导数 含绝对值 含答案

导数11.（ 2012?广东）曲线y=x3 -x+3在点（1, 3）处的切线方程为2x- y+仁0 .考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：计算题.分析：先求出导函数，然后将 x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可.2解答：解：y=3x2- 1令x=1得切线斜率2所以切线方程为y-3=2 （x - 1）即 2x - y+1=0故答案为：2x - y+仁0点评：本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题.2. __ （ 2014?江西）若曲线y=xl nx上点P处的切线平行与直线 2x - y+仁0,则点P的坐标是（e, e .考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用.分析：求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论.解答：解：函数的定义域为（0, + a）,函数的导数为 f' （x） =lnx+x・=1+lnx ,x直线2x - y+仁0的斜率k=2 ,•••曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线 2x - y+仁0,/• f ' （x） =1+ Inx=2 ,即 Inx=1，解得 x=e，此时 y=eIne=e,故点P的坐标是（e, e）,故答案为：（e, e）点评：本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义.23.（ 2014?威海一模）函数 f （x） =x - 2lnx的单调减区间是（0, 1）.••• f( x) =2x「亠^ —考点：利用导数研究函数的单调性.专题：计算题；导数的概念及应用.分析：2 (K+1) (Y —1)依题意，可求得f(x) - •■, 由 f(x)v 0即可求得函数f (x)=x2 - 2lnx的单调减区间.解答： 2解：T f (x) =x - 2lnx ( x>0),令f (x)v 0 由图得：Ov XV 1.•••函数f ( x) =x2 - 2lnx的单调减区间是(0, 1).故答案为(0, 1).点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题.考点：利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数单调性的性质.专题：计算题；函数的性质及应用.分析：可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值.解答：解：y=i - 2sinx=O，在区间［0, 一］上得x=—2 6故y=x+2cosx -二在区间［0, 一］上是增函数，在区间［一，一］上是减函数，6 6 2• x=一时，函数y=x+2cosx -｛］在区间［0, 一］上的最大值是——,6 2 6故答案为：".6点评：本题考查利用函数的单调性求最值、导数的应用、三角函数求值等，难度一般.5、(江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研)10、已知函数f(x),g(x)满足f ⑴=2, f (1)=1, g⑴=1, g(1)=1，则函数F(x)=［f (x) -1］ g(x)的图象在x=1 处的切线方程为▲. 2x-y- 1 = 0例 1. (2014?广西)函数 f ( x) =ax3+3x2+3x ( a老).(I)讨论f (x)的单调性；(H)若f (x)在区间(1, 2)是增函数，求a的取值范围.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.专题：导数的综合应用.分析： (I)求出函数的导数，通过导数为0,利用二次函数的根，通过a的范围讨论f (x)的单调性；(H)当a> 0, x> 0时，f (x)在区间(1, 2 )是增函数，当 av 0时，f (x)在区间(1,2)是增函数，推出f'( 1) S0且f(2) ◎即可求a的取值范围.3 2 2解答：解：(I)函数 f (x) =ax +3x +3x , • f' (x) =3ax +6x+3 ,令 f( x) =0,即 3ax +6x+3=0 ,则厶=36 (1 - a)① ___________________________________________________________ 若a> 1时，则△ v 0,f ' (x)> 0,「. f (x)在R上是增函数；________________________________________________________________________________________________________________________________________②因为a用，•当a<1, △ >0, f'(x) =0方程有两个根，X1 当 0v av 1 时，则当x€ (- a, X2)或(X1, +1 时，f ' (x)> 0,故函数在(- a, X2) 或(X1 , +a)是增函数；在(X2, X1)是减函数；当 av 0 时，则当X € (- a, x1)或(X2, + a) , f (x) V 0，故函数在(-a, x1 )或(X2, + a)是减函数；在(X1, X2)是增函数；2(H)当 a> 0, x > 0 时，f' (x) =3ax +6x+3 > 0 故 a>0 时，f (x)在区间(1, 2)是增函数，当av 0时，f (x)在区间(1, 2)是增函数，当且仅当：f' (1)为且f' (2)为，解得-a 的取值范围［• ：. I.I)U( 0, +8).4点评：本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用.例 2. (2014?陕西)设函数 f (x) =l nx+£ , m €R.X(I)当m=e (e为自然对数的底数)时，求 f (x)的极小值；(n)讨论函数 g (x) =f' (x)-'零点的个数；3(川)若对任意 b>a>0, -------- ------- - -- v 1恒成立，求 m的取值范围.b _a考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点.专题：导数的综合应用.分析： (I) m=e时，f (x) =lnx+丄，利用f'(x)判定f (x)的增减性并求出f (x)的x极小值；(n)由函数 g (x) =f'(x )-丄，令 g ( x) =0，求出 m；设 $ (x) =m，求出 $ (x)的3值域，讨论m的取值，对应g (x)的零点情况；(川)由b>a> 0, -------- ------- v 1恒成立，等价于 f (b)- bv f ( a) - a恒成立；b ~ a即h (x) =f (x)- x在(0, + a)上单调递减；h' (x) O，求出m的取值范围.解答：解：(I)当 m=e 时，f (x) =l nx+—,•••当x€ (0, e)时，f' (x)v 0, f (乂)在(0, e)上是减函数；当x€ (e, +a)时，f' (x)> 0, f (乂)在(e, + 上是增函数;• x=e 时，f (x)取得极小值 f ( e) =lne+—=2 ；e(n)v函数 g (x) =f (x)- '=— - 1 - J (x>0),3 x 3I 3令 g (x) =0,得 m= - -x +x (x > 0)；•丿(X 为),2•••$'( x) = - x +1= -( x - 1) (x+1 )；当x€ (0, 1)时，$ '(x) > 0, $ ( x)在(0,1) 上是增函数,当x€ (1 , + © 时，『(x)v 0, 0(幻在(1, x=1是0+ g)上是减函数;( X)的极值点，且是极大值点，••• x=1是0 (x)的最大值点，••• 0 (x)的最大值为 0 (1)='；3又0 (0) =0,结合y= 0 (x)的图象，如图；可知：①当m>时，函数g (x)无零点；3②当m=W时，函数g (x)有且只有一个零点；2③当0v mv-2时，函数g (x)有两个零点；■丿④当m切时，函数g (x)有且只有一个零点；综上，当m>时，函数g (x)无零点；3当m=—或m<0时，函数g (x)有且只有一个零点；3当Ov mv—时，函数g (x)有两个零点；3(川)对任意 b>a>0, ------------ ——一v 1恒成立,b- a等价于f ( b)- bv f (a) - a恒成立；设 h (x) =f (x)- x=lnx+—- x (x > 0),x•h (x)在(0, + 上单调递减；x) = - —- 1 切在(0, + g)上恒成立，2 I?〕•mA x +x= ——+ (x > 0),2 4•m》；4对于m=」，h' (x) =0仅在x=」时成立；4 2•m的取值范围是［,+g).4点评：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题.1 一 x例3、已知函数f(x)= lnx+ ，其中a为大于零的常数.ax(1)若函数f(x)在区间［1 ,+g)内不是单调函数，求 a的取值范围;(2)求函数f(x)在区间［e, e2］上的最小值.ax—1⑴由已知，得和W在乩+E上有解，即尸丄在乩+«）±<解，X冥丫当JT E⑴+ °°）时* -<1J所UA a<l.又a>0，所以占的取值范圉是（0* 1）■…讦分x（2）①£爭朮因为f 3>0衽6眄上H成立，这时衽简韵上曲増函飙所以当尸* 时，fix）fM=1+^—^ -■…8 分J②当0< 因为f （JT）<0在（创N）上恒威立，这时fGr）在［创J］上为减函数,所以，当尸/时‘ /U）_=/V）=2+L^ —二^L^l；iQ 分WWVWWWiAAArQC'③当令f（x）=o 得，（&J e"）ie e a乂因为对于xG （e・丄）有f （x）<0ia对于JC€（丄‘ J）有 /，Cr）X）ia所以当Ax）a j-—Z'C^） ~ ln-+1—i- ■ *.... 14 分& & 宜s综上，f（r）在4刃上的最小值为（1-e 11+=^，嚼乞时.M e/= ln~* 1 ——,爭Zvovl时* ........... ........ ..16 4'］一4 12--- -. 4 0 < <—a4 -v ae- l导数1作业1、曲线y =2ln x在点（e,2）处的切线与y轴交点的坐标为___ （0,0）2、（ 2013?广东）若曲线 y=kx+Inx在点（1, k）处的切线平行于 x轴，则k= - 1 . 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用.分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k的值.，］解答：解：由题意得，y=k+=x•••在点（1, k）处的切线平行于 x轴，/• k+1=0，得 k= - 1,故答案为：-1.点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大.b3、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y二ax2（a,b为常数）过点P(2, -5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线7x 2y ^0平行，则a b 的值是_▲【提示】根据 P 点在曲线上，曲线在点P 处的导函数值等于切线斜率，y = 2ax ,x4、 过坐标原点作函数 y = lnx 图像的切线，则切线斜率为 ______ •-e一一 一 15、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014届高三第三次调研考试)函数y 2ln x 的单调减x1区间为 __________ (0,丄)2326. ( 2011?广东)函数f (x) =x - 3x +1在x= 2 处取得极小值. 考点：利用导数研究函数的极值. 专题： 计算题.分析： 首先求导可得f' (x) =3x 2- 6x ，解3x 2- 6x=0可得其根，再判断导函数的符号即 可.2解答： 解：f' (x) =3x - 6x 令 f( x) =3x 2- 6x=0 得 X 1=0, X 2=2 且 x€( — 0)时，f '(x) > 0; x€( 0, 2)时，f '(x )v 0; x€( 2, + 时，f' (x)>故f (x )在x=2出取得极小值. 故答案为2.点评： 本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查.xx7. ( 2013?江 西)设函数 f (x )在(0, + s)内可导，且 f (e ) =x+e ，则 f( 1) = 2 .考点： 导数的运算；函数的值.专题： 计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用. 分析： 由题设知，可先用换元法求出f ( x)的解析式，再求出它的导数，从而求出f'(1)解答： 解：函数f (x)在(0, + s)内可导，且f (e x) =x+e x, 令 e =t ，则 x=lnt ，故有 f (t) =lnt+t ，即 f (x) =lnx+x f ' (x) =—+1，故 f' (1) =1+仁2x故答案为2点评： 本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型 & (江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考)已知R 上的可导函数f (x)的导函数1T ，将p(2，—5)带入得bf-5 = 4a32a =2，解得家 2，4a —b = —7b=2f (x)满足：f (x) • f (x)0，且f (1) =1 则不等式f (X) • R 的解e 是________ . (1「：)9.( 2013?畐建)已知函数 f (x) =x - alnx ( a€R)(1 )当a=2时，求曲线y=f (x)在点A (1, f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值.专题：导数的综合应用.分析： (1 )把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；(2)求出函数的导函数，由导函数可知，当aO时，f'( x )> 0,函数在定义域(0, + %)上单调递增，函数无极值，当 a>0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值.解答：解：函数f (x)的定义域为(0, +R),；・- _ .x(1 )当 a=2 时，f (x) =x - 2lnx，-,x因而 f (1) =1, f' (1) = - 1,所以曲线y=f (x)在点A (1, f (1))处的切线方程为 y -仁-(x - 1),即 x+y - 2=0(2 )由• ' | ., =1 , x> 0 知：①当a切时，f'(x)> 0，函数f (x)为(0, +呵上的增函数，函数 f (x)无极值；②当a> 0时，由f' (x) =0，解得x=a .又当x€ (0, a)时，f' (x)v 0,当x€ (a, + ①时，f' (x)> 0.从而函数f (x)在x=a处取得极小值，且极小值为 f (a) =a- alna,无极大值.综上，当aO时，函数f (x)无极值；当a>0时，函数f (x)在x=a处取得极小值a- alna,无极大值.点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题.V -V10、(2014年江苏高考)已知函数f(X)= +「.，其中e是自然对数的底数。

导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。

化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

高中数学导数习题及答案高中数学导数习题及答案导数是高中数学中的一个重要概念，它是微积分的基础。

导数的概念和应用在各个领域都有广泛的应用，例如物理学、经济学和工程学等。

在高中数学中，导数通常在函数的研究和应用中被引入。

本文将介绍一些高中数学中常见的导数习题，并给出详细的解答。

1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1的导数f'(x)。

解答：对于多项式函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，我们可以使用幂函数的导数规则来求导。

根据导数的定义，我们可以逐项对函数的各项进行求导。

首先，对于2x^3，使用幂函数的导数规则，指数下降1，系数乘以指数，得到6x^2。

然后，对于-3x^2，同样使用幂函数的导数规则，指数下降1，系数乘以指数，得到-6x。

接下来，对于4x，指数下降1，系数乘以指数，得到4。

最后，对于常数项-1，求导后得到0。

因此，函数f(x)的导数f'(x)为f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

2. 求函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数f'(x)。

解答：对于函数f(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以使用三角函数的导数规则来求导。

根据导数的定义，我们可以逐项对函数的各项进行求导。

首先，对于sin(x)，根据三角函数的导数规则，sin(x)的导数为cos(x)。

然后，对于cos(x)，根据三角函数的导数规则，cos(x)的导数为-sin(x)。

因此，函数f(x)的导数f'(x)为f'(x) = cos(x) - sin(x)。

3. 求函数f(x) = e^x的导数f'(x)。

解答：对于函数f(x) = e^x，我们可以使用指数函数的导数规则来求导。

根据导数的定义，指数函数e^x的导数为e^x。

因此，函数f(x)的导数f'(x)为f'(x) =e^x。

导数知识点总结及答案一、导数的定义在数学中，函数f(x)在某一点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增量。

导数的定义可以理解为当自变量x在x=a处发生一个很小的变化h时，函数f(x)在此点的增量f(a+h) - f(a)与自变量的增量h的比值。

当h趋向于0时，这个比值就是函数f(x)在x=a处的导数。

二、导数的性质1. 可加性：如果函数f(x)和g(x)在某一点x=a处有导数，那么它们的和、差、积、商函数在此点处也有导数，并且导数的值可以进行相应的运算。

2. 连续性：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么函数f(x)在该点处是连续的。

3. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么函数f(x)在该点处是可微的，反之亦然。

4. 导数与函数的图像关系：函数f'(x)在某一点x=a处的导数值，可以描述函数f(x)在该点处的切线的斜率。

5. 高阶导数：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么它的导数f'(x)也可以求导，进而得到f''(x)，称为函数f(x)的二阶导数，依此类推，可以求得函数f(x)的任意阶导数。

三、常见函数的导数1. 幂函数：f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

2. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，其导数为f'(x) = a^x*ln(a)。

3. 对数函数：f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。

4. 三角函数：f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)；f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。

5. 反三角函数：f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)；f(x) = arccos(x)，其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。

导数的运算专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知函数f(x)=x3−f′(1)x2+2，则f(2)=（）A.−2B.1C.6D.142. 已知函数f(x)=x2+ln x，则f′(1)=（）A.3B.4C.1D.73. 下列求导运算不正确的是（）A.(x2)′=2xB.(e x+ln3)′=e x+13C.(3x)′=3x ln3D.(sin x)′=cos x4. 若函数f(x)=x2+sin x，则f′(0)=（）A.−1B.0C.1D.35. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t2−1，则该物体在t=1秒时的瞬时速度为()A.1米/秒B.2米/秒C.3米/秒D.4米/秒6. 已知函数f(x)=sin(2x−π6)，则f′(π6)=( )A.1 2B.1C.√3D.√327. 函数f(x)=x3−2x2−3的导数( )A.f′(x)=3x2−4xB.f′(x)=3x2−4x−3C.f′(x)=3x2−2xD.f′(x)=3x2−2x−38. 记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)=e x sin x，则f′(0)=( )A.1B.0C.−1D.29. 记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)=e x sin2x，则f′(0)=（）A.2B.1C.0D.−110. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+ln x（其中e为自然对数的底数），则f′(e)=()A.eB.−1C.−e−1D.−e11. 已知f(x)为二次函数，且f(x)=x2+f′(x)−1，则f(x)=( )A.x2−2x+1B.x2+2x+1C.2x2−2x+1D.2x2+2x−112. 若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2，则f′(−1)=()A.−1B.−2C.2D.013. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+ln x，则f′(1)=（）A.−1B.−12C.1D.e14. 已知函数f(x)=ax−bx2+c(a≠0)是定义在R上的奇函数，x=1是f(x)的一个极大值点，且f(1)=1，则f(x)=（）A.2x x2+1B.3xx2+2C.−xx2−2D.2x−1x215. 已知函数f(x)=x2+2x−xe x，则f′(0)=（）A.1B.0C.−1D.216. 设y=e3，则y′=（）A.3e2B.0C.e2D.e317. 已知函数y=f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+ln x，则曲线在点P(1,f(1))处的切线的斜率等于（）A.−eB.−1C.1D.e18. f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(1)=________.19. 设函数f(x)=x3+ax+3，f′(1)=5，则实数a=________.20. 写出导函数是f′(x)=x+1x的一个函数为________.（答案不唯一，写出一个即可）21. 若f(x)=xe x，则f′(1)=________.22. 已知函数f(x)=ln x+x2f′(a)，且f(1)=−1，则实数a等于________．23. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+2xf′(2)，则f′(1)=________.24. 设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f(e x)=x+e x，则f′(e)=________.25. 对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义：设f′′(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心”根据这一结论，请你写出函数f(x)=x3−32x2+3x−14的对称中心，应是________；并计算f(12021)+f(22021)+f(32021)+⋯+f(20202021)=________.26. 已知函数y=x ln x．(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图像在点x=e处的切线方程．27. 已知函数f(x)=ln xx．(1)求函数f(x)导数；(2)求函数f(x)的单调区间．28. 求下列函数的导数：(Ⅰ)y＝x4−3x2−5x+6；(Ⅱ)y＝x3e x．29. 求下列函数的导函数．（1）y＝e x cos x；（2）y＝+ln x．30. 求下列函数的导数：(1)y=sin x−x+1；(2)y=−2e x⋅x3；(3)y=ln xx+1−2x.31. 已知函数且，. （1）求，的值；（2）求的值.32. 已知函数f(x)=f′(0)e x+x2−(f(0)−1)x．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−mx在[1,2]上单调递增，求m的取值范围．33. 求下列函数的导数：(1)y=x(x−1x2)；(2)y=e x−2x；(3)y=x2(ln x+sin x)．34. 已知函数f(x)=13x3+a2x2+bx，其导函数y=f′(x)的图像经过点(0,0),(2,0).(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)=f(x)+1在区间[−3,3]上的最值．35. 已知函数f(x)=x2+bx+ce x（e为自然对数的底数），f′(x)为f(x)的导函数，且f′(1)=0.(1)求实数c的值；(2)若函数f(x)在x=0处的切线经过点(−1,0)，求函数f(x)的极值；(3)若关于x的不等式f(x)≤2对于任意的x∈[0,2]恒成立，求实数b的取值范围．36. 已知函数f(x)=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R)，g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数．(1)求a，b的值；(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．37. 已知函数f(x)=12x2+cos x，f′(x)为f(x)的导函数．（1）求函数f(x)的极值；（2）设函数g(x)=(x 22−x+sin x+cos x2)e x−a(16x3+sin x−x),a∈R，讨论g(x)的单调性；（3）当x≥0时，f′(x)≤e x+bx−1，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析导数的运算专题含答案一、选择题（本题共计 17 小题，每题 3 分，共计51分）1.【答案】C【考点】导数的运算函数的求值【解析】求导，代入x=1，求得f′(0)，然后将x=2代入原函数求得函数值．【解答】解：f′(x)=3x2−2f′(1)x，则f′(1)=3−2f′(1)⇒f′(1)=1，则f(x)=x3−x2+2，f(2)=23−22+2=6．故选C．2.【答案】A【考点】导数的运算【解析】求导，将x=1代入导函数中即可.【解答】解：函数f(x)=x2+ln x，∴f′(x)=2x+1，x则f′(1)=2+1=3.故选A.3.【答案】B【考点】导数的运算【解析】根据基本函数的导函数公式对选项进行逐一求解，注意常数的导数为0，即可判定．【解答】解：(x2)′=2x，(e x+ln3)′=e x，(3x)′=3x ln3，(sin x)′=cos x，故选项B错误，故选B．4.【答案】C【考点】【解析】利用导数的运算求解即可.【解答】解：f(x)=x2+sin x，∴f′(x)=2x2+cos x，∴f′(0)=0+cos0=1.故选C.5.【答案】D【考点】变化的快慢与变化率导数的运算【解析】根据瞬时速度与导数的关系，先对s求导，再把t=1代入s′进行运算即可得解. 【解答】解：∵s=2t2−1，∴s′=4t，当t=1时，s′=4×1=4.故选D.6.【答案】C【考点】导数的运算【解析】先由复合函数的求导公式求出f′(x)，再把x=π6代入计算．【解答】解：∵函数f(x)=sin(2x−π6)，则f′(x)=[sin(2x−π6)]′⋅(2x−π6)′=2cos(2x−π6)，所以f′(π6)=2cos(2×π6−π6)=2cosπ6=√3.故选C.7.【答案】A【考点】导数的运算【解析】利用导数运算法则，直接计算即可.【解答】解：根据题意得f′(x)=(x3−2x2−3)′=3x2−4x.8.【答案】A【考点】导数的运算【解析】先求导，再代入即可.【解答】解：f(x)=e x sin x，所以f′(x)=e x sin x+e x cos x则f′(0)=e0sin0+e0cos0=1 .故选A.9.【答案】A【考点】简单复合函数的导数导数的运算【解析】可求出导函数f(x)，然后将x换上0即可求出f(0)的值．【解答】解：∵f(x)=e x sin2x，∴f′(x)=e x sin2x+2e x cos2x=e x(sin2x+2cos2x)，∴f′(0)=e0(sin0+2cos0)=2．故选A．10.【答案】C【考点】导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】，解：求导得：f′(x)=2f′(e)+1x把x=e代入得：f′(e)=e−1+2f′(e)，解得：f′(e)=−e−1．故选C.11.【答案】B【考点】函数解析式的求解及常用方法导数的运算利用待定系数法，即可得出解析式.【解答】解：设f(x)=ax2+bx+c，(a≠0)，则f′(x)=2ax+b，由题意得，ax2+bx+c=x2+2ax+b−1，则有{a=1,b=2a,c=b−1,解得{a=1,b=2,c=1,故f(x)=x2+2x+1.故选B.12.【答案】B【考点】导数的运算【解析】根据导数的运算法则先求导，问题得以解决【解答】解：∵f(x)=ax4+bx2+c，∴f′(x)=4ax3+2bx，∴f′(−x)=−4ax3−2bx=−f′(x)，∴f′(−1)=−f′(1)=−2.故选B.13.【答案】A【考点】导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵f(x)=2xf′(1)+ln x，求导得：f′(x)=2f′(1)+1x，令x=1，得到f′(1)=2f′(1)+1，解得：f′(1)=−1.故选A.14.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数恒成立问题利用导数研究函数的极值导数的运算【解析】利用奇偶性以及极值关系列出关系式求解参数即可【解答】解：∵ f (1)=1且f (x )为奇函数，∴ f (−1)=−1，代入{a−b 1+c =1，−a−b 1+c =−1，∴ b =0， ∵ f (x )=ax −b x 2+c ⇒f ′(x )=a (c−x 2)(x 2+c )2， ∵ x =1是极大值点，∴ f ′(1)=0⇒⇒a (c−12)(1+c )2=0，∵ a ≠0，∴ c −1=0解得c =1，∴ a−01+1=1⇒a =2，∴ f (x )=2x x 2+1.故选A .15.【答案】A【考点】导数的运算【解析】无【解答】解：∵ f(x)=x 2+2x −xe x ，∴ f ′(x)=2x +2−(e x +xe x )，∴ f ′(0)=2−1=1．故选A ．16.【答案】B【考点】导数的运算【解析】利用常数的导数为零求解即可.【解答】解：y =e 3，则y ′=0.故选B .17.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的运算【解析】根据题意，求出函数的导数，进而可得f′(1)=2f′(1)+1，解可得f′(1)的值，由导数的几何意义分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)满足f(x)=2xf′(1)+ln x，，其导函数f′(x)=2f′(1)+1x则有f′(1)=2f′(1)+1，解可得f′(1)=−1，则f(x)图象在点M(1,f(1))处的切线斜率k=−1.故选B．二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）18.【答案】−2【考点】导数的运算【解析】由f(x)的解析式，利用求导法则求出f(x)的导函数，把x=1代入导函数中求出f′(1)的值，从而确定出f(x)的解析式，然后分别把x等于1和−1代入即可求出f(1)和f(−1)的值，即可比较出大小．【解答】解：由f(x)=x2+2xf′(1)，求导得f′(x)=2x+2f′(1)，把x=1代入得：f′(1)=2+2f′(1)，解得：f′(1)=−2.故答案为：−2.19.【答案】2【考点】导数的运算【解析】由题得到f′(x)=3x2+a，根据f′(1)=3+a=5，即可得解.【解答】解：因为f′(x)=3x2+a，所以f′(1)=3+a=5，所以a=2.故答案为：2.20.【答案】f(x)=12x2+ln x【考点】常用函数的导数导数的运算【解析】答案未提供解析．【解答】解：由题意，导函数f′(x)=x+1x，则函数f(x)可能为f(x)=12x2+ln x.故答案为：f(x)=12x2+ln x.21.【答案】2e【考点】导数的运算【解析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)．【解答】解：∵f(x)=xe x，∴f′(x)=e x+xe x，∴f′(1)=2e．故答案为：2e.22.【答案】1【考点】导数的运算【解析】无【解答】解：因为f(x)=ln x+x2f′(a)，令x=1，则f(1)=0+f′(a)，所以f′(a)=−1．又f′(x)=1x+2xf′(a)，令x=a，得−1=1a+2a×(−1)，故2a2−a−1=0，解得a=1或a=−12，故a=1．故答案为：1．23.【答案】−6【考点】导数的运算【解析】先求导得f′(x)=2x+2f′(2)，令x=2求得f′(2)得到f′(x)=2x−8，即可求解．【解答】解：由题意，得f′(x)=2x+2f′(2)，∴f′(2)=2×2+2f′(2)，解得f′(2)=−4，∴f′(x)=2x−8，∴f′(1)=2×1−8=−6.故答案为：−6.24.【答案】1+1e【考点】导数的运算函数解析式的求解及常用方法【解析】根据题意，求出函数f(x)的解析式，对其求导即可得答案．【解答】解：根据题意，得f(e x)=x+e x，令t=e x，则f(t)=ln t+t，∴f(x)=ln x+x，∴f′(x)=1+1，x∴f′(e)=1+1.e+1.故答案为：1e25.【答案】,1),2020(12【考点】函数的对称性函数的求值函数新定义问题【解析】【解答】解：∵ f (x )=x 3−32x 2+3x −14， ∴ f ′(x )=3x 2−3x +3，则f ″(x )=6x −3.令f ″(x )=0，可得x =12，则f (12)=1， 根据题意可得，函数f (x )=x 3−32x 2+3x −14的对称中心为(12,1)，∴ f (1−x )+f (x )=2，∴ f (12021)+f (22021)+f (32021)+⋯+f (20202021)=2×20202=2020.故答案为：(12,1)；2020.三、 解答题 （本题共计 12 小题 ，每题 10 分 ，共计120分 ）26.【答案】解：(1)y =x ln x ，∴ y ′=1×ln x +x ⋅1x =1+ln x ， ∴ y ′=ln x +1.(2)k =y ′|x=e =ln e +1=2.又当x =e 时，y =e ，所以切点为(e, e)，∴ 切线方程为y −e =2×(x −e)，即2x −y −e =0．【考点】导数的运算利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）运用积函数的求导公式计算这个函数的导数即可．（2）欲求在点x =e 处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x =e 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：(1)y =x ln x ，∴ y ′=1×ln x +x ⋅1x =1+ln x ，∴ y ′=ln x +1.(2)k =y ′|x=e =ln e +1=2.又当x =e 时，y =e ，所以切点为(e, e)，∴ 切线方程为y −e =2×(x −e)，即2x −y −e =0．27.【答案】解：f(x)=ln xx，f′(x)=1x×x−ln x×1x2=1−ln xx2．(2)当f′(x)=0时，x=e，当f′(x)>0时，0<x<e，当f′(x)<0时，x>e，∴f(x)的单调增递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞)．【考点】导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=ln xx，f′(x)=1x×x−ln x×1x2=1−ln xx2．(2)当f′(x)=0时，x=e，当f′(x)>0时，0<x<e，当f′(x)<0时，x>e，∴f(x)的单调增递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞)．28.【答案】（1）因为y＝x4−3x2−5x+6，所以y′＝4x3−6x−5；（2）因为y＝x3e x，所以y′＝3x2⋅e x+x3⋅e x＝e x x2(3+x)．【考点】导数的运算【解析】(Ⅰ)利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可；(Ⅱ)利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可．【解答】（1）因为y＝x4−3x2−5x+6，所以y′＝4x3−6x−5；（2）因为y＝x3e x，所以y′＝3x2⋅e x+x3⋅e x＝e x x2(3+x)．29.【答案】y′＝e x cos x−e x sin x＝e x(cos x−sin x)；．【考点】导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答30.【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答31.【答案】（1）f(2)=13g(2)=6；（2）f[g(2)]=17【考点】函数的求值求函数的值导数的运算【解析】（1）根据函数解析式，直接计算，得出f(2)=13g(2)=6（2）由（1）可直接计算出结果．【解答】（1）因为f(x)=11+x ,g(x)=x2+2，所以f(2)=11+2=13g(2)=22+2=6（2）由（1）得f[g(2)]=f(6)=1732.【答案】解：(1)f′(x)=f′(0)e x+2x−f(0)+1，令x=0，解得f(0)=1，则f(x)=f′(0)e x+x2，令x=0，得f(0)=f′(0)=1，所以f(x)=e x+x2．(2)因为g(x)=e x+x2−mx在[1,2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立，即g′(x)=e x+2x−m≥0在[1,2]上恒成立，所以m≤e x+2x在[1,2]上恒成立．又因为函数y=e x+2x在[1,2]上单调递增，所以m≤e+2，所以m的取值范围为(−∞,e+2]．【考点】函数解析式的求解及常用方法导数的运算已知函数的单调性求参数问题【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)f′(x)=f′(0)e x+2x−f(0)+1，令x=0，解得f(0)=1，则f(x)=f′(0)e x+x2，令x=0，得f(0)=f′(0)=1，所以f(x)=e x+x2．(2)因为g(x)=e x+x2−mx在[1,2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立，即g′(x)=e x+2x−m≥0在[1,2]上恒成立，所以m≤e x+2x在[1,2]上恒成立．又因为函数y=e x+2x在[1,2]上单调递增，所以m≤e+2，所以m的取值范围为(−∞,e+2]．33.【答案】解：(1)∵y=x(x−1x2)=x2−1x，∴y′=2x+1x2.(2)∵y=e x−2x，∴(e x)′=e x，(2x)′=2x ln2，∴y′=e x−2x ln2.(3)∵y=x2(ln x+sin x)=x2ln x+x2⋅sin x，∴y′=2x⋅ln x+x2⋅1x+2x⋅sin x+x2⋅cos x=2x(ln x+sin x+12)+x2⋅cos x.【考点】导数的运算【解析】无无【解答】解：(1)∵y=x(x−1x2)=x2−1x，∴y′=2x+1x2.(2)∵y=e x−2x，∴(e x)′=e x，(2x)′=2x ln2，∴y′=e x−2x ln2.(3)∵y=x2(ln x+sin x)=x2ln x+x2⋅sin x，∴y′=2x⋅ln x+x2⋅1x+2x⋅sin x+x2⋅cos x=2x(ln x+sin x+12)+x2⋅cos x.34.【答案】解：(1)f(x)=13x3+a2x2+bx，所以f′(x)=x2+ax+b，函数y=f′(x)的图像经过点(0,0),(2,0)，所以b=0，a=−2．(2)由(1)g(x)=13x3−x2+1可得，g′(x)=x2−2x，令g′(x)=x2−2x=0，解得x=0,x=2，列出表格如下：所以函数g x在−3,3上的最大值为1，最小值为−17．【考点】导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f(x)=13x3+a2x2+bx，所以f′(x)=x2+ax+b，函数y=f′(x)的图像经过点(0,0),(2,0)，所以b=0，a=−2．(2)由(1)g(x)=13x3−x2+1可得，g′(x)=x2−2x，令g′(x)=x2−2x=0，解得x=0,x=2，列出表格如下：35.【答案】解：(1)因为f(x)=x 2+bx+ce x，所以f′(x)=−x2+(2−b)x+b−ce x. 又因为f′(1)=0，所以−1+(2−b)+b−ce=0，解得c=1.(2)由(1)知c=1，所以f(x)=x 2+bx+1e x，所以f(0)=1，因为f′(x)=−x2+(2−b)x+b−1e x，所以f′(0)=b−1，因为函数y=f(x)在x=0处的切线方程为y−1=(b−1)x，又切线过点(−1,0)，即−1=−(b−1)，解得b=2.因为f′(x)=−(x−1)(x+1)e x，令f′(x)=0，得x=±1，列表如下：所以当x=−1时，函数y=f x取得极小值f−1=0，当x=1时，函数y=f(x)取得极大值为f(1)=4e.(3)因为f(x)=x2+bx+1e x≤2在x∈[0,2]上恒成立，所以bx≤2e x−(x2+1)在x∈[0,2]上恒成立．当x=0时，0≤1成立；当x∈(0,2]时，b≤2e xx −(x+1x)恒成立，记g(x)=2e xx −(x+1x)，x∈(0,2]，则g′(x)=2e x(x−1)x2−(1−1x2)=(x−1)(2e x−x−1)x2.令ℎ(x)=2e x−x−1，x∈(0,2]，则ℎ′(x)=2e x−1>2e0−1=1>0，所以函数y=ℎ(x)在区间(0,2]上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=2e0−0−1=1>0，即2e x−x−1>0在区间(0,2]上恒成立．当x∈(0,2]，令g′(x)=0，得x=1，所以函数y=g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增，所以g(x)min=g(1)=2e−2，所以b≤2e−2，因此实数b的取值范围是(−∞,2e−2].【考点】导数的运算利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为f(x)=x 2+bx+ce x，所以f′(x)=−x2+(2−b)x+b−ce x. 又因为f′(1)=0，所以−1+(2−b)+b−ce=0，解得c=1.(2)由(1)知c=1，所以f(x)=x 2+bx+1e x，所以f(0)=1，因为f′(x)=−x2+(2−b)x+b−1e x，所以f′(0)=b−1，因为函数y=f(x)在x=0处的切线方程为y−1=(b−1)x，又切线过点(−1,0)，即−1=−(b−1)，解得b=2.因为f′(x)=−(x−1)(x+1)e x，令f′(x)=0，得x=±1，列表如下：所以当x =−1时，函数y =f x 取得极小值f −1=0，当x =1时，函数y =f (x )取得极大值为f (1)=4e .(3)因为f (x )=x 2+bx+1e x ≤2在x ∈[0,2]上恒成立，所以bx ≤2e x −(x 2+1)在x ∈[0,2]上恒成立．当x =0时， 0≤1成立；当x ∈(0,2]时， b ≤2e x x −(x +1x )恒成立， 记g(x)=2e x x −(x +1x )，x ∈(0,2]， 则g ′(x )=2e x (x−1)x 2−(1−1x 2)=(x−1)(2e x −x−1)x 2.令ℎ(x)=2e x −x −1，x ∈(0,2]，则ℎ′(x )=2e x −1>2e 0−1=1>0，所以函数y =ℎ(x )在区间(0,2]上单调递增，所以ℎ(x )>ℎ(0)=2e 0−0−1=1>0，即2e x −x −1>0在区间(0,2]上恒成立．当x ∈(0,2]，令g ′(x )=0，得x =1，所以函数y =g (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增， 所以g (x )min =g (1)=2e −2，所以 b ≤2e −2，因此实数b 的取值范围是(−∞,2e −2].36.【答案】解：(1)因为f ′(x )=3ax 2+2x +b ，所以g (x )=f (x )+f ′(x )=ax 3+(3a +1)x 2+(b +2)x +b ． 因为g (x )是奇函数，所以g (−x )=−g (x )恒成立， 从而3a +1=0，b =0，解得a =−13，b =0．(2)由(1)知g (x )=−13x 3+2x ， 所以g ′(x )=−x 2+2，令g ′(x )=0．解得x =−√2（舍去）或x =√2，而g (1)=53，g(√2)=4√23，g (2)=43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g(√2)=4√23， 最小值为g (2)=43．【考点】函数奇偶性的性质导数的运算利用导数研究函数的最值【解析】【解答】解：(1)因为f ′(x )=3ax 2+2x +b ，所以g (x )=f (x )+f ′(x )=ax 3+(3a +1)x 2+(b +2)x +b ． 因为g (x )是奇函数，所以g (−x )=−g (x )恒成立，从而3a +1=0，b =0，解得a =−13，b =0．(2)由(1)知g (x )=−13x 3+2x ，所以g ′(x )=−x 2+2，令g ′(x )=0．解得x =−√2（舍去）或x =√2，而g (1)=53，g(√2)=4√23，g (2)=43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g(√2)=4√23， 最小值为g (2)=43．37. 【答案】解：（1）f ′(x )=x −sin x ，因为(x −sin x )′=1−cos x ≥0，所以f ′(x )在(−∞,+∞)单调递增，又f ′(0)=0所以当x ∈(−∞,0)时，f ′(x )<0,f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )>0,f (x )单调递增，所以当x =0时， f (x )的极小值f (0)=1 ，无极大值．（2）g ′(x )=(x 22+cos x −1)(e x −a )由（1）知，f (x )≥f (0) ，即x 22+cos x −1≥0，当a ≤0时， e x −a >0,g ′(x )≥0， g (x )在(−∞,+∞)上单调递增， 当a >0时，令e x −a =0 ，得x =ln a ，于是当x ∈(−∞,ln a )，e x −a <0，g ′(x )≤0，g (x )单调递减， 当x ∈(ln a,+∞),e x −a >0,g ′(x )≥0，g (x )单调递增， 综上，当a ≤0时，g (x )在(−∞,+∞)单调递增，当a >0时，g (x )在(−∞,ln a )上单调递减，在(ln a,+∞)单调递增．（3）令ℎ(x)=f′(x)−e x−bx+1则ℎ(x)=−e x+(1−b)x−sin x+1，x∈[0,+∞)ℎ′(x)=−e x−cos x+1−b，ℎ′(x)的导函数ℎ′′(x)=−e x+sin x，因为x∈[0,+∞），所以g′′(x)≤−1+sin x≤0ℎ′(x)=−e x+sin x在[0,+∞）上单调递减，当b≥−1时，对任意x≥0时，ℎ′(x)≤ℎ′(0)=−1−b≤0，所以ℎ(x)在[0,+∞）上单调递减，所以对任意x≥0时，ℎ(x)≤ℎ(0)=0，当b<−1时，因为ℎ′(x)在[0,+∞）上单调递减，ℎ′(0)=−1−b>0当x→+∞时，ℎ′(x)→−∞，故∃x0∈(0,+∞)，使ℎ′(x0)=0，且x∈(0,x0)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x0)>ℎ(0)=0，与任意x≥0，ℎ(x)≤0矛盾，所以实数b的取值范围为[−1,+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）f′(x)=x−sin x，因为(x−sin x)′=1−cos x≥0，所以f′(x)在(−∞,+∞)单调递增，又f′(0)=0所以当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0,f(x)单调递增，所以当x=0时，f(x)的极小值f(0)=1，无极大值．（2）g′(x)=(x22+cos x−1)(e x−a)由（1）知，f(x)≥f(0)，即x 22+cos x−1≥0，当a≤0时，e x−a>0,g′(x)≥0，g(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a>0时，令e x−a=0，得x=ln a，于是当x∈(−∞,ln a)，e x−a<0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，当x∈(ln a,+∞),e x−a>0,g′(x)≥0，g(x)单调递增，综上，当a≤0时，g(x)在(−∞,+∞)单调递增，当a>0时，g(x)在(−∞,ln a)上单调递减，在(ln a,+∞)单调递增．（3）令ℎ(x)=f′(x)−e x−bx+1则ℎ(x)=−e x+(1−b)x−sin x+1，x∈[0,+∞)ℎ′(x)=−e x−cos x+1−b，ℎ′(x)的导函数ℎ′′(x)=−e x+sin x，因为x∈[0,+∞），所以g′′(x)≤−1+sin x≤0ℎ′(x)=−e x+sin x在[0,+∞）上单调递减，当b≥−1时，对任意x≥0时，ℎ′(x)≤ℎ′(0)=−1−b≤0，所以ℎ(x)在[0,+∞）上单调递减，所以对任意x≥0时，ℎ(x)≤ℎ(0)=0，当b<−1时，因为ℎ′(x)在[0,+∞）上单调递减，ℎ′(0)=−1−b>0当x→+∞时，ℎ′(x)→−∞，故∃x0∈(0,+∞)，使ℎ′(x0)=0，且x∈(0,x0)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x0)>ℎ(0)=0，与任意x≥0，ℎ(x)≤0矛盾，所以实数b的取值范围为[−1,+∞）．。

导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。

解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。

根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。

2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。

解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。

因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。

3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。

解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。

首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。

对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。

函数的导数知识点及例题解析函数的导数是微积分中的重要概念之一。

本文将介绍基本的导数定义和求导法则，并通过例题解析加深理解。

导数的定义函数的导数描述的是函数在某一点的变化率。

对于函数y=f(x)，其导数可以通过以下定义进行求解：导数 = lim（h→0）[f(x+h) - f(x)] / h求导法则求导法则是一些计算导数的常用规则，以下为几个基本的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则导数为0，即 dy/dx = 02. 幂法则：对于函数y = x^n，其中n为常数，则导数为 dy/dx = nx^(n-1)3. 和差法则：对于两个函数u(x)和v(x)，则导数的和差为(d(u+v)/dx = du/dx + dv/dx4. 乘积法则：对于两个函数u(x)和v(x)，导数的乘积为d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx例题解析例题1：求函数y = 2x^3的导数。

求函数y = 2x^3的导数。

根据幂法则，导数为 dy/dx = 3 * 2x^(3-1) = 6x^2例题2：求函数y = 3x^2 + 2x的导数。

求函数y = 3x^2 + 2x 的导数。

根据和差法则，导数为 dy/dx = d(3x^2)/dx + d(2x)/dx = 6x + 2例题3：求函数y = (x^2 + 3x)(2x + 1)的导数。

求函数y =(x^2 + 3x)(2x + 1)的导数。

根据乘积法则，导数为 dy/dx = (x^2 + 3x) * d(2x + 1)/dx + (2x + 1) * d(x^2 + 3x)/dx= (x^2 + 3x) * 2 + (2x + 1) * (2x + 3)= 2x^2 + 6x + 4x^2 + 6x + 2化简后，导数为 dy/dx = 6x^2 + 12x + 2通过以上例题解析，可以看到导数的计算方法和不同函数的求导规则。

掌握了这些知识点，可以更好地理解函数的变化率和斜率，从而应用到实际问题中。

高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1) 8．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2； (4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝S i n 2x2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x 2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x . 3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x. 11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。

高中数学导数精选题目（附答案）(1)函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)(3)极值点与极值①极小值点与极小值如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．②极大值点与极大值函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．③极值点与极值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(4)求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．②如果在x0附近的左侧f′(x)<0时，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(5)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(6)函数最值的求法求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(7)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？答：f(x)为常数函数，不具有单调性．(8)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？答：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(9)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？答：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．(10):若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？答：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．(11):若函数f(x)在(a，b)上满足f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性？答：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．(12):f′(x)>0或f′(x)<0的解集与函数f(x)的单调区间有什么关系？答：f′(x)>0的解集对应函数f(x)的单调递增区间；f′(x)<0的解集对应函数f(x)的单调递减区间．(13):函数的极大值一定大于极小值吗？答：不一定，课本P27图1.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．(14):函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？答：一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点. x1、x3是极大值点．(15)：已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？答：当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0时，f(x0)是极大值；当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，f(x0)是极小值．(16):导数为0的点都是极值点吗？答：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．(17):函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？答：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．(18):若a≥f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？若a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？答：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)ma x.(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)mi n.1．(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()2．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()(2)函数y＝f(x)在定义域R上有导数，其导函数的图象如图所示，则函数y ＝f(x)的递增区间为____________；递减区间为________________．3．求证：函数f(x)＝e x－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．4．试证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上是单调递增函数．5．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2l n x.利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域；(2)求f′(x)，解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间．注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示．6．求函数f(x)＝e xx－2的单调区间．7．已知函数f(x)＝x3－a x－1.讨论f(x)的单调区间．提示：由题意，可先求f′(x)，然后根据a的取值情况，讨论f′(x)>0或f′(x)<0的解集即可．8．(1)本例中f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围；(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围；(5)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．9．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2e－x; (2)y＝ln x x.10．求下列函数的极值：(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.11．已知f(x)＝x3＋3a x2＋b x＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．12．已知f(x)＝a x3＋b x2＋c x(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．13．求函数f(x)＝x3－3a x＋b(a≠0)的极值．提示：分类讨论a取不同值时，函数的单调性，进而求极值．14．设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值15．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]；(2)f(x)＝x2－54x(x<0)．16．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；(2)f(x)＝12x＋S i n x，x∈[0,2π]．17．已知函数f(x)＝(4x2＋4a x＋a2)x，其中a<0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．18．已知函数f(x)＝a x3－6a x2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．19．已知f(x)＝x l n x，g(x)＝－x2＋a x－3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．提示：2f(x)≥g(x)恒成立，可转化为2f(x)－g(x)≥0恒成立，然后利用分离参数法求a的取值范围．(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)ma x(或≤f(x)mi n);(2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)mi n(或≤f(x)ma x)；(3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)mi n≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x));(4)f (x )≥g (x )恒有解⇔F (x )ma x ≥0(其中F (x )＝f (x )－g (x ))． 20．设函数f (x )＝x e x－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋1＋2.(1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1.解： (1)由函数的图象可知：当x <0时，函数单调递增，导数始终为正； 当x >0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内， 导数单调递增； 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．2.解析：选D 因为函数f (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即f ′(x )<0.解析：由f ′(x )的图象可知，当x ∈(－2，－1)∪(1,3)∪(4，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(3,4)时，f ′(x )<0.故函数f (x )的增区间为(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)；减区间为(－∞，－2)，(－1,1)，(3,4)．3.解： 由于f (x )＝e x －x －1， 所以f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞1，即f ′(x )＝e x －1>0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，当x ∈(－∞，0)时，e x <1，即f ′(x )＝e x －1<0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．4.证明：由于f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 由于0<x <2，所以l n x <l n 2<1， 故f ′(x )＝1－ln xx 2>0，即函数f (x )＝ln xx 在区间(0,2)上是单调递增函数. 5.解： (1)函数的定义域为R ，∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 令f ′(x )>0，解得x >1或x <13.因此f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13，(1，＋∞)．令f ′(x )<0，解得13<x <1.因此f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33，又x >0，∴x >33； 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得x <－33或0<x <33，又x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.6.解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3). 7.解： f ′(x )＝3x 2－a . (1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3.当x >3a 3或x <－3a3时，f ′(x )>0; 当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．综上可知， 当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数．当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．8.解：(1)由已知得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数， 所以a ≤0.即实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)恒成立， 即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)恒成立， 所以a ≤3x 2在(1，＋∞)恒成立，即a的取值范围为(－∞，3]．(3)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(4)由例题可知，f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，∴3a3＝1，即a＝3.(5)∵f(x)＝x3－a x－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0<3a3<1，即0<a<3.故a的取值范围为(0,3)．9.解：(1)函数的定义域为R.f′(x)＝2x e－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4 e2.(2)函数y＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－ln xx2.令y′＝0，即1－ln xx2＝0，得x＝e.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：由表可知，当x＝e时，函数有极大值1 e.10.解：(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝143，f(x)极小值＝－6.(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2(x2＋1)－4x2 (x2＋1)2＝－2(x－1)(x＋1)(x2＋1)2.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可以看出：当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3； 当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1. 11.解： ∵y ＝f (x )在x ＝－1时有极值为0， 且f ′(x )＝3x 2＋6a x ＋b ，∴⎩⎨⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.①当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， y ＝f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． ②当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，f (x )在x ＝－1处取极小值且f (－1)＝0. ∴a ＝2，b ＝9.12.解：f ′(x )＝3a x 2＋2b x ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点，∴x ＝±1是方程3a x 2＋2b x ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c 3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点.13.解： f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－a )＝2a a ＋b ， 极小值为f (a )＝－2a a ＋b .14.解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1.(2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m >0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，递增区间为(1－m,1＋m)．函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.15.解：(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以x＝1和x＝－1是函数在[－3，3]上的两个极点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18.所以f(x)ma x＝2，f(x)mi n＝－18.(2)f′(x)＝2x＋54x2.令f′(x)＝0得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值， 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．16.解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， 因为f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， 所以f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )取最小值为－12， x ＝1时，f (x )取最大值为2. (2)f ′(x )＝12＋co S x ，令f ′(x )＝0， 又x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π 17.解： (1)当a ＝－4时，f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x，令f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x ，a <0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈－a 10，－a 2时，f (x )单调递减；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a 2≤4，即－8≤a <－2时，此时15<－a 10≤45，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2>4，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)＝8时没有符合题意的a 值，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上知，a ＝－10.18.解：由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．f ′(x )＝3a x 2－12a x ＝3a x (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝3，即b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝－29，即b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.19.解： (1)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝l n x ＋1， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )mi n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . (2)2x l n x ≥－x 2＋a x －3，则a ≤2l n x ＋x ＋3x ， 设h (x )＝2l n x ＋x ＋3x (x >0)， 则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2， ①x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减； ②x ∈(1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 所以h (x )mi n ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )mi n ＝4，即a 的取值范围是(－∞，4]． 20.解：(1)∵a ＝1， ∴f (x )＝x e x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＋2＝x e x －12x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)， ∴当－1<x <0时，f ′(x )<0; 当x <－1或x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )≥x 2－x ＋2，得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －a ＋22x ≥0， 当x ＝0时，显然成立； 当x >0时，即e x x ≥a ＋22恒成立． 记g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2， 当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )是减函数， 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )是增函数．∴g(x)的最小值为g(1)＝e，∴a＋22≤e，得a≤2e－2.即a的取值范围是(－∞，2e－2]．。

导数知识点及习题讲解1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. ②已知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇.2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不一定成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '= e xx a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x xx x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arc5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅=6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆1．（全国卷10）函数y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）A (23,2ππ)B (π,2π)C (25,23ππ) D (2π,3)2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D. 03 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数4. 函数3yx x 的递增区间是（ ）A )1,(-∞B )1,1(-C ),(+∞-∞D ),1(+∞ 7．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为（ ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)--8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤C (0)(2)2(1)f f f +≥D (0)(2)2(1)f f f +>11．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________. 13.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.17．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答下列问题：（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。

高考数学真题导数专题及答案2019年高考真题-导数专题一、解答题（共12小题）1.已知函数 $f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^{x}-x$。

1）讨论 $f(x)$ 的单调性；2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围。

2.已知函数 $f(x)=ax^2-ax-x\ln{x}$，且 $f(x)\geq 0$。

1）求 $a$；2）证明：$f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x$，且 $e^{-2}<f(x)<2^{-2}$。

3.已知函数 $f(x)=x^{-1}-a\ln{x}$。

1）若 $f(x)\geq 0$，求 $a$ 的值；2）设 $m$ 为整数，并且对于任意正整数 $n$，$(1+\frac{1}{m})^n\geq 2$，求 $m$ 的最小值。

4.已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$（$a>0,b\in\mathbb{R}$）有极值，且导函数 $f'(x)$ 的极值点是 $f(x)$ 的零点。

1）求 $b$ 关于 $a$ 的函数关系式，并写出定义域；2）证明：$b^2>3a$；3）若 $f(x)$，$f'(x)$ 这两个函数的所有极值之和不小于$-1$，求 $a$ 的取值范围。

5.设函数 $f(x)=(1-x^2)e^x$。

1）讨论 $f(x)$ 的单调性；2）当$x\geq 0$ 时，$f(x)\leq ax+1$，求$a$ 的取值范围。

6.已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$。

1）求 $f(x)$ 的导函数；2）求 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的取值范围。

7.已知函数 $f(x)=x^2+2\cos{x}$，$g(x)=e^x(\cos{x}-\sin{x}+2x^{-2})$，其中 $e\approx 2.\cdots$ 是自然对数的底数。

Ⅰ）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\pi,f(\pi))$ 处的切线方程；Ⅱ）令 $h(x)=g(x)-af(x)$（$a\in \mathbb{R}$），讨论$h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。

导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。

二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

导数练习题及答案为了帮助学习者更好地理解与掌握导数的概念与计算方法，以下是一些导数练习题及其详细答案解析。

通过解题的过程，读者可以加深对导数的理解，并熟练掌握导数的计算技巧。

题目一：计算函数 f(x) = x^3 在点 x = 2 处的导数。

解答一：对 f(x) = x^3 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 3x^2计算 f'(2) 得到导数的值。

代入 x = 2：f'(2) = 3(2)^2 = 12因此，函数 f(x) = x^3 在点 x = 2 处的导数为 12。

题目二：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在点 x = -1 处的导数。

解答二：对 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 4x + 3计算 f'(-1) 得到导数的值。

代入 x = -1：f'(-1) = 4(-1) + 3 = -1因此，函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在点 x = -1 处的导数为 -1。

题目三：计算函数 f(x) = e^x 在点 x = 1 处的导数。

解答三：对 f(x) = e^x 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = e^x计算 f'(1) 得到导数的值。

代入 x = 1：f'(1) = e^1 = e因此，函数 f(x) = e^x 在点 x = 1 处的导数为 e。

题目四：计算函数 f(x) = ln(x) 在点 x = 3 处的导数。

解答四：对 f(x) = ln(x) 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 1/x计算 f'(3) 得到导数的值。

代入 x = 3：f'(3) = 1/3因此，函数 f(x) = ln(x) 在点 x = 3 处的导数为 1/3。

通过以上导数练习题的解答，读者可以进一步掌握导数的概念与计算方法。

高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；#当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；!(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1./3.(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； …(4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ； (3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1);8．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6； (6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数．&(1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2；(4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．[12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x .(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1？＝S i n 2x 2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.·(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x .3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.:(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.—6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x )＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.!(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2.…(4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 【所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3.(3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x.11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。

导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=xf x f x ∆-∆+→∆)0()0(lim=xx x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0)100()2)(1(lim=lim 0→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例2】 已知函数f (x )=nn n k k n n n n x c nx c k x c x c c 1121221++++++ ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim= .解 ∵xx f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim=2xf x f x ∆-∆+→∆2)2()22(lim+[]xf x f x ∆--∆-+→∆-)2()(2lim=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ，∴f ＇(2)=21（2nn n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 21(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如xm x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000lim，且其定义形式可以是xm x f x m x f x ∆--∆-→∆)()(000lim，也可以是00)()(limx x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2'=2πR ·t R '=4πR ，∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是A.⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎦⎤⎢⎣⎡4π3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[)π,0，∴α∈⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3.故选A.点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3-am 2+1=0.(*)设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3a， ∴a ≠0，f (0)·f (3a )=0，即a ≠0，-271a 3+1=0，∴a =3.点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.点评 f ＇(x )>0（或<0）只是函数f ＇(x )在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f ＇(x )在(a ，b )上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ＇(x )≥0(或≤0)且f ＇(x )在(a ，b )的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y =f (x )定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y =f (x )在区间（-3，7）上极小值的个数是 个.解 如图，A 、O 、B 、C 、E 这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O 点、C 点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y =f (x )的极小值个数是2个.点评 导数f ＇(x )=0的点不一定是函数y =f (x )的极值点，如使f ＇(x )=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.【例8】 设函数f (x )与数列{a n }满足关系：①a 1>α，其中α是方程f (x )=x 的实数根；②a n+1=f (a n )，n ∈N *；③f (x )的导数f ＇(x )∈（0，1）.（1）证明：a n >α，n ∈N *；（2）判断a n 与a n+1的大小，并证明你的结论. （1）证明：（数学归纳法）当n =1时，由题意知a 1>α，∴原式成立. 假设当n =k 时，a k >α，成立. ∵f ＇(x )>0，∴f (x )是单调递增函数.∴a k+1= f (a k )> f (α)=α，（∵α是方程f (x )= x 的实数根）即当n =k +1时，原式成立.故对于任意自然数N *，原式均成立.（2）解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在[)+∞,α上是单调递增函数.而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例9】 设x ≥0，比较A =xe -x ，B =lg(1+x )，C =xx +1的大小.解 令f (x )=C -B=xx +1-lg(1+x )，则f ＇(x )=xx x ++-+1)1(2)11(2>0，∴f (x )为[)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B .令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x，则当x ≥0时，g ＇(x )=xx e x +---1)1(12≥0，∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，则只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2ax =时，y =a 3.并且技术改造投入比率：)(2x a x-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.（1）求y =f (x )的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x )x 2，∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2a ·42a ，∴k =8，则f (x )=8-(a -x )x 2.∵0<)(2x a x-≤t ，解得0<x ≤122+t at .∴函数f (x )的定义域为0<x ≤122+t at .（2）∵f ＇(x )= -24x 2+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），32ax =，当0<x <32a 时，f ＇(x )>0，此时f (x )在（0，32a）上单调递增；当x >32a 时，f ＇(x )<0，此时f (x )是单调递减.∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=32732a ；当122+t at <32a 时，即0<t <1时，y max =f (122+t at )=323)12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入32a 万元，最大增加值是32732a ，当0<t <1时，投入122+t at万元，最大增加值是323)12(32+t t a .点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值.。