第八章 假设检验 药学实验设计与统计

分析药学中的常见统计学方法及其应用药学中的常见统计学方法及其应用引言：在药学领域，统计学是一种重要的工具，用于分析和解释药物研究和临床试验的数据。

本文将介绍药学中常见的统计学方法及其应用，包括描述性统计、推断统计和生存分析等。

一、描述性统计描述性统计是对数据进行总结和描述的方法，主要包括测量中心趋势、测量离散程度和展示数据分布等。

在药学研究中，常用的描述性统计方法有均值、中位数、标准差和百分位数等。

1. 均值：均值是一组数据的平均值，用于衡量数据的集中趋势。

在药学研究中，可以用均值来描述药物的平均效果或剂量响应关系。

2. 中位数：中位数是将一组数据按大小排列后，位于中间位置的数值。

与均值相比，中位数更能反映数据的中心位置，尤其对于存在极端值的数据。

3. 标准差：标准差是衡量数据离散程度的指标，表示数据与均值之间的平均差异。

在药学研究中，标准差可以用来评估药物效果的变异程度。

4. 百分位数：百分位数是将一组数据按大小排列后，处于特定位置的数值。

在药学研究中，常用的百分位数有四分位数和中位数，用于描述药物的剂量分布和效果分布。

二、推断统计推断统计是通过对样本数据进行分析，对总体参数进行推断的方法。

在药学研究中，常用的推断统计方法有假设检验和置信区间等。

1. 假设检验：假设检验用于判断样本数据与某个假设值之间是否存在显著差异。

在药学研究中，可以利用假设检验来评估药物的疗效是否显著，或者比较不同治疗方案的差异。

2. 置信区间：置信区间是对总体参数的一个范围估计，用于表示样本估计值的不确定性。

在药学研究中，可以通过置信区间来估计药物的效果大小，并评估其统计显著性。

三、生存分析生存分析是一种用于研究时间至事件发生之间关系的方法，常用于药物研究中评估治疗效果和预测患者生存时间。

生存分析主要包括生存曲线、生存率和风险比等。

1. 生存曲线：生存曲线是描述患者生存时间与事件发生之间关系的图形。

在药学研究中，可以通过生存曲线来比较不同治疗组的生存情况，评估药物的治疗效果。

药学实验数据分析技巧指南引言：药学实验是药物研发过程中不可或缺的环节，而数据分析是对实验结果进行科学解读的重要工具。

本文将介绍一些药学实验数据分析的技巧和方法，帮助研究人员更好地理解和利用实验数据。

一、数据收集与整理1.1 数据收集在进行药学实验时，正确收集数据是确保实验结果准确性的关键。

数据应该包括实验组和对照组的观察结果，例如药物的剂量、给药途径、治疗时间等信息。

1.2 数据整理在收集到数据后，需要进行数据整理，包括数据录入和清洗。

数据录入时应尽量避免手工输入错误，可以使用电子表格软件进行数据录入，并使用数据验证功能确保数据的准确性。

数据清洗包括删除异常值、填补缺失值等处理，以确保数据的完整性和可靠性。

二、描述性统计分析2.1 均值与标准差均值和标准差是描述数据集中趋势和离散程度的常用指标。

均值表示数据的平均水平，标准差表示数据的离散程度。

通过计算实验组和对照组的均值和标准差，可以比较两组数据的差异。

2.2 置信区间置信区间是对参数估计的不确定性进行描述的一种方法。

通过计算实验组和对照组的置信区间，可以评估两组数据之间的差异是否具有统计学意义。

三、假设检验3.1 t检验t检验是用于比较两个样本均值是否具有显著差异的统计方法。

在药学实验中，可以使用t检验来比较实验组和对照组的均值差异，从而评估药物治疗效果的显著性。

3.2 方差分析方差分析是一种用于比较三个或多个样本均值是否具有显著差异的统计方法。

在药学实验中，可以使用方差分析来比较多个剂量组的治疗效果，找到最佳的药物剂量。

四、相关性分析4.1 相关系数相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。

在药学实验中，可以使用相关系数来评估药物剂量与疗效之间的相关性，从而确定最佳的治疗剂量。

4.2 回归分析回归分析是一种用于建立变量之间关系模型的统计方法。

在药学实验中，可以使用回归分析来预测药物剂量与疗效之间的关系，并进行剂量优化。

五、生存分析生存分析是一种用于分析事件发生时间的统计方法。

药学统计总结1. 引言药学统计作为一门交叉学科，将统计学的理论和方法应用于药学研究中。

药学统计不仅仅关注数值的计算，更注重数据的分析、解读以及结果的合理解释。

本文将从药学统计的应用、常见的统计方法以及临床实验设计等方面进行总结和讨论。

2. 药学统计的应用2.1 药效评价在药物的研发和评价过程中，药学统计发挥着重要的作用。

药效评价是药学统计的一项重要应用领域。

通过对实验数据的收集和分析，药学统计可以评估药物的疗效，确定药物的安全性和有效性。

常用的药效评价指标包括最小有效剂量（MED），有效发挥剂量（ED），半数最大有效浓度（EC50）等。

2.2 药物相互作用药物相互作用是指多种药物同时应用时，相互影响所导致的不良反应或疗效变化。

药学统计可以通过对相关数据的收集和分析，评估药物相互作用的风险，并制定相应的用药方案，以确保患者的用药安全和疗效。

2.3 药物剂量确定药物剂量的确定是临床治疗的重要环节之一。

药学统计可以通过对药物的有效性和副作用数据进行分析，确定最佳的药物剂量。

同时，药学统计还可以结合患者的个体特征和药代动力学等因素，制定个体化的用药方案。

3. 常见的统计方法3.1 描述统计描述统计是对收集到的数据进行整理、总结和描述的统计方法。

常用的描述统计指标包括均值、标准差、中位数等。

描述统计可以帮助研究人员更直观地了解数据的分布情况和基本特征。

3.2 推断统计推断统计是通过样本数据对总体进行推断的统计方法。

其中，假设检验是推断统计的一种重要方法，用于检验研究假设的正确性。

常用的假设检验方法包括t检验、方差分析和卡方检验等。

3.3 回归分析回归分析是通过建立数学模型，研究一个或多个自变量对因变量的影响程度和方向的统计方法。

常见的回归分析方法包括线性回归、多元回归和Logistic回归分析等。

回归分析可以用于研究药物剂量和疗效之间的关系或预测药物的相互作用等。

4. 临床实验设计4.1 随机对照试验随机对照试验是药学研究中常用的实验设计方法之一。

药学专业中的实验设计与数据分析方法在药学专业中，实验设计与数据分析方法是非常重要的一部分。

药学实验的目的是为了验证药物的疗效和安全性，而实验设计和数据分析方法则是保证实验结果的可靠性和科学性的关键。

本文将从实验设计和数据分析两个方面探讨药学专业中的相关方法。

一、实验设计实验设计是一个科学实验的基础，合理的实验设计可以提高实验的可重复性和可比性。

在药学实验中，常用的实验设计方法有随机对照试验、交叉试验和因子设计等。

1. 随机对照试验随机对照试验是药学实验中最常见的实验设计方法之一。

它通过将实验对象随机分为实验组和对照组，以比较两组之间的差异来评估药物的疗效。

在随机对照试验中，需要注意的是实验对象的随机分配和盲法的使用，以减少实验结果的偏差。

2. 交叉试验交叉试验是一种特殊的实验设计方法，它可以用于评估药物的生物利用度和药代动力学特性。

在交叉试验中，实验对象会接受不同处理条件的药物，然后通过测量血药浓度或其他生物指标来评估药物的效果。

为了减少个体差异对实验结果的影响，交叉试验通常需要进行多次重复。

3. 因子设计因子设计是一种多因素实验设计方法，它可以评估多个因素对药物疗效的影响。

在因子设计中，需要确定实验所需的因素和水平，并通过正交表或其他设计方法构建实验方案。

然后根据实验结果进行数据分析，以确定各个因素对药物疗效的贡献程度。

二、数据分析方法数据分析是对实验结果进行统计和解释的过程，它可以帮助我们理解实验结果背后的规律和趋势。

在药学专业中，常用的数据分析方法有描述性统计分析、方差分析和回归分析等。

1. 描述性统计分析描述性统计分析是对实验数据进行总结和描述的方法。

它可以通过计算平均值、标准差、百分位数等指标来描述数据的中心趋势和离散程度。

通过描述性统计分析，我们可以对实验结果有一个整体的了解，并初步判断数据是否符合正态分布等假设。

2. 方差分析方差分析是一种用于比较多个样本均值之间差异的方法。

在药学实验中，方差分析可以用于比较不同处理条件下药物疗效的差异。

假设检验与实验设计在科学研究领域中，假设检验与实验设计是两个非常重要的概念。

通过合理的实验设计和有效的假设检验方法，研究者可以推断样本数据与总体之间是否存在显著差异，从而为科学研究提供可靠的结论。

本文将介绍假设检验与实验设计的基本概念、步骤和常见方法，并探讨其在科研实践中的应用。

一、假设检验的基本概念在进行假设检验之前，我们首先需要明确研究问题，并建立相应的假设。

假设是对总体参数的陈述或猜测，可以分为零假设（H0）和备择假设（H1或Ha）。

零假设是研究者希望拒绝的假设，通常表示总体参数无变化或无差异；备择假设则是对零假设的反面陈述，表示总体参数存在某种变化或差异。

假设检验的基本思想是根据样本数据推断总体参数的真实值。

通过计算样本统计量，并将其与理论分布进行比较，可以得出样本数据与总体之间是否存在显著差异的结论。

常用的假设检验方法有Z检验、T 检验和卡方检验等。

二、实验设计的基本概念实验设计是科学研究的基础，通过合理、科学地设置实验方案，控制干扰因素，研究者可以更准确地获得实验结果并得出结论。

在实验设计中，我们需要明确实验目的、选择实验变量、确定实验组和对照组，并随机分配样本。

常见的实验设计方法有完全随机设计、随机区组设计和因子设计等。

在完全随机设计中，实验对象被随机分为实验组和对照组，以消除干扰变量的影响；在随机区组设计中，实验对象被分为若干均匀的区组，以进一步控制干扰；在因子设计中，研究者通过设置多个因子和水平，来观察不同因素对实验结果的影响。

三、假设检验与实验设计的关系假设检验和实验设计是紧密相关的概念，在科学研究中相辅相成。

实验设计提供了实验数据，假设检验则用于分析数据并进行推断。

在设计实验时，研究者可以根据预期效应大小和样本量来选择合适的假设检验方法。

比如，如果样本容量较大、总体方差已知且正态分布，可以使用Z检验；如果总体方差未知且样本容量较小，可以使用T检验。

此外，实验设计还需要合理设置控制变量，并进行实验组和对照组的随机分配，以确保实验结果的可靠性。

第八章假设检验第一节概述统计推断中的另一类重要问题是假设检验(Hypothesis testing).当总体的分布函数未知，或只知其形式而不知道它的参数的情况时，我们常需要判断总体是否具有我们所感兴趣的某些特性.这样，我们就提出某些关于总体分布或关于总体参数的假设，然后根据样本对所提出的假设作出判断：是接受还是拒绝.这就是本章所要讨论的假设检验问题.我们先从下面的例子来说明假设检验的一般提法.例8.1某工厂用包装机包装奶粉，额定标准为每袋净重0.5kg.设包装机称得奶粉重量X服从正态分布N（μ，σ2）.根据长期的经验知其标准差σ=0.015(kg).为检验某台包装机的工作是否正常；随机抽取包装的奶粉9袋，称得净重（单位：kg）为0.499 0.515 0.508 0.512 0.4980.515 0.516 0.513 0.524问该包装机的工作是否正常？由于长期实践表明标准差比较稳定，于是我们假设X~N（μ，0.0152）.如果奶粉重量X 的均值μ等于0.5kg，我们说包装机的工作是正常的.于是提出假设：H0：μ=μ0=0.5；H1：μ≠μ0=0.5.这样的假设叫统计假设.1.统计假设关于总体X的分布（或随机事件之概率）的各种论断叫统计假设，简称假设，用“H”表示，例如：（1）对于检验某个总体X的分布，可以提出假设：H0：X服从正态分布，H1: X不服从正态分布.H0：X服从泊松分布，H1: X不服从泊松分布.（2）对于总体X的分布的参数，若检验均值，可以提出假设：H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.H0：μ≤μ0；H1：μ＞μ0.若检验标准差，可提出假设：H0：σ=σ0；H1：σ≠σ0.H0：σ≥σ0；H1：σ＜σ0.这里μ0，σ0是已知数，而μ=E（X），σ2=D（X）是未知参数.上面对于总体X的每个论断，我们都提出了两个互相对立的（统计）假设：H0和H1，显然，H0与H1只有一个成立，或H0真H1假，或H0假H1真，其中假设H0，称为原假设(Original hypothesis)（又叫零假设、基本假设），而H1称为H0的对立假设（又叫备择假设）.在处理实际问题时，通常把希望得到的陈述视为备择假设,而把这一陈述的否定作为原假设.例如在上例中，H0：μ=μ0=0.5为原假设，它的对立假设是H1：μ≠μ0=0.5.统计假设提出之后，我们关心的是它的真伪.所谓对假设H0的检验，就是根据来自总体的样本，按照一定的规则对H0作出判断：是接受，还是拒绝，这个用来对假设作出判断的规则叫做检验准则，简称检验，如何对统计假设进行检验呢？我们结合上例来说明假设检验的基本思想和做法.2.假设检验的基本思想 在例8.1中所提假设是H 0：μ=μ0=0.5(备择假设H 1：μ≠μ0).由于要检验的假设涉及总体均值μ，故首先想到是否可借助样本均值这一统计量来进行判断.从抽样的结果来看，样本均值x =19（0.499+0.515+0.508+0.512+0.498+0.515+0.516+0.513+0.524）=0.5110，与μ=0.5之间有差异.对于与μ0之间的差异可以有两种不同的解释.（1） 统计假设H 0是正确的，即μ=μ0=0.5，只是由于抽样的随机性造成了与μ0之间的差异；（2） 统计假设H 0是不正确的，即μ≠μ0=0.5，由于系统误差，也就是包装机工作不正常，造成了与μ0之间的差异.对于这两种解释到底哪一种比较合理呢？为了回答这个问题，我们适当选择一个小正数α（α=0.1,0.05等），叫做显著性水平(Level of significance).在假设H0成立的条件下，确定统计量X -μ0的临界值αλ，使得事件{｜X -μ0｜＞αλ}为小概率事件，即P{｜X -μ0｜＞αλ}=α.（8.1）例如，取定显著性水平α=0.05.现在来确定临界值λ0.05.因为X ~N （μ，σ2），当H 0：μ=μ0=0.5为真时，有X ~N （μ0，σ2），于是2011~,n i i X X N n n σμ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，ZX X =N （0，1），所以 P {｜Z ｜＞z α/2}=α.由（8.1）式，有P Z ⎧>⎨⎩=α，因此22,z z αααλ==λ0.05=z 0.0250.015/3=0.0098. 故有P {｜X -μ0｜＞0.0098}=0.05.因为α=0.05很小，根据实际推断原理，即“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”原理，我们认为当H 0为真时，事件{｜X -μ0｜＞0.0098}是小概率事件，实际上是不可能发生的.现在抽样的结果是｜x -μ0｜=｜0.5110-0.5｜=0.0110＞0.0098.也就是说，小概率事件{｜X -μ0｜＞0.0098}居然在一次抽样中发生了，这说明抽样得到的结果与假设H 0不相符，因而不能不使人怀疑假设H 0的正确性，所以在显著性水平α=0.05下， 我们拒绝H 0，接受H 1，即认为这一天包装机的工作是不正常的.通过上例的分析，我们知道假设检验的基本思想是小概率事件原理，检验的基本步骤是： （1） 根据实际问题的要求，提出原假设H 0及备择假设H 1；（2） 选取适当的显著性水平α（通常α=0.10,0.05等）以及样本容量n ；（3） 构造检验用的统计量U ，当H 0为真时，U 的分布要已知，找出临界值αλ使P {｜U ｜＞αλ}=α.我们称｜U ｜＞αλ所确定的区域为H 0的拒绝域(Rejection region)，记作W ； （4） 取样，根据样本观察值，计算统计量U 的观察值U 0；（5） 作出判断，将U 的观察值U 0与临界值αλ比较，若U 0落入拒绝域W 内，则拒绝H 0接受H 1；否则就说H 0相容（接受H 0）.3.两类错误由于我们是根据样本作出接受H 0或拒绝H 0的决定，而样本具有随机性，因此在进行判断时，我们可能会犯两个方面的错误：一类错误是，当H 0为真时，而样本的观察值U 0落入拒绝域W 中，按给定的法则，我们拒绝了H 0，这种错误称为第一类错误.其发生的概率称为犯第一类错误的概率或称弃真概率，通常记为α，即P {拒绝H 0｜H 0为真}=α；另一种错误是，当H 0不真时，而样本的观察值落入拒绝域W 之外，按给定的检验法则，我们却接受了H 0.这种错误称为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错误的概率或取伪概率，通常记为β，即P {接受H 0｜H 0不真}=β.显然这里的α就是检验的显著性水平.总体与样本各种情况的搭配见表8-1.表8-1对给定的一对H 0和H 1，总可以找到许多拒绝域W .当然我们希望寻找这样的拒绝域W ，使得犯两类错误的概率α与β都很小.但是在样本容量n 固定时，要使α与β都很小是不可能的，一般情形下，减小犯其中一类错误的概率，会增加犯另一类错误的概率，它们之间的关系犹如区间估计问题中置信水平与置信区间的长度的关系那样.通常的做法是控制犯第一类错误的概率不超过某个事先指定的显著性水平α（0＜α＜1），而使犯第二类错误的概率也尽可能地小.具体实行这个原则会有许多困难，因而有时把这个原则简化成只要求犯第一类错误的概率等于α，称这类假设检验问题为显著性检验问题，相应的检验为显著性检验.在一般情况下，显著性检验法则是较容易找到的，我们将在以下各节中详细讨论.在实际问题中，要确定一个检验问题的原假设，一方面要根据问题要求检验的是什么，另一方面要使原假设尽量简单，这是因为在下面将讲到的检验法中，必须要了解某统计量在原假设成立时的精确分布或渐近分布.下面各节中，我们先介绍正态总体下参数的几种显著性检验，再介绍总体分布函数的假设检验.第二节 单个正态总体的假设检验1.单个正态总体数学期望的假设检验（1） σ2已知关于μ的假设检验（Z 检验法(Z -test)） 设总体X ~N （μ，σ2），方差σ2已知，检验假设H 0：μ=μ0；H 1：μ≠μ0 (μ0为已知常数） 由X ~N （μ，n σ）X N （0，1）， 我们选取ZX （8.2）作为此假设检验的统计量，显然当假设H 0为真（即μ=μ0正确）时，Z ~N （0，1），所以对于给定的显著性水平α，可求z α/2使P {｜Z ｜＞z α/2}=α，见图8-1，即P {Z ＜-z α/2}+P {Z ＞z α/2}=α.从而有P {Z ＞z α/2}=α/2， P {Z ≤z α/2}=1-α/2.图8-1利用概率1-α/2，反查标准正态分布函数表，得双侧α分位点（即临界值）z α/2. 另一方面，利用样本观察值x 1，x 2，…，x n 计算统计量Z 的观察值z 0x （8.3）如果：（a ）｜z 0｜＞z α/2，则在显著性水平α下，拒绝原假设H 0（接受备择假设H 1），所以｜z 0｜＞z α/2便是H0的拒绝域.（b ） ｜z 0｜≤z α/2，则在显著性水平α下，接受原假设H 0，认为H 0正确.这里我们是利用H0为真时服从N （0，1）分布的统计量Z 来确定拒绝域的，这种检验法称为Z 检验法（或称U 检验法）.例8.1中所用的方法就是Z 检验法.为了熟悉这类假设检验的具体作法，现在我们再举一例.例8.2 根据长期经验和资料的分析，某砖厂生产的砖的“抗断强度”X 服从正态分布，方差σ2=1.21.从该厂产品中随机抽取6块，测得抗断强度如下（单位：kg ·cm -2）：32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg ·cm -2是否成立（取α=0.05，并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化）？解 ① 提出假设H 0：μ=μ0=32.50；H 1：μ≠μ0. ② 选取统计量ZX ，若H 0为真，则Z ~N （0，1）.③ 对给定的显著性水平α=0.05，求z α/2使P {｜Z ｜＞z α/2}=α，这里z σ/2=z 0.025=1.96.④ 计算统计量Z 的观察值：｜z 0｜ ≈3.05.⑤ 判断：由于｜z 0｜=3.05＞z 0.025=1.96，所以在显著性水平α=0.05下否定H 0，即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50 kg ·cm -2.把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期望值μ的检验步骤： （a ） 提出待检验的假设H 0：μ=μ0；H 1：μ≠μ0. （b ） 构造统计量Z ，并计算其观察值z 0：ZX ，z 0x（c ） 对给定的显著性水平α，根据P {｜Z ｜＞z α/2}=α，P {Z ＞z α/2}=α/2，P {Z ≤z α/2}=1-α/2查标准正态分布表，得双侧α分位点z α/2. （d ） 作出判断：根据H 0的拒绝域 若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则接受H 0.（2） 方差σ2未知，检验μ（t 检验法(t -test)） 设总体X ~N （μ，σ2），方差σ2未知，检验H 0：μ=μ0；H 1：μ≠μ0.由于σ2X 便不是统计量，这时我们自然想到用σ2的无偏估计量——样本方差S 2代替σ2，由于X t （n -1），故选取样本的函数tX （8.4）图8-2作为统计量，当H 0为真（μ=μ0）时t ~t （n -1），对给定的检验显著性水平α，由P {｜t ｜＞t α/2（n -1）}=α， P {t ＞t α/2（n -1）}=α/2，见图8-2，直接查t 分布表，得t 分布分位点t α/2（n -1）.利用样本观察值，计算统计量t 的观察值t 0x 因而原假设H0的拒绝域为｜t 0｜＞t α/2（n -1）. （8.5）所以，若｜t 0｜＞t α/2（n -1），则拒绝H 0，接受H 1；若｜t 0｜≤t α/2（n -1），则接受原假设H 0.上述利用t 统计量得出的检验法称为t 检验法.在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用t 检验法来检验关于正态总体均值的问题.例8.3 用某仪器间接测量温度，重复5次，所得的数据是1250°,1265°，1245°，1260°，1275°，而用别的精确办法测得温度为1277°(可看作温度的真值），试问此仪器间接测量有无系统偏差？这里假设测量值X 服从N （μ，σ2）分布. 解 问题是要检验H 0：μ=μ0=1277；H 1：μ≠μ0.由于σ2未知（即仪器的精度不知道），我们选取统计量tX .当H 0为真时，t ~t （n -1），t 的观察值为｜t 0｜185.399-==＞3.对于给定的检验水平α=0.05，由P {｜t ｜＞t α/2（n -1）}=α， P {t ＞t α/2（n -1）}=α/2， P {t ＞t 0.025(4)}=0.025，查t 分布表得双侧α分位点t α/2（n -1）=t 0.025(4)=2.776.因为｜t 0｜＞3＞t 0.025(4)=2.776，故应拒绝H 0，认为该仪器间接测量有系统偏差.（3） 双边检验与单边检验上面讨论的假设检验中，H 0为μ=μ0，而备择假设H 1：μ≠μ0意思是μ可能大于μ0，也可能小于μ0，称为双边备择假设，而称形如H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0的假设检验为双边检验.有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所考虑的总体的均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的大，则可考虑采用新工艺.此时，我们需要检验假设H 0：μ=μ0；H 1：μ＞μ0. （8.6）（我们在这里作了不言而喻的假定，即新工艺不可能比旧的更差），形如（8.6）的假设检验，称为右边检验，类似地，有时我们需要检验假设H 0：μ=μ0；H 1：μ＜μ0. （8.7）形如（8.7）的假设检验，称为左边检验，右边检验与左边检验统称为单边检验.下面来讨论单边检验的拒绝域. 设总体X ~N （μ，σ2），σ2为已知，x 1，x 2，…，x n 是来自X 的样本观察值.给定显著性水平α，我们先求检验问题H 0：μ=μ0；H 1：μ＞μ0.的拒绝域.取检验统计量ZX ，当H 0为真时，Z 不应太大，而在H 1为真时，由于X 是μ的无偏估计，当μ偏大时，X 也偏大，从而Z 往往偏大，因此拒绝域的形式为ZX ≥k ，k 待定.因为当H 0X ~N （0，1），由P {拒绝H 0｜H 0为真}=PX k ⎫≥⎬⎭=α得k =z α，故拒绝域为ZX ≥z α. （8.8）类似地，左边检验问题H 0：μ=μ0；H 1：μ＜μ0.的拒绝域为ZX ≤-z α. 8.9）例8.4 从甲地发送一个信号到乙地，设发送的信号值为μ，由于信号传送时有噪声迭加到信号上，这个噪声是随机的，它服从正态分布N （0，22），从而乙地接到的信号值是一个服从正态分布N （μ，22）的随机变量.设甲地发送某信号5次，乙地收到的信号值为： 8.4 10.5 9.1 9.6 9.9由以往经验，信号值为8，于是乙方猜测甲地发送的信号值为8，能否接受这种猜测？取α=0.05.解 按题意需检验假设H 0：μ=8；H 1：μ＞8.这是右边检验问题，其拒绝域如（8.8）式所示， 即 Z =X ≥z 0.05=1.645.而现在z 0=1.68＞1.645，所以拒绝H 0，认为发出的信号值μ＞8.2.单个正态总体方差的假设检验（2χ检验法(2χ-test)） （1） 双边检验设总体X ~N （μ，σ2），μ未知，检验假设H 0：σ2=σ02；H 1：σ2≠σ2.其中σ02为已知常数.由于样本方差S 2是σ2的无偏估计，当H 0为真时，比值22S σ一般来说应在1附近摆动，而不应过分大于1或过分小于1，由第六章知当H 0为真时2χ=220(1)n S σ-~2χ（n -1）. （8.10）所以对于给定的显著性水平α有（图8-3）图8-3P {21/2αχ-（n -1）≤2χ≤2/2αχ（n -1）}=1-α. （8.11）对于给定的α，查2χ分布表可求得2χ分布分位点21/2αχ-（n -1）与2/2αχ（n -1）.由（8.11）知，H 0的接受域是21/2αχ- (n -1)≤2χ≤2/2αχ (n -1)； (8.12)H 0的拒绝域为2χ＜21/2αχ-（n -1）或2χ＞2/2αχ（n -1）. （8.13）这种用服从2χ分布的统计量对个单正态总体方差进行假设检验的方法，称为2χ检验法. 例8.5 某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取26只电池，测得其寿命的样本方差s 2=9200（小时2）.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化（取α=0.02)?解 本题要求在α=0.02下检验假设H 0：σ2=5000；H 1：σ2≠5000.现在n =26，2/2αχ（n -1）=20.01(25)χ=44.314，21/2αχ- (n -1)= 20.99(25)χ=11.524,σ02=5000.由（8.13）拒绝域为2σ＞44.314或220(1)n s σ-＜11.524由观察值s 2=9200得22(1)n s σ-=46＞44.314,所以拒绝H 0，认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化.（2） 单边检验（右检验或左检验） 设总体X ~N （μ，σ2），μ未知，检验假设H 0：σ2≤σ02；H 1：σ2＞σ02.（右检验）由于X ~N （μ，σ2），故随机变量*2χ=22(1)n S σ-~2χ（n -1）.当H 0为真时，统计量2χ=22(1)n S σ-≤*2χ.对于显著性水平α，有P {*2χ＞2αχ（n -1）}=α图8-4（图8-4）.于是有P {2χ＞2αχ（n -1）}≤P {*2χ＞2αχ（n -1）}=α.可见，当α很小时，{2χ＞2αχ（n -1）}是小概率事件，在一次的抽样中认为不可能发生，所以H 0的拒绝域是：2χ=22(1)n S σ-＞2αχ（n -1）（右检验）. （8.14）类似地，可得左检验假设H 0：σ2≥σ02，H 1：σ2＜σ2的拒绝域为2χ＜21αχ-（n -1）（左检验）. (8.15) 例8.6 今进行某项工艺革新，从革新后的产品中抽取25个零件，测量其直径，计算得样本方差为s 2=0.00066，已知革新前零件直径的方差σ2=0.0012，设零件直径服从正态分布，问革新后生产的零件直径的方差是否显著减小？（α=0.05)解 (1） 提出假设H 0：σ2≥σ02=0.0012；H 1：σ2<σ02. (2) 选取统计量2χ=22(1)n S σ-.*2χ=22(1)n S σ-~2χ（n -1），且当H 0为真时，*2χ≤2χ(3） 对于显著性水平α=0.05，查2χ分布表得21αχ-（n -1）=20.95(24)χ=13.848，当H 0为真时，P {2χ<21αχ- (n -1)}≤P 2212(1)(1)n S n αχσ-⎧⎫-<-⎨⎬⎩⎭=α. 故拒绝域为2χ<21αχ- (n -1)=13.848.(4) 根据样本观察值计算2χ的观察值2χ=220(1)240.000660.0012n s σ-⨯==13.2.(5) 作判断：由于2χ=13.2＜21αχ- (n -1)=13.848，即2χ落入拒绝域中，所以拒绝H 0：σ2≥σ02，即认为革新后生产的零件直径的方差小于革新前生产的零件直径的方差.最后我们指出，以上讨论的是在均值未知的情况下，对方差的假设检验，这种情况在实际问题中较多.至于均值已知的情况下，对方差的假设检验，其方法类似，只是所选的统计量为2χ=2120()nii Xμσ=-∑.当σ2=σ2为真时，2χ~2χ（n ）.关于单个正态总体的假设检验可列表8-2.表8-2注：上表中H0中的不等号改成等号，所得的拒绝域不变.第三节两个正态总体的假设检验上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题.1.两正态总体数学期望假设检验（1）方差已知，关于数学期望的假设检验（Z检验法）设X~N(μ1,σ12），Y~N（μ2，σ22），且X，Y相互独立，σ12与σ22已知，要检验的是H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2.(双边检验)怎样寻找检验用的统计量呢？从总体X 与Y 中分别抽取容量为n 1，n 2的样本X 1，X 2，…，1n X 及Y 1，Y 2，…，2n Y ，由于2111~,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222~,Y N n σμ⎛⎫⎪⎝⎭，E （X -Y ）=E （X ）-E （Y ）=μ1-μ2， D （X -Y ）=D （X ）+D （Y ）=221212n n σσ+，故随机变量X -Y 也服从正态分布，即X -Y ~N (μ1-μ2，221212n n σσ+).从而X Y ~N （0，1）.于是我们按如下步骤判断.（a ） 选取统计量 ZX Y ， （8.16）当H 0为真时，Z ~N （0，1）.（b ） 对于给定的显著性水平α，查标准正态分布表求z α/2使P {｜Z ｜＞z α/2}=α，或P {Z ≤z α/2}=1-α/2. （8.17） （c ） 由两个样本观察值计算Z 的观察值z 0：z 0x y .（d ） 作出判断：若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝假设H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则与H 0相容，可以接受H 0.例8.7 A ，B 两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设A 车床加工的轴的椭圆度X ~N （μ1，σ12），B 车床加工的轴的椭圆度Y ~N （μ2，σ22），且σ12=0.0006(mm 2)，σ22=0.0038(mm 2)，现从A ，B 两台车床加工的轴中分别测量了n 1=200，n 2=150根轴的椭圆度，并计算得样本均值分别为=0.081(mm),=0.060(mm).试问这两台车床加工的轴的椭圆度是否有显著性差异？（给定α=0.05)解 ① 提出假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2. ② 选取统计量ZX Y ，在H 0为真时，Z ~N （0，1）.③ 给定α=0.05，因为是双边检验，α/2=0.025.P {｜Z ｜＞z α/2}=0.05, P {Z ＞z α/2}=0.025，P {Z ≤z α/2}=1-0.025=0.975.查标准正态分布表，得z α/2=z 0.025=1.96.④ 计算统计量Z 的观察值zz 0x y =.⑤ 作判断：由于｜z 0｜=3.95＞1.96=z α/2，故拒绝H 0，即在显著性水平α=0.05下，认为两台车床加工的轴的椭圆度有显著差异.用Z 检验法对两正态总体的均值作假设检验时，必须知道总体的方差，但在许多实际问题中总体方差σ12与σ22往往是未知的，这时只能用如下的t 检验法.（2） 方差σ12，σ22未知，关于均值的假设检验（t 检验法） 设两正态总体X 与Y 相互独立，X ~N （μ1，σ12），Y ~N （μ2，σ22），σ12，σ22未知，但知σ12=σ22，检验假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验) 从总体X ，Y 中分别抽取样本X 1，X 2，…，1n X 与Y 1，Y 2，…，2n Y ，则随机变量tX Y μμ---t （n 1+n 2-2），式中S w 2=22112212(1)(1)2n S n S n n -+-+-，S 12，S 22分别是X 与Y 的样本方差.当假设H 0为真时，统计量t ~t （n 1+n 2-2）. （8.18）对给定的显著性水平α，查t 分布得t α/2（n 1+n 2-2），使得P {｜t ｜＞t α/2（n 1+n 2-2）}=α. （8.19）再由样本观察值计算t 的观察值t 0x y（8.20）最后作出判断：若｜t 0｜＞t α/2（n 1+n 2-2），则拒绝H 0； 若｜t 0｜≤t α/2（n 1+n 2-2），则接受H 0.例8.8 在一台自动车床上加工直径为2.050毫米的轴，现在每相隔两小时，各取容量都为10的样本，所得数据列表如表8-3所示.12是未知常数.问这台自动车床的工作是否稳定？（取α=0.01)解 这里实际上是已知σ12=σ22=σ2，但σ2未知的情况下检验假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.我们用t 检验法，由样本观察值算得：x =2.063, y =2.059，s 12=0.00000956， s 22=0.00000489，s w 2=2212990.0000860.0000441010218s s ⨯+⨯+=+-=0.0000072.由（8.20）式计算得t 0=3.3.对于α=0.01，查自由度为18的t 分布表得t 0.005(18)=2.878.由于｜t 0｜=3.3＞t 0.005(18)=2.878,于是拒绝原假设H 0：μ1=μ2.这说明两个样本在生产上是有差异的，可能这台自动车床受时间的影响而生产不稳定.2. 两正态总体方差的假设检验（F 检验法(F -test )） （1） 双边检验设两正态总体X ~N （μ1，σ12），Y ~N （μ2，σ22），X 与Y 独立，X 1，X 2，…，1n X 与Y 1，Y 2，…，2n Y 分别是来自这两个总体的样本，且μ1与μ2未知.现在要检验假设H 0：σ12=σ22；H 1：σ12≠σ22.在原假设H 0成立下，两个样本方差的比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小.于是我们选取统计量F =2122S S . （8.21） 显然，只有当F 接近1时，才认为有σ12=σ22.由于随机变量F *=22112222//S S σσ ~F （n 1-1，n 2-1）,所以当假设H 0：σ12=σ22成立时,统计量F =2122S S ~F （n 1-1，n 2-1）. 对于给定的显著性水平α，可以由F 分布表求得临界值12a F-（n 1-1，n 2-1）与F α/2（n 1-1，n 2-1）使得 P { 12a F-（n 1-1，n 2-1）≤F ≤F α/2（n 1-1，n 2-1）}=1-α（图8-5），由此可知H 0的接受区域是12aF-（n 1-1，n 2-1）≤F ≤F α/2（n 1-1，n 2-1）；而H 0的拒绝域为F ＜12a F-（n 1-1，n 2-1），或 F ＞F α/2（n 1-1，n 2-1）.然后，根据样本观察值计算统计量F 的观察值，若F 的观察值落在拒绝域中，则拒绝H 0，接受H 1；若F 的观察值落在接受域中，则接受H 0.图8-5例8.9 在例8.8中我们认为两个总体的方差σ12=σ22，它们是否真的相等呢？为此我们来检验假设H 0：σ12=σ22（给定α=0.1).解 这里n 1=n 2=10，s 12=0.00000956,s 22=0.00000489，于是统计量F 的观察值为F =0.00000956/0.00000489=1.95.查F 分布表得F α/2（n 1-1，n 2-1）=F 0.05(9,9)=3.18，F 1-α/2（n 1-1，n 2-1）=F 0.95(9,9)=1/F 0.05(9,9)=1/3.18.由样本观察值算出的F 满足F 0.95(9,9)=1/3.18＜F =1.95＜3.18=F 0.05(9,9).可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设H 0：σ12=σ22，从而认为两个总体的方差无显著差异.注意：在μ1与μ2已知时，要检验假设H 0：σ12=σ22，其检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：F =12211122121()1()n i i n i i X n Y n μμ==--∑∑~F （n 1，n 2）. 其拒绝域参看表8-4.表8-4(2) 单边检验可作类似的讨论，限于篇幅，这里不作介绍了.第四节总体分布函数的假设检验上两节中，我们在总体分布形式为已知的前提下，讨论了参数的检验问题.然而在实际问题中，有时不能确知总体服从什么类型的分布，此时就要根据样本来检验关于总体分布的χ检验法.假设.例如检验假设：“总体服从正态分布”等.本节仅介绍2χ检验法是在总体的分布为未知时，根据样本值x1，x2，…，x n来检验关于总体所谓2分布的假设H0：总体X的分布函数为F（x）；H1：总体X的分布函数不是F（x）（8.22）的一种方法（这里的备择假设H1可不必写出）.注意，若总体X为离散型，则假设（8.22）相当于H0：总体X的分布律为P{X=x i}=p i，i=1，2，…；（8.23）若总体X为连续型，则假设（8.22）相当于H0：总体X的概率密度为f（x）. （8.24）在用2χ检验法检验假设H 0时，若在假设H 0下F （x ）的形式已知，而其参数值未知，此时需先用极大似然估计法估计参数，然后再作检验.2χ检验法的基本思想与方法如下：(1) 将随机试验可能结果的全体Ω分为k 个互不相容的事件A 1，A 2，…，A k (1ki i A ==Ω，A i A j =∅，i ≠j ；i ,j =1,2,…,k ）,于是在H 0为真时，可以计算概率ˆi p =P (A i ）（i =1，2，…，k ）.（2） 寻找用于检验的统计量及相应的分布，在n 次试验中，事件A i 出现的频率if n与概率ˆi p往往有差异，但由大数定律可以知道，如果样本容量n 较大（一般要求n 至少为50，最好在100以上），在H 0成立条件下ˆii f p n-的值应该比较小，基于这种想法，皮尔逊使用 2χ=21ˆ()ˆki i i if npnp =-∑ (8.25) 作为检验H 0的统计量,并证明了如下的定理.定理8.1 若n 充分大(n ≥50),则当H 0为真时(不论H 0中的分布属什么分布),统计量(8.25)总是近似地服从自由度为k -r -1的2χ分布,其中r 是被估计的参数的个数.（3） 对于给定的检验水平α，查表确定临界值2(1)k r αχ--使P {2χ＞2(1)k r αχ--）}=α，从而得到H 0的拒绝域为2χ＞2(1)k r αχ--）.（4）由样本值x 1，x 2，…，x n 计算2χ的值，并与2(1)k r αχ--比较.（5） 作结论：若2χ＞2(1)k r αχ--，则拒绝H 0，即不能认为总体分布函数为F （x ）；否则接受H 0.例8.10 一本书的一页中印刷错误的个数X 是一个随机变量，现检查了一本书的100页，记录每页中印刷错误的个数，其结果如表8-5所示.i =0.05)?解 由题意首先提出假设：H 0：总体X 服从泊松分布.P {X =i }=!e ii λλ-，i =0，1，2，…，这里H 0中参数λ为未知，所以需先来估计参数.由最大似然估计法得03614061ˆ+70100x λ⨯+⨯++⨯⨯===1.将试验结果的全体分为A 0，A 1，…，A 7两两不相容的事件.若H 0为真，则P {X =i }有估计111ˆˆ{}!!e e i p P X i i i --====，i =0，1，2，….例如10ˆˆ{0},e pP X -=== 11ˆˆ{1},e pP X -=== 12ˆˆ{2},2e pP X -=== ………………166701ˆˆˆ{7}11.!e i i i pP X p i -===≥=-=-∑∑ 计算结果如表8-6所示.将其中有些np i ＜5的组予以适当合并，使新的每一组内有np i ≥5，如表8-6所示，此处并组后k =4，但因在计算概率时，估计了一个未知参数λ，故24221ˆ()~(411).ˆi i i i f npnp χχ=-=--∑计算结果为2χ=1.460(表8-6).因为220.05(411)(2)αχχ--==5.991＞1.46，所以在显著性水平为0.05下接受H 0，即认为总体服从泊松分布. 表8-68-7）.n =61ii f=∑=200.要求在给定的检验水平α=0.05下检验假设H 0：抗压强度X ~N （μ，σ2）.解 原假设所定的正态分布的参数是未知的，我们需先求μ与σ的极大似然估计值.由第七章知，μ与σ2的极大似然估计值为ˆx μ=， 2211ˆ()ni i x x n σ==-∑. 设*i x 为第i 组的组中值，我们有*1195102052624514200i ii x x f n ⨯+⨯++⨯==∑=221,{}2*222211ˆ()(26)10(16)262414200i ii x x f n σ=-=-⨯+-⨯++⨯∑=152,ˆσ=12.33. 原假设H 0改写成X 是正态N （221，12.332)分布，计算每个区间的理论概率值{}11ˆ()()i i i i i pP a X a μμΦΦ--=≤<=-, i =1，2，…，6, 其中ˆi i a xμσ-=, 22()i t i t μμ--∞=e d Φ. 为了计算出统计量2χ之值，我们把需要进行的计算列表如下（表8-8）.表8-8从上面计算得出2χ的观察值为1.35.在检验水平α=0.05下，查自由度m =6-2-1=3的2χ分布表，得到临界值20.05(3)χ=7.815.由于2χ=1.35＜7.815=20.05(3)χ，不能拒绝原假设，所以认为混凝土制件的抗压强度的分布是正态分布N （221，152）.小 结有关总体分布的未知参数或未知分布形式的种种论断叫做统计假设.一般统计假设分为原假设H 0（在实际问题中至关重要的假设）及与原假设H 0对立假设即是备择假设H 1.假设检验就是人们根据样本提供的信息作出“接受H 0、拒绝H 1”或“拒绝H 0、接受H 1”的判断.假设检验的思想是小概率原理，即小概率事件在一次试验中几乎不会发生.这种原理是人们处理实际问题中公认的原则.由于样本的随机性，当H 0为真时，我们可能会作出拒绝H 0、接受H 1的错误判断（弃当样本容量n 固定时，我们无法同时控制犯二类错误，即减小犯第一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的概率，反之亦然.在假设检验中我们主要控制（减小）犯第一类错误的概率.使P {拒绝H 0|H 0为真}≤α，其中α很小.(0<α<1)，α称为检验的显著性水平，这种只对犯第一类错误的概率加以控制而不考虑犯第二类错误的概率的检验称为显著性假设检验.单个、两个正态总体的均值、方差的假设检验是本章重点问题，读者需掌握Z 检验法、2χ检验法、t 检验法等.这些检验法中原假设H 0备择假设H 1及H 0的拒绝域分别见表8-2、表8-4.重要术语及主题原假设 备择假设 检验统计量 单边检验 双边检验 显著性水平 拒绝域 显著性检验 一个正态总体的参数的检验 两个正态总体均值差、方差比的检验 总体分布函数的假设检验习 题 八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N (4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05)? 2.某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 3.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s 2=0.1(克2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05).4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05).5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x =0.452(%),s =0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验. （1） H 0：μ=0.5(%)；H 1：μ＜0.5(%).（2）0H '：σ=0.04(%)；1H '：σ＜0.04(%). 6.某种导线的电阻服从正态分布N （μ，0.0052).今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s =0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005? 7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到： 第一批棉纱样本：n 1=200，x =0.532kg, s 1=0.218kg ； 第二批棉纱样本：n 2=200，x =0.57kg, s 2=0.176kg .设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？（α=0.05） 8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设H 0：σA 2=σB 2； H 1：σA 2≠σB 2.9.在π的前800位小数的数字中，0，1，…，9相应的出现了74，92，83，79，80，73，77，75，76，91次.试用2χ检验法检验假设H 0：P （X =0）=P （X =1）=P （X =2）=…=P （X =9）=1/10，其中X 为π的小数中所出现的数字，α=0.10.10.在一副扑克牌（52张）中任意抽3张，记录3张牌中含红桃的张数，放回，然后再任抽。