弧度制与任意角知识梳理

1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．（2）.若α的终边上有一点P (x ,y )(与原点O 不重合),则sin α=yr ,cos α=xr ,tan α=yx (x ≠0),其中r=√x 2+y 2.(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(4)三角函数值在各象限内的符号,1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π＋7π3，k ∈Z .当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．1．象限角角α的弧度数公式 |α|＝lr (l 表示弧长)注意：(1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．(2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用 角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 22．轴线角4．四种角的终边关系(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2k π，k ∈Z . (2)β，α终边关于x 轴对称⇔β＝－α＋2k π，k ∈Z . (3)β，α终边关于y 轴对称⇔β＝π－α＋2k π，k ∈Z .(4)β，α终边关于原点对称（终边互为反向延长线）⇔β＝π＋α＋2k π，k ∈Z . (5)β，α终边在一条直线上⇔β＝π＋α＋k π，k ∈Z .5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. 角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：()cos ,sin P r r αα(3)特殊角的三角函数值2.弧度制（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.（2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 =l rα 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式: =l r α. 扇形面积公式: 21122==S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π≈=.1801=()5730≈.π说明：①1800＝π是所有换算的关键，如ππ====,18018030456644；②1设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.角α 0° 30° 45° 60°90°120°135°150°180° 270°360° 角α的弧度数π6π4 π3 π22π 3π 5π6π 3π2π sin α 0 12√22√321 √32√22120 -1 0 cos α 1 √32√22120 -12-√22-√32-1 0 1 tan α√331√3 不 存在-√3 -1-√33不 存在第四2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 3．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( )A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<04.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.5.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝∅6.若角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x 上,则角α的取值集合是 ( ) A.{α|α=2kπ-π3,k ∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k ∈Z} C.{α|α=kπ-2π3,k ∈Z}D.{α|α=kπ-π3,k ∈Z}7.已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 8．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－39.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.3210.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象11.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.4512．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α13．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角．14．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．15．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．16．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．17．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．18．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 19．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答20．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α❷.2．三角函数的诱导公式断三角函数值的符号． 作用：切化弦，弦切互化．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . (3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.（4）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.考法(一)是公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin 2α＋cos 2α＝1及tan α＝sin αcos α即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．1.已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝( )A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2 D.1＋k 22.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3 B ．－3 C ．1D ．－14.已知sin α＋cos α＝－15，且π2＜α＜π，则1sin (π－α)＋1cos (π－α)的值为________．5.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( )A.125 B.－125 C.512 D.－5126.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( )A.－35 B.35 C.－45 D .457．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝－713，则tan A ＝________.8.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255 考法(二)的分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解.1．已知tan α＝2，求sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值．3.已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为______．5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是_____．6已知tan α＝－43，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值． 7.已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B.2 C.－12 D.－2 8.已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C.13 D ．－14考法(三)是考查sin α±cos α与sin αcos α的关系．对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二1.已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．2.已知sin 2α＝34，π4＜α＜π2，则sin α－cos α的值是( )A.12 B ．－12 C.14D ．－143.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29C.29D.794.已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝( )A.－32 B.32 C.－34 D .345．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为__________． 6.(2018自贡一模)求值:√1-2sin10°cos10°√2=.7.．若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________． 8.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.1．(2018·大连二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( )A.13 B ．－13 C.222 D ．－23 2.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( )A.34 B ．－43 C ．－34 D.433.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 4.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( )A.513 B.1213 C.－513D.－12135.已知sin (π3-α)=12,则cos (π6+α)= .6..(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)；(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β(两式相除、上同下异)．(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况． (2)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.2．降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22；1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22. 4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等． (1)sin(A+B )=sin C ;(2)cos(A+B )=-cos C ; (3)sin A+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2; (5)tan(A+B )=-tan C ;(6)∵tan(A+B )=tan(π-C ),∴tanA+tanB1-tanAtanB=-tan C ,去分母,移项,整理可得tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.2.找出下列复角的一个关系式,并写出它们的一个三角函数关系式.提示:(1)π4+α+π4-α=π2,sin (π4+α)=cos (π4-α);(2)(2π3+α)-(π6+α)=π2,sin (2π3+α)=cos (π6+α);(3) (π4+α)+(3π4-β)=π+(α-β),sin(α-β)=-sin [(3π4-β)+(π4+α)]; (4) (4)(3π4-β)-(π4+α)=π2-(α+β),sin(α+β)=cos [(3π4-β)-(π4+α)].5．辅助角公式：一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . 1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( )A ．－32B.32 C ．－12 D.122.cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α3..3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.4.1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( ) A.√2 B.√3 C.2D.√55．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝________6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________.7．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112D ．－1128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 9.在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________. 10.sin 10°1－3tan 10°＝________.(3)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.11.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.16B ．－16 C.12 D.2312.已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A.32 B.3 C.12 D.3313.(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为( )A.725 B.72－818C ．－17250 D.25 14．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( )A.12 B.13 C.14 D.1515．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79 C ．－79 D ．－8916．下列式子的运算结果为3的是( )①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③1＋tan 15°1－tan 15°；④tanπ61－tan2π6.A ．①②④ B ．③④C ．①②③ D ．②③④17.若cos α=13,α∈(0,π),则cos α2的值为( )A.√63B.-√63C.±√63D.√3318已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝( )A.5＋23 B.15－26 C.5－23 D.15＋2619.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( )A.725B.15C.-15D.-72520.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=( ) A.-√32 B.√32 C.-12 D.12 考法(一) 给角求值 1.cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝________ 2.sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.3.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1 B ．－1C.12 D ．－124.cos 165°的值是( ). A.√6-√22B.√6+√22C.√6-√24D.-√6-√245.sin47°-sin17°cos30°cos17°= .6.(2018年全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .考法(二) 给值求值1.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，若17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值为________． 2.若tan α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)=( ).A.-1B.-15C.57D.173.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.4.已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值. 5.在△ABC 中,若sin A=35,cos B=513,则cos C= .考法(三) 给值求角 1. 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． 2.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________. 3.已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________. 4.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，则α－β＝________.5.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.(2)已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值.6.已知α∈(π2,π),且sin α2+cos α2=√62.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cos β的值.辅助角公式 (1)sin x±cos x ;(2)sin x±√3cos x ;(3)√3sin x±cos x.2.(2013年全国Ⅰ卷)设当x=θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ= .3.(2014年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，4.sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.3.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. (2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α 角度1 给角(值)求值(1)计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. ①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值.角度2 给值求角(1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝___. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 考点三 三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019·郑州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的最值. (2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45 B.－15 C.15 D.45 1..sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14 B.12C.32 D .12..(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.4.．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－1125.．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．3．下列式子的运算结果为3的是( ) ①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③1＋tan 15°1－tan 15°；④tan π61－tan2π6.A ．①②④B ．③④C ．①②③D ．②③④6.(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝( )1、已知θ是第三象限角，且4459sincos θθ+=，那么2sin θ等于（） A 、3B 、3-C 、23D 、23- 2、函数222y sin x x =-+的最小正周期 A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （ ）A 、1B 、2C 、－1D 、－2 4、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。

1 任意角与弧度制【知识梳理】一、角的概念(1)角的概念①角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．②角的表示：如图∠AOB中，O表示顶点，OA表示始边，OB表示终边．(2)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角，旋转生成的角，又常叫做转角．引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．二、象限角平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限角．第一象限角：{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}；第二象限角：{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k ∈Z}；第三象限角：{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}；第四象限角：{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}．三、终边相同的角设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．四、角的度量单位角的度量角度制弧度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角称为角度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角．它的单位符号为rad，读作弧度换算360°2π rad 180°π rad(180π)°≈57.30°＝57°18′ 1 rad1°π180rad≈0.017 45rad 五、弧度数的计算六、一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 弧度 0 π180 π6 π4 π3 π2 度 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度23π 34π 56π π32π 2π七、扇形弧长公式及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l ＝|n |πr180l ＝|α|r 扇形的面积S ＝|n |πr 2360S ＝12lr ＝12|α|r 2 学法指导新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化：调整教学要求和增加教学内容。

任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角(de)概念(de)推广定义：一条射线OA由原来(de)位置,绕着它(de)端点O按一定(de)方向旋转到另一位置OB,就形成了角α,记作：角α或α∠可以简记成α.2、角(de)分类：由于用“旋转”定义角之后,角(de)范围大大地扩大了.可以将角分为正角、零角和负角.正角：按照逆时针方向转定(de)角.零角：没有发生任何旋转(de)角.负角：按照顺时针方向旋转(de)角.3、“象限角”为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角(de)顶点合于坐标原点,角(de)始边合于x轴(de)正半轴.角(de)终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限(de)角角(de)终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角.例1、（1）A={小于90°(de)角},B={第一象限(de)角},则A∩B=（填序号）.①{小于90°(de)角} ②{0°～90°(de)角}③ {第一象限(de)角} ④以上都不对（2）已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°(de)角},那么A、B 、C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C4、常用(de)角(de)集合表示方法 1、终边相同(de)角：（1）终边相同(de)角都可以表示成一个0 到360 (de)角与)(Z k k ∈个周角(de)和.（2）所有与 终边相同(de)角连同 在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角 终边相同(de)角,都可以表示成角 与整数个周角(de)和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同(de)角不一定相等,但相等(de)角(de)终边一定相同.终边相同(de)角有无数个,它们相差360°(de)整数倍.4、一般(de),终边相同(de)角(de)表达形式不唯一. 例1、（1）若θ角(de)终边与58π角(de)终边相同,则在[]π2,0上终边与4θ(de)角终边相同(de)角为 .（2）若βα和是终边相同(de)角.那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同(de)角(de)集合,并求出其中(de)最小正角,最大负角：（1） 210-； （2）731484'- ．例3、求θ,使θ与 900-角(de)终边相同,且[] 1260180，-∈θ．2、终边在坐标轴上(de)点：终边在x 轴上(de)角(de)集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向(de)角：终边在y =x 轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称(de)角：若角α与角β(de)终边关于x 轴对称,则角α与角β(de)关系：βα-=k 360若角α与角β(de)终边关于y 轴对称,则角α与角β(de)关系：βα-+= 180360k若角α与角β(de)终边在一条直线上,则角α与角β(de)关系：βα+=k 180角α与角β(de)终边互相垂直,则角α与角β(de)关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ,),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β(de)中变得位置关系是（ ）.A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角(de)单位制, 它(de)单位是rad 读作弧度定义：长度等于 (de)弧所对(de)圆心角称为1弧度(de)角.如图： AOB=1rad , AOC=2rad , 周角=2 rad 注意：1、正角(de)弧度数是正数,负角(de)弧度数是负数,零角(de)弧度数是02、角 (de)弧度数(de)绝对值 rl=α（l 为弧长,r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同. 4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用. 2、角度制与弧度制(de)换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应(de)圆心角大小叫一弧度 角度与弧度(de)互换关系：∵ 360 = rad 180 = rad∴ 1 =rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角(de)弧度数为正数,负角(de)弧度数为负数,零角(de)弧度数为零.例1、 把'3067 化成弧度例 例2、 把rad π53化成度 例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）36πrad （2） rad （3） rad π533、弧长公式和扇形面积公式or C 2rad1rad r l=2o A A Br l α= ； 22121r lR S α==练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同(de)角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）(de)形式是 （ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°3、终边在第二象限(de)角(de)集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°,k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°,k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°,k ∈Z ｝ 4、下列命题是真命题(de)是（ ）Α．三角形(de)内角必是一、二象限内(de)角 B ．第一象限(de)角必是锐角 C ．不相等(de)角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα 5、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°(de)角},那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中,属于第二象限(de)角是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④7、若α是第一象限(de)角,则-2是( ) A.第一象限(de)角B.第一或第四象限(de)角C.第二或第三象限(de)角D.第二或第四象限(de)角8、下列结论中正确(de)是( )A.小于90°(de)角是锐角B.第二象限(de)角是钝角C.相等(de)角终边一定相同D.终边相同(de)角一定相等9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角(de)终边都在( )轴(de)正半轴上轴(de)正半轴上轴或y 轴上轴(de)正半轴或y 轴(de)正半轴上10、α是一个任意角,则α与-α(de)终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称11、集合X={x ｜x=(2n+1)·180°,n ∈Z},与集合Y={y ｜y=(4k ±1)·180°,k ∈Z}之间(de)关系是( )C.Ｘ=Y≠Y12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°,则α-β(de)范围是( )°＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0°°＜α-β＜360°13、下列命题中(de)真命题是（ ）A ．三角形(de)内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限(de)角是锐角C ．第二象限(de)角比第一象限(de)角大D ．角α是第四象限角(de)充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z ) 14、设k ∈Z ,下列终边相同(de)角是（ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°15、已知弧度数为2(de)圆心角所对(de)弦长也是2,则这个圆心角所对(de)弧长是 （ ） A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin16、设α角(de)终边上一点P(de)坐标是)5sin ,5(cos ππ,则α等于（ ）A ．5πB ．5cot πC ．)(1032Z k k ∈+ππD ．)(592Z k k ∈-ππ17、若90°＜－α＜180°,则180°－α与α(de)终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18、设集合M ={α|α=5-2ππk ,k ∈Z },N ={α|－π＜α＜π},则M ∩N 等于（ ）A ．{－105ππ3,}B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,}D ．{07,031-1ππ }19、“21sin =A ”“A=30o”(de)（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20、中心角为60°(de)扇形,它(de)弧长为2π,则它(de)内切圆半径为 （ ） A ．2B ．3C ． 1D ．23 21、设集合M ={α|α=k π±6π,k ∈Z },N ={α|α=k π+(－1)k6π,k ∈Z }那么下列结论中正确(de)是 （ ）A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题22、若角α是第三象限角,则2α角(de)终边在 . 23、与－1050°终边相同(de)最小正角是 .24、已知α是第二象限角,且,4|2|≤+α则α(de)范围是 .任意角(de)三角函数练习题一、选择题1. 设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ. 其中符号为负(de)有（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④3. 02120sin 等于（ ）A.23±B. 23C. 23-D. 214. 已知4sin 5α=,并且α是第二象限(de)角,那么tan α(de)值等于（ ）A. 43- B. 34- C. 43D. 345．若θ∈（5π4 ,3π2）,则1－2sin θcos θ 等于θ－sin θθ＋cos θθ－cos θD.－cos θ－sin θ6．若tan θ＝13,则cos 2θ＋sin θcos θ(de)值是A.－65B.－45C. 45D.65二、填空题1. 设θ分别是第二、三、四象限角,则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2. 设MP 和OM 分别是角1817π(de)正弦线和余弦线,则给出(de)以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0,其中正确(de)是_____________________________. 3．若角α(de)终边在直线y ＝－x 上,则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-＝ .4．使tan x －xsin 1有意义(de)x (de)集合为 .5．已知α是第二象限(de)角,且cos α2 ＝－45 ,则α2 是第 象限(de)角.三、解答题 1. 已知1tan tan αα，是关于x (de)方程2230x kx k -+-=(de)两个实根,且παπ273<<,求ααsin cos +(de)值.2. 设cos θ＝m －nm ＋n（m ＞n ＞0),求θ(de)其他三角函数值.3．证明(1)1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ ＝1＋tan θ1－tan θ(2)tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θsin 2θ4. 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且,求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +(de)值.。

任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。

2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。

【要点梳理】 要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈=+∈，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈要点二：弧度制 1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫ ⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：角的概念的理解例1．下列结论：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。

任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。

（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。

例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。

三角函数任意角和弧度制知识点第一章三角函数任意角和弧度制知识点任意角知识点一、任意角b终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、旋转方向、旋转量大小。

α知识点二、直角坐标系则中角的分类始边o1、象限角与轴线角aβ2、终边相同的角与角α终边相同的角β子集为__________________c终边轴线角的表示：终边落到x轴非负半轴角的子集为_____________；终边落到x轴非正半轴角的子集为_______；终边落到x轴角的子集为____________________。

终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。

终边落在坐标轴角的集合为__________________。

象限角的则表示第一象限的角的子集为_________________第二象限的角的子集为_____________。

第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。

例题1、推论以下各角分别就是第几象限角：670°，480°，-150°，45°，405°，120°，-240°，210°，570°，310°，-50°，-315°例题2、以下角中与330°角终边相同的角是（）a、30°b、-30°c、630°d-630°题型一、象限角的认定例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他们是第几象限角，并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角。

（1）420°（2）-75°（3）855°（4）1785°（5）-1785°（6）2021°（7）-2021°（8）1450°（9）361°（10）-361°例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。

知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。

任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。

任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }. (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).三个三角函数的性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线为正切线概念方法微思考1.总结一下三角函数值在各象限的符号规律. 提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同.( × )(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ ) 题组二 教材改编2.角－225°＝ 弧度，这个角在第 象限. 答案 －5π4二3.若角α的终边经过点Q ⎝⎛⎭⎫－22，22，则sin α＝ ，cos α＝ . 答案22 －224.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度.答案 π3题组三 易错自纠5.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C. 6.已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6 D.5π3答案 C 解析 因为点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以θ＝11π6. 7.在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是 . 答案2π3解析 与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3(k ∈Z )，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3. 8.(2018·合肥模拟)函数y ＝2cos x －1的定义域为 .答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一 角及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z ) D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与角9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确.2.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为 . 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π解析 如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.4.若角α是第二象限角，则α2是第 象限角.答案 一或三解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角. 综上，α2是第一或第三象限角.思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角. (2)确定kα，αk(k ∈N ＋)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk 的终边所在位置.题型二 弧度制及其应用例1 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积.解 由已知得α＝π3，R ＝10 cm ，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).引申探究1.若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2). 2.若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0<R <10). 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.跟踪训练1 (1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C.3 D. 3 答案 D解析 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr＝ 3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为 . 答案518解析 设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α， 由扇形面积等于圆面积的527，可得12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527， 解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518.题型三 三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例2 (1)(2018·合肥模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( ) A.－33 B.±33 C.－32 D.±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0， 综上可知，θ2为第二象限角.命题点2 三角函数线例3 (1)满足cos α≤－12的角的集合是 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析 作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .(2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是 .答案 sin α<cos α<tan α解析 如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围. 跟踪训练2 (1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A.(－2,3] B.(－2,3) C.[－2,3)D.[－2,3]解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3. (2)在(0,2π)内，使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎫π4，5π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2答案 C解析 当x ∈⎣⎡⎭⎫π2，π时，sin x >0，cos x ≤0，显然sin x >cos x 成立；当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4时，如图，OA 为x 的终边，此时sin x ＝|MA |，cos x ＝|OM |，sin x ≤cos x ；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，如图，OB 为x 的终边，此时sin x ＝|NB |，cos x ＝|ON |，sin x >cos x .同理当x ∈⎣⎡⎭⎫π，5π4时，sin x >cos x ；当x ∈⎣⎡⎭⎫5π4，2π时，sin x ≤cos x ，故选C.1.下列说法中正确的是( ) A.第一象限角一定不是负角 B.不相等的角，它们的终边必不相同 C.钝角一定是第二象限角D.终边与始边均相同的两个角一定相等 答案 C解析 因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A 错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B 错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C 正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误.2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2. 从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.3.(2018·西安调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A.－3B.3C.163 D.±3答案 B 解析 sin θ＝m 16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3.4.点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 A解析 点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 5.若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C解析 ∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角.∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角.故选C.6.sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在答案 A解析 ∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0. 7.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12 D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12， 又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0， 所以m ＝12.8.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 A解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知，只有③正确.9.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 .答案 2 解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2r r＝ 2. 10.若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .答案 2解析 由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.11.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为 . 答案 11π6解析 由题意知，点P ⎝⎛⎭⎫32，－12，r ＝1，所以点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32， 故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 12.函数y ＝sin x －32的定义域为 . 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z 解析 利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知 2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .13.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 解析 ∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z . 14.若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫12，m ，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝ .答案 ±34解析 由角β的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角.记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，因为点⎝⎛⎭⎫12，m 在单位圆上，所以⎝⎛⎭⎫122＋m 2＝1，解得m ＝±32，所以sin β＝±32，所以cos α·sin β＝±34.15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2).弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径为3米的弧田，如图2所示.按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是 平方米.(结果保留整数，3≈1.73)答案 5解析 如题图2，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝3，所以在Rt △AOD 中，∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×3＝32，可得CD ＝3－32＝32，由AD ＝AO ·sin π3＝3×32＝332，可得AB ＝2AD ＝2×332＝3 3.所以弧田面积S ＝12(弦×矢＋矢2)＝12×⎝⎛⎭⎫33×32＋94＝943＋98≈5(平方米). 16.如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°.质点A 以1 rad /s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动.则经过1 s 后，∠BOA 的弧度为 ；质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间为 s.答案 π3＋3 5π9解析 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度为π3＋3. 设经过t s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π， 解得t ＝5π9， 即经过5π9s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇.。

一、知识概述（一）、角的概念的推广1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角 .没有作任何旋转时称它形成了一个零角 .2、通常在直角坐标系下研究角，体现了数形结合的思想，同时渗透了基本的数学方法——坐标法，为后面研究任意角的三角函数埋下了伏笔。

3、角α与β的终边相同，则α与β相差整数个周角，即β=α＋k·360°，k∈Z. （二）、弧度制1、弧度的定义：长度等于半径长的弧所对圆心角叫1弧度的角，即角α的弧度数的绝对值为|α|=（其中l为弧长，r是圆的半径）.2、弧度与角度的换算.特殊角的度数与弧度数对应表：（三）、任意角的三角函数1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y）.它与原点的距离，则：（1）比值叫α的正弦，记作sinα，即sinα=.（2）比值叫α的余弦，记作cosα，即cosα=.（3）比值叫α的正切，记作tanα，即tanα=.（4）比值叫α的余切，记作cotα，即cotα=.（5）比值叫α的正割，记作secα，即secα=.（6）比值叫α的余割，记作cscα，即cscα=.以上六种函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数 .2、三角函数的定义域3、三角函数的象限符号可用“一全正、二正弦、三两切、四余弦”来记忆。

（口诀表示的是三角函数值为正时角的终边所在象限）.4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等.二、重点知识归纳及讲解（一）、弧度与角度的换算例 1、设.（1）将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；（2）将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角.分析：运用角度与弧度的换算方法。

解：（1）∴α1在第二象限，α2在第一象限.（2）由－720°≤k·360°＋108°≤0°（k∈z），得k=－2或k=－1. ∴与β1有相同终边的角是－612°与－252°.同理：β2=－420°，与β2有相同终边的角是－60°.总结：（1）把角度化成弧度时乘以，把弧度化成角度时乘以.（2）－720°～0°指的是[－720°～0°].（二）、弧长公式与扇形面积公式的应用由弧度定义 |α|=可得弧长公式l=|α|·r，进一步可推导出扇形面积公式S=lr.以上公式比角度制下的相应公式要简洁.而且应用起来比较方便.例 2、已知扇形 OAB的圆心角α为120°，半径为6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积.分析：将圆心角用弧度表示后，利用弧长公式和扇形面积公式即可获解 .解：∵α=120°=，r=6（cm）.∴弧长又∴ S弓形=S扇－S△OAB=（三）、任意角的三角函数定义的应用例 3、已知角α的终边与函数的图象重合，求sinα、cosα、tanα.分析：给出α的终边而要求三角函数值，只需在α终边上任取一点 P，再利用定义可直接求解，但必须注意这里的角α的终边有两种情形，应分别求解.解：由题意可知α的终边在第一或第三象限 .若α终边在第一象限，则在终边上任取点 P（2，3）.此时 x=2，y=3，r=.若α终边在第三象限，则在终边上任取点 P（－2，－3），此时 x=－2，y=－3，r=.总结：（1）因为点P的选取与三角函数的值无关，故怎样利于计算就怎样取.（2）解题中遇到不确定因素时，常采用分类讨论的思想方法.三、难点知识剖析（一）、区域角的表示例 4 、写出顶点在原点、始边重合于 x轴非负半轴、终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）.分析：先依照逆时针方向写出一周内边界所对应的角，然后用终边相同的角的写法表示出符合条件的角的范围 .解：（1）选定OA，在－180°～180°间，把图中以OA为终边的角看成－60°，以OB为终边的角看成150°，则：{α|－60°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z} （2）把图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转180°得到的，则{α|120°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}.总结：α＋ k·360°（k∈Z）可看成每旋转360°，即重复出现.同理：α＋k·180°，α＋k·120°，α＋k·90°可分别看成每旋转180°，120°，90°重复出现.例 5、集合，集合，求A∩B.分析：用图示法可表示出 A∩B，注意集合B是每旋转重复出现，而A是每旋转4π重复出现，最后A∩B应是每旋转4π重复出现.解答：∴ A∩B=（二）、三角函数线设角α的终边与单位圆交于点 P，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.过点 A作单位圆的切线，与OP或OP的反向延长线交于点T.则有向线段AT叫做角α的正切线，在有关问题中利用三角函数线则会带来简便.例 6、当α∈（ 0，）时，求证：sinα<α<tanα.分析：利用代数方法很难得证。

第四课：任意角与弧度制知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠． 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 5、在单位圆中，长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 练习题：1、用集合表示：终边落在轴右侧的角的集合．2、在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 （1）；（2）；3、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600； （2）-210；4、 把'3067 化成弧度5、 把rad π53化成度6、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ 1657、如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z .（3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o .如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0y x xα=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rx α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。

1 / 10225图2图3《任意角和弧度制》知识梳理一、要点知识精析１．任意角是由角的终边按照一定方向旋转而定义的，由于旋转有逆时针和顺时针两个方向，因此旋转所得到的角也有正负之分．如果角的终边没有作任何旋转，则称该角为零角．注意：一般情况下，角的始边与x 轴的正半轴重合，定点在坐标原点．２．正确理解直角坐标系中的几种角象限角：是指始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，而终边落在某个象限内的角（注意：终边落在坐标轴上的角不属于任何象限的角）；如：α是第一象限角，则2k πα<22k ππ<+（)k Z ∈．轴线角：终边落在坐标轴上的角．如α的终边在x 轴的正半轴，则2k απ=；α的终边在x 轴，则k απ=；α的终边在坐标轴上，则2k πα=；（以上)k Z ∈．区间角：是指介于两个角之间的角的集合，如030150x <≤；区域角：是介于某两条终边之间的角集，如0030360k α+•<090360k <+•k Z ∈，显然区域角是无数个区间角的集合，而且象限角可以用区域角来表示．终边相同的角：具有同一终边的角的集合，与角α终边相同的角可用集合表示为｛β∣0360,k k Z βα=+•∈｝或｛β∣2,k k Z βαπ=+∈｝．在写与角α终边相同的角的集合时要注意单位统一，避免出现“0302()k k Z π+∈或0360,6k k Z π•+∈” 之类的错误；３．等于半径长的圆弧所对的圆心角叫１弧度的角．这一定义与圆的半径大小无关．由弧度制的定义，衍生出两个公式：弧长公式（l r α=）和扇形面积公式（212S r α=），应用这两个公式时，角的单位都必须用弧度制，这两个公式都比用角度制下的弧长公式和扇形面积公式简单．无论是角度制或是弧度制，都能在角的集合与实数集Ｒ之间建立一种一、一对应关系．４．弧度制和角度制可以相互转化：00/1801()5718rad π=≈，010.01745180rad rad π=≈．用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写，但用角度表示时，“度”（或“0”）不能省略．在同一个式子中，两种单位不能混用．二、解题方法指津１．判断角终边所在象限的方法角所在的象限的确定，是三角函数求值问题的关键环节，为此，要利用题中的若干条件准确地对角所在的象限进行判断．（１）利用终边相同的角的表示法判断判断一个角的终边所在位置，可先将此角化为α+•0360k 003600(<≤α，Z k ∈）或),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角的位置．（２）确定角的范围判断 已知单角α的象限，求2α、3α、2α等角的范围问题，通常先把α角的范围用不等式表示出来，再利用不等式的性质得出所讨论的角的范围，对k 的取值进行讨论，确定出所在象限． （３）．由α所在象限，确定nα所在象限的方法 求nα所在象限，可先将各个象限n 等分，从第一象限离x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码１，２，３，４，直到将所有区域标完为止．如果α在第几象限，则nα就在图中标号为几的区域内．如图２所示，将各象限２等分，若α在第一象限，则2α就在图中标号为１的区域内，即一、三象限的前半区域．如图３，若α在第三象限，则3α就在图中标号为３的区域内，即一、三、四象限．依次类推．。

任意角与弧度制任意角与弧度制是数学中常见的两种角度计量方式。

在解决三角函数问题时，我们通常会用到这两种方式来表示角度的大小。

接下来，我将详细介绍任意角与弧度制的概念、转换关系以及应用。

首先，我们来了解一下任意角的概念。

在平面几何中，角是由两条射线共享一个公共端点所形成的图形。

而任意角则是指不限制角的大小，可以是小于180度的锐角，也可以是等于180度的直角，甚至是大于180度的钝角。

在三角函数中，我们常常需要计算任意角的正弦、余弦、正切等数值，因此需要一种方式来准确地表示和计算任意角。

接下来，我们来介绍弧度制。

弧度制是一种以圆的半径为单位进行角度计量的方式。

在弧度制中，一个完整的圆周对应的角度为360度，对应的弧长为2πr（其中r为圆的半径）。

而弧度制则是将一个完整的圆周分成2π个等分，每个等分对应的角度为1弧度。

因此，任意角所对应的弧度数可以通过以下公式计算：弧度数 = 角度数×π/180。

接下来，我们来看一些具体的例子来理解任意角与弧度制之间的转换关系。

假设有一个任意角A，它的角度数为60度。

那么我们可以通过以下公式将其转换为弧度数：60 ×π/180 =π/3 弧度。

同样地，如果给定一个弧度数，我们也可以通过以下公式将其转换为角度数：弧度数× 180/π = 角度数。

除了转换关系外，任意角与弧度制还有一些重要的应用。

首先，在三角函数中，正弦、余弦、正切等函数的定义都是基于弧度制的。

因此，在计算三角函数值时，需要将角度转换为弧度进行计算。

其次，在物理学和工程学等领域中，很多问题都涉及到圆周运动、周期性变化等情况。

而这些问题往往需要用到三角函数来描述和分析，因此需要使用弧度制来准确地表示和计算角度。

最后，我们还需要注意任意角与弧度制之间的换算关系。

在实际问题中，有时候会涉及到从任意角到弧度制的转换或者从弧度制到任意角的转换。

对于这些情况，我们可以根据上述提到的公式进行计算，并注意保留合适的精度。

任意角和弧度制引言在数学中，角度是一种度量物体之间相对位置的方式。

角度可以用度数或弧度来表示，其中度数是最常见的方式，而弧度则是一种更为抽象的度量方式。

本文将介绍任意角的概念以及如何在度数和弧度制之间进行转换。

任意角的定义在平面几何中，任意角可以由一个初始边和一个终边确定。

初始边是角的起点，终边是从起点开始沿着给定的方向确定的线段。

终边最终与一个固定点相交，这个点称为角的顶点。

任意角任意角在度数制中，一个圆周被划分为360度，这意味着一个完整的圆是360度。

任意角可以包含大于360度或小于0度的值。

弧度制相对于度数制，弧度制是一种更为抽象和自然的度量方式。

弧度是一种无单位的度量，它表示沿着圆周上一个圆心角所对应的弧长。

在弧度制中，一个完整的圆的弧长为2π，因此一个直角（90度）对应的弧度为π/2，一周（360度）对应的弧度为2π。

根据这个比例，我们可以通过下面的公式将度数转换为弧度：弧度 = （度数 / 360）* 2π度数到弧度的转换示例我们来看一个具体的例子，假设有一个角度为45度的角，我们想将其转换为弧度。

根据上面的公式，我们可以进行如下计算：弧度= (45 / 360) * 2π计算结果为：弧度= (0.125) * 2π = 0.25π因此，45度的角度转换为弧度为0.25π。

弧度到度数的转换示例同样地，我们可以将一个给定的弧度转换为度数。

假设我们有一个弧度为π/4的角度，我们想将其转换为度数。

根据上述的公式，我们可以进行如下计算：度数 = (弧度/ 2π) * 360计算结果为：度数= (π/4 / 2π) * 360 = (0.25) * 360 = 90度因此，弧度为π/4的角度转换为度数为90度。

结论在本文中，我们介绍了任意角的概念以及如何在度数和弧度制之间进行转换。

度数制是最常见的角度度量方式，而弧度制是一种更为抽象和自然的度量方式。

转换度数到弧度和弧度到度数可以通过简单的公式实现。