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数学：131《函数的单调性》2课件新人教A版必修

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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)

新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)


核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
核心概念掌握
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
函数的单调性(2)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

函数的单调性(2)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

1
解得 x＞ .所以函数 f(x)＝2x2－ln x 的递增区间是 2
2
课后练习
4.（2020·天津·高考真题20）已知函数 f ( x) x3 k ln x(k R)
， f ( x)
为 f(x) 的导函数．
（Ⅰ）当k=6时，
（i）求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
9

g ( x) f ( x) f ( x)
+/-
单调性
巩固练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） f(x)=3x-x3
（2）f(x)=x－2ln x
巩固练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） f(x)=3x-x3
解：（1）函数f(x)=3x-x3 定义域为 R .
对f(x)求导，得f ′(x)=3-3x2 ,
令f ′(x)=0，得x=-1,或x=1。
() = − − 2 + 1
3
2
′() = 2 − − 2
不熟悉的、复杂的函数
熟悉的、简单的函数
算法思想
判断函数的单调性的复杂问题
步骤明确的运算问题
因此，导数是研究函数单调性的基本工具，
利用导数研究函数单调性的方法具有“普适性”。
总结规律
小结：一般情况下，判断函数 = ()的单调性的步骤：
引入新课
3 + 2 + + ( ≠ 0)的函数
形如()
=

问题2
应用广泛，如何利用导数研究这种函数的单调性？
思
路：
定义
域
导
函
数
原
函数
求导
导函数
5.函数的单调性公开课PPT全文课件-【新】人教A版高中数学选择性必修第二册PPT全文课件

5.函数的单调性公开课PPT全文课件-【新】人教A版高中数学选择性必修第二册PPT全文课件

追问2：如果函数f(பைடு நூலகம்)的图象在区间I是从左到右上升的，且x0∈I，那么我们说 函数f(x)在 x=x0 处是单调递增的，这种说法正确吗？
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围的性质。
问题2:判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法： 2.图像法： 3.性质法: 增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
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例2 已知导函数 f ' x 的下列信息，试画出函数 f x 的图象的大致形状.
注意： (1)一般可令 f’(x)>0，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常 值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步 骤）。 (2)若 f’(x)>0 的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若 f’(x)>0 的解集 为空集，那么 f(x)是定义域上的减函数。
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
x
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
判断函数单调性的一般步骤：
(1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
函数的单调性-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

函数的单调性-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

这个问题.
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
问题导入
思考1：下图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度ℎ随时间变化的函数
l
ℎ() = −4.9 2 + l4.8
+ 11的图象，图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数
’
() = ℎ () = −9.8 + 4.8的图象. =
令 ’ ()
=
2 2 −1
.

2
，
2
< 0，得0 < <
∴()在(0,
= 2
1
−

2
，
2
2
2
)上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
2
2
∴函数()的单调递减区间为(0,
2
2
)，单调递增区间为( , +∞).
2
2
练习
例2.求下列函数的单调区间.
(2)() =

；
−2
’
解(2)：函数()的定义域为(−∞, 2) ∪ (2, +∞)， () =
当 = 1，或 = 4时， ’ () = 0.
O
1
4
x
试画出函数()图象的大致形状.
解：当1 < < 4时， ’ () > 0，可知()在区间(1,4)内单调递增；
当 < 1，或 > 4时， ’ () < 0，可知()在区间(−∞, 1)和(4, +∞)上都单调递减；
2
.

当 > 0时，若 ∈ (−∞, 0)，则 ’ () > 0.
若 ∈
2
(0, )，则 ’ ()
人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件

人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件


例3 、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。
扩展作业：
已知函数f(x)在定义域(-1，1)上是 增函数，且f(m+1)-f(-m)＞0，求 实数m的取值范围。
m ( 1 ,0) 2
三、例题讲解 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的 图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每 一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.
y3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的 常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以 包括端点，也可以不包括端点。
着x的增大而 ________ ．
思考2：函数
的单调区间是什么？
取数:任取 ，且 ；
例3 、若函数f(x)=x +2(a-1)x+2在区间 利用定义确定或证明函数 在给定的
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
2
(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。 4.
思考2：函数
的单调区间是什么？
单调性.
练习：课本P32第4题
练习：
证明函数f (x) x 1在（1，+∞）
上为增函数。
x
作业布置： 课本P39 A组第1、2、3题 课本P44，A组第9题。
补充例题：
作差: ； 例1、讨论函数 f(x)x22ax3
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
在(-2,2)内的单调性 思考2：函数
的单调区间是什么？
人教版高中数学必修1(A版) 函数的单调性 PPT课件

人教版高中数学必修1(A版) 函数的单调性 PPT课件

p(V1) p(V2 ) 第三步：判断符号 k 所以,函数p ,V (0, )是减函数. V 也就是说,当体积V 减小时, 压强p增大. 第四步 ：得结论 即
思考：用单调性的定义证明函数单调性的步骤是什 么？需注意哪些问题？
第一步：设区间上任意两点
x1 , x2 ，且 x1 < x2 。
自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ),
你能类比地给出减函数的定义吗?
一般地, 设函数的定义域为I : 如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说函数f ( x)在区间D上是
其中y f ( x)在区间[5, 2),[1,3)上是减函数, 在区间[2,1),[3,5]上是增函数. 函数y f ( x)的增区间是[2,1),[3,5]; 减区间是[5, 2),[1,3).
思考：
函数y f ( x)的增区间能写成"[2,1) [3,5]"吗? 增区间能写成"[2,1)或[3,5]"吗?
第二步：作差 f ( x1 ) f ( x2 ) 整理化简。 第三步：判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号。 第四步：根据 f ( x1 )与 f ( x2 )的大小关系下结论。Βιβλιοθήκη 判断并证明函数 f ( x)
x 在定义域内的单调性。
小 结
2.利用定义证明函数单调性的步骤.
1.函数的单调性. (局部概念、应首先确定函数的定义域）
第一章 集合与函数概念
1.3.1函数的单调性
问题：下图是某地一天内的气温变化图,观察图形,你能指出该 天的气温是如何变化的吗?
高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最值课件 新人教A版必修1

高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最值课件 新人教A版必修1

(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多 少？
第三十四页，共48页。
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT

函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT

探索点三 函数单调性的应用 【例 3】 【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
函数单调性的应用第2课时 高中数学人教A版2019选择性必修第二册

函数单调性的应用第2课时 高中数学人教A版2019选择性必修第二册


∵f(x)在区间(m, 2m−)上单调递减,
m 0

1
2m - 2
所以
2

1
m < 2m
2
1
5
∴解得 < m ≤ ,
2
4
1 5
即实数m的取值范围是( , ].
2 4
(3)已知函数f(x)=x3+3x2 ，若函数f(x)在区间[m, m+1]上不
单调, 求实数m的取值范围.
函数单调性2
3
2
函数f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的单调性
形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我
们利用导数来研究这类函数的单调性.
复习回顾
(1)函数的单调性与导数的正负的关系；
在某个区间(a, b) 内，如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在
区间(a, b)上单调递增；
x
f′(x)
f(x)
(-∞, -1)
+
单调递增
-1
0

f(-1)=

(-1, 2)
-
2
0
单调递减 f(2)= -
(2, +∞)


+
单调递增
例3
3
求函数f(x)=x -

��
x2-2x+1的单调区间.
所以，f(x)在(-∞, -1)和(2, +∞)
上单调递增，在(-1, 2)上单调递减，
如图所示.
练习:如图为函数y=f(x), y=g(x)的导函数的图像, 那么
最新人教A版高中数学必修一课件：3.2.1 第一课时 函数的单调性

最新人教A版高中数学必修一课件：3.2.1 第一课时 函数的单调性


二、应用性——强调学以致用
2.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水，且任意相等的时间间隔内
所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为
y＝f(t)，则以下函数图象中，可能是y＝f(t)的图象是
()
解析：向圆台形容器(下底比上底直径小)注水，由题意知是匀速注水，容 器内水面的高度y随时间t的增加而增加，但越往上直径越大，故高度升高 得越来越慢．故选D.
因为 x1，x2∈(－∞，－2)，且 x1＜x2， 所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x－1 a－x2x－2 a＝x1a－xa2－xx2－1 a. 因为 a＞0，x2－x1＞0，又由题意知 f(x1)－f(x2)＞0， 所以(x1－a)(x2－a)＞0 恒成立，所以 a≤1， 即 0＜a≤1，所以 a 的取值范围为(0,1]．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
【对点练清】
1．函数f(x)是R上的增函数且f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则
A．a＞b＞0
B．a－b＞0
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
解析：当a＋b＞0时，a＞－b，b＞－a.
∵函数f(x)是R上的增函数，
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件

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k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)

3.2.1函数的性质单调性说课课件高一上学期数学人教A版

……
只要x1 x2,就有f (x1) f (x2 )
六、 教学过程
情境创设
思考: 这里对x1, x2有什么要求？只取 0， 上的某些数是否可以？ 请举例说明
六、 教学过程 画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
情境创设
当x≥0时,y随x的增大而增大
y
x
… 1 2 3 4…
f (x) = x2 … 1 4 9 16 …
学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程 板书设计 教学反思
四、教学重难点
重点：函数单调性定义的符号语言刻画。
难点：归纳函数单调性的定义及用定义 证明函数的单调性。
学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程 板书设计 教学反思
五、教学方法
教师为主导
启发 引导 点拨
通过活动 创设情境
y
y x 1
y x2 y
O
x
O
x
增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质， 而函数的单调 性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质. 一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性.
六、 教学过程
概念剖析
六、 教学过程
例题解析
例题探究---证明函数的单调性 例1. 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.
当x从1增到2, f (x)则从1增大到4;
O
x
当x从2增到3, f (x)则从4增大到9; 当x从3增到4, f (x)则从9增大到16;
……
思考: 你觉得更严格的表达应该是怎样的？
六、 教学过程 画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：

新教材高中数学5-3-1函数的单调性课件新人教A版选择性必修第二册


[方法技巧] 1．利用导数判断或证明函数单调性的思路
2．含有参数的函数单调性的解题技巧 讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而 对含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论，但要始终注意定义域以及 分类讨论的标准． 含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式Δ及根的大小关 系等方面进行讨论．
[解] (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1x＝2x2x－1. 令 f′(x)>0，得 x> 22，令 f′(x)<0，得 0<x< 22， ∴f(x)在0， 22上单调递减，在 22，＋∞上单调递增，∴函数 f(x)的单调 递增区间为 22，＋∞，单调递减区间为0， 22.
法二：数形结合法 f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]． ∵在(1,4)内 f′(x)≤0， 在(6，＋∞)内 f′(x)≥0， 且 f′(x)＝0 有一根为 1， 作出 y＝f′(x)的示意图如图所示，则 f′(x)＝0 的另一根在[4,6]上． ∴ff′′64≥≤00，， 即53××75－－aa≥≤00，， ∴5≤a≤7. 故实数 a 的取值范围为[5,7]．
在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调 递增 ； 在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调 递减 ； 如果在区间(a，b)上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上是常数函数．
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
[对点练清]
1．若函数 f(x)＝ex(sin x＋a)在区间－π2，π2上单调递增，则实数 a 的取值范围是
()
A．[ 2，＋∞)

高中数学人教A版(2019)必修必修第一册3.《函数的单调性》课件(27张)

.y
A
0
x
y=x2
探究2：观察函数y=X2的图像，观察图像上A点的运动情况，
指出上面的函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下
降的？
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 小组探究，观察图象.
y
A.
0
x
y=x2
探究3：
观察函数y=X2的图像，随自变量x变化的情况，设置启发式问题： 教师补充：这时我们就说函数y==X2在x>0时是增函数。 反过来，如果y=f(x)在x>0时是增函数,我们能不能得到自变量 与函数值的变化规律呢？
4 研究性质，巩固练习；
5 课堂总结，布置作业
1 知识导入.
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
作出这些函数y=x、y=-x、y=|x| 的图像
探究1：讨论这些函数图像是上升的还是
下降的?
y
y
y
0
x
0
x
0
x
y=x
y=-x
y=|x|
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 观察思考，小组探究.
启发引导 互动式探究
教学手段
信息技术辅助教学
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
(1)培养从概念出发，进一步提高研究性质的意识及能力； (2)体会数形结合、分类讨论的数学思想。
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
观察图象；
3 生成概念；
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 观察思考，小组探究.
y
A.
0
x
y=x2
探究3：
观察函数y=X2的图像，随自变量x变化的情况，设置启发式问题： (1)y轴的右侧部分图象具有什么特点？ (2)如果在y轴右侧部分取两个点(x1,y1)、(x2,y2),当x1<x2时，

高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1

1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法） 师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？ 意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。

高中数学人教A版必修第一册第三章3.2.1《函数的单调性》课件(21张PPT)


的单调性证明.
数学抽象
数学建模
证明:定义域为(0,+∞)，V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2
p1
p2
k
V1
k V2
kV2 kV1 V1V2
k V2 V1
V1V2
数学运算
取值 作差
∵V1,V2∈(0,+∞)，∴V1V2>0, ∵V1<V2 ，∴V2-V1>0，
又k>0，∴p1-p2>0，即p1>p2.
在( ,0)上单调递减
证明:x ,x ∈R且x <x 请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?
1 2 1 [x1-x2 ][f(x1)-f(x2)]<0 D.
(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1<x2<x3<……<xn时,
2
x1, x2∈[0,+∞),当x1< x2时,都有
f(x )-f(x )=(kx +b)-(kx +b)=k(x -x ) 函数f(x)在(1,2)上单调递减的是( )
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
2.数学思想：转化化归、数形结合、分类讨论 类比思想、函数与方程(不等式)思想
3.学科核心 数学抽象、逻辑推理、数学建模 素养： 直观想象、数学运算、数据分析
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作业布置：
1.课本第79页练习的第2、3题；
y
yn
任意性
y3 yy21
0 x1 x2 x3 xn x
二、深度学习——精确刻画“性质”
图形语言:
y
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编辑ppt
1
1.增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变
量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说 f(x)在区间D上是增函数
思考：类比增函数的定义说出减函数的定义
2.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求出函数f(x)的单调区间；
(3)证明函数f(x)在（2，+∞）是增函数。
判断函数单调性的方法步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2 2 .作差f(x1)－f(x2)； 3 .变形（通常是因式分解和配方） 4 .定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 .下结论（即指出函数f(x编)辑在ppt 给定的区间D上的单调性5）
（2）若x∈(0，+∞)时f(x) 是增函数，a的范围___
编辑ppt
6
2 例3：判断函数y= x 1 在区间(1,+∞)的增减性;
2
变式1：求出函数y=
在[2，6]的最大和最小值。
x1
变式2：指出函数y= 2 的其他单调区间。 x1
变式3：指出函数y= 3 x 1 的单调区间。 x 2
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7
例4：讨论f(x)= 调性。
ax 1 x2
(a≠0,a∈R)在区间(-1,1)上的单
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8
编辑ppt
2
y
yf(x)
在 给 定 区 间 D 上 任 取 x 1 ,x 2 ,
f (x1) f(x2)
x1 x2
f(1x)f(2 x)
函数f (x)在区间D上
为增函数。
O
x1
x2 x
用
用
图y
象
yf(x)
在 给 定 区 间 D 上 任 取 x 1 ,x 2 ,
定 义
判
断
单
f (x1) f(x2)
例2：已知函数y= -x2+4x-2,x∈R （1）求函数的单调区间； （2）若x∈[0，3]，求函数的最大值，最小值 （3）若x∈[3，5]，求函数的最大值，最小值 （4）若f(x)在（0，a）上增函数，则a的范围。
练习：已知函数f(x)= 2;∞)时是增函数，当x∈(-∞,-2]时是减函 数，则f(1)=__________.
调
O
性
x1 x2
x1 x2
f(1x)f(2x) 判
函数f (x)在区间D上
断
为减函数。
单
x
调
性
编辑ppt
3
1.函数y=│x-2│的单调减区间是______
1
2.函数y= 的单调区间是______
x
3.
编辑ppt
4
例1：设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)=0的 的两根的平方和为10，图象经过（0，3）。