第二章非线性方程(组)的迭代解法(11)

文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况　近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。

这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。

非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。

数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。

它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。

80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面，是一门理论性较强的课程。

近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。

特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。

利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。

二、进展情况经过多年的不断研究探索，非线性问题的理论性质得到了更多的认证，我们通过对理论的学习，将它融入其他知识体系中比如：动力学，农业学等等。

非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现了很多定理定义，比如不动点迭代法，牛顿法，拟牛顿法，以及各种迭代法。

并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究，从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性（全部收敛和局部收敛）、收敛阶、误差估计等。

由于迭代法的计算步骤比较多，计算量大且复杂，很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。

而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。

非线性方程的迭代解法1．迭代函数对收敛性的影响实验目的：初步认识非线性问题的迭代法及其收敛性，认识迭代函数对收敛性的影响，知道当迭代函数满足什麽条件时，迭代法收敛。

实验内容：用迭代法求方程 012)(3=--=x x x f 的根。

方案一： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(213x x x φ=+= 方案二： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(123x x x φ=-= 实验要求：分别对方案一、方案二取初值00=x ，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。

实验程序：实验结果:2. 初值的选取对迭代法的影响实验目的：通过具体的数值实验，体会选取不同的初值对同一迭代法的影响。

实验内容：用牛顿迭代法求方程 013=--x x 在x =1.5附近的根。

实验要求：对牛顿迭代公式 131231----=+k k k k k x x x x x ，分别取00=x ，5.10=x 迭代10次，观察比较其计算值，并分析原因。

实验程序：实验结果：3.收敛性与收敛速度的比较实验目的：通过用不同迭代法解同一非线性方程，比较各种方法的收敛性与收敛速度。

实验内容：求解非线性方程 0232=-+-x e x x 的根，准确到106-。

实验要求：(1) 用你自己设计的一种线性收敛的迭代法求方程的根，然后用斯蒂芬森加速迭代计算。

输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数。

(2) 用牛顿迭代法求方程的根，输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数，并与(1)的结果比较。

实验程序：1．普通迭代，选用初值0.52. 斯蒂芬森加速迭代3.牛顿迭代法实验结果：。

Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ̅=x k +f (x k )f (x k )́(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。

迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。

若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。

如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,⋯=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。

各类非线性方程的解法非线性方程是一类数学方程，其中包含了一个或多个非线性项。

求解非线性方程是数学研究中的重要问题之一，它在科学、工程和经济等领域具有广泛的应用。

本文将介绍几种常见的非线性方程的解法。

1. 试-and-错误法试-and-错误法是求解非线性方程的最简单方法之一。

它基于逐步尝试的思路，通过不断试验不同的数值来逼近方程的解。

这种方法的缺点在于需要反复试验，效率较低，但对于简单的方程或近似解的求解是有效的。

2. 迭代法迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解非线性方程的近似解。

它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程的解。

不同的迭代方法包括牛顿迭代法、弦截法和割线法等。

这些方法都是基于线性近似的原理，通过不断迭代计算来逼近解。

迭代法的优点是可以得到较为精确的解，适用于多种类型的非线性方程。

3. 数值优化方法数值优化方法是一种求解非线性方程的高级方法，它将问题转化为优化问题，并通过优化算法来寻找方程的最优解。

常用的数值优化方法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。

这些方法通过不断迭代调整变量的取值，以最小化目标函数，从而求解非线性方程。

数值优化方法的优点是可以处理复杂的非线性方程，并且具有较高的求解精度。

4. 特殊非线性方程的解法对于特殊的非线性方程，还可以使用特定的解法进行求解。

例如，对于二次方程可以使用公式法直接求解，对于三次方程可以使用卡尔达诺法等。

这些特殊解法适用于特定类型的非线性方程，并且具有快速和精确的求解能力。

综上所述，非线性方程的解法有试-and-错误法、迭代法、数值优化方法和特殊非线性方程的解法等。

根据具体的方程类型和求解要求，选择合适的方法进行求解，可以得到满意的结果。

毕业论文开题报告信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、选题的背景和意义=的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b个明显的特点：大型化和稀疏化。

大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效=是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。

而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。

二、国内外研究现状、发展动态近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。

这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。

三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。

就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。

在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。