多高层钢结构设计-第七章.

第七章结构稳定性设计 §7.1轴心受压构件的稳定性一、Euler临界力图7—1 轴心受压构件弯曲屈曲Euler于1744年导出PE = π 2 EI l2 Euler临界应力，记为σ E PE π 2E π 2E = 2 = 2 σE = A l λ (I A λ 称为构件的长细比l λ= = r l I A二、屈服应力及几何初始缺陷对临界应力的影响σE σy 阿−λ 图7—3 σ cr − λ 曲线与σ E − λ 曲线图7—4 有初弯曲轴压构件的变形设构件存在初弯曲 y 0 = δ 0 sin πz l 可建立构件的挠曲平衡微分方程为 EIy ' '+ P( y + y 0 = 0 构件挠曲度 y 的解形式为 y = c sin 其中πz l rδ 0 c= 1− r σ r= σE构件在轴压力 P 作用下中点的最大挠度为δ max l + y ( l = δ + rδ 0 = δ 0 = y0 ( 0 2 2 1− r 1− r 则构件中点截面边缘的应力为ε0 P Pδ max P σ = + = (1 + 1− r A W A ε 0称为构件初始偏心率Aδ0 ε0 = W当构件截面边缘应力达到屈服应力σ y 时，可以认为构件达到最大承载力状态，则此时构件的平均轴压应力为构件临界应力σ cr，即ε0 σ y= σ cr (1 + = σ cr (1 + σ cr 1− r 1− σE 由上式可解得（ Perry公式）ε0 σ cr = σ y + (1 + ε 0 σ E 2 ⎡ σ y + (1 + ε 0 σ E ⎤ − ⎢⎥ − σ yσ E 2 ⎣⎦ 2图7—3 σ cr − λ 曲线与σ E − λ 曲线三、残余应力影响 (a轧制H型钢 (b 焊接H型钢 (c焊接箱型截面图7—5 典型截面残余应力分布+ξσy +ξσy −0.5σ y P =0 A −σ y −σ y −σ y P =σ y A P = 0.5σ y A P = 0.7σ y A 图7—6 具有残余应力的截面应力分布随轴压力增加的变化四、柱子曲线轴心受压构件稳定系数ϕ⎫2 σ cr 1 ⎧⎪⎪ϕ= = 2 ⎨(1 + ε 0 + λ 2 −[(1 + ε 0 + λ 2 ] − 4λ 2 ⎬ σ y 2λ ⎪⎪⎩⎭式中λσy λ= π E 考虑构件初弯曲为 l1000，选用不同的截面形式和不同的残余应力模式，计算出近200条柱子曲线，这些曲线呈相当宽的带状分布。

然后根据数理统计原理，将这些曲线分成a、b、c、d四组。

ϕλ 当λ ≤ 0.215 时，ϕ= 1 − α 1λ 2 当λ > 0.215 时, ϕ= 1 2λ 2 [(α 2 + α 3 λ + λ 2 −(α 2 + α 3 λ + λ 2 2 − 4λ 2 ]表 7— 1 曲线类别 a b 系数α 1 、α 2 、α 3 α10.41 0.65 α2 0.986 0.965 0.906 α30.152 0.300 0.595 0.302 0.915 0.432 λ ≤ 1.05 c 0.73 λ > 1.05 λ ≤ 1.05 d 1.35 1.216 0.8681.375 λ > 1.05五、计算长度 1.计算长度定义把各种约束条件下构件的Euler临界力值 PE 换算成相当于两端铰接的轴心受压构件屈曲荷载形式PE = π 2 EI l0 2 π 2 EI = ( μl 2 式中， l 0 称为计算长度， l 为构件实际长度，μ 称为计算长度系数。

2. 各种约束条件下构件的计算长度系数轴心受压构件的计算长度系数支承条件两端铰接两端固定上端铰接, 下端固定屈曲变形曲线应用实例μ值 1.0 0.5 0.7轴心受压构件的计算长度系数支承条件上端平移，但不转动，下端固定上端自由，下端固定上端平移，但不转动，下端铰接屈曲变形曲线应用实例μ值1.0 2.0 2.03. 框架柱的计算长度系数 a）无侧移失稳（b）侧移失稳框架结构的失稳形式如将框架失稳时柱的内力 N cr 表示为同一截面一定长度轴压杆 Euler 临界力 N cr = 则长度π 2 EI l0 2 l0 = π EI N cr 称为该柱的计算长度，而η= l0 π = l l EI N cr 称为该柱的计算长度系数。

其中，为柱的实际长度， I 为柱的截面惯性矩。

l反弯点ηl 门式框架的失稳1.6 + 4( K1 + K 2 + 7.5K1 K 2 η0 = K1 + K 2 + 7.5K1 K 2 KT = 0 3 + 1.4( K1 + K2 + 0.64 K1K 2 η∞ = 3+ 2( K1 + K 2 + 1.28 K1K 2 ηT = η0 ⎛η 2 ⎞⎜ 0 ⎟ KT KT 1 +⎜2 − 1⎟（2 − ） 60 ⎜ η∞ ⎟ 60 ⎝⎠ KT >= 60 0 ≤ KT ≤ 60 K1 = ∑ i1g ∑i 1c K2 ∑i = ∑i 2g 2c Bl 2 KT = ic B 为支撑的抗侧刚度§7.2 压弯构件的稳定性一、P − δ 效应与边缘屈服准则δ P −δ 简单压弯构件及P − δ 效应 M max = M 0 + Py z= l 2 = M0 P 1− PEx如果构件满足下列方程 N M max + = fy A Wx 或M0 N + A Wx (1 − P = fy ）PEx 构件即达到最大承载能力，二、等效弯矩系数M 0 = β mx M 2 β mx 称为压弯构件等效弯矩系数β max = 1 2 sin αl 2 (M 1 M2 2 − 2( M 1 M2 cos αl + 1 简化可得β max M1 = 0.65 + 0.35 M23. P − Δ 效应可得考虑P − Δ 效应影响的柱底弯矩为 M A = HL + PΔ 0 + PΔ 1 + PΔ 2 + ⋅⋅⋅因PΔ 0 H1 H2 PΔ 1 Δ1 = Δ 0 ，H1 = Δ0 ， H 2 = ；Δ2 = ；… H H L L 则( PΔ 0 2 PΔ 1 = ，HL PΔ 1 ( PΔ 0 3 H2 PΔ 2 = P Δ 0 = PΔ 0 = HL H ( HL 2所以⎤⎡PΔ 0 ( PΔ 0 2 ( PΔ 0 3 HL M A = HL ⎢1 + + + + ⋅⋅⋅⎥ = HL ( HL 2 ( HL 3 ⎦ 1 −PΔ 0 ⎣ HL 上式也可改写为M A = αM l 式中 M l —框架柱按一阶弹性分析所得由于侧移变形引起的弯矩； M A —考虑P − Δ 效应放大后的框架柱侧移弯矩；α —P − Δ 效应放大系数；1 α= PΔ 0 1− HL当框架同一层有多个柱时，可取α= 1− (∑ PΔ 0 1 (∑ H L 式中，∑ P 为同一楼层所有柱轴力之和，而上所有水平力之和。

∑ H 为该楼层以四、平面内稳定设计表达式采用边缘屈服准则，但设计弯矩应考虑：① P − Δ 效应及 P −δ 效应；②构件初弯曲的影响。

则设计式为P β mx M x + Pe = fy + A W (1 − P x PEx 当框架柱内无弯矩时，即 M x = 0 时，框架柱成为轴心受压构件，其轴心受压承载力应为 Pcr = ϕ x Af y ，则ϕ x Af y A + ϕx Af y e Pcr Wx (1 − PEx = fy由上式可得Wx e = (1 − ϕ x Pcr ϕx A 1− PEx 将上式代入设计式得( Pcr − P Pf y β mx M x P + + = fy ϕx A W (1 − P P P (1 − P x cr Ex PEx PEx 我国《钢结构设计规范》采用如下设计公式β mx M x P + ≤ f ϕx A γ W (1 − 0.8 P x 1x PEx四、平面外稳定设计表达式图7—17 压弯构件的弯扭屈曲压弯构件平面外稳定的控制方程为Mx P P (1 − (1 − − =0 2 PEy Pθ M crx 2P PEy = 5 θ P PEy − M x M crx 相关曲线Pθ 绝大多数情况下都大于1.0，故可偏于安全的近似采用直 PEy 线方程 Mx P + =1 PEy M crx 作为判别压弯构件平面外稳定与否的实用公式。

将上式改写为β tx M x P + =1 ϕ y Af y ϕ bW x f y 实际设计公式为β tx M x P + ≤ f ϕ y A ϕbWx β tx —计算压弯构件平面外稳定时的弯矩等效系数，M1 β tx = 0.65 + 0.35 M2五、双向受弯压弯构件的稳定性验算我国《钢结构设计规范》采用如下验算公式β ty M y β mx M x P + + ≤ f ϕx A γ W (1 − 0.8 P ϕbyW1 y x 1x PEx β my M y β tx M x P + + ≤ f ϕ y A ϕbxW1x γ W (1 − 0.8 P y 1y PEy§7.3 工程设计中框架柱稳定性验算需注意的问题P − Δ 效应分析P − δ 效应影响框架柱计算长度一、P − Δ 效应分析 1、钢结构设计规范（GB）建议方法无支撑纯框架的二阶弹性分析简图对于纯框架结构，当α 2i > 0.1 时宜采用二阶弹性分析计算内力，且在楼层处作用假想水平力Hi = αy∑P 250 1 0.2 + ns 近似二阶弹性弯矩M Π = M Ι b + α 2 i M Ιs 其中α 2i 1 = ∑P⋅ y 1− ∑H ⋅L钢结构设计规范存在的问题二阶分析采用两种不同的结构模型二阶分析与是否有支撑有关改进建议钢框架的近似二阶弹性分析模型近似二阶弹性弯矩M II = M Iq + α 2i M lH 优点：①不用区分框架的类型，只需分别计算竖向荷载与水平荷载下的一阶弹性内力；②避免计算规范所要求的虚加支座反力，不会由支座反力计算误差导致内力失真。

在楼层处作用的假想水平力Hi = αy∑P 300 1 0.2 + ns二、P − δ 效应影响通过柱子曲线考虑（采用柱计算长度）通过高等分析考虑（同时考虑P − Δ 效应和P − δ 效应进行结构分析，仅需进行截面强度验算）三、框架柱计算长度如结构分析不考虑P − Δ 效应，柱计算长度按框架屈曲值取。

如结构分析考虑P − Δ 效应，柱计算长度取为1。

对于有支撑框架，如框架屈曲计算长度小于1，则无论结构分析是否考虑P − Δ 效应，柱计算长度均按框架屈曲值取。

钢结构设计规范（GB50017）稳定验算框图结构方案计算荷载并组合否支撑框架？是一阶弹性分析？否施加假想水平力,取K=1 是取有侧移柱的计算长度系数强支撑框架？否一阶弹性分析？是计算弱支撑框架柱稳定系数压弯构件稳定验算否满足？是结束取无侧移柱的计算长度系数一阶弹性分析建议方法的稳定验算框图结构方案计算荷载并组合计算二阶近似内力否支撑框架？是 K<1? 否是压弯构件稳定验算满足？是结束否取K=1 取K＝1当框架同一层有多个柱时，可取α= 1− (∑ PΔ 0 1 (∑ H L 式中，∑ P 为同一楼层所有柱轴力之和，而上所有水平力之和。