2020版高一上学期数学9月月考试卷

南京市中华中学2024-2025学年第一学期9月月考试题高一数学考试时间：90分钟 满分：100分命题：乔文雯 审核：梁佳辉一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ∪ =A. {1}B. {3，5}C. {1，2，4，6}D. {1，2，3，4，5} 2. 命题“0x ∀≥，2210x x −+≥”的否定是（ ）A. 0x ∀≥，2210x x −+<B. 0x ∃≥，2210x x −+<C. 0x ∀<，2210x x −+<D. 0x ∃<，2210x x −+<3. 已知集合{}12{|20}A B x ax =−=+=，，，若A B A ∪=，则实数a 的取值所组成的集合是（ ）A {}12−， B. {}11−， C. {2−，0，1} D. {1−，0，2} 4. 已知正数x ，y 满足122x y +=，则xy 的最小值为（ ）A. B. 2C. D. 45. 命题p ：R x ∀∈，23620x x m −+≥，则“1m ≥”是“p 为真命题”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知方程()2250x m x m +−+−=的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ） A. {54m m −<≤−或}4m ≥ B. {}54m m −<≤− C. {}54m m −<<− D. {54m m −<<−或}4m >7. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是{}13x x <<，则下列说法错误的是（ ）A. 0a <B. 0a b c ++=C. 420a b c ++<.的D. 不等式20cx bx a −+<的解集是113x x x−−或 8. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形三边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，4a =，则此三角形面积的最大值为（）A. 4B.C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9. 若22ac bc >，则下列不等式中正确的是（ ）A. a b >B. 22a b >C. 33a b >D. 11a b< 10. “集合(){}22,2,,A x y x y a x y =+<∈∈N N 只有3个真子集”一个充分不必要条件可以是（ ）A. 312a <<B.724a <≤ C. 13a ≤<D. 3724a << 11. 下列说法错误的是（ ）A. 2=23y x x −−的零点为()3,0，()1,0−；B. “a ，b 都是偶数”是“a b +是4的倍数”的既不充分也不必要条件；C. 已知正实数x ，y 满足()242y x y x⋅=，则x y +的最小值为； D. 2284y x x=++的最小值为4． 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分．12. 计算21232927()()(1.5)48−−−+得________． 13. 若命题“x ∃∈R ，()()221110a x a x −+−−≥”为假命题，则a 的取值范围为______. 的的14. 已知正实数,a b 满足10ab b −+=，则14b a+的最小值是__________． 四、解答题：本题共3小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<−． （1）当1m =−时，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．16. 已知关于x 的不等式2320ax x −+>的解集为{1x x <或}x b >．（1）求a ，b 的值；（2）当0x >，0y >，且满足1a b x y +=时，有222x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围； （3）关于x 的不等式()22120ax m x bm −++≤的解集中恰有5个正整数．．．，求实数m 的取值范围． 17. 已知某污水处理厂的月处理成本y （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系可近似地表示为()212580210400y x mx x =−+≤≤．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？（2）请写出该厂每月获利z x （万吨）之间函数关系式，并求出每月获利的最大值，的。

湖北省随州市第一中学高一上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ）A ．∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解B ．∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C ．∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解D ．∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 【答案】A【解析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果.【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解,故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.2．设,a b ∈R ，则“a b >”是“a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】当1a =,2b =-时,满足a b >,但a b >不成立,即充分性不成立； 若a b >,当0b ≥,满足a b >；当0b <时,a b b >>,成立,即必要性成立,故“a b >”是“a b >”必要不充分条件,故选：B【点睛】本题考查必要不充分条件的判断,根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键3．如果a R ∈且20a a +<，那么2,,a a a -的大小关系为（ ）A ．2a a a -<<B ．2a a a <-<C ．2a a a <<-D ．2a a a <<-【答案】C 【解析】先解不等式求出a 的范围，再根据条件可得大小关系．【详解】解：由20a a +<解得10a -<<，由20a a +<可得20a a <<-，2a a a ∴<<-．故选：C ．【点睛】本题考查代数式的大小比较，是基础题．4．不等式4122x x-≥-的解集是（ ） A ．5{|6x x ≤或2}x > B ．526x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．526x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．5{|6x x ≤或2}x ≥ 【答案】C 【解析】将分式不等式转化为整式不等式求解即可．【详解】 解：()()6520414165220022220x x x x x x x x x ⎧--≤---≥⇒-≥⇒≤⇒⎨----≠⎩， 解得526x ≤<． 故选：C ．【点睛】本题考查分式不等式的求解，关键是要转化为整式不等式，注意分母不为零，是基础题．5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ）A ．2ab >B ．2a b +<C ．11a b <D ．2b a a b+> 【答案】D 【解析】令34,23a b 可知A ，C 错误；由1b a >>根据同向不等式相加的性质可知B 错误；根据2b a a b +≥=以及等号不成立可知D 正确. 【详解】因为：1b a >>对于A ：当34,23a b ，所以34223ab ，故A 错误；对于B ：因为1b a >>，所以2a b +>，故B 错误；对于C ：当34,23a b ，121334a b =<=，故C 错误；对于D ：因为1b a >>，所以2b a a b +≥=， 又因为1b a >>，则b a a b ≠，故不取等，即2b a a b+>，故D 正确； 故选：D.【点睛】 本题考查了不等式的性质，考查了基本不等式取等的条件，属于基础题.6． 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么2y x ，值域为{}1,4的“同族函数”共有()A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个 【答案】C【解析】试题分析：由21x =和24x =解得，1x =±和2x =±，因为一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，所以要使2y x 的值域为{}1,4，其定义域有9种可能性，分别为：{}1,2、{}1,2-、{}1,2-、{}1,2--、{}1,1,2-、{}1,1,2--、{}1,2,2-、{}1,2,2--、{}1,1,2,2--，故答案为C ．【考点】①对新定义的理解与应用；②对函数定义域、值域及相关概念的理解．7．不等式2(3)2(3)40a x a x -+--<对于一切x ∈R 恒成立，a 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞-B ．(1,3]-C ．(,3]-∞-D ．(1,3)-【答案】B 【解析】分类讨论不等式恒成立条件.【详解】①当3=0a -即3a =时，40-<成立；②当3a ≠时，根据题意可得230(1,3)4(3)4(3)(4)0a a a a -<⎧⇒∈-⎨∆=---⨯-<⎩， 综上所述，(1,3]a ∈-.故选：B【点睛】本题考查由不等式恒成立求参数范围，涉及一元二次函数的图象与性质，属于基础题.8．(0x -≥的解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．[1,){2}+∞- D ．(,2]{1}-∞-【答案】C【解析】分20x +=和20x +>讨论，转化为整式不等式求解即可．【详解】解：(020x x -⇒+=或1020x x -≥⎧⎨+>⎩， 解得2x =-或1≥x ，即不等式的解集为[1,){2}+∞-．故答案为：C【点睛】本题考查含根号的不等式的求解，关键是要转化为整式不等式，注意分类讨论，是基础题．二、多选题9．使不等式260x x --<成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．20x -<<B ．03x <<C ．23x -<<D ．24x -<< 【答案】AB【解析】先求出不等式260x x --<的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义，由集合法求解.【详解】因为260x x --<，所以()()023x x +-<，解得23x -<<若使不等式260x x --<成立的一个充分不必要条件，则x 的范围是{}|23x x -<<的一个真子集，故选：AB【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及集合法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.10．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若,a b >则22ac bc >B ．若,,a b c d >>则a c b d +>+C ．若||,a b >则22a b >D ．若0a b >>，则11a b< 【答案】BD【解析】选项AC 通过举出反例来说明其错误，选项BD 利用不等式的性质来说明其正确．【详解】解：对A ：当0c 时，22a b ac bc >⇒>/，故A 错误； 对B ：若,a b c d >>，利用同向不等式的可加性，可得a c b d +>+，故B 正确；对C ：当1,2a b =-=-，22||a b a b >⇒>，故C 错误；对D ：若0a b >>，等式两边同时除以ab ，可得11a b <，故D 正确． 故选：BD ．【点睛】本题考查不等式性质的应用，是基础题．11．设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则（ ）A ．11a b+有最小值 4B 12CD ．a 2＋b 2 有最小值12【答案】ABCD【解析】利用基本不等式求得104ab <≤，由此判断出ABC 选项的正确性.利用基本不等式求得2212a b +≥，由此判断出D 选项的正确性. 【详解】正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，即有a ＋b ≥0＜ab ≤14， 即有1a ＋1b ＝1a b ab ab+=≥4， 当且仅当a ＝b 时，1a ＋1b 取得最小值4，无最大值，故A 选项正确.由012有最大值12，故B 选项正确.，可得当a ＝b C 选项正确.由a 2＋b 2≥2ab 可得2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝1，则a 2＋b 2≥12，故当a ＝b ＝12时，a 2＋b 2取得最小值12，故D 选项正确. 综上可得ABCD 均正确．故选：ABCD【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.12．若不等式110414m x x +-≥-对104x x x ⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭恒成立，则实数m 的值可以为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5 【答案】ABC 【解析】将题目转化为11414m x x +≥-恒成立问题，即求11414x x +-的最小值，利用基本不等式求出11414x x+-的最小值，进而可得实数m 的取值范围，则答案可求． 【详解】 解：110414m x x +-≥-， 即11414m x x +≥-恒成立， 104x x x ⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭，则40,140x x >->，()1111144414224414414414x x x x x x x x x x -⎛⎫∴+=++-=++≥+ ⎪---⎝⎭， 当且仅当144414x x x x -=-，即18x 时等号成立， 4m ∴≤．故选：ABC ．【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查恒成立问题的求解，考查学生计算能力和转化能力，是中档题．三、填空题13．6x 的解集为__________.【答案】{}|04x x ≤<【解析】将不等式6x ，转化为260+<，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】不等式6x ，变形为260+<，即)320<解得32-<<，即04x ≤<，所以原不等式的解集是{}|04x x ≤<故答案为：{}|04x x ≤<【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及换元法的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为_____．【答案】4【解析】首先分析题目由已知x ＞0，y ＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b ≥【详解】∵2xy ＝x ·(2y)≤22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭2，∴8＝x ＋2y ＋2xy ≤x ＋2y ＋22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭2， 即(x ＋2y)2＋4(x ＋2y)－32≥0.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号，即x ＋2y 的最小值是4.【点睛】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b ≥泛，需要同学们多加注意．15．若命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为假命题，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】 22a -<<【解析】先求出当命题为真命题时a 的范围,其补集即为命题为假命题时a 的范围【详解】由题,当命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为真命题时,()223499360a a ∆=--⨯=-≥, 即2a ≥或2a ≤-,则当命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为假命题时, 22a -<<故答案为 22a -<<【点睛】本题考查由命题的真假求参数范围问题,考查转换思想,考查运算能力 16．已知1542,a b a b -<+<-<-<，则24a b -的取值范围为____________. 【答案】()17,7-【解析】令()()24a b m a b n a b -=++-，列方程组求出,m n ，再利用不等式的性质即可求出24a b -的取值范围．【详解】解：令()()24a b m a b n a b -=++-，则()()24a b m n a m n b -=++-，24m n m n +=⎧∴⎨-=-⎩，解得13m n =-⎧⎨=⎩， ()()243a b a b a b ∴-=-++-，1542a b a b -<+<-<-<，，()()511236a b a b ∴-<-+<-<-<，，两不等式相加可得()()1737a b a b -<-++-<，即24a b -的取值范围为()17,7-．故答案为：()17,7-．【点睛】本题考查不等式性质的应用，关键是利用待定系数法将24a b -用a b a b +-，表示出来，是一道基础题．四、解答题17．已知命题p ：“方程210x mx ++=有两个不相等的实根”，命题p 是真命题．（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a ---<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的充分条件，求a 的取值范围．【答案】（1）{}22M m m m =><-或；（2）4a ≤-或2a ≥【解析】分析：（1）由二次方程有解可得0∆>，从而可得解；（2）由x ∈N 是x ∈M 的充分条件，可得N M ⊆，从而可得解.详解：(1) 命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根， 240m ∴∆=->，解得2m >，或2m <-．M={m|2m >，或2m <-}．(2) 因为x ∈N 是x ∈M 的充分条件，所以N M ⊆N={|2}x a x a <<+22,a +≤- 2,a ≥综上，4,a ≤-或2a ≥点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．18．已知全集,U R =集合22{|230},{|680}A x x x B x x x =--≥=-+≤.（1）求,A B B (U C A )；（2）已知{|212},C x a x a =-<<+若C(U C A )＝C ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,1][2,)A B ⋃=-∞-⋃+∞，[2,3)⋂=U B C A ；（2）01a ≤≤或3a ≥.【解析】（1）化简集合A ，B ，然后利用并集，交集和补集的运算求解.（2）根据C(U C A )＝C ，得到C U C A )，然后分C =∅和C ≠∅分类讨论求解.【详解】（1）{2{|230}|3A x x x x x =--≥=≥或}1x ≤-， 2{|680}{|24}=-+≤=≤≤B x x x x x ，所以(,1][2,)A B ⋃=-∞-⋃+∞，{}|13U C A x x =-<< ,[2,3)⋂=U B C A .（2）因为C (U C A )＝C ，所以C U C A ，当C =∅时，则212-≥+a a ，解得3a ≥，当C ≠∅时，则321123a a a <⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得01a ≤≤，综上：实数a 的取值范围是01a ≤≤或3a ≥【点睛】本题主要考查集合的基本运算和集合基本关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶150千米，按交通法规限制60120x ≤≤（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升5元，而卡车每小时耗油25400x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，司机的工资是每小时20元. （1）求这次行车总费用y （单位：元）关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值.【答案】（1）[]675015,60,1208x y x x =+∈；（2）60，225.【解析】（1）先求出货车行驶的时间，再根据汽油的价格是每升5元，卡车每小时耗油25400x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升和司机的工资每小时20元求解.（2）由（1）得到6750158x y x =+，利用基本不等式求解. 【详解】（1）货车行驶的时间为150x小时，由题意得： 21501505520400x y x x⎛⎫=⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭， []675015,60,1208x x x =+∈；（2）6750152258x y x =+≥=， 当且仅当6750158x x =，即60x =时，取等号， 所以当x 为60时，这次行车的总费用最低，最低费用是225元.【点睛】本题主要考查函数模型的应用以及基本不等式求最值，还考查了建模和运算求解的能力，属于中档题.20．（1）已知0,x <求函数254x x y x++=的最大值； （2）已知103x <<，求函数(13)y x x =-的最大值；（3）若0,a b >、求2211y ab a b =++的最小值.【答案】（1）1；（2）112；（3）【解析】（1）变形得45y x x=++，利用基本不等式即可求最值； （2）凑系数13(13)3y x x =⨯⨯-，利用基本不等式即可求最值； （3）对2211a b +用基本不等式后，对函数式再用一次基本不等式即可求最值． 【详解】解：（1）25445x x y x x x++==++，0x <，0x ∴->()44x x ∴-+≥=-，当且仅当4x x -=-，即2x =-时等号成立； 则44x x+≤-， 451y x x∴=++≤， 所以函数254x x y x++=的最大值为1； （2）103x <<，130x ∴-> 2113131(13)3(13)33212x x y x x x x +-⎛⎫∴=-=⨯⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当313x x =-，即16x =时等号成立， 所以函数(13)y x x =-的最大值为112； （3）0a b >、，22112y ab ab ab a b ab∴=++≥=+≥ 当且仅当22112a b ab ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即42a b 时等号成立， 2211y ab a b ∴=++的最小值为 【点睛】本题考查基本不等式求最值，注意基本不等式的使用需满足一正，二定，三相等，特别要注意等号的成立条件，是基础题．21．求值域：（1）3y =（2）y x =（3）2224723x x y x x +-=++.【答案】（1）[]1,3；（2）[)1,-+∞；（3）9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】（1）先求出223x x -++（2[)0,t =∈+∞，将原函数转化为21,022t y t t =--≥的值域，利用二次函数的性质即可求解；（3）变形得222313y x x =-++，先求出223x x ++的范围，则可得2123x x ++的范围，进而可得函数值域．【详解】解：（1）()2223144x x x -++=--+≤，则02≤，133∴≤，即函数值域为[]1,3；（2[)0,t ∈+∞， 则212t x -=， 2211,0222t t y t t t -∴=-=--≥， 根据二次函数的性质，其在[)0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 则min 111122y =--=-， 所以函数的值域为[)1,-+∞；（3）2222471322323x x y x x x x +-==-++++， ()2223122x x x ++=++≥， 2110232x x ∴<≤++， 213130232x x ∴<≤++，291322223x x ∴-≤-<++， 所以函数的值域为9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭； 【点睛】本题考查函数的值域的求解，含有根号的可尝试换元法，分式函数可尝试分离常数，考查学生的转化能力和计算能力，是中档题．22．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.【答案】具体见解析.【解析】对a 分类讨论，同时要注意比较根的大小，依次求解即可得到答案．【详解】（1）当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}.（2）当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两个根分别为2和－1a . ①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为1{|2}x x a-<<； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅； ③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为1{|2}x x a<<-； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为1{|x x a<-或2}x >. 综上所述：当a <－12时，不等式的解集为1{|2}x x a-<<； 当a ＝－12时，不等式的解集为∅； 当－12<a <0时，不等式的解集为1{|2}x x a<<-； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当a >0时，不等式的解集为1{|x x a<-或2}x >. 【点睛】本题考查了含参一元二次不等式的解法，涉及分类讨论的思想，需注意二次项系数可能为0的情况，属于中档题．。

2021-2022学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 2．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1}B．{1，2}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5} 3．集合A＝{x|x2﹣7x＜0，x∈N*}，则中子集的个数为（）A．4个B．8个C．15个D．16个4．命题“∀x＞0，x2﹣2x＞0”的否定是（）A．∃x≤0，x2﹣2x≤0B．∀x≤0，x2﹣2x≤0C．∃x＞0，x2﹣2x≤0D．∀x＞0，x2﹣2x≤05．p：＜0是q：|x+3|＞2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．若a＞b＞c且a+b+c＝0，则下列不等式中正确的是（）A．ab＞ac B．ac＞bc C．a|b|＞c|b|D．a2＞b2＞c27．二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2（x+1）2+2B．y＝2（x﹣1）2+2C．y＝2（x+1）2﹣2D．y＝2（x﹣1）2﹣28．若x＞2，则函数的最小值为（）A．3B．4C．5D．69．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）①b＝﹣2a；②a+b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④abc＜0．A．①③B．②③C．②④D．①④10．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．3D．411．已知p：x2+2x﹣3＞0，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，1]C．[﹣3，+∞）D．[1，+∞）12．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，则不等式b（x2﹣1）+a（x+3）+c＞0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|＜x＜1}C．{x|x＜1或x}D．{x|x＜﹣2或x＞1}二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求实数m的值．14．已知1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则4a﹣2b的取值范围为．15．已知p：|x﹣4|＞6，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．16．函数的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设全集为R，A＝{x|2＜x≤5}，B＝{x|3＜x＜8}，C＝{x|a﹣1＜x＜2a}．（Ⅰ）求A∩B及∁R（A∪B）；（Ⅱ）若（A∩B）∩C＝∅，求实数a的取值范围．18．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|1≤x≤6}．（1）当a＝3时，求A∩B，（∁R A）∪（∁R B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x （0＜x＜1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x．（1）为使日利润有所增加，求x的取值范围；（2）当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大，并求出最大日利润．20．已知不等式mx2+2x﹣m+2＜0．（1）当m＝3时，求不等式解集；（2）是否存在实数m对所有的实数x使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知命题p：∀x∈[0，1]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x02+2ax0+a+2＝0．（1）若命题p，q至少有一个是真命题，求实数a的取值范围．（2）若命题p，q同真同假，求实数a的取值范围．22．某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x＝3﹣（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}【分析】根据补集、交集的定义即可求出．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．2．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1}B．{1，2}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}【分析】根据Venn图确定元素与集合的关系即可．解：由Venn图知对应的集合为A∩∁U B，∵B＝{x∈R|x≥2}，∴∁U B＝{x|x＜2}，∵A＝{1，2，3，4，5}，∴A∩∁U B＝{1}，故选：A．3．集合A＝{x|x2﹣7x＜0，x∈N*}，则中子集的个数为（）A．4个B．8个C．15个D．16个【分析】先求出A，再找出A中6的正约数，进而得到答案．解：集合A＝{x|x2﹣7x＜0，x∈N*}＝{1，2，3，4，5，6}＝{1，2，3，6}，故B有16个子集，故选：D．4．命题“∀x＞0，x2﹣2x＞0”的否定是（）A．∃x≤0，x2﹣2x≤0B．∀x≤0，x2﹣2x≤0C．∃x＞0，x2﹣2x≤0D．∀x＞0，x2﹣2x≤0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：根据全程命题否定的定义，“∀x＞0，x2﹣2x＞0”的否定是“∃x＞0，x2﹣2x≤0”，故选：C．5．p：＜0是q：|x+3|＞2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断即可．解：∵＜0，∴﹣1＜x＜5，∵|x+3|＞2，∴x＞﹣1或x＜﹣5，故p是q的充分不必要条件，故选：A．6．若a＞b＞c且a+b+c＝0，则下列不等式中正确的是（）A．ab＞ac B．ac＞bc C．a|b|＞c|b|D．a2＞b2＞c2【分析】a＞b＞c且a+b+c＝0，可得a＞0＞c，b∈R．利用不等式的基本性质即可判断出结论．解：a＞b＞c且a+b+c＝0，∴a＞0＞c，b∈R．∴ab＞ac，ac＜bc，a|b|与c|b|大小关系不确定，a2、b2、c2大小关系不确定．则上述不等式中正确的是A．故选：A．7．二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2（x+1）2+2B．y＝2（x﹣1）2+2C．y＝2（x+1）2﹣2D．y＝2（x﹣1）2﹣2【分析】根据图象变换关系进行判断即可．解：向上平移2个单位长度得y＝2x2+2，再向右平移一个单位长度得y＝2（x﹣1）2+2，故选：B．8．若x＞2，则函数的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】容易得出x﹣2＞0，从而得出，根据基本不等式即可得出y≥6，即得出原函数的最小值为6．解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴，当且仅当，即x＝4时取等号，∴函数的最小值为6．故选：D．9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）①b＝﹣2a；②a+b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④abc＜0．A．①③B．②③C．②④D．①④【分析】结合图像，根据二次函数的性质分别判断即可．解：结合图像，对称轴x＝﹣＝1，故b＝﹣2a，故①正确；f（1）＝a+b+b＞0，故②错误；f（﹣1）＝a﹣b+c＜0，故③错误；a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故④正确；故选：D．10．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先求出集合A，B由A⊆C⊆B可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求解：由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选：D．11．已知p：x2+2x﹣3＞0，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，1]C．[﹣3，+∞）D．[1，+∞）【分析】根据充分不必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，若q是p的充分不必要条件，则a≥1，故选：D．12．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，则不等式b（x2﹣1）+a（x+3）+c＞0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|＜x＜1}C．{x|x＜1或x}D．{x|x＜﹣2或x＞1}【分析】由不等式ax2+bx+c＞0的解集得出a、b、c之间的关系，代入不等式b（x2﹣1）+a（x+3）+c＞0中化简求解即可．解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，所以﹣4和1是方程ax2+bx+c＝0的实数解，且a＜0；由根与系数的关系知，，解得b＝3a，c＝﹣4a；所以不等式b（x2﹣1）+a（x+3）+c＞0化为3a（x2﹣1）+a（x+3）﹣4a＞0，即3（x2﹣1）+（x+3）﹣4＜0，整理得3x2+x﹣4＜0，解得﹣＜x＜1，所以，所求不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求实数m的值3．【分析】利用2∈A，推出m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m的值，然后验证集合A是否成立，即可得到m的值．解：因A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A所以m＝2或m2﹣3m+2＝2即m＝2或m＝0或m＝3当m＝2时，A＝{0，2，0}与元素的互异性相矛盾，舍去；当m＝0时，A＝{0，0，2}与元素的互异性相矛盾，舍去；当m＝3时，A＝{0，3，2}满足题意∴m＝3．故答案是：3．14．已知1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则4a﹣2b的取值范围为[5，10]．【分析】利用待定系数法，令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），求出满足条件的x，y，利用不等式的基本性质，可得4a﹣2b的取值范围．解：令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），即，解得x＝3，y＝1，即4a﹣2b＝3（a﹣b）+（a+b），∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6，∴5≤3（a﹣b）+（a+b）≤10，即4a﹣2b的取值范围为[5，10]．故答案为：[5，10]．15．已知p：|x﹣4|＞6，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为0＜a≤3．【分析】得到集合A＝{x|x＜﹣2或x＞10}，B＝{x|x＜1﹣a或x＞1+a（a＞0）}，由题意可得A是B的真子集，建立关于a的不等式组可得．【解答】解析：依题意可得p：A＝{x|x＜﹣2或x＞10}，q：B＝{x|x＜1﹣a或x＞1+a（a＞0）}．∵p是q的充分不必要条件，∴A⊆B且A≠B，∴实数a的取值范围是0＜a≤3．故答案为：0＜a≤316．函数的最大值为．【分析】利用基本不等式求解函数的最大值即可，然后结合等号成立的条件可得取得最值时x的值．解：，当且仅当时等号成立，故所求最大值为，此时．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设全集为R，A＝{x|2＜x≤5}，B＝{x|3＜x＜8}，C＝{x|a﹣1＜x＜2a}．（Ⅰ）求A∩B及∁R（A∪B）；（Ⅱ）若（A∩B）∩C＝∅，求实数a的取值范围．【分析】运用集合间的运算可直接求A∩B及∁R（A∪B）；再借助于数轴可求出（Ⅱ）问中a的取值范围．解：（Ⅰ）∵A＝{x|2＜x≤5}，B＝{x|3＜x＜8}，∴A∩B＝{x|3＜x≤5}，A∪B＝{x|2＜x＜8}，∴∁R（A∪B）＝{x|x≤2或x≥8}．（Ⅱ）∵A∩B＝{x|3＜x≤5}，如上图，又∵（A∩B）∩C＝∅，∴集合C应当在上图表示的区域两侧，∴应有有2a≤3或a﹣1≥5，解得：．18．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|1≤x≤6}．（1）当a＝3时，求A∩B，（∁R A）∪（∁R B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出a＝3时集合A，根据交集的定义写出A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则求出满足A⫋B时，求出a的取值范围即可．解：（1）当a＝3时，A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞5}，∁R B＝{x|x＜1或x＞6}，∴A∩B＝{x|1≤x≤5}；（∁R A）∪（∁R B）＝{x|x＜1或x＞5}．（2）由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B，（1）A＝∅，2﹣a＞2+a，解得a＜0；（2）A≠∅，∴2﹣a≤2+a且2﹣a≥1且2+a≤6，解得0≤a≤1；综上述：a的取值范围是{a|a≤1}．19．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x （0＜x＜1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x．（1）为使日利润有所增加，求x的取值范围；（2）当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大，并求出最大日利润．【分析】（1）先求得日利润y＝2 000（﹣4x2+3x+10）（0＜x＜1），根据日利润有所增加，可得y＞（60﹣40）×1 000，即可求解．（2）根据（1）的日利润函数，利用二次函数的性质，即可求解．【解答】解析（1）设增加成本后的日利润为y元，y＝[60×（1+0.5x）﹣40×（1+x）]×1 000×（1+0.8x）＝2 000（﹣4x2+3x+10）（0＜x＜1），要保证日利润有所增加，则y＞（60﹣40）×1 000，且0＜x＜1，即﹣4x2+3x＞0，解得0＜x＜，所以为保证日利润有所增加，x范围是．（2）由（1）知日利润y＝2 000（﹣4x2+3x+10）＝，则在对称轴，日利润取到最大值，为21125元，故x＝时，日利润取到最大值，为21125元．20．已知不等式mx2+2x﹣m+2＜0．（1）当m＝3时，求不等式解集；（2）是否存在实数m对所有的实数x使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当m＝3时，不等式为3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，从而即可求出该不等式的解集；（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，等价于函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象恒在x轴下方，从而分类讨论m＝0和m≠0两种情况即可判断是否存在满足题意的实数m．【解答】（1）当m＝3时，不等式为3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，则解集为（﹣1，），（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，即函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象在x轴下方．当m＝0时，2+2x＜0，则x＜﹣1，不满足题意；当m≠0时，函数y＝mx2+2x﹣m+2为二次函数，其图象需满足开口向下且与x轴没有公共点，则，不等式组的解集为空集，即m不存在．综上，不存在这样的实数m使不等式恒成立．21．已知命题p：∀x∈[0，1]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x02+2ax0+a+2＝0．（1）若命题p，q至少有一个是真命题，求实数a的取值范围．（2）若命题p，q同真同假，求实数a的取值范围．【分析】分别求得p，q均为真命题时，a的范围，即可求解．解：若p真，∀x∈[0，1]，x2﹣a≥0，即a≤x2的最小值，由0≤x2≤1，可得a≤0，若q真，∃x0∈R，x02+2ax0+a+2＝0，可得△＝4a2﹣4（a+2）≥0，解得a≥2或a≤﹣1．（1）若命题p，q至少有一个是真命题，即为p或q真，实数a的取值范围为{|a≥2或a≤0}，（2）若命题p，q同为真命题，可得，解得a≤﹣1；若命题p，q同为假命题可得，解得0＜a＜2，综上可得，a的取值范围是{a|0＜a＜2或a≤﹣1}．22．某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x＝3﹣（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【分析】（1）由题意可知当m＝0时，x＝1由满足x＝3﹣，即可得出k值，从而得出每件产品的销售价格，从而得出2010年的利润的表达式即可；（2）对于（1）中求得的解析式，根据其中两项之积为定值结合利用基本不等式此函数的最大值及相应的x值，从而解决该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．解：（1）由题意可知当m＝0时，x＝1（万件），∴1＝3﹣k⇒k＝2．∴x＝3﹣．每件产品的销售价格为1.5×（元），∴2010年的利润y＝x•﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8﹣m＝﹣+29（m≥0）．（2）∵m≥0时，+（m+1）≥2＝8，∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当＝m+1⇒m＝3（万元）时，y max＝21（万元）．所以当该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．。

福建省宁德市博雅培文学校2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列关系中，正确的是（）A ．2+-∈N B ．π∉QC ．0∉ND ．32∈Z2．在下列集合E 到集合F 的对应中，不能构成E 到F 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．3．集合{0,1,2}的子集个数有（）个．A ．6B ．7C ．8D ．94．命题“230,x x x ∃>>”的否定是（）A ．230,x x x ∀>>B ．230,x x x ∀>≤C ．230,x x x ∀≤≤D ．230,x x x ∃>≤5．“1x =”是“210x -=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设x 、y 满足10x y +=，且x 、y 都是正数，则xy 的最大值为（）A ．5B ．10C ．25D ．507．函数y =的定义域是（）A ．[]22-,B ．()2,2-C ．[)(]2,00,2-U D ．[)(]4,00,4-⋃8．设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ（3）τ中任意多个元素的交集属于τ；则称τ是集合X 上的一个拓扑.已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅；②{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅；③{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅；④{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅；其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（）A ．②B ．①③C ．②④D ．②③二、多选题9．下列是一元二次不等式的是（）A ．21x +<-B ．210x +<C ．2310x x++<D ．210x +<10．已知0a b c >>>，则下列结论中正确的有（）A ．ac bc>B ．a c b c+>+C ．ac bc<D ．a c b c-<-11．下列命题正确的是（）A ．若关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是21a -<<B ．若关于x 的不等式210x kx k -+-<在()1,2上恒成立，则实数k 的取值范围是3k <C ．若关于x 的不等式0axb ->的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是{2x x >或}1x <-D ．若()1210,0a b a b +=>>，则2214a b +的最小值为12三、填空题12．已知函数()f x 的定义域为()2,10-，则函数()31f x +的定义域为．13．已知实数1x >，则函数11y x x =+-的最小值为．14．设函数3()f x x x =-，正实数,a b 满足()()2f a f b b +=-，若221a b λ+≤，则实数λ的最大值为.四、解答题15．已知集合{}1,4A =，{}1,4,5,6B =.(1)求A B ⋂及A B ；(2)求B A ð.16．求解下列不等式：(1)23520x x +-<(2)(5)(4)18x x -+≥17．已如函数()221,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩(1)求()11,2f f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)若()1f a =，求实数a 的值；(3)作出函数=在[)2,2-区间内的图像．18．设集合{}{}126,132A x x B x m x m =-≤+≤=-≤≤-(1)若A B B = ，求实数m 的取值范围；(2)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x 吨与年促销费用t 万元之间满足函数关系式22kx t =-+（k 为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.(1)求k 值；(2)将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）参考答案：题号12345678910答案B DCBACCDADBC题号11答案ACD1．B【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系.【详解】对于A ，因为2-不是正整数，所以2+-∉N ，故A 错误；对于B ，因为π不是有理数，所以π∉Q ，故B 正确；对于C.，因为0是自然数，所以0∈N ，故C 错误；对于D ，因为32不是整数，所以32∉Z ，故D 错误.故选：B.2．D【分析】利用函数的定义一一判定选项即可.【详解】根据函数的定义可知，E 中的每一个元素在F 中都有唯一的元素与之对应，显然A 、B 、C 符合题意，而D 选项中，E 中的元素b 在F 中有两个元素对应，不符合函数的定义.故选：D 3．C【分析】一个集合中元素个数有n 个，则有2n 个子集，得到答案【详解】{0,1,2}的子集有328=个.故选：C.4．B【分析】根据存在量词命题的否定即可得解.【详解】命题“230,x x x ∃>>”的否定是“230,x x x ∀>≤”.故选：B.5．A【分析】利用充分、必要条件的概念计算即可.【详解】由1x =可以得出210x -=，满足充分性，而210x -=可得1x =±，不满足必要性，即A 正确.故选：A 6．C,0,02a ba b +>>即可求解.【详解】因为x 、y 满足10x y +=，且x 、y 都是正数，所以2252x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当5x y ==时等号成立，所以xy 的最大值为25.故选：C.7．C【分析】由240x -≥且0x ≠可求得结果.【详解】由题意得2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得22x -≤≤且0x ≠，所以函数的定义域为[)(]2,00,2-U .故选：C 8．D【分析】根据集合X 上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可.【详解】①{}{}{}{}，,,,,a a b a c τ=∅，而{}{}{},,,,a b a c a b c τ=∉ ，故①不是集合X 上的拓扑的集合τ；②{}{}{}{}{}，,,,,,,b c b c a b c τ=∅，满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②是集合X 上的拓扑的集合τ；③{}{}{}{}{}，,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅，满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此③是集合X 上的拓扑的集合；④{}{}{}{}，,,,,a c a b c τ=∅，而{}{}{},a c a c τ=∉ ，故④不是集合X 上的拓扑的集合τ；综上得，是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是②③.故答案为：D.9．AD【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可.【详解】由于210x <2310x x++<是分式不等式，因此只有21x <-、210x +<是一元二次不等式，即只有A 、D 符合题意.故选：AD ．10．BC【分析】由不等式的性质进行判断．【详解】因为0a b c >>>，所以ac bc <，故A 项错误，C 项正确；a cbc +>+，则B 项正确；a cbc ->-，则D 项错误，故选：BC 11．ACD【分析】对于A ，原问题等价于()()22111220f a a a a =+-+-=+-<，解一元二次不等式即可验证；对于B ，原问题等价于1k x >+在()1,2上恒成立，由此即可验证；对于C ，首先得0,a a b >=，然后解分式不等式即可验证；对于D ，首先由基本不等式得412ab ≤，然后由222141244111122a b a b ab ab ⎛⎫+=+-=-≥-= ⎪⎝⎭即可验证，注意取等条件是否成立.【详解】对于A ，二次函数()()2212f x x a x a =+-+-，开口向上，若关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则()()22111220f a a a a =+-+-=+-<，解得21a -<<，故A 正确；对于B ，若关于x 的不等式210x kx k -+-<在()1,2上恒成立，则只需()211k x x ->-，即1k x >+在()1,2上恒成立即可，则实数k 的取值范围是3k ≥，故B 错误；对于C ，若关于x 的不等式0ax b ->的解集是()1,+∞，则0,a a b >=，所以关于x 的不等式100122ax b x x x x ++>⇔>⇔<---或2x >，故C 正确；‘对于D ，若()1210,0a b a b +=>>，则121+=≥a b 412ab ≤，等号成立当且仅当2,4a b ==，所以222141244111122a b a b ab ab ⎛⎫+=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当2,4a b ==，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：A 选项的关键是得()2120f a a =+-<，B 选项的关键是得1k x >+在()1,2上恒成立，C 选项的关键是得0,a a b >=，D 选项的关键是利用基本不等式得412ab ≤，然后适当变形即可求解.12．()1,3-【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可．【详解】由()312,10x +∈-，得()1,3x ∈-，所以函数()31f x +的定义域为()1,3-．故答案为：()1,3-13．3【分析】利用基本不等式即可求得y 的最小值为3.【详解】易知10x ->，所以11111311y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当2x =时等号成立；所以y 的最小值为3.故答案为：314．2+【分析】根据给定条件可得3322a b a b a bλ++≤-，再整理并分离参数，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】函数3()f x x x =-，则33(),()f a a a f b b b =-=-，而()()2f a f b b +=-，即332a a b b b -+-=-，整理得33a b a b +=-，由0,0a b >>，得330a b +>，则0a b >>，因此331a b a b +=-，而221a b λ+≤，于是3322a b a b a b λ++≤-，整理得322b b a b a b λ≤+-，即21()1a b a bλ+≤-，令1a t b =>，则2221()112211111a t tb t at t t b++-+===++----2(1)22221t t =-++≥=+-，当且仅当211t t -=-，即1t =时取等号，因此22min 2()1)b a ab b +=-，则2λ≤+λ的最大值为2+故答案为：2+15．(1){}1,4A B = ，{}1,4,5,6A B ⋃=(2){}5,6B A =ð【分析】利用交集，并集及补集运算直接求解.【详解】（1）集合{}1,4A =，{}1,4,5,6B =,故{}1,4A B = ，{}1,4,5,6A B ⋃=（2）{}5,6B A =ð.16．(1)123x -<<(2)12x -≤≤【分析】借助一元二次不等式的解法计算即可得.【详解】（1）因为23520x x +-<，所以(31)(2)0x x -+<，解得123x -<<；（2）因为(5)(4)18x x -+≥，所以220x x -++≥，即220x x --≤，此时有(2)(1)0x x -+≤，解得12x -≤≤．17．(1)()111,12f f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2或0(3)图象见解析【分析】（1）代入求值即可；（2）分1a ≤与1a >两种情况，列出方程，求出实数a 的值，去掉不合要求的解．（3）根据分段函数解析式即可作出函数图象.【详解】（1）易知()()2111211,21223122f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=⨯+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）当1a ≤时，211a +=，解得0a =，满足要求，当1a >时，231a -=,解得2a =或2a =-（舍）综上可得2a =或0（3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：18．(1){}2m m ≤(2){}4m m ≥【分析】（1）根据集合的包含关系结合分类讨论即可求解，（2）根据充分不必要条件转化为以A B Ü，即可根据包含关系求解．【详解】（1）由题意知B A ⊆，当,132B m m =∅->-，得34m <；当13,324132m B m m m -≥-⎧⎪≠∅-≤⎨⎪-≤-⎩，得324m ≤≤．综上所述：实数m 的取值范围为{}2m m ≤．（2）由{}126A x x =-≤+≤得{}34A x x =-≤≤，由x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以AB ，即13324m m -≤-⎧⎨-≥⎩且等号不同时成立，得4,m ≥∴实数m 的取值范围为{}4m m ≥．答案第7页，共7页19．(1)=2k (2)()321670222y t t t =--+≥+(3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.【分析】（1）依题意当=0t 时，=1x 代入计算可得；（2）依题意求出当年生产x 吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；（3）由（2）可得32269222t y t +⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式计算可得.【详解】（1）由题意可知，当=0t 时，=1x ，所以122k =-，解得=2k ；（2）由于=2k ，故222x t =-+，由题意知，当年生产x 吨时，年生产成本为：232332232x t ⎛⎫+=-+ ⎪+⎝⎭，当销售x 吨时，年销售收入为：3213223222t t ⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，由题意，3212322332232222y t t t t ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()321670222y t t t =--+≥+.（3）由（2）知：()321670222y t t t =--+≥+，即3226932269222222t t y t t ++⎛⎫=--+=-++ ⎪++⎝⎭6926.52≤-=，当且仅当32222t t +=+，又22t +≥，即6t =时，等号成立.此时，max 26.5y =.该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.。

2024-2025学年山西省太原市常青藤中学高一（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列不等式一定成立的是( )A. x2+1>2x(x>0)B. sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)C. 1x2+1≥1(x∈R) D. t+1t≥2(t>0)2.已知函数f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)的图像恒过一点P，且点P在直线mx+ny−1=0(mn>0)的图像上，则1m +1n的最小值为( )A. 4B. 6C. 7D. 83.若2a=5b=10，则1a +1b=( )A. −1B. lg7C. 1D. log7104.下列各式中，值为12的是( )A. 12(cos15°−sin15°) B. tan22.5°1−tan222.5C. cos2π12−sin2π12D. sin15°cos15°5.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数，且函数y=f(x)x在区间I上是增函数，那么称函数y=f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”.若函数f(x)=x2−4x+2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为( )A. [√ 2,2]B. (−∞,−√ 2]和[√ 2,2]C. (0,√ 2]D. [1,√ 3]6.已知函数f(x)={log3x+a x≥13x−2+23x<1，若f(a)=1，则不等式f(x2−8)<f(2x)的解集为( )A. (−2,4)B. (−2,+∞)C. (−4,2)D. (−1,4)7.已知tanα=2，则cos2α−12−sin2αtan(α+π4)的值为( )A. 130B. 45C. −310D. −1308.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(92)=( )A. −94B. −32C. 74D. 52二、多选题：本题共3小题，共18分。

上海市控江中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷一、填空题1．若集合{1，a }与集合{2，b }相等，则a +b =.2．设全集{}1,2,4,8U =，集合{}2,4A =，则A =.3．设,,a b c ∈R ，若关于x 的等式22231ax bx c x x ++=-+对于任意实数x 恒成立，则a b c -+=.4．设a ∈R ，若{}230,x x x a x -+=∈R 恰有两个元素，则这两个元素的和为. 5．已知关于x 的方程221010x x +*+=的一次项系数被“*”遮挡了.若此方程的一个根为101，则另一个根为.6．设a ∈R ，若12,x a x x ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭R 是集合{}1的真子集，则a 的值为. 7．设全集{}2,3,5,7U =，若{2},3,5,7A B A B A B ⋂=∉∉∈⋂，则A =.8．设a ∈R ，集合{}{}2,,A a a B a ==-，且A B A =U ，则a 的值为.9．设集合M 满足{}{}1,31,2,3,4M ⋃=，则满足条件的所有M 的数目为.10．设a ∈R ，若关于x 的一元二次方程2230x ax a -+-=的两个实根为12,x x ，且121112x x +=，则a 的值为.11．为说明“设,,a b c 是任意实数，若a b c >>，则a b c +>”是假命题，可以在集合{}3,2,1,0,1,2,3---中选取,,a b c 的值，此时(),,a b c 为.12．设集合{}{}{}2,Z ,21,Z ,41,Z A xx k k B x x k k C x x k k ==∈==+∈==+∈∣∣∣.下面命题中，是真命题的命题序号为.①若,a A b B ∈∈，则a b C +∈；②若,a A b C ∈∈，则a b B +∈；③若,a B b C ∈∈，则a b A +∈；④若,a C b C ∈∈，则a b A -∈；⑤若,a B b B ∈∈，则a b ⋅∈C二、单选题13．设t ∈R ，陈述句α：0x >，陈述句β：x t >.若t 使得α是β的充分条件，则t 的取值范围是（ ）.A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()0,∞+D ．[)0,+∞14．集合{}{}221,2,y y x x y y x x =+∈⋂=+∈=R R （ ） A ．∅ B ．[)1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．[]1,215．能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（ ）A ．{}8,x x k k =∈NB ．{}88,x x k k =+∈NC ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,816．设a ∈R ，集合()(){}10M x x x a =--=，则总与M 相同的集合为（ ）A ．{},1aB ．{}{}1a ⋃C ．{}1,x x a ==D ．{}三、解答题17．设k ∈R ，集合{}10P x x =-≤≤，集合{2Q x x k =≥-且}2x k ≤.(1)若k =P Q ⋂；(2)若P Q ⊆，求k 的取值范围.18．设Z,5,20x a x b x ∈=+=-.(1)求证：a b ≠；(2)若Z c ∈，求证：,c a c b ++中至少有一个数是奇数.19．设a ∈R ，集合{}{}220,,20,A x x x a x B a x =-+=∈=-=∈R R . (1)求证：“实数a 使得A ≠∅”是“实数a 使得B ≠∅”的充分非必要条件；(2)是否存在a ，使得A B =？若存在，求出所有可能的a 值；若不存在，说明理由.20．设k ∈Z ，记关于x 与y 的二元一次方程组213y x y kx =+⎧⎨=-⎩的解集为Ωk . (1)求0Ω；(2)是否存在k 的值，使得Ωk =∅若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由；(3)若k 使得Ωk 中的数对(),x y 为正整数数对，即x 与y 均为正整数，求k 的值以及对应的Ωk .21．设,,a b c 为实数，集合()(){}20,S x x a x bx c x =+++=∈R . (1)若1,3,2a b c ===，求S ；(2)若{}2S =-，求,,a b c 满足的条件；(3)设()(){}2110,T x ax cx bx x =+++=∈R ，1,22S T ∈-∈，且集合,S T 均恰有两个元素，求三元数对(),,a b c .。

四川省眉山北外附属东坡外国语学校2022-2023学年高一上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列关系中正确的个数是（）①12Q ∈R ③*0N ∈④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．42．命题“x ∀∈R ，210x x ++≤”的否定为（）A ．x ∃∈R ，210x x ++>B ．x ∀∈R ，210x x ++≥C ．x R ∃∉，210x x ++>D ．x R ∀∉，210x x ++≤3．用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．则图中的阴影部分表示的集合为（）A ．ABC ⋂⋂B ．()U A B C ðC ．()U A B C⋂⋂ðD ．()U A B C ð4．将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩5．若x ，y ∈R ，则0x y +>的一个充分不必要条件（）A ．1x y +>-B ．0x y >>C ．0xy >D ．220x y ->6．已知集合12,6A x x N N x ⎧⎫=∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 的真子集个数为（）A ．32B ．4C ．5D ．317．若集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝4k －1，k ∈Z }，则A ，B ，C 的关系是（）A ．C ⊆A ＝B B ．A ⊆C ⊆B C ．A ＝B ⊆CD ．B ⊆A ⊆C8．对于集合A 、B ，定义集合运算{|A B x x A -=∈且}x B ∉，给出下列三个结论：（1）()()A B B A -⋂-=∅；（2）()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂；（3）若A B =，则A B -=∅；则其中所有正确结论的序号是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）二、多选题9．（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）A ．R x ∃∈，2104x x -+<B ．所有的正方形都是矩形C ．R x ∃∈，2220x x ++=D ．至少有一个实数x ，使310x +=10．已知集合222{2,1,4},{0,2}A a a a B a a =+-=--，5A ∈，则a 为（）A ．2B ．2-C ．5D ．1-11．下面命题正确的是（）A ．“11a<”是“1a >”的充分不必要条件B ．命题“若∀1x <，则21x <”的否定是“存在1x <，则21x ≥”.C ．设,R x y ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件12．给定集合A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，以下结论正确的是（）A ．集合{}0A ＝为闭集合；B ．集合{}42024A =--,，，，为闭集合；C ．集合{}3|A n n k k =∈Z ＝，为闭集合；D ．若集合12A A 、为闭集合，则12A A ⋃为闭集合．三、填空题13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合{},A a b a P b Q =+∈∈，若{}0,2,5P =，{}1,2,6Q =，则A 中元素的个数是______.14．若x ∈R ，则21x x +与12的大小关系为________.15．若“x R ∀∈，21m x ≥-+”是真命题，则实数m 的最小值为______．16．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.四、解答题17．（1）已知ππ22αβ-≤<≤，求αβ-的取值范围；（2）已知0,0a b d c >><<，求证：a bc d<.18．已知集合{}23A x x =-<≤，{}1B x x =<-.(1)求A B ⋂；(2)若全集{}4U x x =≤，求()U A B ∩ð及()()U U A B 痧.19．（1）当502x <<时，求()252-x x 的最大值；（2）已知3x <，求43y x x =+-的最大值.20．已知集合{}2|8120A x x x =-+=.(1)若集合{}21,23B a a =+-，且A B =，求a 的值；(2)若集合{}2|60C x ax x =-+=，且A ∩C ＝C ，求a 的取值范围.21．已知集合{|04}A x x =≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+，是否存在实数a ，使得x A ∈是x B ∈成立的______？(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的a 存在，求出a 的取值范围，若问题中的a 不存在，请说明理由？(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的a 存在，求出a 的取值范围，若问题中的a 不存在，请说明理由．22．（1）已知集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =+<，求A B ⋃；（2）已知集合{}{}24260,0A x x x m B x x =-++==<，若,x A x B ∃∈∈，求实数m 的取值范围.参考答案：1．A【分析】根据集合的概念、数集的表示判断．【详解】12是实数，0不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A ．【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．2．A【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】命题“x ∀∈R ，210x x ++≤”的否定为“x ∃∈R ，210x x ++>”故选：A 3．D【分析】根据阴影部分在集合AB 的公共部分，且不在集合C 中可得答案.【详解】解：由图可知，阴影部分在集合AB 的公共部分，且不在集合C 中，故图中的阴影部分表示的集合为()U A B C ð.故选：D.4．D【分析】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案.【详解】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D 5．B【分析】根据充分与必要条件的推导关系逐个选项判断即可【详解】根据充分与必要条件的关系可知，设p ：“0x y +>”的一个充分不必要条件为q ，则q 能推出p ，但p 不能推出q ；对A ，“1x y +>-”不能推出“0x y +>”，故A 错误；对B ，“0x y >>”能推出“0x y +>”，且“0x y +>”不能推出“0x y >>”，故B 正确；对C ，“0xy >”不能推出“0x y +>”，故C 错误；对D ，“220x y ->”不能推出“0x y +>”，故D 错误故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析，充分条件能推出必要条件，必要条件不能推出充分条件，属于基础题6．D【分析】由条件确定集合A 的元素个数，再求集合A 的真子集个数.【详解】∵126N x∈-∴6x -为12的正约数，又x ∈N ，∴5x =，4，3，2，0∴集合{0,2,3,4,5}A =，∴集合A 的真子集个数为31，故选：D.7．A【分析】由整数的整除性，可得A 、B 都表示奇数集，C 表示除以4余3的整数．将A 、B 、C 尽可能形式表达统一，由此利用集合间的关系求解．【详解】∵A ＝{x |x ＝2(k ＋1)－1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝2·2k －1，k ∈Z }，A B ∴=,C 集合中2k 只能取偶数，C A B∴⊆=故选：A.8．D【分析】由韦恩图分别表示集合A B -，A B ⋂，B A -，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选项.【详解】如图：若A ，B 不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合A B -，A B ⋂，B A -，若A ，B 具有包含关系，不妨设A 是B 的真子集，对于（1）:图1中，()()A B B A -⋂-=∅，图2中A B -=∅，所以()()A B B A -⋂-=∅，故（1）正确；对于（2）：图1中，()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂成立，图2中，()()A B B A B A -⋃-=-，()()A B A B B A ⋃-⋂=-，所以()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂成立，故（2）正确；对于（3）：若A B =，则A B -=∅；故（3）正确；所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3），故选：D.9．AC【分析】AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B.原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题.所以该选项不符合题意；D.原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.【详解】A.原命题的否定为：x ∀∈R ，2104x x -+≥，是全称量词命题；因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B.原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题.所以该选项不符合题意；C.原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程2220x x ++=，22840∆=-=-<，所以2220x x ++>，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D.原命题的否定为：对于任意实数x ，都有310x +≠，如=1x -时，310x +=，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得a 的值.【详解】依题意5A ∈，当215a +=时，2a =或2a =-，若2a =-，则{}{}2,5,12,0,4A B ==，符合题意；若2a =，则220a a --=，对于集合B ，不满足集合元素的互异性，所以2a =不符合.当245a a -=时，1a =-或5a =，若1a =-，则212a +=，对于集合A ，不满足集合元素的互异性，所以1a =-不符合.若5a =，则{}{}2,26,5,0,18A B ==，符合题意.综上所述，a 的值为2-或5.故选：BC 11．BD【分析】对于A ，C ，D ，根据充分条件、必要条件的概念逐项判断可得答案；对于B ，根据全称命题的否定是特称命题可得B 正确.【详解】对于A ，因为11a <0a ⇔<或1a >，所以11a <不能推出1a >；1a >能够推出11a<，所以“11a<”是“1a >”的必要不充分条件.故A 不正确；对于B ，因为命题“若∀1x <，则21x <”的否定是“存在1x <，则21x ≥”.故B 正确；对于C ，因为2x ≥且2y ≥可以推出224x y +≥，而224x y +≥不能推出2x ≥且2y ≥，所以“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件.故C 不正确；对于D ，因为0a ≠不能推出0ab ≠，0ab ≠能够推出0a ≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.故D 正确.故选：BD 12．AC【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断a b A +∈,且a b A -∈是否满足即可得到结论.【详解】对于A ：按照闭集合的定义，000,000,0.A +=-=∈故A 正确;对于B ：当4,2a b =-=-时,()()426a b A +=-+-=-∉.故{}42024A =--,，，，不是闭集合.故B对于C ：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故{}3|A n n k k =∈Z ＝，是闭集合.故C 正确;对于D ：假设{}1|3,Z A n n k k ==∈,{}2|5,Z A n n k k ==∈.不妨取123,5A A ∈∈,但是,12358A A +=∉⋃,则12A A ⋃不是闭集合.故D 错误.故选：AC 13．8【分析】根据已知条件写出A 的所有元素即可．【详解】解：0a =，1b =，1a b +=；0a =，2b =，2a b +=；0a =，6b =，6a b +=；2a =，1b =，3a b +=；2a =，2b =，4a b +=；2a =，6b =，8a b +=；5a =，1b =，6a b +=；5a =，2b =，7a b +=；5a =，6b =，11a b +=；∴集合A 中元素的个数为8．故答案为：8.14．2112x x ≤+【分析】利用作差比较法,将化简后的代数式与0比较大小,得出结论.【详解】∵21x x +－12＝()222121x x x --+＝()22(1)21x x --+≤0，∴21x x +≤12.故答案为:2112x x ≤+【点睛】本题考查不等式的应用,考查作差法比较大小,考查学生的计算能力,属于基础题.15．1【分析】由题意将不等式恒成立转化为最值问题，接着求出函数21y x =-+的最大值，从而m 1≥，从而实数m 的最小值为1.【详解】由题意：对x ∀∈R ，21m x ≥-+恒成立所以2max (1)m x ≥-+，因为21y x =-+是开口向下的抛物线，对称轴是0x =，所以2max (1)1x -+=，m 1≥.故答案为：1.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .16．9【分析】根据题意，设学生54人看成集合U ，选择物理的人组成集合A ，选择化学的人组成集合B ，选择生物的人组成集合C ，选择物理与化学但未选生物的人组成集合D ，结合Venn 图可知，要使区域D 的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.【详解】把学生54人看成集合U ，选择物理的人组成集合A ，选择化学的人组成集合B ，选择生物的人组成集合C ，选择物理与化学但未选生物的人组成集合D .要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn 图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.故答案为：9.17．（1）[)π,0-；（2）证明见解析.【分析】对于（1）（2），分别利用不等式的性质求解和证明.【详解】（1）ππππ,2222αββ-≤<≤∴-≤-< .ππαβ∴-≤-<且0αβ-<，π0αβ∴-≤-<.∴αβ-的取值范围为[)π,0-.（2）因为0d c <<，所以0d c ->->，0dc >因为0a b >>，所以0ad bc ->->，所以0bc ad ->，所以0b a bc ad d c dc --=>，所以a b c d<18．(1){}21A B x x ⋂=-<<-；(2)(){}13U A B x x ⋂=-≤≤ð；()()U U A B 痧{2x x =≤-或}14x -≤≤.【分析】（1）利用交集的定义运算即得；（2）根据补集及交集的定义运算即得.【详解】（1）∵{}23A x x =-<≤，{}1B x x =<-，∴{}21A B x x ⋂=-<<-；（2）因为{}4U x x =≤，{}1B x x =<-，所以{}14U B x x =-≤≤ð，又{}23A x x =-<≤，∴(){}13U A B x x ⋂=-≤≤ð，∵{}23A x x =-<≤，所以{2U A x x =≤-ð或}34x <≤，∴()()U U A B 痧{2x x =≤-或}14x -≤≤.19．（1）254；（2）1-【分析】（1）利用基本不等式求出最大值；（2）变形后利用基本不等式求出最大值.【详解】（1）50,5202x x <<∴-> .()22522525224x x x x +-⎛⎫∴-≤= ⎪⎝⎭（当且仅当252x x =-，即54x =时等号成立）()252x x ∴-的最大值为254.（2）3,30x <x <∴- .443333y x x x x ∴=+=+-+--()4333x x ⎡⎤=-+-+⎢⎥-⎣⎦31≤-=-（当且仅当433x x =--，即1x =时等号成立）∴43y x x =+-的最大值为1-.20．(1)5(2)﹛|0a a =或124a >﹜【分析】（1）利用集合相等的条件求a 的值，但要注意验证；（2）由A ∩C ＝C 得C ⊆A ，再利用集合子集的元素关系求解.【详解】（1）由x 2﹣8x +12＝0得x ＝2或x ＝6，∴A ＝{2，6}，因为A ＝B ，所以221223223616a a a a +=⎧-=⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得155a a a a =⎧=±⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩，故a ＝5.（2）因为A ∩C ＝C ，所以C ⊆A.当C ＝∅时，△＝1﹣24a ＜0，解得a 124＞；当C ＝{2}时，1﹣24a ＝0且22a ﹣2+6＝0，此时无解；当C ＝{6}时，1﹣24a ＝0.且62a ﹣6+6＝0，此时无解或a ＝0.综上，a 的取值范围为1024a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或.21．(1)不存在满足条件的a ，理由见解析(2)若选①，问题中的a 存在，且a 的取值集合{}3M a a =≥，若选②，问题中的a 存在，且a 的取值集合{|1}M a a =≤.【分析】（1）转化为A B =，根据两个集合相等列式可求出结果；（2）若选①，根据A 是B 的真子集列式可求出结果；若选②，根据B 是A 的真子集列式可求出结果.【详解】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则A B =，则10a -=且14a +=，方程组无解.∴不存在满足条件的a .（2）若选①，则A 是B 的真子集，则10a -≤且14a +≥（两等号不同时取），且11a a -≤+，解得3a ≥，∴问题中的a 存在，且a 的取值集合{}3M a a =≥.选②，则B 是A 的真子集，当B =∅时，11a a ->+，即a<0，满足B 是A 的真子集；当B ≠∅时，11a a -≤+，即0a ≥，由B 是A 的真子集，得10a -≥且14a +≤（两等号不同时取），解得01a ≤≤；综上所述：1a ≤.所以问题中的a 存在，且a 的取值集合{|1}M a a =≤.22．（1）{}62A B x x ⋃=-<<；（2）(),3-∞-.【分析】（1）先解出集合B ，再求A B ⋃；（2）把题意转化为关于x 的方程24260x x m -++=存在负根，根据根的分布列不等式组，求出m 的取值范围.【详解】（1）{}{}33|60B x x x x =+<=-<<.因为{}52A x x =-<<，所以{}62A B x x ⋃=-<<.（2）,x A x B ∃∈∈，所以A B ⋂≠∅.即关于x 的方程24260x x m -++=存在负根.当关于x 的方程24260x x m -++=有两负根时，需满足()21212Δ4426040260m x x x x m ⎧=-+≥⎪+=<⎨⎪=+>⎩，无解；当关于x 的方程24260x x m -++=有一负根，另一根为0时，此时需满足12260x x m =+=，解得：120,4x x ==.不符合题意；当关于x 的方程24260x x m -++=有一负根，一正根时，需满足()212Δ44260260m x x m ⎧=-+>⎨=+<⎩，解得：3m <-.所以实数m 的取值范围为(),3-∞-.。

江门市广雅中学2024-2025学年第一学期9月考试高一年级数学试卷（时间150分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}03A x x =≤≤∣，{14}B x x =<<∣，则A B = （ ） A. {13}x x <≤∣B. {04}x x ≤<∣C. {}13xx ≤≤∣ D. {04}x x <<∣【答案】B 【解析】【分析】根据并集知识确定正确答案.【详解】{}=|04A B x x ∪=≤<. 故选：B2. 命题“0x ∀>，210x x ++≥，”的否定是（ ） A. 0x ∃≤，210x x ++< B. 0x ∃>，210x x ++< C. 0x ∃≤，210x x ++≥ D. 0x ∀>，210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案. 【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题, 注意到要否定结论而不是否定条件，所以B 选项符合. 故选：B3. 已知a 、b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是（ ） A. 22a b < B.11a b< C. 33a b < D. ac bc <【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值法可判断出A 、B 、D 三个选项中不等式的正误，利用作差法可判断C 选项中不等式的的正误，由此可得出结论.【详解】对于A 选项，由于a b <，取2a =−，1b =，则22a b >，A 选项中的不等式不成立； 对于B 选项，由于a b <，取1a =，2b =，则11a b>，B 选项中的不等式不成立； 对于C 选项，()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b −=−++=−++，a b < ，所以，a 与b 不可能同时为零，则223024b a b++>，则330a b −<，即33a b <，C 选项中的不等式成立；对于D 选项，取0c =，由于a b <，则ac bc =，D 选项中的不等式不成立. 故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用特殊值法、作差法、不等式的基本性质和函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于基础题.4. 甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：{}0Δ2A x x <<，{}235,03B x x C x x−≤≤<<，然后他们三人各用一句话来正确的描述“Δ”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲､乙､丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B 是A 成立的必要不充分条件；丙：C 是A .则“Δ”中的数字可以是（ ） A. 3或4 B. 2或3C. 1或2D. 1或3【答案】C 【解析】【分析】根据此数为小于5的正整数得到20ΔA x x=<<，再推出C 是A 的真子集，A 是B 的真子集，从而得到不等式，求出2Δ,35∈，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数，故{}20Δ20ΔAx x x x=<<=<<，因为B 是A 成立的必要不充分条件，C 是A 成立的充分不必要条件， 所以C 是A 的真子集，A 是B 的真子集，故22Δ3>且25Δ≤，解得2Δ,35 ∈， 故“Δ”中的数字可以是1或2. 故选：C5. 已知二次函数221=−+y x ax 在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2a ≤或3a ≥ B. 23a ≤≤ C. 3a ≤−或2a ≥− D. 32a −−≤≤【答案】A 【解析】【分析】根据二次函数的性质求解.【详解】二次函数221=−+y x ax 的对称轴为0x a = ，欲使得()2,3x ∈ 时是单调的， 则对称轴0x a = 必须在()2,3 区间之外，即2a ≤ 或者3a ≥ ； 故选：A.6. 若函数223,1()1,1x ax x f x ax x ++≤= +> 是R 上的减函数，则a 的取值范围是A. [3,1]−−B. (,1]−∞−C. [1,0)−D. [2,0)−【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于a 的不等式组，解这个不等式组即可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()f x 是R 上减函数，所以有221201231a a a a −≥< ++≥+，解得31a −≤≤−，故本题选A.【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键. 7. 已知命题p ：x ∀∈R ，210ax ax −+>；q ：x ∃∈R ，20x x a −+=.均为真命题，则a 的取值范围是（ ） A. (),4−∞ B. [)0,4 C. 10,4D. 10,4的【答案】D 【解析】 【分析】210ax ax −+>，分0a =和0a ≠，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出p 为真命题，需满足04a ≤<，再利用根的判别式得到q 为真命题，需满足14a ≤，求交集得到答案. 【详解】210ax ax −+>恒成立，当0a =时，10>，满足要求， 当0a ≠时，需满足2Δ40a a a >=−<，解得04a <<， 故p 为真命题，需满足04a ≤<，x ∃∈R ，20x x a −+=，则140a ∆=−≥，解得14a ≤， 故q 为真命题，需满足14a ≤， 综上，a 的取值范围为[)010,4,41,4 −∞=故选：D8. 对任意实数,a b 定义运算“ ”，,,,b a b a b a a b≥ = < ，设2()(2)(4)f x x x =−− ，有下列四个结论： ①()f x 最大値为2；②()f x 有3个单调递减区间； ③()f x 在3[,1]2−−是减函数； ④()f x 图象与直线y m =有四个交点，则02m ≤<，其中正确结论有（ ） A. 4 个 B. 3 个C. 2 个D. 1 个【答案】C 【解析】【分析】根据f x （）的解析式，作出f x （）的图象，根据图象判断每个选项是否正确. 【详解】根据定义，作出f x （）的图象（实线部分），可知当2x =±或0时，f x （）取得最大值2，①正确；f x （）单调递减区间为[2,)−+∞，所以②正确；由图象可知，f x （）在3,12−−上不单调，③错误；要使f x （）图象与直线y m =有四个交点，则0m =，④不正确.故答案为C.【点睛】以新定义运算为背景，设计出函数性质与图象的综合问题，考查函数的最大值、单调性、图象综合性问题，重在考查学生的转化能力和作图能力，属于中档题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 21x ≤的一个充分不必要条件是（ ） A. 10x −≤< B. 1x ≥C. 01x <≤D. 11x −≤≤【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式21x ≤，求得11x −≤≤，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式21x ≤，可得11x −≤≤，结合选项可得： 选项A 为21x ≤的一个充分不必要条件； 选项B 为21x ≤的一个既不充分也不必要条件； 选项C 为21x ≤的一个充分不必要条件； 选项D 为21x ≤的一个充要条件, 故选：AC.10. 下列各组函数能表示同一个函数的是（ ）A. ()()f x g x x =B. ()()2,x f x x g x x==C. ()()f x g x ==D. ()()222,2f x x x g u u u =−=− 【答案】AD 【解析】【分析】根据定义域、值域和对应法则判断即可.【详解】()f x 的定义域为R ，()g x 定义域为R ，即定义域一样，且()||()f x x g x ==，即值域一样，故能表示同一个函数，故A 选项符合题意；()f x 的定义域为R ，()g x 定义域为0x ≠，定义域不一样，故不能表示同一函数，故B 选项不符合题意；()f x 定义域为[2,)+∞(],2∞∪−−，()g x 定义域为[2,)+∞，二者定义域不一样，故不能表示同一函数，故C 选项不符合题意；()f x 定义域为R ，()g u 定义域为R ，且对应法则一样，值域一样，故能表示同一函数，故D 选项正确.故选：AD11. 已知正实数x ，y 满足xy x y =+，则下列结论正确的是（ ） A. xy 的最小值为4 B. 2x y +的最小值为3+ C. 22x y +的最大值为8 D.112x y+的最小值为4 【答案】AB 【解析】【分析】由基本不等式及“1”代换求xy 、2x y +的最值，由基本不等式求得4x y +≥，结合二次函数性质求222()2()x y x x y y +=+−+的最值，由1111(1)22x y x +=+且101x<<求范围，即可判断各项正误. 【详解】由题设111x y+=且0,0x y >>，111x y +=≥114xy ≤，故4xy ≥，当且仅当2xy ==时取等号，A 对；1122(2)()333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=+，当且仅当1x y +等号，B 对；的22222()2()2()(1)1x y xy x y x x y x y y =+−=+−=+−++−，而2()4x y xy x y +=+≤，整理有2()4()0x y x y +−+≥，则4x y +≥，当且仅当2xy ==时取等号， 所以22x y +≥8，即2xy ==时取等号，C 错； 1121111()(1)2222x y x y x y xy xy x x +++==+=+，而101x<<，故111(,1)22x y +∈，D 错. 故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()f x 的图象如图所示，则()()2ff =______.【答案】4 【解析】【分析】根据函数()f x 的图象，先求得()2f 的值，进而求得()()2f f 的值，得到答案.【详解】由函数()f x 的图象，可得()20f =，则()()()204f f f ==.故答案为：4.13. 函数()f x =的单调递增区间是__________.【答案】[3,)+∞ 【解析】【分析】首先求出函数()f x 的定义域，令256t x x =−+，分别求出256t x x =−+和y =的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出()f x 的单调递增区间. 【详解】因为2560x x −+≥，得(2)(3)0x x −−≥，得2x ≤或3x ≥， 解得函数()f x 的定义域为(,2][3,)−∞∪+∞.令256t x x =−+，y =在[0,)+∞单调递增.因为函数256t x x =−+在[3,)+∞单调递增，由复合函数的单调性知：()f x =[3,)+∞单调递增.故答案为：[3,)+∞【点睛】本题主要考查符合函数的单调性，特别注意先求定义域，利用复合函数“同增异减”为解题的关键，属于容易题.14. 已知关于x 的不等式()())R (110ax x a +−≤∈，若2a =−，则该不等式的解集是______，若该不等式对任意的11x −≤≤均成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】 ①. [)1,1,2−∞+∞， ②. []1,1−.【解析】【分析】代入2a =−，化简可得 ()()2110x x −−≥，根据一元二次不等式解法求结论，当1x =时由条件求a 的取值范围，当1<1x ≤−时，化简不等式，由条件求a 的取值范围，由此可得结论. 【详解】当2a =−时，不等式()()110ax x +−≤可化为()()2110x x −+−≤， 所以()()2110x x −−≥， 所以1x ≥或12x ≤， 所以不等式()()2110x x −+−≤的解集是[)1,1,2∞∞ −∪+，由已知对任意的11x −≤≤，不等式()()110ax x +−≤恒成立，当1x =时，()()110ax x +−=，此时R a ∈， 当1<1x ≤−时，不等式()()110ax x +−≤，可化为10ax +≥， 所以()min 10ax +≥，其中1<1x ≤−， 所以1010a a −+≥+≥，所以11a −≤≤，所以不等式对任意的11x −≤≤均成立时，a 的取值范围是[]1,1−. 故答案为：[)1,1,2∞∞ −∪+，[]1,1−.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合{}240A x x=−<，{}012B x x =≤−≤.（1）求A B ；（2）若集合{}11C x m x m =−≤≤+，A C ∩=∅，求实数m 的取值集合. 【答案】（1）{|23}x x −<≤； （2）{|3m m ≤−或3}m ≥. 【解析】【分析】（1）求解不等式，从而求得集合,A B ，再求并集即可； （2）根据交集为空集，结合（1）中所求，列出对应的不等式，求解即可. 【小问1详解】因为{}240A x x=−<{|22}x x =−<<，{}012B x x =≤−≤{|13}x x =≤≤，故可得：A B {|23}x x =−<≤. 【小问2详解】因为{|22}Ax x =−<<，{}11C x m x m =−≤≤+，且A C ∩=∅， 故可得：12m +≤−或12m −≥3m ≤−或3m ≥， 故实数m 的取值范围为：{|3m m ≤−或3}m ≥. 16. 已知函数()1f x x x=+. （1）请用定义证明函数()f x 在()0.1上单调递减；（2）若存在11,42x ∈，使得210x ax −+≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）17(,]4−∞ 【解析】【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义与判定方法，即可求解；（2）根据题意，转化为存在11,42x ∈ ，使得1a x x ≤+，由（1）得到()f x 在11,42上为单调递减函数，求得()f x 的最大值，即可求解. 【小问1详解】证明：任取()12,0.1x x ∈且12x x <， 则()()122121212121211211111()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x −−+−−−+−−⋅， 因为()12,0.1x x ∈且12x x <，可得210x x −>，且1201x x <<，所以1210x x −<， 所以()()122121121()0x x f x f x x x x x −−=−⋅<，即()()12f x f x >， 所以函数()f x 在()0.1上为单调递减函数. 【小问2详解】解：由11,42x ∈ ，不等式210x ax −+≥可化为211x a x x x+≤=+，因为存在11,42x ∈，使得210x ax −+≥成立，即max 1()a x x ≤+，由（1）知，函数()1f x x x =+在11,42x∈为单调递减函数， 所以()max 11()444f x f ==+=174a ≤，即实数a 的取值范围17(,]4−∞.17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()()()253025050251x x W x x x +≤≤= −<≤ +，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（1）求()f x 的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）()27530225,0275075030,251x x x f x x x x −+≤≤= −−<≤ +（2）4千克时，利润最大480元.【解析】【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式；（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可.【小问1详解】由已知()()27530225,0215201075075030,251x x x f x W x x x x x x −+≤≤ =−−= −−<≤ +； 【小问2详解】由（1）得()2175222,025********,251x x f x x x x −+≤≤ = −++<≤ +， 即由二次函数的单调性可知，当[]0,2x ∈时，()()max2465f x f ==， 由基本不等式可知当(]2,5x ∈时，()25780301780304801f x x x =−++≤−×+， 当且仅当4x =时取得最大值，综上，当4x =时取得最大利润，最大利润为480元.18. 已知函数2()2y x a b x a =−++． （1）若关于x 的不等式0y <的解集为{|12}x x <<，求a ，b 的值；（2）当2b =时，解关于x 的不等式0y >．【答案】（1）1a =，2b =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意可得关于x 的方程2()20x a b x a −++=的两个根为1和2，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）依题意可得()(2)0x a x −−>，再分2a <、2a =、2a >三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】因为关于x 的不等式0y <的解集为{|12}x x <<，所以关于x 的方程2()20x a b x a −++=的两个根为1和2，∴322a b a += = ，解得1a =，2b =； 【小问2详解】当2b =时，原不等式可化为2(2)20x a x a −++>，即()(2)0x a x −−>，当2a <时，解得x a <或2x >；当2a =时，解得2x ≠；当2a >时，解得2x <或x a >；综上可知，当2a ≤时，原不等式的解集为()(),2,a −∞+∞ ；当2a >时，原不等式的解集为()(),2,a −∞+∞ ．19. 已知()f x 是二次函数，且满足()()()02,123f f x f x x =+−=+．（1）求函数()f x 解析式；（2）设函数()()()2g x f x t x =−+，求()g x 在区间[]1,2上的最小值()h t 的表达式．（3）在（2）的条件下，对任意的[]0,6t ∈，存在[]0,2m ∈，使得()28h t mk mk m ≤+−+成立，求k的取值范围．【答案】（1）()222f x x x =++ （2）()23,22,24462,4t t t h t t t t −≤ =−<< −≥ （3）2k ≥或3k ≤−【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）求出()g x 的对称轴为2t x =，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为()()()2max max 8h t mk mk m ≤+−+，求出()()max 6h t =，然后得到不等式()21140k k m ++−≥，对21k k ++进行分类讨论求解． 【小问1详解】的设()()20f x ax bx c a ++≠， ()02,f =()02f c ∴==又()()123,f x f x x +−=+()22(1)12223a x b x ax bx x ∴++++−−−+即223ax a b x +++，223a a b = ∴ +=， 解得12a b = = ， 即()222f x x x =++， 【小问2详解】由题意得，()()()222g x f x t x x tx =−+=−+， 则二次函数()g x 的对称轴为2t x =， 若2t ≤时，12t ≤，当1x =时，()g x 的最小值为3t −； 若24t <<时，122t <<，当2t x =时，()g x 的最小值为224t −； 若4t ≥时，22t ≥，当2x =时，()g x 最小值为62t −； 所以()23,22,24462,4t t t h t t t t −≤ =−<< −≥ ； 【小问3详解】在（2）的条件下，对任意的[]0,6t ∈，存在[]0,2m ∈， 使得()28h t mk mk m ≤+−+成立， 即()()()2max max 8h t mk mk m ≤+−+，作如下图形：的故()23,22,24462,4t t t h t t t t −≤ =−<< −≥ 是单调递减函数， []0,6t ∈ ，当0t =时，()03h =，当6t =时，()66h =−， ()max 6h t ∴=， ()[]2max 86,0,2mk mk m m ∴+−+≥∈，()[]2max 1140,0,2k k m m ∴++−≥∈ ， 因为22133100244k k k ++==−+≥>所以2m =时()2114k k m ++−取最大值，所以不等式()221140k k ++−≥，解得：2k ≥或3k ≤−；综上所述：2k ≥或3k ≤−．【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键．。

安平中学2024-2025学年第一学期第一次月考高一年级数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．22．命题“”的否定是A ．B ．C ．D ．3．满足的集合的个数A ．4B ．8C ．15D ．164.已知，且，，，则取值不可能为A. B. C. D. 5．已知，，若，则A. 2 B. 1 C. D. 6．若则一定有A ．B ．C ．D ．7.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是A ． B ． C ． D ．8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是A. 6B. 5C. 7D. 8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．下面命题正确的是{}2,1,0,1,3M =--{}32N x x =-≤≤M N ⋂={}2,1,0,1--∅{}2,1,1--0x x x ∃∈+R ，＜0x x x ∃∈+R ，≤0x x x ∃∈+R ，≥0x x x ∀∈+R ，＜0x x x ∀∈+R ，≥{}{}11234A ⊆⊆，，，Z a ∈{(,)|3}A x y ax y =-≤(2,1)A ∈(1,4)A -∉a 1-012{}1,,A x y ={}21,,2B x y =A B =x y -=14230,0,a b c d >><<a b c d >a b c d <a b d c >a b d c<{}21≤≤∈∀x x x 20x a -≤4a ≥5a ≥4a ≤5a ≤A ．“”是“”的充分不必要条件B ．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件C ．“且”是“”的充要条件D ．设，则“”是“”的必要不充分条件10.下列四个命题中正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则11.已知集合，，且，，则下列判断正确的是A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2015-2016学年某某省某某市文华高中高一（上）9月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{a，b，c}当中的元素是△ABC的三边长，则该三角形是（）A．正三角形 B．等腰三角形C．不等边三角形 D．等腰直角三角形2．集合{1，2，3}的子集共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个3．已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．4．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定5．已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＜2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2≤x＜2}6．下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅=∅，其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=8．函数的定义域是（）A．（﹣∞，3）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）∩（3，+∞）D．（﹣∞，3）∪（3，+∞）9．设集合M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }，则M∪N中元素的个数为（）A．11 B．10 C．16 D．1510．设U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U A）∩（∁U B）={1，5}，则下列结论正确的是（）A．3∉A，3∉B B．3∉A，3∈B C．3∈A，3∉B D．3∈A，3∈B11．函数f（x）=x2﹣2x∈{﹣2，﹣1，0，1}的值域是（）A．{2，﹣1，﹣2} B．{2，﹣1，﹣2，﹣1} C．{4，1，0，﹣1} D．[2，﹣1，﹣2]12．已知f（x）=3x2+1，则f[f（1）]的值等于（）A．25 B．36 C．42 D．49二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．{x|x＞3}用区间表示为，{x|﹣2≤x≤5}用区间表示为，{x|﹣2≤x＜5}用区间表示为．14．0N，Q，N*， Z．15．如图，全集为U，A和B是两个集合，则图中阴影部分可表示为．16．若A={1，4，x}，B={1，x2}，且A∩B=B，则x=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，某某数a的取值集合．18．设A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，当a为何值时，①A∩B=∅；②A∩B≠∅；③A⊆B．19．已知函数（1）求函数的定义域（2）求f（4）20．已知函数，（1）点（3，14）在函数的图象上吗？；（2）当x=4时，求g（x）的值；（3）当g（x）=2时，求x的值．21．已知f（x）=，求f（f（3））的值．22．已知集合U={x|﹣3≤x≤3}，M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}．求：（1）集合N；（2）集合M∩（C U N）；（3）集合M∪N．2015-2016学年某某省某某市文华高中高一（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{a，b，c}当中的元素是△ABC的三边长，则该三角形是（）A．正三角形 B．等腰三角形C．不等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【专题】阅读型；集合思想；分析法；集合．【分析】由集合中元素的互异性可知，a，b，c互不相等，又a，b，c是△ABC的三边长，由此可得三角形的形状．【解答】解：由集合中元素的互异性可知，a，b，c互不相等，又a，b，c是△ABC的三边长，∴该三角形是不等边三角形．故选：C．【点评】本题考查集合中元素的互异性，考查了三角形形状的判断，是基础题．2．集合{1，2，3}的子集共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【考点】子集与真子集．【专题】计算题．【分析】集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个．故选：D．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．3．已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】集合．【分析】先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．∵M={﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．4．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定【考点】元素与集合关系的判断．【专题】分类讨论．【分析】从集合A只有一个元素入手，分为a=0与a≠0两种情况进行讨论，即可得到正确答案．【解答】∵A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，当a=0时，A={x|2x+1=0}，即A={}．当a≠0时，需满足△=b2﹣4ac=0，即22﹣4×a×1=0，a=1．∴当a=0或a=1时满足A中只有一个元素．故答案为：B【点评】本题考查了元素与集合的关系，需分情况对问题进行讨论，为基础题．5．已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＜2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2≤x＜2}【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．【专题】集合．【分析】求出f（x）的定义域确定出M，求出g（x）的定义域确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由f（x）=，得到2﹣x＞0，即x＜2，∴M={x|x＜2}，由g（x）=，得到x+2≥0，即x≥﹣2，∴N={x|x≥﹣2}，则M∩N={x|﹣2≤x＜2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6．下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅=∅，其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】集合的含义．【专题】阅读型．【分析】据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①⑤错，∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对【解答】解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错对于②，∅是任意集合的子集，故②对对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错故选C【点评】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素．7．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的函数是同一函数，它们的图象相同．【解答】解：对于A，f（x）=x（x∈R），与g（x）=（）2=x（x≥0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于B，f（x）=x2（x∈R），与g（x）=（x+1）2（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数，图象不同；对于C，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于D，f（x）=|x|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数，图象相同．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．8．函数的定义域是（）A．（﹣∞，3）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）∩（3，+∞）D．（﹣∞，3）∪（3，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分式函数的定义域求解．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣3≠0，所以x≠3，即函数的定义域为（﹣∞，3）∪（3，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查分式函数的定义域，比较基础．9．设集合M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }，则M∪N中元素的个数为（）A．11 B．10 C．16 D．15【考点】并集及其运算．【专题】集合思想；分析法；集合．【分析】直接由M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }，找出M、N中的元素，则M∪N中元素的个数可求．【解答】解：∵M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}={﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，∴M∪N={﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3}∪{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}={﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}．则M∪N中元素的个数为：16．故选：C．【点评】本题考查了并集及其运算，是基础题．10．设U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U A）∩（∁U B）={1，5}，则下列结论正确的是（）A．3∉A，3∉B B．3∉A，3∈B C．3∈A，3∉B D．3∈A，3∈B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用集合间的关系画出韦恩图，结合韦恩图即可得到答案．【解答】解：因为：U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U A）∩（∁U B）={1，5}，对应的韦恩图为：故只有答案C符合．故选：C．【点评】本题考查集合的表示法，学会利用韦恩图解决集合的交、并、补运算．11．函数f（x）=x2﹣2x∈{﹣2，﹣1，0，1}的值域是（）A．{2，﹣1，﹣2} B．{2，﹣1，﹣2，﹣1} C．{4，1，0，﹣1} D．[2，﹣1，﹣2] 【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件，x取﹣2，﹣1，0，1时，可以求出对应的f（x）的值为2，﹣1，﹣2，﹣1，这样便可得出f（x）的值域．【解答】解：x∈{﹣2，﹣1，0，1}；∴f（x）∈{2，﹣1，﹣2}；∴f（x）的值域为{2，﹣1，﹣2}．故选A．【点评】考查函数值域的概念，定义域为孤立点函数的值域的求法，以及列举法表示集合．12．已知f（x）=3x2+1，则f[f（1）]的值等于（）A．25 B．36 C．42 D．49【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：f（x）=3x2+1，则f（1）=3+1=4，f[f（1）]=f（4）=3×42+1=49．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，解析式的应用，考查计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．{x|x＞3}用区间表示为（3，+∞），{x|﹣2≤x≤5}用区间表示为[﹣2，5]，{x|﹣2≤x＜5}用区间表示为[﹣2，5）．【考点】区间与无穷的概念．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用区间的表示求解即可．【解答】解：{x|x＞3}用区间表示为：（3，+∞）；{x|﹣2≤x≤5}用区间表示为：[﹣2，5]；{x|﹣2≤x＜5}用区间表示为：[﹣2，5）；故答案为：：（3，+∞）；[﹣2，5]；[﹣2，5）；【点评】本题考查区间与集合的表示，是基础题．14．0∈N，∉Q，∈N*，∉ Z．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合思想；演绎法；集合．【分析】分析给定元素的分类，进而可得元素与集合的关键．【解答】解：0是自然数，故0∈N，是无理数，故∉Q，=4是正整数，故∈N*，是分数，故∉Z；故答案为：∈，∉，∈，∉【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，熟练掌握各种数集的字母表示，是解答的关键．15．如图，全集为U，A和B是两个集合，则图中阴影部分可表示为C U（A∪B）．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；数形结合；定义法；集合．【分析】根据所给图形知，阴影部分所表示的集合代表着不在集合A∪B中的元素组成的．【解答】解：∵图中阴影部分所表示的集合中的元素为不在集合A∪B中元素，即为C U（A∪B），故答案为：C U（A∪B）．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．16．若A={1，4，x}，B={1，x2}，且A∩B=B，则x= 0，2，或﹣2 ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由A∩B=B转化为B⊆A，则有x2=4或x2=x求解，要注意元素的互异性．【解答】解：∵A∩B=B∴B⊆A∴x2=4或x2=x∴x=﹣2，x=2，x=0，x=1（舍去）故答案为：﹣2，2，0【点评】本题主要考查集合的子集运算，及集合元素的互异性．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，某某数a的取值集合．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】利用子集的定义，即可解得实数a的取值集合．【解答】解：∵集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，∴a≥4∴实数a的取值集合为{a|a≥4}．【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于以不等式为依托，求集合的子集的基础题，也是高考常会考的题型．18．设A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，当a为何值时，①A∩B=∅；②A∩B≠∅；③A⊆B．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】①由A与B，以及A与B的交集为空集，确定出a的X围即可；②由A与B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的X围即可；③由A与B，以及A是B的子集，确定出a的X围即可．【解答】解：①∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，A∩B=∅，∴，解得：﹣1≤a≤2；②∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，A∩B≠∅，∴a＜﹣1或a＞2；③∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，A⊆B，∴a+3＜﹣1或a＞5，解得：a＜﹣4或a＞5．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19．已知函数（1）求函数的定义域（2）求f（4）【考点】函数的定义域及其求法；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用分母不为0，开偶次方被开方数非负，列出不等式组求解即可．（2）利用函数的解析式直接求解函数值即可．【解答】解：（1）要使函数有意义，自变量的取值需要满足．函数的定义域为：（0，+∞）．（2）=．【点评】本题考查函数的定义域的求法，函数值的求法，是基础题．20．已知函数，（1）点（3，14）在函数的图象上吗？；（2）当x=4时，求g（x）的值；（3）当g（x）=2时，求x的值．【考点】函数的值；函数的图象．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）把x=3代入g（x），求出g（3）的值，即可作出判断；（2）把x=4代入g（x），求出g（x）的值即可；（3）根据g（x）=2，求出x的值即可．【解答】解：（1）把x=3代入得：g（3）==﹣≠14，则点（3，14）不在函数的图象上；（2）把x=4代入得：g（4）==﹣3；（3）根据g（x）=2，得到=2，解得：x=14．【点评】此题考查了函数的值，以及函数的图象，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．已知f（x）=，求f（f（3））的值．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求值即可．【解答】解：f（x）=，f（f（3））=f（32+1）=f（10）=10﹣5=5，∴f（f（3））=5．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础题．22．已知集合U={x|﹣3≤x≤3}，M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}．求：（1）集合N；（2）集合M∩（C U N）；（3）集合M∪N．【考点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算．【专题】常规题型；转化思想．【分析】（1）由集合U={x|﹣3≤x≤3}，C U N={x|0＜x＜2}，利用数轴即可解答；（2）由M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}结合数轴即可获得解答；（3）结合（1）由数轴即可获得解答．．【解答】解：（1）∵U={x|﹣3≤x≤3}，C U N={x|0＜x＜2}．∴N={x|﹣3≤x≤0或2≤x≤3}；（2）∵M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}．∴M∩（∁U N）={x|0＜x＜1}；（3）由（1）知N={x|﹣3≤x≤0或2≤x≤3}又∵M={x|﹣1＜x＜1}∴M∪N={x|﹣3≤x＜1或2≤x≤3}．【点评】本题考查的是集合的交集、并集、补集及其运算．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想以及集合交并补的运算．值得同学们体会反思．。

上海市闵行区七宝中学2021-2022高一数学上学期9月月考试题（含解析）一：填空题。

1.点(2,3)P -关于y 轴对称的点的坐标为________ 【答案】(2,3) 【解析】 【分析】根据点关于y 轴对称点的特征，求得P 点关于y 轴的对称点.【详解】点关于y 轴对称，横坐标相反，纵坐标相同，故()2,3P -关于y 轴对称点的坐标为()2,3.故填：()2,3.【点睛】本小题主要考查点关于y 轴对称点的特征，属于基础题.2.函数y =x 的取值范围是________ 【答案】35x <≤ 【解析】 【分析】根据分母不为零，偶次方根被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数定义域.【详解】依题意3050x x ->⎧⎨-≥⎩，解得35x <≤.故填：35x <≤.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要考虑分式的分母、偶次方根的被开方数，属于基础题.3.已知反比例函数ky x=（0k ≠），当0x <时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y kx k=-的图像不经过第________象限【答案】三 【解析】 【分析】根据反比例函数的单调性求得k 的范围，由此判断出一次函数不经过的象限. 【详解】由于函数k y x=0x <时递增，故k 0<，由()1y kx k k x =-=-可知，直线过()1,0，且斜率小于零，由此可判断一次函数y kx k =-不经过第三象限.故填：三.【点睛】本小题主要考查反比例函数的单调性，考查一次函数过定点以及一次函数经过的象限，属于基础题.4.x =-的解的集合为________ 【答案】{}1- 【解析】 【分析】先求得x 的范围，然后两边平方求得方程的解的集合.【详解】依题意0x -≥，解得0x ≤x =-两边平方得22x x +=，解得1x =-或2x =，由于0x ≤，故1x =-，所以方程的解的集合为{}1-.故填：{}1-.【点睛】本小题主要考查含有根式的方程的解法，解题过程中要注意x 的取值范围，属于基础题.5.反比例函数2y x=的图像与一次函数y x b =-+的图像在第一象限内有交点，则b 的最小值为________【答案】【解析】 【分析】联立一次函数和反比例函数的解析式，利用判别式为非负数且0b>列不等式组，解不等式组求得b的最小值.【详解】由于反比例函数2yx=过第一、三象限，一次函数y x b=-+斜率为10-<，两个函数公共点在第一象限，故0b>，由2yxy x b⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y得220x bx-+=，其判别式280b-≥，结合0b>解得22b≥，故b的最小值为22.故填：22.【点睛】本小题主要考查反比例函数、一次函数的图像交点问题，考查一元二次方程有解的条件，属于基础题.6.如图，过△ABC的重心G作BC的平行线，分别交AB、AC于点E、F，若4EF=，则BC=_______【答案】6【解析】【分析】根据三角形重心的性质列方程，解方程求得BC的长.【详解】由于G是三角形ABC的重心，且//EF BC，所以23EFBC=，所以362EFBC==. 故填：6.【点睛】本小题主要考查三角形重心的性质，考查平行线的性质，属于基础题.7.已知0x y z++≠，a、b、c均不为0，且xay z=+，ybx z=+，zcx y=+，则111a b ca b c++=+++_______【答案】1【解析】 【分析】化简已知条件，由此求得表达式的化简结果. 【详解】由xa y z=+，yb x z=+，zc x y=+得1,1,1x y z x y z x y za b c y z x z x y ++++++=+=+=++++，所以111,,111y z x z x y a x y z b x y z c x y z +++===+++++++++，所以111a b ca b c ++=+++1x y z x y z x y z x y z++=++++++. 故填：1.【点睛】本小题主要考查代数式的运算，属于中档题.8.已知点(1,1)A 和点(3,2)B ，在直线y x =-上有一个点P ，满足PA PB +最小，则PA PB +的最小值是________ 【答案】5 【解析】 【分析】根据对称性求得A 关于直线y x =-对称点的坐标'A ，由'A B 求得PA PB +的最小值.【详解】由于()1,1A 在y x =上，所以点A 关于直线y x =-的对称点为()'1,1A --，所以PA PB +的最小值为'5A B ==.故填：5.【点睛】本小题主要考查点关于直线对称点问题，考查类似将军饮马的最短距离和问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9.已知方程|53||54|7x x ++-=，则x 的取值范围是_______ 【答案】3455x -≤≤ 【解析】 【分析】化简原方程，利用绝对值的几何意义，求得x 的取值范围. 【详解】由|53||54|7x x ++-=得347555x x ++-=，方程表示数轴上到35和45的距离和为75的点，而35和45的距离是75，故符合题意的x 的范围是3455x -≤≤.故填：3455x -≤≤. 【点睛】本小题主要考查利用绝对值的几何意义解方程，属于基础题.10.关于x 方程221(43|43|)2x x x x k -+--+=有两个不同的根，则k 的取值范围是_____ 【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】根据x 的取值范围去绝对值，求得方程左边的表达式，根据方程根的个数，结合图像，求得k 的取值范围.【详解】当1x ≤或3x ≥时，方程为0k =，不符合题意.当13x <<时，方程为()()2431,3x x k x -+=∈，画出()()2431,3y x x x =-+∈的图像如下图所示，由图可知，要使方程()()2431,3x x k x -+=∈有两个不相同的根，则需()1,0k ∈-. 故填：(1,0)-.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的方程的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知集合{1,2,3,,}M n =⋅⋅⋅（1n >，*n ∈N ），则M 的所有非空子集的元素和为_______（只需写出数学表达式）【答案】22()2n n n -+⋅【解析】 【分析】求得含1个元素的子集的元素和、求得含2个元素的子集的元素和、以此类推，求得含n 个元素的子集的元素和，然后相加，求得M 所有非空子集的元素和. 【详解】含1个元素的子集的元素和为()()11112n n n C C -+++⋅-，含2个元素的子集的元素和为()()22112n n n C C -+++⋅-，……以此类推含1n -个元素的子集的元素和为()()11112n n n n n C C ---+++⋅-，含n 个元素的子集的元素和为()12n n n C +++⋅.上述n 个式子相加得()()()1212111112nn n n nn n n n n C C CCCC----+⎡⎤+++++++⎣⎦()2122222n n n n n n --+=⋅=+⋅. 故填：()222n n n -+⋅.【点睛】本小题主要考查集合非空子集元素和的计算，考查等差数列前n 项和公式，考查二项式展开式的二项式系数和公式，属于中档题.12.当一个非空数集F 满足条件“若,a b F ∈，则+a b ，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈”时，称F 为一个数域，以下四个关于数域的命题： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2019F ∈； （3）集合{|3,}P x x k k ==∈Z 为数域； （4）有理数集为数域；其中，真命题的编号为________（写出所有真命题的编号） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】根据新定义数域的概念，对四个命题逐一分析，由此得出真命题的编号. 【详解】对于（1），当a b =时，0a b F -=∈，故（1）正确. 对于（2），当a b =时，1aF b=∈，所以11,21,,20181+++都是F 的元素，故（2）正确.对于（3）由于33,3P P ∈∉，故P 不是数域.对于（4）有理数集满足,a b F ∈，则+a b ，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈.故（4）正确.综上所述，正确的命题编号为：（1）（2）（4）. 故填：（1）（2）（4）.【点睛】本小题主要考查新定义集合的理解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题.二.选择题13.已知关于x 的一次函数27y mx m =+-在15x -≤≤上的函数值总是正的，则m 的取值范围是（ ） A. 7m > B. 1mC. 17m ≤≤D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的单调性列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.【详解】由于一次函数是单调函数，依题意有2705270m m m m -+->⎧⎨+->⎩，解得7m >，故选A.【点睛】本小题主要考查一次函数的性质，考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.14.m 是一个完全平方数，则（ ） A. 1m -一定是完全平方数 B. 1m -一定不是完全平方数 C. 2m +一定是完全平方数 D. 2m +一定不是完全平方数【答案】D 【解析】对m 取特殊值，排除错误选项，从而得出正确结论.【详解】当4m =时，13m -=不是完全平方数，26m +=不是完全平方数，由此排除A,C 两个选项.当1m =时，10m -=是完全平方数，由此排除B 选项.故本小题选D. 【点睛】本小题主要考查完全平方数的特点，考查特殊值解选择题的方法，属于基础题.15.如图，反比例函数3y x=-（0x >）图像经过矩形OABC 边AB 的中点E ，交边BC 于F 点，连结EF 、OE 、OF ，则△OEF 的面积是（ ）A.32B.94C.73D.52【答案】B 【解析】 【分析】设出A 点坐标，求得,,B E F 的坐标，利用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求得三角形OEF 的面积.【详解】设(),0,0A a a >，则366,,,,,2a E a B a F a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矩形OABC 的面积为66a a ⋅=，三个直角三角形的面积为131********222222424a a a a a a ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=，所以三角形OEF 的面积为159644-=，故选B. 【点睛】本小题主要考查反比例函数上点的坐标的特点，考查利用割补法求三角形面积，属于基础题.16.如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解有n （*n ∈N ）个，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(,)a b 共有（ ）个A. 17个B. 64个C. 81个D. 72个【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式组求得x 的取值范围，根据整数解的情况，确定有序对的个数. 【详解】由9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩得98a bx ≤<，不妨设1n =，故a 可取1,2,3,4,5,6,7,8,9共9种可能，b 可取9,10,11,12,13,14,15,16共8种可能，可以满足整数解有1个，为1.所以有序数对(),a b 共有9872⨯=个，故选D.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，考查分步计数原理，考查整数的性质，考查分析与思考的能力，属于基础题.三.解答题17.求3232x x x ++-除以2x -的商式与余数. 【答案】商式23715x x =++，余式28=. 【解析】 【分析】设商为2ax bx c ++，利用()()22x ax bx c -++的展开式与3232x x x ++-比较，求得,,a b c的值，进而求得商式和余式.【详解】设商为2ax bx c ++，()()22x ax bx c -++()()32222ax b a x c b x c =+-+--，所以32121a b a c b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得3,7,15a b c ===，()()223715x x x -++22330x x x =++-，由()32223233028x x x x x x ++--++-=可知，余式为28.【点睛】本小题主要考查多项式除法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18.如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.【参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数】【答案】202m【解析】【分析】利用梯形面积，减去弓形面积，求得阴影部分面积.【详解】连接,,OA OB AB ，过O 作OG CD ⊥交AB 于E ，交劣弧AB 于F .过A 作AH CD ⊥交CD 于H ，过B 作BI CD ⊥交CD 于I .由于228AB AE BE ===，5OB OA ==，所以3,2,3OE FE OF OE EG EF FG ==-==+=，所以3AH BI ==，在直角三角形ADH 中，3tan ,tan 56,2AH D DH DH DH===，同理求得2CI =，所以28212CD =++=，故梯形ABCD 的面积为8123302+⨯=.在直角三角形OAE 中4sin 0.85AOE ∠==，故53,106AOE AOB ∠≈∠=，所以扇形OAFB 的面积为1063522360⨯⨯≈，而三角形AOB 的面积为183122⨯⨯=，所以弓形AFB 的面积为221210-=，故阴影部分面积为2301020m -=.【点睛】本小题主要考查与圆有关的面积计算，考查梯形面积公式、扇形面积公式，考查分析与思考、解决问题的能力，属于中档题.19.如图，在边长为6的正方形ABCD 中，弧AC 的圆心为B ，过弧AC 上的点P 作弧AC 的切线，与AD 、CD 分别相交于点E 、F ，BP 的延长线交AD 边于点G .（1）设AE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当2AE =时，求EG 的长.【答案】（1）3666x y x -=+，(0,6)x ∈；（2）52. 【解析】【分析】（1）根据切线长定理求得,PE PF 的长，在直角三角形DEF 中利用勾股定理求得y 与x 的关系式.（2）以B 为平面直角坐标系原点,BC BA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，又,E F 坐标，求得直线EF 的斜率，进而求得直线BP 的斜率，由此求得AG 长，进而求得EG 的长.【详解】（1）根据切线长定理得,PE AE x PF CF y ====，且6,6DE x DF y =-=-，直角三角形DEF 中由勾股定理得()()()22266x y x y +=-+-，化简得3666x y x -=+，由066x <-<，解得06x <<，也即函数定义域为()0,6.所以函数解析式为()()3660,66x y x x-=∈+.（2）当2AE =时，由（1）知3CF =.以B 为平面直角坐标系原点,BC BA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,6,6,0,2,6,6,3A C E F ，所以直线EF 的斜率为633264-=--，所以与EF 垂直的直线BG 的斜率为43，而4tan tan 3AB AGB GBC AG ∠=∠==，所以3942AB AG ==，所以95222EG AG AE =-=-=.即EG 长为52.【点睛】本小题主要考查圆的切线长定理，考查勾股定理，考查坐标法求解几何问题，属于中档题.20.对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使00()f x x =成立，则称点00(,)x x 为函数()f x 的不动点.（1）已知函数2()f x ax bx b =+-（0a ≠）有不动点(1,1)和(3,3)--，求a 、b ；（2）若对于任意的实数b ，函数2()f x ax bx b =+-总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =，3b =；（2）(0,1).【解析】【分析】（1）根据不动点的定义列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）根据不动点的概念列式，利用一元二次方程根的个数与判别式的关系列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）依题意()()11393943f a b b a f a b b a b ⎧=+-==⎪⎨-=--=-=-⎪⎩，解得1,3a b ==. （2）首先0a ≠，依题意20000()f x ax bx b x =+-=有两个不同的解，即()20010ax b x b +--=有两个不同的解，所以()2140b ab ∆=-+>，即()24210b a b +-+>对任意b R ∈都成立，所以()24240a ∆=--<，即216160a a -<，()10a a -<，解得01a <<.所以实数a 的取值范围是()0,1.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查一元二次不等式根的个数与判别式的关系，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.21.设n 为正整数，集合12{|(,,,),{0,1}}n k A t t t t αα==⋅⋅⋅∈（1,2,,k n =⋅⋅⋅），对于集合A 中任意元素12(,,,)n x x x α=⋅⋅⋅和12(,,,)n y y y β=⋅⋅⋅，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+--++--+⋅⋅⋅++--. （1）当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（2）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α、β，当α、β相同时，(,)M αβ是奇数，当α、β不同时，(,)M αβ是偶数，求集合B 中元素个数的最大值.【答案】（1）(,)2M αα=，(,)1M αβ=；（2）4.【解析】【分析】（1）利用(,)M αβ的定义，求得(,)M αα和(,)M αβ的值.（2）当4n =时，根据α、β相同时，(,)M αβ是奇数，求得此时集合B 中元素所有可能取值，然后验证α、β不同时，(,)M αβ是偶数，由此确定集合B 中元素个数的最大值.【详解】（1）依题意(,)M αα()()()111011000022=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦； (,)M αβ()()()110111001112=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦. （2）当4n =时，依题意当α、β相同时，(,)M αβ()()()()1122334412x x x x x x x x =+++++++⎡⎤⎣⎦1234x x x x =+++为奇数，则1234,,,x x x x 中有“3个1和1个0”或者“1个1和3个0”.当α、β不同时：①当1234,,,x x x x 中有“3个1和1个0”时，元素为()()()()1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1，经验证可知(,)M αβ是偶数，符合题意，集合B 最多有4个元素()()()()1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1.②当1234,,,x x x x 中有“1个1和3个0”时，元素为()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1，经验证可知(,)M αβ是偶数，符合题意，集合B 最多有4个元素()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1.综上所述，不管是①还是②，集合B中元素个数的最大值为4.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.。