数列求和的3种方法——分组转化裂项相消和错位相减 ppt课件

一、错位相减法差比数列：错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积，设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。

练习：2,n n n a n S =•求 练习：求数列}21{n n ⨯前n 项和 练习：(21)2n n a n =-⋅1、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 2、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S3、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 4、（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（2）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 二、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： 常见的拆项公式有：练习：()()111141223341n S n n =+++--+⨯⨯⨯+练习：求和1111133557(21)(21)n n +++⨯⨯⨯-+ 练习：若数列{n a }的通项公式是11++=n n a n ，求数列{n a }的前n 项和；1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 2、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

思路探寻数列求和问题具有较强的综合性，通常要求根据已知的项、递推关系式等求数列的前n 项和.此类问题侧重于考查等差数列和等比数列的性质、定义、通项公式以及前n 项和公式.下面重点谈一谈求数列和的三种途径.一、分组转化法若一个数列由几个等差、等比数列、常数列的和构成，则可采用分组转化法，将数列进行适当的拆分并重新组合，把数列分成若干个等差、等比数列、常数列，再根据等差、等比数列的前n 项和公式进行求和.例1.已知等比数列{}a n 的公比大于1，a 2+a 4=20，a 3=8.记b m 为{}a n 在区间（0,m ]()m ∈N *中的项的个数，求数列{}b m 的前100项和S 100.解：设{}a n 的公比为q ()q >1，由题意可知a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20，即a 3=a 1q 2=8，解得q =2或q =12()舍，所以a n =2n，所以b 1=0，因为当2n ≤m <2n +1时，b m =n ，所以S 100=b 1+()b 2+b 3+⋯+()b 64+b 65+⋯+b 100=0+1×2+2×22+3×23+⋯+6×()100-63=480.仔细观察，可发现b m 随着m 的取值变化而变化，于是将其按照区间2n ≤m <2n +1进行分组，再进行分组求和.二、错位相减法对于形如{}a n ∙b n 的数列，通常可采用错位相减法来求其前n 项的和.可先将数列{}a n ∙b n 的前n 项和记作S n ，然后在S n =a 1∙b 1+a 2∙b 2+⋯+a n ∙b n 的左右同时乘以等比数列的公比q ，再将该式与数列的前n 项和式作差，并错开一位相减，即可得到数列{}a n ∙b n 的前n 项和.例2.设数列{}a n 是公比不为1的等比数列，a 1=1，a 1为a 2、a 3的等差中项，求数列{}na n 的前n 项和.解：设数列{}a n 的公比为q ()q ≠1，由题意可得2a 1=a 2+a 3，即2a 1=a 1q +a 1q 2，所以q 2+q -2=0，解得q =1（舍去）或q =-2，所以a n =()-2n -1，所以S n =1+2×()-2+⋯+n ∙()-2n -1，n 2n -1n，所以3S n =1+()-2+()-22+⋯+()-2n -1-n ∙()-2n=1-()-2n3-n ∙()-2n ，可得S n =19-()3n +1()-2n9.运用错位相减法求和的关键在于将S n 与qS n 的表达式错位相减，以便使差式中的部分项构成等比数列，根据等比数列的前n 项和公式进行求和.三、裂项相消法若遇到形如{}ca n a n +1数列，需采用裂项相消法来求和.通常需将数列的通项公式裂为两项之差的形式，那么在求和时，相邻的项便会相互抵消，从而达到快速求和的目的.例3.已知数列{}b n 为等差数列，公差d >0,c n +1=b nb n +2⋅c n 且b 1⋅b 2⋅c 1=1+d ，证明：c 1+c 2+⋯+c n <1+1d ，n ∈N *.证明：由题意得，c n +1=bn b n +2∙c n ()n ∈N *，可得b n +2∙c n +1=b n ∙c n ，所以b n +1∙b n +2∙c n +1=b n +1∙b n ∙c n ，因为b 1∙b 2∙c 1=1+d ，所以数列{}b n b n +1c n 是一个常数列，且常数为1+d ，则b n b n +1c n =1+d ，所以c n =1+d b n b n +1=æèöø1+1d æèçöø÷1b n -1b n +1.因为b 1=1，d >0，所以b n +1>0，所以c 1+c 2+⋯+c n =æèöø1+1d ∙éëêæèçöø÷1b 1-1b 2+æèçöø÷1b 2-1b 3+⋯ùûú+æèçöø÷1b n -1b n +1=æèöø1+1d æèçöø÷1-1b n +1<1+1d ，所以c 1+c 2+⋯+c n <1+1d()n ∈N *.在采用裂项相消法来求数列的和时，要找出相互抵消的项之间的规律，避免出错.在求数列的和时，同学们要仔细研究数列的通项公式或各项，找出数列中各项之间的规律，如数列由几个特殊数列的和构成，数列的通项公式形如a n ∙b n 、ca n a n +1，便可采用分组转化法、错位相减法、裂项相消法来求.（作者单位：江苏省盐城市大丰区南阳中学）管小红51。