第1章 流体力学基础知识

气 业 基 学 1.1.2 流体的密度、压强和温度
西 动 大 础教 院 1. 流体内部一点处的密度 北 力 学 学 在连续介质假设的前提下，可以对流体微团乃至流体内部某一几何点处的密 工 学 航 团 度下定义。
空气 业 基 天学 队 围绕流体内部某一点 P 处划取一块微小空间，设这块空间的容积为 ∆τ ，其
介质平均密度有一个相当稳
西 北
定的值，即 ρ p 。这是因为在
空 工 微元容积缩小过程中。包含
气 业 在微元单位容积内的分子数
西 动 大 目越来越稳定，单个分子的
北 力 学 个性没有显示出来。如果继续缩小微元容积，向零趋近时，单位微元容积内所
空 工 学 航天 包含的介质分子数目就不可能保持常数。在某一瞬间来看问题：如果恰好有几
大 编 dV /V 动 学 教 院 写 式中：E 为体积弹性模数；V 为一定量气体的体积。对于一定质量的气体，其体
力 航 学 积与密度成反比例关系，因此可得
学基 天 团队 dρ = − dV 学ρ V
础 院 编 因此，气体的体积弹性模数可写为
教学 写 E = ρ dp 团 dρ
（1-7）
队 在相同的压强增量作用下，这种相对密度(或体积)的变化的大小和体积弹性
队 作用，微粒的实际占有体积和气体所占空间相比较可以忽略不计。远离液态的
编 气体基本符合这些假设，通常状况下的空气也符合这些假设，可以看作为一种
完全气体。
写
任何状态下，气体的压强、密度和温度之间都存在一定的函数关系，即
p = p(ρ,T )
这个函数关系称之为气体的状态方程。完全气体的状态方程为
p = R ρT m
（1-5）
西 式中： R 为普适气体常数，其数值为 8315 m2 / (s2 ⋅ K ) ；m 为某种气体的分子量；
北 T 为绝对温度。如将 R / m 改用符号 R 表示，则式（1-5）可写为
空 工 p = ρRT
（1-6）
气 业 式中：R 为气体常数。各种气体的气体常数各不相同。空气是多重组分构成的混
北 学 航 下面研究该四面体的力平衡
空 工 基 天 关系。先看沿 x 轴方向的力平衡。
气 业大 础 学 作用在 BOC 面上的总的压力为
西北 动力 学 教学 院 px
(
1 2
dydz
)
，指向
x
轴正方向；作
学 航 用在斜面 ABC 上的总的压力为
空 工业 基 天 团队 p(dS) ，其中 dS 为斜面 ABC 的面
编 模数的值有关。各种物质的体积弹性模数不同，因此各种物质的压缩性也各不 写 相同。例如，在常温下水的体积弹性模数约为 2.1×109 N / m2 ，当压强增大一个
大气压时，由式（1-7）可确定，对应的相对密度变化为
∆ρ = ∆p ≈ 0.5×10−4 ρE
即一个大气压的压强变化引起的水的相对密度变化值只有万分之零点五，因此，
教6 学 写 因此，与压强的作用相比较，这些力是高阶小量。由此可得，x 轴方向的力平衡
方程可写为
团
1
队编 2
pxdydz
−
p cos(n,
x)dS
+ 3阶小量项=0
写 同理可得，y 和 z 向的力平衡方程为
1 2
pydzdx
−
p
cos(n,
y)dS
+
3阶小量项=01 2来自pz dxdy−
p cos(n,
西 在流体力学中，连续介质假设很有用。根据连续介质假设，可以把流体介质
北 的一切物理属性，如密度、速度、压强等都看作是空间的连续函数。因而，在
解决流体力学实际问题时就可以应用数学分析这一有力工具来处理。
空 工 连续介质假设是建立在流体分子平均自由程远远小于物体的特征尺寸的基 气 业 础上的。在某些情况下，例如 120km 的高空，空气分子的平均自由程可以和飞 西 动 大 行器的特征尺寸同一数量级，连续介质假设就不再成立。这时，必须把空气看 北 力 学 成为不连续的介质，这个范围的空气动力学称之为稀薄空气动力学，不属于本 空 工 学 航天 书的范围。
于物体特征尺寸而言，它又是无限微小的。
2.理想流体中一点处的压强各向同性
在无黏流体中，不论流体是静止还是流动，流体内部任一点处的压强是各向
同性的，这就是说，在理想流体内部压强不因受压面的方位不同而变化，压强
西 只是空间坐标的函数(如流动参数随时问而变化，则压强还是时间的函数)。在 P
北 点附近取坐标系 Oxyz。沿 3 个坐标轴取三个微段长度，OA=dx，OB=dy，OC=dz，
团 在海平面上，温度为 288K 和一个标准大气压时的水的密度为 1 000 kg / m3 ，
队 而空气的密度为 1. 225 kg/m3 。
编 在以后的分析中，往往要取一块尺寸极微小的介质来看它的运动情况或分析 写 它所受的力。既然采用了连续介质的假设，当然不能再取分子，这样的一块尺
寸极微小的介质，称它为“微团”。流体微团中包含有足够多的分子，但相对
连绵一片的、没有间隙的、充满了它所占据的空间的连续介质。 由于采用了连续介质假设，因而在分析流体运动时，要取一小块微元流体做
分析的对象，这块微元流体称之为流体微团。流体微团包含有许多流体分子，
流体微团的特性反映了这些分子的统计特性。但是，相对于工程上物体的特征
尺寸而言，流体微团的尺寸是无限微小的，可以近似地看成一个点。
第 1 章 流体力学基础知识
物体和流体作相对运动时，物体会受到流体对它的作用力和力矩。这些力 和力矩的分布情况及其合力，不仅仅取决于物体的形状(包括运动时的姿态) 和
西 速度，还取决于流体的具体属性，如密度、黏性、弹性、传热性和流动性等。 北 本章要讲的是流体力学的基础知识。
空 工业 1.1 流体介质 气动 大 1.1.1 连续介质假设
cos(n, y)dS = 1 dzdx 2
cos(n, z)dS = 1 dxdy 2
气 业 基 学 px = p
西 动 大 础教 院 py = p
北 力学 学航 学 pz = p 空 工业 基 天 团队 即
气 大 础 学 编 p=x p=y p=z p
（1-4）
动 学 教 院 写 因为图 1-3 中的坐标系是任意选取的，所以由式（1-4）可见，理想流体内
气 业 基 学 个分子飞出微元容积，平均密度就会突然显著变小；如果恰好有几个分子飞入
动 大 础 院 微元容积，平均密度又会突然显著变大。微元容积缩得越小，这种平均密度忽
西 力 学 教 大忽小变化的情况越严重。因此，在连续介质假设前提下，流体内部某一点 P
北 学 航 学 处的密度应为
空 工业 基 天 团队 ρ = lim ∆m 气 学 ∆τ ∆τ →(∆τ )0
力学 航 学 一点处的压强与受压面的方位无关，它仅是空间坐标的连续函数。
基 天 团队 在国际单位制中，压强的单位是 N / m2 或 Pa 。
础 学 编 3.完全气体的状态方程 教学 院 写 完全气体是气体分子运动论中所采用的一种模型气体。它的分子是一种完全
团 弹性的微小球粒，内聚力十分微小，可以忽略不计，彼此只有在碰撞时才发生
西北 力 学 流体是液体和气体的总称。和固体不同，流体没有确定的几何形状。把流 空 工 学 航天 体盛满在某容器内，它的形状就取该容器的几何形状。流体的这种容易流动(或 气 业 基 学 抗拒变形能力很弱)的特性，称之为易流性。
动 大 础 院 在流体中，气体和液体又有所不同。一定量的液体虽无确定的几何形状， 西 力 学 教 但却有一定的体积，在容器中能够形成一定的自由表面。而气体则不同，它连
气动 大 础 学院 编 积，这个力在 x 轴方向的分力为
力 学 教 写 p(dS)cos(n, x) ，其中 n 为斜面 ABC
学 航 学团 的法线方向，指向 x 轴负方向；此外，该四面体内的流体可能因在作加速运动 基 天 队 而有惯性力，或因处于某种力场中而受力(如引力)。但是，这些力的大小都与 础 学院 编 四面体内流体质量成正比，而质量等于该微四面体的体积 (1 dxdydz) 乘以密度，
z)dS
+ 3阶小量项=0
令 dx，dy，dz 趋于零，略去 3 阶小量项，可得
1 2
pydzdx
−
p
cos(n ,
y)dS =0
1 2
pydzdx
−
p
cos(n ,
y)dS =0
西 1 北 2
pz dzdx
−
p
cos(n ,
z)dS =0
由几何关系可得
空 西北工空气动力学工业大学航天 由此可得
cos(n, x)dS = 1 dydz 2
北 学 航 学 体积也是不确定的，气体总是能够充满容纳它的整个容器。 空 工业 基 天 团队 在物理学中，我们知道流体是由大量分子组成的，每个分子在不断地作不
气 大 础 学 编 规律的热运动，彼此不时碰撞，交换着动量和能量。分子之间距离很大，分子 动 学 教 院 写 的平均自由程比分子本身的尺寸大得多。以空气为例，在标准状况下，空气分 力 航 学 子的平均自由程约为 6×10-6cm，而空气分子的平均直径约为 3.7×10-8cm，两者 学 天 团 之比约为 170：1。液体虽然比气体稠密得多，但分子之间仍然有相当的距离。 基 学 队 因此，从微观上来说，流体是一种有间隙的不连续介质。 础 院 编 但是，在流体力学和空气动力学中，详细地去研究分子的微观运动是不必 教学 写 要的。因为工程上所研究的物体总是有一定的体积，其特征尺寸一般以米（m） 团 计，至少以厘米（cm）计，比流体分子的平均自由程大得多。流体的运动既然 队 是由物体所引起的，流体受物体的扰动而运动时，必然是大量流体分子一起运 编 动的。因此，在流体力学领域里，一般并不需要详细地研究流体分子的个别运 写 动，而是研究流体的宏观运动。因此，我们采用连续介质假设，即把流体看成