一般数列的通项与求和-课件(PPT·精选)

分组求和法：有一等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或 裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项 和。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

(B)65
(C)61
(D)56
3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项 和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等 比数列的项数为( C ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6
4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进 制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成 十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进 制数(111…11)2位转换成十进制形式是( C )
上述方法也称为“升次裂项法”.
2.求数列a，2a2，3a3，…，nan，…(a为常数)的前n项的 和.
【解题回顾】若一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列的对应项乘积组成，则求此数列的前n项和多采 用错位相减法．
3.已知数列{an}中的a1=1/2，前n项和为Sn．若Sn=n2an， 求Sn与an的表达式.
【解题回顾】当本题解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下面要 想到迭代法求Sn，(即选乘)，同样如得出Sn+1-Sn=f(n)， 可用迭差.
4．若数列{an}中，an=-2[n-(-1) n]，求S10和S99．
【解题回顾】若构成数列的项中含有(-1)n，则在求和Sn 时，一般要考虑n是奇数还是偶数.
返回
延伸·拓展
5.在数列{an}中，an＞0， ①求Sn和an的表达式；
②求证Sn = an +1(n∈N)
1 Sn 2

【解题回顾】利用

1 n n - 1
，再用裂项法求和.利用
此法求和时，要细心观察相消的规律，保留哪些项等.必 要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项. 返回

n 1 n 1 n 1 n 1 (1 6n 5) (a1 an ) 2 2 4 ( 1 4 ) a ( 1 4 ) 2 2 2 2 1 4 2 1 4

2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6

－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝

求数列通项公式
目录
• 数列通项公式的定义和重要性 • 数列通项公式的求解方法 • 常见数列通项公式的求解 • 数列通项公式的应用 • 总结与展望
01
数列通项公式的定义和重要性
数列通项公式的定义
定义
数列通项公式是表示数列中每一项的 数学表达式，通常用$a_n$表示第 $n$项。
描述
通项公式可以完整地描述数列的性质 和规律，通过它我们可以了解数列的 任意一项的值。
通过解特征根方程来找出数列的通项公式。
详细描述
通过解特征根方程来找出数列的通项公式。
03
常见数列通项公式的求解
等差数列的通项公式
总结词
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，它表示数列中每一项与首项的差是 一个常数。
详细描述
等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差，$n$ 表示项数。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是数列中任意一项 与前一项的比值是一个常数。
VS
详细描述
等比数列的通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项， $a_1$ 表示首项，$r$ 表示公比，$n$ 表 示项数。
斐波那契数列的通项公式
通过数学归纳法证明数列的通项公式。
详细描述
数学归纳法是一种证明数列通项公式的有效方法。它通过两个步骤证明数列的通项公式：第一步是证明数列的 前几项满足公式；第二步是证明如ห้องสมุดไป่ตู้数列的前n项满足公式，那么数列的第n+1项也满足公式。如果能够证明这 两个步骤，那么就可以断定数列的通项公式成立。

用于计算组合数列的和
用于解决一些数学问题
数列的递推公式
递推公式是一种表示数列中项与前项或后项之间关系的数学表达式 递推公式通常用于描述数列的生成规律或变化趋势 递推公式可以通过已知的数列项来推导未知的项 递推公式在数列求和、数列求积等数学问题中有着广泛的应用
计算数列的 项数
求解数列的 极限
判断数列的 单调性
几何意义法：如果 数列的各项表示在 数轴上的一系列点， 且这些点组成的线 段最终落在一定范 围内，则该数列收 敛。
感谢您的观看
汇报人：XX
判断数列的 周期性
定义法：根据递推公式，逐项 求解
特征根法：通过解方程找到递 推公式的特征根，再利用特征 根求解
迭代法：将递推公式进行迭代， 逐项求解
数学归纳法：通过归纳递推公 式，找到通项公式和求和公式
数列的极限和收敛 性
极限是数列的一种特性，表示数列 的项无限趋近于某个值
极限值取决于数列的项的取值，不 同的项取值会导致不同的极限值
通项公式是数列中每一项的唯一标准表示形式，是数学中研究数列的重要工具。
定义法：根据数列的定义，推导出通项公式 递推法：通过已知的递推关系式，推导出通项公式 归纳法：通过观察数列的前几项，归纳出通项公式 特征根法：对于等比数列，通过特征根方程求得式 判断数列的单调性 计算数列的极限
等差数列：每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列 等比数列：每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列 幂级数：表示各项为幂的数列 几何级数：表示各项为几何数的数列
数列的通项公式
数列的通项公式是表示数列中每一项的数学表达式。 通项公式通常由变量和常数组成，表示数列的一般形式。 通过通项公式可以确定数列中任意一项的值，并了解数列的变化规律。

法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.

1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,

an=An+B则求Sn用 等差数列求和公式 （2）若an=Aqn则求Sn用 等比数列求和公式 (3)若an=(An+B)+qn,则求Sn用 分组求和法 . (4)若an=(An+B)qn,则求Sn用乘公比错位相减. 法
例1:求数列
1 , 1 , ,
1
,
1 2 1 23
1 2 (n 1)
的前n项和.
例2:求通项为an=(-1)nn2的数列 的前50项的和.
解题规律:若an=(-1)n(An+B)2 则求Sn用并项求和法.
•
https:// 新视觉
美洲红鹮体长56-61厘米，翼展101厘米，体重772-935克。最显着的特点是整体羽毛都是红色的，翅膀的翼端具蓝黑色光泽。它全身发红，是世界上颜色最红的鸟类之一。除了长喙呈灰黑色外，浑身上下包括腿和脚趾都呈鲜红色。虹膜橙红色，嘴黑色，嘴基及 头裸露部分朱红色，跗蹠、爪及胫下部裸露部分亦为朱红色。 [1] 雌雄类似，雄鸟的体型略大。幼鸟两颊被有绒羽，其余脸部裸露无羽，橙黄色。体羽缀有烟灰色而具玫瑰色光泽。初级飞羽黑褐色，脚淡褐色，虹膜淡黄褐色。随着成长羽毛上会出现红色斑点，直到两年后才完全达到成鸟的羽毛颜色。 [1] 跟鹳鹤等涉禽一样，鹮类鸟都有一张长喙，但比鹤和鹳的喙细，灵巧，前端向前下弯曲，是它们掘食鱼贝的得力工具。当它们站立不动时，它们几乎没有尾巴——短短的尾藏在折叠的翅膀下面。当它们在空中飞翔时，修颈长腿都竭力的伸直，尾羽张开如扇， 双翅缓缓地一上一下地拍扇，优美高雅的造型，从容不迫的飞姿无谁能比。有一双伶仃的长腿，长长的脚趾基部有蹼相连，在沼泽地取食时不会陷在淤泥里。 [1] 美洲红鹮是世界上珍稀、名贵的鸟类，也是最濒危的鸟类之一，它全身发红，是世界上颜色最红的鸟类之一。除了长喙呈灰黑色外，浑身上下包括腿和脚趾都呈鲜红色。 常结成大群，当红鹮一齐飞起时，好像一片红云飘起，景象非常壮观！红鹮现今只分布于拉丁美洲的哥伦比亚到巴西的部分沿海地带，全身上下均为鲜红色，以海里的小鱼、贝类为食物。 美洲红鹮长56-61厘米，重650克。它们整只都是红色的，在翼端上有一点黑色。它们会在树上筑巢，每胎会产2-4只蛋。它们主要吃甲壳类及细小的水中动物。雏鸟是灰色及白色的，并会在沼泽内吃红蟹，在成长时就会出现红色的羽毛。美洲红鹮在野外的寿命 约有15年，饲养下则有20年。

1
2
4
+4ห้องสมุดไป่ตู้
1
2
8
+ 6 2 12 + … + (2n) 2 4n .
n 3n 2 3n1 2 , 3n
1
1
(3) 在数列{a n }中, a n =
求数列前 n 项和 S n .
(4)求 S n = 1 – 2 + 3 – 4 + … + (– 1 ) n+1n . (5) 在等差{a n }中, a n = 32 – 4n, 求 S n = | a 1 | + | a 2 | + … | a n |
如此而已
有 演 绎 ， 有 归 纳 ； 有 深 度 ， 有 梯 度 ； 有 法 又 无 法
错位相减：通项为等差等比对应项乘积
高 中 数 列 求 和 常 规 方 法
裂项相消：通项为分式且分母为序号的一次因式乘积；
分组求和：通项为等差、等比、常数相加减；
倒序相加：首尾项相加为常数；
数列重构：增、减、按某种规律间隔后变为等差、等比数列
有 线 索 ， 有 展 开 ； 有 铺 叙 ， 有 高 潮 ； 形 散 神 不 散
思考：数列求和的技巧有哪几种？ 运用的时候通项公式有何特征?
题组一
(1) 设 a 1 , a 2 , … , a n 是 a1 =2 的等差数列,公差为 d=3： 求 S n = a 1x + a 2x 2 + a 3x 3 + … + a nx n. ( x 0 ) (2) 求 S n = 2