直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义已知直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为. 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的，简称.当直线l 的倾斜角为0°时(如图1)，tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是00y y -=,或0y y =.当直线l 的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=,或0x x =.深度剖析（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.（2）当k 取任意实数时，方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线.2．直线的点斜式方程的推导如图，设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得y y k x x -=- (1),即00()y y k x x -=- (2).注意方程(1)与方程(2)的差异：点0P 的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点0P 不在方程(1)表示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l 的方程.上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点0P ,斜率为k 的直线l 的方程. 二、直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义我们把直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的.如果直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则方程为(0)y b k x -=-，即叫做直线的，简称.当b =0时，y kx =表示过原点的直线；当k =0且b ≠0时，y b =表示与x 轴平行的直线；当k =0且b =0时，0y =表示与x 轴重合的直线.深度剖析（1）纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y 轴平行时.（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y 轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.2．直线的斜截式方程的推导已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，求直线l 的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得(0)y b k x -=-,即y kx b =+. 三、直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y ,当1212,x x y y ≠≠时，直线l 的方程为.这个方程是由直线l 上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式. 2．直线的两点式方程的推导已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y (其中1212,x x y y ≠≠)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的.当12x x ≠时，所求直线的斜率2121y y k x x -=-.任取12,P P 中的一点，例如取111(,)P x y ，由点斜式方程，得211121()y y y y x x x x --=--,当12y y ≠时，可写为112121y y x x y y x x --=--.四、直线的截距式方程1．直线的截距式方程的定义已知直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b (0,0a b ≠≠)，则由直线的两点式方程可以得到直线l 的方程为___________.我们把直线l 与x 轴的交点的横坐标a 叫做直线在x 轴上的_____________，此时直线在y 轴上的截距是___________.这个方程由直线l 在两个坐标轴上的截距a 和b 确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 2．直线的截距式方程的推导已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，如图，其中0,0a b ≠≠.将两点(,0)A a ,(0,)B b 的坐标代入两点式，得000y x a b a --=--,即1x ya b+=. 五、中点坐标公式若点12,P P 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，且线段12P P 的中点M 的坐标为(,)x y ,则____________________x y =⎧⎨=⎩.此公式为线段12P P 的中点坐标公式. 六、直线系方程 1．过定点的直线系方程当直线过定点000(,)P x y 时，我们可设直线方程为00()y y k x x -=-.由此方程可知，k 取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点000(,)P x y ,当k 取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点0P 的许多直线，所以把这个方程叫做过定点0P 的直线系方程.由于过点000(,)P x y 与x 轴垂直的直线不能被00()y y k x x -=-表示，因此直线系00()y y k x x -=- (k ∈R )中没有直线0x x =. 2．平行直线系方程在斜截式方程(0)y kx b k =+≠中，若k 一定，而b 可变动，方程表示斜率为k 的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线系.K 知识参考答案：一、00()y y k x x -=- 点斜式方程 点斜式 二、截距 y kx b =+斜截式方程 斜截式三、112121y y x x y y x x --=-- 四、1x ya b+=截距 b 五、122x x +122y y +K —重点直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，根据直线方程判定两直线的平行与垂直K —难点直线系问题、直线方程的综合应用K —易错忽略直线重合的情形或直线方程成立的条件致错、忽略直线方程的局限性致错1．直线的点斜式方程用点斜式求直线的方程，确定直线的斜率和其上一个点的坐标后即可求解. 【例1】已知点(3,3)A 和直线l ：3542y x =-.求： （1）过点A 且与直线l 平行的直线方程； （2）过点A 且与直线l 垂直的直线方程.【例2】已知在第一象限的△ABC 中,A (1,1),B (5,1),且∠CAB =60°,∠CBA =45°,求边AB ,AC 和BC 所在直线的点斜式方程.【解析】由A (1,1),B (5,1)可知边AB 所在直线的斜率为0,故边AB 所在直线的方程为y -1=0. 由AB ∥x 轴,且△ABC 在第一象限，知边AC 所在直线的斜率k AC =tan 60°=,边BC 所在直线的斜率k BC =tan(180°-45°)=-1,所以,边AC 所在直线的方程为y -1=(x -1),边BC 所在直线的方程为y -1=-(x -5).2．直线的斜截式方程根据斜率和截距的几何意义判断k ，b 的正负时，（1）0k >直线呈上升趋势；0k <直线呈下降趋势；0k =直线呈水平状态.（2）0b >直线与y 轴的交点在x 轴上方；0b <直线与y 轴的交点在x 轴下方；0b =直线过原点. 【例3】已知直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,且在y 轴上的截距为5,求直线l 的斜截式方程,并画出图形.【解析】因为直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,所以直线l 的斜率为-2. 又直线l 在y 轴上的截距为5,所以直线l 的斜截式方程为y =-2x+5. 在直线l 上取一点(1,3),作出图形如图所示.【名师点评】直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情形. 【例4】已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程.3．直线的两点式方程已知直线上两点的坐标求解直线方程，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得.代入点的坐标时注意横纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数，需注意当直线平行于坐标轴或与坐标轴重合时，不能用两点式求解.【例5】已知三角形的三个顶点Α(－4，0)，B (0，－3)，C (－2，1)，求： (1)BC 边所在的直线的方程； (2)BC 边上中线所在的直线的方程.4．直线的截距式方程（1）由已知条件确定横、纵截距.（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式1x ya b+=中，可得所求的直线方程．（3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. 【例6】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．【解析】设直线的方程为1x ya b+=，则，①又直线过点，∴341a b-+=，② 由①②得93a b =⎧⎨=⎩或416a b =-⎧⎨=⎩. ∴直线的方程为193x y +=或1416x y+=-，即或．5．中点坐标公式的应用（1）利用中点坐标公式可求以任意已知两点为端点的线段的中点坐标.（2）从中点坐标公式可以看出线段12P P 中点的横坐标只与12,P P 的横坐标有关，中点的纵坐标只与12,P P 的纵坐标有关. 【例7】已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y +=B ．425x y -= C ．25x y +=D ．25x y -= 【答案】B【解析】由题意可知线段AB 的中点坐标为1321(,)22++，即3(2,)2.故所求直线方程为732372322y x --=--，整理，得4250x y --=，故选B. 6．直线过定点问题本题考查了直线过定点的问题，实际上就是考查直线方程的点斜式，同时要利用数形结合的思想解题. 若直线存在斜率，则可以把直线方程化为点斜式00()y y k x x -=-的形式，无论直线的斜率k 取何值时，直线都过定点00(,)x y .【例8】已知直线:21l y kx k =++. （1）求证：直线l 过一个定点；（2）当33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，某某数k 的取值X 围．【解析】（1）由21y kx k =++，得1(2)y k x -=+．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(2,1)-．（2）设函数()21f x kx k =++，显然其图象是一条直线(如图)，若使33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，需满足(3)0(3)0f f -≥⎧⎨≥⎩,即32103210k k k k -++≥⎧⎨++≥⎩,解得115k -≤≤. 所以实数k 的取值X 围是115k -≤≤. 7．直线的平移规律直线y kx b =+上下(或沿y 轴)平移(0)m m >个单位长度，得y kx b m =+±(上加下减)；直线y kx b =+左右(或沿x 轴)平移(0)m m >个单位长度，得()y k x m b =±+(左加右减).【例9】已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到直线2l ，则直线2l 的方程为. 【答案】27y x =+【解析】根据直线的平移规律，可得直线2l 的方程为2(4)32y x =+-+，即27y x =+. 8．点斜式和斜截式的实际应用由直线的斜截式方程与一次函数的表达式的关系，利用一次函数的图象和性质求出直线方程，可以解决实际问题.9．忽略了直线重合的情形致错【例11】已知直线12:60,:(2)320l x my l m x y m ++=-++=，当12l l ∥时，求m 的值. 【错解】∵2l 的斜率223m k -=-，12l l ∥，∴1l 的斜率1k 也一定存在， 由1l 的方程得11k m =-,由12k k =,得213m m--=-, 解得3m =或1m =-. ∴m 的值为3或1-.【错因分析】忽略了直线重合的情况，从而导致错误.【误区警示】当两直线的斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等，做题时容易忽略纵截距不相等，从而导致错解. 10．忽略直线方程的局限性致错【例12】求经过点(2,3)P ，并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程. 【错解】设直线方程为1x y a a +=,将2,3x y ==代入，得231a a+=,解得5a =. 故所求的直线方程为50x y +-=.【错因分析】截距相等包含两层含义，一是截距不为0时的相等，二是截距为0时的相等，而后者常常被忽略，导致漏解.【正解】（1）当截距为0时，直线l 过点(0,0),(2,3)， ∵直线l 的斜率为303202k -==-, ∴直线l 的方程为32y x =,即320x y -=. （2）当截距不为0时，可设直线l 的方程为1x ya a+=, ∵直线l 过点(2,3)P ，∴231a a+=，∴5a =， ∴直线l 的方程为50x y +-=.综上，直线l 的方程为320x y -=或50x y +-=.【误区警示】不同形式的方程均有其适用条件，在解题时应注意截距式方程的应用前提是截距均不为0且不垂直于坐标轴.1．经过点(－2,2)，倾斜角是60°的直线方程是A ．y ＋23x －2) B ．y －23x ＋2)C ．y －2＝33(x ＋2)D ．y ＋2＝3(x －2) 2．直线的方程00()y y k x x --= A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 3．直线1x ya b+=过一、二、三象限，则 A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0 4．直线1y ax a=-的图象可能是5．与直线21y x =+垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 A ．142y x =+ B ．y =2x ＋4C ．y =−2x ＋4D ．142y x =-+ 6．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为 A ．143x y +=B ．143x y-= C ．134x y +=D ．136x y-= 7．已知直线l 1过点P (2，1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为． 8．直线32()y ax a a =-+∈R 必过定点．9．斜率与直线32y x =的斜率相等，且过点(4,3)-的直线的斜截式方程是. 10．已知△ABC 中,A (1,-4),B (6,6),C (-2,0),则△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的两点式方程是.11．写出下列直线的点斜式方程:(1)经过点A (2,5),且与直线y =2x+7平行; (2)经过点C (-1,-1),且与x 轴平行.12．已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 13．已知的顶点是，，．直线平行于，且分别交边、于、，的面积是面积的14．(1)求点、的坐标； (2)求直线的方程．14．两直线1x y m n -=与1x yn m-=的图象可能是图中的A B C D15．若直线l 1:y =k (x-4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(-2,4)D ．(4,-2)16．若三点()()()2,2,,,0)0,0(A B a C b ab ≠共线，则11a b+=. 17．已知直线l 过定点A (−2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．1 2 3 4 5 6 14 15 BDCBDBBB1．【答案】B【解析】k 3，则点斜式方程为y －23x ＋2)．5．【答案】D【解析】因为所求直线与y =2x ＋1垂直，所以设直线方程为12y x b =-+.又因为直线在y 轴上的截距为4，所以直线的方程为142y x =-+. 6．【答案】B【解析】易知A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x 轴上的截距为4，则所求直线的方程为143x y-=. 7．【答案】y －1＝－(x －2)【解析】根据题意可知直线l 1的斜率为−1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)． 8．【答案】(3，2)【解析】将直线方程变形为y −2=a (x −3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)． 9．【答案】392y x =+ 【解析】因为所求直线的斜率与直线32y x =的斜率相等，所以所求直线的斜率32k =.又直线过点(4,3)-，所以直线方程为33(4)2y x -=+，所以直线的斜截式方程为392y x =+.11．【解析】(1)由题意知,直线的斜率为2,所以其点斜式方程为y-5=2(x-2).(2)由题意知,直线的斜率k =tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y =-1. 12．【解析】由题意知，直线l 的斜率为32，故可设直线l 的方程为32y x b =+，所以直线l 在x 轴上的截距为23b -，在y 轴上的截距为b ，所以213b b --=，35b =-，所以直线l 的方程为3325y x =-. 13．【解析】(1)因为，且的面积是面积的14，所以、分别是、的中点，由中点坐标公式可得点的坐标为502，⎛⎫ ⎪⎝⎭，点的坐标为722，⎛⎫ ⎪⎝⎭．(2)由两点式方程，可知直线的方程为502752022y x --=--，即．14．【答案】B【解析】由1x y m n -=，得y ＝n m x －n ；由1x y n m -=，得y ＝mnx －m ，即两条直线的斜率同号且互为倒数，故选B. 15．【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x-4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y ),则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).16．【答案】12【解析】易知直线BC 的方程为1x y a b +=，由点A 在直线BC 上，得221a b +=，故1112a b +=.。
