∠CFG=30°∴∠ACF=30°，∠FCB=15°∴14．【解析】（1）证明∵四边形ABCD 是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；又∵AM 丄BC （已知），∴AM⊥AD；∵CN 丄AD （已知），∴AM∥CN，∴AE∥CF；又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC （平行四边形的对边相等）， 在△ADE 和△CBF 中，90DAE BCF AD CB ADE FBC ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE≌△CBF（ASA ），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），∴四边形AECF 为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；（2）如图，连接AC 交BF 于点0，当AECF 为菱形时，则AC 与EF 互相垂直平分，∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），∴AC 与BD 互相垂直平分，∴▱ABCD 是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形）， ∴AB=BC（菱形的邻边相等）；∵M 是BC 的中点，AM 丄BC （已知），∴△ABM≌△CAM，∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），∴△ABC 为等边三角形，∴∠ABC=60°，∠CBD=30°.15.【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ACD ，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD ，∵ME ⊥CD ，∴CD=2CE ，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F 为边BC 的中点，∴BF=CF=BC ，∴CF=CE ，在菱形ABCD 中，AC 平分∠BCD ，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．16.【解析】（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．（2）解：（1）中的结论成立．①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，又PC=PC，∴△PDC≌△PBC，∴PD=PB，∵PE=PD，∴PE=PB，②：由①，得△PDC≌△PBC，∴∠PDC=∠PBC．（7分）又∵PE=PD，∴∠PDE=∠PED．∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，∴∠EPB=360°-（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，∴PE⊥PB．（3）解：如图所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB．。

中考总复习：多边形与平行四边形-巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED 的面积是，则四边形ABCD的周长为（）A．49cm B．43cm C．41cm D．46cm2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=4，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是：( ) A. ； B.2； C.3； D.4．3. 已知点A(2，0)、点B(，0)、点C(0，1)，以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4.(2011·安徽)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为32，则点P的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．45.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB 相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的是（）．A．①②③④B．①③④C．②③④ D．①②④6.（2014•杭州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10+2；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②④二、填空题7. 如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为________.8.（2015春•淅川县期末）若工人师傅用正三角形、正十边形与正n边形这三种正多边形能够铺成平整的地面，则n的值为．9. 如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，AD=8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是__________．10.（2011•梅州）凸n边形的对角线的条数记作a n（n≥4），例如：a4=2，那么：①a5=_____；②a6-a5=____ ；③a n+1-a n=____．（n≥4，用n含的代数式表示）11.①如图（1）,四边形ABCD中，AB∥E1F1∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形；②如图（2），四边形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形；③如图（3），四边形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形；一般地，若四边形ABCD中，E1，E2，E3，…，都是AD上的点，F1，F2，F3，…，都是BC上的点，且AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥…∥∥CD，AD∥BC，则图中共有________平行四边形.12.如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为___________.三、解答题13.问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角．问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+(82)1808-⨯•y=360，整理得：2x+3y=8，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为12 xy=⎧⎨=⎩．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．验证2：_______；结论2：_______．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：_______；验证3：_______；结论3：_______．14. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补．（1）求∠C的度数；（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；（3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值．15. （2015春•苏州校级期末）如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF．（1）如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形．（2）如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由．16．（2012•广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k ，使得∠EFD=k ∠AEF ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． ②连接CF ，当CE 2-CF 2取最大值时，求tan ∠DCF 的值．【答案与解析】 一．选择题 1.【答案】D. 2．【答案】A.3.【答案】C ． 4．【答案】B.【解析】如图所示，作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，由题意得AE ＝12BD ＝22AB ＝2＞32，∴在边AB 和AD上各存在一个点P 到BD 的距离为32.∵AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∴∠ADB ＝45°.又∠ADC ＝90°，∴∠CDF ＝45°.∴CF ＝22CD ＝22×2＝1＜32，∴在边BC 和CD 上不存在符合题意的点P .综上所述.5．【答案】A.【解析】先证 ΔADF≌ΔABC,可得DF=AC=AE.∵DF ∥AE 且DF=AE ∴四边形ADFE 为平行四边形，即①②③④是正确的. 6．【答案】D .【解析】①∵∠ACB=90°，DE ⊥BC ， ∴∠ACD=∠CDE=90°， ∴AC ∥DE ， ∵CE ∥AD ，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC=EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB，∴EB=4，DB=2，∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB的周长是10+2故③正确；④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A．二．填空题7．【答案】7.【解析】由题意知x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22，所以a=7.8．【答案】十五.【解析】正三边形和正十边形内角分别为60°、144°，正n边形的内角应为360°﹣60°﹣144°=156°，所以正n边形为正十五边形．故答案为：十五．9．【答案】4+4．10．【答案】5；4；n-1．【解析】①五边形有5条对角线；②六边形有9条对角线，9-5=4；③n边形有(3)2n n-条对角线，n+1边形有(1)(2)2n n+-条对角线，a n+1-a n=(1)(2)2n n+--(3)2n n-=n-1．11.【答案】①3 ;②6 ;③10，.12．【答案】n（n+1）．【解析】∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4，②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5，③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6，④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7，∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．三.综合题13．【解析】用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角．验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据题意，可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，可以找到两组适合方程的正整数解为22ab=⎧⎨=⎩和41ab=⎧⎨=⎩结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360，整理得：2m+3n+4c=12，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为121 mnc=⎧⎪=⎨⎪=⎩结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌．（说明：本题答案不惟一，符合要求即可．）14．【解析】（1）∵∠ABC与∠ADC互补，∴∠ABC+∠ADC=180°．∵∠A=90°，∴∠C=360°-90°-180°=90°；（2）过点A作AE⊥BC，垂足为E．则线段AE把四边形ABCD分成△ABE和四边形AECD两部分，把△ABE以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，则被分成的两部分重新拼成一个正方形．过点A作AF∥BC交CD的延长线于F，∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADF ．∵AD=AB ，∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE ≌△ADF ． ∴AE=AF ．∴四边形AECF 是正方形； （3）解法1：连接BD ，∵∠C=90°，CD=6，BC=8，Rt △BCD 中，BD=2286+=10 又∵S 四边形ABCD =49，∴S △ABD =49-24=25． 过点A 作AM ⊥BD 垂足为M ， ∴S △ABD =12×BD ×AM=25．∴AM=5． 又∵∠BAD=90°，∴△ABM ∽△DAM ．∴AM BM =MDAM．设BM=x ，则MD=10-x ， ∴5x=105x -．解得x=5．∴AB=52．解法2：连接BD ，∠A=90°．设AB=x ，AD=y ，则x 2+y 2=102，① ∵12xy=25，∴xy=50．② 由①，②得：（x-y ）2=0． ∴x=y ．2x 2=100．∴x=52．15．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，∠ABC=∠PBA=90° 在△PBA 和△FBC 中，，∴△PBA ≌△FBC （SAS ），∴PA=FC ，∠PAB=∠FCB ．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）解：结论：四边形EPCF是平行四边形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE=∠FCB，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形．16. 【解析】（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=CEBC，即sin60°=10CE=32，解得CE=53；（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，∵F为AD的中点，∴AF=FD，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF ，在△AFG 和△CFD 中，G DCF AFG DFC AF FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG ≌△DFC （AAS ）， ∴CF=GF ，AG=CD ， ∵CE ⊥AB ，∴EF=GF （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴∠AEF=∠G ，∵AB=5，BC=10，点F 是AD 的中点， ∴AG=5，AF=12AD=12BC=5， ∴AG=AF ，∴∠AFG=∠G ，在△EFG 中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF ， 又∵∠CFD=∠AFG （对顶角相等）， ∴∠CFD=∠AEF ，∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF ， 因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF ； ②设BE=x ，∵AG=CD=AB=5， ∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x ，在Rt △BCE 中，CE 2=BC 2-BE 2=100-x 2，在Rt △CEG 中，CG 2=EG 2+CE 2=（10-x ）2+100-x 2=200-20x ， ∵CF=GF （①中已证），∴CF 2=（12CG ）2=14CG 2=14（200-20x ）=50-5x ，∴CE 2-CF 2=100-x 2-50+5x=-x 2+5x+50=-（x-52）2+50+254，∴当x=52，即点E 是AB 的中点时，CE 2-CF 2取最大值，此时，EG=10-x=10-52=152，CE=2100x -=251004-=5152， 所以，tan ∠DCF=tan ∠G=CEEG =5152152=153．。

中考三轮冲刺复习：《四边形综合训练》1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝32，DC＝24，AD＝42，动点P 从点D出发，沿射线DA的方向以每秒4个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒2个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．∴PM＝DC＝24．∵QB＝32﹣t，∴S＝×24×（32﹣2t）＝384﹣24t（0≤t＜16）；（2）由图可知：CM＝PD＝4t，CQ＝2t．以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ＝BQ．在Rt△PMQ中，PQ2＝4t2+242，由PQ2＝BQ2得4t2+242＝（32﹣2t）2，解得t＝；②若BP＝BQ．在Rt△PMB中，BP2＝（32﹣4t）2+242．由BP2＝BQ2得：（32﹣4t）2+242＝（32﹣2t）2即3t2﹣32t+144＝0．由于△＝﹣704＜0，∴3t2﹣32t+144＝0无解，∴PB≠BQ．③若PB＝PQ．由PB2＝PQ2，得4t2+242＝（32﹣4t）2+242整理，得3t2﹣64t+256＝0．解得t1＝，t2＝16（舍去）综合上面的讨论可知：当t＝秒或t＝秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．（3）设存在时刻t，使得PQ⊥BD．如图2，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．∵AD∥BC∴∠BQF＝∠EPQ，又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ＝∠C＝90°，∴∠BQF＝∠BDC，∴∠BDC＝∠EPQ，又∵∠C＝∠PEQ＝90°，∴Rt△BDC∽Rt△QPE，∴＝，即＝，解得t＝9．所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD．2．综合与实践在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．（1）操作发现：如图①，当AC＝BC＝8时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．①∠CBE的度数为45°；②当BE＝4时，四边形CDBE为正方形；（2）探究证明：如图②，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE，连接DE，BE．①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形．解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝45°，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠A＝45°，故答案为：45°；②∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，∴AB＝＝8，当四边形CDBE为正方形时，CD⊥AB，BE＝BD＝AD，∴BE＝AB＝4，故答案为：4；（2）①∠CBE＝∠A．理由如下：∵BC＝2AC，CE＝2CD，∴＝＝，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴∠CBE＝∠A；②证明：∵∠CBE＝∠A，∠DBC+∠A＝90°，∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBC+∠A＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，又∵∠DCE＝90°，∴四边形CDBE是矩形．3．如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合）EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG 交于点P．（1）求证：CE＝EP（2）若点E坐标为（3、0）时．①在y轴上是否存在点M使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．②在平面内是否存在点Q，使四边形CEPQ为正方形，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，说明理由．（1）证明：如图1，在OC上截取OK＝OE．连接EK，∵OC＝OA，∠COA＝∠BA0＝90°，∠OEK＝∠OKE＝45°，∵AP为正方形OCBA的外角平分线，∴∠BAP＝45°，∴∠EKC＝∠PAE＝135°，∴CK＝EA，∵EC⊥EP，∴∠CEF＝∠COE＝90°，∴∠CEO+∠KCE＝90°，∠CEO+∠PEA＝90°，∴∠KCE＝∠CEA，在△CKE和△EAP中，，∴△CKE≌△EAP（ASA），∴EC＝EP；（2）①解：y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．如图2，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，则∠CQB＝∠CEP＝90°，所以∠OCE＝∠CBQ，∵在△BCM和△COE中，∵，∴△BCM≌△COE（ASA），∴BM＝CE，∵CE＝EP，∴BM＝EP．∵BM∥EP，∴四边形BMEP是平行四边形，∵△BCM≌△COE，∴CM＝OE＝3，∴OM＝CO﹣CM＝2．故点M的坐标为（0，2）．②如图3，存在点Q使四边形CEPQ是正方形，过点Q作QH⊥y轴于点Q，则∠QHC＝∠COE＝90°，∴∠HQC+∠HCQ＝90°，∴∠HCQ+∠ECO＝90°，∴∠ECO＝∠CHQ，∵四边形CEPQ是正方形，∴CQ＝EC，∴△HCQ≌△OEC（AAS），∴HC＝OE＝2，HQ＝OC＝5，则HO＝7，∴点Q的坐标为（5，7）．4．如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．（1）如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE＝BE+2CE；（2）在（1）的条件下，求的值；（3）如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG＝DF时，求证：HG⊥AG．解：（1）如图1，延长BC交AF的延长线于点G，∵AD∥CG，又∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴EA＝EG，∵点F为CD的中点，∴CF＝DF，又∵∠DFA＝∠CFG，∠FAD＝∠G，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AD＝CG，∴CG＝BC＝BE+CE，∴EG＝BE+CE+CE＝BE＝2CE＝AE；（2）设CE＝a，BE＝b，则AE＝2a+b，AB＝a+b，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即（a+b）2+b2＝（2a+b）2，解得b＝3a，b＝﹣a（舍），∴＝＝；（3）如图2，连接DG，∵CG＝DF，DC＝DA，∠ADF＝∠DCG，∴△ADF≌△DCG（SAS），∴∠CDG＝∠DAF，∴∠HAF＝∠FDG，又∵∠AFH＝∠DFG，∴△AFH∽△DFG，∴＝，又∵∠AFD＝∠HFG，∴△ADF∽△HGF，∴∠ADF＝∠FGH，∵∠ADF＝90°，∴∠FGH＝90°，∴AG⊥GH．5．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，将∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交边AD、DC（或它们的延长线）于点E、F．（1）当∠MBN绕点B旋转到AE＝CF时（如图1），①求证：△ABE≌△CBF；②求证：AE+CF＝EF；（2）当∠MBN绕点B旋转到如图2所示的位置时，AE≠CF，此时，（1）中的两个结论是否还成立？请直接回答．（1）①证明；∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A＝∠BCF＝90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；②证明：∵△ABE≌△CBF，∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∵∠MBN＝60°，∴△BEF是等边三角形．∠ABE＝∠CBF＝（∠ABC﹣∠MBN）＝（120°﹣60°）＝30°．∴BE＝BF＝EF，AE＝BE，CF＝BF，∴AE+CF＝BE+BF＝EF；（2）解：①△ABE≌△CBF不成立；②AE+CF＝EF成立，理由如下：∵AE≠CF，∴△ABE≌△CBF不成立延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，如图2所示：在△BAE与△BCK中，，∴△BAE≌△BCK（SAS），∴BE＝BK，∠ABE＝∠CBK，∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，∴∠FBC+∠ABE＝60°，∴∠FBC+∠CBK＝60°，∴∠KBF＝∠FBE＝60°，在△KBF与△EBF中，，∴△KBF≌△EBF（SAS），∴KF＝EF，∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF．6．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AF和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AB＝3，AD＝4，由勾股定理得：BD＝＝＝5，＝BD•AE＝AB•AD，∵S△ABD∴AE＝＝＝，∵点F是点E关于AB的对称点，∴AF＝AE＝，BF＝BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，AB＝3，AE＝，由勾股定理得：BE＝＝＝．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①﹣1所示：由对称点性质可知，∠1＝∠2．BF＝BE＝，由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝．①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3＝∠4，∴∠3＝∠2，∴BB′＝B′F′＝，即m＝；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2，∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，又易知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D＝B′F′＝，∴BB′＝BD﹣B′D＝5﹣＝，即m＝．（3）存在．理由如下：在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如图③﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，则∠Q＝∠DPQ，∴∠2＝∠Q+∠DPQ＝2∠Q，∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2，∴∠3＝∠Q，∴A′Q＝A′B＝3，∴F′Q＝F′A′+A′Q＝+3＝．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝．∴DQ＝BQ﹣BD＝﹣5；②如图③﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ＝DQ，则∠2＝∠P，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴BQ＝A′Q，∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝4﹣BQ．在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2＝BQ2，即：（）2+（﹣BQ）2＝BQ2，解得：BQ＝，∴DQ＝BD﹣BQ＝5﹣＝；③如图③﹣3所示，点Q落在BD上，且PD＝DQ，则∠3＝∠4．∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，∴∠4＝90°﹣∠2．∵∠1＝∠2，∴∠4＝90°﹣∠1．∴∠A′QB＝∠4＝90°﹣∠1，∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°﹣∠1，∴∠A′QB＝∠A′BQ，∴A′Q＝A′B＝3，∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝3﹣＝．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝，∴DQ＝BD﹣BQ＝5﹣；④如图④﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ＝PD，则∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴BQ＝BA′＝3，∴DQ＝BD﹣BQ＝5﹣3＝2．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；DQ的长度分别为2或或或．7．如图，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝5，过点A作AC⊥BD，垂足为C，且AC＝4，E是线段CD上一点，过E作EF⊥AD，垂足为F﹒（1）请直接写出AD的长为；（2）如图1，若点F在∠ABD的角平分线上，求DF的长；（3）如图2，连接CF，点G为点A关于CF的对称点．①连结DG，CG，当四边形CGDF中有两边互相平行时，求CE的长；②连结AG交BD于点H，点H在点E的上方，若∠BAC﹣∠EAH＝30°，则＝．解：（1）∵AC⊥BD，∴∠ACB＝90°，∵AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，∵∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠BAD＝90°，∴△BAC∽△BDA，∴＝＝，∴＝＝，∴BD＝，AD＝．故答案为．（2）如图1中，作FH⊥BD于H．∵∠FAB＝∠FHB＝90°，∠FBA＝∠FBH，BF＝BF，∴△FBA≌△FBH（AAS），∴AF＝FH，BA＝BH＝5，∵BD＝，∴DH＝﹣5＝，设AF＝FH＝x，则DF＝﹣x，在Rt△DFH中，∵DF2＝DH2+FH2，∴（﹣x）2＝（）2+x2，∴x＝，∴DF＝﹣＝．（3）①如图2﹣1中，当DG∥CF时，设CF交AG于P．∵A，G关于CF对称，∴CF垂直平分线段CF，∴AP＝PG，∠APF＝90°，∵PF∥DG，AP＝PG，∴AF＝DF，∵EF∥AB，∴DE＝BE＝，∴EC＝BE﹣CB＝﹣3＝．如图2﹣2中，当DF∥CG时，∵CG∥AD，∴∠AFC＝∠FCG，∵∠FCG＝∠FCA，∴∠AFC＝∠ACF，∴AF＝AC＝4，∵EF∥AB，∴＝，∴＝，∴BE＝5，∴EC＝BE﹣BC＝5﹣3＝2，综上所述，满足条件的EC的值为2或．②如图3中，设CF交AG于P．∵∠ACH＝∠APC＝90°，∴∠PCH+∠ACP＝90°，∠ACP+∠PAC＝90°，∴∠PCH＝∠PAC，设∠PAC＝∠PCH＝α，∵∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠PCE＝180°，∴A，F，E，C四点共圆，∴∠FAE＝∠ECF＝α，设∠CAB＝β，∵∠DAB＝90°，∴α﹣∠EAG+α+β＝90°，∵β﹣∠EAG＝30°，∴2α＝60°，∴α＝30°，设PC＝k，则AP＝PG＝k，PH＝k，∴GH＝k﹣k＝k，AH＝k+k＝k，∴＝＝．故答案为．8．问题背景：峰兄在探究几何图形的时候，发现了一组非常神奇的性质：如图1，等边三角形△ABC，△CDE中，连接AD，BE可以得到△ACD≌△BCE，好学的他发问取AD，BE的中点，得到的△CMN是特殊三角形吗？请说明理由；迁移应用：如图2，在正方形ABCD中，点O为CB的中点，构造正方形EHMF绕O点进行旋转，OE＝OF，连接AH，BE，DM，求的值；联系拓展：如图3，等腰Rt△ABC，△BDE中，AB＝AC，BD＝DE，∠BDE＝∠BAC＝90°，当△BDE绕B点旋转的过程中取AD，CE的中点M，N，连接MN，若AB＝BD，且∠ABD＝30°，BD＝1时，直接写出MN的长度．解：问题背景：如图1中，△CMN是等边三角形．理由如下：∵△ACB，△DCE都是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵AM＝AD，BN＝BE，∴AM＝AN，∵AC＝CB，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，∴∠ACB＝∠MCN＝60°，∴△MCN是等边三角形．迁移应用：如图2中，连接AO，OH．∵四边形ABCD，四边形EFMH是正方形，∴∠ABO＝∠HEO＝90°，AB＝BC，HE＝，∵OB＝OC，OE＝OF，∴AB＝2BO，EH＝2OE，OA＝OB，OH＝OE，∴＝，∴＝，∴△ABO∽△HEO，∴∠AOB＝∠HOE，∴∠BOE＝∠AOH，∵＝＝，∴△AOH∽△BOE，∴＝＝．联系拓展：如图3中，连接BM，延长BM到K，使得MK＝BM，连接DK，AK，BN，作KJ⊥BD交BD的延长线于J．∵AB＝BD，BD＝1，∴AB＝，∵AM＝DM，BM＝MK，∴四边形ABDK是平行四边形，∴AB＝DK＝，AB∥DK，∴∠KDJ＝∠ABD＝30°，∵KJ⊥BJ，∴∠J＝90°，∴KJ＝DK＝，DJ＝KJ＝，BJ＝BD+DJ＝1+＝，∴BK＝＝＝，∴BM＝MK＝BK＝，∵△BDE，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝45°，BC＝AB，BE＝BD，∴＝，∠CBE＝∠ABD，∴△ABD∽△CBE，∴∠ADB＝∠CEB，＝，∵AM＝DM，EN＝CN，∴＝，∵∠BDM＝∠BEN，∴△BDM∽△BEN，∴∠MBD＝∠EBN，＝＝，∴∠MBN＝∠DBE＝45°，作NM′⊥BK于M′，在Rt△BNM′中，BM′＝BN•cos45°＝BN，∵BM＝BN，∴BM＝BM′，∴M与M′重合，∴△BMN是等腰直角三角形，∴MN＝BM＝．9．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A，点C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（4，6），点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→C→B 方向运动，到点B停止设点P运动的时间为t（秒）．（1）点A的坐标为（4，0）；（2）当t＝1秒时，点P的坐标（0，2）；（3）当点P在OC上运动，请直接写出点P的坐标（用含有t的式子表示）；（4）在移动过程中，当点P到y轴的距离为1个单位长度时，求t的值．解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，∵B（4，6），∴AB＝6，OA＝4，∴A（4，0），故答案为（4，0）．（2）t＝1时，OP＝2×1＝2，∴OP＝2，此时点P在线段OC上，∴P（0，2），故答案为（0，2）．（3）当点P在OC上运动时，P（0，2t）．（4）当点P到y轴的距离为1个单位长度时，可知点P在BC上，∴点P的坐标为（2t﹣6，6），∴2t﹣6＝1，解得：t＝3.5．答：当点P到y轴的距离为1个单位长度时，t的值为3.5．10．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是对角线BD上一动点．（1）如图1，当CE⊥BD时，求DE的长；（2）如图2，作EM⊥EN分别交边BC于M，交边CD于N，连MN．①若，求tan∠ENM；②若E运动到矩形中心O，连CO．当CO将△OMN分成两部分面积比为1：2时，直接写出CN的长．解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8∴∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6∴BD＝＝10∵CE⊥BD∴∠CED＝∠BCD＝90°∵∠CDE＝∠BDC∴△CDE∽△BDC∴∴DE＝（2）①如图1，过点M作MF⊥BD于点F，过点N作NG⊥BD于点G ∵，BD＝10∴BD＝BE+DE＝3DE+DE＝4DE＝10∴DE＝，BE＝设MF＝a，NG＝b∵∠BFM＝∠C＝90°，∠FBM＝∠CBD∴△FBM∽△CBD∴∴BF＝＝a∴EF＝BE﹣BF＝a同理可证：△GDN∽△CDB∴∴DG＝＝b∴EG＝DE﹣DG＝b∵EM⊥EN∴∠MEN＝∠MFE＝∠NGE＝90°∴∠MEF+∠NEG＝∠MEF+∠EMF＝90°∴∠EMF＝∠NEG∴∴EF•EG＝NG•MF∴（a）（b）＝ba整理得：16a＝90﹣27b∴在Rt△MEN中，tan∠ENM＝＝②如图2，过点M作MF⊥BD于点F，MP⊥OC于点P，过点N作NG⊥BD于点G，NQ⊥OC 于点Q，设OC与MN交点为H∵点O为矩形中心，BD＝10∴OB＝OD＝OC＝BD＝5由①可得，设MF＝a，NG＝b，则BF＝＝a，DG＝＝b，OF•OG＝NG•MF ∴OF＝OB﹣BF＝5﹣a，OG＝OD﹣DG＝5﹣b∴（5﹣a）（5﹣b）＝ab整理得：16a＝60﹣9b∴＝设CN＝5x∵∠NCQ＝∠BDC，∠NQC＝∠BCD＝90°∴△NCQ∽△BDC∴＝∴CQ＝CN＝3x，NQ＝CN＝4x∴OQ＝OC﹣CQ＝5﹣3x∵∠MPO＝∠MON＝∠OQN＝90°∴∠MOP+∠NOQ＝∠NOQ+∠ONQ＝90°∴∠MOP＝∠ONQ∴i ）若S △OMH ＝2S △ONH ，且两三角形都以OH 为底∴MP ＝2NQ ＝8x ∴解得：x ＝∴CN ＝ ii ）若2S △OMH ＝S △ONH ，则MP ＝NQ ＝2x ∴解得：x ＝∴CN ＝综上所述，CN 的长为或．11．如图，菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，且BE ＝，∠ABE ＝30°，连接BD 、CE ，作DF ⊥CE ，垂足为F ． （1）判断△BCD 的形状（直接写出即可）；（2）求DF 的长度．（3）若动点P ，Q 同时从点B 出发，在△ABD 边上运动，P 沿B →A →D 路径匀速运动，Q 沿B →D +A 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点P 的运动速度为2单位/秒，点Q 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y ，求当x 为何值时，y取得最大值？最大值为多少？解：（1）∵BE⊥AD，∴∠BEA＝90°，∵∠ABE＝30°，∴∠A＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BCD＝∠A＝60°，∴△BCD是等边三角形；（2）在Rt△ABE中，∵BE＝，∠A＝60°，∴AB＝＝＝4，∵∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝×4＝2，∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵BE⊥AD，∴DE＝AE＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴S＝DE•BE＝×2×2＝2，△CED∵AD∥BC，BE⊥AD，∴BC⊥BE，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，∵DF⊥CE，∴S＝DF•EC＝DF，△CED∴DF＝2，∴DF＝；（3）∵AB＝AD＝4，点P的运动速度为2单位/秒，点Q的运动速度为1单位/秒，∴P到达A点时为2s，到达D得时为4s，则Q在BQ上；P到达D时，Q也到达D；①当0＜x≤2时，P在BA上运动，Q在BD上运动，过点Q作QG⊥AB于G，如图1所示：则QG＝BQ•sin60°＝x，∴y＝BP•QG＝×2x×x＝x2，∴x＝2时，y有最大值，最大值为2；②2≤x＜4时，P在AD上运动，Q在BD上运动，过点P作PH⊥BD于H，如图2所示：∵DP＝8﹣2x，∴PH＝DP•sin60°＝（8﹣2x）＝4﹣x，∴y＝PH•BQ＝（4﹣x）x＝﹣x2+2x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+2，∴当x＝2时，y取最大值，最大值为2；综上所述，当x＝2时，y有最大值，最大值为2．12．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交于y轴于点H．（1）连接BM，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（2）在（1）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形BMP？如存在，求出t的值；如不存在，请说明理由．解：（1）设点M到BC的距离为h，由S△ABC ＝S△ABM+S△BCM，即×5×4＝×5×+×5h，∴h＝，①当P在直线AB上运动时△PBM的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：S＝（5﹣t）×，即S＝﹣t+（0≤t＜5）；②当P运动到直线BC上时△PMB的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：S＝[5﹣（10﹣t）]×，即S＝t﹣（5＜t≤10）；（2）存在①当MB＝MP时，∵点A的坐标为（﹣3，4），AB＝5，MB＝MP，MH⊥AB，∴PH＝BH，即3﹣t＝2，∴t＝1；②当BM＝BP时，即5﹣t＝，综上所述，当t＝1或时，△PMB为以BM为腰的等腰三角形．13．如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA＝2，OC＝4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．（1）若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；（2）若点D在OA的延长线上，且EA＝EB，求点E的坐标；（3）若OE＝2，求点E的坐标．解：（1）当点D与点A重合时，如图1，∴BD＝OC＝4，∵四边形BDFE是正方形，∴BD＝DE＝4，∠BDE＝90°，∵OA＝2，∴OE＝OA+AE＝2+4＝6，∴E（6，0）；（2）如图2，过E作EG⊥AB于G，作EH⊥x轴于H，∵EB＝EA，∴AG＝BG＝2，∵∠AGC＝∠GAH＝∠AHE＝90°，∴四边形AGEH是矩形，∴EH＝AG＝2，∵四边形BDEF是正方形，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴∠ADB+∠EDH＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠EDH＝∠ABD，∵∠BAD＝∠DHE＝90°，∴△BAD≌△DHE（ASA），∴DH＝AB＝4，AD＝EH＝2，∴OH＝8，∴E（8，2）；（3）分两种情况：①D在点A的右侧时，如图3，过E作EH⊥x轴于H，由（2）知：△BAD≌△DHE，∴DH＝AB＝4，AD＝EH，设AD＝x，则EH＝x，OH＝2+4+x＝6+x，在Rt△OEH中，由勾股定理得：OE2＝OH2+EH2，∴，解得：x＝2或﹣8（舍），∴E（8，2）；②D在点A的左侧时，如图4，过E作EH⊥x轴于H，由（2）知：△BAD≌△DHE，∴DH＝AB＝4，AD＝EH，设AD＝x，则EH＝x，OH＝x﹣2﹣4＝x﹣6，在Rt△OEH中，由勾股定理得：OE2＝OH2+EH2，∴＝x2+（x﹣6）2，解得：x＝﹣2或8（舍），∴OH＝﹣2﹣6＝﹣8，∴E（﹣2，﹣8）；综上，点E的坐标是（8，2）或（﹣2，﹣8）．14．如图，已知点B（a，b），且a，b满足|2a+b﹣13|+＝0．过点B分别作BA⊥x 轴、BC⊥y轴，垂足分别是点A、C．（1）求出点B的坐标；（2）点M是边OA上的一个动点（不与点A重合），∠CMA的角平分线交射线CB于点N，在点M运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由；（3）在四边形OABC的边上是否存在点P，使得BP将四边形OABC分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵|2a+b﹣13|+＝0．∴，∴，∴B（5，3）；（2）的值不变，其值为1，理由：∵BC⊥y轴，∴BC∥x轴，∴∠CNM＝∠AMN，∵MN是∠CMA的平分线，∴∠CMN＝∠AMN，∴∠CNM＝∠CMN，∴＝1；（3）由（1）知，B（5，3），∵BA⊥x轴、BC⊥y，∴A（5，0），C（0，3），∵BA⊥x轴、BC⊥y，∴∠OCB＝∠OAB＝90°＝∠AOC，∴四边形AOBC是矩形，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝5，∴S四边形OABC＝OA•OC＝15，当点P在OC上时，设P（0，m），∴CP＝3﹣m，∴S△BPC＝BC•CP＝×5（3﹣m）＝（3﹣m），∵BP将四边形OABC分成面积比为1：4的两部分，∴S△BPC ＝S四边形OABC＝3，∴（3﹣m）＝3，∴m＝，∴P（0，）当点P在OA上时，设P（0，n），∴AP＝5﹣n，∴S△BPC＝AB•AP＝×3（5﹣n）＝（5﹣n），∵BP将四边形OABC分成面积比为1：4的两部分，∴S△BPA ＝S四边形OABC＝3，∴（5﹣n）＝3，∴n＝3，∴P（3，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，）或（3，0）．15．如图1，正方形ABCD中，O是对角线BD的中点，点E在边AB上，点F在边AD上，且OE⊥OF（1）求证：BE＝AF；（2）如图2，延长FO交BC于H，连结EH，若BE＝12，DF＝5，求EH的长；（3）如图3，连结EF，若AB＝16，求△AEF的面积的最大值．解：（1）如图1，连接AO，∵四边形ABCD是正方形，且O是BD中点，∴OA＝OB，∠OBE＝∠OAF＝45°，∠AOB＝90°，即∠BOE+∠AOE＝90°，又∵OE⊥OF，即∠AOF+∠AOE＝90°，∴∠BOE＝∠AOF，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴BE＝AF；（2）∵∠OBH＝∠ODF＝45°，OB＝OD，∠BOH＝∠DOF，∴△BHO≌△DFO（ASA），∴BH＝DF＝5，∵BE＝12，∠EBH＝90°，∴EH＝13；（3）如图3，作ON⊥AD于N，则ON＝8，∵S △AEF ＝S 四边形AEOF ﹣S △EOF ，又S 四边形AEOF ＝S △AOE +S △AOF ＝S △AOE +S △BOE ＝S △BOA ＝64， ∴S △AEF ＝64﹣OF 2， ∵OF ≥ON ，∴S △AEF ≤64﹣×82＝32， ∴△AEF 面积的最大值为32．16．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． （1）奋进小组用图1中的矩形纸片ABCD ，按照如图2所示的方式，将矩形纸片沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B ′处，则△ADC 与△AB ′C 重合部分的三角形的形状是 等腰三角形 ．（2）勤学小组将图2中的纸片展平，再次折叠，如图3，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，然后展平，则以点A 、F 、C 、E 为顶点的四边形是什么特殊四边形？请说明理由． （3）创新小组用图4中的矩形纸片ABCD 进行操作，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C '的位置，BC ′交AD 于点G ，再按照如图5所示的方式折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，则EM 的长为cm ．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠知，∠BAC＝∠B'AC，∴∠B'AC＝∠DAC，∴AM＝CM∴△MAC是等腰三角形，故答案为：等腰三角形；（2）菱形，理由：如图3，连接AE，CF，设EF与AC的交点为M，由折叠知，∠AME＝∠CME＝90°，AM＝CM，∴AE＝CE，AF＝CF，∵四边形ABCD是矩形，∴EC∥AF，∴∠ECM＝∠FAM，∠CEM＝∠AFM，∴△ECM≌△FAM（AAS），∴EC＝FA，∴AE＝EC＝FC＝FA，∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形；（3）∵AD＝8cm，AB＝6cm，∴BD＝＝10cm由（1）可知BG＝GD，∵BG2＝AB2+AG2，∴BG2＝36+（8﹣BG）2，∴BG＝cm∴AG＝cm由折叠的性质可得AM＝MD＝4cm，EM⊥AD∵∠BAD＝∠BC'D＝90°，∠AGB＝∠C'GD∴∠ABG＝∠C'DG，且∠BAG＝∠EMD＝90°∴△ABG∽△EMD∴∴∴EM＝cm故答案为：17．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．（1）该学习小组成员意外的发现图①中（三角板一边与OC重合），BN、CN、CD这三条线段之间存在一定的数量关系：CN2＝BN2+CD2，请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由；（2）在图③中（三角板一直角边与OD重合），试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的数量关系，直接写出你的结论．（3）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．（1）证明：连结AN，∵矩形ABCD∴AO＝CO，∠ABN＝90°，AB＝CD，∵ON⊥AC，∴NA＝NC，∵∠ABN＝90°，∴NA2＝BN2+AB2，∴CN2＝BN2+CD2．（2）如图2，连接DN．∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝DO，∠DCN＝90°，∵ON⊥BD，∴NB＝ND，∵∠DCN＝90°，∴ND2＝NC2+CD2，∴BN2＝NC2+CD2．（3）CM2+CN2＝DM2+BN2理由如下：延长MO交AB于E，∵矩形ABCD，∴BO＝DO，∠ABC＝∠DCB＝90°，AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BEO＝∠DMO，∴△BEO≌△DMO（AAS），∴OE＝OM，BE＝DM，∵NO⊥EM，∴NE＝NM，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴NE2＝BE2+BN2，NM2＝CN2+CM2，∴CN2+CM2＝BE2+BN2 ，即CN2+CM2＝DM2+BN2 ．18．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，边OA落在y轴的正半轴上，点E从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿着射线AB 的方向运动，点A关于OE的对称点为点F．运动时间为t秒，连接OF、EF、BF、CF．（1）如图1、当∠AOE＝30°时，求∠CFB的度数；（2）如图2，当t＝1时，求证：BF⊥CF．（3）如图3，过点F作FG⊥CF，且FG＝CF，连接AG．M为AG的中点，连接CM．则当t＝（3+3）s时，CM有最小值，CM的最小值为3﹣．解：（1）如图1中，连接AF．由翻折想性质可知：∠AOE＝∠EOF＝30°，OA＝OF，∴∠AOF＝60°，∴△AOF是等边三角形，∴AF＝FO，∠OAF＝60°，∵四边形OABC是正方形，∴AB＝OC，∠OAB＝∠AOC＝∠ABC＝∠OCB＝90°，∴∠BAF＝∠COF＝30°，∵AB＝AF＝OF＝OC，∴∠ABF＝∠AFB＝∠OCF＝∠OFC＝75°，∴∠FCB＝∠FBC＝15°，∠CFB＝180°﹣15°﹣15°＝150°．（2）如图2中，作FM⊥AB于M，交OC于N．设FM＝x，EM＝y．∵∠OAM＝∠AMN＝∠AON＝90°，∴四边形AMNO是矩形，∴MN＝AO＝3，AM＝ON＝1+y，FN＝3﹣x，在Rt△EFM和Rt△OFM中，则有，解得，∴BM＝CN＝3﹣1﹣＝，∴BF＝＝，CF＝＝，∴CF2+BF2＝+＝9＝BC2，∴∠CFB＝90°，∴CF⊥BF．（3）如图3中，AO的延长线上截取OK＝OC，连接KC，KG，OM．∵OC＝OF＝OK，∠COK＝90°，∴∠CFK＝135°，∵CF⊥FG，∴∠CFG＝90°，∴∠KFG＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠KFC＝∠KFG，∵KF＝KF，FC＝FG，∴△KFC≌△KFG（SAS），∴KC＝KG＝3，∵OA＝OC＝OK，AM＝MG，∴OM＝KG＝，∴点M的运动轨迹是以O为圆心，OM长为半径的圆弧，∴当点M落在线段OC上时，CM定值最小，最小值＝3﹣，此时易证：∠AOE＝∠EOF＝67.5°，可得BE＝OB＝3，∴AE＝3+3，∴t＝（3+3）s．故答案为：3+3，3﹣．19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点C出发，沿折线CA ﹣AB﹣BC以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，连结PB，以线段PB为对角线作正方形PDBE，设点P的运动时间为t（s），正方形PDBE的面积为S（cm2）．（1）当正方形PDBE有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值；（2）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，正方形PDBE至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．解：（1）当正方形PDBE有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，如图1所示：∵PE∥AB，∴＝，即：＝，解得：x＝，∴PE＝，∴EC＝BC﹣BE＝4﹣＝，∴PC＝＝＝，∴t＝＝s；（2）①当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H，如图2所示：则PH∥AB，∴△CPH∽△CAB，∴＝＝，∵∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，∴AC＝＝＝5（cm），∵CP＝5t，∴HC＝4t，PH＝3t，∴BH＝BC﹣HC＝4﹣4t，在Rt△PHB中，PB2＝PH2+BH2＝（3t）2+（4﹣4t）2＝25t2﹣32t+16，∴S＝PB2＝t2﹣16t+8；②当1＜t＜时，如图3所示：∵PB＝8﹣5t，∴S＝PB2＝（8﹣5t）2＝t2﹣40t+32，综上所述，S＝；（3）①当D、E在∠BAC的平分线上时，如图4所示：∵AH⊥PB，PH＝BH，∴△ABP是等腰三角形，∴AB＝AP＝3，∴PC＝AC﹣AP＝5﹣3＝2，∴t＝s；②当点P运动到点A时，满足条件，此时t＝1s；③当点E在∠BAC的平分线上时，作EH⊥BC于H，如图5所示：∵四边形PDBE是正方形，∴∠EBP＝45°，∴EB平分∠ABC，∴点E是△ABC的内心，四边形EOBH是正方形，∴OB＝EH＝EO＝BH＝＝＝1，∴PB＝2OB＝2，∴AP＝1，∴CA+AP＝6，∴t＝s；④当点P在边BC上，点D在∠BAC的平分线上时，作DN⊥BC于N，作DM⊥AB于M，如图6所示：∵四边形PDBE是正方形，∴∠DBP＝45°，∴DB平分∠ABC，∴点D是△ABC的内心，四边形DMBN是正方形，四边形PDBE是正方形，∴DM＝BN＝PN＝＝1，∴CA+AB+BP＝5+3+1+1＝10，∴t＝2s；⑤当点P在边BC上，且AP是∠BAC的平分线时，作CM∥AP交BA的延长线于M，如图7所示：则∠ACM＝∠PAC，∠M＝∠BAP，∵AP是∠BAC的平分线，∴∠BAP＝∠PAC，∴∠ACM＝∠M，∴AM＝AC，∵CM∥AP，∴＝，∴＝＝，∴BP＝BC＝，∴CA+AB+BP＝5+3+＝，∴t＝÷5＝；综上所述：在整个运动过程中，正方形PDBE至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，t 的值为s或1s或s或2s或s．20．如图1，在三角形△ABC中，BA＝BC，△ADC和△ABC关于AC对称（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形；（2）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB和CC′，得到四边形BCC′D，请判断四边形BCC′D的形状，并说明理由；（3）如图3中，BC＝，AC＝10，将△AC′D沿着射线DB方向平移a，得到△A′C″D′，進接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，请直接写出a的值．解：（1）∵△△ADC和△△ABC关于AC对称，∴DC＝BC，DA＝AB，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∵BA＝BC，∴DC＝BC＝DA＝AB，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，∵△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到△AC′D，∴∠CAC′＝∠BAC＝∠AC′D＝∠BCA，∴AC∥DE，AC′∥BE，∴四边形ACEC′是平行四边形，由旋转可得：AC＝AC′，∴四边形ACEC′是菱形，故答案为：菱形；（2）四边形BCC′D是矩形；理由如下：过点A作AE⊥C′C于点E，如图3所示：由旋转的性质，得AC′＝AC，∴∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠ABC，∠AEC＝90°，∵BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC．同理，AE∥DC′，∴BC∥DC′，∵BC＝DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，∵AE∥BC，∠AEC′＝90°，∴∠BCC′＝90°，∴四边形BCC′D是矩形；（3）过点B作BF⊥AC于F，∵BA＝BC，∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，在Rt△BCF中，BF＝10，∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴＝，即＝，解得：EC＝4，∵AC＝AC′，AE⊥CC′，∴CC′＝2CE＝2×4＝8，。

2020年中考数学专题《四边形》复习综合训练及答案解析2020年中考数学总复习《四边形》专题一、选择题1.下列命题中，不正确的是（）.A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直且平分C. 菱形的对角线互相垂直且平分D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．A. 6B. 5C. 8D. 73.如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（）A. 45°B. 55°C. 65°D. 75°4.一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为（）A. 13B. 15C. 13或15D. 15或16或175.如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD6.如下图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB 的周长多10，则AB长为（）A. 20B. 15C. 10D. 57.如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）A. 7 个B. 8个C. 9个D. 11个8.如图,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于O点.若图中∠1,∠2,∠3,∠4的角度和为220°,则∠BOD的度数为( )A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°9.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm,则与该菱形面积相等的正方形的边长是（）A. 6cmB. 5cmC. cmD. 7.5cm10.能够铺满地面的正多边形组合是（）A. 正三角形和正五边形B. 正方形和正六边形C. 正方形和正五边形D. 正五边形和正十边形二、填空题11.一个多边形对角线的数目是边数的2倍，这样的多边形的边数是________ ．12.如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需增加的一个条件是________13.已知平行四边形ABCD中，AB=5，AE平分∠DAB交BC所在直线于点E，CE=2，则AD=________．14.如图：矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=4cm，∠AOB=60°，则AD=________ cm．15.八年级（3班）同学要在广场上布置一个矩形花坛，计划用鲜花摆成两条对角线．如果一条对角线用了20盆红花，还需要从花房运来________盆红花．如果一条对角线用了25盆红花，还需要从花房运来________盆红花．16.在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中不能镶嵌成一个平面图案的是________ ．17.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3:4，则菱形面积为________cm2．18.梯形ABCD的底AB的长度等于底CD的2倍，也等于腰AD 的2倍，设对角线AC的长为3，腰BC的长为4，则梯形ABCD的高为________．19.如图，在?ABCD中，AD=4，AB=8，∠A=30°，以点A为圆心，AD 的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是________ ．（结果保留π）20.如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE 和等边△ADF，分别连接CE、CF和EF，则下列结论中一定成立的是________ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF=∠EAF；④EF ⊥CD．三、解答题21.如图，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．22.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．23.如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O ，E ，F分别为OB ，OD的中点，过点O任作一直线分别交AB ，CD 于点G ，H.试说明：GF∥EH.24.如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE ∥AB，EF∥AC．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE的长及四边形ADEF的面积．25.如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G分别是AB、CD、DA 上的动点，且AE=BF=CG=DH.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值．26.如图，四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．（1）如果∠B+∠C=120°，则∠AED的度数=________．（直接写出结果）（2）根据（1）的结论，猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系，并证明．27.如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形。

中考数学复习专题训练：《四边形综合》1．问题发现：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，点E是AC的中点，点F在BC边上，将△ECF沿着EF折叠后得到△EPF，连接BP并使得BP最小，请画出符合题意的点P；问题探究：（2）如图②，已知在△ABC和△EBD中，∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC＝4，BD ＝DE＝2，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，求AF的最大值．问题解决：（3）西安大明宫遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，为了丰富同学们的课外学习生活，培养同学们的探究实践能力，周末光明中学的张老师在家委会的协助下，带领全班同学去大明宫开展研学活动．在公园开设的一处沙地考古模拟场地上，同学们参加了一次模拟考古游戏．张老师为同学们现场设计了一个四边形ABCD的活动区域，如图③所示，其中BD为一条工作人员通道，同学们的入口设在点A处，AD⊥BD，AD∥BC，∠DCB＝60°，AB＝2米．在上述条件下，小明想把宝物藏在距入口A尽可能远的C 处让小鹏去找，请问小明的想法是否可以实现？如果可以，请求出AC的最大值及此时△BCD区域的面积，如果不能，请说明理由．2．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE＝x，EG＝y．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．3．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H．（1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BH⊥DE．（2）如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M，N分别为BG，DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接写出DH的长．4．[问题引入]（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD两边上的点，且AE⊥BF，垂足为点P．求证：AE＝BF；[类比探究]（2）如图2，把（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD＝2AB，其余条件不变，请你推断AE、BF满足怎样的数量关系，并说明你的理由；[实践应用]（3）如图3，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，E、F分别为CD、AD边上的点，连接AE、BF，恰好使得AE⊥BF，垂足为点P．请求出的值．5．如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．（1）求证：△HDO≌△EAO；（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．6．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”，如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B′处．于是，由∠ACB＞∠B′，∠ABC＝∠B′，可得∠ACB＞∠ABC．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”，如图3，在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC 的延长线于点N．求证：AM+AN＞2BD．7．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC 边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．8．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC剪开，再把△ADC沿AB方向平移，得到图2，其中A'D交AC于E，A'C'交BC于F．（1）在图2中，除△ABC与△C'DA'外，指出还有哪几对全等三角形（不能添加辅助线和字母），并选择一对加以证明；（2）设AA'＝x．①当x为何值时，四边形A'ECF是菱形？②设四边形A'ECF的面积为y，求y的最大值．9．在正方形ABCD中，BD为对角线，点E在BD上，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，连接CF．（1）如图①，求证：∠ECF＝45°；（2）如图②，作FG⊥AB，交BD于点G，求证：DE＝GE；（3）在（2）的条件下，如图③，延长FG交CE于点K，延长CE交AD于点M，连接MG、BK，若MG＝2EK，GK＝2，求线段BK的长．10．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN ＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM 的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．11．如图，菱形ABCD中，AB＝10，连接BD，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．（1）求证：AE＝CE；（2）若sin∠ABD＝，当点P在线段BC上时，若BP＝4，求△PEC的面积；（3）若∠ABC＝45°，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出△PEC是等腰三角形时BP的长．12．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：BF⊥DF；（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．13．已知正方形OABC在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，E，F分别在OA，OC上，且OA＝4，OE＝2．将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，点E，F旋转后的对应点为E1，F1．（Ⅰ）①如图①，求E1F1的长；②如图②，连接CF1，AE1，求证△OAE1≌△OCF1；（Ⅱ）将△OEF绕点O逆时针旋转一周，当OE1∥CF1时，求点E1的坐标（直接写出结果即可）．14．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．（1）如图1，若∠A＝90°，DE＝CF，求证：DE⊥CF；（2）如图2，若∠EGC+∠B＝180°．求证：DE＝CF；（3）如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，若∠FCD＝15°，BN＝，请直接写出FG的长度．15．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．16．（1）观察猜想如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则△ADB和△EAC是否全等？（填是或否），线段AB、AC、BD、CE之间的数量关系为．（2）问题解决如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，AB＝6，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长．（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝5，AD＝，DC＝DA，CG⊥BD于点G，求CG的长，17．已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值．18．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一个动点，把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，过点F作GH∥CE，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△EFG是等腰三角形；（2）如图①，若F是GH中点，求∠FGE的度数；（3）如图②，若点G与点A重合，AB＝30，BC＝20，求FH的长．19．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C，D在x轴上方，且四边形ABCD的面积为32，（1）若四边形ABCD是菱形，求点D的坐标．（2）若四边形ABCD是平行四边形，如图1，点E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，求AE+2EF的值．（3）若四边形ABCD是矩形，如图2，点M为对角线AC上的动点，N为边AB上的动点，求BM+MN的最小值．20．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC与长方形DEFG的位置如图所示，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的横坐标为a，点D，E在x 轴的负半轴上（点E在点D的右侧），点G的坐标为（b，﹣b），DE＝OA，实数a，b 的值满足．（1）求点F的坐标；（2）长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移t（t＞0）秒得到矩形D'E'F'G'，点D'，E'，F'，G'分别为点D，E，F，G平移后的对应点，设矩形D'E'F'G'与正方形OABC 重合部分的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的范围；（3）在（2）的条件下，在长方形DEFG出发运动的同时，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），连接PD'，PG'，当三角形PD'G'的面积为15时，求S＞0时相应的t值，并直接写出此时刻S值及点P的坐标．参考答案1．解：（1）如图①中，点P即为所求．当E，P，B共线时，BP的值最小．（2）如图②中，取BC的中点P，连接PA，PF．∵∠BDE＝90°，BD＝DE＝2，∴BE＝BD＝4，∴CF＝EF，CP＝PB＝2，∴PF＝BE＝2，∵∠ACP＝90°，AC＝4，CP＝2，∴PA＝＝＝2，∵AF≤PA+PF，∴AF≤2+2，∴AF的最大值为2+2．（3）如图③中，作△ABD的外接圆⊙O交CD于E，连接OE，EB，AC．∵∠DBC＝90°，∠DCB＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠EOB＝60°，∵EO＝EB，∴△EOB是等边三角形，BE＝OB＝，∵∠ECB＝60°，∴点C的运动轨迹是圆弧，不妨设圆心为P，连接PC，PE，PB，则∠EPB＝2∠ECB＝120°，作PT⊥BE于T，在Rt△PET中，∠PET＝30°，ET＝BT＝BE＝，∴PE＝PB＝PC＝＝，∵∠EBO＝60°，∠EBP＝30°，∴∠ABP＝90°，在Rt△ABP中，AP＝＝＝13，∵AC≤PA+PC，∴AC≤13+，∴AC的最大值为13+，此时A，P，C共线，如图③﹣1中，作CW⊥AB于W．∵PB∥CW，∴＝＝，∴＝＝，∴CW＝+1，BW＝2，∴BC＝＝＝，＝•BC•BD＝•BC•BC＝×（26+2）＝13+．∴S△BCD2．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACF＝60°，∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形；（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝，∠AEF＝60°，∵∠ABH＝60°，∴，BH＝HC＝1，∴EH＝|x﹣HC|＝|x﹣1|，∴EF＝＝，∵∠AEF＝∠B＝60°，∴∠CEG+∠AEB＝∠AEB+∠BAE＝120°，∴∠CEG＝∠BAE，∵∠B＝∠ACE＝60°，∴△BAE∽△CEG，∴，∴，∴y＝EG＝（0＜x＜2），（3）解：∵AB＝2，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，∴OA＝OC＝1，∵EG＝EO，∴∠EOG＝∠EGO，∵∠EGO＝∠ECG+∠CEG＝60°+∠CEG，∠CEA＝∠CEG+∠AEF＝60°+∠CEG，∴∠EGO＝∠CEA，∴∠EOG＝∠CEA，∵∠ECA＝∠OCE，∴△COE∽△CEA，∴，∴CE2＝CO•CA，∴x2＝1×2，∴x＝（x＝﹣舍去），即x＝．3．（1）证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE ＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝90°，∴BH⊥DE；（2）解：MH2+HN2＝2CM2，理由：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，∵∠DPH＝∠CPM，∴∠DHP＝∠BCP＝90°，∴∠MHN＝90°，∵M，N分别为BG，DE的中点，∴BM＝BG，DN＝DE，∴BM＝DN，∵BC＝CD，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，∴∠MCN＝∠BCP＝90°，∴MH2+HN2＝CM2+CN2＝2CM2；（3）解：∵DH⊥PG，∴∠DHP＝∠DHG＝90°，把△PDH沿着PD翻折得到△APD，把△GDH沿着DG翻折得到△DGC，∴AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP＝PH＝2，CG＝HG＝4，∵∠PDG＝45°，∴∠ADC＝90°，延长AP，CG交于B，则四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，设DH＝AD＝AB＝BC＝x，∴PB＝x﹣2，BG＝x﹣4，∵PG2＝PB2+BG2，∴62＝（x﹣2）2+（x﹣4）2，解得：x＝3+（负值舍去），∴DH＝3+．4．证明：[问题引入]（1）∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠C，AB＝BC，∵AE⊥BF，∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠BAP＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）BF＝2AE，理由如下：∵矩形ABCD，∴∠ABC＝∠C，AD＝BC＝2AB，∵AE⊥BF，∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠BAP＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE∽△BCF，∴＝2，∴BF＝2AE；（3）如图3，过点B作BH⊥AD于H，连接BD，∵把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，且BH⊥AD，∴AD＝AB＝2AH，BH＝AH，∴，∵∠ADC+∠EPF+∠DEA+∠DFB＝360°，∴∠DEA+∠DFB＝180°，且∠DFB+∠BFA＝180°，∴∠DEA＝∠BFH，∵∠BHF＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BHF，∴＝＝5．解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，AO＝OD，∵四边形OEGH是正方形，∴∠EOH＝90°，OE＝OH，∴∠AOE＝∠DOH，∴△HDO≌△EAO（SAS）；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2，∵BF＝x，∴AF＝4﹣x，∴FN＝2﹣x，∴OF＝＝＝，∴EF＝y﹣，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴，∴＝，∴；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，则AE＝OE，∵∠EAO＝90°，∴这种情况不存在；②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，∴∠PAE＝∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴＝，∵AE＝AG，∴PE＝y＝，AE＝＝，∴＝，解得：x＝2，②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE＝∠EAO＝90°，∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，∴∠EGQ＝∠AEO，∵GE＝OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴EQ＝AO＝2，∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．6．解：（1）将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的内部，D落在AB上．连接DC，∵DE为BC的中垂线，∴DB＝DC，在△ADC中，AD+DC＞AC，∴AD+DB＞AC，即AB＞AC；（2）如图4，延长DC到点E，使得CE＝CN，连接AE交BC于点F，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ACN＝135°，∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE＝AN，过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，由∠ACP＝∠ACQ＝90°可知AP＞AC、AQ＞AC，∴AP+AQ＞2AC，∵∠ACD＞∠E，∠ACD＝45°，∠QCE＝45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ，同理可得PC＞PM，由全等或对称性可得PC＝CQ，∴QE＞PM．∴AM+AN＝AM+AE＝AM+AQ+QE＞AM+AQ+PM＝AP+AQ，又∵AP+AQ＞2AC，∴AM+AN＞2AC，∵正方形ABCD中，AC＝BD．∴AM+AN＞2BD．7．解：（1）①如图1，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共线，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；②成立，理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一条直线上，与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．8．解：（1）△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，由题意得，四边形A′DCB是矩形，∴A′B＝DC，∴AA′＝CC′，∵AB∥CD，∴∠BA′F＝∠C′，由题意得，∠BA′F＝∠A，∴∠A＝∠C′，在△AA′E和△C′CF中，，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）；（2）①设A′E＝a，A′F＝b，∵A′F∥AC，∴＝，即＝，解得，b＝，同理＝，解得，a＝x，当A′E＝A′F时，四边形A′ECF是菱形，∴＝x，解得，x＝，∴当x＝时，四边形A′ECF是菱形；②由①得，四边形A′ECF的面积为y＝3×（4﹣x）﹣×（3﹣x）×（4﹣x）×2＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，y的最大值为3．9．解：（1）如图①，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABD＝∠CBD＝45°，且BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE，∵∠ABC+∠FEC+∠BCE+∠EFB＝360°，∴∠BCE+∠BFE＝180°，∠BFE+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝∠BCE，∴∠BAE＝∠AFE，∴EF＝AE＝EC，且∠FEC＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°；（2）如图②，延长FG交CD于H，∵GF⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形BCHF是矩形，∴FH＝BC＝CD，∠FHC＝90°，∵∠AFE＝∠BCE，∴∠EFH＝∠ECH，且EF＝EC，FH＝CD，∴△EFH≌△ECD（SAS）∴∠FHE＝∠CDE＝45°，且∠FHD＝90°，∴∠FHE＝∠CDE＝∠DGH＝∠DHE＝45°，∴EG＝EH，EH＝DE，∴EG＝DE；（3）如图③，延长FK交CD于H，连接FM，过点M作MP⊥FH于P，∵AD∥BC∥FH，∴∠MDE＝∠KGE，且DE＝EG，∠MED＝∠GEK，∴△MED≌△KEG（ASA）∴ME＝EK＝MK，MD＝GK＝2，∵MG＝2EK，∴MK＝MG，且MP⊥FH，∴GP＝PK＝1，∵∠ADH＝∠DHF＝∠MPH＝90°，∴四边形MDHP是矩形，∴MD＝PH＝2，∴GH＝3，∴FH＝BC＝AB＝AD＝3+FG，∴AM＝1+FG，∵FG⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BFG是等腰直角三角形，∴BF＝FG，∴AF＝3，∵ME＝EK，EF⊥MK，∴FM＝FK＝FG+2，∵FM2＝AM2+AF2，∴（FG+2）2＝（FG+1）2+9，∴FG＝3，∴BK＝＝．10．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN＝＝＝6，∵AB∥CD，∴△ABQ∽△NDQ，∴＝＝＝＝，∴＝，∴AQ＝AN＝2；由（2）得：DN﹣BM＝MN．设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，∴AM＝＝＝2，∵BC∥AD，∴△PBM∽△PDA，∴＝＝＝，∴PM＝AM＝，∴AP＝AM+PM＝3．11．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝BC ，在△ABE 和△CBE 中，，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE ＝CE ；（2）解：连接AC ，交BD 于O ，如图1所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝AB ＝4，∠AOB ＝90°，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∴△BEP ∽△DEA ， ∴＝＝， ∴＝（）2＝，∵sin ∠ABD ＝＝＝， ∴OA ＝2， OB ＝＝＝4， ∴BD ＝2OB ＝8， ∴＝，解得：DE ＝，∴BE ＝BD ﹣DE ＝8﹣＝， ∴S △DEA ＝OA •DE ＝×2×＝， S △ABE ＝OA •BE ＝×2×＝＝S △BEC ， ∴S △BEP ＝S △DEA ＝×＝， ∴S △PEC ＝S △BEC ﹣S △BEP ＝﹣＝； （3）解：①由（1）得：△ABE ≌△CBE ，∴∠BAE ＝∠BCE ，当∠BAE ＝90°时，则∠BCE ＝90°，∴∠ECP＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠EBC＝22.5°，∠CPE＝45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴CE＝CP，∠BEC＝90°﹣22.5°＝67.5°，过点E作∠FEC＝45°交BC于F，如图2所示：则CE＝CP＝CF，EF＝CF，∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠BEF＝∠EBC，∴EF＝BF，∴CF+CF＝BC＝10，∴CF＝＝10（﹣1），∴BP＝BC+CP＝BC+CF＝10+10（﹣1）＝10；②由（1）得：△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，当∠BAE＝105°时，∠AEB＝180°﹣105°﹣22.5°＝52.5°，∴∠AEC＝2∠AEB＝105°，∴∠CEP＝75°，∵∠APB＝180°﹣105°﹣45°＝30°，∴∠ECP＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ECP＝∠CEP，∴△PEC是等腰三角形，过点A作AN⊥BP于N，如图3所示：则△ABN是等腰直角三角形，∴AN＝BN＝AB＝5，∵∠APB＝30°，∴tan30°＝，即＝，∴PN＝5，∴BP＝BN+PN＝5+5，综上所述，△PEC是等腰三角形时BP的长为10或5+5．12．（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵点E与点B关于直线AP对称，∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．∴AE＝AD．∴∠ADE＝∠AED．∵∠AED+∠AEF＝180°，∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°，∴∠BFD+∠BAD＝180°，∴∠BFD＝90°∴BF⊥DF；（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝BF+CF，理由如下：过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠CBF，∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°，∴∠MFB＝∠MFE＝45°，∴△BMF是等腰直角三角形，∴BM＝BF，FM＝BF，在△AMB和△CFB中，，∴△AMB≌△CFB（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝FM+AM，∴AF＝BF+CF．13．（Ⅰ）①解：∵等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，OE＝2，∴∠EOF＝90°，OF＝OE＝2，∴EF＝＝＝2，∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，∴E1F1＝EF＝2；②证明：∵四边形OABC为正方形，∴OC＝OA．∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，∴∠AOE1＝∠COF1，∵△OEF是等腰直角三角形，∴△OE1F1是等腰直角三角形，∴OE1＝OF1．在△OAE1和△OCF1中，∴△OAE1≌△OCF1（SAS）；（Ⅱ）解：∵OE⊥OF，∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上．∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线，又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF1和CF2，此时，E点分别在E1点和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2．当切点F1在第二象限时，点E1在第一象限．在直角三角形CF1O中，OC＝4，OF1＝2，cos∠COF1＝＝＝，∴∠COF1＝60°，∴∠AOE1＝60°．∴点E1的横坐标＝2cos60°＝1，点E1的纵坐标＝2sin60°＝，∴点E1的坐标为（1，）；当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限．同理可求：点E2的坐标为（1，﹣）．综上所述，当OE1∥CF1时，点E1的坐标为（1，）或（1，﹣）．14．解：（1）证明：∵菱形ABCD中，∠A＝90°∴菱形ABCD是正方形∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°在Rt△ADE与Rt△DCF中∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL）∴∠ADE＝∠DCF∴∠DCF+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝∠ADC＝90°∴∠CGD＝90°∴DE⊥CF（2）证明：∵四边形ABCD是菱形∴AD＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC∴∠A+∠B＝180°∵∠EGC+∠B＝180°，∠EGC+∠CGD＝180°∴∠A＝∠EGC＝∠DGF，∠CGD＝∠B＝∠ADC ∵∠A＝∠DGF，∠ADE＝∠GDF∴△ADE∽△GDF∴∴∵∠CGD＝∠CDF，∠DCG＝∠FCD∴△DCG∽△FCD∴∴∵AD＝DC∴DE＝CF（3）如图，过点N作NP⊥CD于点P，连接FM∴∠CPN＝∠MPN＝90°∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD∴四边形BCPN是矩形∴NP＝BC＝CD，PC＝BN＝在Rt△NPM与Rt△CDF中∴Rt△NPM≌Rt△CDF（HL）∴PM＝DF设PM＝DF＝x，则CM＝PC+PM＝+x∵由（1）得MN⊥CF，G为CF中点∴MN垂直平分CF∴MF＝MC∴∠MFC＝∠FCD＝15°∴∠DMF＝∠MFC+∠FCD＝30°∴Rt△DMF中，MF＝2DF＝2x，DM＝DF＝x ∴2x＝+x∴x＝∴DF＝，CM＝2，CD＝CM+DM＝2+∵∠GCM＝∠MCF，∠CGM＝∠CDF＝90°∴△CGM∽△CDF∴＝∴2CG2＝CD•CM＝（2+）＝8+4∴CG2＝4+2＝12+2+（）2＝（1+）2∴FG＝CG＝1+15．（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形BCGE是垂美四边形；②解：∵四边形BCGE是垂美四边形，∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．16．解：（1）观察猜想结论：AB+AC＝BD+CE，理由如下：如图①，∵DB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，在△ADB和△EAC中，，∴△ADB≌△EAC（AAS），∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB+AC＝BD+CE，故答案为：是，AB+AC＝BD+CE；（2）问题解决如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由（1）得：△ABC≌△DEA（AAS），∴DE＝AB＝6，AE＝BC＝＝＝12，Rt△BDE中，BE＝AB+AE＝18，由勾股定理得：BD＝＝＝6；（3）拓展延伸如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，则四边形DEBF是矩形，同（1）得：△CED≌△AFD（AAS），∴CE＝AF，DE＝DF，∴四边形DEBF是正方形，设AF＝x，则BF＝DE＝DF＝x+5，在Rt△ADF中，由勾股定理得：x2+（x+5）2＝（）2，解得：x＝，或x＝﹣（舍去），∴AF＝，DF＝，∴BD＝DF＝，四边形ABCD的面积＝正方形DEBF的面积＝（）2＝，△ABD的面积＝AB×DF＝×5×＝，∴△BCD的面积＝四边形ABCD的面积﹣△ABD的面积＝BD×CG＝﹣＝51，∴CG＝＝6．17．（1）解：如图1中，∵AB＝BD，∠BAD＝45°，∴∠BDA＝∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴E、C重合时BF＝BD＝AB，在Rt△ABF中，∵AF2＝AB2+BF2，∴（2）2＝（2BF）2+BF2，∴BF＝2，AB＝4，在Rt△ABD中，AD＝＝4；（2）证明：如图2中，在AF上截取AK＝HD，连接BK，∵∠AFD＝∠ABF+∠2＝∠FGD+∠3，∠ABF＝∠FGD＝90°，∴∠2＝∠3，在ABK和△DBH中，，∴△ABK≌△DBH，∴BK＝BH，∠6＝∠1，AK＝DH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠4＝∠1＝∠6＝45°，∴∠5＝∠ABD﹣∠6＝45°，∴∠5＝∠1，在△FBK和△FBH中，，∴△FBK≌△FBH，∴KF＝FH，∵AF＝AK+KF，∴AF＝DH+FH；（3）解：连接AN并延长到Q，使NQ＝AN，连接GQ，取AD的中点O，连接OG，∵∠AGD＝90°，∴点G的轨迹是以O为圆心，以OG为半径的弧，且OG＝4，当O，G，Q在同一条直线上时，QG的值最小，∴OQ＝10，OG＝4，∴GQ最小值为6，∵MN是△AGQ的中位线，∴MN的最小值为3．18．解：（1）∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠BEC＝∠FEC，∵GH∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∠GFE＝∠FEC，∴∠EGF＝∠EFG，∴EG＝EF，∴△EFG是等腰三角形；（2）如图①，取CE的中点M，连接FM，∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠EFC＝∠B＝90°，∴EM＝FM，∵AB∥CD，GH∥CE，∴四边形GECH是平行四边形，∴GH＝CE，∵F是GH中点，∴FG＝EM，∴四边形GEMF是平行四边形，∴GE＝FM，由（1）知，GE＝EF，∴EG＝GF＝EF，∴△EFG是等边三角形，∴∠FGE＝60°；（3）由（2）知，BE＝EF，AE＝EF，∴AE＝BE＝AB＝15，∴CH＝AE＝15，∴DH＝30﹣15＝15，∴AH＝＝＝25，如图②，过E作EN⊥AF于N，∴∠ANE＝∠B＝90°，∵CE∥AH，∴∠EAN＝∠BEC，∴△AEN∽△ECB，∴＝，∴＝，∴AN＝9，∴AF＝18，∴FH＝25﹣18＝7．19．解：（1）如图1，过D作DH⊥AB于H，∵A（﹣4，0），B（4，0），∴OA＝OB＝4，∴AB＝8，∵四边形ABCD的面积为32∴8DH＝32，∴DH＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝8，∴AH＝＝＝4，∴OH＝AH﹣OA＝4﹣4，∴D（4﹣4，4）；（2）如图1，延长EF交x轴于G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠C＝∠FBG，∠CEF＝∠FGB，∵CF＝BF，∴△CEF≌△BGF（AAS），∴EF＝FG，CE＝BG，∴EG＝2EF，过E作EP⊥x轴于P，∴EP＝DH＝4，∵CD＝AB＝8，∴设D（a，4）则C（8+a，4），∵点E为CD的中点，∴E（4+a，4），∴AP＝8+a，PG＝4﹣a，∴PE2＝AP•PG，∴（8+a）•（4﹣a）＝16，∴a＝2﹣2（负值舍去），∴AP＝6+2，PG＝6﹣2，∴AE＝＝4，EG＝＝4，∴AE+2EF＝AE+EG＝4+8；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，∴AC＝＝4，作B关于AC的对称点M′，连接BM′交AC于E，则BM′＝2BE＝2×＝2×＝，过M′作M′N⊥AB于N交AC于M，则此时，BM+MN的值最小，且BM+MN的最小值＝M′N，∵∠M′EM＝∠CEB＝90°，BE＝，BC＝4，∴CE＝，∴CM＝2CE＝，∴AM＝，∴AM2﹣AN2＝BM2﹣BN2，∴（）2﹣AN2＝42﹣（8﹣AN）2，∴AN＝，∴MN＝＝，∴M′N＝，∴BM+MN的最小值为．20．解：（1）∵，∴a﹣4＝0，b+6＝0，∴a＝4，b＝﹣6，∵四边形OABC是正方形，点B的横坐标为a，∴OA＝4，∵四边形DEFG为长方形，点G的坐标为（b，﹣b），∴F的纵坐标为：﹣b＝6，OD＝6，∵DE＝OA，∴OE＝OD﹣DE＝OD﹣OA＝6﹣4＝2，∴F（﹣2，6）（2）∵OE＝2，AD＝2OA+OE＝2×4+2＝10，AE＝OA+OE＝4+2＝6，长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移，∴当0＜t≤2，t≥10时，S＝0；当2＜t≤6时，点E'在OA上，如图1所示：S＝OC•OE′＝4（t﹣2）＝4t﹣8；当6＜t＜10时，点D'在OA上，如图2所示：S＝AB•AD'＝4（10﹣t）＝40﹣4t；∴S＝；（3）∵D′G′＝DG＝6，当三角形PD'G'的面积为15时，∴点P到D′G′的距离为5，∵长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），∵当点P再次运动到AO、OC时，△PD'G'的面积＜15，∴分两种情况：①当t＝3s时，点P在BC的中点处，如图3所示：即PC＝2，DG向右平移了3个单位长度，OD′＝OD﹣3＝6﹣3＝3，此时，PC+OD′＝2+3＝5，即点P到D′G′的距离为5，P的坐标为：（2，4），OE′＝D′E′﹣OD′＝4﹣3＝1，∴S＝OC•OE′＝4×1＝4；②当t＝5s时，点P在AB的中点处，如图4所示：即AP＝2，DG向右平移了5个单位长度，OD′＝OD﹣5＝6﹣5＝1，此时，OA+OD′＝4+1＝5，即点P到D′G′的距离为5，P的坐标为：（4，2），OE′＝D′E′﹣OD′＝4﹣1＝3，∴S＝OC•OE′＝4×3＝12．。

2020年中考数学复习专题练：《四边形综合 》1．如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示．①线段DG 与BE 之间的数量关系是 ；②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 ；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）．2．如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点（不与C ，D 两点重合），连接BE ，过点C 作CH ⊥BE 于点F ，交对角线BD 于点G ，交AD 边于点H ，连接GE ，（1）求证：△DHC ≌△CEB ；（2）如图2，若点E 是CD 的中点，当BE ＝8时，求线段GH 的长；（3）设正方形ABCD 的面积为S 1，四边形DEGH 的面积为S 2，当的值为时，的值为 ．3．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG．（1）求证：GD＝EG．（2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．（3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．5．（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN 绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为．（2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN 的周长．6．（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝，则的值是；（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE 和BD，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，当CD＝6，AD＝3时，请直接写出线段BD的长度．7．如图1，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD′E．（1）当D′点落在AB边上时，∠DAE＝°；（2）如图2，当E点与C点重合时，D′C与AB交点F，①求证：AF＝FC；②求AF长．（3）连接D′B，当∠AD′B＝90°时，求DE的长．8．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，m），B（n，O），AC∥OB，且AC＝OB，连接BC交x轴于点F，其中m、n满足方程+n2+8n+16＝0．（1）求A、B两点坐标；（2）过A做AE⊥BC于E，延长AE交x轴于点D，动点P从点B出发以每秒2个单位的速度向x轴正半轴方向运动，设△PFD的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PE，将△PED沿PE翻折到△PEG的位置（点D与点G对应），当四边形PDEG为菱形时，求点P和点G的坐标．9．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．10．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在射线CD、BC上，且BF＝CE，将线段FA绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接EG，试探究线段EG和BF的数量关系和位置关系．【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②，当点E与点D重合，点F与点C重合时，易知：EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是．【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F分别在CD、BC边上任意位置时（如图③）；一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且＝k（k≠1）”，点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时，仍将线段FA绕点F顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG，连接EG（如图⑤），则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）11．在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），动点E沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．综合与实践动手操作：第一步：在矩形纸片ABCD的边BC，AD上分别取两点E，F，使CE＝AF；第二步：分别以DE，BF为对称轴将△CDE与△ABF翻折得到△C'DE与△A'BF，且边C'E 与A'B交于点G，边A'F与C'D交于一点H．问题解决：（1）求证：△BEG≌△DFH；（2）请判断四边形A'HC'G的形状，并证明你发现的结论；（3）已知tan∠EBG＝，A'G＝6，C'G＝1，求矩形纸片ABCD的面积．13．如图1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将△ACD绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜360°）至△A'CD'位置．（1）如图2，若AB＝2，α＝30°，求S△BCD′．（2）如图3，取AA′中点O，连OB、OD′、BD′．若△OBD′存在，试判定△OBD′的形状．（3）当α＝α1时，OB＝OD′，则α1＝°；当α＝α2时，△OBD′不存在，则α2＝°．14．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝m ，点E 是边BC 上一点，BE ＝1，连接AE ．（1）沿AE 翻折△ABE 使点B 落在点F 处，①连接CF ，若CF ∥AE ，求m 的值；②连接DF ，若≤DF ≤，求m 的取值范围．（2）△ABE 绕点A 顺时针旋转得△AB 1E 1，点E 1落在边AD 上时旋转停止．若点B 1落在矩形对角线AC 上，且点B 1到AD 的距离小于时，求m 的取值范围．15．如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ．（1）BE 和DG 的数量关系是 ，BE 和DG 的位置关系是 ；（2）把正方形ECGF 绕点C 旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形ABCD 的边长为4，正方形ECGF 的边长为3，正方形ECGF 绕点C 旋转过程中，若A 、C 、E 三点共线，直接写出DG 的长．16．如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动（不与点A、B重合），点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．（1）求证：CE＝EF；（2）求△AEG的周长（用含a的代数式表示）；（3）试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．17．问题情境：矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交，交点为E、F．探究1：如图1，当PE⊥AB，PF⊥BC时，则＝．探究2：如图2，在（1）的基础上，将三角板绕点P逆时针旋转，旋转角为α，（0°＜α＜60°），试求的值．探究3：在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°时，将顶点P在AC上移动且使＝时，如图3，试求的值．18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿B→A→C运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作DE⊥BC，垂足为E，以DE为一边在右侧作矩形DEFG，点F在BC边上，且EF：DE＝4：3，连结AG，CG，设运动时间为t（秒），矩形DEFG与△ABC重叠部分面积为S．（1）当AG＝CG时，求t的值．（2）当点D在边AB上运动时，求S与t的函数关系式．（3）当△ACG的面积为6时，直接写出t的值．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝32，DC＝24，AD＝42，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒4个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB 上以每秒2个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．20．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．参考答案1．解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．2．证明（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS）．（2）解：∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DH∥BC，∴．∴GC＝2GH，设GH＝x，则，则CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝．即GH＝．（3）解：∵，∴，∵DH＝CE，DC＝BC，∴，∵DH∥BC，∴，∴，，设S△DGH ＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG ：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴．故答案为：．3．解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠OAC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．4．证明：（1）如图1，延长EG交DC的延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵AB∥CD，∴∠H＝GEB，且BG＝CG，∠BGE＝∠CGH，∴△CGH≌△BGE（AAS）∴GE＝GH，∵DE⊥AB，DC∥AB，∴DC⊥DE，且GE＝GH，∴DG＝EG＝GH；（2）如图1：∵DB⊥EG，∴∠DOE＝∠DEB＝90°，且∠EDB＝∠EDO，∴△DEO∽△DBO，∴∴DE×DE＝4×（2+4）＝24，∴DE＝2，∴EO＝＝＝2，∵AB∥CD，∴， ∴HO ＝2EO ＝4， ∴EH ＝6，且EG ＝GH ， ∴EG ＝3，GO ＝EG ﹣EO ＝， ∴GB ＝＝＝，∴BC ＝2＝AD ， ∴AD ＝DE ，∴点E 与点A 重合，如图2：∵S 四边形ABCD ＝2S △ABD ，∴S 四边形ABCD ＝2××BD ×AO ＝6×2＝12；（3）如图3，过点O 作OF ⊥BC ，∵旋转△GDO ，得到△G ′D 'O ，∴OG ＝OG '，且OF ⊥BC ，∴GF ＝G 'F ，∵OF ∥AB ，∴＝＝，∴GF＝BG＝，∴GG'＝2GF＝，∴BG'＝BG﹣GG'＝，∵AB2＝AO2+BO2＝12，∵EG'＝AG'＝＝，＝．5．解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝8，∴BM+CM+CN+DN＝8，∴BC+CD＝8，∴BC＝CD＝4，故答案为4；（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE（SAS），∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；（3）如图3，延长BA，CD交于G，∵∠BAM＝60°，∠MAD＝90°，∴∠BAD＝150°，∴∠GAD＝30°，∵AD＝2，∴DG＝1，AG＝，∵∠DAN＝15°，∴∠GAN＝45°，∴AG＝GN＝，∴BG＝2+，∴BC＝2BG＝4+2，CG＝BG＝2+3，∴CD＝CG﹣DG＝2+2，由（2）得，MN＝BM+DN，∴△CMN的周长＝CM+CN+MN＝CN+DN+CM+BM＝BC+CD＝4+2+2+2＝6+4．6．解：（1）∵DE∥BC，∴＝＝＝；故答案为：；（2）的值不变化，值为；理由如下：由（1）得：DE∥B，∴△ADE∽△ABC，∴＝，由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝；（3）在AB上截取AM＝AD＝3，过M作MN∥BC交AC于N，把△AMN绕A逆时针旋转得△ADE，连接CE，如图所示：则MN⊥AC，DE＝MN，∠DAE＝∠BAC，∴∠AED＝∠ANM＝90°，∵AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝＝，∴BC：AC：AB＝3：4：5，同（2）得：△ABD∽△ACE，∴＝＝，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，∴MN＝×AM＝×3＝，∵∠BAC＝∠ADC＝θ，∴∠DAE＝∠ADC＝θ，∴AE∥CD，∴∠CDE+∠AED＝180°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝＝＝，∴BD＝CE＝×＝．7．解：（1）由题意知△ADE≌△AD′E，∴∠DAE＝∠D′AE，∵D′点落在AB边上时，∠DAE+∠D′AE＝90°，∴∠DAE＝∠D′AE＝45°，故答案为：45；（2）①如图2，由题意知∠ACD＝∠ACD′，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∴∠ACD′＝∠BAC，∴AF＝FC；②设AF＝FC＝x，则BF＝10﹣x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2＝CF2得（10﹣x）2+62＝x2，解得x＝6.8，即AF＝6.8；（3）如图3，∵△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E＝∠D＝90°，∵∠AD′B＝90°，∴B、D′、E三点共线，又∵△ABD′∽△BEC，AD′＝BC，∴△ABD′≌△BEC，∴BE＝AB＝10，∵BD′＝＝＝8，∴DE＝D′E＝10﹣8＝2；如图4，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC，∴BE＝AB＝10，∴DE＝D″E＝8+10＝18．综上所知，DE＝2或18．8．解：（1）∵，，（n+4）2≥0，∴m﹣4＝0，n+4＝0，∴m＝4，n＝﹣4，∴A（0，4），B（﹣4，0）；（2）∵AC∥OB，∴∠C＝∠CBO，∠CAF＝∠BOF，∵AC＝OB，∴△ACF≌△OBF（ASA），∴AF＝OF＝2，∵OA＝OB，∠OAD＝∠OBF，∠BOF＝∠AOD，∴△BOF≌△AOD（ASA），∴OF＝OD＝2，∴BD＝6，①当0≤t＜3时，S＝PD•OF＝（6﹣2t）×2＝6﹣2t；②当t＞3时，S＝PD•OF＝（2t﹣6）×2＝2t﹣6；（3）①当0≤t＜3，如图2，∵AO＝4，OD＝2，∴AD＝，∵BD×OA＝AD×BE，∴BE＝，∴DE＝，∵四边形PDEG为菱形，∴DP＝DE＝EG＝，∵D（2，0），∴P（2﹣，0），作EH⊥BD于H，∵BE×DE＝BD×EH，∴EH＝，∴HD＝，∴OH＝，∴E（，），∵EG∥OB，∴G与E的纵坐标相同，∴G（﹣，）②当t＞3时，如图3，同理求得P（2+，0），G（+，）．9．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①连接BE，如图2所示：由（1）可知：BG＝DE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°；②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝BD，∵BC＝CD＝，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，BH＝1，∴CH＝1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，∵∠BCG＝135°，∴∠GCN＝45°，∴△GCN是等腰直角三角形，∴GN＝CG＝（﹣1），＝BC•GN＝××（﹣1）＝．∴S△BCG10．【观察与猜想】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB＝∠ACD＝45°，由旋转的性质得：GC＝AC，∠ACG＝90°，∴∠ACB＝∠GCD＝45°，在△ABC和△GDC中，，∴△ABC≌△GDC（SAS），∴AB＝GD，∠GDC＝∠B＝90°，∴DG∥BC，△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝CD＝BC，∵点E与点D重合，点F与点C重合，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：EG＝BF，EG∥BF；【探究与证明】证明：点E、F分别在CD、BC边上任意位置时，如图③所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时，如图④所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；【拓展与延伸】解：＝＝k（k≠1）时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立；理由如下：作GM⊥BC，交BC延长线于M，如图⑤所示：则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，∠B＝∠GMF，由旋转的性质得：∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，∴△ABF∽△FMG，∴＝＝，∵＝＝k，∴＝＝k，＝＝k，∴FM＝BC，GM＝CE，∴BF＝CM，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：＝＝k（k≠1）．11．解：（1）AF＝DE．理由如下：∵四边形OADC是正方形，∴OA＝AD，∠DAE＝∠AOF＝90°，由题意得：AE＝OF，在△AOF和△DAE中，，∴△AOF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE．（2）四边形HIJK是正方形．理由如下：如图①所示：∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，HI∥AF，HK∥ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形，∵△AOF≌△DAE，∴∠ADE＝∠OAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠OAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥ED，∵HI∥AF，HK∥ED，∴HI⊥HK，∴∠KHI＝90°，∴四边形HIJK是正方形．（3）存在，理由如下：∵四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），∴OA＝AD＝OC＝4，∴C（4，0），∵点E为AO的中点，∴OE＝2，E（0，2）；分情况讨论：如图②所示，①当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，OC与MN互相垂直平分，则M为CE 的中点，∴点M的坐标为（2，1），∵点M和N关于OC对称，∴N（2，﹣1）；②当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，若M在y轴的左侧时，∵四边形OCM'N'是菱形，∴OM'＝OC＝4，M'N'∥OC，∴△M'FE∽△COE，∴＝＝2，设EF＝x，则M'F＝2x，OF＝x+2，在Rt△OM'F中，由勾股定理得：（2x）2+（x+2）2＝42，解得：x＝，或x＝﹣2（舍去），∴M'F＝，FN＝4﹣M'F＝，OF＝2+＝，∴N'（，）；若M在y轴的右侧时，作N''P⊥OC于P，∵ON''∥CM''，∴∠PON''＝∠OCE，∴tan∠PON''＝＝tan∠OCE＝＝，设PN''＝y，则OP＝2y，在Rt△OPN''中，由勾股定理得：y2+（2y）2＝42，解得：y＝，∴PN''＝，OP＝，∴N''（，﹣）；综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，﹣1）或（，）或（，﹣）．12．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD，CD＝AB，∠C＝∠ABC＝∠A＝∠ADC＝90°，∵CE＝AF，∴BC﹣CE＝AD﹣AF，即BE＝DF，在△DCE和△BAF中，，∴△DCE≌△BAF（SAS），∴∠CDE＝∠ABF，∠CED＝∠AFB，由折叠的性质得：∠CDE＝∠C′DE，∠ABF＝∠A′BF，∠CED＝∠C′ED，∠AFB＝∠A′FB，∵∠CDE+∠C′DE+∠HDF＝90°，∠ABF+∠A′BF+∠GBE＝90°，∠CED+∠C′ED+∠GEB＝180°，∠AFB+∠A′FB+∠HFD＝180°，∴∠HDF＝∠GBE，∠GEB＝∠HFD，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（ASA）；（2）解：四边形A'HC'G的形状是矩形；理由如下：由折叠的性质得：∠C＝∠DC′E＝∠A＝∠BA′F＝90°，由（1）得：△BEG≌△DFH，∴∠BGE＝∠DHF，∵∠BGE＝∠A′GC′，∠DHF＝∠A′HC′，∴∠A′GC′＝∠A′HC′，∵∠DC′E+∠BA′F+∠A′GC′+∠A′HC′＝90°+90°+∠A′GC′+∠A′HC′＝360°，∴∠A′GC′+∠A′HC′＝180°，∴∠A′GC′＝∠A′HC′＝90°，∴∠DC′E＝∠BA′F＝∠A′GC′＝∠A′HC′＝90°，∴四边形A'HC'G是矩形；（3）解：由（2）知：∠BGE＝∠A′GC′＝90°，∵tan∠EBG＝，∴设EG＝3x，则BG＝4x，BE＝＝5x，由折叠的性质得：CE＝C′E＝EG+C′G＝3x+1，CD＝AB＝A′B＝BG+A′G＝4x+6，∴BC＝CE+BE＝3x+1+5x＝8x+1，S矩形ABCD＝CD•BC＝4×CD•CE+2×EG•BG﹣A'G•C'G，即（4x+6）（8x+1）＝4×（3x+1）（4x+6）+2×3x•4x﹣6×1，整理得：x2﹣2x＝0，解得：x1＝2，x2＝0（不合题意舍去），∴CD＝4×2+6＝14，CB＝8×2+1＝17，∴S矩形ABCD＝CD•BC＝14×17＝238．13．解：（1）作D'E⊥BC交BC的延长线于E，如图2所示：则∠E＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，AD∥BC，CD＝AB＝2，∴∠ACD＝∠BAC，∠DAC＝∠ACB＝30°，∵∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝2，∠ACD＝∠BAC＝60°，由旋转的性质得：CD'＝CD＝2，∠ACA'＝30°，∴∠D'CE＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴∠CD'E＝30°，∴CE＝CD'＝1，D'E＝CE＝，∴S＝BC×D'E＝×2×＝3；△BCD′（2）△OBD′是直角三角形，理由如下：连接OC，如图3所示：由旋转的性质得：CA'＝CA，∠AD'C＝∠ADC＝90°，∠D'A'C＝∠DAC＝30°，∵O是AA′的中点，∴OC⊥AA'，∴∠AOC＝∠AOC＝90°＝∠ABC＝∠AD'C，∴∠ABC+∠AOC＝180°，∴A、B、C、O四点共圆，∴∠BOC＝∠BAC＝60°，同理；A、D'、C、O四点共圆，∴∠D'OC＝∠D'A'C＝30°，∴∠BOD'＝90°，∴△BOD'是直角三角形；（3）若B、C、D'三点不共线，如图3所示：由（2）得：∠OBC＝∠OAC，∠OD'C＝∠OA'C，∠OAC＝∠OA'C，∴∠OBC＝∠OD'C，∵OB＝OD，∴∠OBD'＝∠OD'B，∴∠CBD'＝∠CD'B，∴CB＝CD'，∵CD'＝CD，∴BC＝CD，这与已知相矛盾，∴B、C、D'三点共线；分两种情况：当点D'在BC的延长线上时，如图4所示：＝90°；α＝α1当点D'在边BC上时，如图5所示：＝360°﹣90°＝270°；α＝α1故答案为：90°或270；时，△OBD′不存在时，分两种情况：当α＝α2当O与D'重合时，如图6所示：∵CA'＝CA，∠CAD'＝∠CA'D'＝30°，∴∠ACA'＝120°，＝360°﹣120°＝240°；∴α＝α2当O与B重合时，如图7所示：则AA'＝2AB＝4，∵CA＝CA'＝2AB＝4＝AA'，∴△ACA'是等边三角形，∴∠A'CA＝60°，＝360°﹣60°＝300°；∴α＝α2故答案为：240°或300．14．解：（1）①如图1，∵CF∥AE ∴∠FCE＝∠AEB，∠CFE＝∠AEF∵△ABE翻折得到△AFE∴EF＝BE＝1，∠AEF＝∠AEB∴∠FCE＝∠CFE∴CE＝EF＝1∴m＝BC＝BE+CE＝2∴m的值是2．②如图2，过点F作GH⊥AD于点G，交BC于点H ∴GH⊥BC∴∠AGF＝∠FHE＝90°∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝∠B＝90°∴四边形ABHG是矩形∴GH＝AB＝2，AG＝BH∵△ABE翻折得到△AFE∴EF＝BE＝1，AF＝AB＝2，∠AFE＝∠B＝90°∴∠AFG+∠EFH＝∠AFG+∠FAG＝90°∴∠EFH＝∠FAG∴△EFH∽△FAG∴设EH＝x，则AG＝BH＝x+1∴FG＝2EH＝2x∴FH＝GH﹣FG＝2﹣2x∴解得：x＝∴AG＝，FG＝∵AD＝BC＝m∴DG＝|AD﹣AG|＝|m﹣|∴DF 2＝DG 2+FG 2＝（m ﹣）2+2≥，即可把DF 2看作关于m 的二次函数，抛物线开口向上，最小值为∵∴∵（m ﹣）2+2＝ 解得：m 1＝，m 2＝1 ∴根据二次函数图象可知，1≤m（2）如图3，过点B 1作MN ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ∴MN ∥AB ，MN ＝AB ＝2∵AC ＝ ∴sin ∠ACB ＝∵AD ∥BC ，点B 1在AC 上∴∠MAB 1＝∠ACB∴sin ∠MAB 1＝ ∴∵点B 1到AD 的距离小于∴MB 1＝ 解得：∵m＞0 ∴m＞如图4，当E1落在边AD上，且B1在AC上时，m最大，此时，∠ACB＝∠B1AE1＝∠BAE∴tan∠ACB＝tan∠BAE∴∴m＝BC＝2AB＝4∴m的取值范围是＜m≤415．解：（1）BE＝DG．BE⊥DG；理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS），∴BE＝DG；如图1，延长GD交BE于点H，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGC+∠EBC＝∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠BHG＝90°，即BE⊥DG；故答案为：BE＝DG，BE⊥DG．（2）成立，理由如下：如图2所示：同（1）得：△DCG≌△BCE（SAS），∴BE＝DG，∠CDG＝∠CBE，∵∠DME＝∠BMC，∠CBE+∠BMC＝90°，∴∠CDG+∠DME＝90°，∴∠DOB＝90°，∴BE⊥DG；（3）由（2）得：DG＝EB，分两种情况：①如图3所示：∵正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，∴AC⊥BD，BD＝AC＝AB＝4，OA＝OC＝OB＝AC＝2，CE＝3，∴AE＝AC﹣CE＝，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；②如图4所示：OE＝CE+OC＝2+3＝5，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；综上所述，若A、C、E三点共线，DG的长为或．16．（1）证明：过点F作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠AHF＝90°，∵AM平分∠DAH，∴∠FAH＝45°，∴△AFH是等腰直角三角形，∴FH＝AH，AF＝AH＝FH，∵AF＝BE，∴FH＝AH＝BE，∴AH+AE＝BE+AE，∴HE＝AB＝BC，在△FEH和△ECB中，，∴△FEH≌△ECB（SAS），∴CE＝EF；（2）解：∵△FEH≌△ECB，∴∠FEH＝∠ECB，∵在Rt△BCE中，∠ECB+∠CEB＝90°，∴∠FEH+∠CEB＝90°，∴∠CEF＝90°，由（1）知，CE＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∠ECF＝∠EFC＝45°，把Rt△CDG绕点C逆时针旋转90°至Rt△CBN位置，如图2所示：则∠GCN＝90°，CG＝CN，DG＝BN，∴∠NCE＝∠GCN﹣∠GCE＝45°，∴∠NCE＝∠GCE，在△CEG和△CEN中，，∴△CEG≌△CEN（SAS），∴GE＝NE＝EB+BN＝EB+DG，∴△AEG的周长＝AE+GE+AG＝AE+EB+DG+AG＝AB+AD＝2a；（3）解：设AE＝x，由（1）得：FH＝BE＝a﹣x，则△EAF的面积＝AE×FH＝x（a﹣x）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝，即点E在AB边中点时，△EAF的面积最大，最大值为．17．解：（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA＝PC；∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC，∴∠APE＝∠PCF；∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB，∴∠PAE＝∠CPF．∵在△APE与△PCF中，，∴△APE≌△PCF（ASA），∴PE＝CF．在Rt△PCF中，＝tan30°＝，∴＝，故答案为：．（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．0°～30°时∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM＝∠FPN，又∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME∽△PNF，∴＝，由（1）知，＝，∴＝．同理30°～60°时，＝；（3）当60°＜α＜90°时，将顶点P在AC上移动且使＝时，如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM＝∠PCN，∠PAM＝∠CPN，∴△APM∽△PCN，∴＝＝，得CN＝2PM．在Rt△PCN中，＝＝tan30°＝，∴＝．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM＝∠FPN，又∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME∽△PNF，∴＝＝．18．解：（1）∵四边形DEFG是矩形，∴DG＝BF，GF＝BD，∠BDG＝∠BFG＝90°，∴∠ADG＝∠CFG＝90°，由题意得：BD＝3t，则AD＝6﹣3t，DG＝4t，CF＝8﹣4t，FG＝BD＝3t，当AG＝CG时，由勾股定理得：AG2＝AD2+DG2，CG2＝FG2+FC2，∴AD2+DG2＝FG2+FC2，即（6﹣3t）2+（4t）2＝（3t）2+（8﹣4t）2，解得：t＝1，即当AG＝CG时，t＝1秒；（2）分两种情况：①当0＜t≤1时，如图1所示：S＝矩形DEFG的面积＝3t×4t＝12t2；即S＝12t2（0＜t≤1）；②当1＜t≤2时，如图2所示：∵∠ADH＝∠B＝90°，∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABC，∴＝，即＝，解得：DH＝8﹣4t，同理得：FM＝6﹣3t，∴S＝×6×8﹣×2×（6﹣3t）（8﹣4t）＝﹣12t2+48t﹣24；即S＝﹣12t2+48t﹣24（1＜t≤2）；（3）分三种情况：①如图1所示：由题意得：×6×8﹣12t2﹣×4t×（6﹣3t）﹣×3t×（8﹣4t）＝6，解得：t＝；②如图3所示：由题意得：×4t×（6﹣3t）+×3t×（8﹣4t）+3t×4t﹣×6×8＝6，解得：t＝；③如图4所示：由勾股定理得：AC＝＝＝10，∴CD＝6+10﹣3t＝16﹣3t，同（2）得：△CDE∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得：DE＝（16﹣3t），CE＝（16﹣3t），由题意得EF＝（16﹣3t），∴C与F重合，∴×8×（16﹣3t）＝6，解得：t＝；综上所述，当△ACG的面积为6时，t的值为秒或秒或秒．19．解：（1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．∴PM＝DC＝24．∵QB＝32﹣t，∴S＝×24×（32﹣2t）＝384﹣24t（0≤t＜16）；（2）由图可知：CM＝PD＝4t，CQ＝2t．以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ＝BQ．在Rt△PMQ中，PQ2＝4t2+242，由PQ2＝BQ2得4t2+242＝（32﹣2t）2，解得t＝；②若BP＝BQ．在Rt△PMB中，BP2＝（32﹣4t）2+242．由BP2＝BQ2得：（32﹣4t）2+242＝（32﹣2t）2即3t2﹣32t+144＝0．由于△＝﹣704＜0，∴3t2﹣32t+144＝0无解，∴PB≠BQ．③若PB＝PQ．由PB2＝PQ2，得4t2+242＝（32﹣4t）2+242整理，得3t 2﹣64t +256＝0．解得t 1＝，t 2＝16（舍去）综合上面的讨论可知：当t ＝秒或t ＝秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形．（3）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ．如图2，过点Q 作QE ⊥AD 于E ，垂足为E ．∵AD ∥BC∴∠BQF ＝∠EPQ ，又∵在△BFQ 和△BCD 中∠BFQ ＝∠C ＝90°，∴∠BQF ＝∠BDC ，∴∠BDC ＝∠EPQ ，又∵∠C ＝∠PEQ ＝90°，∴Rt △BDC ∽Rt △QPE ， ∴＝，即＝，解得t ＝9．所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD ．20．（1）【发现证明】证明：把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADG ，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）【类比引申】①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），。

2020年九年级数学中考复习：四边形专题复习教案一、教学目标通过本教案的学习，学生将能够：1.了解四边形的定义和性质；2.掌握四边形的分类和特征；3.理解四边形的面积和周长的计算方法；4.能够解决与四边形相关的问题。

二、知识概述四边形是指由四条线段组成的封闭图形。

常见的四边形包括矩形、正方形、平行四边形和菱形等。

在九年级数学中，掌握四边形的定义、分类和性质是非常重要的，同时还需要熟练掌握四边形的面积和周长的计算方法。

2.1 四边形的定义和性质四边形是由四条线段构成的封闭图形，它有以下性质：•四边形的内角和等于360°；•对角线互相垂直的四边形是矩形；•有一对对边相等且互相平行的四边形是平行四边形；•有4个边长相等的四边形是正方形；•有一对对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形。

2.2 四边形的分类和特征根据边长和角度的特征，四边形可以分为以下几类：•矩形：具有四个内角都是直角的四边形；•正方形：具有四个边长相等且四个内角都是直角的四边形；•平行四边形：具有相对的两边平行的四边形；•菱形：具有四个边长相等且对角线互相垂直的四边形。

2.3 四边形的面积和周长的计算方法•矩形的面积等于长乘以宽；•正方形的面积等于边长的平方；•平行四边形的面积等于底边乘以高；•菱形的面积等于对角线的乘积的一半。

四边形的周长等于各边长的和。

三、教学重点与难点3.1 教学重点•四边形的定义和性质；•四边形的分类和特征；•四边形的面积和周长的计算方法。

3.2 教学难点•理解和应用四边形的性质；•熟练计算不同类型四边形的面积和周长。

4.1 导入与导入教师通过原生实例或者图片，引入四边形的概念，让学生了解四边形的定义。

4.2 教学内容4.2.1 四边形的定义和性质1.讲解四边形的定义和性质，介绍四边形的内角和等于360°的性质；2.分类介绍矩形、正方形、平行四边形和菱形的特征和性质。

4.2.2 四边形的面积和周长的计算方法1.讲解不同类型四边形的面积计算方法：矩形、正方形、平行四边形和菱形；2.讲解四边形的周长计算方法。

《四边形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题；通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解它们这些性质在生产、生活中的广泛应用．2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 掌握它们的性质和判别方法, 并能运用这些知识进行证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理，并能灵活应用.4. 理解用多边形进行镶嵌的应用，能灵活运用公式解决有关问题.体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2. 正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点二、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点三、平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.性质与判定性质：（1）．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；（2）．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；（4）．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.判定：（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.3.平行线的性质（1）平行线间的距离都相等（2）等底等高的平行四边形面积相等要点四、特殊的平行四边形1.矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.2.矩形的性质与判定性质： 1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.判定： 1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.3.菱形的性质与判定性质： 1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.判定： 1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.4正方形的性质与判定性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点五、镶嵌的概念和特征用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、多边形1、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形【思路点拨】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n－2）＝360，解此方程即可求得答案．【答案】A；【解析】解：设此多边形是n边形，∵多边形的外角和为360°，∴180（n－2）＝360，解得：n＝4．∴这个多边形是四边形．【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n－2）．举一反三：【变式】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为，这个内角为，则，即.∵等式左边是180°的整数倍，∴等式右边也是180°的整数倍.又∵，∴，此时.∴这个多边形的内角和是：.2．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C；类型二、四边形的不稳定性3. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形（四边形具有不稳定性）常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：应用了三角形的稳定性.【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型二、平行四边形4、如图，在ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF•∥AB，•通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．【答案】AB＝DE＋DF，理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠C＝∠EDB∴DF＝AE．∵等腰△ABC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE类型三、特殊的平行四边形5、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△AND和△CMN中，∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．举一反三：【变式】（秋•抚州校级期中）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC=90°，∵CF=9，BF=12，∴BC==15，∴AD=BC=15，∴AD=DF=15，∴∠DAF=∠DFA，∴∠FAB=∠DFA，∴∠FAB=∠DFA，∴AF平分∠DAB．【高清课堂 417084 四边形全章复习例2】6、如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于( )A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D；【解析】解：连结BF，由FE是AB的中垂线，知FB＝FA，于是∠FBA＝∠FAB＝＝40°.∴∠CFB＝40°＋40°＝80°,由菱形ABCD知，DC＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF，于是△DCF≌△BCF，因此∠CFD＝∠CFB＝80°,在△CDF中, ∠CDF＝180°－40°－80°＝60°.【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF∴四边形ABCD是菱形.7、（春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【思路点拨】（1）通过证明Rt△DHG≌△AEH，得到∠DHG=∠AEH，从而得到∠GHE=90°，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形EFGH为正方形；（2）作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，利用AB∥CD得到∠AEG=∠QGE，再根据菱形的性质得HE=GF，HE∥GF，则∠HEG=∠FGE，所以∠AEH=∠QGF，于是可证明△AEH≌△QGF，得到AH=QF=2，然后根据三角形面积公式求解．【答案与解析】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．【总结升华】本题考查了正方形的判定与性质：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．也考查了菱形和矩形的性质．举一反三：【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)AC＝BD，理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝12BD，HG＝12AC，得EH＝GH，故四边形EFGH为菱形．(2)AC⊥BD，理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形．易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形．(3)AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．类型四、镶嵌问题8．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C；【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.【巩固练习】一.选择题1．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再订上几根木条?( )A．0根 B．1根 C．2根 D．3根2．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．93.（•河北模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（）A．12 B．13 C．14 D．154．杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（）A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形5.下列不能够镶嵌的正多边形组合是（）A．正三角形与正六边形 B．正方形与正六边形C．正三角形与正方形 D．正五边形与正十边形6. 如图所示，ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm7. 矩形对角线相交成钝角120°，短边长为2.8cm，则对角线的长为（）A．2.8cm B．1.4cm C．5.6cm D．11.2cm8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a二.填空题9．如图，若ABCD与EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ，较短的边长为12，则对角线长为__________. 11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．12. 已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为；这个多边形一共有条对角线．13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _________.14．（秋•南沙区校级期中）我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤菱形．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是．15. 菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是_________．16. 一个多边形的内角和与一个外角的和为1500°，则这是个边形．三.解答题17.（春•澧县校级期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，求这个多边形的边数．18. 如图所示，在ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BC于E，EO交AD于F，求证：四边形AECF是矩形．19. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD，E、F分别为AB、BC的中点．求证：(1)四边形AFCD为矩形；(2)FE⊥DE．20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．（1）求证：BE ＝ DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；2.【答案】C；【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n－2）=1080，解得：n=8．3.【答案】C；【解析】解：如图，∵∠AFC=90°，AE=CE，∴EF==6，DE=1+6=7；∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BC=2DE=14，故选C．4.【答案】A；5.【答案】B；【解析】A、正六边形的内角是120°，正三角形内角是60°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；B、正六边形的内角是120°，正方形内角是90°，不能组成360°，所以不能镶嵌成一个平面，故本选项符合题意；C、正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；D、正五边形的内角为108°，正十边形的内角为144°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意．故选B．6.【答案】C；【解析】因为ABCD的周长为16 cm，AD＝BC，AB＝CD，所以AD＋CD＝12×16＝8(cm)．因为O为AC的中点，又因为OE⊥AC于点O，所以AE＝EC，所以△DCE的周长为DC＋DE＋CE＝DC＋DE＋AE＝DC＋AD＝8(cm).7.【答案】C；8.【答案】C；【解析】OE＝a，则AD＝2a，菱形周长为4×2a＝8a.二.填空题9．【答案】45；10．【答案】24；11．【答案】222+（，）；【解析】过D作DH⊥OC于H，则CH＝DH＝2，所以D的坐标为222+（，）.12.【答案】5 ，5；【解析】根据n边形的内角和定理得到关于n的方程∴（n﹣2）•180°=540°，解方程求得n，然后利用n边形的对角线条数为计算即可．13.【答案】16；【解析】证△ABE≌△ADF，四边形AECF的面积为正方形ABCD的面积.14．【答案】②⑤；【解析】解：①等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；②矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；③平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；④等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；⑤菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；故答案为：②⑤．15.【答案】2cm；；【解析】由题意知△ABC为等边三角形，AE＝2cm，BD＝2AE＝ .16.【答案】十；【解析】设这个多边形的边数为n，一个外角为0°至180°之间，则依题意可得（n﹣2）×180°+一个外角=1500°，解得只有n=10时符合要求．三.解答题17.【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意，得（n﹣2）•180=1080+360，解得：n=10．故这个多边形的边数是十．18.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，BO＝DO.∴∠1＝∠2.又∵∠FOD＝∠EOB，∴△DOF≌△BOE.∴ DF＝BE.∴ AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC.又∵ AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵ AE⊥BC，所以∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形．19.【解析】证明：(1)∵ BC＝2AD，点F是BC的中点，∴ BF＝FC＝AD．∵ AD∥BC，∴四边形AFCD为平行四边形．又∵ DC⊥BC，∴四边形AFCD为矩形．(2)∵四边形AFCD为矩形，且∠B＝60°，∠BAF＝30°，∴ BF＝12 AB．又∵点E是AB的中点，∴ BF＝BE＝EF，即△BEF是等边三角形．∴∠BEF＝60°．∵ AE＝BE＝BF＝CF＝AD，∠BAD＝120°，∴∠AED＝12(180°－120°)＝30°，∴∠FED＝180°－∠BEF－∠AED＝90°，即FE⊥DE．20.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．∵AE ＝ AF，∴Rt RtABE ADF△≌△．∴BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA ＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF. 即CE＝CF．∴OE＝OF．∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．A DB EFOCM。