2018届广东省广州市高考数学复习 专项检测试题：18 几何证明选讲、不等式选讲

- 让每一个人同等地提高自我不等式证明例 1：设 ab 0 ，求证： a a b ba b b a .剖析：发现作差后变形、判断符号较为困难。

考虑到两边都是正数，能够作商，判断比值与 1 的大小关系，进而证明不等式。

证明： a a bba ab b b a( a)a b，∵ ab 0 ，∴a1, a b 0.∴ ( a) a b 1 a b b abb b∴ a a b b 1.又∵ a b b a 0 ，∴ a a b b a b b a . 。

a b b a说明：本题考察不等式的证明方法——比较法 ( 作商比较法 ) 。

作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1 的大小。

例 2：关于随意实数 a 、 b ，求证a 4b 4(a b)4 （当且仅当 a b 时取等号）。

22剖析：这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦， 因为，所要证明的不等式中有 (ab ) 4 ，2睁开后很复杂。

若使用综合法，从重要不等式：a 2b 2 2ab 出发，再适合地利用不等式的相关性质及“配方”的技巧可获得证明。

证明：∵a 2b 2 2ab （当且仅当 a 2 b 2 时取等号）两边同加 4444 22 2a 4b 4 a 2b 2 2(ab ) : 2( ab ) (ab )，即：()1（）22又：∵ a 2 b 2 2ab （当且仅当 a b 时取等号），两边同加 (a 2b 2 ) : 2( a 2 b 2 )( a b) 2∴ a2b 2( a b )2 ，∴ ( a2b 2) 2 (a b)4 （2）2222由（ 1）和（ 2）可得a 4b 4 ( a b )4（当且仅当 ab 时取等号） 。

22- 让每一个人同等地提高自我说明：本题参照用综合法证明不等式。

综合法证明不等式主假如应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后能够考虑用综合法来解。

例3：若0x1，证明 log a (1 x)log a (1x) ，（ a 0 且 a1）。

集合与常用逻辑用语、函数及不等式 0320.若函数 y  A. a  1 【答案】 B1 1  在  2,  上单调递增，那么 a 的取值范围是（ x  ax  a  22）B.  4  a 1 2C.  1  a 1 2D. a 1 2a 1     1 2 2 【解析】若令 f ( x)  x 2  ax  a 只要   1  a  1 2  f ( )  f (2)  0 2  【规律解读】已知函数单调性求参数范围的问题，解法是根据单调性的概念得到恒成立的不等式，还要注意定义域的限制，并挖掘题目的隐含条件。

讨论函数的单调性时要注意:必须在定义 域内进行，即函数的单调区间是定义域的子集。

21.设 f  x  是定义在 x  R 上以 2 为周期的偶函数，已知 x  (0,1) ， f  x   log 1 1  x  ，则函数2f  x  在 (1, 2) 上() B．是增函数且 f  x   0 D．是减函数且 f  x   0A．是增函数且 f  x   0 C．是减函数且 f  x   0 【答案】D.【解析】已知 x  (0,1) ， f  x   log 1 1  x  单调递增；因为函数 f  x  是偶函数所以函数 f  x  在2(1, 0) 上单调递减；又因为 f  x  是以 2 为周期的函数，所以函数 f  x  在 (1, 2) 上单调递减，选择 D.1 22.函数 f ( x )  log 2 x  的零点所在区间为（ ） x 1 1 A. (0, ) B. ( ,1) C. (1, 2) D. (2,3) 2 2 【答案】C【解析】函数的定义域是 (0, ) ， y  log2 x 是增函数， y 1 1 是减函数所以 f ( x )  log 2 x  为 x x1 1 其定义域上的增函数， f ( )  3  0 ， f (1)  1  0 ， f (2)   0 ，所以 f (3)  0 ,由函数零点存 2 2在条件知零点所在区间为 (1, 2) .选择 C。

不等式022一、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥。

假设A B =∅，那么实数a 的取值范围是 。

)3,2(2二、不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 。

答案：{}(331x ∈---+⋃。

23、不等式0212<---x x 的解集为 。

答案：{|11}x x -<<。

24、不等式x x >-|23|的解集是 。

答案：),1()21,(+∞⋃-∞。

2五、假设实数,x y 知足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则s y x =-的最小值为 。

答案：6-。

2六、,0<∃x ，使得不等式t x x --<22成立，那么实数t 的取值范围是 。

答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,49 27、假设关于x 的不等式62<+ax 的解集为()2,1-，那么实数a 的值等于 。

答案：—4。

2八、若是关于x 的不等式34x x a ---<的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是 。

答案：()+∞-,12九、假设不等式aa x x 4|3||1|+≥-++对任意的实数x 恒成立，那么实数a 的取值范 围是 。

答案：}2{)0,(⋃-∞。

30、假设关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，那么实数a 的取值范围是 。

解析：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=，因此12a x x ≥++-存在实数解，有3a ≥，(,3][3,)-∞-+∞。

3一、当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，那么m 的取值范围是 。

答案：]5,(-∞。

3二、假设不等式2229tt a t t +≤≤+在]2,0(∈t 上恒成立，那么实数a 的取值范围 是 。

答案：]1,132[。

33、设m 为实数，假设22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，那么m 的取值范围是 。

广州市2018年高三数学综合测试（一）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分．考试时间 120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数和差化积公式2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ-+-=--+=+-+=--+=+正棱台、圆台的侧面积公式：S 台侧=l c c )'(21+，其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式V 台体=h S S S S )''(31++，其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）满足条件M ⊂{0，1，2}的集合M 共有A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个（2）在等比数列{a n }中，a 1=31，公比q =31，前n 项和为S n ，则∞→n lim S n 的值为 A ．0 B ．31 C ．21 D ．1 （3）(x 2＋x1)12的展开式的常数项是 A ．第四项 B ．第五项 C ．第八项 D ．第九项（4）与圆 (x －2)2＋y 2=2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（5）复数z 1、z 2在复平面上对应的点分别是A 、B ，O 为坐标原点，若z 1=2 (cos60°＋i sin60°)·z 2，|z 2|=2，则△AOB 的面积为A ．43B ．23C ．3D ．2（6）函数y =lg11-x 的图象大致是A B C D（7）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列命题中正确的是A ．α∥β⇒l ⊥mB ．α⊥β⇒l ∥mC ．l ∥β⇒m ⊥αD ．l ⊥m ⇒α∥β（8）在极坐标系中，已知等边三角形ABC 的两个顶点A (2，4π)、B (2，45π)，顶点C 在直线32)43cos(=-πθρ上，那么顶点C 的极坐标是 A ．(4732π，) B ．(2，47π) C ．（2，43π） D ．（23，43π） （9）设函数f (x )的定义域为（－∞，＋∞），对于任意x 、y ∈（－∞，＋∞），都有f (x ＋y )= f (x )＋f (y )，当x >0时，f (x ) <0，则函数f (x ) 为A ．奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数B ．奇函数，且在（－∞，＋∞）上为减函数C ．偶函数，且在（－∞，0）上为增函数，在（0，＋∞）上为减函数D ．偶函数，且在（－∞，0）上为减函数，在（0，＋∞）上为增函数（10）函数y =sin 2x ＋2cos x (3π≤x ≤34π)的最大值和最小值分别是 A ．最大值为47，最小值为－41 B ．最大值为47，最小值为－2C ．最大值为2，最小值为－41 D ．最大值为2，最小值为－2（11）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC =13，BB 1=BC =6，E 、F 为侧棱AA 1上的两点，且EF =3，则多面体BB 1C 1CEF 的体积为A ．30B ．18C ．15D ．12（12）三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.（13）已知函数f (x )=1＋(21)1－x ，则f －1(5)= ． （14）已知圆台的轴截面面积为Q ，母线与底面成30°的角，则该圆台的侧面积为 ．（15）某校有一个由18名学生组成的社区服务小组，其中女生多于男生．现从这个小组内推选二女一男共3名学生参加某街道的科普宣传活动，不同的推选方法的总数恰为该组内女生人数的33倍，则这个小组内女生人数为 （用数字作答）．（16）长度为a 的线段AB 的两个端点A 、B 都在抛物线y 2=2px (p >0，且a >2p )上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）解不等式 1＋log 21(x ＋4)< 2log 21(x －2) ．（18）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 22C B －cos2A =27． （Ⅰ）求角A 的度数；（Ⅱ）若a =3，b ＋c =3，求b 和c 的值．（19）（本小题满分12分）正方形ABCD 的边长为a ，E 、F 分别为边AD 、BC 的中点（如图甲所示）．现将该正方形沿其对角线BD 折成直二面角，并连结AC 、EF ，得到如图乙所示的棱锥A －BCD ．在棱锥A －BCD 中，（Ⅰ）求线段AC 的长；（Ⅱ）求异面直线EF 和AB 所成角的大小．图 甲 图 乙（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =21，且经过点M (－1，23)． （Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若椭圆C 上有两个不同的点P 、Q 关于直线y =4x ＋m 对称，求m 的取值范围．（21）（本小题满分14分）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感．据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人．到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8670人．问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．（22）（本小题满分14分）已知函数f (x )=12 a a(a x －a －x )，其中a >0，a ≠1． （Ⅰ）判断函数f (x )在 (－∞，＋∞) 上的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明； （Ⅱ）若n ∈N ，且n ≥2，证明f (n )>n ．。

数学（理科）试题 A 第 1 页 共 11 页( )2018 届广州市高三年级调研测试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACBBAADDBACC二．填空题13．1014．415．416．11π三、解答题17．（1）解法 1：由已知，得 a cos B + b cos A = 2c cos A ．由正弦定理，得sin A c os B + sin B cos A = 2 sin C cos A ，… ........................................................... 1 分 即sin( A + B ) = 2 s in C cos A ．… ........................................................................................................... 2 分因为sin( A + B ) = sin(- C ) = sin C ， ..................................................................................................... 3 分所以sin C = 2 s in C cos A ．... .. (4)分因为sin C ≠ 0 ，所以cos A =π1． .......................................................................................................... 5 分2因为0 < A < π ，所以 A = ．… .......................................................................................................... 6 分 3a 2 + c 2 -b 2解法 2：由已知根据余弦定理，得 a ⨯= 2c - b ⨯ 2acb 2 +c 2 - a 2 2bc．… ........................... 1 分 即b 2 + c 2 - a 2 = bc ． .............................................................................................................................. 3 分 b 2 + c 2 - a 21 所以cos A = = 2bc ． .............................................................................................................. 5 分2数学（理科）试题 A 第 2 页 共 11 页⎪ 因为0 < A < π ， 所以 A = π ．… .......................................................................................................... 6 分3（2）解法 1：由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，得bc + 4 = b 2 + c 2 ，… .............................................................................................................................. 7 分即(b + c )2 = 3bc + 4 ． ............................................................................................................................... 8 分⎛ b + c ⎫2因为bc ≤ ，… .............................................................................................................................. 9 分2 ⎝ ⎭ 所以(b + c )2 ≤3 (b + c )2 +4 ． 4 即b + c ≤ 4 （当且仅当b = c = 2时等号成立）．... .. (11)分所以 a + b + c ≤ 6 ．故△ ABC 周长 a + b + c 的最大值为6 ．… ........................................................................................... 12 分 解法 2：因为a =b =c= 2R ，且 a = 2 ， A = π，sin A sin B sin C 3所以b =sin B ，c = 3sin C ．… ............................................................................................... 8 分 34 34 3 ⎡ ⎛ 2π ⎫⎤所以 a + b + c = 2 + (sin B + sin C ) = 2 +3 3 ⎢sin B + sin 3 - B ⎪⎥ ............................. 9 分 ⎣⎝ ⎭⎦= 2 + 4 s in ⎛B + π ⎫ ．…................................................................................................... 10 分6 ⎪ ⎝ ⎭2π π因为0 < B < ，所以当 B = 3 时， a + b + c 取得最大值6 ． 3故△ ABC 周长 a + b + c 的最大值为6 ．… ........................................................................................... 12 分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设 PC 中点为 F ，P连接OF ， EF ．因为O ， F 分别为 AC ， PC 的中点， FE所以OF PA ，且OF = 1PA ，2A因为 DE P A ，且DE = 1 PA ， O2BC所以OF D E ，且OF = DE ． ............................................................................................................ 1 分4 3 4 3 D数学（理科）试题 A 第 3 页 共 11 页2 3 2 2 ⋅ 2所以四边形OFED 为平行四边形，所以ODE F ，即 BD E F ． ................................................... 2 分 因为 PA ⊥ 平面 ABCD ， BD ⊂ 平面 ABCD ，所以 PA ⊥BD ． 因为 ABCD 是菱形，所以 BD ⊥ AC ．因为 PA AC = A ，所以 BD ⊥ 平面 PAC ． ....................................................................................... 4 分 因为 BD E F ，所以 EF ⊥ 平面PAC ． ................................................................................................. 5 分 因为 FE ⊂ 平面 PCE ，所以平面 PAC ⊥ 平面 PCE ． ......................................................................... 6 分 （2）解法 1：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为45o，所以∠PCA = 45 ，所以 AC = PA = 2 ． ............................................................................................... 7 分 所以 AC = AB ，故△ ABC 为等边三角形． 设 BC 的中点为 M ，连接 AM ，则 AM ⊥ BC ．以 A 为原点， AM ， AD ， AP 分别为 x ，y ，z 轴，建立空间直 角坐标系 A - xyz （如图）．则 P (0,0，2) ， C( 3,1，0)， E (0,2，1)， D (0,2，0)，PC = ( 3,1，- 2)， CE = (- 3,1，1)， DE = (0,0，1)．…………………………9 分设平面 PCE 的法向量为 n = {x 1, y 1, z 1}，⎧n = 0, ⎧ 3x + y - 2z = 0, ⎪ P C ⎪ 1 1 1 则⎨n 即⎨ ⎩⎪ CE = 0, ⎪⎩- 3x 1 + y 1 + z 1 = 0.令 y = 1, 则⎧⎪x 1 = 3,所以 n = ( 3,1, 2)．… ...................................................................................... 10 分1⎨ ⎩ z 1 = 2.设平面CDE 的法向量为 m = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，⎧⎪m ⋅ = 0, ⎧⎪z 2 = 0,⎧⎪ y = 3,DE 则⎨ 即⎨令 x = 1, 则⎨ 2 所以m = (1, 3, 0)．… .......... 11 分 m ⋅= 0, ⎪- 3x + y + z = 0. 2 ⎪ z = 0. ⎩⎪ CE⎩ 2 2 2 ⎩ 2设二面角 P - CE - D 的大小为，由于为钝角，所以cos= - cos n , m = -= - = - 6 ．4所以二面角 P - CE - D 的余弦值为-6 ．… ................................................................................... 12 分4解法 2：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为45 ，且 PA ⊥ 平面 ABCD ，z PEADy BMCxn ⋅ m n ⋅ m数学（理科）试题 A第 4 页 共 11 页3 2 ⋅ 2⎨ A⎪m ⋅ 5所以∠PCA = 45 ，所以 AC = PA = 2 ．… ........................................................................................... 7 分 因为 AB = BC = 2 ，所以∆ABC 为等边三角形． 因为 PA ⊥ 平面 ABCD ，由（1）知 PA //OF ， 所以OF ⊥ 平面 ABCD ．因为OB ⊂ 平面 ABCD ， OC ⊂ 平面 ABCD ，所以OF ⊥ OB 且OF ⊥OC ． 在菱形 ABCD 中， OB ⊥ OC ．以点O 为原点， OB ， OC ， OF 分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系O - xyz （如图）．则O (0, 0, 0), P (0, -1, 2), C (0,1, 0), D (- 3, 0, 0), E (- 3, 0,1) ，则 CP = (0, -2, 2), CE = (- 3, -1,1), CD = (- 3, -1, 0) ． (9)分设平面 PCE 的法向量为 n = (x 1 , y 1 , z 1 ) ，⎧⎪n ⋅ CP = 0, ⎧⎪-2 y 1 + 2z 1 = 0, z 则⎨n ⋅ = 0, 即⎨- 3x - y + z P= 0.⎩⎪ CE⎩⎪ 1 1 1 令 y = 1 ，则⎧ y 1 = 1,，则法向量 n = (0,1,1) ．……………10 分E1 ⎨z = 1. ⎩ 1设平面CDE 的法向量为 m = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，DO⎧⎪m ⋅ C E = 0, 则⎨ ⎩ CD = 0, ⎧⎪- 即⎨⎪⎩- 3x 2 - y 2 + z 2 = 0, 3x 2 - y 2 = 0.xBCy令 x 2= 1，则⎧⎪ y 2 = - ⎪⎩z 2 = 0.3,则法向量 m = (1, - 3, 0)．… ................................................................. 11 分设二面角 P - CE - D 的大小为，由于为钝角，则cos= - cosn , m = -= - = - 6 ． 4所以二面角 P - CE - D 的余弦值为-6 ． ................................................................................... 12 分419．解：（1）由已知数据可得 x =2 + 4 + 5 + 6 + 8= 5, y =3 +4 + 4 + 4 + 5= 4 ．… ............................1 分 55因为∑( xi- x )( y i - y ) = (-3) ⨯ (-1) + 0 + 0 + 0 + 3 ⨯1 = 6 ..................................................... 2 分i =1n ⋅ m n ⋅ m数学（理科）试题 A 第 5 页 共 11 页∑ i =1 5(x - x )2i(-1)2 + 02 + 02 + 02 + 122 ∑ i =1n n( x - x ) 2∑ i =1( y - y )2ii2 5 ⋅ 2 910= (-3)2 + (-1)2 + 02 +12 + 322………………………………………………3 分= ．… ....................................................................... 4 分∑( x i- x )( y i- y )6所以相关系数 r =i =1= =≈ 0.95 ．….................... 5 分因为 r > 0.75 ，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系． ................................................................. 6 分（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装 1 台，最多安装 3 台光照控制仪．①安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元．… ............................................................................... 7 分 ②安装 2 台光照控制仪的情形：当 X >70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =3000-1000=2000 元，当 30<X ≤70 时，2 台光照控制仪都运行，此时周总利润 Y =2×3000=6000 元， 故Y 的分布列为所以 EY = 2000 ⨯ 0.2 + 6000 ⨯ 0.8 = 5200 元． (9)分③安装 3 台光照控制仪的情形：当 X >70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =1×3000-2×1000=1000 元， 当 50≤X ≤70 时，有 2 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =2×3000-1×1000=5000 元， 当 30<X ≤70 时，3 台光照控制仪都运行，周总利润 Y =3×3000=9000 元， 故Y 的分布列为Y 1000 5000 9000 P0．20．70．1所以 EY = 1000 ⨯ 0.2 + 5000 ⨯ 0.7 + 9000 ⨯ 0.1 = 4600 元． (11)分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪．… ................................... 12 分5 ∑ i =15( y - y )2inY 2000 6000 P0．20．8数学（理科）试题 A 第 6 页 共 11 页+= ⎝ 1 1 ⎝⎭ 2 ⎪20．解：（1）因为椭圆C 的离心率为 1 ，所以 c = 1，即a = 2c ．… ................................................... 1 分2a 23y 2x 2又 a 2= b 2+c 2，得b 2=3c 2，即b 2= a 2，所以椭圆C 的方程为 4 a 2 + 3 = 1 ． a 2 4⎛ 2 6 ⎫ 2把点 1, 3 ⎪ 代人C 中，解得 a = 4 ．… ........................................................................................... 2 分⎝ ⎭2 所以椭圆C 的方程为y x 1 ．… ...................................................................................................3 分 43（2）解法 1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y = kx +2 ，⎧ y = kx + 2, 由 2 2得(3k 2 + 4) x 2 +12kx = 0 ．… ................................................................................... 4 分 ⎨ x + y= 1, ⎪⎩ 3 4设 A ( x A , y A ) ， B ( x B , y B ) ，则有 x A = 0 ， x B = -12k 3k 2 + 4，… ........................................................... 5 分所以 y B =-6k 2 + 8 ．3k 2+ 4⎛ -12k -6k 2 + 8 ⎫所以 B 3k 2 + , 4 3k 2+ 4 ⎪ ..................................................................................................... 6 分 ⎭因为 MO = MA ，所以 M 在线段OA 的中垂线上，所以 y = 1，因为 y = kx+ 2 ，所以 x = - 1 ，即 M ⎛ - 1 ,1⎫．… ........................................... 7 分M M M Mkk ⎪ ⎝ ⎭设 H (x H, 0) ，又直线 HM 垂直l ，所以 k MH = - ，即k 1 - 1 - x kH = - ．… ................................... 8 分 k所以 x= k - 1 ，即 H ⎛ k - 1 , 0 ⎫．… ................................................................................................... 9 分Hkk ⎪ ⎝ ⎭⎛ -12k 4 - 9k 2 ⎫⎛ 1 ⎫又 F 1 (0,1) ，所以 F 1B = 3k 2 +, 2⎪ ， F 1H = k - , -1⎪ ． ⎝4 3k + 4 ⎭ ⎝ k ⎭-12k ⋅⎛1 ⎫ 4 - 9k2 因为 F 1B ⋅ F 1H = 0 ，所以 3k 2 + 4 k - k ⎪ -3k 2 + 4= 0 ，… ....................................................... 10 分数学（理科）试题 A 第 7 页 共 11 页2 632 63⎝ ⎭⎪ ( 2)⎪解得 k 2 = 8．…....................................................................................................................................... 11 分3所以直线l 的方程为 y = ±x + 2 ．… ........................................................................................... 12 分解法 2：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程 y = kx +2 ，⎧ y = kx + 2, 由 2 2得(3k 2 + 4) x 2 +12kx = 0 ，… ................................................................................... 4 分 ⎨ x + y= 1, ⎪⎩ 3 4设 A ( x A , y A ) ， B ( x B , y B ) ，则有 x A = 0 ， x B = -12k 3k 2 + 4．… .......................................................... 5 分所以 y B =-6k 2 + 8 ．3k 2+ 4⎛ -12k 4 - 9k 2 ⎫所以 F 1B = 3k 2 + , 4 3k 2 + 4 ⎪ ， F 1H = ( x H , -1) ．… ....................................................................... 6 分-12k 4 - 9k 2 9k 2 - 4因为 F 1B ⋅ F 1H = 0 ，所以 3k 2 + 4 ⋅ x H - 3k 2 + 4 = 0 ，解得 x H = 12k．… ............................... 7 分2 2 22 因为 MO = MA ，所以 x M + y M = x M + ( y M - 2) 1 ⎛ 9k 2 - 4 ⎫，解得 y M = 1．… ......................................... 8 分所以直线 MH 的方程为 y = - k x - 12k ⎪ ． (9)分⎧ y = kx + 2,⎪⎝ ⎭9k 2 + 20 联立⎨ y = - 1 ⎛ x - 9k 2 - 4 ⎫ ⎪ , 解得 y M = 12 (1+ k 2 ) ．… .............................................................. 10 分 ⎩k ⎝ 9k 2 + 20 12k ⎭ 2 8由 y M = = 1 ，解得 k = ．… .......................................................................................... 11 分 12 1+ k 3所以直线l 的方程为 y = ±x + 2 ．… ........................................................................................... 12 分21．解：（1）函数 f ( x ) 的定义域为(0, +∞) ．数学（理科）试题 A 第 8 页 共 11 页a- a2 - a 2 - a 2 1 1 a = ⎧ ⎛ 1 ⎫ ⎫ e e ⎭⎝ ⎭ 当b = 2 时， f ( x ) = a ln x + x 2 ，所以 f '( x ) = a + 2x = 2x 2+ a ．… ........................................... 1 分xx① 当 a > 0 时， f '( x ) > 0 ，所以 f ( x ) 在(0, +∞) 上单调递增，… ............................................... 2 分- 1⎛ - 1 ⎫⎛ - 1 ⎫2取 x 0 = e a， 则 f e a ⎪ = -1 + e a ⎪ < 0 ，… ................................................................................... 3 分⎝ ⎭ ⎝ ⎭（或：因为0 < x <且 x < 时，所以 f ( x ) = a ln x + x 2 < a ln x + a < a ln + a = 0 ．）e0 0 0 0e因为 f (1) = 1，所以 f ( x 0 ) f (1) < 0 ，此时函数 f ( x ) 有一个零点．… .......................................... 4 分②当 a < 0 时，令 f '( x ) = 0 ，解得 x =当0 < x 时， f '( x ) < 0 ，所以 f ( x ) 在⎛ 上单调递减；当 x f '( x ) > 0 ，所以 f ( x ) 在⎝ a ⎫ - , +∞ 上单调递增．2 ⎪ ⎭要使函数 f ( x ) 有一个零点，则 f= a l n - = 0 即 a = -2e ．… ............................... 5 分 2 综上所述，若函数 f ( x ) 恰有一个零点，则 a = -2e 或a > 0 ．… ....................................................... 6 分（2）因为对任意 x , x ∈⎡1 , e ⎤，有 f ( x ) - f ( x) ≤ e - 2 成立，1 2⎢⎣ e ⎥⎦1 2 因为 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) ≤ ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max - ⎡⎣ f ( x )⎤⎦min ，所以 ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max - ⎡⎣ f ( x )⎤⎦min ≤ e - 2 ．… .............................................................................................. 7 分 因为 a + b = 0 ，则 a = -b ． 所以 f ( x ) = -b ln x + x b，所以 f '( x ) =-b + bx b -1 = b (x b -1) ．x x当0 < x < 1时， f '( x ) < 0 ，当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ， 所以函数 f ( x ) 在⎡1 ,1⎫上单调递减，在(1, e ]上单调递增， ⎡ f (x )⎤= f (1) = 1，… ................. 8 分⎢⎣ e ⎪⎣ ⎦min因为 f ⎛ 1 ⎫ = b + e -b与 f (e ) = -b + e b ，所以⎡ f ( x )⎤max f , f (e ) ．… ............... 9 分⎪ ⎣ ⎦max ⎨ ⎪ ⎬ ⎩ ⎝ ⎭ ⎭- a 2 - a 2 - a2数学（理科）试题 A 第 9 页 共 11 页222 e ⎪e ⎪ ⎩ 设 g (b ) =f (e ) - f ⎛ 1 ⎫ = e b - e -b- 2b (b > 0) ， ⎝ ⎭则 g '(b ) = e b + e -b - 2 > 2 - 2 = 0 ．所以 g (b ) 在(0, +∞) 上单调递增，故 g (b ) > g (0) = 0 ，所以 f (e ) > f ⎛ 1 ⎫ ．⎝ ⎭从而 ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max = 分f (e )= -b + e b ． ............................................................................................................. 10 所以-b + e b -1 ≤ e - 2 即e b - b - e +1 ≤ 0 ， 设(b ) =e b - b - e +1 (b > 0) ，则'(b ) =e b -1．当b > 0 时，'(b ) > 0 ，所以(b ) 在(0, +∞) 上单调递增．又(1) = 0 ，所以e b - b - e +1 ≤ 0 ，即为(b ) ≤(1) ，解得b ≤ 1 ． ............................................... 11 分因为b > 0 ，所以b 的取值范围为(0,1] ．............................................................................................... 12 分22．解：（1）因为曲线C 的参数方程为⎧ x = cos（为参数），1⎧ x ' = 2x⎨y = 2 sin⎧ x ' = 2 cos 因为⎨ y ' = y . ，则曲线C 2 的参数方程⎨ y ' = 2 s in . ． ........................................................................ 2 分⎩ ⎩所以C 2 的普通方程为 x '2 + y '2 = 4 ． ...................................................................................................... 3 分所以C 2 为圆心在原点，半径为 2 的圆． ................................................................................................... 4 分所以C 2 的极坐标方程为2= 4 ，即= 2 ． ........................................................................................ 5 分（2）解法 1：直线l 的普通方程为 x - y - 10 = 0 ． ....................................................................................... 6 分|2cos- 2sin - 10||2 2cos(π- 10|曲线C 2 + ) 上的点M 到直线l 的距离d = =4 ． ................ 8 分当cos⎛+ π ⎫ =1即=2k π - π (k ∈ Z ) 时， d 取到最小值为|2 - 10| =5 - 2 ． ...................9 分4 ⎪ 4⎝ ⎭当cos ⎛+ π ⎫ = -1即= 3π + 2k π(k ∈ Z ) 时， d 取到最大值为|2 2 +10| =2 + 5．………10 分4 ⎪ 4 2 ⎝ ⎭解法 2：直线l 的普通方程为 x - y - 10 = 0 ．....................................................................................... 6 分2 e b ⋅ e -b2 2数学（理科）试题 A 第 10 页 共 11 页2 2 2 2 ⎨ ⎩⎨⎨ ⎩⎨a - 3 ≥ 1，因为圆C 2 的半径为 2，且圆心到直线l 的距离 d == 5 ，… ................................... 7 分因为5 > 2 ，所以圆C 2 与直线l 相离．… ........................................................................................... 8 分所以圆C 2 上的点 M 到直线l 的距离最大值为 d + r = 5 + 2 ，最小值为 d - r = 5 - 2 ．…10 分23．解：（1）当 a = 1 时， f (x ) =| x +1| ． ................................................................................................... 1 分①当 x ≤ -1时，原不等式可化为-x -1 ≤ -2x - 2 ，解得 x ≤ -1． ................................................. 2 分 ②当-1 < x < - 1时，原不等式可化为 x +1 ≤ -2x - 2 ，解得 x ≤ -1，此时原不等式无解．……3 分2③当 x ≥ - 1时，原不等式可化为 x +1 ≤ 2x ，解得 x ≥ 1． .......................................................... 4 分2 综上可知，原不等式的解集为{x x ≤ -1 或 x ≥ 1} ． .......................................................................... 5 分⎧3 - a , （2）解法 1：①当 a ≤ 3 时， g (x ) = ⎪-2x - a - 3, ⎪a - 3, 所以函数 g ( x ) 的值域 A = [a - 3, 3 - a ] ，x ≤ -3, - 3 < x < -a , x ≥ -a .……………………………………6 分因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧a - 3 ≤ -2解得 a ≤ 1 ． ................................................................................... 7 分⎩3 - a ≥ 1，⎧3 - a , ②当 a > 3 时， g ( x ) = ⎪2x + a + 3, ⎪a - 3, x ≤ -a , - a < x < -3, x ≥ -3.…………………………………………………8 分所以函数 g ( x ) 的值域 A = [3 - a , a - 3] ， 因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧3 - a ≤ -2解得 a ≥ 5 ． ................................................................................... 9 分⎩综上可知， a 的取值范围是(-∞,1] [5, +∞) ． .................................................................................. 10 分解法 2：因为| x +a | - | x +3 | ≤ ( x +a ) - (x +3) = a - 3 ， ................................................................... 7 分所以 g (x ) = f (x )- | x +3 |=| x +a | - | x +3 |∈[- | a - 3 |,| a - 3 |] ． | 0 - 0 - 10 |2数学（理科）试题 A 第 11 页 共 11 页 ⎨ 所以函数 g (x ) 的值域 A = [- | a - 3 |,| a - 3 |]． (8)分因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧- | a - 3 |≤ -2 解得 a ≤ 1 或 a ≥ 5 ． ⎩| a - 3 |≥ 1，所以a 的取值范围是(-∞,1] [5, +∞) ． ............................................................................................. 10 分。

概率、算法及复数与推理证明 012 1.二项式  1   的展开式中第四项的系数为  x5．【答案】 802 3  【解析】第四项 T4  C5      80 x 3 ，系数为 80  x31 2. ( x  ) 6 的展开式中，系数最大的项为第______项. x【答案】3 或 51 【解析】 ( x  ) 6 的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中 x间项为第 4 项其系数为负，则第 3，5 项系数最大.3. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰截机起降飞行训练中，有 5 架歼  15 飞机准备着舰如果 甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法 A. 12 【答案】C2 【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素 A ，有 A2 种方法； A 与戊机形成三个“空” ，把丙、 2 丁 两 机 插 入 空 中 有 A32 种 方 法 ； 考 虑 A 与 戊 机 的 排 法 有 A2 种方法。

由乘法原理可知共有 2 2  24 种不同的着舰方法。

A2 A32 A2B. 18C. 24D. 484. 2012 年 10 月 18 日全国第二届绿色运动会在池洲隆垦开幕。

本次 的主题是“绿色、低碳、环保”，为大力宣传这一主题，主办方 个字做成灯笼悬挂在主会场（如图所示） ，大会结束后，要将这 6 笼撤下来，每次撤其中一列最下面的一个，则不同的撤法种数为（ A．36 【答案】D B．54 C．72 D．90 ）大 会 将这 6 个 灯【解析】5. 已知 Sn  {A A  (a1 ,a2 ,a 3 ,,an )， ai  2012 或 2013 ， i  1, 2,n} (n  2) ，对于 U , V  Sn ，d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ） 令 U  (2013, 2013, 2013, 2013, 2013) ， 存在 m 个 V  S5 ， 使得 d (U ,V )  2 ， 则 m= （Ⅱ）令 U  (a1 , a2 , a3 ,2 【解析】 ： （Ⅰ） C5  10 ；r （Ⅱ）根据（Ⅰ）知使 d (u, vk )  r 的 vk 共有 Cn 个；, an ) ，若 V  Sn ，则所有 d (U ,V ) 之和为．0 1 2 ∴  d (u, vk ) = 0 Cn  1 Cn  2 Cn k 12nn  n Cn d (u, v ) = n Ck 1 k2nn nn1 n 2  (n 1) Cn  (n  2) Cn 0  0 Cn两式相加得 d (u, v ) = n 2k 1 k2nn 16.从 0,1,2,3 中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 答)． 【答案】10 【解析】考虑三位数“没 0”和“有 0”两种情况。

不等式01一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出如下四个命题：①||||yz xy z y x >⇒>>；②y x y a x a >⇒>22； ③d bc aabcd d c b a >⇒≠>>0,,； ④2011b ab b a <⇒<<．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B2．设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为( )A ． 5B ． 3C ． 7D ． -8【答案】C3．下列命题中正确的是（ ）A ．1y x x =+的最小值是2B．2y = 2C ．423(0)y x x x =-->的最大值是2-D ．423(0)y x x x =-->的最小值是2-【答案】C4．若log 2x+log 2y=3，则2x+y 的最小值是( )A ．24B ．8C ．10D ．12 【答案】B5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，b d c d a d c c d b a b c b a a S +++++++++++=，则有( )A ． 0＜S ＜1B ． 1＜S ＜2C ． 2＜S ＜ 3D ． 3＜S ＜4【答案】B6．下列各式中，最小值等于2的是( )A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+ 【答案】D7．已知a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．b>c>aB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a 【答案】A8．当a<0时,不等式42x 2+ax-a 2<0的解集为( )A ．{x|7a <x<-6a } B ．{x|-6a <x<7a } C ．{x|7a <x<-72a } D ．空集【答案】A9．设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b c x y z++=++ ( ) A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C10．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是( )A ．1a b >-B ．1a b >+C ．||||a b >D ．22a b >【答案】A11．今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。

绝密★启用前 试卷类型：A2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔讲试卷类型（A ）填涂在答题卡相应的位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式V=31(S 1+S 2+21s s )h,其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N=A. {0}B. {0，2}C. {-2,0} D {-2,0,2}2.定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sinx 中，奇函数的个数是A. 4B.3C. 2D.13.若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A. （2,4）B.（2,-4）C. (4,-2) D(4,2)4.已知离散型随机变量X 的分布列为1 2 3 P则X 的数学期望E （X ）=A.B. 2C. D 35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是XA．4 B．C．D．66．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥ n B．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥ n，m α，n β，则α⊥βD．若m α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是A．= 1B．= 1C．= 1D．= 18.设整数n≥4，集合X=｛1，2，3……，n｝。

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018届广州市高三年级调研测试理科数学2017．12 本试卷共5页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则A B =IA ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =A ．25B ．35CD3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．65．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A ．212-B ．92-C ．92D ．2126．在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是 A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x -7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．23B ．12C ．16D ．138．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种10()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A ．6πB ．12πC ．4π D ．3π 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为 ABC．1 D．2+12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1xf x x =--；()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩()411,0,2120,0.xx x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b P ，则向量a 的模为________． 14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若20182a =，则2017201912a a +的最小值为________． 15．过抛物线C ：22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =，3BF =，则p 的值为________．16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，cos (2)cos a B c b A =-． （1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．18.（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，EDBCA PPA ⊥底面ABCD ，ED PA P ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面角D CE P --的余弦值．19.（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时） 3050X << 5070X ≤≤ 70X >光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221y x a b+=()0a b >>的上焦点x y （百斤）54386542（千克）O为1F ，椭圆C 的离心率为12，且过点1,3⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H •=u u u r u u u u r ，且MO MA =，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+． （1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围．2018届广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．4 15．4 16．11π三、解答题17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．错误!未找到引用源。

不等式01一、（均值定理）已知0,0a b >>，那么11a b++ C ）A 、2B 、C 、4D 、5二、（均值定理）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，那么以下代数式中值最大的是（ A ）A 、1122a b a b +B 、1212a a b b +C 、1221a b a b +D 、123、（不等式解法）不等式252(1)x x +-≥的解集是（ D ） A 、132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B 、132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C 、(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， D 、(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，4、（不等式解法）不等式x x x x 22log log +<+的解集是（ A ）A 、)1,0(B 、),1(+∞C 、),0(+∞D 、),(+∞-∞五、设,a b R ∈，假设||0a b ->，那么以下不等式中正确的选项是（ D ）A 、0b a ->B 、330a b +<C 、220a b -<D 、0b a +>六、（不等式解法）当01a <<时，以下不等式必然成立的是（ A ）A 、(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>B 、(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+C 、(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++D 、(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+7、（均值定理）设0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，那么11a b +的最小值为（ B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、14 八、（均值定理）设c b a ,,是互不相等的正数，那么以劣等式中不恒成立．．．．的是（ C ）A 、||||||c b c a b a -+-≤-B 、a a a a 1122+≥+C 、21||≥-+-b a b aD 、a a a a -+≤+-+213 九、（不等式成立问题）在R 上概念运算⊗：)1(y x y x -=⊗，假设对任意实数x ，不等式1)()(<+⊗-a x a x 恒成立，那么（ C ）A 、11<<-a B 、20<<a C 、2321<<-a D 、2123<<-a 10、（不等式成立问题）假设不等式|4||3|x x a -+-<的解集为非空集合，那么实数a的取值范围是（ C ）A 、7a >B 、17a <<C 、1a >D 、1a ≥1一、（不等式成立问题）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为（ A ）A 、(,1][4,)-∞-+∞B 、(,2][5,)-∞-+∞C 、[1,2]D 、(,1][2,)-∞+∞1二、（不等式成立问题）已知a b +<<10，假设关于x 的不等式22)()(ax b x >-的解集中的整数恰有3个，那么（ C ）A 、01<<-aB 、10<<aC 、31<<aD 、63<<a13、关于x 的方程229430x x a -----⋅-=有实根的充要条件是（ D ）A 、4a ≥-B 、40a -≤<C 、0a <D 、30a -≤<解析：令23,(01)x t t --=<≤，那么原方程变成240t t a --=，方程229430x x a -----⋅-=有实根的充要条件是方程240t t a --=在(0,1]t ∈上有实根，再令2()4f t t t a =--，其对称轴21t =>，那么方程240t t a --=在(0,1]t ∈上有一实根，另一根在(0,1]t ∈之外，因此舍去，即(0)0030(1)030f a a f a >->⎧⎧⇒⇒-≤<⎨⎨≤--≤⎩⎩。

不等式0221、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥。

若A B =∅，则实数a 的取值范围是 。

)3,2(22、不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 。

答案：{}(322,322)1x ∈---+⋃。

23、不等式0212<---x x 的解集为 。

答案：{|11}x x -<<。

24、不等式x x >-|23|的解集是 。

答案：),1()21,(+∞⋃-∞。

25、若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则s y x =-的最小值为 。

答案：6-。

26、,0<∃x ，使得不等式t x x --<22成立，则实数t 的取值范围是 。

答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,49 27、若关于x 的不等式62<+ax 的解集为()2,1-，则实数a 的值等于 。

答案：—4。

28、如果关于x 的不等式34x x a ---<的解集不是空集，则实数a 的取值范围 是 。

答案：()+∞-,129、若不等式aa x x 4|3||1|+≥-++对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范 围是 。

答案：}2{)0,(⋃-∞。

30、若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 。

解析：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=，所以12a x x ≥++-存在实数解，有3a ≥，(,3][3,)-∞-+∞。

31、当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 。

答案：]5,(-∞。

32、若不等式2229tt a t t +≤≤+在]2,0(∈t 上恒成立，则实数a 的取值范围 是 。

答案：]1,132[。

33、设m 为实数，若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则m 的取值范围是 。

概率、算法及复数与推理证明0332.设随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，函数ξ++=x x x f 4)(2没有零点的概率是21，=μ ( ) A. 1 B. 4 C. 2 D. 不能确定【答案】B【解析】由ξ++=x x x f 4)(2没有零点则解得故1640,ξ∆=-<4,ξ>,又正态分布是对称的，所以选择B 1(4)2P ξ>==4μ，33.设随机变量服从正态分布，若，则的值为 ξ)4,3(N )2()32(+>=-<a P a P ξξa A ．5 B ．3C ．D ．3537【答案】D【解析】因为服从正态分布，所以随机变量关于直线对称，因为ξ)4,3(N ξ3x =，所以23,2x a x a =-=+关于3x =对称，所以，)2()32(+>=-<a P a P ξξ23232a a -++=即，解得，选D.37a =73a =34.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是A. B. C. D.13122356【答案】C【解析】从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.1122244263C C P C ===35.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中之多命中一次的概率为1625，则该队员的每次罚球命中率为A.12 B.35 C.34 D.45【答案】B【解析】设该队员的每次罚球命中率为p ，则两次罚球中至多命中一次的概率为21p -=1625，解得p =35，故选B.36.某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的ξ514757512C +CC C 是（ ）A. B. C. D.()1P ξ=()1P ξ≤()1P ξ≥()2P ξ≤【答案】B【解析】,,所以，选B.()1P ξ==1457512C C C 57512C (0)C P ξ==514757551212C C C(0)(1)C C P P ξξ=+==+37. 已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，且8.0)4(=<ξP ，则)20(<<ξP 等于 .【答案】0.3【解析】8.0)4(=<ξP ，则2.0)4(=>ξP ，又分布图像关于直线2=x ， 2.0)4()0(=>=<ξξP P ，则6.0)40(=<<ξP ， 3.0)20(=<<ξP 38.已知833833,322322=+=+， ,15441544=+，若t a t at a ,(,66=+均为正实数），类比以上等式，可推测a,t 的值，则t a -=_________.【答案】-29【解析】类比等式可推测35,6==t a ，则.29-=-t a 39.已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…,则第57个数对是_______【答案】5【解析】发现如下规律，即可得第57个数对是(2,10)（1，1）和为2，共1个（1，2），（2，1）和为3，共2个（1，3），（2，2），（3，1）和为4，共3个（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）和为5，共4个（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）和为6，共5个40.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图1212(,)(,)x x A x a B x a (1)x y a a =>象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A （x 1，sinx l ）、121222x x x x a a a ++>B （x 2，sinx 2）是函数y=sinx （x∈（0，））的图象上的不同两点，则类似π地有____成立．【答案】；1212sin sin sin 22x x x x++<【解析】函数在 x∈（0，）的图象上任意不同两点，依据图象可知，sin y x =π线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的下方，所以.1212sin sin sin 22x x x x ++< 41.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明11111111...2(...2341242n n n n-+-++=++++++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n =（ ）时等式成立A ．1n k =+B ．2n k =+C ．22n k =+D ．2(2)n k =+【答案】B【解析】根据数学归纳法的步骤可知，则2(≥=k k n 为偶数）下一个偶数为2k +，故答案为B.42.已知数列{}n a 满足11log (1)n n a a n ==+，*2()n n N ≥∈，.定义：使乘积12a a ⋅⋅…k a ⋅为正整数的*()k k N ∈叫做“简易数”.则在[12012]，内所有“简易数”的和为 .43.已知i 为虚数单位，则复数i i 对应的点位于23(-)A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】，其对应的点为，位于第一象限2i(23i)=2i 3i 2i 332i --=+=+(3,2) 44.复数z 满足2)1(=-i z （其中i 为虚单位），则=z .【答案】i +1【解析】i i i z +=+=-=12)1(212 45.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的值为2=x y A ． B. C. D.591441【答案】D【解析】依程序运算得满足“是”，输出.,41,14==y x 46.阅读下面算法语句：则执行图中语句的结果是输出 .【答案】i=4【解析】这是当型循环语句，输出结果不是数字4，而是i=4.提醒学生注意细节.47. 若复数，则等于i z -=2zz 10+A. B. C. D. i -2i +2i 24+i 36+【答案】D 【解析】().3652102210210i i i i i z z +=+++=-++=+48. 若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )k A. 4 B. 5 C. 6D. 7i=1WHILE i *(i+1)<20 i=i+1WEND PRINT “i=”；i END【答案】B【解析】由题意，得：5,016,18,24,32,41,5n k n k n k n k n k n k ==⇒==⇒==⇒==⇒==⇒==⇒终止当时，执行最后一次循环；2n = 当时，循环终止，这是关键。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+答案:A2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22BB =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10。

不等式011、（均值定理）已知0,0a b >>，则11a b++ C ）A 、2B 、、4 D 、52、（均值定理）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（ A ）A 、1122a b a b +B 、1212a a b b +C 、1221a b a b +D 、12 3、（不等式解法）不等式252(1)x x +-≥的解集是（ D ） A 、132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B 、132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C 、(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ，， D 、(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ ，，4、（不等式解法）不等式x x x x 22log log +<+的解集是（ A ）A 、)1,0(B 、),1(+∞C 、),0(+∞D 、),(+∞-∞5、设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ D ）A 、0b a ->B 、330a b +<C 、220a b -<D 、0b a +>6、（不等式解法）当01a <<时，下列不等式一定成立的是（ A ）A 、(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> B 、(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+C 、(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++D 、(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+7、（均值定理）设0,0a b >>，若是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ B ）A 、8B 、4C 、1D 、14 8、（均值定理）设c b a ,,是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ C ）A 、||||||c b c a b a -+-≤-B 、aa a a 1122+≥+ C 、21||≥-+-ba b a D 、a a a a -+≤+-+213 9、（不等式成立问题）在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，若对任意实数x ，不等式1)()(<+⊗-a x a x 恒成立，则（ C ）A 、11<<-aB 、20<<aC 、2321<<-aD 、2123<<-a 10、（不等式成立问题）若不等式|4||3|x x a -+-<的解集为非空集合，则实数a的取值范围是（ C ）A 、7a >B 、17a <<C 、1a >D 、1a ≥11、（不等式成立问题）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为（ A ）A 、(,1][4,)-∞-+∞B 、(,2][5,)-∞-+∞C 、[1,2]D 、(,1][2,)-∞+∞12、（不等式成立问题）已知a b +<<10，若关于x 的不等式22)()(ax b x >-的解集中的整数恰有3个，则（ C ）A 、01<<-aB 、10<<aC 、31<<aD 、63<<a。

2由（1）和（2）可得a 4b 4a + b-（丁）4 （当且仅当小时取等号）不等式证明例1:设a b . 0，求证： a b b aa b a b .分析：发现作差后变形、判断符号较为困难。

考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式。

a b证明：冷“山宀（尹a b °「旦1,-b °.:（与心1a b -abb. a a b baba■ 1. 乂. a b 0，…a b a b .。

a b4 4b ，求证玄鸟一（旦b）4（当且仅当a 二b 时取等号） 2 2分析：这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中 有（旦b ）4，展开后很复杂。

若使用综合法，从重要不等式：a 2・b 2_2ab 出发,2再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。

证明：：a 2 F 2 _2ab （当且仅当a 2 =b 2时取等号）/卄4 a 2+b 2两边同加(a 4 b 4):2(a 4 b 4^ (a 2 b 2)2，即： 一-一 -岸 —)2 (1) 又：：a 2 F 2 _2ab （当且仅当a=b 时取等号），两边同加（a 2 b 2） :2（a 2 b 2） _ （a ' b ）2 打宀）2…（叮）2-号）4（ 2）a _bb说明：本题考查不等式的证明方法 比较法 （作商比较法）。

作商比较法证明 不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小。

例2：对于任意实数a 、因为 a 2，所以，log a a -1 0,log a a 1 • 0，所以,说明：此题参考用综合法证明不等式。

综合法证明不等式主要是应用均值不等 式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后 可以考虑用综合法来解。

例 3:若 0 ：■ X :: 1，证明 log a (^x) |log a (1 x)，( a 0且a = 1 )。

几何证明选讲、不等式选讲1、在ABC ∆中，,D E 分别为,AB AC 上的点，且//DE BC ，ADE ∆的面积是22cm ， 梯形DBCE 的面积为26cm ，则:DE BC 的值为（ ）A 、、1:2 C 、1:3 D 、1:4解析：ADEABC ∆∆，利用面积比等于相似比的平方可得答案B 。

2、如图所示，在ABC ∆和DBE ∆中，53AB BC AC DB BE DE ===，若ABC ∆与DBE ∆的周长之差为10cm ，则ABC ∆的周长为（ ）A 、20cmB 、254cmC 、503cm D 、25cm2、 3、 4、 解析：利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D 。

3、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且DB AD 3=，设COD θ∠=，则2tan 2θ＝（ ）A 、13B 、14C 、4-D 、3解析：设半径为r ，则31,22AD r BD r ==，由2CD AD BD =⋅得CD =，从而 3πθ=，故21tan 23θ=，选A 。

4、如图，为测量金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面，在材料表面留下一个凹坑，现测得凹坑直径为10mm ，若所用钢珠的直径为26mm ，则凹坑深度为（ ）A 、1mmB 、2mmC 、3mmD 、4mm解析：依题，222OA AM OM =+，12OM mm =，故13121CM mm =-=，选A 。

5、如图，11BB AA 与相交与点O, 11//B A AB 且1121B A AB =，若AOB ∆得外接圆直径为1，则11OB A ∆的外接圆直径为 。

25、6、 6、如图所示，AB 为O 的直径，弦BD AC ,交于点P ，若3,1AB CD ==，则sin APD ∠= 。

解析：连结AD ，则sin AD APD AP ∠=，又CDP BAP ∆∆，从而31cos ===∠BA CD PA PD APD ，所以sin 3APD ∠==。