人教B版高中数学必修4-2.1《向量的概念》参考教案2

2．1 向量的线性运算 2．1.1 向量的概念[学习目标] 1.能结合物理中的位移认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．[知识链接]1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量．2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答 联系是：向量与数量都是有大小的量；区别是：向量有方向且不能比较大小， 数量无方向且能比较大小． [预习导引] 1．向量的概念既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．向量的几何表示以A 为始点，以B 为终点的有向线段记作AB →. 3．向量的有关概念(1)零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作0.规定：零向量与任意向量平行． (2)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(3)平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．也就是说方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a 平行于b ，记作a ∥b .要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题： ①零向量没有方向； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ； ③向量就是有向线段；④两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；⑦若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________． 答案 ④⑤解析 ①该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；②该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； ③该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；④该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； ⑤该命题正确，由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； ⑥该命题不正确，因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a \[KG －2.5mm ]∥c ；⑦该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键． 跟踪演练1 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误.0的模|0|＝0.③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上． 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三 相等向量与共线向量例3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形． (1)写出与AO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？解 (1)与AO →相等的向量为：OC →、BF →、ED →.(2)与AO →共线的向量为：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等．规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可． 跟踪演练3如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解 不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中： (1)模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AD →＝MN →，DA →＝NM →，BC →＝MN →，CB →＝NM →.(2)模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB →＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM →反向的也有6对．(3)模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB →.1．下列说法正确的是( ) A ．零向量没有大小，没有方向 B ．零向量是唯一没有方向的向量 C ．零向量的长度为0D ．由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行答案 C解析 零向量的长度为0，方向是任意的，故A ，B 错误，C 正确．零向量与任一向量平行，故D 错误．2．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( ) A.AD →与CB → B.OB →与OD → C.AC →与BD → D.AO →与OC → 答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →.3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中是共线向量的有________________． 答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解．4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行．。

人教版高中必修4(B版)2.1.1向量的概念课程设计一、课程目标通过本次课程学习，学生应具备以下知识和能力：1.掌握向量的基本概念，了解向量的运算规则；2.能够将向量几何表示，并能够进行向量的加减运算；3.能够应用向量去解决相关几何问题；4.提升学生的逻辑推理能力。

二、教学过程1. 导入（5分钟）通过介绍向量场景，让学生从生活中寻找向量的踪迹，引出向量的概念，提高学生的学习兴趣和动机。

2. 概念讲解（25分钟）详细讲解向量的定义，包括向量的概念、向量的方向、向量的相等、零向量等基本概念。

在讲解过程中，引导学生从生活中的场景出发，深入理解向量的概念。

3. 向量表示与运算（30分钟）以直角坐标系为基础，介绍向量的表示方式和向量的运算规则，包括向量的加、减、数乘等。

通过简单的例题，让学生熟悉向量的运算方法。

4. 向量应用（25分钟）将向量应用于几何问题中，解决相关几何问题，如平面上的垂线、线段的中点、矩形的对角线等。

引导学生发现向量在几何中的精妙应用，提高学生的数学思维能力。

5. 总结（5分钟）总结本节课的重点内容，强化学生对向量的概念和运算规则的掌握程度。

三、课后作业1.完成课后习题；2.检查自己是否能够熟练地使用向量解决几何问题；3.自己设计一个与向量有关的场景，并用向量来解决。

四、教学评估本节课主要考察学生对于向量基本概念和运算规则的掌握情况。

可以通过讲解中的互动和课后作业的完成情况来评估学生的学习效果。

同时，在学生的自主学习中，也要引导并关注学生的思考过程和方法，以期达到良好的教学效果。

五、教学反思通过本节课的教学，我们发现部分学生对于向量概念的理解和对于向量的运算规则的掌握还不是非常熟练。

针对这一点，我们可以增加一些习题的量，既巩固又加强学生的理解能力。

同时，我们也要注重让学生在实际生活中感受到向量的应用场景，并引导学生发现向量的数学美，提高学生对数学的兴趣。

《§1.2 向量的概念》教材首先从本章引言中提到的位移入手，结合物理中对力的认识，让学生举出其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力、矢量等概念与向量之间的联系，以便更加自然地引入向量的概念，并建立学习向量的认知基础。

【知识与能力目标】1.理解向量的有关概念及向量的几何表示；2.熟练掌握共线向量、相等向量的概念。

【过程与方法目标】经历向量概念形成的过程，体会由实例引入概念的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】通过学习，使学生认识到用向量的方法从数学的角度刻画现实问题的作用，培养学生观察、类比、联想等发现规律的一般方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神。

【教学重点】掌握共线向量、相等向量的概念。

【教学难点】正确区分向量平行与直线平行。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、探究新知。

阅读教材P 73～P 75 “练习”以上部分，完成下列问题。

1．向量的有关概念(1)定义既有大小，又有方向的量叫作向量。

(2)有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →|(3)向量的长度|AB →|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)。

(4)向量的表示法①向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

②向量也可以用黑体小写斜体字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →，b →，c →…来表示。

巩固练习：判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数量同向量一样可以比较大小。

( )(2)向量AB →与向量BA →是相等向量。

( )(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行。

( )(4)向量就是有向线段。

( )【解析】 (1)错误．向量不能比较大小。

向量的概念教案教案1：向量的概念与表示教学目标：1. 了解向量的概念及其在几何和物理中的应用；2. 掌握向量的表示方法，能够将向量在坐标系中表示出来；3. 理解向量的相等、相反与零向量的概念。

教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以表示为有向线段。

向量可以用来表示力、速度、位移等物理量。

2. 向量的表示方法：用一个有向线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，线段的方向与向量的方向相同。

3. 坐标系中的向量表示：使用坐标系中的点表示向量，起点为坐标原点，终点位置的坐标表示向量。

4. 向量的相等：若两个向量的大小和方向相同，则它们相等。

5. 向量的相反：若一个向量的大小为a，方向与另一个向量相反，则它们互为相反向量，即一个为-a。

教学步骤：1. 引入向量的概念，介绍向量在几何和物理中的应用。

2. 通过实例引导学生理解向量的表示方法，绘制有向线段，让学生观察和描述向量的大小和方向。

3. 引入坐标系中的向量表示方法，让学生通过绘制坐标系和线段来表示向量。

4. 给出几个向量，让学生根据给定的坐标系计算并表示出这些向量。

5. 阐述向量的相等、相反和零向量的概念，通过实例让学生理解并判断相等、相反的向量以及零向量。

6. 练习：给出一些向量的大小和方向，让学生判断并表示出相应的向量。

教学资源：1. 向量的概念和表示的PPT；2. 坐标系的绘图纸和直尺；3. 练习题目。

教学评估：1. 在课堂上进行口头提问，让学生回答向量的概念、表示方法以及向量的相等、相反和零向量的判断；2. 练习题目的完成情况和正确率。

教案2：向量的基本运算教学目标：1. 掌握向量的加法和减法运算方法；2. 理解向量加法与减法的几何意义；3. 理解向量的数乘运算。

教学内容：1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加。

在坐标系中，将两个向量的起点放在一起，终点与终点相连，所得的向量为两个向量的和向量。

2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的相应分量相减。