【世纪金榜】高考数学总复习 课时提升作业(三十一) 5.4数列求和 文 新人教A版

课时作业31 数列求和[基础达标]1．[2020·某某某某二十四中模拟]已知数列{a n}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{a n}是等差数列，公差为d，且b n是a n和a n＋1的等比中项，设＝b2n＋1－b2n，n∈N*，求证：数列{}是等差数列；(2)若a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，S n为数列{a n}的前n项和，求数列{a n}的通项公式．解析：(1)由题意得b2n＝a n a n＋1，则＝b2n＋1－b2n＝a n＋1a n＋2－a n a n＋1＝2da n＋1，因此＋1－＝2d(a n＋2－a n＋1)＝2d2，∴{}是等差数列．(2)当n＝1时，a31＝a21，∵a1>0，∴a1＝1.当n≥2时，a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，①a31＋a32＋a33＋…＋a3n－1＝S2n－1，②①－②得，a3n＝S2n－S2n－1＝(S n－S n－1)(S n＋S n－1)．∵a n>0，∴a2n＝S n＋S n－1＝2S n－a n，③∵a1＝1合适上式，∴当n≥2时，a2n－1＝2S n－1－a n－1，④③－④得a2n－a2n－1＝2(S n－S n－1)－a n＋a n－1＝2a n－a n＋a n－1＝a n＋a n－1，∵a n＋a n－1>0，∴a n－a n－1＝1，∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，可得a n＝n.2．[2020·某某某某诊断]已知等差数列{a n}的公差大于0，且a4＝7，a2，a6－2a1，a14是等比数列{b n}的前三项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{b n}的前n项和为S n，若S n>39，求n的取值X围．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d>0)，由a4＝7，得a1＋3d＝7，①又a2，a6－2a1，a14是等比数列{b n}的前三项，∴(a6－2a1)2＝a2a14，即(5d－a1)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，化简得d＝2a1，②联立①②，解得a1＝1，d＝2.∴a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)∵b1＝a2＝3，b2＝a6－2a1＝9，b3＝a14＝27是等比数列{b n}的前三项，∴等比数列{b n}的首项为3，公比为3.∴S n ＝31－3n1－3＝33n－12. 由S n >39，得33n－12>39，化简得3n >27，解得n >3，n ∈N *.3．[2020·某某某某省级示X 高中联考]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝4n ＋12n n ＋2，设b n ＝n ＋1n·a n .(1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求{a n }的前n 项积T n .解析：(1)因为b n ＋1b n ＝n ＋2n ＋1·a n ＋1n ＋1n·a n ＝n n ＋2n ＋12·a n ＋1a n ＝n n ＋2n ＋12·4n ＋12n n ＋2＝4，b 1＝2a 1＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为4的等比数列． (2)由(1)知b n ＝n ＋1n ·a n ＝2·4n －1，则a n ＝n n ＋1·22n －1. 从而T n ＝（12×23×34×…×n n ＋1）·21＋3＋5＋…＋(2n －1)＝2n 2n ＋1.4．[2020·某某河津二中月考]设数列{a n }满足a 1＝1,3a 2－a 1＝1，且2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }中，b 1＝12，4b n ＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)，{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <1.解析：(1)∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2)，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，又a 1＝1,3a 2－a 1＝1，∴1a 1＝1，1a 2＝32，∴1a 2－1a 1＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为12的等差数列，∴1a n ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)，即a n ＝2n ＋1. (2)∵4b n ＝a n －1a n (n ≥2)，∴b n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1(n ≥2)，又b 1＝12符合上式，∴b n＝1n －1n ＋1(n ∈N *)， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝（1－12）＋（12－13）＋…＋（1n －1n ＋1）＝1－1n ＋1<1.5．[2019·某某某某中学期中]设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，1a n，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3①，当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13②，①－②，得3n －1·a n ＝13(n ≥2)，即a n ＝13n ；当n ＝1时，a 1＝13，符合上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)由(1)知b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，3n，n 为偶数，①当n 为奇数时，S n ＝1＋32＋3＋34＋…＋3n －1＋n ＝1＋n2·1＋n 2＋＝n 2＋2n ＋14＋98(3n －1－1)．②当n 为偶数时，S n ＝1＋32＋3＋34＋…＋(n －1)＋3n ＝[1＋n －1]2·n2＋91－9n21－9＝n 24＋98(3n－1)．所以数列{b n }的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n ＋14＋983n －1－1，n 为奇数，n 24＋983n－1，n 为偶数.6．[2020·某某某某模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d >0，且a 2a 3＝40，a 1＋a 4＝13，在公比为q (0<q <1)的等比数列{b n }中，b 1，b 3，b 5∈{160，132，120，18，12}.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{}满足＝a n b n ，求数列{}的前n 项和T n .解析：(1)因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝13， 又a 2a 3＝40，所以a 2，a 3是方程x 2－13x ＋40＝0的两个实数根． 又公差d >0，所以a 2<a 3，所以a 2＝5，a 3＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3，所以a n ＝3n －1，因为在公比为q (0<q <1)的等比数列{b n }中，b 1，b 3，b 5∈{160，132，120，18，12}，所以易知b 1＝12，b 3＝18，b 5＝132.此时公比q 2＝b 3b 1＝14，所以q ＝12，所以b n ＝（12）n .(2)由(1)知a n ＝3n －1，b n ＝（12）n ，所以＝(3n －1)·（12）n，所以T n ＝2×（12）1＋5×（12）2＋8×（12）3＋…＋(3n －1)×（12）n，12T n ＝2×122＋5×123＋…＋(3n －4)×12n ＋(3n －1)×12n ＋1， 两式相减，得12T n ＝2×（12）1＋3[（12）2＋（12）3＋…＋（12）n ]－(3n －1)×（12）n ＋1＝1＋3×（12）[1－（12）n －1]－(3n －1)×（12）n ＋1＝52－（12）n ×3n ＋52.故{}的前n 项和T n ＝5－(3n ＋5)×（12）n .[能力挑战]7．[2020·某某某某联考]若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，点P (S n ，S n ＋1)在曲线y ＝(x ＋1)2上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 表示数列{b n }的前n 项和，若T n ≥13m －1对任意n ∈N *恒成立，某某数m 的取值X 围．解析：(1)由已知可得S n ＋1＝(S n ＋1)2，得S n ＋1－S n ＝1，所以{S n }是以S 1为首项、1为公差的等差数列，所以S n ＝S 1＋(n －1)×1＝n ，得S n ＝n 2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1，也符合上式，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－12n ＋1)，显然T n 是关于n 的增函数，所以T n 有最小值(T n )min ＝T 1＝13，又T n ≥13m －1对任意n ∈N *恒成立，所以13≥13m －1恒成立，所以m ≤4，故实数m 的取值X 围为(－∞，4]．。

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课时提升作业(三十三)一、选择题1.(2013·南昌模拟)已知等比数列{a n}公比为q,其前n项和为S n,若S3,S9,S6成等差数列,则q3等于( )(A)- (B)1(C)-或1 (D)-1或2.(2013·长春模拟)在等差数列{a n}中,a9=a12+6,则数列{a n}的前11项和S11等于( )(A)24 (B)48 (C)66 (D)1323.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-3()n,则其前20项和为( )(A)380-(1-) (B)400-(1-)(C)420-(1-) (D)440-(1-)4.(2013·阜阳模拟)已知直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n}的第一项与第二项,若b n=,数列{b n}的前n项和为T n,则T10=( )(A) (B) (C) (D)5.(2013·太原模拟)已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则= ( )(A) (B) (C) (D)6.数列{a n}的前n项和S n=3n+b(b是常数),若这个数列是等比数列,那么b为( )(A)3 (B)0 (C)-1 (D)17.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m-1+a m+1-=0,S2m-1=38,则m= ( )(A)38 (B)20 (C)10 (D)98.(能力挑战题)数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则+++…+等于( )(A)(2n-1)2(B)(2n-1)2(C)4n-1 (D)(4n-1)二、填空题9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若a3=20-a6,则S8等于.10.数列{1+2n-1}的前n项和为.11.(2013·芜湖模拟)已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,当整数n>1时,S n+1+S n-1=2(S n+S1)都成立,则S5= .12.(2013·哈尔滨模拟)在数列{a n}中,若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值(n∈N+),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{a n}的前100项的和S100= .三、解答题13.已知数列{log2(a n-1)}(n∈N+)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)求和:S n=++…+.14.(2012·湖州模拟)设{a n}是等差数列,{b n}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.(1)求{a n},{b n}的通项公式.(2)求数列{}的前n项和S n.15.(能力挑战题)已知数列{a n}的通项公式是a n=n·2n-1,b n=,求数列{b n}的前n项和.答案解析1.【解析】选A.当q=1时,显然不可能;当q≠1时,根据已知得2×=+,即2q9=q6+q3,即2q6-q3-1=0,解得q3=1(舍),或q3=-.2.【解析】选D.设公差为d,则a1+8d=a1+d+6,即a1+5d=12,即a6=12,所以S11=11a6=132.3.【解析】选C.由a n=2n-3()n,得S20=2(1+2+…+20)-3(++…+)=2×-3×=420-(1-),故选C.4.【解析】选B.将直线方程化为(x+y-4)+m(3x-y)=0,令解得即直线过定点(1,3),所以a1=1,a2=3,公差d=2,∴a n=2n-1,∴b n==(-),∴T10=×(-+-+…+-)=×(-)=.5.【解析】选C.等差数列{a n}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,因为a1,a3,a9恰好构成某等比数列,所以有=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所以该等差数列的通项为a n=nd.则的值为.6.【思路点拨】根据数列的前n项和减去前n-1项的和得到数列的第n项的通项公式,即可得到此等比数列的首项与公比,根据首项和公比,利用等比数列的前n项和公式表示出前n项的和,与已知的S n=3n+b对比后,即可得到b的值.【解析】选C.因为a n=S n-S n-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2),所以此数列是首项为2,公比为3的等比数列,则S n==3n-1,所以b=-1.7.【解析】选C.因为{a n}是等差数列,所以a m-1+a m+1=2a m,由a m-1+a m+1-=0,得2a m-=0,所以a m=2(a m=0舍),又S2m-1=38,即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10,故选C.8.【解析】选D.a n=S n-S n-1=2n-1(n>1),又a1=S1=1=20,适合上式,∴a n=2n-1(n ∈N+),∴{}是=1,q=22的等比数列,由求和公式得+++…+==(4n-1).9.【解析】因为a3=20-a6,所以S8=4(a3+a6)=4×20=80.答案：8010.【解析】前n项和S n=1+20+1+21+1+22+…+1+2n-1=n+=n+2n-1. 答案：n+2n-111.【解析】由S n+1+S n-1=2(S n+S1)得(S n+1-S n)-(S n-S n-1)=2S1=2,即a n+1-a n=2(n≥2),数列{a n}从第二项起构成等差数列,则S5=1+2+4+6+8=21.答案：2112.【解析】设定值为M,则a n+a n+1+a n+2=M,进而a n+1+a n+2+a n+3=M,后式减去前式得a n+3=a n,即数列{a n}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{a n}的前100项的和S100=68+99+132=299.答案：29913.【解析】(1)设等差数列{log2(a n-1)}的公差为d.由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,即d=1.所以log2(a n-1)=1+(n-1)×1=n,即a n=2n+1.(2)因为==,所以S n=++…+=+++…+==1-.14.【解析】(1)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则依题意有q>0且解得所以a n=1+(n-1)d=2n-1,b n=q n-1=2n-1.(2)=,S n=1+++…++, ①2S n=2+3++…++. ②②-①,得S n=2+2+++…+-=2+2×(1+++…+)-=2+2×-=6-.【变式备选】已知各项都不相等的等差数列{a n}的前6项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b n+1-b n=a n(n∈N+),且b1=3,求数列{}的前n项和T n. 【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),则解得∴a n=2n+3.(2)由b n+1-b n=a n,∴b n-b n-1=a n-1(n≥2,n∈N+),b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=a n-1+a n-2+…+a1+b1=n(n+2),当n=1时,b1=3也适合上式,∴b n=n(n+2)(n∈N+).∴==(-),T n=(1-+-+…+-)=(--)=.15.【解析】====-,k=1,2,3,…,n故++…+=(-)+(-)+…+[-]=-=4-.【方法技巧】裂项相消法的应用技巧裂项相消法的基本思想是把数列的通项a n分拆成a n=b n+1-b n或者a n=b n-b n+1或者a n=b n+2-b n等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据这个基本思想变换数列a n的通项公式,使之符合裂项相消的条件.在裂项时一定要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求和的目的.关闭Word文档返回原板块。

2021版高考数学总复习第五章数列31数列求和课时作业文202106282106 1．(2021·北京卷)已知等差数列{a n } 和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 2＋a 4＝10，因此2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，因此a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝a 5，因此b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3，因此b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12. 2．(2020·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4.(1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列；(2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .解析：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)，∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4.当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2；当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝21－2n 1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2. 又当n ＝1时，上式也满足．∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.3．(2020·西安质检)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ；数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ q 2＋d ＝6q ＋3＋3d ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－43q ＝9(舍去)． 故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，1S n ＝2n n ＋1＝2(1n －1n ＋1)， ∵1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1. 4．(2020·陕西省宝鸡市高三质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1a n 的前n 项和为T n ，求证：1≤T n <3. 解析：(1)当n ＝1时，a 1＝2.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2， 因此a n ＝S n －S n －1＝2a n －2－(2a n －1－2)，即a n a n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)， 因此数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明：令b n ＝n ＋1a n ＝n ＋12n ， 则T n ＝321＋322＋423＋…＋n ＋12n ，① ①×12，得12T n ＝222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，② ①－②，得12T n ＝32－n ＋32n ＋1，整理得T n ＝3－n ＋32n ， 由于n ∈N *，明显T n <3.又令c n ＝n ＋32n ，则c n ＋1c n ＝n ＋42n ＋6<1，因此c n >c n ＋1， 因此n ＋32n ≤c 1＝2，因此T n ≥1. 故1≤T n <3.5．(2020·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49. 解析：(1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0，因此9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，解得－94≤d ≤－95. ∵d 为整数，∴d ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)证明：由(1)，得1a n a n ＋1＝111－2n 9－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ， ∴T n ＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －19. 令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝49. 6．(2020·山东淄博模拟)已知数列{a n }是等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，且a 10＝19，S 10＝100；数列{b n }对任意n ∈N *，总有b 1·b 2·b 3·…·b n －1·b n ＝a n ＋2成立．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)记c n ＝(－1)n 4n ·b n 2n ＋12，求数列{c n }的前n 项和T n . 解析：(1)设{a n }的公差为d ，则a 10＝a 1＋9d ＝19，S 10＝10a 1＋10×92×d ＝100. 解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1.因此b 1·b 2·b 3·…·b n －1·b n ＝2n ＋1，①当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2n －1.②①②两式相除得b n ＝2n ＋12n －1(n ≥2)． 因为当n ＝1时，b 1＝3适合上式，因此b n ＝2n ＋12n －1(n ∈N *)． (2)由已知c n ＝(－1)n 4n ·b n 2n ＋12， 得c n ＝(－1)n 4n 2n －12n ＋1＝(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 当n 为偶数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋(－1)n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1； 当n 为奇数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋(－1)n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1－12n ＋1 ＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1. 综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2n 2n ＋1，n 为偶数，－2n ＋22n ＋1，n 为奇数.[能力挑战]7．(2021·山东卷)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解析：(1)设数列{x n }的公比为q .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2，因此3q 2－5q －2＝0. 由已知得q ＞0，因此q ＝2，x 1＝1.因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1.记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n .由题意得b n ＝n ＋n ＋12×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2， 因此T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋21－2n －11－2－(2n ＋1)×2n －1， 因此T n ＝2n －1×2n ＋12.。

课时作业提升(三十一) 数列的概念与简单表示法A 组 夯实基础1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：选C 根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32 B ．53C.85D ．23解析：选D a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝1＋－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋(－1)a 4＝23. 3．(2018·海淀模拟)数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选B 由(n ＋1)a n ＝na n ＋1得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，则a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n ，所以a 3＝2×3＝6，故选B.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－(6＋2λ)n ＋2 016，若 a 6或a 7为数列{a n }的最小项，则实数λ的取值范围是( )A ．(3,4)B ．[2,5]C ．[3,4]D ．⎝⎛⎭⎫52， 92解析：选D 依题意，由二次函数的性质可知，当112＜3＋λ＜152，即52＜λ＜92时，a 6或a 7为数列{a n }的最小项，故实数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫52， 92. 5．(2018·昆明检测)在数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，则a 2 018＋a 2 019＝( )A.56B ．73C.72D ．5解析：选B 依题意，a 1＝12，a 2＝13，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝12，a 6＝13，…，数列{a n }是周期为4的数列，所以a 2 018＋a 2 019＝a 2＋a 3＝73.6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n (n ∈N ＋)，则满足a n ＋1＜a n 的n 的取值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由a n ＋1＜a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n ＝8(9－2n )(11－2n )＜0，解得92＜n ＜112，又n ∈N ＋，所以n ＝5.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝( ) A ．2n －1－1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选B 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.8．数列1，23，35，47，59，…的通项公式为____________.解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式为a n ＝n2n －1.答案：a n ＝n2n －19．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1，n 为偶数，2n －5，n 为奇数，则a 3a 4＝____________.解析：由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54. 答案：5410．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3＋2n ，则数列{a n }的通项公式为____________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3＋2n －(3＋2n －1)＝2n－2n －1＝2n －1.因为当n ＝1时，不符合a n ＝2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥211．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)． 所以从第7项起各项都是正数．12．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋.求数列{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2.由已知a 1＝S 1＞1，得a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n .因为a n ＞0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.B 组 能力提升1．将石子摆成如图所示的梯形，称数列5,9,14，…为“梯形数列”，记此“梯形数列”的第n 项为a n ，则a 6＝( )A ．25B ．30C ．35D ．40解析：选C 方法一 由题意知a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝5，…，a 6－a 5＝8，由此得a 6－a 1＝4＋5＋…＋8＝5×(4＋8)2＝30，所以a 6＝30＋a 1＝35.故选C.方法二 观察得出a 6即为“上底为2，下底为8，高为7的梯形的面积数”即a 6＝(2＋8)×72＝35.故选C. 2．一给定函数y ＝f (x )的图像在下列各图中，并且对任意a 1∈(0,1), 由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像是( )解析：选A 由a n ＋1＝f (a n )，a n ＋1>a n 知f (a n )>a n ，可以知道x ∈(0,1)时f (x )>x ，即f (x )的图像在y ＝x 图像的上方，由选项中所给的图像可以看出，A 符合条件．3．(2018·白银月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝3S n ，则a n ＝____________.解析：由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减可得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n (n ≥2)， ∴a n ＋1＝4a n (n ≥2)． ∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1，∴数列{a n }是从第二项开始的等比数列， ∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 4．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解： (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．所以b n＝⎩⎨⎧23(n ＝1)，1n (n ≥2).(2)因为c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)＜0，所以c n ＋1＜c n ，所以数列{c n }为递减数列．。

2021年高考数学一轮总复习 5.4数列求和课时作业文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·武汉质检)已知数列{a n}的通项公式是a n＝2n－12n，其前n项和S n＝32164，则项数n＝( )A．13 B．10 C．9 D．6解析：∵a n＝2n－12n＝1－12n，∴S n＝n－121－12n1－12＝n－1＋12n＝32164，∴n＝6.答案：D2．(xx·西安质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N*)，则S2 012＝( )A．22 012－1 B．3·21 006－3C．3·21 006－1 D．3·21 005－2解析：a1＝1，a2＝2a1＝2，又an＋2·a n＋1an＋1·a n＝2n＋12n＝2.∴n＋2an＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，∴S2 012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 011＋a2 012＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 012)＝1－21 0061－2＋21－21 0061－2＝3·21 006－3.故选B.答案：B3．(xx·杭州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列{1f n}的前n项和为S n，则S2 012的值为( )A.2 0122 011B.2 0102 011C.2 0132 012D.2 0122 013解析：由已知得b＝12，∴f(n)＝n2＋n，∴1f n ＝1n2＋n＝1n n＋1＝1n－1n＋1，∴S2 012＝1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013＝1－12 013＝2 0122 013.答案：D4．(xx·西安模拟)数列{a n}满足a n＋a n＋1＝12(n∈N*)，且a1＝1，S n是数列{a n}的前n项和，则S21＝( )A.2B．6 C．10 D．11解析：依题意得a n＋a n＋1＝a n＋1＋a n＋2＝12，则a n＋2＝a n，即数列{a n}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×12＋1＝6，故选B.答案：B5．(xx·长沙模拟)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且a n＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )A．－100 B．0C．100 D．10 200解析：若n为偶数时，则a n＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，为首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则a n＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50×3＋50×492×4＋50×(－5)－50×492×4＝－100.答案：A6．(xx·广东广州综合测试一)在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1－a n＝sinn＋1π2，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2 014＝( )A．1 006 B．1 007C．1 008 D．1 009解析：由a n＋1－a n＝sinn＋1π2⇒a n＋1＝a n＋sinn＋1π2，所以a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin 3π2＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin5π2＝0＋1＝1，因此a5＝a1，如此继续可得a n＋4＝a n(n∈N*)，数列{a n}是一个以4为周期的周期数列，而2 014＝4×503＋2，因此S2 014＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1 008，故选C.答案：C二、填空题7．(xx·山西晋中名校联考)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝(－1)n(a n＋1)，记Sn为{a n}的前n项和，则S2 013＝__________.解析：由a1＝1，a n＋1＝(－1)n(a n＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.答案：－1 0058．(xx·武汉模拟)等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝__________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴a n＝2n－1，∴a2n＝4n－1.∴数列{a2n}是以a21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a21＋a22＋…＋a2n＝1·1－4n1－4＝13(4n－1)．答案：13(4n－1)9．(xx·广东揭阳一模)对于每一个正整数n，设曲线y＝x n＋1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n＝lg x n，则a1＋a2＋…＋a99＝__________.解析：曲线y＝x n＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(x n,0)，则有(n＋1)x n－n＝0⇒x n＝nn＋1，∴a n＝lg x n＝lgnn＋1＝lg n－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2.答案：－2三、解答题10．(xx·新课标全国卷Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{a n2n }的前n 项和．解析：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3. 设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设{a n 2n }的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.11．(xx·安徽卷)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列{ann}是等差数列；(2)设b n＝3n·a n，求数列{b n}的前n项和S n.解析：(1)由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1.所以{ann}是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得ann＝1＋(n－1)·1＝n，所以a n＝n2.从而b n＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3S n＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2S n＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝3·1－3n1－3－n·3n＋1＝1－2n·3n＋1－32.所以S n＝2n－1·3n＋1＋34.12．(xx·湖南卷)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n＋(－1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n2－n－12＋n－12＝n.故数列{a n}的通项公式为a n＝n.(2)由(1)知，b n＝2n＋(－1)n n.记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝21－22n1－2＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{b n}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.: 34857 8829 蠩40300 9D6C 鵬27883 6CEB 泫31732 7BF4 篴o24226 5EA2 庢v31285 7A35 稵29053 717D 煽TQ29499 733B 猻。

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课时作业(三十一)第31讲数列求和基础热身1.数列4,8,16,32,…的前n项和为（)A.2n+1-2—n—1B.2n+2—2-n-3C。

2n+1+2—n-1D.2n+1—2—n—1-12.［2018·山东临沂一中月考］若数列的通项公式是a n=(—1)n(3n—2)，则a1+a2+…+a10=（)A.15 B。

12C.—12 D。

—153。

[2017·蚌埠第二中学月考]已知函数f=且a n=f+f,则a1+a2+a3+…+a8=（)A.—16 B。

—8C。

8 D。

164。

已知数列的通项公式为a n=,则数列的前40项和为.5.［2017·呼和浩特调研] 在等差数列中，a 2=8,前6项和S 6=66，设b n =,T n =b 1+b 2+…+b n ,则T n = .能力提升6.[2017·湘潭模拟] 已知T n 为数列的前n 项和，若n>T 10+1013恒成立,则整数n 的最小值为 （ ） A 。

1026B .1025C .1024D .10237.［2017·合肥调研] 已知数列满足a 1=2,4a 3=a 6，是等差数列，则数列{（—1）na n }的前10项的和S 10= ( ） A .220 B 。

课时提升作业三十一等差数列及其前n项和(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛模拟)在等差数列{a n}中,a2+a12=32,则2a3+a15的值是( )A.24B.48C.96D.无法确定【解析】选B.由等差数列的性质知,a2+a12=2a1+12d=2(a1+6d)=32,所以a1+6d=16.2a3+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=48.2.若等差数列{a n}的前n项和为S n且S4=S18,则S22等于( )A.0B.12C.-1D.-12【解析】选A.设等差数列的公差为d,由S4=S18得4a1+d=18a1+d,a1=-d,所以S22=22a1+d=22×+22×d=0.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选A.设S n=An2+Bn,由题意知,16A+4B=324A+18B,解得B=-22A,所以S22=22(22A+B) =0.【加固训练】在等差数列{a n}中,a9=a12+6,则数列{a n}的前11项和S11= ( )A.24B.48C.66D.132【解析】选D.因a 9=a12+6及等差数列通项公式得,2(a1+8d)=a1+11d+12,整理得a1+5d=12=a6,所以S11===11×12=132.3.(2016·淄博模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若-a m<a1<-a m+1 ,则必有( )A.S m>0且S m+1<0B.S m<0且S m+1>0C.S m>0且S m+1>0D.S m<0且S m+1<0【解析】选A.由题意知,a1+a m>0,a1+a m+1<0,得S m=>0,S m+1= <0.4.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8= ( )A.0B.3C.8D.11【解析】选B.因为{b n}是等差数列,且b3=-2,b10=12,故公差d==2.于是b1=-6,且b n=2n-8(n∈N*),即a n+1-a n=2n-8.所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.5.设正项数列{a n}的前n项和是S n,若{a n}和{}都是等差数列,且公差相等,则a1等于( )A. B. C. D.【解析】选 B.设等差数列{a n}的公差为d,则S n=n2+n,所以=,又因为数列{}是等差数列,则是关于n的一次函数(或者是常数),则a1-=0,=n,从而数列{}的公差是,则=d,解得d=0(舍去)或d=,故a1=.【加固训练】(2016·兰州模拟)等差数列{a n}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )A.{1}B.C. D.【解析】选 B.等差数列{a n}中,设=是与n无关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立,故由第一个方程得d=0或者m=.若d=0,代入第二个方程可得m=1(因为a1≠0);若m=,代入第二个方程得d=a1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·哈尔滨模拟)已知等差数列{a n}中,a1+a3+a8=,那么cos(a3+a5)= .【解析】由a1+a3+a8=3(a1+3d)=,则a1+3d=,所以cos(a3+a5)=cos(2a1+6d)=cos=-cos=-.答案:-7.若等差数列{a n}满足a6+a7+a8>0,a6+a9<0,则当n= 时,{a n}的前n项和最大.【解析】由等差数列的性质可得a6+a7+a8=3a7>0,即a7>0;而a6+a9=a7+a8<0,故a8<0.所以数列{a n}的前7项和最大.答案:78.已知等差数列的公差d>0,若a1+a2+…+a2015=2015a m(m∈N*),则m= .【解析】因为数列{a n}是等差数列,所以a1+a2+…+a2015=2015a1+ d =2015(a1+1007d),a m=a1+(m-1)d,根据题意得,2015(a1+1007d)=2015,解得m=1008.答案:1008三、解答题9.(10分)(2016·威海模拟)已知S n为正项数列{a n}的前n项和,且满足S n=+a n(n∈N*).(1)求a1, a2,a3,a4的值.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)由S n=+a n(n∈N*),可得a1=+a1,解得a1=1;S2=a1+a2=+a2,解得a2=2;同理,a3=3,a4=4.(2)S n=+a n,①当n≥2时,S n-1=+a n-1,②①-②化简得(a n-a n-1-1)(a n+a n-1)=0.由于a n+a n-1≠0,所以a n-a n-1=1,又由(1)知a1=1,故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列,故a n=n.【加固训练】1.(2016·滨州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=,a n=-2S n S n-1(n≥2且n∈N*).(1)求证:数列是等差数列.(2)求S n和a n.【解析】(1)当n≥2时,a n=S n-S n-1=-2S n S n-1,①所以S n(1+2S n-1)=S n-1.由上式知若S n-1≠0,则S n≠0.因为S1=a1≠0,由递推关系知S n≠0(n∈N*),由①式得-=2(n≥2).所以是等差数列,其中首项为==2,公差为2.(2)由(1)可得因为=+2(n-1)=2+2(n-1)=2n,所以S n=.当n≥2时,a n=S n-S n-1=-,当n=1时,a1=S1=不适合上式,所以a n=2.数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列.(2)求{a n}的通项公式.【解析】(1)由a n+2=2a n+1-a n+2得a n+2-a n+1=a n+1-a n+2,即b n+1=b n+2,又b1=a2-a1=1.所以{b n}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)得b n=1+(n-1)×2=2n-1,即a n+1-a n=2n-1,于是(a k+1-a k)=(2k-1),所以a n+1-a1=n2,即a n+1=n2+a1,又a1=1,所以{a n}的通项公式为a n=n2-2n+2.(20分钟40分)1.(5分)在等差数列中,已知a3+a8=6,则3a5+a7= ( )A.6B.12C.18D.24【解析】选B.由等差数列性质知3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a5+a6)= 2(a3+a8)=12.2.(5分)(2016·德州模拟)已知正项数列{a n}的前n项的乘积T n=(n∈N*),b n=log2a n,则数列的前n项和S n中的最大的值是( )A.S6B.S5C.S4D.S3【解析】选D.当n=1时,a1=T1==45,当n≥2时,a n==,n=1也适合,所以数列{a n}的通项公式a n=,所以b n=log2a n=14-4n,数列{b n}是以10为首项,-4为公差的等差数列,S n=10n+=-2n2+12n=-2,当n=3时,有最大值S3.3.(5分)(2016·济南模拟)设等差数列的前n项和为S n,等差数列的前n项和为T n,若=,则+= .【解析】+=+=====.答案:4.(12分)(2016·南宁模拟)已知a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{a n}是公差为正数的等差数列,数列{b n}的前n项和为T n,且T n=1-b n(n∈N*).求数列{a n},{b n}的通项公式.【解析】因为x2-12x+27=(x-3)(x-9)=0,又数列{a n}的公差d>0,所以a2=3,a5=9,所以d==2,所以a n=2n-1.因为T n=1-b n(n∈N*),所以b1=.当n≥2时,b n=T n-T n-1=b n-1-b n,所以b n=b n-1,所以b n==.5.(13分)(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ.(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由题设a n a n+1=λS n-1,得a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1.由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)由题设a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故a n+2-a n=4,由此可得:{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得数列{a n}为等差数列.【加固训练】(2016·安庆模拟)已知数列{a n}的通项公式a n=pn2+qn(p,q∈R,且p,q为常数).(1)当p和q满足什么条件时,数列{a n}是等差数列?(2)求证:对任意实数p和q,数列{a n+1-a n}是等差数列.【解析】(1)a n+1-a n=-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{a n}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0.故当p=0,q∈R时,数列{a n}是等差数列.(2)因为a n+1-a n=2pn+p+q,所以a n+2-a n+1=2p(n+1)+p+q,所以(a n+2-a n+1)-(a n+1-a n)=2p为一个常数.所以{a n+1-a n}是等差数列.关闭Word文档返回原板块。

2021年高考数学一轮复习 5.4 数列求和课时作业 理（含解析）新人教A版必修5一、选择题1．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝4，a 2＋a 3＋a 4＝－2，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝( )A.2116 B.1916 C.98 D.78解析：由于q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝－24＝－12，所以a 3＋a 4＋a 5＝(a 2＋a 3＋a 4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，a 6＋a 7＋a 8＝(a 3＋a 4＋a 5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－18， 于是a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝78.答案：D2．(xx·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100 D.101100解析：由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.答案：A3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.答案：C4．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n 的前n 项和S n 等于( )A.3n －1n ＋1B.2n n ＋1C.3n n ＋1D.4nn ＋3解析：a n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：B5．(xx·云南昆明高三调研)公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝( )A．－20 B．0 C．7 D．40解析：记等比数列{a n}的公比为q，其中q≠1，依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，S4＝1×[1－－34]1＋3＝－20，选A.答案：A6．(xx·山东青岛期中)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且a n＝f(n)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )A．0 B．100 C．5 050 D．10 200解析：因为f(n)＝n2cos(nπ)，所以a1＋a2＋a3＋...＋a100＝－12＋22－32＋42－...－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋...(1002－992)＝3＋7＋ (199)503＋1992＝5 050，选C.答案：C二、填空题7．已知数列{a n}对于任意p，q∈N*有a p a q＝a p＋q，若a1＝12，则S9＝________.解析：由题意得a n＋1＝a n a1，a n ＋1a n ＝a 1＝12，a n ＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 因此S 9＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫129＝511512.答案：5115128．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________.解析：∵a n ＋1＝3S n ，∴S n ＋1－S n ＝3S n ，∴S n ＋1＝4S n ，∴{S n }是以S 1为首项，公比为4的等比数列，∴S 10＝410－1＝49，∴log 4S 10＝log 449＝9.答案：99．已知数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，则a n ＝________解析：由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2＋1a n∴数列{a n }的倒数成公差为2的等差数列，由此可求1a n ＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案：12n －1三、解答题10．(xx·青岛统一质检)已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋－1n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n，b mn＝b n m.(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；(2)将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第a n项，……，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2 013项和．解：(1)∵d n＝3＋－1n2，∴a n＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝3×2n2＝3n又由题知：令m＝1，则b2＝b21＝22，b3＝b31＝23，…，b n＝b n1＝2n若b n＝2n，则b m n＝2nm，b n m＝2mn，所以b m n＝b n m恒成立若b n≠2n，当m＝1，b m n＝b n m不成立，所以b n＝2n.(2)由题知将数列{b n}中的第3项、第6项、第9项……第3n项删去后构成的新数列{c n}中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4公比均是8，T2 013＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2 013)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2 012)＝2×1－81 0071－8＋4×1－81 0061－8＝20×81 006－6711．(xx·山东烟台诊断)已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1<i<21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设b n＝n2n＋1S n，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋b n<m对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解：(1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根， 又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13. ∴⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，∴a 1·a 21＝a 2i ， 即1·81＝(4i －3)2， 解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －12·4＝2n 2－n ，所以b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1 因为n 2n ＋1＝12－122n ＋1<12， 所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．12．(xx·山西第三次四校联考)已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b n ，设C n ＝b n a n ，求数列{C n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知2a n ＝S n ＋12，a n >0当n ＝1时，2a 1＝a 1＋12，∴a 1＝12当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1整理得：a na n －1＝2∴数列{a n }是以12为首项，2为公比的等比数列．a n ＝a 1·2n －1＝12×2n －1＝2n －2(2)a 2n ＝2－b n ＝22n －4∴b n ＝4－2n ，C n ＝b n a n ＝4－2n 2n －2＝16－8n 2nT n ＝82＋022＋－823＋…＋24－8n 2n －1＋16－8n2n①12T n ＝822＋023＋…＋24－8n 2n ＋16－8n 2n ＋1② ①－②得12T n ＝4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －16－8n 2n ＋1＝4－8·122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－16－8n2n ＋1＝4－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－16－8n 2n ＋1＝4n 2n .∴T n ＝8n2n. [热点预测]13．(xx·保定第一次模拟)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x ，12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x ，－12(ω>0，x ≥0)，函数f (x )＝a ·b 的第n (n ∈N *)个零点记作x n (从左向右依次计数)，则所有x n 组成数列{x n }．(1)若ω＝12，求x 2；(2)若函数f (x )的最小正周期为π，求数列{x n }的前100项和S 100. 解：f (x )＝a ·b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x cos ⎝⎛⎭⎪⎫ω2x －14＝12sin(ωx )－14 (1)当ω＝12时，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14令f (x )＝0，得x ＝4kπ＋π3或x ＝4kπ＋5π3(k ∈Z ，x ≥0) 取k ＝0，得x 2＝5π3. (2)因为f (x )最小正周期为π，则ω＝2，故f (x )＝12sin(2x )－14令f (x )＝0得x ＝kπ＋π12或x ＝kπ＋5π12(k ∈Z ，x ≥0)所以S 100＝∑k ＝049⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ＋5π12＝∑k ＝049 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2 ＝2π(0＋1＋2＋…＋49)＋50×π2＝50×49π＋25π＝2 475π.g25753 6499 撙23520 5BE0寠F30302 765E 癞23967 5D9F 嶟28347 6EBB 溻30218 760A 瘊22181 56A5 嚥27623 6BE7 毧m39956 9C14 鰔20395 4FAB 侫32450 7EC2 绂。

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数列求和【考纲传真】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2。

掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．3。

能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题.【知识扫描】知识点数列求和的常见方法1．公式法；直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和（1）等差数列的前n项和公式：S n＝错误!＝na＋错误!d.1(2)等比数列的前n项和公式：S n＝错误!2．倒序相加法;如果一个数列{a n｝的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法；如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．4．裂项相消法;(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2）裂项时常用的三种变形:①错误!＝错误!－错误!；②错误!＝错误!错误!；③错误!＝错误!－错误!.5．分组求和法;一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．6．并项求和法；一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝（－1)n f(n）类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝（100＋99)＋（98＋97）＋…＋（2＋1)＝5 050.1．必会结论；常用求和公式前n个正整数之和1＋2＋…＋n＝错误!前n个正奇数之和1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2前n个正整数的平方和12＋22＋…＋n2＝错误!前n个正整数的立方和13＋23＋…＋n3＝错误!22.（字母）时,应对其公比是否为1进行讨论．（2）在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，a n＋1的式子应进行合并．(3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”）(1)如果数列｛a n}为等比数列，且公比不等于1,则其前n项和S n＝错误!。

课时作业31 数列求和则T ｎ=错误!＋错误!＋错误!未定义书签。

＋…+错误! ①,错误!未定义书签。

T n ＝121+错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

+…+错误!未定义书签。

②，①－②得错误!未定义书签。

T n ＝错误!+错误!未定义书签。

＋错误!未定义书签。

＋…+错误!-错误!未定义书签。

=错误!-错误!未定义书签。

=2－错误!，∴Ｔn ＝4－错误!。

易知数列{2n ｝的前ｎ项和为n （n ＋1), ∴S n =n （n ＋1)-４＋错误!未定义书签。

.４.[2019·广州市综合测试]已知数列{a n ｝的前n 项和为S n ，数列错误!是首项为1,公差为2的等差数列．（１）求数列{a ｎ｝的通项公式;(2)设数列{ｂn }满足错误!+错误!未定义书签。

+…＋错误!未定义书签。

＝5-(4n +５)·错误!n，求数列{ｂn }的前n 项和T n ．解析：(１)因为数列错误!是首项为１,公差为2的等差数列,所以错误!＝1+2(n －1)＝2ｎ－1,所以S n =2n 2－ｎ。

当ｎ＝１时,a １＝S 1＝1;当n ≥2时,ａｎ＝Ｓn -S n －1＝(２n ２-n )－[２(n －1)2-(n －1）］=4n -3。

当n ＝1时,a １＝１也符合上式，所以数列{a n ｝的通项公式为a n =4n －３。

（２)当n =１时,错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

，所以b 1＝2ａ1＝２.当ｎ≥２时,由a １b 1+＼f （ａ2,ｂ2）＋…+＼f(ａn ,ｂn )=5－(4n +５）·错误!n,① 得错误!＋错误!未定义书签。

+…+错误!未定义书签。

=5－（4n +1）错误!n －1。

②①－②，得错误!=(4n -3）错误!未定义书签。

ｎ。

因为a n =4n -3，所以b n =错误!未定义书签。

＝2n(当n =1时也符合）,所以错误!未定义书签。

=错误!＝2,所以数列｛ｂn ｝是首项为2,公比为２的等比数列,所以T n ＝＼f(21-2n ),1－２)=2n +1-2.5.[2０１9·郑州一中高三入学测试］在等差数列｛a n }中，已知a 3=5,且a １,a 2，a 5为递增的等比数列.(１）求数列｛a n }的通项公式;（2）若数列{ｂn }的通项公式 (ｋ∈N *）,求数列｛ｂn ｝的前ｎ项和S n .则Ｓn=S n＋１-b n＋1=错误!＋2－1－2－１=错误!＋２.综上， (k∈N＊).6．[2019·安徽省高中联合质量检测]已知｛a}是公差不为0的等差数列,解得a1＝1，d＝2,所以ａn＝2n－1.所以b1·b２·b3·…·bｎ－1·ｂn=2n+1，①当ｎ＝1时,ｂ１＝3，当ｎ≥2时，ｂ1·b2·ｂ3·…·ｂｎ-1＝2n-１。

课时作业(三十一) [第31讲 数列求和](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝( )A ．254B ．255C ．256D ．2572．已知数列{a n }是各项均为正整数的等比数列，a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．2B ．33C ．84D ．1893．若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且S 13＝26π3，则tan a 7的值为( )A. 3 B ．－ 3C ．± 3D ．－334．[2012·北京海淀区一模] 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100能力提升 5．[2012·潍坊一模] 设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 6．数列{a n }满足关系式a n ＋1＝a n ＋n ，设b n ＝1a n ＋1－a 1，数列{b n }的前n 项的和为S n ，则S 10＝( )A ．12B ．7 C.2011 D.11207．设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝3nB ．b n ＝23nC ．b n ＝13n D ．b n ＝3n －28．[2012·郑州考前检测] 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( )A ．等于－2B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在 9．[2011·安徽卷] 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－1510．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋n －1，则其前8项和S 8等于________． 11．[2012·新疆兵团二中月考] 若等比数列的公比为2，且前4项和为1，则这个等比数列的前8项和为________．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．13．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n （n ＋1）的前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距是________．14．(10分)[2013·惠州一中二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，S 5＝4a 3＋6，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列1S n的前n 项和公式．15．(13分)[2012·天津卷] 已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．难点突破16．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n＝a2n－1·a2n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.课时作业(三十一)【基础热身】1．B [解析] 由a 8＝1，q ＝12得a 1＝27，∴S 8＝a 1（1－q 8）1－q＝27⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1281－12＝28－1＝255. 2．C [解析] 由a 1＝3，S 3＝21得a 1(1＋q ＋q 2)＝21，∴1＋q ＋q 2＝7，∴q ＝2或q ＝－3(舍)，∴a 3＋a 4＋a 5＝84，故选C.3．B [解析] S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7＝26π3，所以a 7＝2π3，tan a 7＝－ 3.故选B.4．C [解析] ∵S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，∴S nn＝n ＋2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 前10项的和为(1＋2＋…＋10)＋20＝75.【能力提升】5．A [解析] 设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 24＋74n .6．C [解析] 由a n ＋1＝a n ＋n 得， a n ＋1－a n ＝n ，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n ) ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴b n ＝1a n ＋1－a 1＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011.故选C. 7．B [解析] 当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n ，即b nb n －1＝13.令n ＝1，则b 1＝23，所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是b n ＝23n . 8．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件，故选B.9．A [解析] a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.10．538 [解析] S 8＝2×（1－28）1－2＋8×（1＋8）2－8＝538.11．17 [解析] 由题意可知，S 8－S 4＝a 8＋a 7＋a 6＋a 5＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝24，所以前8项和等于17.12.⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2·3n －1（n ≥2） [解析] 因为数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，所以S n ＝3×3n －1＝3n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2·3n －1（n ≥2）.13．－9 [解析] S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1＝910，所以n ＝9，所以直线在y 轴上的截距为－n ＝－9. 14．解：(1)因为S 5＝4a 3＋6，所以5a 1＋5×42×d ＝4(a 1＋2d )＋6.①因为a 1，a 3，a 9成等比数列， 所以a 1(a 1＋8d )＝(a 1＋2d )2.②由①，②及d ≠0可得a 1＝2，d ＝2， 所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n 可得S n ＝（2＋2n ）×n 2＝n 2＋n .所以1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n －1＋1S n＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.所以数列1S n 的前n 项和为nn ＋1.15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ，由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2， 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *. (2)证明：由(1)得T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1.② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1 ＝6×（1－2n ）1－2－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1，而当n ＞2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1， 所以，T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N *，n ＞2. 【难点突破】16．解：(1)由已知等式，依次可得a 3＝3，a 4＝14，a 5＝5，a 6＝18，当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2，所以a 2n －1＝2n －1.当n 为偶数时，a n ＋2＝12a n ，即a 2n ＝a 2·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n ，因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝错误!k ∈N *.(2)因为b n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ，S n ＝1·12＋3·⎝⎛⎭⎫122＋5·⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ，12S n＝1·⎝⎛⎭⎫122＋3·⎝⎛⎭⎫123＋5·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得12S n ＝1·12＋2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝12＋2×122⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝32－(2n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，所以S n ＝3－(2n ＋3)·⎝⎛⎭⎫12n .。

课时提升作业三十二数列求和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{a n},{b n}都是等差数列,a1=2,b1=8,且a20+b20=50.则{a n+b n}的前20项的和为()A.600B.610C.620D.630【解析】选 A.由题意知{a n+b n}也为等差数列,所以{a n+b n}的前20项和为:S20===600.2.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为S n,则S2016的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为f′(x)=2x+b,所以f′(1)=2+b=3,所以b=1,所以f(x)=x2+x,所以==-,所以S2016=1-+-+…+-=1-=.3.(2016·日照模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n=,若前n项和为10,则项数n为()A.11B.99C.120D.121【解析】选C.因为a n==-,所以S n=a1+a2+…+a n=(-1)+(-)+…+(-)=-1.令-1=10,得n=120.4.(2016·枣庄模拟)数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-【解析】选 A.该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.5.(2016·广州模拟)已知数列{a n}中,a n+1+(-1)n a n=2n-1,则数列{a n}的前12项和S12=()A.76B.78C.80D.82【解题提示】计算出a n+2+a n的值后,再求解.【解析】选 B.由已知得a n+2+a n=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·滨州模拟)等比数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则++…+=.【解析】当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,又因为a1=1适合上式,所以a n=2n-1,所以=4n-1.所以数列{}是以=1为首项,以4为公比的等比数列.所以++…+==(4n-1).答案:(4n-1)7.(2016·泰安模拟)若S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S100=.【解析】S100=1-2+3-4+5-6+…+99-100=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(99-100)=-50.答案:-508.数列{a n}的通项公式则这个数列的前2m项的和是. 【解析】数列{a n}的奇数项组成首项为6,公差为10的等差数列,偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列,则S2m=6m+×10+=5m2+m+2m+1-2.答案:5m2+m+2m+1-2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·临沂模拟)已知等比数列满足a n+1+a n=4×3n-1.(1)求数列的通项公式.(2)若b n=log3a n,T n=b1-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1,求T n.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,由a n+1+a n=4×3n-1,得解得所以a n=3n-1.(2)由(1)得b n=log33n-1=n-1,则b2n-1b2n-b2n b2n+1=b2n(b2n-1-b2n+1)=(2n-1)·(-2)=2-4n,所以T n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2n b2n+1)=(2-4×1)+(2-4×2)+…+(2-4n)==-2n2.10.(2015·天津高考)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求和的通项公式.(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列的前n项和.【解题提示】(1)设出公差d和公比q,列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项.(2)用错位相减法求和.【解析】(1)设的公比为q,的公差为d,由题意q>0,由已知,有消去d得q4-2q2-8=0,解得q=2,d=2,所以的通项公式为a n=2n-1,n∈N*,的通项公式为b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有c n=2n-1,设的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+×2n,两式相减得-S n=1+22+23+…+2n-×2n=-×2n-3,所以S n=2n+3,n∈N*.【易错警示】解答本题会出现以下错误:在用“错位相减”求和时对相减后的项处理不当,导致漏掉项或添加项.【加固训练】设数列{b n}的前n项和为S n,且b n=2-2S n;数列{a n}为等差数列,且a5=14,a7=20(n ∈N*).(1)求数列{b n}的通项公式.(2)若c n=a n·b n(n=1,2,3…),T n为数列{c n}的前n项和,求T n.【解析】(1)由b n=2-2S n,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=,当n≥2时,由b n=2-2S n,可得b n-b n-1=-2(S n-S n-1)=-2b n,即=,所以{b n}是以b1=为首项,为公比的等比数列,于是b n=2·.(2)数列{a n}为等差数列,公差d=(a7-a5)=3,因为a5=a1+4d,所以a1=2.所以a n=3n-1.从而c n=a n·b n=2(3n-1)·,所以T n=2,T n=2,T n=--.(20分钟40分)1.(5分)(2016·威海模拟)已知数列{a n}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{b n}=的前10项和S10=()A. B.C. D.【解析】选B.由已知条件可得数列{a n}的通项公式为a n==,所以b n===4.S10=4=4=.2.(5分)(2016·汕头模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n 等于()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.因为a n==1-,所以S n=++…+=n-=n-=n-=n-1+.所以n-1+==4+,解得n=5.【加固训练】S n=1+++…+=. 【解析】1+++…+==2=2-,S n=1+++…+=2-+2-+2-+ (2)=2n-=2n-2+.答案:2n-2+3.(5分)(2016·烟台模拟)对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:数列{x n}满足x1=1,且对于任意n∈N*,点(x n,x n+1)都在函数y=f(x)的图象上,则x1+x2+ (x50)值为.【解析】由题意可知x n+1=f(x n),又x1=1,所以x2=f(1)=3,x3=f(3)=5,x4=f(5)=6,x5=f(6)=1,x6=f(1)=3.因此数列{x n}是周期为4的数列,又x1+x2+x3+x4=1+3+5+6=15,所以x1+x2+…+x50=15×12+1+3=184.答案:1844.(12分)(2015·浙江高考)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).(1)求a n与b n.(2)记数列{a n·b n}的前n项和为T n,求T n.【解题提示】(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式.(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.【解析】(1)由a1=2,a n+1=2a n,得a n=2n.当n=1时,b1=b2-1,所以b2=2;当n≥2时,b n=b n+1-b n,整理得=,所以b n=n.(2)由(1)知,a n b n=n·2n,所以T n=2+2·22+3·23+…+n·2n,2T n=22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,所以T n-2T n=-T n=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1=(1-n)2n+1-2,所以T n=(n-1)2n+1+2.【加固训练】(2016·怀化模拟)已知等差数列的前n项和为S n,且a2=8,S4=40.数列的前n项和为T n且T n-2b n+3=0,n∈N*.(1)求数列,的通项公式.(2)设c n=求数列的前2n+1项和P2n+1.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由题意,得所以a n=4n.因为T n-2b n+3=0,所以当n=1时,b1=3,当n≥2时,T n-1-2b n-1+3=0,两式相减,得b n=2b n-1(n≥2),数列为等比数列,所以b n=3·2n-1.(2)c n=P2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(b2+b4+…+b2n)=·(n+1)+=22n+1+4n2+8n+2.5.(13分)(2016·郑州模拟)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11,则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n;当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=【加固训练】1.(2016·邯郸模拟)等差数列{a n}是递增数列,前n项和为S n,且a1,a3,a9成等比数列,S5=.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项的和.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d(d>0),因为a1,a3,a9成等比数列,所以=a1a9,所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),所以d2=a1d,因为d>0,所以a1=d,①因为S5=,所以5a1+·d=(a1+4d)2,②由①②得a1=,d=,所以a n=+(n-1)×=n(n∈N*).(2)b n==·=,所以b1+b2+b3+…+b n===.2.正项数列{a n}的前n项和S n满足:-(n2+n-1)S n-(n2+n)=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)令b n=,数列{b n}的前n项和为T n.证明:对于任意的n∈N*,都有T n<.【解析】(1)由-(n2+n-1)S n-(n2+n)=0,得[S n-(n2+n)](S n+1)=0.由于数列{a n}是正项数列,所以S n>0,S n=n2+n.于是a1=S1=2,n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列{a n}的通项公式a n=2n.(2)由于a n=2n,b n=,则b n==.T n==<=.。

课时作业35 数列求和一、选择题 1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析：由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n－1，故选C.答案：C2．设数列{(－1)n}的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )解析：∵数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n ＝－1－－1n×－11－－1＝－1n－12.答案：D3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2＋3，a 3＝4＋5＋6，a 4＝7＋8＋9＋10，…，则a 10的值为( )A ．750B ．610C ．510D ．505解析：a 10＝46＋47＋…＋55＝505. 答案：D4．数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，则a n 等于( )(1－13n )(1－13n －1)(1－13n )(1－13n －1)解析：由题得a n －a n －1＝(13)n －1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(13)n －1＋(13)n －2＋…＋13＋1＝32(1－13n )． 答案：A5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－12d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 答案：A6．已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．－100 C ．100D ．10 200解析：f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2n 为奇数n 2n 为偶数＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.答案：B 二、填空题7．设S n ＝12＋16＋112＋…＋1nn ＋1，若S n ·S n ＋1＝34，则n 的值为________． 解析：S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1， ∴S n ·S n ＋1＝nn ＋1·n ＋1n ＋2＝n n ＋2＝34，解得n ＝6. 答案：68．数列32，94，258，6516，…的前n 项和S n 为________．解析：∵32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18，6516＝4＋116，…∴S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋122＋123＋…＋12n )＝nn ＋12＋12[1－12n]1－12＝n n ＋12＋1－12n .答案：n n ＋12＋1－12n9．已知f (x )＝4x 4x ＋2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝ ________.解析：因为f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x ＝4x4x ＋2＋22＋4x ＝1. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＝…＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝5.答案：5 三、解答题10．(2014·安徽卷)数列{a n }知足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列{a nn}是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1 所以{a n n }是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而b n ＝n ·3nS n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ①3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1②①－②得：－2S n ＝31＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3×1－3n1－3－n ·3n ＋1＝1－2n ·3n ＋1－32所以S n ＝2n －1·3n ＋1＋34.11．(2014·山东卷)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n 2n －12n ＋1＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝⎛⎭⎪⎫或T n ＝2n ＋1＋－1n －12n ＋1.1．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则一定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0 D ．S m <0，且S m ＋1<0解析：∵－a m <a 1<－a m ＋1，∴a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0，∴S m >0，且S m ＋1<0. 答案：A2．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( )解析：a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋1＝4(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 答案：B3．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝15，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m a n ，若S n <t 恒成立，则实数t 的最小值为________．解析：令m ＝1，则a n ＋1a n＝a 1， ∴{a n }是以a 1为首项，15为公比的等比数列．∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，∴S n ＝15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ＋11－15＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－15n＝14－14·5n <14. 由S n <t 恒成立，∴t >S n 的最大值，可知t 的最小值为14.答案：144．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；(2)数列{b n }知足b n ＝(3n－1)·n2n ·a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)nλ<T n＋n2n －1对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．解：(1)由a n ＋1＝a na n ＋3得1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝1＋3a n， 即1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝32， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，∴1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，即a n ＝23n －1. (2)b n ＝n 2n －1，T n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，T n2＝1×121＋2×122＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ， 两式相减得T n 2＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n ×12n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1，∴(－1)nλ<4－22n －1.若n 为偶数，则λ<4－22n －1，∴λ<3；若n 为奇数，则－λ<4－22n －1，∴－λ<2，∴λ>－2.∴－2<λ<3.。