2018版高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数学业分层测评苏教版

3.2.3 对数函数的概念及基本性质课堂导学三点剖析一、对数函数的图象和性质【例 1】 利用对数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)log π,log e;22(2)log 0.3,log 0.04.1 1 24解析：(1)函数 y=log x 在(0,+∞)上是增函数，而π>e>0,∴ log π>log e.222(2)log 0.04=1log 0.04 1 421 2log1=12log 0.04=log 0.2.1 1 422又因为函数 y=log x 在(0,+∞)上为减函数，12∴log 0.3<log 0.2,即 log 0.3<1 1 1log 0.04.1 2224温馨提示先把不同底数化为相同底数，再利用函数单调性比较大小是比较对数值大小的基本方法. 二、a>1或 0<a<1时，对数函数的不同性质 【例 2】 求函数 y= 1 log (x a )a(a>0且 a ≠1)的定义域.思路分析：先由被开方数是非负数建立不等式，由于不等式中含有字母参数，再根据对数的性 质对字母参数进行分类讨论.解析：由 1-log a (x+a)≥0,得 log a (x+a)≤1.当 a>1时，0<x+a ≤a, ∴-a<x ≤0.当 0<a<1时，x+a ≥a, ∴x ≥0.综上，当 a>1时，函数的定义域为(-a,0). 当 0<a<1时，函数的定义域为［0,+∞).温馨提示对于对数函数问题，底数中含字母参数都必须进行分类讨论.三、对数函数的单调性和单调区间的求法【例3】求函数y=log2(x2-x-6)的单调区间.解析：令u=x2-x-6,则y=log2u.∵y=log2u为u的增函数，∴当u为x的增函数时，y为x的增函数;当u为x的减函数时，y为x的减函数.由x2-x-6>0,得x<-2或x>3.借助于二次函数图象可知：当x∈(-∞,-2)时，u是x的减函数;1当x∈(3,+∞)时，u是x的增函数.所以，原函数的单调减区间是(-∞,-2),单调增区间是(3,+∞).温馨提示(1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；(2)对数函数的单调性，当底数是字母时，必须分底数大于1和底数大于0且小于1这两种情况进行讨论；(3)对于复合函数的单调性，必须考虑u=g(x)与y=f(u)的单调性，从而得出y=f［g(x)］的单调性；(4)判断函数的增减性，或者求函数的单调区间，一般都可借助函数图象求解.各个击破类题演练 1比较下列各组数中两个值的大小.（1）log23.4,log28.5;(2)log a5.1,log a5.9(a>0,a≠1).解析：(1)对数函数y=log2x,因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4<log28.5;(2)当a>1时，函数y=log a x在（0,+∞）上是增函数，于是log a5.1<log a5.9;当0<a<1时，函数y=log a x在(0,+∞)上是减函数，于是log a5.1>log a5.9.变式提升 1比较下列两个值的大小：（lgm）1.9,(lgm)2.1(m>1).解析：若1>lgm>0,即1<m<10时，y=(lgm)x在R上是减函数，∴(lgm)1.9>(lgm)2.1.若lgm=1，即m=10时，（lgm）1.9=(lgm)2.1.若lgm>1，即m>10时，y=(lgm)x在R上是增函数，∴（lgm）1.9<(lgm)2.1.类题演练 21x1x已知f(x)=log a求f(x)的定义域；(a>0,且a≠1).11解析：由对数函数定义知xx>0,∴-1<x<1,∴f(x)的定义域为（-1，1）.变式提升 212e x, (2006山东高考文，2)设f（x）=log(x231)xx22.则f(f(2))的值为（）A.0B.1C.2D.3 解析：∵f(2)=log3(22-1)=log33=1,∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.故选C.答案：C类题演练 3求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.解析：先求函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,得x<- 12,或x>3.令u=2x2-5x-3,y=log0.1u.2由于u=2(x- 54)2-618,可得u=2x2-5x-3(x<-12或x>3)的递增区间为（3，+∞）,从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.变式提升 3求函数y=log(3+2x-x2)的单调区间和值域.12解析：由3+2x-x2>0解得函数y=log(3+2x-x2)的定义域是-1<x<3.12设u=3+2x-x2(-1<x<3),当-1<x1<x2≤1时，u1<u2,从而log u1>log u2,即y1>y2,故函数y=1122log(3+2x-x2)在区间（-1，1）上单调递减；同理可得，函数在区间（1，3）上是单调递增.12函数u=3+2x-x2(-1<x<3)的值域是（0，4），故函数y=log(3+2x-x2)的值域是y≥log1122 4,即y≥-2.3。

3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。

第三章指数函数、对数函数和幂函数[自我校对]________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________1.指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．【精彩点拨】 按照指数、对数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用．[再练一题] 1．计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．【答案】 111教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．(1)若函数f (x )＝log 2a ·4x ＋2x ＋13的定义域为(－∞，1)，则a ＝________.(2)若函数 f (x )＝log 2ax＋2x＋13在(－∞，1]上有意义，则a 的取值范围是________．【精彩点拨】 分别将两个问题转化为求定义域问题和恒成立问题，然后求解． 【规范解答】 (1)因为x <1，所以2x<2.要使f (x )有意义，则a ·4x ＋2x ＋1>0，令t ＝2x，则t ∈(0,2)， 由题知y ＝at 2＋t ＋1开口向下，且t ＝2是方程at 2＋t ＋1＝0的根， 所以4a ＋2＋1＝0，所以a ＝－34.(2)原问题等价于a ·4x＋2x＋1>0，对任意x ∈(－∞，1]恒成立．因为4x>0，所以a >－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈(－∞，1]． 由y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 与y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数，所以g (x )max ＝g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋12＝－34.因为a >－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上恒成立，所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－34.故所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.【答案】 (1)－34 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞ [再练一题]2．已知f (x )＝log 2 (x ＋1)＋log 2 (1－x )， (1)求f (x )的定义域，并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22的值； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)判断f (x )的单调性．【解】 (1)由题知，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，∴f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＋log 2 ⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－1.(2)f (－x )＝log 2(－x ＋1)＋log 2(1＋x )＝f (x )， 又f (x )的定义域为{x |－1<x <1}． 故f (x )为偶函数．(3)f (x )＝log 2 (x ＋1)(1－x )＝log 2 (1－x 2)， 设u (x )＝1－x 2，则u (x )是开口向下的二次函数，在(－1,0)上，u (x )单调递增，在(0,1)上，u (x )单调递减，又y ＝log 2 u 是增函数， ∴f (x )在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减.利用指数、数的大小比较常用的方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．比较下列各组数的大小：【精彩点拨】 (1)采用“媒介法”引入0,1，把三个数与0,1相比较得结论； (2)真数相同，底数不同，可用图象法或换底法比较大小； (3)利用幂函数的性质求解．【自主解答】 (1)因为0<0.65.1<1,5.10.6>1，log 0.65.1<0，所以5.10.6>0.65.1>log 0.65.1. (2)法一：在同一坐标系中作出函数y ＝log 7x 与y ＝log 8x 的图象：由底数变化对图象位置的影响知：log 712>log 812. 法二：log 712log 812＝lg 12lg 7lg 12lg 8＝lg 8lg 7＝log 78>1.∵log 812>0，∴log 712>log 812.[再练一题] 3．比较大小：否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．从高考题型上看，这类题目，既有填空题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．(1)函数f (x )＝log 3 [log 2(4－2x)]的零点为________．(2)函数g (x )＝lg x 与f (x )＝x 2－6x ＋9的图象的交点个数为________，设最右侧交点的横坐标x 0，则存在n 0∈N *，使x 0∈(n 0，n 0＋1)，则n 0＝________.【精彩点拨】 (1)可通过解方程来求零点． (2)通过图象和零点存在性定理来解．【规范解答】 (1)f (x )＝0时，log 3[log 2(4－2x)]＝0，则log 2(4－2x)＝1， ∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x ＝1.(2)同一个坐标系中做出f (x )和g (x )的图象，如图，易知交点个数有2个，设h (x )＝g (x )－f (x )，∵h (3)＝lg 3>0，h (4)＝lg 4－1<0，故x 0∈(3,4)，∴n 0＝3.【答案】 (1)1 (2)2 3 [再练一题]4．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值.【解】 (1)当m ＋6＝0，即m ＝－6时，函数为y ＝－14x －5，显然有零点． 当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1) ＝－36m －20≥0，得m ≤－59.∴当m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点．综上所述，m ≤－59.(2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则有x 1＋x 2＝－m －m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6. ∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4，∴－m －m ＋1＝－4，解得m ＝－3.且当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0符合题意， ∴m 的值为－3.本章中，因此在应用二者的性质时我们应该注意分类讨论思想的应用．已知偶函数 f (x )在[0，＋∞)上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，求不等式 f (log a x )>0(a >0，且a ≠1)的解集．【精彩点拨】 根据偶函数的性质，将f (log a x )>0转化为log a x 与12和－12的大小关系，然后分类讨论求解不等式．【规范解答】 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.故若f (log a x )>0，则有log a x >12或log a x <－12.①当a >1时，由log a x >12或log a x <－12，得x >a 或0<x <aa .②当0<a <1时，由log a x >12或log a x <－12，得0<x <a 或x >aa .综上可知，当a >1时，f (log a x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0， a a ∪(a ，＋∞)；当0<a <1时，f (log a x )>0的解集为(0，a )∪⎝⎛⎭⎪⎫a a ，＋∞. [再练一题]5．将例题中“偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数”改为“奇函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数”应如何解答．【解】 ∵f (x )是奇函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上也是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0. ∴f ()log a x >0可转化为log a x >12或－12<log a x <0.①当a >1时，上述两不等式的解为x >a 和1a<x <1，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >a 或aa <x <1.②当0<a <1时，上述两不等式的解为0<x <a 和1<x <a a， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 或1<x <aa 综上，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >a 或a a <x <1； 当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 或1<x <a a .【答案】 b ＜a ＜c2．已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为______．【解析】 ①当0＜x ≤1时，方程为－ln x ＝1，解得x ＝1e.②当1＜x ＜2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln2－2,1)，方程f (x )＋g (x )＝1无解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．③当x ≥2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为[ln2－2，＋∞)，方程 f (x )＋g (x )＝1恰有一解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根． 【答案】 43．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.【解析】 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 【答案】 －14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，f (－2)＋f (log 212)＝________.【解析】 ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 【答案】 95．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________. 【解析】 当a >1时，函数 f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.【答案】 －32。

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。

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3.4.2 函数模型及其应用(建议用时：45分钟）［学业达标］一、填空题1．一等腰三角形的周长为40,底边y是关于腰x的函数,它的解析式为________．【解析】由题意得2x＋y＝40，所以y＝40－2x。

∵y>0，∴40－2x〉0，∴x〈20。

又∵三角形两边之和大于第三边，∴错误!解得x〉10，∴10〈x〈20.【答案】y＝40－2x(10〈x<20)2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元）分别为L1＝5。

06x－0.15x2和L＝2x,其中x为销售量(单位:辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为2________万元．【解析】依题意可设甲地销售x辆,则乙地销售（15－x)辆，所以总利润S＝5。

06x－0.15x2＋2（15－x）＝－0.15x2＋3.06x＋30（x≥0)，所以当x＝10时,S＝45.6（万元）．max【答案】45。

63．图3。

4。

6中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系图象，根据图象填空:通话2 min,需付电话费________元;通话5 min，需付电话费________元；如果t≥3 min，电话费y（元）与通话时间t(min）之间的函数关系式是________．图3.4.6【解析】由图知,通话2 min,需付电话费3。

3.2.1 对数自我小测1．如果lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于________． 2．下列结论中，正确的序号是________． ①lg2·lg3＝lg5；②lg 23＝lg9；③51log 2152=；④若log a M ＋N ＝b ，则M ＋N ＝a b(a ＞0且a ≠1)；⑤若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N .3．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n (a ＞0且a ≠1)则a 2m －n＝________；(2)若a ＞0，2349a =，则23log a =________； (3)若5lg x＝25，则x ＝________.4．已知lg(log 2x )＝0，7312log [log (log )]0y =，则log x y ＝________.5．已知log 7log 56m m a =，log n 8＝b log n 56(m 、n ＞0且m ≠1，n ≠1)，则a ＋b ＝________，17a=________.6．(1)已知11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，则11a b-=________. (2)若2a＝5b＝10，则11a b+=________. 7．求下列各式的值：(1)2log 525＋log 264－2 011log π1； (2)log 155·log 1545＋(log 153)2；(3)375111log log log 258149⋅⋅； (4)lg 20lg0.717()2⨯；(5)2lg5lg8000lg0.06lg6⋅++-； (6)28393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)+++．8．2010年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)参考答案1.21a bb a++- 解析：∵lg2＝a ，lg3＝b ，∴lg12lg3lg 4lg32lg 22.lg15lg3lg5lg31lg 21a bb a+++===++-+- 2．③⑤ 解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当log a (M ＋N )＝b 时，有M ＋N ＝a b，∴④错；由log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，得log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ，即23log log M M N N =，上式只有当1M N=，即M ＝N 时成立，∴⑤正确． 3．(1)43(2)3 (3)100 解析：(1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n＝3. ∴()22224.33m mm nn na a aa a -==== (2)法一：∵a ＞0，2349a =，∴42log .93a =∴222log .33a=，即21log .33a =，∴231log 3.2log 3aa ==法二：∵a ＞0，22342.93a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴22322332log log 23a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴232log 23a = ∴23log 3a =(3)∵5lg x ＝25＝52.∴lg x ＝2，x ＝102＝100.4．－3 解析：∵lg(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1，∴x ＝2，又∵7312log log log 0y ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴312log log 1y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12log 3y =，∴31128y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴3221log log log 238x y -===-.5．1 56 解析：由换底公式得56log 7log 7log 56m m a ==.56log 8log 8log 56n n b ==，∴a ＋b ＝log 567＋log 568＝log 5656＝1. ∵log 567＝a ，∴71log 56a=. ∴7log 5617756a==. 6．(1)1 (2)1 解析：(1)法一：用指数解：由已知得111.21000a=.10.01121000b =，两式相除得：1111.2100010000.0112a b-==，∴111a b-=. 法二：用对数解．由题意，得a ×lg11.2＝3，b ×lg0.011 2＝3，∴()111lg11.2lg 0.011213a b -=-=. 法三：综合法解．∵11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，∴a ＝log 11.21 000，b ＝log 0.011 21 000.∴100010001000100011.20.0112111111.2log 11.2log 0.0112log log 10001log 1000log 10000.0112a b -=-=-=== (2)法一：由2a＝5b＝10，得a ＝log 210，b ＝log 510， ∴251111lg 2lg5lg101log 10log 10a b +=+=+==. 法二：对已知条件的各边取常用对数，得a lg2＝b lg5＝1，∴1lg 2a =，1lg 5b=， ∴11lg 2lg 5lg101a b+=+==. 7．解：(1)原式＝2log 552＋log 226－2011×0＝4＋6－0＝10.(2)原式＝log 155(1＋log 153)＋(log 153)2＝log 155＋log 153(log 155＋log 153)＝log 155＋log 153＝log 1515＝1.[或原式＝(1－log 153)(1＋log 153)＋(log 153)2＝1－(log 153)2＋(log 153)2＝1](3)原式111lglg lg2lg 54lg 32lg 7258149lg 3lg 7lg 5lg 3lg 7lg 5---=⋅⋅=⋅⋅＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16.(4)设lg0.7lg20172x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则1lg lg 20lg 7lg 0.7lg 2x =⋅+⋅＝(1＋lg2)lg7＋(lg7－1)(－lg2)＝lg7＋lg2＝lg14.∴x ＝14，即lg0.7lg2017142⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.(5)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg 22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg 22－2＝3(1－lg 22)＋3lg 22－2＝3－2＝1.(6)原式2233323235915log 3log 32log 2log 2log 2log 3log 232322⎛⎫⎛⎫=+++=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 8．解：设经过x 年后国民生产总值是2010年的2倍．经过1年，总产值为a (1＋8%)，经过2年，总产值为a (1＋8%)2，……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x.由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x＝2.方法一：两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即()lg 20.30109lg1.080.0334x =≈≈年．方法二：用换底公式．∵1.08x＝2，∴ ()1.08lg 2log 29lg1.08x ==≈年．答：约经过9年，国民生产总值是2010的两倍． 百尺竿头解：(1)∵18b＝5，∴log 185＝b ，又∵log 189＝a ，∴log 182＝1－log 189＝1－a . ∴18181836181818log 45log 5log 9log 45log 36log 18log 2112a b a ba a+++====++--. 2)∵log a 8＋log 2a ＝4，∴3log a 2＋log 2a ＝4，∴222log 4log 30a a -+=， ∴(log 2a －1)(log 2a －3)＝0，即log 2a ＝1或log 2a ＝3，∴a ＝2或a ＝8. ①当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3是偶函数；当a ＝8时，f (x )＝x 8＋3也是偶函数． ∴f (x )是偶函数．②当a ＝2时，原式23lg 27lg 643lg36lg 2log 27log 6418lg 2lg3lg 2lg3=⋅=⨯=⨯=；当a ＝8时，原式83lg 27lg 643lg36lg8log 27log 646lg8lg3lg8lg3=⋅=⨯=⨯=. ③∵g (x )＝2x或g (x )＝8x，且2与8都大于1，∴g (x )＝a x在R 上是单调增函数．。

3.3 幂函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n ＝0时，函数y ＝x n的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n，当n >0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的是________．(填序号)【解析】 幂函数y ＝x n，只有当n >0时，则其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y ＝x n，当n ＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y ＝x n，当n ＝0时，则其图象是y ＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；根据幂函数的性质可知：只有⑤⑥是正确的．【答案】 ⑤⑥2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值有________ 个．【解析】 使函数y ＝x α的定义域为R 的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3. 【答案】 23．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“部分”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图3­3­1所示)，那么幂函数y ＝x 的图象经过的“部分”是________．图3­3­1【解析】 对于幂函数y ＝x ，当0<x <1时，x >x ；当x >1时，x >x . 【答案】 ①⑤4．若f (x )是幂函数，且满足ff＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________. 【解析】 因为函数f (x )是幂函数，设f (x )＝x α，由题设9α3α＝2⇒3α＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13α2＝14.【答案】 145．如图3­3­2中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．图3­3­2【解析】 函数y ＝x －2，y ＝x 2，中令x ＝4得到的函数值依次为116，16，12，2，函数值由大到小对应的解析式为y ＝x 2，y ＝x －2，因此相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.【答案】 2，12，－12，－26．若幂函数的图象不过原点，则m 的取值是________ .【解析】 由幂函数的定义，可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2<0⇒m ＝1.【答案】 m ＝17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≤0，x ，x >0，若使f (x )>1成立的取值范围是________．【解析】 由f (x )>1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1>1或⎩⎨⎧x >0，x >1，解得x <－1或x >1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________.【解析】由于f (x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．【答案】 1二、解答题9．比较下列各组数的大小．【解】(1)构造函数f (x)此函数在[0，＋∞)上是增函数，∵3<3.1，(2)构造f (x)＝x－1，此函数在(0，＋∞)上是减函数，∵8<9，∴8－1>9－1，∴－8－1<－9－1.10．已知幂函数y＝x m－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称．求m的值，并画出它的图象．【解】∵图象与x，y轴都无交点，∴m－2≤0，即m≤2.又m∈N，∴m＝0,1,2.∵幂函数图象关于y轴对称，∴m＝0，或m＝2.当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图(1)； 当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图(2)．[能力提升]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0的图象大致为________．(填序号)【解析】 x <0时，f (x )＝x 3＋1单调递增，且过(0,1)点，x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数，过(0,1)点，故①是f (x )的图象．【答案】 ①2．不论a 取何值，函数y ＝(x －1)a＋2的图象恒过点A ，则点A 的坐标为________． 【解析】 ∵幂函数y ＝x a的图象恒过点(1,1)， ∴y ＝(x －1)a的图象恒过点(2,1)， ∴y ＝(x －1)a ＋2的图象恒过点(2,3)． 【答案】 (2,3)3．若则a 的取值范围是________．【解析】所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，324．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18， (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间； (3)试解关于x 的不等式f (3x ＋2)＋f (2x －4)>0. 【解】 (1)设f (x )＝x α，由题意， 得f (2)＝2α＝18⇒α＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3.(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，故该幂函数为奇函数．其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(3)由(2)得f (3x ＋2)>－f (2x －4)＝f (4－2x )．即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2>0⇒x >－23，4－2x >0⇒x <2，3x ＋2<4－2x ⇒x <25，或⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2<0⇒x <－23，4－2x <0⇒x >2，3x ＋2<4－2x ⇒x <25，或⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2>0⇒x >－23，4－2x <0⇒x >2.解得－23<x <25或x >2，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23<x <25或x >2.。

3.2.1 第1课时 对数的概念(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2，其中正确的是________．(填序号)【解析】 lg(lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；ln(ln e)＝ln 1＝0，故②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故④错误．【答案】 ①②2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是________．(填序号)①100＝1与lg 1＝0；④log 77＝1与71＝7.【解析】 由log 39＝2，得32＝9，所以③不正确．【答案】 ③3．若10α＝2，β＝lg 3，则100α－12β＝________. 【解析】 ∵β＝lg 3，∴10β＝3.【答案】 434．(1)若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.(2)若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)的值为________．【解析】 (1)由题意得，log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3，又∵x >0，∴x ＝3.(2)∵log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝31，即a ＝2.∴log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 2(2－1)＝1＋0＝1.【答案】 (1)3 (2)15．方程9x －6·3x －7＝0的解是________．【解析】 设3x ＝t (t >0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，即3x ＝7.∴x ＝log 37.【答案】 x ＝log 37【解析】 由题意得，log 3(log 2 x )＝1，即log 2 x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8，【答案】 247．若已知集合M ＝{2，lg a }，则实数a 的取值范围是________.【解析】 因为M ＝{2，lg a }，所以lg a ≠2.所以a ≠102＝100.又因为a ＞0，所以0＜a ＜100或a ＞100.【答案】 (0,100)∪(100，＋∞)8．若f (10x )＝x ，则f (3)的值为________．【解析】 令t ＝10x ，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3.【答案】 lg 3二、解答题9．求下列各式中的x .(1)log x 27＝32；(2)log 2 x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2 x )＝0；(5)x ＝log 27 19.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，即x ＝(3＋22)－12＝2－1. (4)由log 5(log 2 x )＝0，得log 2 x ＝1.∴x ＝21＝2.(5)由x ＝log 27 19，得27x ＝19， 即33x ＝3－2，∴x ＝－23. 10．计算下列各式：[能力提升]1．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中，正确的是________．(填序号)①b ＝a 5c ；②b 5＝a c ；③b ＝5a c ；④b ＝c 5a.【解析】 由log a 5b ＝c ，得a c ＝5b ，所以b ＝(a c )5＝a 5c .【答案】 ①2．如果点P (lg a ，lg b )关于x 轴的对称点为(0，－1)，则a ＝________，b ＝________.【解析】 易知lg a ＝0，lg b ＝1，∴a ＝1，b ＝10.【答案】 1 10【答案】 －47164．已知log a b ＝log b a (a ＞0，a ≠1；b ＞0，b ≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b .【证明】 令log a b ＝log b a ＝t ，则a t ＝b ，b t＝a ，当t ＝1时，a ＝b ；当t ＝－1时，a ＝1b ，所以a ＝b 或a ＝1b .。

3.1.1 分数指数幂(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确说法的序号是________．【解析】 ①错，16的4次方根是±2；②错，416＝2；③④正确，由根式的意义可知．【答案】 ③④【答案】 a b3.3－3＋45－4＋35－3的值为________.【解析】 3－3＝－6，45－4＝|5－4|＝4－5， 35－3＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 【答案】 －64．式子a5－1a3经过计算可得________.5．若(a ＋2)2＋(2b －1)2＝0，则a2 016·b2 016等于________．【解析】 ∵(a ＋2)2＋(2b －1)2＝0， ∴a ＝－2，b ＝12，∴(－2)2 016·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 016＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12 2 016＝1. 【答案】 16．已知10α＝3,10β＝4，则102α＋β2＝________.【解析】 102α＋β2＝(10α)2·(10β)12＝32·412＝18.【答案】 187．计算下列各式(式中字母都是正数)：【答案】 (1)4a (2)m 2n38．若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝________. 【解析】 ∵(±9)2＝81， ∴81的平方根为±9，即a ＝±9.又(－2)3＝－8，∴－8的立方根为－2，即b ＝－2.∴a ＋b ＝－9－2＝－11或a ＋b ＝9－2＝7，∴a ＋b ＝－11或7. 【答案】 －11或7 二、解答题 9．化简：10．化简：(2)原式＝[(a －3)2－(a 3)2]÷[(a －4＋a 4＋1)(a －1－a )]＝a －23－a 23a －4＋a 4＋a －1－a＝a －2－a 2a －4＋1＋a 4a －4＋a 4＋a －1－a＝a －1－a a －1＋a a －1－a＝a －1＋a ＝1a＋a .[能力提升]1．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________.【解析】 ∵x <0，∴原式＝－x －(－x )＋－x－x ＝－x ＋x ＋1＝1.【答案】 12．如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 等于________．【解析】 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.【答案】xx －13．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是________． 【解析】 ∵2－x 有意义， ∴2－x ≥0，即x ≤2.x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9＝x －2－x －2＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x ) ＝2－x －3＋x ＝－1. 【答案】 －14．根据已知条件求下列值：(1)已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －yx ＋y 的值；(2)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 【解】 (1)x ＋y x －y －x －yx ＋y＝x ＋y2x －y－x －y 2x －y＝4xy x －y. 将x ＝12，y ＝23代入上式得：原式＝412×2312－23＝413－16＝－2413＝－8 3.(2)∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，∵a >b >0，∴a >b .⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， ∴a －ba ＋b＝15＝55.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【解析】sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6. 【答案】 D2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C ．19D ．53【解析】 因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19.【答案】 B3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．43【解析】 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－1－－2＝34. 【答案】 B4．若sin x ·ta n x <0，则1＋cos 2x 等于( ) A ．2cos x B ．－2cos x C ．2sin x D ．－2sin x【解析】 因为sin x ·tan x <0， 所以x 为第二、三象限角，所以cos x <0， 所以1＋cos 2x ＝2cos 2x ＝2|cos x | ＝－2cos x . 【答案】 B 5．已知cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( )A ．－2425B ．－45C ．2425D ．255【解析】 ∵cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.【答案】 A 二、填空题6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于___________________________．【导学号：00680074】【解析】 法一：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725，∴sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝725.法二：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35，∴sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725.【答案】7257．已知sin 2α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________. 【解析】 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin α>cos α，即cos α－sin α<0，又sin 2α＝14，则有 cos α－sin α＝－α－sin α2＝－1－sin 2α＝－1－14＝－32. 【答案】 －32三、解答题8．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)． 【解】 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·－cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 9．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，求22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值．【解】 ∵cos x ＝1010，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35，∴22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝45.[能力提升]1．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝23sin β， ①cos α＝1－23cos β， ②①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79，由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429，∴tan β＝22，tan α＝427，∴tan 2β＝－427，∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32π，∴α＋2β＝π.故选D ． 【答案】 D2．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．【解】 (1)因为f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－1825＝725.。

指数函数,对数函数与幂函数
1.指数函数：指数函数的形式为f(x)=a^x，其中a为一个正实数，x为自变量，f(x)为因变量。

指数函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。

指数函数的特点是在x轴上的一个点处，曲线的斜率等于函数值。

指数函数在数学、科学、经济等领域中有着广泛的应用。

2. 对数函数：对数函数的形式为f(x)=loga(x)，其中a为一个正实数且不等于1，x为自变量，f(x)为因变量。

对数函数是指数函数的反函数，也就是说f(x)表示a的x次方等于某个数时，x的值。

对数函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。

对数函数在数学、物理、计算机等领域中有着广泛的应用。

3. 幂函数：幂函数的形式为f(x)=x^a，其中a为一个实数，x 为自变量，f(x)为因变量。

幂函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。

幂函数在数学、物理、经济等领域中有着广泛的应用，如面积、体积、电阻、功率等的计算。

指数函数、对数函数和幂函数是数学中的重要函数类型，它们在许多领域中都有着广泛的应用。

熟练掌握这些函数的性质和应用，对于学习数学、物理、计算机等学科都有着重要的意义。

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高中数学幂函数指数函数对数函数三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法高中数学中，幂函数、指数函数、对数函数和三角函数是常见的函数类型。

这些函数求导的公式常用于解决函数的速率和变化率等问题。

同时，积与商的函数导数求法也是数学中常用的方法之一1.幂函数的导数：幂函数的一般形式为y = ax^n (a ≠ 0, n为实数)。

其导数可以通过求导公式来计算。

对于幂函数 y = ax^n，其导数为 dy/dx = anx^(n-1)。

例如，对于函数 y = 2x^3，其导数为 dy/dx = 3*2x^(3-1) = 6x^2 2.指数函数的导数：指数函数的一般形式为y=a^x(a>0,a≠1)。

其导数可以通过自然对数的导数来计算。

对于指数函数 y = a^x，其导数为 dy/dx = ln(a) * a^x。

例如，对于函数 y = e^x，其导数为 dy/dx = ln(e) * e^x = e^x。

3.对数函数的导数：对数函数的一般形式为y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)。

其导数可以通过换底公式和幂函数的导数来计算。

换底公式：log_a(x) = ln(x) / ln(a)对于对数函数 y = log_a(x)，其导数为 dy/dx = 1/(xln(a))。

例如，对于函数 y = log_2(x)，其导数为 dy/dx = 1/(xln(2))。

4.三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的导数可以通过基本导数公式来计算。

正弦函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)余弦函数的导数：d(cos(x))/dx = -sin(x)正切函数的导数：d(tan(x))/dx = sec^2(x)5.积的函数导数求法：对于两个函数相乘的情况，可以使用乘积的求导法则来计算。

设函数 y = f(x) * g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 为可导函数，则它们的乘积的导数为 dy/dx = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

第1课时对数函数的概念、图象及性质1.了解对数函数的概念．2.会画对数函数的图象，记住对数函数的性质．3．掌握对数函数图象和性质的应用．[学生用书P52]1．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数的定义域是(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x(a>0且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域{x|x>0}值域R单调性增函数减函数共点性图象过点(1，0)，即log a1＝0函数值x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log a x与y＝log1ax的图象关于x轴对称趋势a值越大图象越靠近x，y轴a值越小图象越靠近x，y轴x趋于零，y趋于－∞；x趋于＋∞，y趋于＋∞x趋于零，y趋于＋∞；x趋于＋∞，y趋于－∞3.y＝a x称为y＝log a x的反函数，反之，y＝log a x也称为y＝a x的反函数，一般地，如果函数y ＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝log x3都不是对数函数．( )(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )(3)当0＜a ＜1时，若x ＞1，则y ＝log a x 的函数值都大于零．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．函数y ＝log 4.3x 的值域是________． 答案：R3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)log a x 是对数函数，则a ＝________． 答案：34．函数f (x )＝log 5(1－x )的定义域是________． 答案：{x |x <1}与对数函数有关的定义域问题[学生用书P52]求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x21－x； (2)y ＝log (2x －1)3x －2. 【解】 (1)要使函数有意义， 需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜1.所以－1＜x ＜1.所以函数的定义域为(－1，1)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，2x －1≠1，3x －2＞0，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞).若将例题(2)函数改为“y ＝log3x －2(2x －1)”，则其定义域应为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，3x －2＞0，3x －2≠1，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则①分母不能为0；②根指数为偶数时，被开方数非负； ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (2)求函数定义域的步骤①列出使函数有意义的不等式(组)； ②化简并解出自变量的取值范围； ③确定函数的定义域．1.求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg （x ＋1）－3；(2)y ＝log a （4x －3）(a ＞0，且a ≠1)．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1）－3≠0，x ＋1＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x ＞－1， 所以x ＞－1，且x ≠999，所以函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)log a (4x －3)≥0⇒log a (4x －3)≥log a 1. 当a ＞1时， 有4x －3≥1，x ≥1 . 当0＜a ＜1时，有0＜4x －3≤1，解得34＜x ≤1.综上所述，当a ＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 对数函数的图象和性质[学生用书P53](1)如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值可为35，110，3，43，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数a 的值依次为________．(2)若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b ，c 的值分别为________，________.【解析】 (1)由底数对对数函数图象的影响，可知C 4的底数<C 3的底数<C 2的底数<C 1的底数．故相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数依次是3，43，35，110.(2)因为函数的图象恒过定点(3，2)， 所以将(3，2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c ， 得2＝log a (3＋b )＋c .又当a >0，a ≠1时，log a 1＝0恒成立， 所以log a (3＋b )＝0，所以b ＝－2，c ＝2. 【答案】 (1)3，43，35，110(2)－2 2(1)对数函数的性质可以结合图象去理解记忆．(2)对数函数图象的画法有两种：一是描点法；二是通过图象变换画出．2.已知a ＞0，且a ≠1，则函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B.法一：若0＜a ＜1，则函数y ＝a x的图象下降且过点(0，1)，而函数y ＝log a (－x )的图象上升且过点(－1，0)，以上图象均不符合．若a ＞1，则函数y ＝a x的图象上升且过点(0，1)，而函数y ＝log a (－x )的图象下降且过点(－1，0)，只有B 中图象符合．法二：首先指数函数y ＝a x的图象只可能在x 轴上方，函数y ＝log a (－x )的图象只可能在y 轴左方，从而排除A ，C ；再看单调性，y ＝a x与y ＝log a (－x )的单调性正好相反，排除D.只有B 中图象符合．法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图象关于y 轴的对称图象为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接确定选B.利用对数函数的单调性比较大小[学生用书P53]比较下面各组数中两个值的大小． (1)log 33.4，log 38.5； (2)log 0.21.8，log 0.22.7；(3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0且a ≠1)． 【解】 (1)考察对数函数y ＝log 3x ，因为它的底数3＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数， 于是log 33.4＜log 38.5.(2)考察对数函数y ＝log 0.2x ，因为它的底数0.2＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log 0.21.8＞log 0.22.7.(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件并未明确指出底数a 与1哪个大，因此要对底数a 进行讨论：当a ＞1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 于是log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数， 于是log a 5.1＞log a 5.9.(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论． (2)如果不同底，一种方法是化为同底对数，另一种方法是寻找中间变量．(3)如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小的关系解决或利用换底公式化为同底，再进行比较．(4)若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．3.比较下列各组数的大小：(1)log 0.20.4，log 0.20.3，log 0.23； (2)log 123，log 133，log 143；(3)log 23，log 45，log 76.解：(1)因为函数y ＝log 0.2x 是区间(0，＋∞)上的单调减函数，且0.3<0.4<3， 所以log 0.20.3>log 0.20.4>log 0.23.(2)因为函数f (x )＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<14<13<12<1，所以log 314<log 313<log 312<0，即1log 143<1log 133<1log 123<0， 所以log 123<log 133<log 143. (3)log 23＝log 49>log 45>1， 而log 76<log 77＝1， 故log 76<log 45<log 23.1．关于对数函数概念的两点说明(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．(2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．2．a 对对数函数的图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象对应位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为________．[解析] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x －1>0，解得x >2.[答案] (2，＋∞)(1)解答本题只注意被开方数大于零，而忽视真数大于零．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．1．下列函数表达式中，是对数函数的有( ) ①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ； ④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有③、④，其他的均不符合．2．函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)解析：选C.要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1，且x ≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.3．函数y ＝2x的反函数为________．解析：由对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)和y ＝a x (a ＞0，a ≠1)互为反函数知y ＝2x的反函数为y ＝log 2x .答案：y ＝log 2x4．若函数y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)的图象过点(－1，0)． (1)求a 的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )， 则－1＋a ＝1，所以a ＝2.(2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，x ＋2＞0，解得x ＞－2， 所以函数的定义域为{x |x ＞－2}．[学生用书P112(单独成册)])[A 基础达标]1．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝( ) A ．－1 B ．5 C ．－1或5D ．1解析：选B.由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.2．已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选B.a ＝log 0.60.5＞log 0.60.6＝1，b ＝ln 0.5＜0，0＜c ＝0.60.5＜0.60＝1，故a ＞c ＞b .3．函数y ＝lg(x －1)＋lg(x －2)的定义域为M ，函数y ＝lg(x 2－3x ＋2)的定义域为N ，则( ) A ．MN B ．N MC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选A.y ＝lg(x 2－3x ＋2) ＝lg[(x －1)(x －2)]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x －2<0，即x >2或x <1.所以N ＝{x |x >2或x <1}． 又M ＝{x |x >2}． 所以MN .4．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图象过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m ＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是{x |x >3}，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A.函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .6．下列四个数：0.2－0.1，log 1.20.3，log 0.20.3，log 0.20.5，由小到大的顺序为________．解析：因为0.2－0.1>1，log 1.20.3<0，0<log 0.20.5<log 0.20.3<log 0.20.2＝1， 所以log 1.20.3<log 0.20.5<log 0.20.3<0.2－0.1. 答案：log 1.20.3<log 0.20.5<log 0.20.3<0.2－0.17．已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b的图象上，则b ＝________．解析：当x ＋3＝1，即x ＝－2时， 对任意的a >0，且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上， 则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1.答案：－18．已知log a 3>log b 3>0，则a ，b 的大小关系是________． 解析：因为log a 3>log b 3>0，所以a >1，b >1. 由换底公式有1log 3a >1log 3b >0，所以log 3b >log 3a >0. 所以b >a . 答案：b >a9．求下列函数的定义域：①y ＝log 3(3x )；②y ＝log 34x －5； ③y ＝1log 12x ；④y ＝ log 2（2x ＋6）.解：①由3x >0，得x >0，所以函数y ＝log 3(3x )的定义域为(0，＋∞)． ②由4x －5>0，得x >54，所以函数y ＝log 34x －5的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞. ③由x >0及log 12x ≠0得x >0且x ≠1，所以函数y ＝1log 12x的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．④log 2(2x ＋6)≥0，得2x ＋6≥1，即x ≥－52，所以函数y ＝log 2（2x ＋6）的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞.10．解不等式：log a (2x －5)>log a (x －1)． 解：当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.所以原不等式的解集为{x |x >4}． 当0<a <1时，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52<x <4.[B 能力提升]1.已知函数f (x )＝lg|x |，设a ＝f (－3)，b ＝f (2)，则a 与b 的大小关系是________． 解析：f (x )＝lg|x |定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上为增函数．a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f (2)，因为f (3)>f (2)，所以a >b .答案：a >b2.已知f (x )＝|lg x |，若1c>a >b >1，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是________．解析：先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|lg x |的图象，如图．由图可知，f (x )＝|lg x |在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c＞f (a )＞f (b )，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )．所以f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：f (c )＞f (a )＞f (b )3.已知函数f (x )＝log (2a －1)(2x ＋1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上满足f (x )>0，试求实数a 的取值范围． 解：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，2x ＋1>4>1.因为log(2a －1)(2x ＋1)>0＝log (2a －1)1，所以2a －1>1，即2a >2，解得a >1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．4.(选做题)已知函数f (x )＝log 21＋x 1－x. (1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值． 解：(1)证明：左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2 ＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2. 右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2. 所以左边＝右边．(2)因为f (－b )＝log 21－b 1＋b ＝－log 21＋b 1－b ＝12， 所以f (b )＝log 21＋b 1－b ＝－12， 利用(1)可知：f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ， 所以f (a )－12＝1， 解得f (a )＝32.。

(三) 指数函数、对数函数和幂函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，log 2 xx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是________．【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 12＝f (－1)＝2－1＝12.【答案】 122．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是________．(填序号) ①y ＝1x；②y ＝e －x ；③y ＝－x 2＋1；④y ＝lg|x |.【解析】 ①项，y ＝1x是奇函数，故不正确；②项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；③④两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg |x |在(0，＋∞)上是增函数，故选③.【答案】 ③3．f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 016x＋log 2 016 x ，则函数f (x )的零点的个数是________．【解析】 作出函数y 1＝2 016x ，y 2＝－log 2 016x 的图象，可知函数f (x )＝2 016x＋log 2016x 在x ∈(0，＋∞)内存在一个零点，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )在x ∈(－∞，0)上也有一个零点，又f (0)＝0，所以函数f (x )的零点的个数是3个．【答案】 34．把函数y ＝a x向________平移________个单位得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ＋2的图象，函数y ＝a 3x －2(a >0且a ≠1)的图象过定点________．【解析】 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ＋2＝a x －2可由y ＝a x 向右平移2个单位得到．令3x －2＝0，即x ＝23，则y ＝1，∴y ＝a3x －2的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.【答案】 右 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 5．设12 015<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015a <1，那么a b ，a a ，b a 的大小关系为________．【解析】 根据指数函数的性质，可知0<a <b <1，根据指数函数的单调性，可知a b<a a，根据幂函数的单调性，可知a a<b a，从而有a b<a a<b a.【答案】 a b<a a<b a6．已知集合A ＝{y |y ＝log 2 x ，x >1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >1，则A ∩B ＝________.【解析】 ∵x >1，∴y ＝log 2 x >log 2 1＝0， ∴A ＝(0，＋∞)，又∵x >1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <12，∴B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. ∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 7．已知y ＝f (2x)的定义域为[－3,3]，则f (x 3)的定义域为________.【解析】 由题知，x ∈[－3,3]时，2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，8，∴x 3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，8，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.即f (x 3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，28．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，下一个有根区间是________．【解析】 设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．【答案】 (2,3)9．若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点________．(填序号)(1)y ＝f (－x )e x ＋1；(2)y ＝f (x )e x＋1； (3)y ＝f (－x )e －x －1；(4)y ＝f (x )e x－1.【解析】 f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，x 0是y ＝f (x )－e x的一个零点，∴f (x 0)＝e x 0，将－x 0代入各函数式，代入(2)时，可得y ＝f (－x 0)e －x 0＋1＝－f (x 0)e －x 0＋1＝－e x 0e －x 0＋1＝0，因此－x 0是函数y ＝f (x )e x＋1的零点．【答案】 (2)10．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为________．(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)【解析】 操作次数为n 时的浓度为⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1＜10%，得 n ＋1＞－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8， 所以n ≥21. 【答案】 2111．下列说法中，正确的是________．(填序号) ①任取x >0，均有3x >2x； ②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2； ③y ＝(3)－x是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称； ⑥图象与y ＝3x的图象关于y ＝x 对称的函数为y ＝log 3 x . 【解析】 对于①，可知任取x >0,3x >2x一定成立． 对于②，当0<a <1时，a 3<a 2，故②不一定正确． 对于③，y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，因为0<33<1，故y ＝(3)－x是减函数，故③不正确． 对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，故正确． 对于⑤，y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称是正确的． 对于⑥，根据反函数的定义和性质知，⑥正确． 【答案】 ①④⑤⑥12．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f (x )＝a x－x －a (a ＞0)有两个零点，即a x－x －a ＝0有两个根， ∴a x＝x ＋a 有两个根．∴y ＝a x 与y ＝x ＋a 有两个交点． 由图形知，a ＞1.【答案】 (1，＋∞)13．若存在x ∈[2,3]，使不等式1＋axx ·2x ≥1成立，则实数a 的最小值为________．【解析】 因为x ∈[2,3]，所以不等式可化为a ≥2x －1x ，设y ＝2x －1x，因为y ＝2x和y＝－1x 在区间[2,3]上为增函数，所以函数y ＝2x－1x在区间[2,3]上为增函数，则其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，233，由题意得a ≥72，所以实数a 的最小值为72. 【答案】 7214．已知函数f (x )＝log 3 x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝f 2(x )＋2f (x 2)的最大值为________.【解析】 由题知⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3，故y ＝f 2(x )＋2f (x 2)的定义域为[1,3]，y ＝(log 3 x ＋2)2＋2(log 3 x 2＋2)＝(log 3 x )2＋8log 3 x ＋8＝(log 3 x ＋4)2－8，当x ∈[1,3] 时，log 3 x ∈[0,1]，∴y ∈[8,17]． 【答案】 17二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算下列各式的值： (1)3－π3＋4－π4；(2)2log 5 10＋log 5 0.25；【解】 (1)原式＝(3－π)＋(π－2)＝1.(2)原式＝2log 5 (2×5)＋log 5 0.52＝2(log 5 2＋log 5 5)＋2log 5 12＝2(log 5 2＋1－log 52)＝2.＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.16．(本小题满分14分)已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． 【解】 因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m ＝1时，f (x )＝x 0条件(1)、(2)都不满足；当m ＝0时，f (x )＝x 3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数． 所以幂函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3所以x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域为[0,27]．17．(本小题满分14分)(1)已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x的值域；(2)已知－3≤log 12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2 x 2·log 2 x4的值域．【解】 (1)f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x ＝－(3x )2＋6·3x ＋3，令3x ＝t ，则y ＝－t 2＋6t ＋3＝－(t －3)2＋12，∵－1≤x ≤2，∴13≤t ≤9，∴当t ＝3，即x ＝1时，y 取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，y 取得最小值－24，即f (x )的最大值为12，最小值为－24，所以函数f(x )的值域为[－24,12]．(2)∵－3≤log 12x ≤－32，∴－3≤log 2x log 212≤－32，即－3≤log 2x －1≤－32，∴32≤log 2x ≤3. ∵f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －log 2 2)·(log 2x －log 24) ＝(log 2x －1)·(log 2x －2)． 令t ＝log 2x ，则32≤t ≤3，f (x )＝g (t )＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14. ∵32≤t ≤3， ∴f (x )max ＝g (3)＝2，f (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－14. ∴函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log 131＋x1＋ax(a ≠1)是奇函数， (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋21＋2x，x ∈(－1,1)，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值；(3)若g (m )>g (n )(m ，n ∈(－1,1))，比较m ，n 的大小.【解】 (1)∵f (x )为奇函数，∴对定义域内任意x ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即log 131－x 1－ax ＋log 131＋x 1＋ax ＝log 131－x21－a 2x2＝0，∴a ＝±1，由条件知a ≠1，∴a ＝－1.(2)∵f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，令 h (x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2. (3)f (x )＝log 131＋x 1－x＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 随x 增大，1－x 减小，∴21－x 增大，∴1＋x1－x 增大，∴f (x )单调递减，又h (x )＝21＋2x 也随x 增大而减小，∴g (x )单调递减．∵g (m )>g (n )，∴m <n .19．(本小题满分16分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t (天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格(单位：元)为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格(单位：元)为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t (天)的函数关系式； (2)求日销售额S 的最大值． 【解】 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，－2t ＋，31≤t ≤50，t ∈N ，＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，当t ＝20时，S 的最大值为6 400； 当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，当t ＝31时，S 的最大值是6 210.∵6 210<6 400，∴当销售时间为20天时，日销售额S 取最大值6 400元．20．(本小题满分16分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．图1(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 【解】 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得 Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋P ，－32P ＋P，代入①式得L ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋P －－P ，⎝⎛⎭⎪⎫－32P ＋40P －－P ≤2，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．。

3.2.2 对数函数自主广场我夯基 我达标1.如下图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x 与y=log a x 的图象是( )思路解析：首先把y=a -x 化为y=(a 1)x ， ∵a ＞1，∴0＜a 1＜1.因此y=(a1)x ，即y=a -x 的图象是下降的，y=log a x 的图象是上升的. 答案:A2.y=21log (x 2-3x+2)的递增区间是( )A.(-∞，1)B.(2，+∞)C.(-∞，23)D.(23，+∞)思路解析：首先考虑对数函数的定义域，再利用对数函数的性质.答案:A3.已知函数f(x)=lg(x 2-3x+2)的定义域为F ，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G ，那么( ) A.G F B.G=F C.F ⊆G D.F∩G=∅ 思路解析：F={x|x 2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.∴G F.答案:A4.已知函数f(x)=log 2(x 2-ax+3a)在［2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.（-∞，4）B.（-4，4]C.（-∞，-4）∪［2，+∞)D.［-4，4)思路解析:解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数. 令u （x ）=x 2-ax+3a ，其对称轴x=2a .由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=.22,0324)2(a a a u 解得-4<a≤4. 答案:B5.若定义在(-1，0)上的函数f(x)=log 2a(x+1)满足f(x)>0，则a 的取值范围是( )A.(0,21)B.(0,21]C.(21,+∞) D.(0,+∞) 思路解析：本题考查对数函数的基本性质.当x ∈(-1，0)时，有x+1∈(0，1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可.由此解得0<a<21. 答案:A6.函数y=lg 11-x 的图象大致是( )思路解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点(2，0)，(1011，1).②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为(1，+∞)，在定义域上函数为减函数.答案:A7.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( ) A.42 B.22 C.41 D.21 思路解析：本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在［a ，2a ］上的最大值与最小值. f(x)=log a x(0<a<1)在(0，+∞)上是减函数，当x ∈［a ，2a ］时，f(x)max =f(a)=1，f(x)min =f(2a)=log a 2a.根据题意，3log a 2a=1，即log a 2a=31，所以log a 2+1=31，即log a 2=-32.故由32-a =2得a=232-=42. 答案:A我综合 我发展8.log a32<1，则a 的取值范围是____________. 思路解析：当a>1时，log a 32<1=log a a.∴a>32.又a>1，∴a>1. 当0<a<1时，log a 32<log a a.∴a<32.又0<a<1，∴0<a<32. 答案:(0，32)∪(1，+∞) 9.函数y=log a (x-2)+1(a ＞0且a ≠1)恒过定点______________.思路解析：若x-2=1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a ≠1，都有y=1.答案:(3，1)10.函数f(x)=log (a-1)x 是减函数，则a 的取值范围是____________.思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a 的不等式求a.由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a ＜2.答案:1＜a ＜211.已知f(x)=log a xx -+11(a>0且a ≠1). (1)求函数的定义域；(2)讨论函数的单调性；(3)求使f(x)>0的x 的取值范围.思路解析:注意对数函数的底和真数的制约条件以及底的取值范围对单调性的影响. 解答:(1)由xx -+11>0得-1<x<1. ∴函数的定义域为(-1,1).(2)对任意-1<x 1<x 2<1,)1)(1()(2111121212211x x x x x x x x ---=-+--+<0，∴22111111x x x x -+<-+. 当a>1时，log a 1111x x -+<log a 2211x x -+，即f(x 1)<f(x 2)； 当0<a<1时，log a 1111x x -+>log a 2211x x -+，即f(x 1)>f(x 2). ∴当a>1时，f(x)为(-1，1)上的增函数；当0<a<1时，f(x)为(-1，1)上的减函数.(3)log axx -+11>0=log a 1. 当a>1时，x x -+11>1，即x x -+11-1=x x -12>0. ∴2x(x-1)<0.∴0<x<1.当0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+.111,011xx x x 解得-1<x<0.∴当a>1时，f(x)>0的解为(0，1)；当0<a<1时，f(x)>0的解为(-1，0).12.已知f(x)=1+log x 3，g(x)=2log x 2，试比较f(x)与g(x)的大小.思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法.解答:f(x)和g(x)的定义域都是(0，1)∪(1，+∞).f(x)-g(x)=1+log x 3-2log x 2=1+log x 3-log x 4=log x43x. (1)当0＜x ＜1时，若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＞0，即0＜x ＜1时，f(x)＞g(x).(2)当x ＞1时，若43x ＞1，即x ＞34，此时log x 43x ＞0，即x ＞34时，f(x)＞g(x)； 若43x=1，即x=34，此时log x 43x=0，即x=34时，f(x)=g(x)；若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＜0，即1＜x ＜34时，f(x)＜g(x).综上所述，当x ∈(0，1)∪(34，+∞)时，f(x)＞g(x)；当x=34时，f(x)=g(x)；当x ∈(1，34)时，f(x)＜g(x).我创新 我超越13.已知f(x)=lg(a x -b x )(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域；(2)在函数图象上是否存在不同两点，使过两点的直线平行于x 轴?思路解析：(2)的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.解答:(1)由a x -b x >0，得(b a)x >1=(b a)0. ∵b a>1，∴x>0.∴函数的定义域为(0，+∞).(2)先证明f(x)是增函数.对于任意x 1>x 2>0，∵a>1>b>0，∴1x a >2x a ，1x b <2x b .∴1x a -1x b >2x a -2x b .∴lg(1x a -1x b )>lg(2x a -2x b ).∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0，+∞)上为增函数.假设y=f(x)上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1=y 2，这与f(x)是增函数矛盾.∴y=f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴.14.已知非零常数x 、y 、z ，满足2x =3y =6z ，求证：zy x 111=+. 思路解析：考查转化的思想方法，指、对式的转化.可以先求出x 、y 、z ，然后由左边推证出右边.证法一：设2x =3y =6z =k ，则x=log 2k ，y=log 3k ，z=log 6k. ∴k k y x 32log 1log 111+=+=log k 2+log k 3=log k 6=zk 1log 16=. 证法二：由2x =3y =6z ，有2x =6z ，3y =6z .∴x=log 26z =zlog 26，y=log 36z =zlog 36. ∴z z z y x 16log 16log 11132=+=+(log 62+log 63)=z 1log 66=z1. 15.求函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x)的值域. 思路解析：求函数值域，必须先求定义域，求对数函数的定义域转化为解不等式组.解答:f(x)的定义域为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+.0,01,011x p x x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧>->->+.0,01,01x p x x ∴⎩⎨⎧<>.,1p x x ∵函数定义域不能是空集，∴p ＞1，定义域为(1，p).而x ∈(1，p)时，f(x)=log 2(x+1)(p-x)=log 2［-x 2+(p-1)x+p ］=log 2［-(x-21-p )2+(21+p )2］. (1)当0＜21-p ≤1，即1＜p ≤3时，0＜(x+1)(p-x)＜2(p-1). ∴f(x)的值域为(-∞，log 22(p-1)).(2)当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时，0＜(x+1)(p-x)≤(21+p )2. ∴函数f(x)的值域为(-∞，2log 2(p+1)-2］.。