江苏省盱眙县都梁中学高中数学2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式课堂精练苏教版必修5

江苏省盱眙县都梁中学高中数学 2.3.3 等比数列的前n 项和课堂精练 苏教版必修51.设等比数列{a n }的公比q ＜1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式为__________．2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于__________．3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为__________．4．若等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝__________.5．在各项均为正数的等比数列{a n }中，任何一项都是它后面两项的和，则公比q ＝__________.6．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为__________．7．若两个方程x 2－ax ＋1＝0和x 2－bx ＋1＝0的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab 的值为__________．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n 和第n 项a n 之间满足2lg S n －a n ＋12＝lg S n ＋lg (1－a n )，求此数列的通项公式和前n 项和S n .9．设f (x )＝x 2－ax ＋a (x ∈R )同时满足：①不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内，存在0＜x 1＜x 2，使得f (x 1)＞f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )．(1)求函数f (x )的表达式；(2)求数列{a n }的通项公式．10．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵： a 11 a 12 a 13……a 1na 21 a 22 a 23……a 2na 31 a 32 a 33……a 3na n 1 a n 2 a n 3……a nn已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，该数阵第一列的n 个数从上至下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，其中m 为正实数．(1)求第i 行j 列的数a ij ；(2)求这n 2个数的和S .参考答案1．a n ＝2×(－1)n －1或a n ＝12×(－2)n －1 点拨：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q＝5×a 1(1－q 2)1－q . ①②由②式得1－q 4＝5(1－q 2)， 即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0.因为q ＜1，所以q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2，通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12×(－2)n －1. 2．2n 点拨：∵数列{a n }为等比数列，则a n ＝2qn －1.∵数列{a n ＋1}也是等比数列，∴(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)．∴a n ＋12＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2.∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1.∴a n (1＋q 2－2q )＝0，得q ＝1，即a n ＝2.∴S n ＝2n .3．13点拨：由已知q ≠1， 又2·2S 2＝S 1＋3S 3， ∴4a 1(1＋q )＝a 1＋3×a 1(1－q 3)1－q， 化简，得3q 2－q ＝0，∴q ＝0(舍去)，q ＝13. 4．2 点拨：∵S 奇×q ＝S 偶，∴S 奇－S 偶＝S 奇－S 奇×q ＝80.①S 2n ＝S 奇＋S 偶＝S 奇＋S 奇×q ＝－240.②由①除以②，得1－q 1＋q ＝－13，解得q ＝2. 5．5－12点拨：由题意可得a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，又知a n ＋1＝a n ·q ，a n ＋2＝a n ·q 2，代入上式可得1＝q ＋q 2，即q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1±52.又数列的各项均为正数， ∴q ＞0，∴q ＝5－12. 6．216 点拨：设插入的三个数为a q，a ，aq ，根据题意，五个数成等比数列，∴a 2＝83×272＝36.∴a ＝±6(a ＝－6舍去)． ∴插入的三个数的乘积为a 3＝216.7．274点拨：根据题意，设组成的等比数列为x,2x,4x ，8x (x ≠0)，不妨设x,8x 是方程x 2－ax ＋1＝0的两个根，2x,4x 是方程x 2－bx ＋1＝0的两个根，∴8x 2＝1，∴x 2＝18.又a ＝x ＋8x ，b ＝2x ＋4x .∴ab ＝9x ×6x ＝54x 2＝548＝274.8．解：由已知，得[(S n ＋(1－a n )]2＝4S n ·(1－a n )，整理，得S n 2－2(1－a n )·S n ＋(1－a n )2＝0，即[S n －(1－a n )]2＝0，∴S n ＝1－a n ，∴S 1＝1－a 1，∴a 1＝12.又a n ＝S n －S n －1＝(1－a n )－(1－a n －1)(n ≥2)，整理得，2a n ＝a n －1，∴a na n －1＝12，即数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列．∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝1－q n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.9．解：(1)∵f (x )≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ＝a 2－4a ＝0.∴a ＝0或a ＝4.当a ＝0时，函数f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上递增，故不存在0＜x 1＜x 2，使f (x 1)＞f (x 2)成立，综上所述，当a ＝4时，f (x )＝x 2－4x ＋4.(2)由(1)得S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1(n ＝1)，2n －5(n ≥2).10．解：(1)a 11＝2，且a n 1＝a 11＋(n －1)·m ＝2＋mn －m ，a n ＝a 11m n －1＝2·m n －1，由a 13＝a 61＋1，得2·m 2＝2＋6m －m ＋1，∴m ＝3或m ＝－12(舍去)．a ij ＝a i 1·3j －1＝[2＋(i －1)·3]·3j －1＝(3i －1)·3j －1.(2)S ＝(a 11＋a 12＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n 1＋a n 2＋…＋a nn )＝a11(1－3n)1－3＋a21(1－3n)1－3＋…＋a n1(1－3n)1－3＝12(3n－1)·(a11＋a21＋…＋a n1)＝1 2(3n－1)·(2＋3n－1)·n2＝14n(3n＋1)(3n－1)．。

§2.3 等比数列2．3.1 等比数列的概念(一)2．3.2 等比数列的通项公式(一)一、基础过关1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝________.2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad ＝________.3．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为________．6．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝________. 7．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．二、能力提升9．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n (n 为奇数)2a n ＋1(n 为偶数)，若a 1＝1，则a 19＝________. 10．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6＝________. 11．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.12．已知(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝0.(1)若a ，b ，c 依次成等差数列且公差不为0，求证：x ，y ，z 成等比数列；(2)若正数x ，y ，z 依次成等比数列且公比不为1，求证：a ，b ，c 成等差数列．三、探究与拓展13．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．答案 1．11 2．2 3．4·(32)n －1 4．－3 5.536.2 7．解 方法一 ∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5a 1a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1. 当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12. 故a n ＝2n －1或a n ＝23－n . 方法二 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 31q 3＝8， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7， ①a 1q ＝2， ② 将a 1＝2q代入①得2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12， 由②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝23－n . 8．解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有a －d ＋a ＋a ＋d ＝48，即a ＝16.设后三个数分别为b q，b ，bq ，则有 b q·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25. 即所求的四个数分别为12,16,20,25.9．1 023 10.5－1211．－9 12．证明 (1)∵a ，b ，c 成等差数列且d ≠0，∴b －c ＝a －b ＝－d ，c －a ＝2d ，∴(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )·log m z＝2d log m y －d log m x －d log m z＝d (2log m y －log m x －log m z )＝d log m (y 2xz)＝0. ∵d ≠0，∴log m y 2xz ＝0，∴y 2xz＝1. ∴y 2＝xz ，即x ，y ，z 成等比数列．(2)∵x ，y ，z 成等比数列，且公比q ≠1，∴y ＝xq ，z ＝xq 2，∴(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )·log m z＝(b －c )log m x ＋(c －a )log m (xq )＋(a －b )log m (xq 2)＝(b －c )log m x ＋(c －a )log m x ＋(c －a )·log m q ＋(a －b )log m x ＋2(a －b )log m q ＝(c －a )log m q ＋2(a －b )log m q＝(a ＋c －2b )log m q ＝0，∵q ≠1，∴log m q ≠0，∴a ＋c －2b ＝0，即a ，b ，c 成等差数列．13．解 设三个数为a q，a ，aq ， ∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q，－2，－2q . (1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4， ∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q＋1＝2q ， 2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0， ∴q ＝－2或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4.。

2.3.1 等比数列的概念和通项公式【学 航】学 要求：1. 体会等比数列是用来刻画一 离散 象的重要数学模型, 理解等比数列的概念， 2. 比等差数列的通 公式 , 探索 等比数列的通 公式, 掌握求等比数列通 公式的方法, 3. 掌握等比数列的通 公式 , 并能运用公式解决一些 的 . 【自学 价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从 ，每一 与它的前一 的比等于，那么 个数列就叫做等比数列 . 个常数叫做等比数列的；公比通常用字母q 表示（ q ≠ 0），即： n ≥ 2a n=q （q ≠ 0）a n 1注:1 “从第二 起”与“前一 ”之比 常数q ｛ a n ｝成等比数列a n 1=q （ n N, q ≠0）a n2 含：任一 a n0且 q 03 ， {a} 常数列 .n2. 等比数列的通 公式① a n② a n a m qn m( a 1 q 0)3．既是等差又是等比数列的数列：常数列．4. 等比中 的定 ：如果，那么叫做的等比中 . 且 G25． 明数列 { a n } 等比数列：①定 ： 明a n 1=常数，②中 性 ： a n 21 a n ga n 2或a n 1a n 2 ；a n a na n 1【精典范例】【例 1】判断下列数列是否 等比数列：（１）１，１，１，１，１；（２）０，１，２，４，８；（３） 1，1 ，1，1 ， 1.24816【例 2】求出下列等比数列中的未知 ：（１）２，ａ，８；（２）－４，ｂ，ｃ，1 ．2【例 3】在等比数列 { a } 中，n（１）已知ａ １＝３，ｑ＝－２，求ａ６； （２）已知ａ３ ＝ 20，ａ ６ ＝160，求ａ ｎ ．【例 4】已知等比数列a 的通 公式a n3 2n ，求首 a 和公比q ．n1思考：如果一个数列 { a n } 的通 公式 a naq n ，其中 a, q 都是不 0 的常数，那么 个数列一定是等比数列 ？2.3.1 等比数列的概念和通项公式 （练习题1. 求下列等比数列的公比、第５ 和第ｎ ： （ 1）２，６，１８，５４，⋯；（ 2） 0.3 ，－ 0.09 ，0.027 ，－ 0.0081 ，⋯；2. 等比数列 {a } 中 ,a 1=2,q=-3,a 8=； a n =.n3. 等比数列 {an} 中 ,a 1=2, a 9=32,q= .4. 在等比数列中，已知首9，末1，公比2 ， 数 n 等于8335. 已知一个等比数列的第5 是 4 ，公比是－1，它的第 1 是.936. 在 81 和３中 插入 2 个数 和，使 4 个数成等比数列．7．在等比数列 {bn} 中， b 3?b 9=9， b 6 的 .8. 正 等比数列 {an} 中， a 2a 5=10， lga3+lga 4.9. 2＋ 1 与 2－ 1 两数的等比中 是.10. 若等比数列的首4，公比 2， 其第3 和第 5 的等比中 是 .11. 在等比数列 a n 中，若 a 1 128, a 81 . 求公比 q 和 a 12 ；12. 已知等比数列的通 公式a n1 10 n ，求首 a 1 与公比 q413. 已知等比数列a n 中， a 3 2, a 2 a 420, 求 数列的通 公式 .3。

课题：等比数列的概念及其通项公式（1）【学习目标】1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型, 理解等比数列的概念.2.类比等差数列的通项公式, 探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法, 掌握等比数列的通项公式, 并能用公式解决一些简单的实际问题.【重点难点】等比数列的概念及通项公式【课前预学】1.等比数列的定义2.等比数列的通项公式3.等比中项4.如何判断一个数列为等比数列?【预习检测】1.判断下列数列是否为等比数列(1) 1 , 2 , 1 , 2 , 1 ; （2）2,2,2,2;----(3)11111,,,,;392781-- （4）112,1,,,0.242.求下列等比数列的公比和第n 项. (1)2 , 6 , 18 , 54 , … ; (2)7 ,314 , 928 , 2756 , … ;(3) 0.3 , －0.09 , 0.02 7, －0.0081 , … ; (4) 5 , 5c+1 , 52c+1 , 53c+1 , … ,【课堂研学】例1.判断下列数列是否为等比数列(1) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ; (2)0 , 1 , 2 , 4 , 8 ; (3)1 , －21, 41, －81, 161例2.求出下列等比数列中的未知项:(1)2 , a , 8 ; (2) －4 , b , c ,21例3.在等比数列{a n }中:(1)已知a 1=3 , q=－2 , 求a 6 ;(2)已知a 3=20 , a 6=160 , 求a n .例4.在243和3中间插入3个数, 使这5个数成等比数列.【课后作业】1.数列21, －41, 81, －161, … 的一个通项公式是 __________ ; 2.若等比数列{a n }的公比为q , 首项为a 1 , n 为偶数, 则第2n 项是__________ ;3.填出以下等比数列的空白项及通项公式:(1)2 , 10 , ______ , _______ , _______ , … , a n =______________ ; (2)_______ , 1 , ba , ________ , ________ , … , a n =__________ . (其中ab ≠0)4.在等比数列{a n }中.(1)若a 4=27, 公比为q=－3 , 则a 7=______________ ;(2)若a 5－a 1=15 , a 4－a 2=6 , 则a 3=_____________ ;(3)若a 1=qp , a 2=pq(q ≠1), 则a n =____________ .5.将20 , 50 , 100这三个数都加上相同的常数, 使它们按原排列顺序成为等比数列, 则其公比是____________ .6.若三个不相等的数a , b , c 成等差数列, 又a , c , b 成等比数列, 求a : b : c .7.三个数组成等比数列, 和为31 , 又第一项与第三项和为26 , 求此数列.8.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，求该数列的公比。

第2课时 等比数列的性质1．等比数列与指数函数的关系 如果数列{a n }是等比数列，则a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，故q ≠1时点(n ，a n )均在函数y＝a 1qx －1的图象上．思考1：我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .等比数列也有类似变形吗？[提示] 在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得a n a m ＝a 1q n －1a 1qm －1＝q n －m，所以a n ＝a m qn －m(n ，m ∈N *)．思考2：我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定．等比数列的通项公式是否也可做类似变形？[提示] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 则a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝a 1qn－a 1qn －1＝a 1qn －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定．2．等比数列的性质(1)如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l . (2)如果m ＋n ＝2k ，则有a m ·a n ＝a 2k .(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝a k ·a n －k ＋1＝….1．对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是( )A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列[答案] D2．等比数列{a n}中，a1＝3，q＝2，则a4＝______，a n＝______.24 3×2n－1[a4＝a1q3＝3×23＝24，a n＝a1q n－1＝3×2n－1.]3．在等比数列{a n}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________.9[因为a7＝a5q2，所以q2＝3 2 .所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×94＝9.]4．在等比数列{a n}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．25[因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.]【例1】n(1)若a3a5a7a9a11＝243，求a29a11的值；(2)若a n>0，且a3a6＝32，求log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则a m·a n＝a p·a q＝a2k求解．[解](1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a57＝243＝35，∴a7＝3.又a29a11＝a7·a11a11＝a7，∴a29a11＝3.(2)log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2a1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便.提醒：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度.1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.[解](1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a6·a10＋a3·a5＝a28＋a24＝41，又a4·a8＝4，∴(a4＋a8)2＝41＋2×4＝49，且a n>0，∴a4＋a8＝7.(2)∴a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.【例2】 10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n (n ∈N *)时这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？思路探究：根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决． [解] (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 由题意，得a 1＝13.5，a 2＝13.5(1－10%)，a 3＝13.5(1－10%)2，…，由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝13.5，公比q ＝(1－10%)＝0.9， ∴a n ＝a 1·qn －1＝13.5×(0.9)n －1.所以n 年后车的价值为a n ＝13.5×(0.9)n －1万元．(2)由(1)得a 5＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.86(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.86万元．解等比数列应用题的一般步骤2．某市2018年建成共有产权住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2018年为累计的第一年)将首次不少于 4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?[解] (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知，{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，得n 2＋9n －190≥0， 令f (n )＝n 2＋9n －190，当f (n )＝0时，n 1＝－19，n 2＝10， 由二次函数的图象得n ≤－19或n ≥10时，f (n )≥0，而n 是正整数．所以n ≥10.故到2027年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知， {b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08， 则b n ＝400×1.08n －1，由题意可知a n >0.85b n ，即250＋(n －1)×50>400×1.08n －1×0.85，满足不等式的最小正整数n ＝6.故到2023年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.[1．若三个数成等比数列，如何设这三个数使计算较为方便？[提示] 设等比中项为a ，公比为q ，则这三个数分别为a q，a ，aq ，这样计算较为方便． 2．若四个数成等比数列，如何设这四个数使计算较为方便？ [提示] 设这四个数分别为a q 3，a q，aq ，aq 3计算较为方便．【例3】 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，四个数的和为21，求这四个数．[解] 设这四个数为a q ，a ，aq ，b ，由题意a q·a ·aq ＝a 3＝216，解得a ＝6， 则这四个数为6q，6,6q ，b ，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ 12q ＝6＋b ，6q ＋6＋6q ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝23，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，b ＝0.故这四个数为9,6,4,2，或12,6,3,0.1．(变条件)若将本例的条件改为“前三个数的积为－8，后三个数的积为－80”其他条件不变，试求这四个数．[解] 由题意设此四个数分别为b q，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数分别为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.2．(变条件)本例四个数满足的条件改为“前三个成等差，后三个成等比，中间两个数之积为16，首尾两个数之积为－128”，求这四个数．[解] 设这四个数分别为2a q －a ，aq，a ，aq ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2q＝16，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a q －a ·aq ＝－128，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，q ＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.灵活设项求解等比数列问题，要注意题中的隐含条件，及时取舍，做到既快又准确.1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.1．判断正误(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (2)当a 1>0且q >1时{a n }为递增数列，故(2)错．2．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015等于( )A ．3或－1B ．9或1C ．1D ．9D [由3a 1，12a 3,2a 2成等差数列可得a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，∵a 1≠0，∴q 2－2q－3＝0.解得q ＝3或q ＝－1(舍)． ∴a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015＝a 2 016(1－q )a 2 014(1－q )＝a 2 016a 2 014＝q 2＝9.]3．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．8 [设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12，a ，b ，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12×8＝4，因为a 2＝12b >0，∴b ＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8.]4．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .[解] (1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36. 又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝± 2.。

2.3.2 等比数列的通项公式教学目标：1. 掌握通项公式，并能应用公式解决有关问题；2. 理解等比数列的性质，并学会其简单应用；3. 会求两个正数的等比中项，能利用等比中项的概念解决有关问题，提高分析、计算能力；4. 通过学习推导等比数列的通项公式，掌握“叠乘法” ．教学重点：等比数列的通项公式．教学难点：等比数列的有关性质及灵活应用．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程：一、问题情境问题1：观察等比数列{}n a ：1,2,4,8,16,, 如何写出它的第10项10a 呢？问题2：设{}n a 是一个首项为1a ，公比为q 的等比数列，你能写出它的第n 项n a 吗？二、学生活动通过讨论，发现：1．2321321431,,,,a a q a a q a q a a q a q =====可以总结出11-=n n q a a ． 2．如果类比等差数列通项公式的求法，3241231,,,,n n a a a a q q q q a a a a -====，可以将这1-n 个等式的左右两边分别相乘，就可以得到11-=n n q a a ． 三、建构教学 1. 归纳总结学生的方法，等到等比数列的通项公式， 并且由学生讨论的第二种情况等到总结“叠乘法”的方法．不过要提醒学生，按照等差数列通项公式的推导方法，也必须检验1=n 时，公式也是成立的．2. 问题1：已知等比数列{}n a 的通项公式为n n a 23⨯=，求首项1a 和公比q ，并画出相应的函数图象．问题2：观察等比数列{}n a 的通项公式11-=n n q a a ，n a 和n 的函数关系是什么？问题3：类比等差数列的性质(,,,,m n p q a a a a m n p q m n p q +=++=+∈N ﹡)，等比数列具备什么样的性质？（学生讨论回答）答 问题1：16,2a q ==；问题2：n a 和n 的函数关系是指数型的函数关系；问题3：(,,,,m n p q a a a a m n p q m n p q ⋅=⋅+=+∈N ﹡)． 四、数学应用1. 例题．思考：类比等差数列通项公式的一般性结论d m n a a m n )(-+=，观察例1中第2个问题231363561,a a q a a q a a q ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩．，你能得到更加一般性的结论吗？ （学生讨论） 结论：m n m n n n mn q a a q a a --=⇒=，特别地，11,1-==n n q a a m ．例2 已知数列c b a ,32243,,23,--这5个数成等比数列，求c b a ,,． 变式：等比数列{}n a 中，,9,484==a a 求6a ．分析：（1）注意方法的多样性；（2）注意等比中项ab G =2，所以等比中项有两个且互为相反数；（3）要注意等比数列中，间隔项符号相同，所以06>a ．例3 等比数列{}n a 满足：252425382=++a a a a a a ，求53a a +．分析：等比数列的性质的简单运用： (,,,,m n p q a a a a m n p q m n p q ⋅=⋅+=+∈N ﹡)．2．练习．（1）在等比数列{}n a 中，若24a =，532a =，则公比应为______________；（2）在等比数列{}n a 中，若____________,60,40874321=+=+=+a a a a a a 则；（3）已知1,,,921--a a 四个实数成等差数列，1,b ,b ,b ,9321--五个实数成等比数列，则()122a a b -的值等于________________；（4）在等比数列{}n a 中，20,2742321=+=⋅⋅a a a a a ，求首项1a 和公比q ．五、 要点归纳与小结1. 等比数列通项公式的推导方法“叠乘法”；2. 等比数列通项所具备的性质：（1）指数型函数性质()0≠=aq aq a n n（2）(,,,,m n p q a a a a m n p q m n p q ⋅=⋅+=+∈N ﹡)． 六、课外作业课本P54习题2.3(1)3,4,5,6,9,10．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。