高中数学完整讲义——空间几何量的计算1.点到平面的距离问题

推导空间解析几何的位置关系与距离公式在空间解析几何中，位置关系与距离公式是研究空间中点、直线、平面之间相互位置关系与距离的重要工具。

通过推导和研究，我们可以得到一系列的位置关系与距离公式，进一步拓宽我们对空间几何关系的认识。

一、点与点之间的位置关系与距离公式在三维空间中，我们首先考虑点与点之间的位置关系与距离公式。

假设点A（x1，y1，z1）和点B（x2，y2，z2）是空间中的两个点，我们可以得到它们之间的距离公式如下：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)这个公式可以通过勾股定理推导得出，其中d表示两点之间的距离。

根据该公式，我们可以计算出任意两点之间的距离，从而判断它们的位置关系。

二、点与直线之间的位置关系与距离公式在空间解析几何中，点与直线之间的位置关系是一个重要的研究对象。

给定一条直线L与一个点P(x0, y0, z0)，根据点到直线的距离定义，我们可以推导出点P到直线L的距离公式。

设直线L的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为直线L的方向向量的分量。

点P到直线L的距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，可以判断点和直线之间的位置关系，进一步研究空间中的几何性质。

三、点与平面之间的位置关系与距离公式接下来，让我们考虑点与平面之间的位置关系与距离公式。

给定一个平面的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为平面的法向量的分量。

对于空间中的一个点P(x0, y0, z0)，点P到平面的距离可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，我们可以判断点和平面之间的位置关系，从而进一步研究和解决空间几何问题。

解析几何中的点到平面的距离计算问题在解析几何中，点到平面的距离计算问题是一个重要的概念。

它涉及到从一个给定的点到一个平面的最短距离。

这个问题在实际应用中有广泛的应用，例如在计算机图形学、物理学和工程学等领域。

首先，我们来看一下点到平面的距离的定义。

对于给定的平面A和一个点P，点P到平面A的距离可以定义为从点P到平面A的最短距离。

换句话说，这个距离是垂直于平面A的线段的长度，该线段的起点是点P，终点是平面A上的一个点。

为了计算点到平面的距离，我们需要了解平面的一般方程。

一个平面可以用方程Ax + By + Cz + D = 0来表示。

其中，A、B和C是平面的法向量的分量，D是平面的常数项。

假设我们要计算点P(x0, y0, z0)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离。

我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1. 计算平面的法向量：平面的法向量可以通过平面的系数A、B和C来计算。

法向量的分量为(A, B, C)。

2. 计算点P到平面的投影点：我们需要计算点P在平面上的投影点Q。

投影点Q可以通过点P沿着平面的法向量的方向移动一段距离来获得。

我们可以使用向量计算的方法来计算投影点Q。

首先，我们可以将向量PQ表示为PQ = (x0 - x, y0 - y, z0 - z)，其中(x, y, z)是平面上的点。

然后，我们可以将向量PQ与平面的法向量进行点积运算，得到投影点Q在平面上的坐标。

3. 计算点P到平面的距离：点P到平面的距离就是点P到投影点Q的距离。

我们可以使用向量计算的方法来计算这个距离。

距离可以通过向量PQ的模长来计算，即distance = |PQ| = √((x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2)。

这个算法可以应用于二维和三维空间中的平面。

对于二维空间中的平面，可以简化为计算点到直线的距离。

对于三维空间中的平面，需要考虑点到面的距离。

在实际应用中，点到平面的距离计算问题经常用于计算两个物体之间的距离。

空间几何量的计算板块一点到平面的距离问题学生版一、问题简要说明本篇文章主要讨论空间几何量的计算板块中的一点到平面的距离问题。

一点到平面的距离是几何中的常见问题，它可以用来计算平面上特定点到该平面的垂直距离，也可以用来计算线段或者线到平面的距离。

二、一点到平面的距离定义在空间中，设有平面P，过平面P上一点A引直线L，垂直于平面P的直线与线L的交点为B。

则点A到平面P的距离定义为线段AB的长度。

三、一点到平面的距离计算方法1.平面P的一般方程：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量的坐标，D为平面的常数项。

设点A的坐标为（x0,y0,z0）。

2.点A到平面P的距离计算公式：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这个公式的推导过程可以利用向量的性质来进行。

点A到平面P的距离可以看作是向量AB在平面法向量上的投影，再求向量AB的模长得到。

所以计算点A到平面P的距离可以通过以下步骤进行：a.计算平面法向量N=(A,B,C)的模长。

b.计算向量AB=(x0-x,y0-y,z0-z)。

c.根据内积的定义得到向量AB在平面法向量上的投影LENGTH=，N·AB。

d.最后通过LENGTH/N的模长得到点A到平面P的距离。

四、例题与解析例题一：已知平面2x-y+3z+6=0，点(1,-2,3)到该平面的距离是多少？解析：根据上述公式，先计算平面的法向量N的模长：N，=√(2^2+(-1)^2+3^2)=√(4+1+9)=√1然后计算点A到平面P的距离d：d=，(2)(1)+(-1)(-2)+(3)(3)+(6)，/√14=，2+2+9+6，/√14=，19，/√14=19/√14所以点(1,-2,3)到平面2x-y+3z+6=0的距离是19/√14例题二：已知点A(1,-2,3)和点B(2,1,-1)，求点A到线段AB所在直线的距离。

解析：点A到线段AB所在直线的距离可以利用点A到平面的距离计算公式来求解。

空间几何的计算方法空间几何是数学中的一个重要分支，研究的对象包括点、线、面以及它们之间的关系和性质。

在实际应用中，空间几何的计算方法被广泛用于建筑设计、机械工程、地理测量等领域，有助于解决各种实际问题。

本文将介绍几种常见的空间几何计算方法，包括点与线的距离计算、面积与体积的计算以及空间坐标的转换方法。

一、点与线的距离计算1. 点到直线的距离计算对于给定的一点P(x₀, y₀, z₀)和一条直线L：Ax + By + Cz + D = 0，点P到直线L的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)其中，d表示点P到直线L的距离。

2. 点到线段的距离计算对于给定的一点P(x₀, y₀, z₀)和一条线段AB，点P到线段AB的距离可以通过以下步骤计算：首先，计算点P在直线AB所在直线上的投影点Q的坐标；然后，判断投影点Q是否在线段AB上；最后，若投影点Q在线段AB上，则点P到线段AB的距离等于点P到投影点Q的距离；若投影点Q不在线段AB上，则点P到线段AB的距离等于点P与线段两个端点A、B之间的最短距离。

二、面积与体积的计算1. 平面的面积计算对于给定的三个点A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)和C(x₃, y₃, z₃)，构成的三角形ABC所在平面的面积可以通过以下公式计算：S = 0.5 * |(x₂ - x₁) * (y₃ - y₁) - (y₂ - y₁) * (x₃ - x₁)|其中，S表示三角形ABC所在平面的面积。

2. 空间图形的体积计算对于给定的平面图形或几何体，其体积的计算方法有所不同。

- 立方体的体积计算：立方体的体积等于边长的立方，即V = a³，其中V表示立方体的体积，a表示边长。

- 圆柱体的体积计算：圆柱体的体积等于底面积乘以高，即V = πr²h，其中V表示圆柱体的体积，r表示底面半径，h表示高。

空间距离高三数学知识点在高三数学中，空间距离是一个重要的知识点，它涉及到三维空间中点、直线、平面之间的距离计算。

掌握了空间距离的概念和计算方法，可以帮助我们解决实际问题，进一步理解几何关系。

一、点到点的距离计算在三维空间中，我们通过坐标来表示点的位置。

假设有点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，我们可以用勾股定理来计算点A到点B的距离。

距离公式如下：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]通过这个公式，我们可以计算两个任意点之间的距离，进而帮助解决空间几何中的问题。

二、点到直线的距离计算在三维空间中，直线的方程可以以参数形式给出。

如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和直线L的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中a、b、c为实数，t为参数。

我们可以通过点P到直线L 的距离公式来计算：d = |(x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁) · (a, b, c)| / √(a² + b² + c²)这里的|·|表示向量的模，·表示向量的内积。

通过这个公式，我们可以计算出点到直线的距离。

三、点到平面的距离计算在三维空间中，平面的方程可以以一般式给出。

如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C、D为常数。

我们可以通过点P到平面的距离公式计算：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)这里的|·|表示绝对值。

通过这个公式，我们可以计算出点到平面的距离。

四、直线与直线的距离计算在三维空间中，我们可以通过两直线的方向向量来计算它们之间的距离。

空间向量点到平面距离求法在三维空间中，我们经常需要计算一个给定点到一个给定平面的距离。

这个问题可以被称为”空间向量点到平面的距离求法”。

本文将详细介绍该求解方法。

1. 定义首先，我们需要明确一些基本的几何概念。

一个平面可以由一个点和一个法向量来唯一确定。

记平面上的一点为P，平面的法向量为n。

对于空间中的任意一点Q，我们定义点Q到平面的距离为点Q到平面的垂直距离，记作d(Q,Pn)。

2. 求解方法为了求解点Q到平面的距离，我们需要以下步骤：2.1 平面的方程首先，我们需要确定平面的方程。

一个平面P可以表示为Ax + By + Cz + D = 0的形式，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。

2.2 平面法向量的求解平面的法向量可以通过两个非平行的向量的叉乘来求解。

假设平面上的两个向量为v1和v2，则平面的法向量n可以通过n = v1 × v2来计算。

2.3 点到平面的距离公式根据点到平面的距离定义，点Q到平面P的距离可以表示为：d(Q,Pn) = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|x|表示x的绝对值。

2.4 距离求解算法根据上述公式，我们可以编写一个求解点到平面距离的函数，输入为点Q的坐标，平面的法向量和常数项，输出为点Q到平面的距离。

function distance_to_plane(Q, n, D) {let [x, y, z] = Q;let [A, B, C] = n;let distance = Math.abs(A * x + B * y + C * z + D) / Math.sqrt(A**2 + B**2+ C**2);return distance;}3. 示例下面我们通过一个示例来演示如何使用上述方法计算点到平面的距离。

假设有一个平面P，其方程为2x + 3y - z + 4 = 0。

点Q的坐标为(1, -2, 3)。

点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。

本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。

2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。

同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。

2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。

3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。

4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。

3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。

3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。

在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。

3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。

具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。

3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。

具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。

【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（ ） A ．1 B ．2C ．1或2D ．0或1【难度】4【解析】C ；分线段AB 两端点在平面α同侧和异侧两种情况解决．【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．【难度】6 【解析】3;【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．OEA 1D C 1B 1DCA【难度】6【解析】 ∵11A B ∥11C D ，且11C D ⊂面11ABC D∴11A B ∥面11ABC D ，且点E 在11A B 上，∴点E 到平面11ABC D 的距离即为点1A 到平面11ABC D 的距离 连结1A D 交1AD 于Q ，则根据正方体性质可知，1A O ⊥面11ABC D ∴点1A 到平面11ABC D 的距离为1A O 的长，即12AO =典例分析板块一.点到平面的距离问题【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=o ，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP【难度】6【解析】 作DH ⊥PA 交PA 于H∵PD ⊥面ABCD ，且AB ⊂面ABCD ∴PD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，且PD I AD D = ∴AB ⊥面PAD ∵DH ⊂面PAD∴DH ⊥AB ，又DH ⊥PA ，且AB PA A =I ∴DH ⊥面PAB ，∴点D 到平面PAB 的距离即为DH 长 在Rt PAD ∆中，AD PD a ==，∴DH = ∴点D 到平面PAB本题可用体积法，在此不在给出具体过程．【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60o ，求点C 到面1ABC 的距离.EDC 1B 1A 1CBA【难度】6 【解析】答案：34过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连结1C D ，则1C D ⊥AB ，160C DC ∠=o∴CD =1C D =132CC =在1CC D ∆中，过C 作CE ⊥1C D则CE 为点C 到平面1ABC的距离，334CM ==∴点C 到平面1ABC 的距离为34【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体12PD AB =中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCDAA 1【难度】6【解析】D ；因为11A B EF ∥，G 在11A B 上，所以G 到平面1D EF 的距离即是1A 到面1DEF 的距离，即是1A 到1D E的距离，1D E=11⨯=，故选D ．【例7】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（ ） ABCD ABCDE【难度】6 【解析】 D因为11A B EF ∥，G 在11A B 上，所以G 到平面1D EF 的距离即是1A 到面1D EF 的距离，即是1A 到1D E的距离，1D E =11⨯=，故选D ．【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【难度】6【解析】 设P 在 底面ABC 上的射影为O ，则2PO =，且O 是三角形ABC 的中心，设底面边长为a，则223=，∴a =b则b ='h 面积法求A 到侧面PBC的距离2h ==【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=o ，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E 是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．A【难度】6【解析】连结AC ，BD 交于点O ，连结EO ，则EO ∥PD又PD ⊂面PCD ，∴EO ∥面PCD ，点E 到面PCD 的距离可转化为点O 到面PCD 的距离 ∵PD ⊥平面ABCD ， ∴面PCD ⊥平面ABCD过点O 作OG ⊥CD 交CD 于点G ，由面PCD I 平面ABCD CD =知OG ⊥面PCD ， 则OG 的长为点E 到面PCD 的距离在正BCD ∆中，60BDC ∠=o ,122aDO BD ==,∴sin 60OG DO =⋅o 本题可将点E 到平面PCD 的距离转化为，点B 到平面PCD 的距离的一半，则BCD ∆的过点B 的中线为点B 到平面PCD 的距离．【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心；⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【难度】8【解析】 ⑴∵,PA PB PA PC ⊥⊥，∴PA ⊥平面PBC ， ∴PA BC ⊥． 又∵PO ⊥平面ABC ， ∴PO BC ⊥， ∴BC ⊥平面POA ， ∴BC AO ⊥， 同理有AB CO ⊥， ∴O 为ABC ∆的垂心． ⑵∵PO ⊥平面ABC ，∴PO AO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥， ∵PA PB PC ==，∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆， ∴OA OB OC ==， ∴O 为ABC ∆的外心． ⑶（法一）∵PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，∴AB BC CA ===，ABC ∆为正三角形，∴AO AB ==，∴PO ==．因此点P 到平面ABC． （法二）∵,PA PB PA PC ⊥⊥，∴PA ⊥平面PBC ，∴1133P ABC ABC A PBC PBC V S PO V S AP --=⋅⋅==⋅⋅，又AB BC CA ===，ABC ∆为正三角形，∴221)2ABC S =，∴21a aPO ⋅⋅==，即为所求．【例11】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【难度】8【解析】 ⑴连结AC ，∵1CC ⊥平面ABCD ，∴1CC BD ⊥． 又∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥． ∴BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ， ∴1BD AC ⊥，同理有，1A D ⊥平面11ABC D ，∴11A D AC ⊥， ∴1AC ⊥平面1A BD ；⑵法一：要求点到平面的距离，可以用体积法， 记A 点到平面1A BD 的距离为d ，1D 1A A11111133A ABD ABD A A BD A BD V S AA V S d --=⋅==⋅，11A B A D BD ===，1221)2A BD S ==，∴21a ad ⋅==，即为所求． 法二：记1AC I 平面1A BD M =，连结1A M 交BD 于N ，连结11,AN AC ， ∵1AC ⊥平面1A BD ，∴AM 的长即为所求的距离，且1AM A N ⊥， ∵平面//ABCD 平面1111A B C D ，∴11//AC AN，故有12AN AC ==， 在1Rt A AN ∆中，1AM A N ⊥，∴11a AA ANAM A N⋅===．【例12】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．HOABCDA 1B 1C 1D 1①求证：1BD ⊥平面EAC ；②求点D 到平面11A BD 的距离．【难度】8【解析】⑴（法一：等积法）设点1A 到平面11AB D 的距离为h∵111111A AB D A A B D V V --=，∴1111111133AB D A B D h S AA S ∆∆⋅=⋅⋅在11AB D ∆中，由已知条件有11AB AD ==，11B D =∴111322AB D S ∆== 而12AA =，111211122A B D S ∆=⨯=∴1111111222332A B D AB D AA S h S ∆∆⨯⋅=== （法二：直接法）连结11A C 交11B D 于点O ，则11A C ⊥11B D ， ∵1AA ⊥上底面1111A B C D ，从而有1AA ⊥11B D ∵11AC I 11AA A =∴11B D ⊥面1AAO ，又11B D ⊂面11AB D ， ∴面1AAO ⊥面11AB D ，且面1AAO I 面11AB D AO = 过1A 作1A H ⊥AO 交AO 于H ，则1A H ⊥面11AB D ∴点1A 到平面11AB D 的距离即为1A H 长， 在1Rt A AO ∆中，由已知可得AO =，1AO =，而12AA =∴1223A H == ⑵①∵长方体中棱1AB AD ==，∴BD ⊥AC 又1DD ⊥底面ABCD ，且AC ⊂底面ABCD ， ∴AC ⊥1DD ，从而AC ⊥面1BDD∴AC ⊥1BD∵11A D ⊥面11A ABB ，且AE ⊂11A ABB ， ∴AE ⊥11A D ，且AE ⊥1A B∴AE ⊥面11A BD ，且1BD ⊂面11A BD ，ABCD A 1B 11D 1EF∴AE ⊥1BD又∵AE AC A =I ，∴1BD ⊥面EAC ②∵AD ∥11A D ，且11A D ⊂面11A BD ∴AD ∥面11A BD∴点D 到平面11A BD 的距离可以转化为点A 到面11A BD 的距离 又∵AE ⊥面11A BD ∴AF即为所求距离AF ==。

空间几何点到平面的距离公式
空间几何中，点到平面的距离公式是指计算一个点到一个平面的最短距离的公式。

这个公式在许多应用中非常有用，比如在计算机图形学中用于确定点到三维物体表面的距离，或者在物理学中用于计算点到平面的力和电场。

要计算点到平面的距离，我们可以使用向量和点法式，具体公式如下：
设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，点P的坐标为(x0, y0, z0)。

点P到平面的距离d可以通过以下公式计算：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
其中|Ax0 + By0 + Cz0 + D|表示点P到平面的有向距离，即如果点P在平面的上方，则距离值为正，如果点P在平面的下方，则距离值为负。

√(A^2 + B^2 + C^2)是平面法线的模长，用于归一化距离。

这个公式可以通过以下步骤推导得到：
1. 首先，我们可以通过平面方程将平面上任意一点(x, y, z)代入，得到该点到平面的有向距离：
d = |Ax + By + Cz + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
2. 然后，我们将该公式中的点(x, y, z)替换为点P的坐标(x0, y0, z0)，得到点P到平面的有向距离公式：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
这个公式适用于任意的平面和点的组合。

它可以方便地用于计算点到平面的距离，并且可以根据需要进行扩展和修改，以满足特定的应用需求。

空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求模块框架空间几何量的计算平行、垂直的有关性质与判定． 理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =I ，简记为l m A =I ； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=I ． 2．平面的三个公理：知识内容⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈I I ．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=I ，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒I ． 图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形 所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=． 于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=I ．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒I ．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒I I ． 图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．lα直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=I ，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=I ，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角 （一）主要方法：本板块所学内容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用． １．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面内的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α内的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离． ⑶斜线在平面内的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影． 2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面内的射影所成的锐角； ⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90o ；⑶直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0o ．显然，直线和平面所成的角的范围为0,90⎡⎤⎣⎦o o ．由此可见，一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题），是通过斜线在平面内的射影转化成两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的． 具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： ⑴作——作出斜线与射影所成的角；⑵证——论证所作（或找到）的角就是要求的角；⑶算——常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带作用。

点到平面的距离空间向量求法概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在几何学中，计算点到平面的距离是一个常见的问题。

点到平面的距离可以用来描述点与平面之间的物理距离或者代数上的数值关系。

这个问题涉及到利用空间向量进行计算和分析。

本篇文章将详细介绍点到平面的距离空间向量求法，并概述相关定义、计算方法、实例分析以及数学推导和证明。

1.2 文章结构本文分为五个主要部分：引言、正文、实例分析、数学推导和证明以及结论与应用展望。

在引言部分，我们将对文章内容进行概述，并介绍本篇文章的结构安排。

此外，我们还将解释点到平面距离问题的目标和重要性。

在正文部分，我们将详细讨论点到平面距离的定义以及两种常用的计算方法：垂直距离法和投影距离法。

我们将明确这些方法的原理和步骤，并提供具体示例来帮助读者更好地理解和应用这些方法。

在实例分析部分，我们将通过两个实例来对点在平面上和点在平面外两种情况进行深入分析。

通过具体的例子，我们将展示如何根据问题的不同情况选择合适的计算方法，并解释计算过程和结果的含义。

在数学推导和证明部分，我们将回顾基本向量运算、向量投影和正交性质等相关数学知识，并推导出点到平面距离的公式。

这一部分将为读者提供理论基础，并帮助他们更好地理解和应用点到平面距离的求解方法。

最后，在结论与应用展望部分，我们将总结全文内容并讨论关键观点。

同时，我们还将展望点到平面距离求解方法在实际应用中的潜力，并提出进一步研究方向建议。

1.3 目的本篇文章旨在深入介绍点到平面的距离空间向量求法。

通过阐述相关定义、计算方法、实例分析以及数学推导和证明，希望读者能够全面了解该问题背后的原理和应用。

此外，本文还旨在引起读者对于点到平面距离求解方法的兴趣，并为进一步研究提供启示和指导。

2. 正文:2.1 点到平面的距离定义点到平面的距离是指从给定点到平面上的垂直线段的长度。

这个距离可以用空间向量来表示和计算。

2.2 距离计算方法一：垂直距离法通过垂直距离法，我们可以通过点P到平面上任意一点Q所在直线的向量N（法向量）来计算点P到平面的距离。

高三数学第一轮复习讲义 空间距离【知识归纳】1、空间距离的求解思路：立体几何中有关距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）2、空间距离的类型：（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。

③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。

（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解（3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。

（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。

（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。

（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A 、B 间的距离的步骤：① 计算线段AB 的长；② 计算球心角∠AOB 的弧度数；③ 用弧长公式计算劣弧AB 的长。

【基础训练】（1）已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则异面直线BD 与B 1C 的距离为___ __。

（2）等边三角形ABC 的边长为22，AD 是BC 边上的高，将ABD ∆沿AD 折起，使之与ACD ∆所在平面成︒120的二面角，这时A 点到BC 的距离是___ __；（3）点P 是120°的二面角α-l -β内的一点，点P 到α、β的距离分别是3、4，则P 到l 的距离为 _____ __；（4）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到棱A 1B 1与棱BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为___ ____。

（5）长方体1111D C B A ABCD -的棱cm AA cm AD AB 2,41===，则点1A 到平面11D AB 的距离等于____ __；（6）在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1到平面MBD 的距离为__ ____。

3．7点到平面的距离[读教材·填要点]1．点到平面的距离(1)定义：从空间中一点P 到平面α作垂线PD 交平面α于D ，则线段PD 的长度d 称为点P 到平面α的距离．(2)求法：平面α的法向量n 以及平面上任一点A ，则AP ―→在法向量n 所在方向上的投影长度d 就等于点P 到平面α的距离，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP ―→·n |n |. 2．直线与平面的距离设直线l 平行于平面α，则l 上所有的点到α的距离相等，称为l 与α的距离，显然，只要在l 上任取一点P ，求出P 到α的距离，就得到l 与α的距离．3．平面与平面的距离设两个平面α与β平行，则β上所有的点到α的距离d 相等，d 称为两个平行平面α，β之间的距离．显然，只要在β上任取一点P ，求出P 到α的距离，就得到了这两个平面的距离．[小问题·大思维]1．求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么关系？提示：直线与平面平行，平面与平面平行．2．点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？ 提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离．四棱锥P ­ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E分别为AD ，PC 的中点．(1)求证：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．[自主解答] (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)．FP ―→＝(－1,0,2)，FB ―→＝(1,2,0)， DE ―→＝(0,1,1)， ∴DE ―→＝12FP ―→＋12FB ―→，∴DE ―→∥平面PFB . 又∵DE ⊄平面PFB ， ∴DE ∥平面PFB . (2)∵DE ∥平面PFB ，∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FB ―→＝0，n ·FP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.∴n ＝(2，－1,1)，又∵FD ―→＝(－1,0,0)， ∴点D 到平面PFB 的距离 d ＝|FD ―→·n ||n |＝26＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63.利用空间向量求点到平面的距离的四步骤1．长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP |＝2.求点M 到平面AB 1P 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4,0,0)，B 1(0,0,4)，P (0,4,0)，M (2,3,4)设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1P 的一个法向量，则n ⊥AB 1―→，n ⊥AP ―→， ∵AB 1―→＝(－4,0,4)，AP ―→＝(－4,4,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋4z ＝0，－4x ＋4y ＝0，因此可取n ＝(1,1,1)，由于MA ―→＝(2，－3，－4)， 所以点M 到平面AB 1P 的距离为 d ＝|MA ―→·n ||n |＝|2×1＋－＋－3＝533，故M 到平面AB 1P 的距离为533 .棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，DG ＝13DD 1，过E ，F ，G 的平面交AA 1于点H ，求直线A 1D 1到平面EFGH 的距离．[自主解答] 以D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，13，D 1(0,0,1)，∴EF ―→＝(－1,0,0)， FG ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，－16.设平面EFGH 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·EF ―→＝0，且n ·FG ―→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，y ＋16z ＝0，令z ＝6，可得n ＝(0，－1,6)．又D 1F ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12，∴d ＝|D 1F ―→·n ||n |＝43737.(1)求直线到平面的距离和平面到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离． (2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后求出平面的法向量，正确运用公式求解．2．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离． 解：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， A 1B ―→＝(0,1，－1)，A 1D ―→＝(－1,0，－1)， A 1D 1―→＝(－1,0,0)．设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B ―→＝0，n ·A 1D ―→＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，－x －z ＝0，令z ＝1，得y ＝1，x ＝－1， ∴n ＝(－1,1,1)．∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|A 1D 1―→·n ||n |＝13＝33.∵平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离等于点D 1到平面A 1BD 的距离，∴平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为33.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试如图，已知正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1的棱长为a ，求直线BD 与B 1C 的距离． [解] 法一：连接AC ，交BD 于点O ，则O 为AC ，BD 的中点，取CC 1的中点M ，连接BM 交B 1C 于E ，连接OM ，AC 1，则OM ∥AC 1，过E 作EF ∥OM 交OB 于F ，则EF ∥AC 1，又斜线AC 1的射影为AC ，BD ⊥AC ， ∴BD ⊥AC 1，∴EF ⊥BD .同理AC 1⊥B 1C ，EF ⊥B 1C . ∴EF 为BD 与B 1C 的公垂线．∵M 为CC 1的中点，∴△MEC ∽△BEB 1， ∴MC BB 1＝ME BE ＝12. ∵BM ＝52a ，∴BE ＝23MB ＝53a ， ∵EF ∥OM ，∴BF BO ＝BE BM ＝23，故BF ＝23OB ＝23a ，∴EF ＝BE 2－BF 2＝33a . 法二：(转化为直线到平面的距离)BD ∥平面B 1D 1C ，B 1C ⊂平面B 1D 1C ，故BD 与B 1C 的距离就是BD 到平面B 1D 1C 的距离为h ，由VB ­B 1D 1C ＝VD 1­B 1BC ，即13·34(2a )2h ＝13·12a 2·a ，解得h ＝33a . 法三：(转化为两平行平面间的距离)易证：平面B 1D 1C ∥平面A 1BD ，AC 1⊥平面A 1BD ，用等体积法易证A 到平面A 1BD 的距离为33a .同理可知C 1到平面B 1D 1C 的距离为33a ，而AC 1＝3a ，故两平面间的距离为33a .即BD 与B 1C 的距离为33a . 法四：(垂面法)如图，∵BD ∥平面B 1CD 1，B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥OO 1， ∴B 1D 1⊥平面OO 1C 1C .∵平面OO 1C 1C ∩平面B 1D 1C ＝O 1C ，O 1∈B 1D 1，故O 到平面D 1B 1C 的距离为Rt △O 1OC 斜边上的高，h ＝OC ·OO 1O 1C＝22a ·a 32·a ＝33a . 法五：(极值法)如图，在B 1C 上取一点M ，作ME ⊥BC 交BC 于E ，过E 作EN ⊥BD 交BD 于N ，易知MN 为BD 与B 1C 的公垂线时，MN 最小．设BE ＝x ，则CE ＝ME ＝a －x ，EN ＝22x ， ∴MN ＝12x 2＋a －x 2＝32x 2－2ax ＋a 2＝ 32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a 2＋a 23， ∴当x ＝23a 时，MN min ＝33a .1．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则点P 到BC 的距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．4 5解析：在平面ABC 内作AH ⊥BC ，垂足为H ，连接PH ， 则PH 即为点P 到BC 的距离．PH ＝82＋42＝64＋16＝4 5.答案：D2．△ABC 中，∠C ＝90°，点P 在△ABC 所在平面外，PC ＝17，点P 到AC ，BC 的距离PE ＝PF ＝13，则点P 到平面ABC 的距离等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：点P 在平面ABC 内的射影在∠C 的平分线上，易求d ＝7. 答案：A3．已知夹在两平行平面α，β内的两条斜线段，AB ＝8 cm ，CD ＝12 cm ，AB 和CD 在α内的射影的比为3∶5，则α，β间的距离为( )A. 5 cmB.17 cmC.19 cmD.21 cm解析：设α，β间距离为d ，AB ，CD 在α内的射影长分别为3x,5x ，由⎩⎪⎨⎪⎧d 2＋9x 2＝64，d 2＋25x 2＝144，解得d ＝19.答案：C4.如图，在三棱锥A ­BCD 中，AC ⊥底面BCD ，BD ⊥DC ，BD ＝DC ，AC ＝a ，∠ABC ＝30°，则C 点到平面ABD 的距离是________．解析：设C 到平面ABD 的距离为h ，则由V C ­ABD ＝V A ­BCD 得，13S △ABD ·h ＝13S△BCD·AC ，即13×12×BD ·CD ·AC ＝13×12BD ·AD ·h ， 解得h ＝155a . 答案：155a5.如图，等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 中点，沿AD 把△ADC 折叠到△ADC ′处，使二面角B ­AD ­C ′为60°，则折叠后点A 到直线BC ′的距离为________．解析：取BC ′中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ′，DE ⊥BC ′， ∵BD ⊥AD ，CD ⊥AD ， ∴BD ⊥AD ，C ′D ⊥AD ，∴∠BDC ′即为二面角B ­AD ­C ′的平面角， ∴△BDC ′为正三角形， 即|AE |为A 到BC ′的距离，Rt △AEB 中，|AE |＝|AB |2－|BE |2＝15. 答案：156．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，求D 到平面ABC 的距离．解：设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵n ·AB ―→＝0，n ·AC ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ，－2，＝0，x ，y ，z，0，＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z ，y ＝－z .令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)． ∴cos 〈n ·AD ―→〉＝－＋－－2×732＋22＋－2·－2＋－2＋72，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝|AD ―→|·|cos〈n ·AD ―→〉|＝4917＝491717.一、选择题1．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离之比是1∶2∶3，PO ＝214，则点P 到这三个平面的距离分别是( )A ．2,4,6B ．4,8,12C ．3,6,9D ．5,10,15解析：将P 点到三个平面的距离k,2k,3k 看作是一个长方体的长、宽、高，而PO 为其对角线，则PO 2＝k 2＋(2k )2＋(3k )2，解得k ＝2， ∴P 点到这三个面的距离分别是2,4,6. 答案：A2．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，设点C 到平面ABC 1D 1的距离为d 1，D 到平面ACD 1的距离为d 2，BC 到平面ADD 1A 1的距离为d 3，则有( )A ．d 3<d 1<d 2B ．d 1<d 2<d 3C ．d 1<d 3<d 2D ．d 2<d 1<d 3解析：易求d 1＝22a ，d 2＝33a ，d 3＝a . 答案：D3．已知直二面角α­l ­β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( )A.23B.33C.63D ．1解析：设点D 到平面ABC 的距离等于h . 依题意得，AC ⊥β，AC ⊥BC ，BC ＝AB 2－AC 2＝3，CD ＝BC 2－BD 2＝ 2.由V D ­ABC ＝V A ­DBC 得， 13S △ABC ×h ＝13S △DBC ×AC ， 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×3×h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1， 由此解得h ＝63，即点D 到平面ABC 的距离等于63. 答案：C4.如图，正方体的棱长为1，C ，D ，M 分别为三条棱的中点，A ，B 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是( )A.23B.63C.13D.66解析：设点M 到ABCD 的距离为h ，连接AC ，AM ，作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接CM ， 则V C ­ABM ＝V M ­ABC ，V C ­ABM ＝13S △ABM ×CM ＝13×14×1＝112，又V M ­ABC ＝13×12×AB ×CF ×h ＝13×12×2×322×h ＝h4，则由h 4＝112，得h ＝13.答案：C 二、填空题5．∠BAC 在平面α内，PA 是α的斜线，若∠PAB ＝∠PAC ＝∠BAC ＝60°，PA ＝a ，则点P 到α的距离为________．解析：作PO ⊥α于O .由∠PAB ＝∠PAC ，可知AO 平分∠BAC ， 作OC ⊥AC 于C ，连接PC ， 则PC ⊥AC ，PA ＝a ，AC ＝12a ，于是AO ＝ACcos 30°＝33a ，∴PO ＝PA 2－AO 2＝63a . 答案：63a 6．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为________．解析：如图所示，设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1， ∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1， ∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，故平面AA 1O 1⊥平面AB 1D 1，其交线为AO 1，在平面AA 1O 1内过点A 1作A 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 的长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离． 在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1＝2，AO 1＝A 1O 21＋AA 21＝32，由A 1O 1·A 1A ＝A 1H ·AO 1，可得A 1H ＝43.答案：437.如图，正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为________．解析：连接A 1D 交AD 1于E . 则A 1D ⊥AD 1，A 1D ⊥AB ， ∴A 1D ⊥平面ABC 1D 1，∴A 1E 为A 1到平面ABC 1D 1的距离，A 1E ＝12A 1D ＝22， ∵O 为A 1C 1的中点，∴O 到平面ABC 1D 1的距离等于A 1E 的12，∴d ＝12A 1E ＝24. 答案：248．已知平面α∥β，且它们之间的距离为d ，给出以下命题：①若直线a ⊂α，则a 到β的距离也为d ；②若直线b ∥β，且b 到β的距离为d ，则b ⊂α；③若平面γ∩α＝l 1，γ∩β＝l 2，则l 1与l 2间的距离的取值范围为[d ，＋∞)； ④若平面γ∥α，γ∥β，且α与γ的距离为d 1，β与γ的距离为d 2，则d 1＋d 2＝d .其中假命题有________．(填写序号)．解析：∵a ⊂α，∴α上任意一点即为α内的一点，它到平面β的距离就是α与β间的距离，故命题①为真命题；当平面α与直线b 在平面β的两侧时，也可以有b ∥β且b 与β的距离为d ，这时b ⊄α，故命题②为假命题；当γ⊥α与β相交时，l 1与l 2间的距离为d ，而当γ与α，β相交且不垂直时，l 1与l 2间的距离大于d ，由此可知命题③是真命题；当γ平面夹在α与β之间时，有d 1＋d 2＝d ，但当γ不夹在α与β之间时，d 1＋d 2≠d ，故命题④为假命题．综上所述，假命题为②④.答案：②④三、解答题9．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解：如图，建立空间直角坐标系D 1­xyz ，则A (2,0,2)，E (0,2,1)，F (1,0,0)，G (2,1,2)，所以EF ―→＝(1，－2，－1)，EG ―→＝(2，－1,1)，GA ―→＝(0，－1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，则由n ⊥EF ―→，n ⊥EG ―→，得x －2y －z ＝0,2x －y ＋z ＝0，从而x ＝y ，所以可取n ＝(1,1，－1)，所以GA ―→在n 上射影的长度为|GA ―→·n ||n |＝|－1|3＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33. 10．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M ，N ，E ，F 分别为A 1D 1，A 1B 1，C 1D 1，B 1C 1的中点，求平面AMN 与平面EFBD 间的距离．解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则A (4,0,0)，M (2,0,4)，B (4,4,0)，E (0,2,4)，F (2,4,4)，N (4,2,4)，从而EF ―→＝(2,2,0)，MN ―→＝(2,2,0)，AM ―→＝(－2,0,4)，BF ―→＝(－2,0,4)，∴EF ―→＝MN ―→，AM ―→＝BF ―→，∴EF ∥MN ，AM ∥BF ，∴平面AMN ∥平面EFBD .设n ＝(x ，y ，z )是平面EFBD 的法向量，从而⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EF ―→＝0，n ·BF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＝0，－2x ＋4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2z ，y ＝－2z .取z ＝1，得n ＝(2，－2,1)，由于AB ―→＝(0,4,0)，所以AB ―→在n 上的投影长度为|n ·AB ―→||n |＝83. 即平面AMN 与平面EFBD 间的距离为83.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

点到面的空间距离公式在空间几何中，点到面的空间距离是指从一个点到一个平面的最短距离。

这个距离的计算可以用到向量和线性代数的知识。

我们先来看一下点到平面的空间距离公式。

假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)，那么点到平面的距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，| | 表示取绝对值，√ 表示开方。

这个公式的推导可以通过向量的方法来得到。

设平面上的一个点为P0(x0, y0, z0)，平面上一点为P(x, y, z)。

则向量P0P可以表示为P0P = (x - x0, y - y0, z - z0)。

又设平面的法向量为n(A, B, C)。

由于点到平面的距离是垂直于平面的最短距离，所以向量P0P垂直于平面的法向量n。

根据向量的内积公式，可以得到P0P与n的内积为0，即(n·P0P) = 0展开后可得A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0整理后即可得到点到平面的距离公式。

点到面的空间距离公式在几何学和物理学中有广泛的应用。

在几何学中，可以用来计算点到平面的距离，从而判断点在平面的哪一侧。

在物理学中，可以用来计算物体在重力场中的高度，或者计算电荷在电场中的势能。

除了点到平面的距离公式，还有其他的空间距离公式。

例如，点到直线的距离公式，点到点的距离公式等等。

这些距离公式在解决空间几何问题中起到了重要的作用。

总结一下，点到面的空间距离公式是通过向量和线性代数的知识推导而来的，用来计算点到平面的最短距离。

它在几何学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们解决空间几何问题。

空间几何点到平面的距离公式在空间几何中，点到平面的距离是一个基本概念。

首先，我们需要了解点到平面的距离公式的推导，然后再详细讨论其具体应用。

假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标为(x0,y0,z0)。

我们需要求点P到平面的距离。

1.距离公式的推导：首先，我们可以在平面上任意选取一点Q(x,y,z)，则平面上任意一点R(x,y,z)到点P的距离为：d=PQ=√((x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²)由于点R在平面上任意选取，所以点R也满足平面方程，带入平面方程可得：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0化简得：Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0+D将平面方程中的D通过移项放到右边，得到：Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=-D可以看出，距离d即为平面上任意一点R到平面方程的左边的数值。

所以，我们可以将平面方程中的Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=-D的绝对值除以平面方程的系数A²+B²+C²再开方，即可求得点到平面的距离公式。

2.点到平面的距离公式应用举例：例1：求点P(1,2,3)到平面2x+3y-z+1=0的距离。

根据距离公式，首先可以求出平面方程的系数A=2,B=3,C=-1，D=1，代入点P的坐标得到：距离d=，2(1)+3(2)-(-1)(3)-2(2)-3(2)-(-1)(3)-1，/√(2²+3²+(-1)²)计算得到距离d≈4.12例2：求点P(-5,1,0)到平面3x-4y+2z-6=0的距离。

同样地，根据距离公式，求出平面方程的系数A=3,B=-4,C=2，D=-6，代入点P的坐标得到：距离d=，3(-5)-4(1)+2(0)-(-5)(-5)+(-4)(1)+2(0)-6，/√(3²+(-4)²+2²)计算得到距离d≈7.34总之，点到平面的距离公式是空间几何中基本的概念和工具。

【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．0或1【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．OEA 1D C 1B 1DCA典例分析板块一.点到平面的距离问题【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，求点C 到面1ABC 的距离.【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体12PD AB =中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCD【例7】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） HACBDP EDC 1B 1A 1CBA AA 1ABCD【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．【例11】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，ABCDEAOCBAP⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．【例12】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．AA 1HOACDA 1B 1C 1D 1。