高等数学期末模拟考试卷(含答案)

数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。

对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。

2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。

在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。

第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。

首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。

此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。

另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。

2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π23．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b + B ．e x ax b c ++ C ．e x ax bx + D ．e x ax b cx ++6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K << B ．I J K >> C ．J I K << D ．J I K >>10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0B ．(2)(1)f f −C ．(2)(1)f x f x +−+D ．(2)f x +二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．2．设函数()f x 连续，20()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．5．广义积分2=∫___________．6．设()d ()f x x F x C =+∫，则(2)d f x x =∫___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x =是由方程21e yx y −+=所确定的隐函数，求22d d x yx=．2． 由3y x =，2x =，0y =所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周，计算所得几何体的体积．3．计算定积分．（1）10x x ∫．（2）x ∫．4．求微分方程d 24d yxy x x=−+满足(0)0y =的特解．5．证明：当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+．6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′答案 A 解析 000000000()()()()()()1limlim ()22h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h →→+−−+−−−′=+= −，故本题选A ． 2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π2答案 A解析 在区间[π,π]−上()f x 的间断点有0，π2±，显然，π2±均为第二类间断点（无穷间断点），下面考察0x =．因1100e e e e lim ()lim lim 1e e e e txt t x x x f x ++→+∞→→++===−−，1100e e e elim ()lim lim 1e e e et xt t x x x f x −−→−∞→→++===−−−， 所以0x =是函数的第一类间断点（跳跃间断点），故本题选A ． 3．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小答案 B 解析 因sin 2222043323232000000sin d ()sin(sin )sin 11lim lim limlim lim lim ()434343433xx x x x x x t t f x x x x g x x x x x x x x x x →→→→→→======+++++∫， 所以当0x →时，()f x 是()g x 的同阶但非等价无穷小，故选B 项．4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+答案 C解析 因为()d arcsin xf x x x C =+∫，两边求导得()xf x =所以1()f x =．因此3222111d )(1)()23x x x x C f x =−−=−−+∫∫，5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b +B ．e x ax b c ++C ．e x ax bx +D ．e x ax b cx ++答案 D解析 原方程对应齐次方程的特征方程为21232012r r r r −+=⇒==，．考虑2112323e e x x y y y x y ax b c c ′′′−+⇒+++，考虑2112322e e e e x x x x y y y y cx c c ′′′−+=−⇒=++，根据线性微分方程的叠加原理可知，原方程通解为212e e e x x x ax b cx c c ++++，故选D 项．6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<答案 D思路分析 条件中出现二阶可导，可尝试泰勒公式．解析 将()f x 泰勒展开：21111()()2222f x f f x f x ξ ′′′=+−+−  ，(0,1)ξ∈，所以 21101111()d ()d 2222f x x ff x f x x ξ′′′=+−+− ∫∫ 21110001111d d ()d 2222f x f x x f x x ξ ′′′+−+−  ∫∫∫210110()d 022f f x x ξ′′++−=∫，所以当()0f x ′′>时，102f< ，故本题选D ．7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++答案 B 解析 因为111111()(1)()d (1)d 1d(12ln )(12ln )212ln xx x f x f f t t f t t t t t=+=+=++++∫∫∫ 1111[ln(12ln )]ln |12ln |122x t x =++=++，8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax答案 D解析 由旋转体体积公式可得022πd π4d 2πx x V y x ax x ax ==⋅=∫∫，故本题选D ． 9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K <<B ．I J K >>C ．J I K <<D ．J I K >>答案 A解析 当π0,4x∈时，1cos sin 0x x >>>，cos cot cos sin x x x x =>，所以I J K <<，故本题选A ．10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0 B ．(2)(1)f f − C ．(2)(1)f x f x +−+ D ．(2)f x +答案 C解析 令u x t =+，则2211()d ()d x x f x t t f u u +++=∫∫，所以2211d d ()d()d (2)(1)d d x x f x t t f u u f x f x x x +++==+−+∫∫， 故本题选C ．二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．答案12解析 方法一 由泰勒公式知，当0x →时，33tan ()3x x x o x =++，33sin ()6x x x o x =−+，故3333331tan sin ()()()362x x x x x o x x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知31tan sin ~2x x x −，又33ln(1)~x x +，故 333001tan sin 12lim lim ln(1)2x x xx x x x →→−==+． 方法二 2332200001tan sin sin (1cos )1cos 12lim lim lim lim ln(1)cos 2x x x x xx x x x x x x x x x →→→→−−−====+⋅． 2．设函数()f x 连续，2()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．答案 2解析 由题可知20()()d x x x f t t ϕ=∫，220()()d 2()x x f t t x f x ϕ′=+∫，故1(1)()d 2(1)f t t f ϕ′=+∫，1(1)()d 1f t t ϕ==∫， 则(1)(1)2(1)5f ϕϕ′=+=，所以(1)2f =．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．答案 πd x解析 令21212121x u x x −==−++，故 2d 4d (21)u x x =+， 当0x =时，1u =−，所以000d d d ()(1)πd d d x x x y u u f u f xx x ===′′=⋅=−⋅= ，因此0d πd x y x ==．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________． 答案32解析 441112220202020111sin sin 3||d d 3||d 11x x x x x x x x x x x x x −−− +=+ ++∫∫∫． 第一个积分被积函数是奇函数，积分区间对称，故积分值为0；第二个积分被积函数为偶函数，积分区间对称，所以14112342020100sin 333||d 23d 2142x x x x x x x x x − +==⋅= + ∫∫． 5．广义积分2=∫___________．答案 π思路分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当2∫3∫均收敛时，原反常积分才收敛．解析 因为32222π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x++→=−=−−=∫∫，43334π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x−−→−=−=∫∫，所以2πππ22=+=∫．6．设()d()f x x F x C=+∫，则(2)df x x=∫___________．答案1(2)2F x C+解析令2t x=，则111(2)d()d()(2)222f x x f t t F t C F x C==+=+∫∫．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x=是由方程21e yx y−+=所确定的隐函数，求22ddxyx=．解将0x=代入方程21e yx y−+=解得0y=．对方程21e yx y−+=两边求导得2e yx y y′′−=①将0x=，0y=代入①得(0)0y′=．式①两端再求导得22e e()y yy y y′′′′′−=+②将0x=，0y=，(0)0y′=代入②得22d1dxyx==．2．由3y x=，2x=，0y=所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周，计算所得几何体的体积．解所求体积为222600128ππdπd7xV y x x x===∫∫．1258882228333000564ππ28πd32ππ()d32ππd32ππ[]35yV x y y y y y y=⋅⋅−=−=−=−⋅=∫∫∫．或用柱壳法计算2224500164π2πd2πd2π55yV xy x x x x====∫∫．3．计算定积分．（1）1x x ∫．解令sinx t=，则ππ1424222000sin cos d sin(1sin)dx x t t t t t t=−∫∫∫ππ46220031π531ππsin d sin d422642232t t t t=−=⋅⋅−⋅⋅⋅=∫∫．注这里用到了华里士公式ππ22001321,123sin d cos d131π,222n nnn n nn nI x x x xn n nn n−−××××−===−−××××−∫∫为大于的奇数为正偶数．（2）x∫．解令tanx t=，则πππ2444000sec1ππd d csc d(1tan)sec sin cos44tx t t t tt t t t==++++ ∫∫∫π4ππln csc cot44t t+−+=．4．求微分方程d24dy xy xx=−+满足(0)0y=的特解．解易知该方程对应的齐次方程d2dy xyx=−的通解为2e xy C−=，设原方程的解为2()e xy u x−=，代入原方程整理得2()4e xu x x′=，两端积分得2()2e xu x C=+，进而可得原方程的通解为22e xy C−=+．又因为(0)20y C=+=，故2C=−．所以满足条件的特解为222e xy−=−．5．证明：当0x>时，arctanln(1)1xxx+>+．证令()(1)ln(1)arctanf x x x x=++−，[0,)x∈+∞．显然函数()f x在[0,)x∈+∞时可导，且7 21()ln(1)10(0)1f x x x x ′=++−>>+， 所以函数()f x 在[0,)+∞上单调增加，故()(0)0f x f >=，从而 arctan ln(1)1x x x+>+． 6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ． 证 设12x x <．令0121233x x x =+，根据拉格朗日中值定理可得，110202(,)(,)x x x x ξξ∃∈∈，，使得 011011212()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−， 202012211()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−． 于是01202112211222[()()]2[()()]()[()()]()()()033f x f x f x f x x x f f x x f ξξξξξ′′′′−−−=−−=−−<． 故0123()()2()0f x f x f x −−<，所以01212()()()33f x f x f x <+，即得 12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．。

高等数学测试题一一、单项选择题(每小题4分，满分20分)1．曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程是（ ）A.123123x y z ---==B.23140x y z ++-=C.123213x y z ---==D.2340x y z ++-= 2．设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f xy y =，则2z x y ∂∂∂=（ ）A.111f xyf '''+ B.112f yf '''+ C.1211yf xyf ''''+ D.112f xyf yf '''''++ 3．设空间区域2222222212:,0;:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥，则下列等式（ ）成立.A.12d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B.12d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D.12d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．下列级数中，绝对收敛的级数是（ ）A.11(1)nn n ∞=-∑ B.2311(1)n n n ∞=-∑C.1(1)nn ∞=-∑11(1)ln(1)n n n∞=-+∑5．已知幂级数0(1)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，在4x =处发散，则幂级数0(1)n n n a x ∞=+∑的收敛域为（ ）A.[4,2)-B.[3,3)-C.[2,4)-D.[1,5)- 二、填空题(每小题4分，满分20分)6．通过曲线22222241x y z x y z ⎧++=⎨--=⎩且母线平行于z 轴的柱面方程为 ．7．设函数2(,,)e x f x y z yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-= ．8．微分方程230y y y '''+-=的通解为 ． 9．交换积分次序1100d (,)d xx f x y y -=⎰⎰ ．10．级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径R = ．三、计算题(每小题6分，满分30分)11．求函数22(,)22425f x y x xy y x y =++++-的极值．12．求曲面22z x y =+介于两平面1z =与4z =之间的部分的面积．13．求微分方程22d d yxy x y x=+满足条件e |2e x y ==的特解．14．求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面0x y z +-=的平面方程．15．求幂级数211nn n x n ∞=+∑的和函数．四、理论及其应用题（每题满分8分，共24分）16．求二阶线性非齐次微分方程2y y y x '''-+=满足条件(0)2,(0)0y y '==的特解．17．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)．线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ．求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．18．将函数1()f x x =展开成(3)x -的幂级数，并求10(1)3n n n ∞+=-∑的和．五、证明题（本题满分6分）19．设z 是,x y 的函数，且()(), ()()0xy xf z yg z xf z yg z ''=++≠，求证：[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂．《高等数学（下）》测试题一参考答案一、1．B ；2．D ；3．C ；4．C ；5．A ．二、6．22531x y -=；7．1；8．312e e x x y C C -=+；9．1100d (,)d yy f x y x -⎰⎰；10．1/2．三、11．解224, 242f f x y x y x y ∂∂=++=++∂∂，由0, 0f f x y∂∂==∂∂解得驻点(3,1)P -，又因为2, 2, 4xxxy yy f f f ''''''===，则在点(3,1)P -处，2, 2, 4A B C ===，240B AC -=-<，且20A =>，故点(3,1)P -是函数(,)f x y 的极小值点，极小值为(3,1)10f -=-．12．解2214d d D x y A x y x y ≤+≤==⎰⎰232π22111πd d 2π(14)126r r r θ==⨯+=⎰⎰． 13．解 因22(,)(),()P x y x y Q x xy =-+=均为二次齐式，故所给方程为齐次微分方程．令y xu =，则d d d d y u u x x x=+，代入方程2221d d y y x y x y x xy x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，得2d 1d u u u x x u ++=，即d 11d d d u x u u x x u x =⇒=．两边积分，得21ln 2u x C =+，将y u x=代回，得通解222(ln )y x x C =+．由初始条件e |2e x y ==，得1C =．故所求特解为222(ln 1)y x x =+．14．解 由题设知，所求平面的法向量n ，既垂直于已知平面的法向量0n i j k =+-，又垂直于向量122M M i k =--，故可取01211123102ijkn n M M i j k =⨯=-=-++--，由此得所求平面的点法式方程为2(1)3(1)(1)0x y z --+-+-=，即2320x y z --+=．15．解 因为211111n n nn n n n x nx x n n∞∞∞===+=+∑∑∑， 1211()1(1)nn n n x x S x nx x x x x x ∞∞==''⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， 记211()n n S x x n∞==∑，则121111()1n n n n S x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭∑∑， 对上式从0到x 的积分，得201()d ln(1)1xS x x x x==---⎰，故 2211ln(1) (11)(1)n n n xx x x n x ∞=+=---<<-∑. 四、16．解 原方程对应的齐次方程为20y y y '''-+=，齐次方程的特征方程是2221(1)0r r r -+=-=，解得其特征根为121r r ==，于是齐次方程的通解为12()e x y C C x =+．由于0λ=不是特征根，故非齐次方程2y y y x '''-+=的特解形式应设为*()Y x Ax B =+，将它代入非齐次微分方程中，得1, 2A B ==.于是，非齐次微分方程的通解为12()e 2x y C C x x =+++.将初始条件(0)2,(0)0y y '==代入，得120, 1C C ==-，故所求的特解为e 2x y x x =-++．17．解 直线AB 的方程为1111x y z-==-，即⎩⎨⎧=-=.,1z y z x 过z 轴上的[0,1]中任一点z 且垂直于z 轴截旋转体所得截面是一个圆，与AB 交于点1(1,,)M z z z -．于是圆的半径为r ==，面积为2π(122)z z -+．因此，1120()2d d d d d d π(122)d π3s z V x y z z x y z z z Ω===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 18．解 因为当|3|3x -<时，有011111333(3)33313nn x x x x ∞=-⎛⎫==⋅=- ⎪-+-⎝⎭+∑ 1001(3)1(1)(1)(3)333n n n n n n n n x x ∞∞+==-=-=--∑∑ 所以，取4x =，得10(1)134n n n ∞+=-=∑．五、19．证明 在方程()()xy xf z yg z =+两边同时对x 求导数得()()()()()()z z z y f z y f z xf z yg z x x x xf z yg z ∂∂∂-''=++⇒=''∂∂∂+， ()()0xf z yg z ''+≠.同理，得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+，将所求偏导数代入等式[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂，即得恒等式．故命题得证．《高等数学（下）》测试题二一、单项选择题(每小题4分，满分20分，把答案写在括号内)1．函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在情况是（ ） (A)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '存在； (B)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (C)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (D)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在． 2．变换积分210d (,)d xx x f x y y ⎰⎰的次序为（ ）(A)10d (,)d y y f x y x ⎰； (B)110d (,)d y y f x y x ⎰⎰；(C)210d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； (D)10d (,)d y y f x y x ⎰． 3．直线12:213x y zL -+==与平面:21x y z ∏--=的关系是（ ） (A)互相平行，L 不在∏上； (B) L 在∏上； (C)垂直相交； (D) 相交但不垂直． 4．若级数21n n u ∞=∑与21n n v ∞=∑均收敛，则下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1n n u ∞=∑；B ．1()n n n u v ∞=+∑；C ．21(1)nnn u ∞=-∑；D ．21()n n n u v ∞=+∑．5．设平面区域D 是由直线1,12x y x y +=+=及两条坐标轴所围成，记233123()d , ()d , [ln()]d DDDI x y I x y I x y σσσ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；则有（ ）(A)123I I I <<； (B) 321I I I <<； (C)132I I I <<； (D) 312I I I <<． 二、填空题(每小题4分，满分20分，把答案写在横线上)6．过点(1,2,1)-且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是 ．7．微分方程20y y y '''++=的通解为 ．8．已知平面24x y z m +-=是曲面222z x y =+在点(1,1,3)处的切平面，则m 的值等于 ．9．级数2114nnn x ∞=∑的收敛域为 ． 10．D 是由0,0x y ==与221x y +=所围成的图形在第一象限内的部分，则二重积分2d d Dx y x y =⎰⎰ ．三、基本计算题(每小题6分，共30分)11．设3,y z x f xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶偏导数，求,z z x y∂∂∂∂．12．已知||||1a b ==，且a 与b 的夹角π6θ=，求以2a b +和3a b +为边的平行四边形的面积．13．设Ω是由曲线22x y z=⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =围成的空间区域，求22()d x y z v Ω++⎰⎰⎰．14．求微分方程323e x y y y x -'''++=的通解．15．将函数1()(1)f x x x =-展开成2x -的幂级数．四、概念及其应用题（每小题8分，共24分） 16．求11, (0,0)z xy x y x y=++>>的极值．17．求曲面22z x y =+与226()z x y =-+所围立体的体积．18．求幂级数13nn n x n ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．五、证明题（本题6分）19．证明y x z x y x y ϕψ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足方程2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂．《高等数学（下）》测试题二参考答案一、1．B ；2．D ；3．A ；4．C ；5．B ．二、6．340x y z --+=；7．12()e x y C C x -=+；8．3；9．(2,2)-；10．115． 三、11．解231223,zy y x f xy x f y f xx x ∂-⎛⎫⎡⎤''=+⋅+⋅ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦， 3121z x f x f y x ∂⎡⎤''=⋅+⋅⎢⎥∂⎣⎦． 12．解 由向量积的几何意义知，以2a b +和3a b +为边的平行四边形面积为(2)(3)(3)(2)(3)(2)π555sin 62S a b a b a a a b b a b ba b a b =+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=⋅⋅=13．解 Ω由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =围成．曲面与平面的交线为228,4.x y z ⎧+=⎨=⎩ 选用柱坐标变换cos,sin ,. x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩由题意得积分区域:02π,04,0z r θΩ≤≤≤≤≤≤，于是42π2220()d d d )d x y z v z r z r r θΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰22442002562πd 2π2d π.423r r z z z z ⎛=+== ⎝⎰⎰ 14．解 由特征方程2()320r r r ϕ=++=得特征根为121,2r r =-=-，所以，齐次方程的通解为212e e x x y c c --=+，又由1λ=-是特征方程的单根，于是*()e xy x ax b -=+，即2()Q x ax bx =+，代入公式2()()0()()3j j j Q x x ϕλ==∑中，得3,32a b ==-，所以*332y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而，原方程的通解为2121e e 31e 2x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．15．解 因为111()(1)1f x x x x x==---， 011(1)(2), |2|1112n n n x x x x ∞===---<-+-∑；100111112(2)(1)()(1), |2|2222222212n n n n n n n x x x x x x ∞∞+==--===-=--<-+-+∑∑； 故101()(1)(1)(2), |2|12n n n n f x x x ∞+==----<∑． 四、16．解 2211,z z y x x x y y ∂∂=-=-∂∂，令221010y xx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得驻点(1,1)．因为 222232322,1,z z z x x x y y y∂∂∂===∂∂∂∂， 2222(1,1)(1,1)2, 1, 2, 1430zzA B C xy∂∂=====∆=-=-<∂∂，0A >，故有极小值，极小值为3z =．17．解 222222:36z x y D x y z x y⎧=+⇒+≤⎨=--⎩.方法一：222π62π2000d d d d d (62)d r rV v r z r r θθ-Ω===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰240192π32π99π22r r ⎡⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.方法二：22222[6()()]d d [62]d d DDV x y x y x y r r r θ=-+-+=-⎰⎰⎰⎰2π2240019d (62)d 2π32π99π22r r r r θ⎡⎛⎫=-=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰.18．解 1131limlim ,3(1)33n n n n n na n R a n ++→∞→∞===+. 当3x =时，级数11n n ∞=∑发散；当3x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛，所以，级数的收敛域为[3,3)-．令111131(),()33133n n n n n n x x f x f x n x x -∞∞=='====--∑∑，001()(0)d ln(3)|ln 3ln(3)3xxf x f x x x x-==--=---⎰3 ()lnln(1)33x xf x -∴==-. 五、19．证明 利用一阶微分形式不变性，有d d d y y y x y x x x z x y x x x y x y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=-+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ϕϕψϕψψ从而2223222311z y y y x x x x x y z y y x x x x y y z y x x x y x y y y z y x x y x x y y ϕϕψϕψϕψψϕψ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭于是2222220z z x y x y∂∂-=∂∂．。

大学数学期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是函数的连续性的定义？A. 函数在某点的极限存在且等于函数值B. 函数在某点的导数存在C. 函数在某点的积分存在D. 函数在某区间内处处可导答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则：A. 函数在该区间上一定连续B. 函数在该区间上一定可导C. 函数在该区间上一定有界D. 函数在该区间上一定存在原函数答案：C4. 以下哪个选项是欧拉公式的表达式？A. e^(iπ) + 1 = 0B. e^(iπ) - 1 = 0C. e^(iπ) + 1 = 2D. e^(iπ) - 1 = 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值是______。

答案：12. 已知矩阵A = \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求A的逆矩阵是______。

答案：\[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\] 3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值是______。

答案：1/34. 给定级数∑(1到∞) 1/n^2，求该级数的和是______。

答案：π^2/6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定有界。

证明：由于f(x)在区间[a, b]上连续，根据连续函数的性质，我们知道f(x)在该区间上的最大值和最小值都存在。

设f(x)在区间[a, b]上的最大值为M，最小值为m，则对于区间[a, b]上的任意点x，都有m ≤ f(x) ≤ M。

高等数学期末考试模拟测试题含答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高等数学（一）模拟测试题模拟测试一一、判断题（ ）1、数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的充分条件。

（ ）2、函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 可导的必要非充分条件。

（ ）3、函数)(x f 的极值点一定是驻点。

（ ）4、若函数0)(''0=x f ，则0x 是)(x f 的拐点。

（ ）5、C x f dx x f +=⎰)()('，C 是任意常数。

二、选择题1、设322,1,()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则)(x f 在1x =处的（ ）（A ）左、右导数都存在； （B ）左导数存在，右导数不存在； （C ）左导数不存在，右导数存在； （D ）左右导数都不存在。

2、已知函数)(x f ，[,]x a b ∈则下列选项中不满足罗尔定理条件的是（ ）。

（A ）在[,]a b 上连续； （B ）在(,)a b 可导； （C ）对任一(,),'()0x a b f x ∈≠； （D ）()()f a f b =。

3、若函数)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 的一个原函数是（ ） （A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x +；（D ）1cos x -。

4、设函数1()x tF x e dt =⎰，则21'()F x dx =⎰（ ）（A ）2e e -； （B ）2e e -； （C ）2e ； （D ）e 。

5、下列说法错误的是（ ）（A ）闭区间上连续函数必有界；（B ）闭区间上的连续函数一定有最小值最大值； （C ）闭区间上函数必有界； （D ）闭区间上连续函数必可积。

三、填空题1、曲线3221y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 。

高数期末试题及答案解析一、选择题1. 在一个三角形ABC中，已知∠C=90°，AC=4，BC=12。

则∠A 的正弦值是：A) 1/3B) 1/4C) 3/4D) 3/5解析：根据正弦定理，我们有sinA = BC/AC = 12/4 = 3。

故选项C) 3/4正确。

2. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(0))的值为：A) 7B) 5C) 3D) 1解析：首先计算g(0) = 2(0) - 1 = -1。

然后将g(0)代入f(x)中得到f(g(0)) = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0。

故选项D) 1正确。

二、填空题1. 解方程组：2x + 3y = 74x - y = 1解析：首先将第二个方程的y单独解出来，得到y = 4x - 1。

将其代入第一个方程，得到2x + 3(4x - 1) = 7，化简得到14x - 3 = 7，进一步化简得到14x = 10，解得x = 10/14 = 5/7。

将x的值代入y = 4x - 1中，得到y= 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。

所以方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。

三、计算题1. 求不定积分∫(2x + 3)dx。

解析：根据积分的线性性质，可以将不定积分拆成两个部分：∫2x dx + ∫3 dx。

对于第一部分，根据幂函数的求导公式和积分的逆运算，得到∫2x dx = x^2 + C，其中C为常数。

对于第二部分，由于它是一个常数函数，其积分结果为该常数与x的乘积，即∫3 dx = 3x + C'，其中C'为常数。

所以不定积分∫(2x + 3)d x的结果为(x^2 + C) + (3x + C') = x^2 + 3x + C +C'。

2. 求定积分∫(0 to π/2) sin(x)dx。

高等数学（一）模拟测试题模拟测试一一、判断题（ ）1、数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的充分条件。

（ ）2、函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 可导的必要非充分条件。

（ ）3、函数)(x f 的极值点一定是驻点。

（ ）4、若函数0)(''0=x f ，则0x 是)(x f 的拐点。

（ ）5、C x f dx x f +=⎰)()('，C 是任意常数。

二、选择题1、设322,1,()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则)(x f 在1x =处的（ ）（A ）左、右导数都存在； （B ）左导数存在，右导数不存在； （C ）左导数不存在，右导数存在； （D ）左右导数都不存在。

2、已知函数)(x f ，[,]x a b ∈则下列选项中不满足罗尔定理条件的是（ ）。

（A ）在[,]a b 上连续； （B ）在(,)a b 可导； （C ）对任一(,),'()0x a b f x ∈≠； （D ）()()f a f b =。

3、若函数)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 的一个原函数是（ ） （A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x +；（D ）1cos x -。

4、设函数1()x tF x e dt =⎰，则21'()F x dx =⎰（ ）（A ）2e e -； （B ）2e e -； （C ）2e ； （D ）e 。

5、下列说法错误的是（ ）（A ）闭区间上连续函数必有界；（B ）闭区间上的连续函数一定有最小值最大值； （C ）闭区间上函数必有界； （D ）闭区间上连续函数必可积。

三、填空题1、曲线3221y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 。

2、1lim(12)x x x →+= 。

3、若函数2,1,(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处连续且可导，则a = ，b = 。

高等数学试题(一)（含答案）一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

第1—10题，每小题1分，第11—20小题，每小题2分，共30分) 1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5］B. (1，5］C. (1，5)D. (1，+∞) 2. limsin 2x xx →∞等于( ) A. 0 B. 1 C.12D. 23.二元函数f(x,y)=ln(x －y)的定义域为( ) A. x －y>0 B. x>0, y>0 C. x<0, y<0 D. x>0, y>0及x<0, y<04.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导5.设函数f(x)=e 1－2x，则f(x)在x=0处的导数f ′(0)等于( ) A. 0 B. e C. –e D. －2e 6.函数y=x －arctanx 在［－1，1］上( ) A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值7.设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，在开区间(0，1)内可导，且f ′(x)>0，则( ) A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)<f(0) 8.以下式子中正确的是( ) A. dsinx=－cosx B. dsinx=－cosxdx C. dcosx=－sinxdx D. dcosx=－sinx 9.下列级数中，条件收敛的级数是( )A. n nn n =∞∑-+111()B. n nn =∞∑-11()C.n nn=∞∑-111()D.n nn=∞∑-1211()10.方程y ′—y=0的通解为( )A. y=ce xB. y=ce －xC. y=csinxD. y=c 1e x +c 2e －x11.设函数f(x)=x x x kx +-≠=⎧⎨⎪⎩⎪4200,,在点x=0处连续，则k 等于( )A. 0B. 14C.12D. 212.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e －x f(e －x )dx 等于( ) A. F(e －x )+c B. －F(e －x )+c C. F(e x )+c D. －F(e x )+c13.下列函数中在区间［－1，1］上满足罗尔中值定理条件的是( ) A. y=1xB. y=|x|C. y=1－x 2D. y=x －1 14.设f t dt x ()0⎰=a 2x －a 2,f(x)为连续函数，则f(x)等于( )A. 2a 2xB. a 2x lnaC. 2xa 2x －1D. 2a 2x lna 15.下列式子中正确的是( )A. e dx edx xx112⎰⎰≤B.e dx edx xx112⎰⎰≥C.e dx edx xx0112⎰⎰=D.以上都不对16.下列广义积分收敛的是( ) A. cos 1+∞⎰xdxB. sin 1+∞⎰xdxC.ln xdx1+∞⎰D.121xdx+∞⎰17.设f(x)=e x --21，g(x)=x 2，当x →0时( ) A. f(x)是g(x)的高阶无穷小 B. f(x)是g(x)的低阶无穷小C. f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小D. f(x)与g(x)是等价无穷小18.交换二次积分dy f x y dx yy (,)⎰⎰01的积分次序，它等于()A. dxf x y dyxx(,)⎰⎰1B. dxf x y dy xx (,)201⎰⎰C.dxf x y dy xx (,)⎰⎰1D.dxf x y dy xx(,)21⎰⎰19.若级数n n u =∞∑1收敛，记S n =i i u =∞∑1，则( )A. lim n n S →∞=0B.lim n n S S→∞=存在C.lim n nS →∞可能不存在D. ｛S n ｝为单调数列20.对于微分方程y ″+3y ′+2y=e －x ，利用待定系数法求其特解y *时，下面特解设法正确的是( )A. y *=ae －xB. y *=(ax+b)e －xC. y *=axe －xD. y *=ax 2e －x 二、填空题(每小题2分，共20分)1. lim x x x →∞+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=121______。

高数期末考试题及答案下册一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. 左极限lim(x→a-) f(x)存在C. 右极限lim(x→a+) f(x)存在D. 所有选项都正确答案：D2. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：C3. 若f(x)=sin(x)，则f'(x)是：A. cos(x)B. -sin(x)C. x*cos(x)D. x*sin(x)答案：A4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D5. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标为：A. (1,1)B. (2,8)C. (4,16)D. (0,0)答案：B6. 若∫(0,1) f(x)dx = 2，则∫(0,1) x*f(x)dx的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：B7. 函数f(x)=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项为：A. 1-xB. x-x^2/2C. -x^2/2D. -1-x答案：D8. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递减函数B. 单调递增函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：B9. 函数f(x)=e^x的无穷级数展开式为：A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...B. 1-x+x^2-x^3+...C. 1+x-x^2+x^3-...D. 1-x-x^2+x^3-...答案：A10. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则∫(a,b) f(x)dx：A. 一定存在B. 可能不存在C. 等于0D. 等于f(a)-f(b)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。