2021-2022年高一上学期期中考试数学试题(无答案)(III)

2021-2022学年山东省泰安市肥城市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1，√3，3}，B ＝{1，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅ B ．{√3} C ．{1，3} D ．{1，√3，3}2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞3n ﹣1，则p 的否定为（ ） A ．∀n ∉N ，n 2≤3n ﹣1 B ．∃n ∉N ，n 2＞3n ﹣1C ．∀n ∈N ，n 2≤3n ﹣1D ．∃n ∈N ，n 2≤3n ﹣13．已知﹣2≤a ≤4，1≤b ≤3，则a ﹣2b 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣2] B ．[﹣3，1] C ．[﹣8，2] D ．[﹣7，7]4．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝x 2与f(x)=(√x)4B ．f(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0与g （t ）＝|t |C ．y =√x 2−1与y =√x +1⋅√x −1D ．f （x ）＝x ﹣1与g(x)=x 2x−15．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，若f （m ）＞f （1），则m 的取值范围为（ ） A ．m ＞1 B ．m ＜﹣1 C ．﹣1＜m ＜1 D ．m ＞1或m ＜﹣16．已知a ≥0，设P =√a +1−√a ，Q =√a +2−√a +1，则（ ） A ．P ＞Q B ．P ≥Q C ．P ＜Q D ．P ≤Q7．设函数f(x)=x +4x，则（ ） A ．f （x ）的最大值为﹣4B ．f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减C ．f （x ）的最小值为4D ．f （x ）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减8．已知函数f(x)={x 2+(32m −1)x +8，x ＜2−m+1x，x ≥2是R 上的减函数，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＜﹣1 B ．m ≥﹣2 C ．﹣3≤m ≤﹣2 D ．﹣2＜m ＜﹣1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知U 为全集，则下列说法正确的是（ ） A ．若A ∩B ＝∅，则（∁U A ）∪（∁U B ）＝UB ．若A ∪B ＝∅，则A ＝B ＝∅C ．若A ∪B ＝∅，则（∁U A ）∩（∁U B ）＝UD ．若A ∩B ＝∅，则A ＝∅或B ＝∅10．命题“∃x ∈[1，2]，2x 2﹣a ≤0”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ≥2 B ．a ≥0 C ．a ≥1 D ．a ≤2√211．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣3＜x ＜2}，下列说法正确的是（ ） A ．a ＜0B ．a +b +c ＞0C ．不等式bx +c ＞0的解集为{x |x ＞6}D ．不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为{x|−13＜x ＜12}12．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1、x 2，当x 1≠x 2时，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数，能被称为“理想函数”的有（ ） A ．f(x)=1xB ．f （x ）＝﹣x 3C ．f(x)={−x 2(x ≥0)x 2(x ＜0)D ．函数f （x ）满足f(x −1x)=x 2+1x 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(2，12)，则f （x ）＝ ．14．已知函数f （x ）的定义域是[0，1]，值域是[1，2]，则这样的函数可以是f （x ）＝．15．2021年是中国共产党成立100周年，某中学为了庆祝建党100周年，组织了一系列活动，体育比赛就是其中一项．已知该中学有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是名．16．已知a＞0，b＞0，c＞0，a2﹣ab+9b2﹣5c＝0，则cab 的最小值是.当cab取最小值时，m2−3m≥a+b−13c恒成立，则m的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设a、b、c∈R．证明：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是a＝b＝c．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x（2﹣x）＞0}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）当m＝1时，求∁U（A∪B）；（2）若B≠∅，且B⊆A，求m的取值范围．19．（12分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1﹣x）．（1）求f[f（2）]的值；（2）求f（x）在R上的解析式．20．（12分）已知函数g(x)=x2+k(k∈R)．x（1）讨论g（x）的奇偶性；（2）当k＝2时，判断g（x）在[1，+∞）上的单调性，并给出证明．21．（12分）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战．某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游．2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点．该村原有400户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元．调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业．据统计，若动员x（x＞0，x∈N）户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高x100，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为4(a−x25)(a＞0)万元．在动员x户从事乡村旅游后，还要确保剩下的400﹣x户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先400户从事种植的所有农户年总收入．（1）求x的取值范围；（2）要使从事乡村旅游的这x户的年总收入始终不高于400﹣x户从事种植业的所有农户年总收入，求a的最大值．（参考数据：√3≈115.5，400115≈3.48，400116≈3.45．）22．（12分）若f（x）是定义在R上的二次函数，对称轴x=−1，且f（1）＝3，f（0）＝1．2（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）＝kx2+2kx+1（k≠0），若对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣1，2]，f（x1）＝g（x2），求实数k的取值范围．2021-2022学年山东省泰安市肥城市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1，√3，3}，B ＝{1，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{√3}C ．{1，3}D ．{1，√3，3}解：∵集合A ={1，√3，3}，B ＝{1，3}， ∴A ∩B ＝{1，3}． 故选：C ．2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞3n ﹣1，则p 的否定为（ ） A ．∀n ∉N ，n 2≤3n ﹣1 B ．∃n ∉N ，n 2＞3n ﹣1C ．∀n ∈N ，n 2≤3n ﹣1D ．∃n ∈N ，n 2≤3n ﹣1解：命题是特称命题，则否定是全称命题， 即∀n ∈N ，n 2≤3n ﹣1， 故选：C ．3．已知﹣2≤a ≤4，1≤b ≤3，则a ﹣2b 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣3，1]C ．[﹣8，2]D ．[﹣7，7]解：∵1≤b ≤3，∴﹣6≤﹣2b ≤﹣2， 又﹣2≤a ≤4，∴﹣8≤a ﹣2b ≤2． 故a ﹣2b 的取值范围是[﹣8，2]． 故选：C ．4．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝x 2与f(x)=(√x)4B ．f(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0与g （t ）＝|t |C ．y =√x 2−1与y =√x +1⋅√x −1D ．f （x ）＝x ﹣1与g(x)=x 2x −1解：对于A ，f （x ）＝x 2的定义域为R ，g （x ）=(√x)4=x 2的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数．对于B，f（x）={x，x≥0−x，x＜0的定义域为R，g（t）＝|t|={t，t≥0−t，t＜0，的定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．对于C，y=√x2−1的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），y=√x+1•√x−1=√x2−1的定义域为[1，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数．对于D，f（x）＝x﹣1的定义域为R，g（x）=x2x−1＝x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数．故选：B．5．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，若f（m）＞f（1），则m的取值范围为（）A．m＞1B．m＜﹣1C．﹣1＜m＜1D．m＞1或m＜﹣1解：因为f（x）为偶函数，则不等式f（m）＞f（1）可变形为f（|m|）＞f（1），又f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以|m|＞1，解得m＜﹣1或m＞1，所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：D．6．已知a≥0，设P=√a+1−√a，Q=√a+2−√a+1，则（）A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q解：∵√a+2+√a+1＞√a+1+√a，∴√a+2+√a+1√a+1+√a，即√a+2−√a+1＜√a+1−√a，即Q＜P，故选：A．7．设函数f(x)=x+4x，则（）A．f（x）的最大值为﹣4B．f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减C．f（x）的最小值为4D．f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减解：函数f(x)=x+4x的定义域为{x|x≠0}，其图象如图所示：由图象可知，对于A ，f （x ）无最大值，故选项A 错误；对于B ，f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，故选项B 正确； 对于C ，f （x ）无最小值，故选项C 错误；对于D ，f （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故选项D 错误． 故选：B ．8．已知函数f(x)={x 2+(32m −1)x +8，x ＜2−m+1x ，x ≥2是R 上的减函数，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ≥﹣2C ．﹣3≤m ≤﹣2D ．﹣2＜m ＜﹣1解：函数f(x)={x 2+(32m −1)x +8，x ＜2−m+1x，x ≥2是R 上的减函数，则{1−3m 22≥2m +1＜04+(32m −1)×2+8≥−m+12， 解得﹣3≤m ≤﹣2，即实数m 的取值范围是[﹣3，﹣2]， 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知U 为全集，则下列说法正确的是（ ）A ．若A ∩B ＝∅，则（∁U A ）∪（∁U B ）＝UB ．若A ∪B ＝∅，则A ＝B ＝∅C ．若A ∪B ＝∅，则（∁U A ）∩（∁U B ）＝UD ．若A ∩B ＝∅，则A ＝∅或B ＝∅解：对于A ，当A ∩B ＝∅时，（∁U A ）∪（∁U B ）＝∁U （A ∩B ）＝U ，选项A 正确； 对于B ，当A ∪B ＝∅时，显然有A ＝B ＝∅，选项B 正确；对于C ，当A ∪B ＝∅时，（∁U A ）∩（∁U B ）＝∁U （A ∪B ）＝U ，选项C 正确；对于D ，当A ∩B ＝∅时，说明集合A 与B 没有公共元素，但A 、B 不一定是空集，选项D 错误． 故选：ABC ．10．命题“∃x ∈[1，2]，2x 2﹣a ≤0”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ≥2B ．a ≥0C ．a ≥1D ．a ≤2√2解：命题“∃x ∈[1，2]，2x 2﹣a ≤0”为真命题， 则a ≥（2x 2）min ，x ∈[1，2]， ∴a ≥2．∴命题“∃x ∈[1，2]，2x 2﹣a ≤0”为真命题的一个必要不充分条件是：a ≥0或a ≥1． 故选：BC ．11．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣3＜x ＜2}，下列说法正确的是（ ） A ．a ＜0 B ．a +b +c ＞0C ．不等式bx +c ＞0的解集为{x |x ＞6}D ．不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为{x|−13＜x ＜12}解：根据已知条件可知{a ＜0−3+2=−ba −3×2=ca ，可得b ＝a ，c ＝﹣6a ，所以a +b +c ＝﹣4a ＞0，故A ，B 选项正确；对于C 选项bx +c ＞0，化简可得x ＜6，故C 选项错误； 对于D 选项cx 2+bx +a ＜0，化简可得6x 2﹣x ﹣1＜0， 解得−13＜x ＜12，故D 选项正确． 故选：ABD ．12．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1、x 2，当x 1≠x 2时，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数，能被称为“理想函数”的有（ ） A ．f(x)=1xB ．f （x ）＝﹣x 3C ．f(x)={−x 2(x ≥0)x 2(x ＜0)D ．函数f （x ）满足f(x −1x )=x 2+1x 2解：对于①：对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，则f （x ）为奇函数； 对于②：对于定义域上的任意x 1、x 2，当x 1≠x 2时，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则f （x ）为减函数．对于A ，函数f(x)=1x为奇函数，但不是定义域上的单调减函数，故选项A 错误； 对于B ，函数f （x ）＝﹣x 3为奇函数，且在定义域R 上为单调减函数，故选项B 正确； 对于C ，函数f(x)={−x 2(x ≥0)x 2(x ＜0)的图象如图所示，所以f （x ）为奇函数，且在定义域R 上为单调减函数，故选项C 正确． 对于D ，函数f （x ）满足f(x −1x)=x 2+1x 2=(x −1x )2+2，所以f （x ）＝x 2+2，函数f （x ）为偶函数，故选项D 错误． 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(2，12)，则f （x ）＝1x．解：设幂函数f （x ）＝x α，根据图象经过点(2，12)，可得2α=12，∴α＝﹣1，则f （x ）＝x ﹣1=1x， 故答案为：1x ．14．已知函数f （x ）的定义域是[0，1]，值域是[1，2]，则这样的函数可以是f （x ）＝ x +1（答案不唯一） ． 解：∵函数f （x ）的定义域是[0，1]，值域是[1，2]， ∴函数f （x ）的一个解析式可以是：f （x ）＝x +1．故答案为：f（x）＝x+1（答案不唯一）．15．2021年是中国共产党成立100周年，某中学为了庆祝建党100周年，组织了一系列活动，体育比赛就是其中一项．已知该中学有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是46名．解：设该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是x名，则只喜欢足球的学生数为60﹣x，只喜欢游泳的学生数为82﹣x，所以60﹣x+82﹣x+x＝96，解得x＝46名，故答案为：46．16．已知a＞0，b＞0，c＞0，a2﹣ab+9b2﹣5c＝0，则cab的最小值是1.当cab取最小值时，m2−3m≥a+b−13c恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．解：因为a2﹣ab+9b2﹣5c＝0，即a2+9b2﹣ab＝5c所以5cab =a2+9b2ab−1=ab+9ba−1≥2√ab⋅9ba−1＝5，当且仅当ab=9ba，即a＝3b时，等号成立，所以cab的最小值是1，当cab 取最小值时，有cab=1，a＝3b，所以c＝3b2，所以m2−3m≥a+b−13c恒成立等价于m2﹣3m≥3b+b−13•3b2＝﹣b2+4b，令f（b）＝﹣b2+4b＝﹣（b﹣2）2+4，则原问题转化为m2﹣3m≥f（b）max，当b＝2时，f（b）max＝4，所以m2﹣3m≥4，解得m≤﹣1或m≥4，所以m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：1；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设a、b、c∈R．证明：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是a＝b＝c．证明：（1）必要性：如果a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0所以（a ﹣b ）＝0，（b ﹣c ）＝0，（c ﹣a ）＝0． 即a ＝b ＝c ．（2）充分性：若a ＝b ＝c ．所以（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0 所以a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca ＝0 所以a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca综上可知：a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca 的充要条件是a ＝b ＝c ．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x （2﹣x ）＞0}，B ＝{x |2m ﹣1≤x ≤m +1}． （1）当m ＝1时，求∁U （A ∪B ）；（2）若B ≠∅，且B ⊆A ，求m 的取值范围．解：（1）集合A ＝{x |x （2﹣x ）＞0}＝{x |x （x ﹣2）＜0}＝{x |0＜x ＜2}， m ＝1时，集合B ＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∪B ＝{x |0＜x ≤2}， 又全集U ＝R ，所以∁U （A ∪B ）＝{x |x ≤0或x ＞2}；（2）若B ≠∅，且B ⊆A ，则{2m −1≤m +12m −1＞0m +1＜2，解得12＜m ＜1，所以m 的取值范围是（12，1）．19．（12分）已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x （1﹣x ）． （1）求f [f （2）]的值；（2）求f （x ）在R 上的解析式．解：（1）f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 可得f （2）＝2×（1﹣2）＝﹣2，f （﹣2）＝﹣f （2）＝2，即有f [f （2）]＝2； （2）设x ＜0，则﹣x ＞0，当x ≥0时，f （x ）＝x （1﹣x ），且f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝x （1+x ）， 所以f （x ）的解析式为f （x ）={x(1+x)，x ＜0x(1−x)，x ≥0．20．（12分）已知函数g(x)=x 2+kx (k ∈R)． （1）讨论g （x ）的奇偶性；（2）当k ＝2时，判断g （x ）在[1，+∞）上的单调性，并给出证明． 解：（1）g （x ）＝x 2+kx （x ≠0），定义域关于原点对称，当k＝0时，g（x）＝x2（x≠0），有g（﹣x）＝g（x），g（x）为偶函数；当k≠0，g（﹣x）＝x2−kx≠g（x），且g（﹣x）≠﹣g（x），g（x）为非奇非偶函数．综上可得，k＝0时，g（x）为偶函数；k≠0时，g（x）为非奇非偶函数；（2）当k＝2时，g（x）＝x2+2x在[1，+∞）上为增函数．证明：设x1＞x2≥1，g（x1）﹣g（x2）＝x12+2x1−x22−2x2=（x1﹣x2）（x1+x2−2x1x2），由x1＞x2≥1，可得x1﹣x2＞0，x1+x2＞2，2x1x2∈（0，2），可得g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），所以g（x）＝x2+2x在[1，+∞）上为增函数．21．（12分）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战．某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游．2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点．该村原有400户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元．调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业．据统计，若动员x（x＞0，x∈N）户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高x100，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为4(a−x25)(a＞0)万元．在动员x户从事乡村旅游后，还要确保剩下的400﹣x户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先400户从事种植的所有农户年总收入．（1）求x的取值范围；（2）要使从事乡村旅游的这x户的年总收入始终不高于400﹣x户从事种植业的所有农户年总收入，求a的最大值．（参考数据：√3≈115.5，400115≈3.48，400116≈3.45．）解（1）依题意可得，4（400﹣x）（1+x100）≥4×400，整理可得x2﹣300x≤0，解得0≤x≤300，又∵x＞0，x∈N*，∴x的取值范围为{x|0≤300，x∈N*}．（2）从事生猪养殖的x户农民年总收入为4(a−x25)x万元，（400﹣x）户从事茶叶种植的农民总年收入为4(400−x)(1+x100)万元，由题意可得，4(a−x25)x≤4(400−x)(1+x100)（0＜x≤300，x∈N*，a＞0）恒成立，即ax≤400+3x+3x2100恒成立，即a≤400x+3x100+3恒成立，∵函数y =400x +3x 100+3 在(02003) 上单调递减，在（√3，300]上单调递增，∴当x =2003时，y 最小， 又∵x ∈N *，∴x ＝115或x ＝116， 当x ＝115时，y =400115+3×115100+3≈3.48+3.45+3=9.93， 当x ＝116时，y =400116+3×116100+3≈3.45+3.48+3＝9.93， ∴0＜a ≤9.93，故a 的最大值为9.93．22．（12分）若f （x ）是定义在R 上的二次函数，对称轴x =−12，且f （1）＝3，f （0）＝1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0），若对∀x 1∈[﹣2，2]，∃x 2∈[﹣1，2]，f （x 1）＝g （x 2），求实数k 的取值范围．解：（1）设f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵对称轴x =−12，f （1）＝3，f （0）＝1，∴{−b 2a =−12a +b +c =3c =1，∴{a =1b =1c =1，∴f （x ）＝x 2+x +1．（2）由于对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 所以f （x ）的值域为g （x ）的值域的子集，而由（1）知f （x ）=(x +12)2+34∈[34，7]，x ∈[﹣2，2]，①当k ＞0时，函数g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0）的对称轴为x ＝﹣1，∴g （x ）在[﹣1，2]上递增，∴g （x ）∈[1﹣k ，8k +1]，∴{1−k ≤348k +1≥7，∴k ≥34，②当k ＜0时，g （x ）在[﹣1.2]上递减，g （x ）∈[8k +1，1﹣k ]，∴{8k +1≤341−k ≥7，∴k ≤﹣6， 综上所述，k ∈（﹣∞，﹣6]∪[34，+∞）．。

2021-2022学年北京市首师大附中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（每小题5分，共50分。

）1．下列所给元素与集合的关系正确的是（ ）A ．π∈RB ．0∈N *C ．√2∈QD ．|﹣5|∉Z2．已知集合A ＝{﹣1，1}，B ＝{﹣1，0，1，2}，那么A ∩B 等于（ ）A ．{0，1}B ．{0}C ．{﹣1，1}D ．{﹣1，0，1，2}3．已知a ＞b ，c ＞d ，下列不等式中必成立的一个是（ ）A ．a +c ＞b +dB ．a ﹣c ＞b ﹣dC ．ac ＞bdD ．a c ＞b d4．命题“对任意a ∈R ，都有a 2≥0”的否定为（ ）A ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0B ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0C ．存在a ∈R ，使得a 2＜0D ．存在a ∉R ，使得a 2＜05．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2B ．f(x)=x +1，g(x)=x 2−1x−1C ．f （x ）＝x 2，g （x ）＝（x +1）2D ．f(t)=|t|，g(x)=√x 26．“x ＝2”是“x 2＝4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）A ．如果a ＝b ，那么a +c ＝b ﹣cB ．如果a 2＝6a ，那么a ＝6C ．如果a ＝b ，那么a c =b cD ．如果a c =b c ，那么a ＝b8．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则（ ）A ．A ⫋B B ．B ⫋AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅9．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3+ax +b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程x 3+ax +b ＝0没有实根B ．方程x 3+ax +b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3+ax +b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3+ax +b ＝0恰好有两个实根10．关于x 的不等式x 2﹣2ax ﹣8a 2＜0（a ＞0）的解集为（x 1，x 2），且x 2﹣x 1＝15，则a ＝（ ）A ．52B ．72C ．154D ．152二、填空题（每小题5分，共25分）11．函数f(x)=√x 1−x 的定义域是 ．12．已知x ＞0，y ＞0，x +y ＝3，则xy 的最大值为 ．13．能说明“若a ＞b ，则a 2＞b 2”为假命题的一组a ，b 的值依次为 ．14．定义运算“⊗”x ⊗y =x 2−y 2xy （x ，y ∈R ，xy ≠0）．当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y +（2y ）⊗x 的最小值为 ．15．顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 个工作日．三.计算题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）16．（15分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}和集合B＝{x||x﹣2|＜2}．求：（1）A∩B；（2）A∪B；（3）（∁R A）∩B．17．（15分）（1）比较1与2xx 2+1的大小；（2）求方程组{4x 2−9y 2=152x −3y =5的解集； （3）已知数轴上，A （x ），B （﹣1），且线段AB 的中点到原点的距离大于5，求x 的取值范围．18．（15分）（1）求不等式x2+4x+1＞0的解集；（2）解不等式：（x﹣a）（x﹣2）＞0；（3）关于x的不等式ax2+ax+1＞0的解集为R，求实数a的取值范围．19．（14分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．20．（12分）设集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，若（2，1）∈A，求a的取值范围．21．（14分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系分别为s甲=1 100v2−110v，s乙=1200v2−120v．试判断甲、乙两车有无超速现象．2021-2022学年北京市首师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题5分，共50分。

2021-2022学年山东省青岛市四区市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}，B ＝{0，1，2，3，4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，2，3} B ．{1，2，3} C ．{1，2，3，4} D ．{0，1，2，3，4}2．函数f(x)=√2x −8+1x−3的定义域是（ ） A ．（3，+∞） B ．[3，+∞） C ．（4，+∞） D ．[4，+∞）3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V 和五分记录法的数据L 满足V ＝10L ﹣5，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（注：√1010≈1.25） A ．0.6 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.54．已知函数f （x ）和g （x ）的定义域为{2，3，4，5}，其对应关系如表，则g （f （x ））的值域为（ ）A ．{2，3}B ．{2，4}C ．{3，4}D ．{2，3，4}5．若a =(12)32，b =(34)14，c =(34)34，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a6．已知函数f(x)={(2−a)x +1，x ≥1a x，x ＜1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．1＜a ＜32C ．1＜a ＜2D ．1＜a ≤327．已知函数f （x ）为偶函数，且对任意互不相等的x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，且f （﹣2）＝0，则xf （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（2，+∞）8．已知函数f （x ）为实数集上的增函数，且满足f （f （x ）﹣2x ）＝3，则f （2）＝（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f （x ）＝x 3 C ．f （x ）＝2|x |D ．f(x)=1x 210．已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则（ ） A ．1a ＜1bB ．(12)a＜(12)b C ．3a ﹣b ＜1 D ．a 3＞b 311．已知幂函数f （x ）的图象经过点(2，√2)，则下列命题正确的是（ ） A ．函数f （x ）为增函数 B ．函数f （x ）的值域为[0，+∞）C ．函数f （x ）为奇函数D ．若0＜x 1＜x 2，则f(x 1+x 22)＞f(x 1)+f(x 2)212．下列说法正确的是（ ） A ．“若2a ＞2b ，则a 2＞b 2”是真命题B ．已知集合A ，B 均为实数集R 的子集，且∁R B ⊆A ，则（∁R A ）∪B ＝BC ．对于函数y ＝f （x ），x ∈R ，“y ＝f （x +1）是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1轴对称”的充要条件D ．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣mx +1＜0”的否定是真命题，则实数m 的取值范围是﹣2≤m ≤2三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．计算4×(16)−12+(2√2)43−√33×913=．14．已知函数f（x）＝（e x+ke﹣x）x2的图象关于原点中心对称，则实数k＝．15．已知0＜x＜54，则√x(5−4x)的最大值为．16．在1872年，“戴金德分割”结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足A∪B＝Q，A∩B＝∅，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，则称这样的A与B为戴金德分割，请给出一组满足A无最大值且B无最小值的戴金德分割．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U＝R，集合A={x∈R|13＜(13)x＜9}，集合B＝{x∈R|x2﹣2x﹣a≤0}，集合C＝{x∈R|m﹣1＜x＜2m}，A∩B＝{x∈R|﹣1≤x＜1}．（1）求集合B；（2）求（∁R B）∪A；（3）若B∪C＝B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知偶函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(−2)=32，当x∈（0，+∞）时，函数f(x)=x−m x．（1）求实数m的值；（2）当x∈（﹣∞，0）时，求函数f（x）的解析式；（3）利用定义判断并证明函数f（x）在区间（0，+∞）的单调性．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（m+2）x+2m，m∈R．（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，求实数m的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x）＞0．20．（12分）某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料，由大数据分析得到该产品的性能指标值y（y值越大产品性能越好）与这种新型合金材料的含量x（单位：克）的关系：当0≤x＜8时，y是x的二次函数；当x≥8时，y=(1)x−t．测得的部分数据如表所示：2（1）求y关于x的函数解析式；（2）求该新型合金材料的含量x为何值时产品性能达到最佳．21．（12分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x+1+31﹣x．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意的x∈R，不等式f（2x）﹣mf（x）+6≥0恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）若对于任意x1，x2∈R，使得x1﹣x2∈W，都有f（x1）﹣f（x2）∈W，则称f（x）是W陪伴的．（1）判断f（x）＝3x﹣1是否为[0，+∞）陪伴的，并证明；（2）若f（x）＝a x（a＞0，a≠1）是[0，+∞）陪伴的，求a的取值范围；（3）若f（x）是{2}陪伴的，且是（0，+∞）陪伴的，求证：f（x）是（2，4）陪伴的．2021-2022学年山东省青岛市四区市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{0，1，2，3，4}解：集合A＝{x|x2﹣4x＜0}＝{x|0＜x＜4}，B＝{0，1，2，3，4}，所以A∩B＝{1，2，3}．故选：B．2．函数f(x)=√2x−8+1x−3的定义域是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（4，+∞）D．[4，+∞）解：由题意得：{2x−8≥0x−3≠0，解得：x＞3，故函数的定义域是（3，+∞），故选：A．3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足V＝10L﹣5，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（注：√1010≈1.25）A．0.6B．0.8C．1.2D．1.5解：在V＝10L﹣5中，L＝4.9，所以V＝104.9﹣5，即lgV＝﹣0.1，解得V＝10﹣0.1=1100.1=11010=11.25≈0.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：B．4．已知函数f（x）和g（x）的定义域为{2，3，4，5}，其对应关系如表，则g（f（x））的值域为（）解：g （f （2））＝g （4）＝2，g （f （3））＝g （2）＝4，g （f （4））＝g （5）＝4，g （f （5））＝g （2）＝4，所以g （f （x ））的值域为{2，4}． 故选：B ．5．若a =(12)32，b =(34)14，c =(34)34，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a解：∵y =(34)x 在R 上是减函数，∴(34)14＞(34)34＞(34)1=34＞12， 又∵(12)32＜(12)1=12，∴(34)14＞(34)34＞(12)32， 即b ＞c ＞a ， 故选：C ．6．已知函数f(x)={(2−a)x +1，x ≥1a x ，x ＜1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．1＜a ＜32C ．1＜a ＜2D ．1＜a ≤32解：∵函数f （x ）在R 上单调递增，∴当x ≥1，x ＜1分别递增，∴{2−a ＞01＜a(2−a)×1+1≥a 1，解得：1＜a ≤32．故选：D ．7．已知函数f （x ）为偶函数，且对任意互不相等的x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，且f （﹣2）＝0，则xf （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（2，+∞）解：因为对任意互不相等的x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 不等式xf （x ）＜0，即{x ＞0f(x)＜0或{x ＜0f(x)＞0，又f （x ）为偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为单调递减函数，且f（﹣2）＝f（2）＝0，则{x＞0f(x)＜f(2)或{x＜0f(x)＞f(−2)，解得0＜x＜2或x＜﹣2，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选：A．8．已知函数f（x）为实数集上的增函数，且满足f（f（x）﹣2x）＝3，则f（2）＝（）A．3B．4C．5D．6设f（x）﹣2x＝a，则f（x）＝2x+a，∴f（a）＝3，∴f（a）＝2a+a＝3，∴a＝1．∴f（x）＝2x+1，∴f（2）＝5，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x3C．f（x）＝2|x|D．f(x)=1x2解：对于A，函数为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故选项A正确；对于B，函数为奇函数，故选项B错误；对于C，函数为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故选项C正确；对于D，函数为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故选项D错误．故选：AC．10．已知a，b∈R且a＞b，则（）A．1a ＜1bB．(12)a＜(12)bC．3a﹣b＜1D．a3＞b3解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但1a ＞1b，故A错误，对于B，∵y＝f（x）=(12)x在R上单调递减，又∵a＞b，∴f（a）＜f（b），即(12)a＜(12)b，故B正确，对于C，∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴3a﹣b＞30＝1，故C错误，对于D，y＝g（x）＝x3在R上单调递增，∵a＞b，∴g（a）＞g（b），即a3＞b3，故D正确．故选：BD．11．已知幂函数f（x）的图象经过点(2，√2)，则下列命题正确的是（）A．函数f（x）为增函数B．函数f（x）的值域为[0，+∞）C．函数f（x）为奇函数D．若0＜x1＜x2，则f(x1+x22)＞f(x1)+f(x2)2解：设幂函数的解析式为：f（x）＝xα，代入（2，√2），得α=12，故f（x）=√x，α=12＞0，故A正确；函数f（x）在[0，+∞）单调递增，故f（x）的最小值是0，函数的值域是[0，+∞），故B正确；函数f（x）的定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是奇函数，故C错误；根据函数是凸函数，得D正确；故选：ABD．12．下列说法正确的是（）A．“若2a＞2b，则a2＞b2”是真命题B．已知集合A，B均为实数集R的子集，且∁R B⊆A，则（∁R A）∪B＝BC．对于函数y＝f（x），x∈R，“y＝f（x+1）是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于直线x＝1轴对称”的充要条件D．若命题“∃x∈R，x2﹣mx+1＜0”的否定是真命题，则实数m的取值范围是﹣2≤m≤2解：2a＞2b⇒a＞b，取a＝0，b＝﹣1，则a2＞b2不成立，故A错误；集合A，B均为实数集R的子集，且∁R B⊆A，则∁R A）⊆B，故（∁R A）∪B＝B，故B正确；函数y＝f（x），x∈R，y＝f（x+1）是偶函数，则y＝f（x+1）的图像关于y轴对称，向右平移1个单位得y＝f（x）图像，所以y＝f（x）关于x＝1对称；反之若y＝f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，向左平移1个单位得y＝f（x+1）的图像，则y＝f（x+1）关于y轴对称，故y＝f（x+1）是偶函数，故C正确；命题“∃x ∈R ，x 2﹣mx +1＜0”的否定是：∀x ∈R ，x 2﹣mx +1≥0，若为真命题，只需Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．计算4×(1625)−12+(2√2)43−√33×913= 6 ． 解：原式＝4×54+232×43−313×323=5+4﹣3＝6． 故答案为：6．14．已知函数f （x ）＝（e x +ke ﹣x ）x 2的图象关于原点中心对称，则实数k ＝ ﹣1 ．解：函数f （x ）＝（e x +ke ﹣x ）x 2的图象关于原点中心对称，可得f （x ）为R 上的奇函数． 由y ＝x 2为偶函数，可得g （x ）＝e x +ke﹣x为R 上的奇函数．则g （0）＝0，即1+k ＝0，解得k ＝﹣1． 故答案为：﹣1．15．已知0＜x ＜54，则√x(5−4x)的最大值为54．解：由0＜x ＜54，得0＜5﹣4x ＜5， 所以√x(5−4x)=√14×4x ⋅(5−4x)≤12√(4x+5−4x 2)2=54， 当且仅当4x ＝5﹣4x ，即x =58时等号成立， 所以√x(5−4x)的最大值为54．故答案为：54．16．在1872年，“戴金德分割”结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空子集A 与B ，且满足A ∪B ＝Q ，A ∩B ＝∅，A 中的每一个元素都小于B 中的每一个元素，则称这样的A 与B 为戴金德分割，请给出一组满足A 无最大值且B 无最小值的戴金德分割 A ＝{x ∈Q |x ＜π}，B ＝{x ∈Q |x ≥π} ．解：根据题意只要以无理数作为分界定出一组即可满足题意：如A ＝{x ∈Q |x ＜π}，B ＝{x ∈Q |x ≥π}． 故答案为：A ＝{x ∈Q |x ＜π}，B ＝{x ∈Q |x ≥π}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U ＝R ，集合A ={x ∈R|13＜(13)x ＜9}，集合B ＝{x ∈R |x 2﹣2x ﹣a ≤0}，集合C ＝{x ∈R |m ﹣1＜x ＜2m }，A ∩B ＝{x ∈R |﹣1≤x ＜1}．（1）求集合B ； （2）求（∁R B ）∪A ；（3）若B ∪C ＝B ，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵13＜(13)x ＜9，∴13＜(13)x ＜(13)−2，∴﹣2＜x ＜1，∴集合A ＝{x ∈R |﹣2＜x ＜1}， 又∵A ∩B ＝{x ∈R |﹣1≤x ＜1}， ∴﹣1是方程x 2﹣2x ﹣a ＝0的根， ∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣a ＝0得a ＝3， 由x 2﹣2x ﹣3≤0得﹣1≤x ≤3， ∴集合B ＝{x ∈R |﹣1≤x ≤3}；（2）由（1）得，∁R B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}； ∴（∁R B ）∪A ＝{x |x ＜1或x ＞3}； （3）∵B ∪C ＝B ，∴C ⊆B ，①当m ﹣1≥2m ，即m ≤﹣1时，C ＝∅，满足题意， ②当m ﹣﹣1＜2m ，即m ＞﹣1时， ∵C ⊆B ，∴{m −1≥−12m ≤3，解得0≤m ≤32，综上，所求实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[0，32]．18．（12分）已知偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(−2)=32，当x ∈（0，+∞）时，函数f(x)=x −mx ． （1）求实数m 的值；（2）当x ∈（﹣∞，0）时，求函数f （x ）的解析式；（3）利用定义判断并证明函数f （x ）在区间（0，+∞）的单调性． 解：（1）因为函数f （x ）为偶函数，且f(−2)=32， 所以f(2)=2−m2=32，解得m ＝1．（2）设x ∈（﹣∞，0），则﹣x ∈（0，+∞），f(−x)=−x +1x ，因为函数f （x ）为偶函数，所以f(x)=f(−x)=−x +1x， 所以当x ∈（﹣∞，0）时，f(x)=−x +1x ． （3）f （x ）在区间（0，+∞）上为单调递增函数． 证明：设x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=x 1−1x 1−(x 2−1x 2)=(x 1−x 2)+x 1−x 2x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2+1)x 1x 2， 因为x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2， 所以x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞0，x 1x 2+1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在区间（0，+∞）上为单调递增函数． 19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（m +2）x +2m ，m ∈R ．（1）若f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若f （x ）在（﹣∞，3）上单调递减，求实数m 的取值范围； （3）解关于x 的不等式f （x ）＞0．解：（1）因为f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立， 则判别式Δ＝（m +2）2﹣8m ≤0， 即Δ＝m 2﹣4m +4＝（m ﹣2）2≤0， 所以m ＝2；（2）因为函数f （x ）＝x 2﹣（m +2）x +2m 的图象为开口向上的抛物线， 其对称轴为直线x =m+22， 由二次函数图象可知，f （x ）的单调递减区间为(−∞，m+22)， 因为f （x ）在（﹣∞，3）上单调递减，所以m+22≥3，所以m ≥4，即m ∈[4，+∞）；（3）由f （x ）＝x 2﹣（m +2）x +2m ＞0得：（x ﹣m ）（x ﹣2）＞0， 由（x ﹣m ）（x ﹣2）＝0得x ＝m 或x ＝2， ①当m ＝2时，不等式的解集是{x |x ≠2}；②当m ＞2时，不等式的解集是（﹣∞，2）∪（m ，+∞）； ③当m ＜2时，不等式的解集是（﹣∞，m ）∪（2，+∞）； 综上，①当m ＝2时，不等式的解集是{x |x ≠2}；②当m ＞2时，不等式的解集是（﹣∞，2）∪（m ，+∞）；③当m ＜2时，不等式的解集是（﹣∞，m ）∪（2，+∞）．20．（12分）某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料，由大数据分析得到该产品的性能指标值y （y 值越大产品性能越好）与这种新型合金材料的含量x （单位：克）的关系：当0≤x ＜8时，y 是x 的二次函数；当x ≥8时，y =(12)x−t ．测得的部分数据如表所示：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）求该新型合金材料的含量x 为何值时产品性能达到最佳． 解：（1）当0≤x ＜8时，y 是x 的二次函数，设y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， 由x ＝0，y ＝﹣4可得c ＝﹣4， 由x ＝2，y ＝4可得4a +2b +c ＝4①， 由x ＝4，y ＝4可得16a +4b +c ＝4②， 由①②得a ＝﹣1，b ＝6， 即y ＝﹣x 2+6x ﹣4（0≤x ＜8） 当x ≥8时，y =(12)x−t ，由x ＝12，y =14，可得t ＝10，即y =(12)x−10(x ≥8)， 综上，y ={y =−x 2+6x −4，(0≤x ＜8)，y =(12)x−10，(x ≥8)．（2）1°当0≤x ＜8时，y ＝﹣x 2+6x ﹣4＝﹣（x ﹣3）2+5， 所以当x ＝3时，y 取得最大值5，2°x ≥8时，y =(12)x−10单调递减，所以当x ＝8时，y 取得最大值4， 综上所述，当该新型合金材料的含量为3时产品性能达到最佳． 21．（12分）已知函数f （x ）满足2f （x ）+f （﹣x ）＝3x +1+31﹣x ．（1）求f （x ）的解析式；（2）若对于任意的x ∈R ，不等式f （2x ）﹣mf （x ）+6≥0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）因为2f （x ）+f （﹣x ）＝3x +1+31﹣x ，所以2f （﹣x ）+f （x ）＝3﹣x +1+31+x ，联立两式得：3f （x ）＝3x +1+31﹣x ； 所以f （x ）＝3x +3﹣x ；（2）因为f（2x）﹣mf（x）+6≥0，所以32x+3﹣2x﹣m（3x+3﹣x）+6≥0，令t＝3x+3﹣x（t≥2），则t2﹣mt+4≥0，所以，∀t∈[2，+∞），m≤t+4t恒成立，由对勾函数的性质可知，y＝t+4t在[2，+∞）上单调递增，所以y min＝4，所以实数m的取值范围为m≤4，即m∈（﹣∞，4]．22．（12分）若对于任意x1，x2∈R，使得x1﹣x2∈W，都有f（x1）﹣f（x2）∈W，则称f（x）是W陪伴的．（1）判断f（x）＝3x﹣1是否为[0，+∞）陪伴的，并证明；（2）若f（x）＝a x（a＞0，a≠1）是[0，+∞）陪伴的，求a的取值范围；（3）若f（x）是{2}陪伴的，且是（0，+∞）陪伴的，求证：f（x）是（2，4）陪伴的．解：（1）f（x）＝3x﹣1是[0，+∞）陪伴的，证明：任取x1，x2∈R且x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝3（x1﹣x2）∈[0，+∞），所以f（x）是[0，+∞）陪伴的．（2）因为f（x）＝a x（a＞0，a≠1）是[0，+∞）陪伴的，所以，任取x1，x2∈R且x1﹣x2∈[0，+∞），则f(x1)−f(x2)=a x1−a x2∈[0，+∞)，所以a x1−a x2=a x2(a x1a x2−1)=a x2(a x1−x2−1)≥0，因为a x2＞0，所以a x1−x2−1≥0又因为x1﹣x2≥0，所以a＞1，即a的取值范围是（1，+∞）．（3）证明：因为f（x）是{2}陪伴的，任取x1，x2∈R且x1﹣x2＝2，所以f（x+2）﹣f（x）＝2①，所以f（x+4）﹣f（x+2）＝f（x+4）﹣f（x）﹣2＝2，即f（x+4）﹣f（x）＝4②，因为f（x）是（0，+∞）陪伴的，任取x1，x2∈R且x1﹣x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，说明f（x）在R上单调递增，再任取x1，x2∈R且x1﹣x2∈（2，4），即x1＞x2+2，x1＜x2+4，因为f（x）在R上单调递增，所以结合①可得：f（x1）﹣f（x2）＞f（x2+2）﹣f（x2）＝2，所以结合②可得：f（x1）﹣f（x2）＜f（x2+4）﹣f（x2）＝4，即f（x1）﹣f（x2）∈（2，4），综上知：f（x）是（2，4）陪伴的．。

2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 23．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．35．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M6．已知a =312，b =log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B ．C．D．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（）A．f（0）＝0B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x11．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝a t．关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 12．若集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，则a的取值可以是（）A．92B．98C．0D．1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域为．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润．15．不等式0.1x﹣ln（x﹣1）＞0.01的解集为．16．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？21．（12分）定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．（1）求f（0），f（1）；（2）若对于任意x∈[12，3]都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝2x−12x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2解：命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式是特称命题； ∴￢p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”． 故选：D ．3．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：p ：|m +1|＜1等价于﹣2＜m ＜0，∵幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减， ∴m 2﹣m ﹣1＝1，且m ＜0， 解得m ＝﹣1，∴p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．3解：∵幂函数f （x ）＝x 2m ﹣1的图象经过点（2，8），∴22m ﹣1＝8，∴m ＝2， 故选：C ．5．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M解：①当n ＝2m ，m ∈Z 时，x ＝4m +1，m ∈Z ， ②当n ＝2m +1，m ∈Z 时，x ＝4m +3，m ∈Z ， 综合①②得：集合N ＝{x |x ＝4m +1或x ＝4m +3，m ∈Z }， 又集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }， 即M ⫋N ， 故选：A ． 6．已知a =312，b=log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a解；∵a =312∈（1，2），b=log 2√3＞log 2√2=12，∵log 2√3＜log 22=1， ∴12＜b ＜1，c ＝log 92＜log 93=12， 则a ＞b ＞c ， 故选：A ． 7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B．C．D．解：函数y=4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）=4xx2+1，则f（﹣x）=−4xx2+1=−f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①a2+3﹣2a＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，所以a2+3＞2a，故①正确；②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），故②正确；③x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，故③不正确．故恒成立的个数是2．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅解：在A 项中，依题意可得a ＝0，且3b +3＝0，解得b ＝﹣1，此时不等式为﹣x +3＞0，解得x ＜3，故A 项错误；在B 项中，取a ＝1，b ＝2，可得x 2+2x +3＝（x +1）2+2＞0，解集为R ，故B 项正确； 在C 项中，依题意可得a ＜0，且{−1+3=−ba −1×3=3a ，解得{a =−1b =2，符合题意，故C 项正确．在D 选中，当x ＝0时，ax 2+bx +3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D 选错误； 故选：BC ．10．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，下列命题中正确的有（ ） A ．f （0）＝0B ．若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1C ．若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D ．若x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），当x ＝0时，有f （0）＝﹣f （0），变形可得f （0）＝0，A 正确，对于B ，若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x ≥0时，f （x ）≥﹣1，则有﹣x ≤0，f （﹣x ）＝﹣f （x ）≤1，即f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1，B 正确，对于C ，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C 错误，对于D ，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ，D 正确， 故选：ABD ．11．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系为y ＝a t ．关于下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过80m 2D ．若浮萍蔓延到2m 2，4m 2，8m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 2＝t 1+t 3 解：图象可知，函数过点（1，3）， ∴a ＝3，∴函数解析式为y ＝3t ， ∴浮萍每月的增长率为：3t+1−3t3t=2×3t 3t=2，故选项A 正确，∵函数y ＝3t 是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B 错误， 当t ＝4时，y ＝34＝81＞80，故选项C 错误，对于D 选项，∵3t 1=2，3t 2=4，3t 3=8，∴t 1＝log 32，t 2＝log 34，t 3＝log 38， 又∵2log 34＝log 316＝log 32+log 38，∴2t 2＝t 1+t 3，故选项D 正确， 故选：AD ．12．若集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．92B ．98C ．0D ．1解：∵A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，∴若a ＝0，方程等价为﹣3x +2＝0，解得x =23，满足条件． 若a ≠0，则方程满足△＝0，即9﹣8a ＝0，解得a =98．故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数f （3﹣2x ）的定义域为 [12，52] ． 解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]， ∴由﹣2≤3﹣2x ≤2，解得12≤x ≤52．∴函数f （3﹣2x ）的定义域为[12，52]．故答案为：[12，52]．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为 11.5 元/桶时能获得最大利润． 解：由表可知，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为（6+x ）元，公司日利润为y 元，则y ＝（6+x ﹣5）（480﹣40x ）﹣200＝﹣40x 2+440x +280＝﹣40(x −112)2+1490， 所以当x ＝5.5时，y 取得最大值，所以每桶水定价为11.5元时，公司日利润最大． 故答案为：11.5．15．不等式0.1x ﹣ln （x ﹣1）＞0.01的解集为 （1，2） ． 解：设函数f （x ）＝0.1x ﹣ln （x ﹣1）， ∵y ＝0.1x 和y ＝﹣ln （x ﹣1）均为减函数， ∴函数f （x ）为减函数，∵f （2）＝0.01，且函数的定义域为（1，+∞）， ∴原不等式等价于f （x ）＞f （2）， ∴1＜x ＜2，∴不等式的解集为（1，2）． 故答案为：（1，2）．16．对于函数f （x ），若在定义域存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称f （x ）为“局部奇函数”．若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有解； 即4﹣x ﹣m •2﹣x ﹣3＝﹣（4x ﹣m •2x ﹣3）有解；变形可得4x +4﹣x ﹣m （2x +2﹣x ）﹣6＝0，即（2x +2﹣x ）2﹣m （2x +2﹣x ）﹣8＝0有解即可；设2x +2﹣x ＝t （t ≥2），则方程等价为t 2﹣mt ﹣8＝0在t ≥2时有解；设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣8＝0，必有g （2）＝4﹣2m ﹣8＝﹣2m ﹣4≤0， 解可得：m ≥﹣2，即m 的取值范围为[﹣2，+∞）； 故答案为：[﹣2，+∞）．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a−2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927． 解：（1）∵a ≤2， ∴√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12， ＝2﹣a +a +3+2＝7；（2）3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927， =12+log 610⋅lg6+32， =12+1+32=3．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：（1）∵集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}∴A ∪B ＝{x |1≤x ＜8}，（∁U A ）＝{x |x ＜1或x ≥5}，（∁U A ）∩B ＝{x |5≤x ＜8}（2）∵“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}∴C ⫋A ，∴{a +3＜5a ≥1，解得1≤a ＜2，故a的取值范围是[1，2）．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．解：（1）当a＝4时，f（x）=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+4x−2≥2√x×4x−2＝2，当且仅当x=4x即x＝2时等号成立，所以f（x）的最小值为2．（2）根据题意可得x2﹣2x+a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，等价于a＞﹣x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，因为g（x）＝﹣x2+2x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a＞1．（3）f（x）＝x+ax−2，设0＜x1＜x2＜√a，f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+ax1−a x2=（x1﹣x2）（1−ax1x2）=(x1−x2)(x1x2−a)x1x2，∵0＜x1＜x2＜√a，∴x1x2＜a，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，√a）单调递减，同理可证f（x）在（√a，+∞）单调递增，当0＜a≤4时，0＜√a≤2，函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（2）=a 2，当a＞4时，√a＞2，函数f（x）在[2，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（√a）＝2√a−2．所以f（x）min={a2(0＜a＜4)2√a−2(a＞4)．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%． 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种． ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x ．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？ 解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为yx=x 2+3200x+40，x ∈[70，100]，而x2+3200x +40≥2√x 2⋅3200x+40=2×40+40＝120，当且仅当x2=3200x，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低．因为80＜100，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态．（Ⅱ）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，y 1=100x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+60x −900=−12(x −60)2+900， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为850元． 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，y 2=130x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+90x −3200=−12(x −90)2+850， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝90吨时，企业获得最大利润，为850元．结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，当日加工处理量为90吨时，获得最大利润， 由于最大利润相同，所以选择两种方案均可．21．（12分）定义在R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）（x ，y ∈R ）． （1）求f （0），f （1）；（2）若对于任意x ∈[12，3]都有f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）因为R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）．令x ＝y ＝0可得f （0）＝2f （0）， 所以f （0）＝0，令x ＝1，y ＝1，可得f （2）＝2f （1），令x ＝2，y ＝1可得f （3）＝f （1）+f （2）＝3f （1）＝6， 所以f （1）＝2；（2）∵f （x ）是奇函数，且f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0在x ∈[12，3]上恒成立， ∴f （kx 2）＜f （1﹣2x ）在x ∈[12，3]上恒成立，且f （0）＝0＜f （1）＝2； ∴f （x ）在R 上是增函数，∴kx 2＜1﹣2x 在x ∈[12，3]上恒成立， ∴k ＜(1x )2−2(1x )在x ∈[12，3]上恒成立， 令g(x)=(1x )2−2(1x )=(1x −1)2−1． 由于12≤x ≤3，∴13≤1x≤2．∴g （x ）min ＝g （1）＝﹣1，∴k ＜﹣1，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2x −12x ，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b （b ∈R ）． （1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围；解：（1）f（x）＞0⇔2x−12x＞0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．∴实数x的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．∵f（x）＝2x−12x在[1，+∞）上单调递增，∴A＝[32，+∞）．∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4（b∈R）．∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，依题意可得A∩B≠∅，∴b+4≥32，即b≥−32．∴实数b的取值范围为[−32，+∞）．。

2021-2022学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知函数f(x)={2x,x >0x +1,x ≤0，且f(a)+f(1)=0，则实数a =( )A. 0B. 1C. 2D. −32. 设x >0，y >0，2x +1y =1，则2x +y 的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 103. 设a ∈R ，则“0<a <1”是“a 2<a ”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数f(x +1)的定义域为[1,3]，则f(2x)的定义域为( )A. [1,2]B. [1,3]C. [2,4]D. [2,6]5. 集合A ={x ∈N|−1<x <4}的真子集个数为( )A. 7B. 8C. 15D. 166. 用<x >表示正数x 四舍五入到个位的整数，如<0.3>=0，<1.498>=1，<2.5>=3，<5.8>=6，则关于正数x 的方程1+<x >=2x 的实数根的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知x =lnπ，y =log 52，z =e −12，则( )A. x >y >zB. y >x >zC. x >z >yD. z >x >y8. 已知函数f(x)={−ax +2a,x ≥0a x ,x <0在R 上是减函数，则实数a 的取值范围为( )A. (1,+∞)B. (0,12]C. (0,13]D. (−∞,13]9. 集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|−1≤x <3}，那么A ∪B =( )A. {x|−2<x <3}B. {x|1≤x <2}C. {x|−2<x ≤1}D. {x|2<x <3}10. 命题“对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是( )A. 不存在x ∈R ，x 3−x 2+1≤0B. 存在x ∈R ，x 3−x 2+1≤0C. 对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1>0D. 存在x ∈R ，x 3−x 2+1>011. 函数f(x)=log a (4−ax)在区间[0,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (2,+∞)12. 函数y =x −3|x|的图象可能是( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x 2−2x 在定义域[−1,n]上的值域为[−1,3]，则实数n 的取值范围是______．14. 函数f(x)=2a x−1+1(a >0且a ≠1)的图象过定点，这个点的坐标为 ． 15. 已知函数f(x)对任意实数x 都有f(1−x)=f(1+x)，当x >1时，f(x)=1x−1，则f(−1)=______．16. 若函数f(x)=log 3(x +√x 2+9)+k 满足f(−x)+f(x)=0，则k =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 计算下列各式的值：(Ⅰ)(54) −15×(−23)0+9 13×√33−√(45)25； (Ⅱ)log 3√2743+lg25−3 log 334+lg4．18.如图，动物园要围成4间形状和面积完全相同的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(接头处不计)(1)现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长xm设计为多少时，可使每间禽舍的面积最大？(2)若使每间禽舍面积为24m2，则每间禽舍的长xm设计为多少时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？19.已知函数f(x)=k⋅a x−1(其中k，a为常数，且a>0，a≠1)的图像经过点A(2,6)，B(4,24)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若不等式(1a )x+(1k)x−m≥0在区间(−∞,0]上恒成立，求实数m的取值范围．}.20.设全集为R，集合A={x|2≤2x≤8}，B={x|log4x>12(1)求∁R(A∩B)；(2)已知集合C={x|1<x<a}，若C∪A=A，求实数a的取值范围．21.定义域为R的函数f(x)满足：对任意的m，n∈R有f(m+n)=f(m)⋅f(n)，且当x>0时，有f(x)>1．(1)求f(0)的值；(2)证明：f(x)>0在R上恒成立；(3)证明：f(x)在R上是增函数；(4)若x>0时，不等式f(x+ax)<f(2+x2)恒成立，求实数a的取值范围．22.解关于x的不等式：ax2−(2a+1)x+2≤0，其中a∈R．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)={2x,x >0x +1,x ≤0，则f(1)=2，若f(a)+f(1)=0，则f(a)=−2，若a >0，f(a)=2a =−2，解可得a =−1，不符合题意， 若a ≤0，f(a)=a +1=−2，解可得a =−3，符合题意， 故a =−3； 故选：D ．根据题意，求出f(1)的值，由f(a)+f(1)=0可得f(a)=−2，分a >0与a ≤0两种情况讨论，求出a 的值，综合可得答案．本题考查函数值的计算，涉及函数解析式的计算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为x >0，y >0，2x +1y =1，则2x +y =(2x +y)(2x +1y ) =5+2y x+2x y≥5+2√2x y ⋅2y x=9，当且仅当x =y =3时取等号．故选：C ．将已知的等式与结论相乘，然后利用基本不等式求最小值． 本题考查基本不等式的应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由a 2<a 解得0<a <1， ∴“0<a <1”是“a 2<a ”的充要条件． 故选：A ．由a 2<a 解得0<a <1，依次可解决此题．本题考查二次不等式解法及充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵函数f(x+1)的定义域为[1,3]，∴1≤x≤3，则2≤x+1≤4，即f(x)的定义域为[2,4]，由2≤2x≤4，得1≤x≤2，∴f(2x)的定义域是[1,2]，故选：A．由已知函数的定义域求得f(x)的定义域，再由2x在f(x)的定义域内求得x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．5.【答案】C【解析】解：∵A={x∈N|−1<x<4}={0,1,2,3}，∴集合A的真子集个数为24−1=15．故选：C．把集合A利用列举法写出，即A={0,1,2,3}，可得集合A的真子集个数为24−1=15．本题考查子集与真子集，考查了计算子集个数的公式：即一个集合中有n的元素，则其子集个数为2n−1，是基础题．6.【答案】A【解析】解：记f(x)=1+<x>，(x>0)，g(x)=2x，(x>0)，当0<x<0.5时，f(x)=1；当0.5≤x<1.5时，f(x)=2；当1.5≤x<2.5时，f(x)=3；当2.5≤x<3.5时，f(x)=4；作出f(x)和g(x)的图像，关于正数x的方程1+<x>=2x的实数根的个数即为两图像的交点的个数．由图像可知，f(x)和g(x)的图像有两个交点．当x>2.5时，2x>1+<x>恒成立，所以f(x)和g(x)的图像没有交点．综上：关于正数x的方程1+<x>=2x的实数根的个数为2．故选：A．记f(x)=1+<x>，(x>0)，g(x)=2x，(x>0)，分别作出f(x)和g(x)的图像，根据交点个数即可求出实数根的个数．本题主要考查函数图像的应用，新定义知识的应用等知识，属于中等题．7.【答案】C【解析】解：显然x=lnπ>lne=1，y=log52>0，且log52<log5√5=12，z=√e <1，且√e>12，故x>z>y．故选：C．引入中间量1，根据函数的单调性判断即可．本题考查不等式的大小比较问题，属于基础题．【解析】解：由题意可得{−a <00<a <1a 0≥2a ，解得0<a ≤12， 故选：B ．根据分段函数的单调性，需满足每一段上的函数递减，需要特别注意分界点处的函数值的大小关系．本题考查了分段函数的单调性问题，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：把集合A 和集合B 中的解集表示在数轴上，如图所示， 则A ∪B ={x|−2<x <3} 故选：A ．把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A 与B 的并集．此题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道基础题．10.【答案】D【解析】 【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，从而得出答案． 【解答】解：∵命题“对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”是全称量词命题，∴命题“对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是：存在x ∈R ，x 3−x 2+1>0， 故选：D ．【解析】解：令y =loga t ，t =4−ax ， ①若0<a <1，则函y =loga t ，是减函数，由题设知t =4−ax 为增函数，需a <0，故此时无解． (2)若a >1，则函数y =loga t 是增函数，则t 为减函数， 需a >0，且4−a ×2>0，可解得1<a <2， 综上可得实数a 的取值范围是(1,2)． 故选：B ．先将函数f(x)=log a (4−ax)转化为y =log a t ，t =4−ax 两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：函数y =x −3|x|的定义域为{x|x ≠0}，且f(x)={x −3x,x >0x +3x ,x <0， 所以当x >0时，函数是递增函数，故选项A ，B 错误； 又f(1)=1−3=−2，故选项C 错误，D 正确． 故选：D ．将函数化成分段函数f(x)={x −3x ,x >0x +3x ,x <0，结合函数在x >0时的单调性判断选项A ，B ，由函数值的正负判断选项C ，D ．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．13.【答案】[1,3]【解析】解：函数f(x)=x 2−2x 的对称轴方程为x =1，在[−1,1]上为减函数， 且值域为[−1,3]，当x ≥1时，函数为增函数，∴要使函数f(x)=x 2−2x 在定义域[−1,n]上的值域为[−1,3]，实数n 的取值范围是[1,3]． 故答案为：[1,3]．求出原函数的对称轴，分析可知f(−1)=3，f(1)=−1，然后根据x ≥1时，函数为增函数求得使函数f(x)=x 2−2x 在定义域[−1,n]上的值域为[−1,3]的实数n 的取值范围． 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了二次函数的单调性，是基础题．14.【答案】(1,3)【解析】【分析】本题考查了指数函数的性质，图象的运用，属于基础题．直接由指数式的指数为0求得x 与y 的值，则答案可求．【解答】解：由x −1=0，得x =1，此时y =3．∴函数f(x)=2a x−1+1(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)，故答案为：(1,3)．15.【答案】12【解析】解：根据题意，函数f(x)对任意实数x 都有f(1−x)=f(1+x)，令x =2可得：f(−1)=f(3)，当x >1时，f(x)=1x−1，则f(3)=13−1=12，故f(−1)=12；故答案为：12．根据题意，运用特殊值法可得f(−1)=f(3)，结合函数的解析式计算可得答案． 本题考查抽象函数的求值，涉及函数值的计算，属于基础题．16.【答案】−1【解析】解：函数f(x)=log 3(x +√x 2+9)+k 满足f(−x)+f(x)=0，即为log 3(−x +√x 2+9)+log 3(x +√x 2+9)+2k =0，即有log 3(x 2+9−x 2)+2k =2+2k =0，解得k =−1．故答案为：−1．由对数的运算性质，解方程可得所求值．本题考查对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．17.【答案】(本小题满分12分)解：(Ⅰ)(54) −15×(−23)0+9 13×√33−√(45)25 =(45)15×1+323×313−(45) 15=3.…………(6分) (Ⅱ)log 3√2743+lg25−3 log 334+lg4=log 33−14+(lg25+lg4)−34 =−14+2−34=1.…………(12分)【解析】(Ⅰ)利用指数性质、运算法则直接求解．(Ⅱ)利用对数性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)由题意知，宽为36−4x 6=6−23x ，x ∈(0,9)， 故每间禽舍的面积f(x)=x(6−23x)=−23x 2+6x =−23(x −92)2+272， 故x =92 时，可使每间禽舍的面积最大．(2)设围成四件禽舍的钢筋网总长为g(x)，则g(x)=4x +24x ×6=4(x +36x )≥4×2√x ⋅36x =48， 当且仅当x =36x ，即x =6时，等号成立，故当x =6时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小．【解析】(1)根据已知条件，结合长方形的面积公式，以及二次函数的性质，即可求解．(2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．19.【答案】解：(1)由题意得，{ka =6ka 3=24，解得{k =3a =2， ∴f(x)=3⋅2x−1；(2)由(1)知，(12)x +(13)x −m ≥0在(−∞,0]上恒成立，即m ≤(12)x +(13)x 在(−∞,0]上恒成立，设g(x)=(12)x +(13)x ,x ≤0，由于g(x)在(−∞,0]上单调递减，则g(x)min =g(0)=2， ∴实数m 的取值范围为(−∞,2]．【解析】(1)根据题意建立关于k ，a 的方程组，解出即可；(2)问题可转化为m ≤(12)x +(13)x 在(−∞,0]上恒成立，设g(x)=(12)x +(13)x ,x ≤0，求出g(x)的最小值即可得出答案．本题考查函数解析式的求法以及不等式的恒成立问题，考查利用函数单调性求最值，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)全集为R ，集合A ={x|2≤2x ≤8}={x|1≤x ≤3}，B ={x|log 4x >12}={x|x >2}； 则A ∩B ={x|2<x ≤3}，∴∁R (A ∩B)={x|x ≤2或x >3}，(2)C ={x|1<x <a}，且C ∪A =A ，∴C ⊆A ={x|1≤x ≤3}，∴a ≤1或{a >1a ≤3， 解得a ≤3；∴实数a 的取值集合是{a|a ≤3}．【解析】(1)解不等式求出集合A 、B ，根据集合的基本运算写出对应的结果即可；(2)根据条件求得C ⊆A ，列出关于a 的不等式组，求出结论即可．本题考查了不等式的解法和集合的基本运算问题，是基础题目．21.【答案】解：(1)令m=2，n=0，则f(0+2)=f(0)f(2)，又当x>0时，f(x)>1，则f(0)=1；(2)证明：令x<0，则−x>0，依题意，f(−x)>1，又1=f(0)=f(x−x)=f(x)f(−x)，故f(x)=1f(−x)∈(0,1)，∴f(x)>0在R上恒成立；(3)证明：对任意x1，x2∈R，且x1<x2，则有x2−x1>0，从而f(x2−x1)>1，又f(x2)=f[x1+(x2−x1)]=f(x1)f(x2−x1)>f(x1)，∴f(x)在R上为增函数；(4)∵x>0时，不等式f(x+ax)<f(2+x2)恒成立，∴由(3)得(a+1)x<2+x2恒成立，从而当x>0时，有a+1<2+x2x，令ℎ(x)=2+x2x =x+2x(x>0)，则ℎ(x)≥ℎ(√2)=2√2，∴a<2√2−1，即实数a的取值范围为(−∞,2√2−1)．【解析】(1)令m=2，n=0，即可求得f(0)的值；(2)当x<0时，f(x)=1f(−x)∈(0,1)，由此可得证；(3)运用单调性的定义直接证明即可；(4)问题可转化为当x>0时，有a+1<2+x2x ，令ℎ(x)=2+x2x=x+2x(x>0)，求出函数ℎ(x)的最小值即可得解．本题考查抽象函数的奇偶性及单调性问题，考查不等式的恒成立问题，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：ax2−(2a+1)x+2≤0，可化简为(ax−1)(x−2)≤0．①当a=0时，−x+2≤0，即x≥2解集为[2,+∞)；②当a<0时，1a <2，解集为(−∞,1a]∪[2,+∞)；③当a>0时，若a=12，即a=12，解集为{2}；若1a >2，即0<a <12时，解集为[2,1a ]；若1a <2，即a >12时，解集为[1a ,2]．综上所述，当a <0时，解集为(−∞,1a ]∪[2,+∞)；当a =0时，解集为[2,+∞)；当0<a <12时，解集为[2,1a ]；当a =12时，解集为{2}；当a >12时，解集为[1a ,2]．【解析】首先十字相乘化简不等式，在根据图像的性质进行分类讨论即可求出不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法，恰当的分类讨论是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2021-2022学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝07．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4 10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为011．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为.（注：写出一个满足条件的即可）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A【分析】解出集合A再做判断．解：因为A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}，所以ACD选项均错误，故选：B．2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解．解：对于A，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴a+b＞b+b，即a+b＞2b，故B错误，对于C，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴，即，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴＜0，即，故D正确．故选：D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．解：对于A，函数y＝x2，定义域为R，y＝x＝x|x|，定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数y＝＝|x|，定义域为R，y＝＝x，定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数y＝＝x+1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），y＝x+1，定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y＝＝x，定义域为R，y＝x，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*，故选：C．5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可．解：把四个图象分别叫做A，B，C，D．若为A，由图象知a＜0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为B，则由图象知a＞0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为C，由图象知a＜0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝﹣1，此时对称轴有可能，所以此时a＝﹣1成立．若为D，则由图象知a＞0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝1，此时对称轴，矛盾，所以不成立．故图象为第三个，此时a＝﹣1．故选：B．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝0【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则f（x）在（0，+∞）是减函数，所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且f（1）＞f（2），故选：C．7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r【分析】利用公式P2＝U2I和，表示出滑动变阻器消耗的电功率，然后利用基本不等式求解即可．解：根据公式P2＝U2I和可得，滑动变阻器消耗的电功率，因为，当且仅当U2＝E﹣U2，即时，此时时，R2消耗的电功率P 最大．故选：B．8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数【分析】根据f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，分别对各个选项进行判断即可．解：由题意函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则f（x+a）﹣b＝﹣f（﹣x+a）+b，则f（x+a）+f（﹣x+a）＝2b，对于A：f（x）＝2x+1，a＝，b＝0，则f（x+）+f（﹣x+）＝2（x+）+1+2（﹣x+）+1＝4≠2b＝0，故A错误；对于B：f（x）＝x3﹣3x2＝x2（x﹣3），a＝1，b＝2，则f（x+1）+f（﹣x+1）＝（x+1）2（x+1﹣3）+（﹣x+1）2（﹣x+1﹣3）＝﹣4≠2b＝4，故B错误；对于C：若f（x）关于x＝a对称，则f（x）＝f（2a﹣x），令x＝t+a，则f（t+a）＝f（a﹣t），用x替换t，则f（x+a）＝f（a﹣x），故f（x+a）是偶函数，若f（x+a）是偶函数，则f（x+a）＝f（﹣x+a），令h＝x+a，则f（h）＝f（2a﹣h），故f（h）关于h＝a对称，用x替换h，则f（x）关于x＝a对称，故C正确；对于D：f（x﹣1）＝x2﹣4x+8，f（﹣x﹣1）＝x2+4x+8，f（x﹣1）≠f（﹣x﹣1），故f （x﹣1）不是偶函数，故D错误，故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，A：由，得．即a2+b2，当且仅当a＝b时取等号，A正确；B：由ab≤（）2＝，得，≥4，当且仅当a＝b时取等号，B错误，C 正确；D：＝＝2+＝4，当且仅当a＝b时取等号，D正确；故选：ACD．10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0【分析】利用根与系数关系与判别式计算判断即可．解：关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0中△＝（m﹣3）2﹣4m＝m2﹣10m+9、两根和为3﹣m、两根积为m．若方程有一个正根一个负根，则，解得m＜0，∴A对；若方程有两个正根，则，解得0＜m≤1，∴B对；若方程无实根，则△＝m2﹣10m+9＜0，解得m＜1或m＞9，∴C错；当m＝3时，关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0为x2+3＝0无解，∴D错．故选：AB．11．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值【分析】根据函数奇偶性判断A；化简f（x）解析式，根据f（x）的单调性判断B；根据f（x）≠0判断C；根据奇偶性和单调性判断D．解：对于A，函数f（x）＝的定义域为{x|x≠±2}，关于原点对称，且f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，f（x）的图像关于y轴对称，故A正确；对于B，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）时，f（x）＝＝﹣，当x∈[0，2）∪（2，+∞）时，f（x）＝＝，所以f（x）的单调递减区间为[0，2）和（2，+∞），故B错误；对于C，由函数解析式可得f（x）≠0，故C错误；对于D，当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝﹣为增函数，f（x）＜f（0）＝﹣，当x∈[0，2）时，f（x）＝为减函数，f（x）≤f（0）＝﹣，所以当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值为f（0）＝﹣，故D正确．故选：AD．12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．【分析】由条件可知C（A）＝2，根据A*B＝1，可得C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，然后分析方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0根的情况，即可得出a的可能取值．解：根据题意，已知A＝{1，2}，则C（A）＝2，又A*B＝1，则C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，若（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0，则必有ax2+3x＝0或x2+ax+2＝0，若ax2+3x＝0，则x＝0或ax+3＝0，当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意，当a≠0时，ax2+3x＝0对应的根为0或﹣，所以①需要x2+ax+2＝0有两根且根不为0或﹣，当△＝0时，a＝±2，当a＝2，此时B＝{0，﹣2，﹣}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣2，此时B＝{0，2，}，C（B）＝3，符合题意，②当﹣是x2+ax+2＝0的根时，解得a＝±3，当a＝3，此时B＝{0，﹣1，﹣2}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣3，此时B＝{0，1，2}，C（B）＝3，符合题题意，综上所述，a可取的值为0，±3，±，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝1．【分析】由{2，m}＝{2m﹣1，2}得m＝2m﹣1．解：∵{2，m}＝{2m﹣1，2}，∴m＝2m﹣1，解得，m＝1，故答案为：1．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为2．【分析】由题意得f（3）＝f（5）＝f（7），故f（7）为所求．解：∵f（x）＝，则f（3）＝f（5）＝f（7）＝7﹣5＝2，故答案为2．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3.（注：写出一个满足条件的即可）【分析】根据题意，将f（x）≤g（x）变形可得b≤x++1，由基本不等式的性质求出b的取值范围，即可得“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件，由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），即﹣x2+bx≤x+，变形可得b≤x++1，又由x∈（0，+∞），则x++1＝+++1≥3+1＝+1，当且仅当x＝时等号成立，若“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），必有b≤+1，即“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件为b≤+1，故满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3，故答案为：b≤3，（答案不唯一）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为[2，4]．【分析】根据题意，分析y＝|x2﹣x﹣2|的单调区间，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，y＝|x2﹣x﹣2|＝，在区间（﹣1，）、[2，+∞）上为增函数，若函数是定义在R上的增函数，则有，解可得2≤a≤4，即a的取值范围为[2，4]；故答案为：[2，4]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）由x+x＝3结合完全平方公式可求出x+x﹣1的值，进而求出x﹣x﹣1的值，代入所求式子即可求出结果．（2）解方程组，用x表达出y，z的值，代入所求式子化简，即可求出结果．解：（1）∵x+x＝3，∴＝x+x﹣1+2＝9，∴x+x﹣1＝7，∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49，∴x2+x﹣2＝47，又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45，∴x﹣x﹣1＝，∴＝＝＝＝．（2）由，得，∴＝＝．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的交并补运算即可求解；（2）根据所选条件，进行转化，然后结合集合包含关系可求．解：（1）当a＝1时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁R A＝{x|﹣1≤x＜1}；（2）若选①A∪B＝A，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；若选②B∩∁R A＝∅，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁R A＝{x|x＜1或x＞7}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）【分析】（1）由矩形的长为xm，求出矩形的宽，中间区域的长，宽，得到定义域，表示出总造价y即可；（2）利用基本不等式求解最值，比较即可得到答案．解：（1）由矩形的长为xm，则矩形的宽为m，则中间区域的长为x﹣4m，宽为﹣4m，所以定义域为x∈（4，50），故y＝100×200[200﹣（x﹣4）（﹣4）]，整理可得y＝18400+400（x+），x∈（4，50）；（2）因为x+＝20，当且仅当，即x＝时取等号，所以当x＝时，总造价最低为18400+8000≈2.97万元＜3万元，故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．【分析】（1）利用奇函数的定义以及奇函数的性质，得到f（0）＝0，结合f（1）＝，求出a，b的值，验证即可；（2）将问题转化为证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，利用函数单调性的定义证明即可．【解答】（1）解：因为函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，又f（1）＝，所以，解得b＝0，a＝9，所以，经检验，f（x）为奇函数，所以；（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立，即证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，用定义证明如下：设﹣3≤x1＜x2≤3，则＝＝，因为﹣3≤x1＜x2≤3，所以x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[﹣3，3]上单调递增，故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．【分析】（1）求得二次函数的对称轴，考虑单调性，可得最值；（2）求得二次函数的对称轴，讨论对称轴与的大小关系，可得最大值，解方程可得a．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣，x∈[0，3]，又因为二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝，所以x＝时，f（x）min＝﹣；当x＝0时，f（x）max＝5；（2）f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]，对称轴为x＝，当≤，即a≤时，f（x）max＝f（3）＝8﹣19a＝14，解得a＝﹣；当x＝＞，即a＞时，f（x）max＝f（0）＝5≠14，此时不符合题意．综上可得a＝﹣．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．【分析】（1）利用f（﹣1）＝0以及函数f（x）的最小值为0，列出关于a，b的方程组，求解即可；（2）求出g（x）的解析式，然后确定函数的对称轴，由二次函数的单调性，列出不等式，求解即可；（3）利用函数为偶函数，求出f（x）和F（x）的解析式，由题意得到|m|＞|﹣n|，表示出F（m）+F（n），即可得到答案．解：（1）因为f（﹣1）＝0，则a﹣b+1＝0①，又f（x）的最小值为0，则a≠0，且b2﹣4a＝0②，由①②解得，a＝1，b＝2，所以f（x）＝x2+2x+1，则；（2）由（1）可得，g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝，当或，即k≤﹣2或k≥6时，g（x）为单调函数，故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；（3）因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝ax2+1，则，因为mn＜0，由于m，n的对称性，不妨设m＞n，则n＜0，又m+n＞0，则m＞﹣n＞0，所以|m|＞|﹣n|，所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣an2﹣1＝a（m2﹣n2）＞0，所以F（m）+F（n）能大于零．。

2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣2，﹣1，0，1}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{x |﹣2≤x ＜2}2．下列函数是偶函数的是（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝log 2xC ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝x 33．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．ac 2＞bc 2 B ．ac＞bcC ．a +c ＜b +cD ．a ＞b ﹣c4．设a ，b ∈R ，则“a ＞|b |”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知a ＝0.5，b ＝0.50.6，c ＝log 0.60.5，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6．函数f （x ）＝x 3﹣x ﹣7的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．已知函数y ＝f （x ）可表示为（ ）则下列结论正确的是（ ） A ．f （f （4））＝3B ．f （x ）的值域是{1，2，3，4}C ．f （x ）的值域是[1，4]D ．f （x ）在区间[4，8]上单调递增8．已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=12log3O100，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100B．900C．81D．910．已知函数f1(x)=2x，f2（x）＝2x+1，g1（x）＝log a x（a＞1），g2（x）＝kx（k＞0），则下列结论正确的是（）A．函数f1（x）和f2（x）的图象有且只有一个公共点B．∃x0∈R，当x＞x0时，恒有g1（x）＞g2（x）C．当a＝2时，∃x0∈（0，+∞），f1（x0）＜g1（x0）D．当a=1k时，方程g1（x）＝g2（x）有解二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．11．函数f(x)=1x−1+log12x的定义域是．12．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则xy的最大值为．13．3×2−1+lg√2+12lg5+(27)13=．14．已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈（0，1]时，f（x）＝2x，则当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝；函数f（x）在定义域内的值域为．15．方程x+2x＝2的根为a，方程x+log2x＝2的根为b，则a+b＝．16．已知函数f(x)={2x−1，x ＜a−x 2+2a ，x ≥a ，如果函数f （x ）满足对任意x 1∈（﹣∞，a ），都存在x 2∈（a ，+∞），使得f （x 2）＝f （x 1），称实数a 为函数f （x ）的包容数． 在①−12；②12；③1；④√2；⑤32中，函数f （x ）的包容数是 ．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17．（13分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}． （Ⅰ）求A ∪B ；（Ⅱ）设非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，若D ⊆∁U A ，求实数a 的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣2．（Ⅰ）若f（x）≥0的解集{x|x≤﹣1或x≥2}，求a的值．（Ⅱ）分类讨论不等式f（x）≥0的解集．19．（13分）已知函数f（x）＝a•2x+b的图象过原点，且f（1）＝1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）判断并用定义证明函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上的单调性．20．（13分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为R （x ）万元，且 R （x ）={500−2x ，0＜x ≤20370+2140x −6250x2，x ＞20． （1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．21．（14分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，且满足（1）f（1）＝3；（2）对于任意的u，v∈R，总有f（u+v）＝f（u）+f（v）﹣1；（3）对于任意的u，v∈R，u﹣v≠0，（u﹣v）[f（u）﹣f（v）]＞0．（Ⅰ）求f（0）及f（﹣1）的值；（Ⅱ）求证：函数y＝f（x）﹣1为奇函数；（Ⅲ）若f(12m2)−2f(m−12)＞−2，求实数m的取值范围．22．（14分）定义：给定整数i，如果非空集合A满足如下3个条件：①A⊆N*；②A≠{1}；③∀x，y∈N*，若x+y∈A，则xy﹣i∈A．则称集合A为“减i集”（Ⅰ）P＝{1，2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由．2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣2，﹣1，0，1}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{x |﹣2≤x ＜2}解：∵A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0，1}． 故选：B ．2．下列函数是偶函数的是（ ） A ．f(x)=√xB ．f （x ）＝log 2xC ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝x 3解：函数f(x)=√x 的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以f （x ）为非奇非偶函数，故选项A 错误；函数f （x ）＝log 2x 的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以f （x ）为非奇非偶函数，故选项B 错误；函数f （x ）＝x 2定义域为R ，且f （﹣x ）＝f （x ），所以函数f （x ）为偶函数，故选项C 正确； 函数f （x ）＝x 3定义域为R ，且f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，故选项D 错误． 故选：C ．3．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．ac 2＞bc 2 B ．a c＞bcC ．a +c ＜b +cD ．a ＞b ﹣c解：∵a ＞b ，c ＜0，∴ac 2＞bc 2，a c与bc大小关系不确定，a +c ＞b +c ，a 与b ﹣c 的大小关系不确定．则下列不等式成立的是A ． 故选：A ．4．设a ，b ∈R ，则“a ＞|b |”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：“a ＞|b |”⇒“a ＞b “，反之不成立． ∴“a ＞|b |”是“a ＞b “的充分不必要条件． 故选：A ．5．已知a＝0.5，b＝0.50.6，c＝log0.60.5，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解：根据y＝0.5x在R上单调递减得0.5＝0.51＜0.50.6＜0.50＝1，根据y＝log0.6x在（0，+∞）上单调递减得log0.60.5＞log0.60.6＝1，所以a＜b＜c．故选：A．6．函数f（x）＝x3﹣x﹣7的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：函数f（x）＝x3﹣x﹣7是连续函数，∵f（2）＝8﹣1﹣7＝﹣1＜0，f（3）＝27﹣2﹣7＝18＞0，∴f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（2，3）．故选：C．7．已知函数y＝f（x）可表示为（）则下列结论正确的是（）A．f（f（4））＝3B．f（x）的值域是{1，2，3，4}C．f（x）的值域是[1，4]D．f（x）在区间[4，8]上单调递增解：由题意知f（4）＝3，得f（f（4））＝f（3）＝2，故A错误，函数的值域为{1，2，3，4}，故B正确，C错误，f（x）在定义域上不单调，故D错误，故选：B．8．已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）解：不等式f（x）＞0，即2x＞x+1．由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、（1，2），如图所示：不等式f （x ）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：D ．9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为v =12log 3O 100，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）A ．8100B ．900C ．81D ．9 解：鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量为：令v ＝2=12log 3o 100，即4=log 3o 100， 即o 100=34=81，即o ＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v ＝0=12log 3o′100，即o′100=1，即o '＝100， 故鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为8100100=81，故选：C ． 10．已知函数f 1(x)=2x ，f 2（x ）＝2x +1，g 1（x ）＝log a x （a ＞1），g 2（x ）＝kx （k ＞0），则下列结论正确的是（ ）A ．函数f 1（x ）和f 2（x ）的图象有且只有一个公共点B ．∃x 0∈R ，当x ＞x 0时，恒有g 1（x ）＞g 2（x ）C ．当a ＝2时，∃x 0∈（0，+∞），f 1（x 0）＜g 1（x 0）D ．当a =1k 时，方程g 1（x ）＝g 2（x ）有解解：选项A ：∵f 1(x)=2x ，f 2（x ）＝2x +1， ∴f 1（0）＝1，f 2（0）＝1，f 1（2）＝4＜f 2（2）＝5，f 1（3）＝8＞f 2（3）＝7，则函数f 1（x ）和f 2（x ）的图象有一个交点（0，1），还有一个交点横坐标在（2，3）上，故选项A 不正确；选项B ：当a ＝2，k ＝1时，g 1（x ）＝log 2x ＜g 2（x ）＝x 恒成立，故不∃x 0∈R ，当x ＞x 0时，恒有g 1（x ）＞g 2（x ），故选项B 不正确；选项C ：当a ＝2时，f 1（x ）与g 1（x ）的图象关于y ＝x 对称，f 1（x ）的图象恒在直线y ＝x 上方， g 1（x ）的图象恒在直线y ＝x 下方，故不存在x 0∈（0，+∞），f 1（x 0）＜g 1（x 0），故选项C 不正确； 选项D ：a =1k 时，g 2（x ）=1a x ，故g 1（x ）＝log a x （a ＞1）和g 2（x ）＝kx （k ＞0）均过点（a ，1），所以方程g 1（x ）＝g 2（x ）有解，故选项D 正确．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．11．函数f(x)=1x−1+log 12x 的定义域是 （0，1）∪（1，+∞） ．解：要使得函数f(x)=1x−1+log 12x 有意义， 则x ＞0且x ﹣1≠0，解得：x ∈（0，1）∪（1，+∞）．故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．12．已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝2，则xy 的最大值为 1 ．解：因为x ＞0，y ＞0，且x +y ＝2，所以由基本不等式可得，xy ≤（x+y 2）2＝1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，故xy 最大值为1．故答案为：1．13．3×2−1+lg √2+12lg5+(27)13= 5 ． 解：原式=32+lg √2+lg √5+33×13=32+lg （√2×√5）+3=32+lg 1012+3=32+12+3＝5． 故答案为：5．14．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x ，则当x ∈[﹣1，0）时，f （x ）＝ ﹣2﹣x ；函数f （x ）在定义域内的值域为 [﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2] ． 解：函数f （x ）为奇函数，且定义域为[﹣1，1]，则f （0）＝0，因为当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x ，则当x ∈[﹣1，0）时，﹣x ∈（0，1]，所以f （﹣x ）＝2﹣x ＝﹣f （x ）， 故f （x ）＝﹣2﹣x ， 所以f(x)={−2−x ，x ∈[−1，0)0，x =02x ，x ∈(0，1]， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x 为单调递增函数，所以f （x ）∈（1，2]；当x ＝0时，f （x ）＝0；当x ∈[﹣1，0）时，f （x ）＝﹣2﹣x 为单调递增函数，所以f （x ）∈[﹣2，﹣1）．综上所述，f （x ）在定义域内的值域为[﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2]．故答案为：﹣2﹣x ；[﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2]． 15．方程x +2x ＝2的根为a ，方程x +log 2x ＝2的根为b ，则a +b ＝ 2 ．解：由x +2x ＝2，得2x ＝2﹣x ，由x +log 2x ＝2，得log 2x ＝2﹣x ，在同一平面直角坐标系中画出y ＝2x ，y ＝log 2x 和y ＝2﹣x 的图像，如图所示，设直线y ＝x 与y ＝2﹣x 的交点为A ，联立方程{y =x y =2−x ，解得A （1，1），∵a 为点B 的横坐标，b 为点C 的横坐标，而点A 为点B ，C 的中点，∴a +b ＝2，故答案为：2．16．已知函数f(x)={2x−1，x ＜a −x 2+2a ，x ≥a，如果函数f （x ）满足对任意x 1∈（﹣∞，a ），都存在x 2∈（a ，+∞），使得f （x 2）＝f （x 1），称实数a 为函数f （x ）的包容数．在①−12；②12；③1；④√2；⑤32中，函数f （x ）的包容数是 12，1，√2 ．解：由题意可知：a 应满足{f （x ）|x ＜a }⊆{f （x ）|x ≥a }，当x ＜a 时，f （x ）＝2x ﹣1单调递增，故0＜f （x ）＜2a ﹣1； 当x ≥a 时，f （x ）＝﹣x 2+2a ，若a ≥0，则f （x ）单调递减，则f （x ）≤f （a ）＝﹣a 2+2a ；当a ＜0时，f （x ）在（a ，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，故f （x ）≤f （0）＝2a ， 由题意，只需2a ﹣1≤﹣a 2+2a ， 当a ≥0时，此时a =12，1，√2满足，a =32不满足；当a ＜0时，a =−12不满足，故f （x ）的包容数为：12，1，√2． 故答案为：12，1，√2． 三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17．（13分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}．（Ⅰ）求A ∪B ；（Ⅱ）设非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，若D ⊆∁U A ，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}＝{x |1≤x ≤4}，所以A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤4}；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∁U A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥3}，因为非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，且D ⊆∁U A ，则2a +3≤﹣1或a ≥3且2a +3＞a ，解得﹣3＜a ≤﹣2或a ≥3，故实数a 的取值范围为（﹣3，﹣2]∪[3，+∞）．18．（13分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣2．（Ⅰ）若f （x ）≥0的解集{x |x ≤﹣1或x ≥2}，求a 的值．（Ⅱ）分类讨论不等式f （x ）≥0的解集．解：（Ⅰ）∵f （x ）≥0的解集{x |x ≤﹣1或x ≥2}，∴f （x ）＝0的两根为﹣1和2，∴4a +2（a ﹣2）﹣2＝0，∴a ＝1．（Ⅱ）f （x ）≥0⇔（ax ﹣2）（x +1）≥0，①当a ＝0时，则﹣2（x +1）≥0，∴x ≤﹣1，②当a ＞0时，则2a＞−1，∴x ≥2a 或x ≤﹣1， ③当a ＜0时，若2a =−1，即a ＝﹣2时，∴x ＝﹣1，若2a＞−1，即a ＜﹣2时，﹣1≤x ≤2a ， 若2a ＜−1，即﹣2＜a ＜0时，2a ≤x ≤﹣1， 综上，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤﹣1}，当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ≥2a 或x ≤﹣1}，当a ＝﹣2时，不等式的解集为{x |x ＝﹣1}，当﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x |2a ≤x ≤﹣1}， 当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x |﹣1≤x ≤2a }．19．（13分）已知函数f （x ）＝a •2x +b 的图象过原点，且f （1）＝1．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）判断并用定义证明函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上的单调性． 解：（Ⅰ）因为函数f （x ）＝a •2x +b 的图象过原点，且f （1）＝1，则{a +b =02a +b =1，解得a ＝1，b ＝﹣1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，f （x ）＝2x ﹣1，则g （x ）=12x −1， 函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上单调递减．证明如下：设0＜x 1＜x 2，则g(x 1)−g(x 2)=12x 1−1−12x 2−1=2x 2−2x1(2x 1−1)(2x 2−1)， 因为0＜x 1＜x 2，所以2x 2−2x 1＞0，2x 1−1＞，2x 2−1＞0，故g （x 1）＞g （x 2），所以函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上单调递减．20．（13分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为R （x ）万元，且R （x ）={500−2x ，0＜x ≤20370+2140x −6250x 2，x ＞20． （1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．解：（1）当0＜x ≤20时，S ＝xR （x ）﹣（380x +150）＝500x ﹣2x 2﹣380x ﹣150＝﹣2x 2+120x ﹣150，当x ＞20时，S ＝xR （x ）﹣（380x +150）＝370x +2140−6250x −380x ﹣150＝﹣10x −6250x +1990，∴函数S 的解析式为S ={−2x 2+120x −150，0＜x ≤20−10x −6250x +1990，x ＞20．（2）当0＜x ≤20时，S ＝﹣2x 2+120x ﹣150＝﹣2（x ﹣30）2+1650，∴函数S 在（0，20]上单调递增，∴当x ＝20时，S 取得最大值，为1450，当x ＞20时，S ＝﹣10x −6250x +1990＝﹣（10x +6250x ）+1990≤﹣2√10x ⋅6250x +1990＝﹣500+1990＝1490，当且仅当10x =6250x ，即x ＝25时，等号成立，此时S 取得最大值，为1490，∵1490＞1450，∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元．21．（14分）已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，且满足（1）f （1）＝3；（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有f （u +v ）＝f （u ）+f （v ）﹣1；（3）对于任意的u ，v ∈R ，u ﹣v ≠0，（u ﹣v ）[f （u ）﹣f （v ）]＞0．（Ⅰ）求f （0）及f （﹣1）的值；（Ⅱ）求证：函数y ＝f （x ）﹣1为奇函数；（Ⅲ）若f(12m 2)−2f(m −12)＞−2，求实数m 的取值范围．解：（I ）令u ＝v ＝0，可得f （0）＝f （0）+f （0）﹣1，解得f （0）＝1；令u ＝1，v ＝﹣1，可得f （0）＝f （1）+f （﹣1）﹣1，可得f （﹣1）＝2﹣f （1）＝2﹣3＝﹣1；（II ）证明：令u ＝x ，v ＝﹣x ，即有f （0）＝f （x ）+f （﹣x ）﹣1，即f （x ）+f （﹣x ）＝2，即有f （﹣x ）﹣1＝﹣[f （x ）﹣1]，可得函数y ＝f （x ）﹣1为奇函数；（III ）由对于任意的u ，v ∈R ，u ﹣v ≠0，（u ﹣v ）[f （u ）﹣f （v ）]＞0，可得f （x ）在R 上递增，f(12m 2)−2f(m −12)＞−2⇔f （12m 2）﹣[f （2m ﹣1）+1]＞﹣2⇔ f （12m 2）+2﹣f （2m ﹣1）﹣1＞0⇔f （12m 2）+f （1﹣2m ）﹣1＞0 ⇔f （12m 2+1﹣2m ）＞0， 由于f （﹣1）＝f （−12）+f （−12）﹣1＝﹣1，即f （−12）＝0，即有f （12m 2+1﹣2m ）＞f （−12）， 由f （x ）在R 上递增，可得12m 2+1﹣2m ＞−12， 解得m ＞3或m ＜1，即m 的范围是（﹣∞，1）∪（3，+∞）．22．（14分）定义：给定整数i ，如果非空集合A 满足如下3个条件：①A ⊆N *；②A ≠{1}；③∀x ，y ∈N *，若x +y ∈A ，则xy ﹣i ∈A ．则称集合A 为“减i 集”（Ⅰ）P ＝{1，2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵P ⊆N *，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1﹣0∈P ，∴P 是“减0集”同理，∵P ⊆N *，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1﹣1∉P ，∴P 不是“减1集”．（Ⅱ）假设存在A 是“减2集”，则若x +y ∈A ，那么xy﹣2∈A，①当x+y＝xy﹣2时，有（x﹣1）（y﹣1）＝3，则x，y一个为2，一个为4，所以集合A中有元素6，但是3+3∈A，3×3﹣2∉A，与A是“减2集”，矛盾；②当x+y≠xy﹣2时，则x+y＝xy﹣1或者x+y＝xy﹣m（m＞2），若x+y＝xy﹣1，m＝1时M为除1以外的最小元素，则x＝M﹣1，y＝1时，xy﹣2＝M﹣3小于M，如果要符合题意必须M＝4，此时取x＝2，y＝2，xy﹣2＝2不属于A，故不符合题意．m＞2时，（x﹣1）（y﹣1）＝m+1，同样得出矛盾．综上可得：不存在A是“减2集”．（Ⅲ）存在“减1集”A．A≠{1}．①假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1﹣1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2﹣1∈A，因此3∈A．因此可以有A＝{1，3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3﹣1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4﹣1∈A，2+3＝5，2×3﹣1∈A，因此5∈A．因此可以有A＝{1，3，5}．以此类推可得：A＝{1，3，5，……，2n﹣1，……}，（n∈N*），以及A的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，……．。

2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a 2+1）x ＜3的解为 ___ ．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．3.（填空题，3分）设正实数x ，y 满足xy=20，则x+4y 的最小值为 ___ ．4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ． 5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ．11.（填空题，3分）已知a 、b 、c 均为正实数，则 ab+bca 2+b 2+c 2 的最大值为___ ．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1． 13.（单选题，4分）设a ，b ，c ，d 为实数，下列说法正确的是（ ） A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则 ac ＞ bd C.若 √a ＞b ，则a ＞b 2 D.若a ＞b ＞0，则a 2＞ab ＞b 214.（单选题，4分）已知实数a ，b ，则“ a+ba−b ＞0”是“|a|＞|b|”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log1549=（）45A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.2717.（问答题，6分）若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y 的值．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（k为常（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x=3- km+1数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a2+1）x＜3的解为 ___ ．）【正确答案】：[1]（-∞，3a2+1【解析】：根据a²+1＞0，结合不等式性质即可求解．【解答】：解：因为a²+1＞0，，所以该不等式解为x＜3a2+1）．故答案为：（-∞，3a2+1【点评】：本题考查不等式的求解，属于基础题．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．【正确答案】：[1]{x|x=10n-1，（n∈N*）}【解析】：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法写入集合即可．【解答】：解：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法表示为{x|x=10n-1，（n∈N*）}，故答案为：{x|x=10n-1，（n∈N*）}．【点评】：本题考查了进位制以及集合的表示方法，属于基础题．3.（填空题，3分）设正实数x，y满足xy=20，则x+4y的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]8 √5【解析】：由基本不等式，即可得解．【解答】：解：因为x＞0，y＞0，所以x+4y≥2 √x•4y =2 √4×20 =8 √5，当且仅当x=4y，即x=4 √5，y= √5时，等号成立，所以x+4y的最小值为8 √5．故答案为：8 √5 ．【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ．【正确答案】：[1] √ab【解析】：由 √1a 3= a −13 ， (ab )56 = a 56 • b 56 ， √b 3 ）-1= b −13 代入化简即可．【解答】：解： √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1= a −13 • a 56 • b 56b −13= √a • √b = √ab ， 故答案为： √ab ．【点评】：本题考查了有理数指数幂的化简，属于基础题．5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：先把已知的对数式化为指数式，求出a ，b 的值，再利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2a=log 5b= √2 ， ∴a=2 √2 ，b= 5√2 ，∴（ab ） √2 =（2 √2 •5√2 ） √2 =102， ∴lg （ (ab )√2 ）=lg102=2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，+∞）【解析】：推导出A⊆B ，列出方程组，能求出m 的取值范围．【解答】：解：集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}，A∩B=A ， ∴A⊆B ，∴ {2−m ≤2m −12−m ≤−22m −1≥5 ， 解得m≥4．∴m 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：采用列举法，列举出A 中的元素，再计算真子集个数．【解答】：解：∵A={（x ，y ）|x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}． ∴A={（1，7），（5，5），（7，1）}共3个元素． ∴A 的真子集有23-1=7个． 故答案为：7．【点评】：用列举法写出A 的所有元素是解答本题的关键．属于易做题． 8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ． 【正确答案】：[1]{0，1，2，3}【解析】：先解一元二次不等式求出集合B ，再根据集合的基本运算即可求解．【解答】：解：∵B={x| x+2x−3＞0，x∈R}={x|（x+2）（x-3）＞0}={x|x ＞3或x ＜-2}，∴∁R B={x|-2≤x≤3}， ∵A=N ，∴A∩（∁R B ）={0，1，2，3}， 故答案为：{0，1，2，3}．【点评】：本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ． 【正确答案】：[1]（ 17， 12）【解析】：设y=ax 2+bx-7，ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），得到开口向下，2和7为函数与x 轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a 与b 的关系，化简不等式-7x 2+bx+a ＞0即可求得答案．【解答】：解：因为不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞）， 所以 { a ＜0−ba =2+7−7a=2×7 ，解得 {a =−12b =92 ，则不等式-7x 2+bx+a ＞0即为14x²-9x+1＜0， 解得 17＜x ＜12 ，故-7x 2+bx+a ＞0的解集为（ 17 ， 12 ）． 故答案为：（ 17 ， 12 ）．【点评】：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ． 【正确答案】：[1]- 14【解析】：利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0， ∴ log 2(12log 2x) + 12log 2(14log 2x) + 14 log 2（log 2x ）=0，∴ log 2[12log 2x•(14log 2x)12•(log 2x )14] =0，∴ 12log 2x • 12(log 2x )12 • (log 2x )14 =1，∴ log 2x •(log 2x )12•(log 2x )14 =4，∵log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）= log 2[14log 2x•(12log 2x)14•(log 2x )12] =log2(12)14 = log22−14 =- 14，故答案为：- 14．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．11.（填空题，3分）已知a、b、c均为正实数，则ab+bca2+b2+c2的最大值为___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：根据基本不等式的性质，利用a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，即可求出ab+bca2+b2+c2的最大值．【解答】：解：a、b、c均为正实数，则a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，∴ ab+bc a2+b2+c2 = ab+bc(a2+12b2)+(12b2+c2)≤√2(ab+bc)= √22，当且仅当a=c= √22b 时，等号成立，∴ ab+bc a2+b2+c2的最大值为√22．故答案为：√22【点评】：本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1．【正确答案】：[1]1859【解析】：由2m的最高位为1，得到2m x（210）n的最高位也为1，构成以指数幂为10的周期性，得到前三个数最高位数字为l的数为20，24，27，结合周期性，即可求解．【解答】：解：若2m的最高位为1，由210=1024，其中210的最高位为1，可得2m×（210）n 的最高位也为1，所以构成以指数幂为10的周期性，其中前三个数最高位数字为1的数为20，24，27，即每个周期内有3个最高位为1的数字，又由26190=20×210×619，26194=24×210×619的最高位为1，所以在集合A={1，2，4…，26194}中最高位为1的共有619×3+2=1859个．故答案为：1859．【点评】：本题考查了进位制，周期性，属于中档题．13.（单选题，4分）设a，b，c，d为实数，下列说法正确的是（）A.若a＞b，则a2＞b2B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac ＞bdC.若√a＞b，则a＞b2D.若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2【正确答案】：D【解析】：根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可求解．【解答】：解：对于A，令a=1，b=-1，满足a＞b，但a2=b2，故A错误，对于B，令a=2，b=1，c=2，d=1，满足a＞b＞0，c＞d＞0，但ac =bd，故B错误，对于C，令a=1，b=-1，满足√a＞b，但a=b2，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴a-b＞0，a2＞b2，∴a2-ab=a（a-b）＞0，ab-b2=b（a-b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了作差法，以及特殊值法，属于基础题．14.（单选题，4分）已知实数a，b，则“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：C【解析】：由分式不等式转化为整式不等式，结合平方差公式和绝对值不等式，由充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：已知实数a，b，不等式a+ba−b＞0等价为（a+b）（a-b）＞0，即为a2-b2＞0，即a2＞b2，即为|a|＞|b|，所以“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的充要条件．故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log154945=（）A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a【正确答案】：D【解析】：利用对数的运算性质和换底公式求解．【解答】：解：∵a=log35，b=log57，∴ab=log37，∴ log154945=log1549-log1545=2log157-log155-2log153= 2log715 - 1log515- 2log315= 2log73+log75 - 11+log53- 21+log35= 21ab +1b- 11+1a- 21+a= 2ab1+a - a1+a- 21+a= 2ab−a−21+a，故选：D．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质和换底公式的应用，是基础题．16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.27【正确答案】：C【解析】：利用绝对值的性质可知|a|≤3，|b|≤3，|c|≤3，然后取a ，b ，c=±3，不合题意，再取a=3，b=-3，c=0，符合题意，即可得解．【解答】：解：∵6=|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≥|（a+b+c ）-a-b+c|=2|c|，∴|c|≤3，同理可得|a|≤3，|b|≤3，若a ，b ，c=±3，显然不可能；若a=3，b=-3，c=0，此时符合题意，则a 2+b 2+c 2=18．故选：C ．【点评】：本题考查代数式最值的求解，考查绝对值的性质及意义，考查运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，6分）若实数x ，y 满足集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等，求x ，y 的值．【正确答案】：【解析】：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}，由此能够求出x ，y 的值．【解答】：解：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，lg （xy ）=0，即xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}．所以 {x =|x |xy =1y =1或 {x =y xy =1|x |=1 ， 解得x=y=1或x=y=-1．当x=y=1时，A=B={0，1，1}，与集合元素互异性矛盾，应舍去；当x=y=-1时，A=B={-1，0，1}，故x=y=-1．【点评】：本题考查集合相等的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意集合中元素互异性的合理运用．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．【正确答案】：【解析】：（1）结合不等式的特征，利用函数的对称性去掉绝对值符号求解不等式即可；（2）将不等式进行变形，然后结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得不等式的解集．时，不等式即：x2-5x+7＜2x-5，【解答】：解：（1）当x≥52整理可得x2-7x+12＜0，解得3＜x＜4，令f（x）=x2-5x+7，g（x）=2x-5对称，注意到函数f（x），g（x）均关于直线x=52时不等式的解集为1＜x＜2，由函数的对称性可得当x＜52综上可得，不等式的解集为（1，2）⋃（3，4）．（2）不等式即√x−1＜−2x+5，不等式有解时，x≥1，注意到函数f(x)=√x−1单调递增，函数g（x）=-2x+5单调递减，且f（2）=g（2）=1，结合函数的定义域可得不等式√x−1＜−2x+5的解集为{x|1≤x＜2}．【点评】：本题主要考查含有绝对值不等式的解法，对称性的应用，函数单调性的应用等知识，属于中等题．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知得4-xy=2x+y ，然后结合基本不等式即可求解；（2）由已知先用y 表示x ，然后代入后结合基本不等式可求．【解答】：解：（1）因为xy+2x+y=4，所以4-xy=2x+y ≥2√2xy ，当且仅当2x=y 时取等号，解得 √xy ≤√6−√2 ，故xy 的最大值8-4 √3 ，此时x= √3−1 ，y=2 √3 -2；（2）因为xy+2x+y=4，所以x= 4−y y+2 =-1+ 6y+2 ，所以x+y=-1+ 6y+2 +y=-3+ 6y+2+y+2 ≥−3+2√(y +2)•6y+2 =-3+2 √6 ， 当且仅当y+2= 6y+2 ，即y= √6 -2，x= √6 -1时取等号，x+y 的最小值-3+2 √6 ．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合理的配凑基本不等式的应用条件．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m≥0）满足关系式x=3- k m+1 （k 为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k 的值，并将该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用m （万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？【正确答案】：【解析】：（1）当m=0时，x=1，求出k的值，从而得到x，然后利用每件产品的销售价格元，列出y的函数关系式即可；为1.5× 8+16xx（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1，则1=3-k，解得k=2，，所以x=3- 2m+1元，因为每件产品的销售价格为1.5× 8+16xx]-（8+16x+m）∴利润函数y=x[1.5× 8+16xx）-m=4+8x-m=4+8（3- 2m+1+（m+1）]+29（m≥0）．=-[ 16m+1+（m+1）]+29（m≥0），（2）因为利润函数y=-[ 16m+1+（m+1）≥2 √16 =8，所以，当m≥0时，16m+1=m+1，即m=3（万元）时，y max=21（万元）．∴y≤-8+29=21，当且仅当16m+1所以，该厂家促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．【点评】：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据新定义检验即可；（2）利用新定义计算求解可得d的值；（3）设t=−cm x2+cx，由新定义得关于t的方程t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，由二次函数性质求得t的范围，由h（t）min＞0可得c的范围．【解答】：解：（1）若f（x），g（x）是否为一对“太极函救”，由f（x）=x+1=0，得x=-1，所以g（f（-1））=g（0）=1，x=-1不是g（f（x））的零点，所以f（x），g（x）不是一对太极函救；（2）设r为方程的一个根，即f（r）=0，由题设g（f（r））=0，所以g（0）=g（f（r））=d=0；（3）因为d=0，由a=1，f（m）=0得b=−cm，所以f(x)=bx2+cx=−cm x2+cx，g(f(x))=f(x)[f2(x)−cmf(x)+c]，由f（x）=0得x=0或m，易得g（f（x））=0，据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点，故f2(x)−cmf(x)+c=0无实数根，设t=−cm x2+cx，则t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，c＞0时，t=−cm (x−m2)2+mc4≤mc4，ℎ(t)=t2−cmt+c=(t−c2m)2+c−c24m2，mc 4≤c2m，即0＜m≤√2时，ℎ(t)min=ℎ(mc4)=m2c216−c24+c＞0，解得0＜c＜164−m2，mc 4＞c2m，即m＞√2时，ℎ(t)min=ℎ(c2m)=c−c24m2＞0，0＜c＜4m2，综上，m∈(0，√2]时，c∈(0，164−m2)，m∈(√2，+∞)时，c∈（0，4m2）．【点评】：本题主要考查新定义的理解与应用，函数的最值的求解，分类讨论的数学思想，二次函数的最值等知识，属于中等题．。

2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题满分30分，本大题共有10题，只要求直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律的零分）1．若1∈{a，a2}，则a的值是．2．若f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1+）﹣f（）＝．3．设集合A＝{x|ax+1＝0，x∈R}只有一个子集，则满足要求的实数a组成的集合是．4．已知函数的定义域为R，则实数m的范围为．5．不等式7|x+1|＜5﹣x的解集为．6．若函数是奇函数，且，则p＝．7．已知集合A＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，B＝{x|x2﹣2x﹣15≤0}，且A⊂B，则实数m的取值范围是．8．对任意的x∈[0，1]均有|ax+b|≤1，则|a|的最大值为．9．设正实数x、y满足，则的最小值为．10．已知函数y＝f（x）的定义域为{a，b，c}，值域为{﹣2，﹣1，0，1，2}的子集，则满足f（a）+f（b）+f（c）＝0的函数y＝f（x）的个数为．二、选择题（本大题满分12分，本大共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分）11．设a、b、c、d∈R，则是成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件12．当a＞b＞c时，下列不等式恒成立的是（）A．ab＞ac B．a|c|＞b|c|C．|ab|＞|bc|D．（a﹣b）|c﹣b|＞0 13．已知实数a＜b，关于x的不等式x2﹣（a+b）x+ab+1＜0的解集为（x1，x2），则实数a、b、x1、x2从小到大的排列是（）A．a＜x1＜x2＜b B．x1＜a＜b＜x2C．a＜x1＜b＜x2D．x1＜a＜x2＜b 14．已知函数g（x）的定义域为R，对任何实数m、n，都有g（m+n）＝g（m）+g（n）+1，且函数f（x）＝+g（x）的最大值为p，最小值为q，则p+q的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2三、解答题：（本大题满分0分。

2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ） A ．{0，1} B ．{0，1，2} C ．{-1，0，1} D ．{-1，0，1，2}【答案】C【解析】先解绝对值不等式得{}22A x x =-<<，再求集合交集即可得答案. 【详解】解：由2x <得22x -<<，故{}22A x x =-<<， 所以{}1,0,1A B =-. 故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，绝对值不等式，是基础题. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()f x ()g xB ．()||f x x =与()g xC ．()f x =()2g x x =D ．()x f x x=与0()g x x =【答案】D【分析】逐一分析选项，判断是否满足函数的三个要素.【详解】A.()f x 的定义域是{}2x x ≥，()g x 的定义域是(][),22,-∞-+∞，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.()f x x =，()g x x ==，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；C.()2f x x ,()2g x x =，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；D.两个函数的定义域是{}0x x ≠，对应关系()()1f x g x ==，所以是同一函数. 故选D.【点睛】本题考查了函数的三个要素，属于简单题型,意在考查对函数概念的理解. 3．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ） A ．{ x |是小于18的正奇数} B ．{}|41,5x x k k Z k =+∈<且C ．{}|43,,5x x s s N s =-∈≤且D ．{}|43,,5x x s s N s *=-∈≤且【答案】D【分析】对照四个选项一一验证：对于A ：{ x |是小于18的正奇数}={}1,3,5,7,9,11,13,15,17，即可判断； 对于B ：{}{}|41,53,1,5,9,13,17x x k k Z k =+∈<=-且即可判断； 对于C ：{}{}|43,,53,1,5,9,13,17x x s s N s =-∈≤=-且即可判断；对于D ：{}{}|43,,51,5,9,13,17x x s s N s *=-∈≤=且即可判断.【详解】对于A ：{ x |是小于18的正奇数}={}1,3,5,7,9,11,13,15,17，，故A 错误； 对于B ：{}{}|41,53,1,5,9,13,17x x k k Z k =+∈<=-且，故B 错误； 对于C ：{}{}|43,,53,1,5,9,13,17x x s s N s =-∈≤=-且，故C 错误；对于D ：{}{}|43,,51,5,9,13,17x x s s N s *=-∈≤=且，故D 正确.故选：D4．24x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．23x > B ．2x C ．2x ≥ D ．3x >【答案】D【解析】先解不等式24x >,，再利用充分不必要条件的定义判断. 【详解】不等式24x >,解得2x >或2x <-, 所以24x >成立的一个充分不必要条件是3x > 故选：D5．已知()f x 为一次函数，且[()]43,f f x x =-则(1)f 的值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】设()f x kx b =+，代入[()]43,f f x x =-得到()21f x x =-或()23f x x =-+，计算得到答案.【详解】设()f x kx b =+则2[()]()()43f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=- 24,3k kb b =+=-2,1,()21,(1)1k b f x x f ==-=-=或2,3,()23,(1)1k b f x x f =-==-+= 综上：(1)1f = 故答案选B【点睛】本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵活掌握和应用.6．函数()11,021,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a =，则实数a 的值为（ ）A ．±1B ．-2或±1C ．-1D ．-2或-1【答案】C【分析】根据分段函数解析式，分段求解，即可得答案.【详解】当0a ≥时，令11,22a a a -==- ，与0a ≥矛盾，不合题意；当0a <时，令1,1a a a==± ，取1a =- ，符合题意， 故选：C7．若函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】易得0a =满足；当0a ≠时，满足014a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩可求解.【详解】当a 0=时，()23f x x =-在(),4-∞上单调递增，满足题意；当0a ≠时，要使()f x 在(),4-∞上单调递增，则满足014a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得104a -≤<，综上，实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D.8．若对满足条件(0,0)xy x y x y =+>>的任意x y ，，不等式20x y k +->恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A．(,3-∞+ B．(,3-∞+ C．(,-∞ D．(,-∞【答案】B【解析】由基本不等式求出2x y +的最小值，可得k 的范围． 【详解】∵xy x y =+，0,0x y >>，∴111x y+=，∴1122(2)33x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2x y y x =，即1,2x y ==∴2x y +的最小值是3+20x y k +->恒成立，即2k x y <+恒成立，∴3k <+故选：B ．【点睛】不等式恒成立求参数范围问题的通常解法是用参数分离法转化为求函数的最值，函数的最值可以是一元函数的最值，利用函数的单调性求得最值，也可以是用基本不等式求得最值． 二、多选题9．下列函数中，在()0,2上是减函数的是（ ） A ．1y x= B ．21y x =- C ．12y x =-D ．()221y x =-【答案】AC【分析】根据反比例函数的性质，可判断A ；根据一次函数的性质可判断B,C;根据二次函数的性质可判断D.【详解】1y x =为反比例函数，在0+∞（，）时是减函数，故在()0,2上是减函数，故A 正确； 21y x =-为一次函数，在R 上是增函数，故在()0,2上是增函数，故B 错误；12y x =-为一次函数，在R 上是减函数，故在()0,2上是减函数，故C 正确；()221y x =-在1+2∞（，）时是增函数，故在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，故D 错误， 故选：AC10．已知110b a<<，则下列选项正确的是（ ）A ．a b ab +<B ．a b <C ．a b <D ．2ab b >【答案】ABD【解析】由不等式的性质结合作差法逐项判断即可得解.【详解】对于A ，因为110b a<<，所以0,0a b <<，所以0a b ab +<<，故A 正确；对于B ，因为110a bb a ab--=<，所以0a b -<即a b <，故B 正确； 对于C ，由0,0a b <<且a b <可得a b >，故C 错误；对于D ，由()20ab b b a b -=->可得2ab b >，故D 正确.故选：ABD.11．若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值12【答案】AB【解析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值；对B, 对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值；对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B,22a b a b a b =+++++=,,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝ ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误. 对D, ()()2222222121a b a ab b a a b b +=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误.故选：AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题. 12．下列说法错误的是（ ）A ．已知,,a b c R +∈，则a b c ++≥B 2的最小值为2．C ．()1f x x=-在定义域上是增函数．D ．(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，()20M N ⋂=,． 【答案】BCD【分析】利用基本不等式可判断A 、B 的正误，由()()1>1f f -可得C 的正误，由集合的运算可得D 的正误.【详解】解：对于A ，因为,,a b c R +∈，所以222a b a c b ca b c +++++=++≥当且仅当a b c ==时等号成立，故A 正确；对于B 22=≥=，当且仅当=，即21x =-时等号成立，而21x =-无解，所以等号不成立，所以22>，故B 错误；对于C ，1()f x x=-的定义域为{}0x x ≠，因为()()11,11,11f f -<-==-，所以()()1>1f f -，所以()f x 在定义域上不是增函数，故C 错误； 对于D ，由(){}(){},2,,2M x y x y N x y x y =+==-=，得(){}2,0MN =，故D 错误，故选：BCD. 三、填空题13．函数()f x =的定义域为_____________. 【答案】[)()1,22,-+∞【分析】根据偶次根式和分式有意义的要求可得不等式组，解不等式组可求得结果.【详解】由题意得：1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x ≥-且2x ≠，即()f x 的定义域为[)()1,22,-+∞.故答案为：[)()1,22,-+∞.14．已知:02p x ≤≤，2:230q x x --≥，则q ⌝是p 的______．（用“既不充分也不必要条件、必要不充分条件、充分不必要条件、充分必要条件”填空） 【答案】必要不充分条件【分析】求出q ⌝所对不等关系，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】解不等式2230x x --≥得：1x ≤-或3x ≥，则有q ⌝：13x ，显然有{|02}x x ≤≤ {|13}x x -<<， 所以q ⌝是p 的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件15．函数2122y x x =-+的值域是_______【答案】(]0,1【分析】根据二次函数的性质先求222x x -+的值域，取倒数即可求出2122y x x =-+的取值范围．【详解】由2222(1)1t x x x =-+=-+，即1t ≥，所以101t<≤所以211202x x ≤-+<．故函数的值域为(]0,1 故答案为(]0,1【点睛】本题考查函数的值域求法，属于基础题． 四、双空题16．已知函数22()62f x tx x t =-+，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[],1a ，则=a _______；若函数()22g x x a =-，(),()()()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()h x 的最大值为____________. 【答案】 4- 8【解析】由题意知()()10f a f ==且0t <，列出方程组求解t 、a ，求出函数()h x 的解析式，并作出函数()h x 的图像，数形结合可求得最大值.【详解】由题意知()()10f a f ==，且0t <，即222()620(1)620f a ta a t f t t ⎧=-+=⎨=-+=⎩①②， 由②式可求得2t =-或32（舍去）， 将2t =-代入①式可得22680a a --+=，解得4a =-；4a =-，2t =-时，2()268f x x x =--+，()28g x x =+，令()()f x g x ≤解得4x ≤-或0x ≥，所以2268,40()28,40x x x x h x x x ⎧--+≤-≥=⎨+-<<⎩或，二次函数()f x 的对称轴为32x =-，()()40,08f f -==，()()40,08g g -==，作出函数()h x 的图像如图所示，所以函数()h x 的最大值为8. 故答案为：4-；8【点睛】本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系、分段函数的图像与性质，属于中档题. 五、解答题17．已知函数2()45().f x ax ax a R =++∈ （1）若1,a =-求()y f x =的定义域；（2）若函数()y f x =定义域为R ,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[5,1]-(2)5[0,]4【分析】（1）当1,a =-2()45f x x x --+2450x x --+≥得到答案. （2）讨论0a =和0a ≠两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）当1,a =-2()45f x x x --+2450x x --+≥即51x -≤≤ 故定义域为[5,1]-（2）函数()y f x =定义域为R 当0a =时，()5f x =当0a ≠时，2()45f x ax ax =++R ，即2450ax ax ++≥恒成立2050(4)2004a a a a >⎧∴<≤⎨∆=-≤⎩综上所述：5[0,]4a ∈【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0a =的情况是容易犯的错误.18．()1已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值； ()2已知0x >，0y >，223x y +=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．【答案】()1当5x =时，y 的最小值为7．()2 2x =，3y =时，xy 的最大值为6． 【分析】()1直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．()2直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．【详解】()1已知3x >， 则：30x ->，故：44333733y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当：433x x -=-， 解得：5x =，即：当5x =时，y 的最小值为7．()2已知0x >，0y >，223x y +=，则：23x y +≥解得：6xy ≤， 即：123x y==， 解得：2x =，3y =时，xy 的最大值为6．【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.19．已知二次函数()2f x ax bx =+的最小值为()11f =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式：()()23222f x m m x m <+--.【答案】（1）()22f x x x =-；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】（1）由题意可得出()()211f x a x =--，且0a >，再由()2f x ax bx =+可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，进而可得出函数()y f x =的解析式；（2）将所求不等式变形为()()220x mx m --<，对2m和2m 的大小进行分类讨论，由此可得出原不等式的解集.【详解】（1）由于二次函数()2f x ax bx =+的最小值为()11f =-，则()()211f x a x =--，且0a >，所以，2221ax ax a ax bx -+-=+，则102a b a -=⎧⎨=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以，()22f x x x =-；（2）由()()23222f x m m x m <+--，可得()2232222x x m m x m -<+--，即()223220x m m x m -++<，即()()220x mx m --<.①当22m m =时，即当0m =或2时，则有()220x m -<，原不等式的解集为∅； ②当22m m >时，即当0m <或2m >时，解原不等式可得22m x m <<，原不等式的解集为()22,m m ；③当22m m <时，即当02m <<时，解原不等式可得22m x m <<，原不等式的解集为()2,2m m .综上所述，当0m =或2时，原不等式的解集为∅； 当0m <或2m >时，原不等式的解集为()22,m m ；当02m <<时，原不等式的解集为()2,2m m .【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.20．已知函数()22x x af x x-+=．(1)若对任意的()0,x ∈+∞，()0f x >恒成立．试求实数a 的取值范围； (2)若0a >时，求函数()f x 在[)2,+∞上的最小值． 【答案】(1)1a >(2)()()()min04224aa f x a ⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩【分析】（1）由已知将不等式等价于22a x x >-+在()0,x ∈+∞上恒成立，再运用二次函数的性质可求得实数a 的取值范围；第 11 页 共 11 页 （2）先运用单调性的定义证得函数()f x 的单调性，再分当04a <≤时，当4a >时，讨论可求得函数函数()f x 在[)2,+∞上的最小值．【详解】(1)解：根据题意得220x x a -+>在()0,x ∈+∞上恒成立，等价于22a x x >-+在()0,x ∈+∞上恒成立，因为()22g x x x =-+在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11g x g ==，所以1a >；(2)解：()2a f x x x=+-，设120x x << ()()()12121212121a a a f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭()()121212x x x x a x x --=，∵120x x <<∴12<x x a ，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴()f x在(单调递减，同理可证()f x在)+∞单调递增，当04a <≤时，02<，函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，()()min 22a f x f ==； 当4a >2>，函数()f x在⎡⎣上单调递减，在)+∞上单调递增， ()min 2f x f ==．所以()()()min 04224a a f x a ⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩．。

徐州一中2021-2022学年度高一上学期期中考试 数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}=12A ，,{}2,4B =,则A B = ▲ ．2．已知(1)f x x -=，则(2)f = ▲ ． 3．函数0()1(2)f x x x =++-的定义域为 ▲ ．[1,2)(2,)-+∞4．幂函数的图像经过点1(2,)4，则1()2f 的值为 ▲ ．5．已知集合{}0,1,2M ⊆，且M 中含有两个元素，则符合条件的集合M 有 ▲ 个． 6．已知函数()3(,)bf x ax a b R x=++∈，若(2)1f =，则(2)f -= ▲ ． 7．已知函数2()21f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．若关于x 的不等式1a x x ≥--恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．9．设2336ab==，则11a b+= ▲ ．10．4839(log 3log 3)(log 2log 8)+⋅+= ▲ ．11．已知定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(2)0f =， 则不等式(+1)0f x >的解集为 ▲ ．12．已知()f x 是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，2()2f x x x =-+若函数()f x 在区间[t ，2]上的值域为[﹣1，1]，则实数t 的取值范围是 ▲ ．13. 已知定义在R 上的函数2()23f x x x =--，设(),0()|()|,0f x x g x f x x ≤⎧=⎨>⎩若函数()y g x t =-有且只有三个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .14． 已知函数()f x 满足()(),11+=+x f x f 当[]1,0∈x 时，()232f x x x =-若对任意实数x ，都有()()f x t f x +<成立，则实数t 的取值范围 ▲ ． 二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15．（本题满分14分）已知集合A ＝{}2|x y x x =-，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ； (2)求AB ，BC A R ．16. （本题满分14分）试分别推断下列函数的奇偶性.（1）21()|2|2x f x x -=+-；（2）41()log (41)2xg x x =+-. 17．（本题满分14分）已知函数()2()2xx f x mx R =+∈为奇函数． (1)求m 的值；(2)求函数()()4,[0,1]4xxg x f x x -=-∈-的值域． 18．（本小题满分16分）某投资公司方案投资A 、B 两种金融产品，依据市场调查与猜测，A 产品的利润y 与投资量x 成正比例，其关系如图1，B 产品的利润y 与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样安排这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？19．（本小题满分16分）已知二次函数()f x 满足(1)(1)42f x f x x +--=-（x R ∈），且(0)1f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[]0,5上是单调函数，求实数t 的取值范围；（3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．20．已知函数2()()21xxf x x R =∈+. （1）试推断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义给出证明；（2）求函数()()f x x R ∈的值域；(3) 是否存在正整数m ，n 使114(1)2()14(1)2n n m f m m+--<--成立？若存在，求出全部符合条件的有序数对(m ，n )；若不存在，请说明理由． 参考答案1.【答案】{}1,2,42.【答案】33.【答案】4.【答案】45.【答案】36.【答案】57.【答案】[1,)+∞8.【答案】[1,)+∞9.【答案】1210.【答案】251211.【答案】(,3)(1,)-∞-+∞12.【答案】[11]--- 13.【答案】{}(0,3]414.【答案】2(,)3-∞-15.解 (1)由x (x －1)≥0，解得0x ≤或1x ≥，所以(,0][1,)A =-∞+∞．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎡⎭⎫34，＋∞.……………………………7分 (2)由于∁R B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，34， 所以A ∪B ＝(,0][,)34-∞+∞，A ∩(∁R B )＝(,0]A =-∞.………14分16.解（1）由210|2|20x x ⎧-≥⎨+-≠⎩可得函数()f x 的定义域为[1,0)(0,1]-，………2分所以()f x ==，所以()f x x-==-，………4分 所以()()f x f x -=-所以函数()f x 为奇函数.………7分 （2）由于x R ∈， 又41()log (41)()2xg x x --=+--，所以4444411()()log (41)log (41)22(41)(41)4log log log 40(41)(14)x x x x xx x xg x g x x xx x x x x ----=+--+-++⋅=-=-=-=-=++………12分所以()()g x g x -=，所以函数()g x 为偶函数.…………14分 17.解（1）由于函数()2()2xx f x mx R =+∈为奇函数 ， 所以()()0f x f x +-=恒成立．………2分 又11()()22(1)(2)222xx xx x xm f x f x m m +-=+++⋅=++ 由于1202xx +>， 所以10m +=，1m =-．………4分(2)由（1）知函数()22xxf x -=-，所以函数()22xxf x -=-在[0,1]x ∈上为增函数， 所以可得()3[0,]2f x ∈．………6分 令()t f x =，则3[0,]2t ∈且2442x xt -+=+，………10分所以22217(2)2()24y t t t t t =-+=-+-=--- 由于217()24y t =---在1[0,]2t ∈上单调递增，在13[,]22t ∈上单调递减， 所以当12t =时，217()24y t =---的最大值为74-，当32t =时，217()24y t =---的最小值为114-，………12分所以可得()[,]11744g x ∈--．………14分18.解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f （x ）万元，B 产品的利润为g （x ）万元． 由题意设f （x ）=k 1x ，．由图知，∴又g （4）=1.6，∴．从而，………4分………8分（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10﹣x 万元，设企业利润为y 万元．（0≤x ≤10）令，则=………12分当t=2时，，此时x=10﹣4=6………14分答：当A 产品投入6万元，则B 产品投入4万元时， 该企业获得最大利润，利润为2.8万元． ………16分19．解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，代入(1)(1)42f x f x x +--=-，得4242ax b x +=-，对于x R ∈恒成立，故44,22a b =⎧⎨=-⎩，……………………………3分又由(0)1f =，得1c =，解得1,1,1a b c ==-=，∴2()1f x x x =-+．……………………………………………………………………5分（2）由于2()()2(21)1g x f x tx x t x =-=-++2221(21)()124t t x ++=-+-， 又函数()g x 在[]0,5上是单调函数，故2102t +≤或2152t +≥，…………………8分 截得12t ≤-或92t ≥． 故实数t 的取值范围是19(,][,)22-∞-+∞．…………………………………………10分 （3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=， 令2()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，……………………………………………11分 ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；……………………12分②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足题意，故1m =成立；……13分 ③若△0=，则0m =，代入原方程得1x =，满足题意，故0m =成立；…………14分④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40,(2)10,h m h m -=->⎧⎨=-<⎩得14m <<．综上，实数m 的取值范围是{}[)01,4．……………………………………………16分20.解：（1）函数()f x 在R 上为增函数. ……………1分 下面用定义给出证明：设12x x <，则121211()1,()12121x x f x f x =-=-++， 可得1221121111()()(1)(1)21212121x x x x f x f x -=---=-++++ =121222(21)(21)x x x x -++ 由于12x x <，所以1222x x <，所以1212220(21)(21)x x xx -<++，……………3分 所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在R 上为增函数. ……………4分 （2）由于20x>，所以211x +>， 所以10121x<<+，……………6分所以11021x-<-<+ 所以101121x <-<+，所以()(0,1)f x ∈.……………8分（3）由于2()()21xxf x x R =∈+ 所以由114(1)2()14(1)2n n mf m m+--<--可得 ，即，即，由于， 所以，所以m<4，………10分 且由于，所以m=1或2或3，………12分 当m=1时，由（*）得，，所以n=1； 当m=2时，由（*）得，，所以n=1或2； 当m=3时，由（*）得，，所以n=2或3或4，综上可知，存在符合条件的全部有序实数对为：．………16分。

浙江省台州市第一中学2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{1,3,5,7,9},{0,3,6,9,12}A B ==,则NA B ⋂=A. {1,5,7}B. {3,5,7}C. {1,3,9}D. {1,2,3}【答案】A 【解析】 试题分析：NA B ⋂为在集合A 但不在集合B 中的元素构成的集合，因此{1,5,7}NA B ⋂=考点：集合的交并补运算2.下列函数在定义域上既是增函数,图像又关于原点对称的是（ ） A. y =x |x |B. y =e xC. y =12xD.2log y x =【答案】A 【解析】 【分析】由题得B,C,D 不是奇函数，所以它们的图象不关于原点对称，A 的函数既是奇函数，又是增函数，即得解.【详解】由题得B,C,D 不是奇函数，所以它们的图象不关于原点对称，所以排除B,C,D. A,()||,f x x x =所以()||(),f x x x f x -=-=-所以函数是奇函数，所以其图象关于原点对称.又220()=,0x x f x x x x x ⎧-<=⎨≥⎩，,由其图象得该函数是增函数.故选：A【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.函数f (2x )=x +1,则f (4)=（ ）A. 5B. 4C. 3D. 9【答案】C 【解析】 【分析】 令2x =即得解.【详解】当2x =时，(22)(4)213f f ⨯==+=. 故选：C【点睛】本题主要考查函数值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4.已知函数()()()()1,0f 2,0x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则f （﹣2）＝（ ） A. 0 B. 1C. ﹣2D. ﹣1【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中所给的分段函数的解析式，将自变量的值代入，依次求出相应的函数值，最后得到结果.【详解】利用题中所给的函数解析式，可得(2)(0)011f f -==+=， 故选B.【点睛】该题考查是有关分段函数求函数值的问题，在解题的过程中，注意利用所给的自变量的范围，选择恰当的式子代入，最后求得结果.5.设a =0.30.4,b =log 40.3,c =40.3,则a ,b ,c 的大小关系为（ ） A. b >c >a B. a >c >bC. c >a >bD. a >b >c【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数对数函数的单调性求出,,a b c 的范围，即得解.【详解】0.4000.3.103a <<==，44log 0.3log 1=0b =<，0.3044=1c =>， 所以c a b >>【点睛】本题主要考查指数函数对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.设函数f (x )=21log x x-,则函数f (x )的零点所在的区间为（ ） A. (0，1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞)【答案】B 【解析】 【分析】求出(1)0,(2)0f f ><，即得解. 【详解】由题得11(1)1010,(2)1022f f =-=>=-=-<， 所以(1)(2)0f f <，又因为函数是(0,)+∞上的连续函数，由零点存在性定理得函数f (x )的零点所在的区间为(1,2). 故选：B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.函数()f x x lg x =⋅的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】排除法：利用奇函数排除A 、C ；利用x ∈（0，1）时，f （x ）＜0排除B ． 【详解】解：因为f （-x ）=-xlg|-x|=-xlg|x|=-f （x ）， 所以f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，排除A 、C ， 又当x ∈（0，1）时，f （x ）＜0，据此排除B ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 8.已知函数f （x ）=2+2x xxe e -+的最大值为M ,最小值为m ,则M +m 的值等于（ ）A. 2B. 4C. 2+221e e +D. 4+241ee +【答案】B 【解析】 【分析】设2()x xxg x e e-=+，证明函数()g x 为奇函数，再利用奇函数的对称性得解. 【详解】设2()x xxg x e e -=+, 所以2()()xxxg x g x e e ---==-+， 所以函数()g x 奇函数.设函数()g x 为奇函数的最大值为N,最小值为n, 则N+n=0.由题得2,2,M N m n =+=+ 所以44M m N n +=++=. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.关于x 的方程9x +3x ·a +a +3=0有实根,则a 的取值范围是（ ） A. (-∞,-3] B. (-∞,-2]C. (-∞-2][6,+∞)D. (-∞,0)【答案】B 【解析】 【分析】先化简得到2(31)23231x x xa +-⋅+=-+，再利用基本不等式求右边函数的值域即得解.【详解】由题得229333(31)232313131x x x x x x x a +++-⋅+=-=-=-+++，所以4[(31)2]2]231x x a =-++-≤-=-+. 当且仅当4(31)31xx +=+即0x =时取等. 所以a 的取值范围是(-∞,-2]. 故选：B【点睛】本题主要考查方程的有解问题，考查基本不等式求函数的最值和值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.已知函数f (x )=(x 2-x )(x 2+ax +b ),若对任意x ∈R ,均有f (x )=f (3-x )，则f (x )的最小值为（ ） A. -94B. -1C. -3516D. 0【答案】B 【解析】 【分析】先求出22()(1)(2)(3)(3)(32)f x x x x x x x x x =---=--+，再设293()4x x t t -=≥-，利用二次函数求解.【详解】令20,0x x x -=∴=或1x =. 对任意x ∈R ,均有f (x )=f (3-x ), 所以(0)(3),(1)(2)f f f f ==， 所以2(2)(3)x ax b x x ++=--，所以22()(1)(2)(3)(3)(32)f x x x x x x x x x =---=--+ 所以222()(3)2(3)f x x x x x =-+-， 设293()4x x t t -=≥-， 所以29()2()4g t t t t =+≥-， 当1t =-时，min ()1g t =-.所以f (x )的最小值为1-. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用和解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.设函数y 的定义域为A ,不等式2x -1≥0的解集为B ,则A =_____，A ∩B =____. 【答案】 (1). [2,2]-， (2). 1[,2]2【解析】 【分析】解不等式240,x -≥即得A ；再求B 和A B .【详解】由题得240,22x x -≥∴-≤≤. 所以[2,2]A =-. 因为11210,[,)22x x B -≥∴≥∴=+∞，. 所以1[,2]2AB =.故答案为：[2,2]-，1[,2]2【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查集合的交集的运算和二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知幂函数f (x )=x a 的图象过点(4,2),则a =_______ 【答案】12【解析】 【分析】直接把点的坐标代入幂函数的解析式即得解. 【详解】由题得2242,aa== 所以12a =.故答案为：12【点睛】本题主要考查幂函数的解析式中参数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.13.已知函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ,其中O (0.0),A (1,2),B (3，1),则1(3)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=_________函数g (x )=f (x )-32零点的个数为____________【答案】 (1). 2 (2). 2 【解析】 【分析】（1）先求(3)f 的值，再求1(3)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值；（2）利用图象分析3()2f x =的解的个数即得解. 【详解】（1）由题得1(3)=1[](1)2(3)f f f f ∴==，. （2）令3()()02g x f x =-=， 所以3()2f x =， 观察函数()f x 的图象可以得到3()2f x =有两个解， 所以g (x )=f (x )-32零点的个数为2. 故答案为：（1）2；（2）2.【点睛】本题主要考查函数值的求法和函数的零点个数的确定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.设f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x >0时,有f (x )=lg (x +4),则f (0)=_____.当x <0时,f (x )=__________.【答案】 (1). 0 (2). lg(4)x --+【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求(0)f ；（2）利用奇偶性求出0x <时的函数解析式得解. 【详解】（1）因为函数是定义在R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以(0)(0),(0)0f f f -=-∴=. （2）设0x <，则0x ->， 所以()lg(4)f x x -=-+， 所以()lg(4)f x x -=-+， 所以()lg(4)f x x =--+.所以0x <时，()lg(4)f x x =--+. 故答案为：（1）0；（2）lg(4)x --+.【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查奇偶函数在对称区间的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.若函数f (x )=log a (x +5)+1(a >0且a ≠1),图像恒过定点P (m ,n ),则m +n =______;函数g (x )=ln (x 2+m )的单调递增区间为________【答案】 (1). -3 (2). (2+)∞，【解析】 【分析】（1）求出函数()f x 的定点，即得m n +的值；（2）利用复合函数的单调性原理求函数()g x 的单调递增区间.【详解】（1）当4x =-时，1y =.所以函数()f x 的图象过定点(4,1)-，所以4,1m n =-=. 所以413m n +=-+=-.（2）由题得函数2()ln(4)g x x =-， 所以240,2x x ->∴>或2x <-.函数24y x =-在(2+)∞，上是增函数，在(,2)-∞-上是减函数， 又函数ln y x =是增函数，所以函数2()ln(4)g x x =-的单调递增区间为(2+)∞，. 故答案为：（1）-3；（2）(2+)∞，【点睛】本题主要考查对数型函数的定点问题，考查对数型函数的单调性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.定义区间[1x ,2x ]的长度为2x -1x ,若函数y =|log 2x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,3]到,则区间[a ,b ]的长度最大值为______ 【答案】638【解析】 【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a ，]b 的长度的最大值． 【详解】因函数2|log |y x =的定义域为[a ，]b ，值域为[0，3]，23log 3x ∴-，解得188x ，故函数的定义域为1[8，8]，此时，函数的定义域的区间长度为163888-=， 故答案为：638． 【点睛】本题主要考查新定义理解及应用，考查对数函数的图象和性质，考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17.已知分段函数27,0(),0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若(())(()2)f f a f f a ≥+，则实数a 的取值范围是______.【答案】(9,7]-- 【解析】 【分析】讨论()f a 与)2f a +（的取值，从而化简不等式，从而利用排除法确定答案． 【详解】令()0,7f x x =∴=-，令()2,9f x x =-∴=-. （1）当()0f a ≤，)20f a +≤（，即9a -时； (())(7)14f f a f a a =+=+,()2)(9)16f f a f a a +=+=+（， 所以(())f f a ()2)f f a <+（， 故(())(()2)f f a f f a ≥+不成立.（2）当()0f a ≤，)20f a +>（，即97a -<-时， (())(7)14f f a f a a =+=+，2()2)(9)(9)f f a f a a +=+=+（，所以214(9)a a +≥+，即217670a a ++≤，在97a -<-上恒成立，所以97a -<-.（3）当()0,()20f a f a >+>，即7a >-时，函数单调递增， 所以()()2f a f a ≥+，显然不成立.（4）当()0,()20f a f a >+≤，即0()2f a <≤-，显然此种情况不存在. 故答案为：(9,7]--【点睛】本题主要考查分段函数的图象和性质的应用，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题（本大题共5小题，14+15+15+15+15=74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.化简求值：（120231()327π-++-（2）5log 450.5553log 212log log log 14510--- 【答案】（1）7；（2）-2 【解析】 【分析】（1）直接利用指数的运算法则化简得解；（2）利用对数的运算法则化简得解.【详解】（1）原式=213()382973-++-=-+=；（2）原式=512101log (21)2log 4314⨯⨯- =1+14=2--.【点睛】本题主要考查指数和对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19.已知集合A ={}2|280,x x x x R --≤∈，B ={}2|(5)50,x x m x m x R -++≤∈ （1）若m =3，求A ∪B ；（2）设全集为R ，若B ⊆C R A ，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）A ∪B ={|25}x x -≤≤；（2）4m >. 【解析】 【分析】（1）先求出集合A,B,再求A ∪B 得解；（2）先求出{|2R C A x x =<-或4}x >，再对m 分类讨论得解.【详解】（1）m=3时，B ={}2|8150{|35}x x x x x -+≤=≤≤， A={}|(4)(2)0{|24}x x x x x -+≤=-≤≤， 所以A ∪B ={|25}x x -≤≤.（2）由题得{|2R C A x x =<-或4}x >，B ={}|(5)()0x x x m --≤，当m=5时，B={5}满足已知. 当5m >时，[5,]B m =，满足已知.当5m <时，[,5]B m =，4m >，所以45m <<. 综上，4m >.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，（1）求实数a ,b 的值；（2）求函数f （x ）在[0，t ]上的最小值g （t ）.【答案】（1）1a b ==；（2）当01t <≤时，g （t ）=2(1)t -；当1t >时，g （t ）0=. 【解析】 【分析】（1）先求出二次函数图象的对称轴，再利用单调性得解；（2）对t 分类讨论，利用二次函数的图象得解.【详解】（1）由题得二次函数图象的对称轴为1x =， 所以函数在区间[2,3]上单调递增， 所以min ()(2)441f x f a a b b ==-+==max ()(3)9634f x f a a b a b ==-+=+=，所以1a b ==.(2) 22()21=(1)f x x x x =-+-, 当01t <≤时，g （t ）=2(1)t -； 当1t >时，g （t ）=2(11)0-=.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知定义域为R 的函数21()22x x f x a =-+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用定义加以证明；（3）若对任意的x ∈[1,2]，不等式22()(4)0f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）a =1；（2）单调递增，证明见解析；（3）m <【解析】 【分析】（1）根据(0)0f =求出a 的值，再验证即得解；（2）利用定义证明函数单调递增；（3）先利用函数的性质得到42m x x<+，再利用对勾函数的性质分析求解.【详解】（1）因为函数的定义域为R,所以11(0)0,112f a a =-=∴=+. 经检验当a =1时，有()()f x f x -=-,所以1a =.（2）2+1111111()=1212212221x x x x f x -=---=-+++，函数在定义域内单调递增，证明如下：设12x x >，所以211211()()2121x x f x f x -=-++122122=(21)(21)x x x x -++， 因为1222x x >，所以12()()f x f x >， 所以函数在R 上单调递增.（3）若对任意的x ∈[1,2]，22()(4)f x mx f x ->-+成立， 所以22()(4)f x mx f x ->--， 所以224x mx x ->--， 所以42m x x<+.所以42x x +≥当且仅当x =时取等.所以m <【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数单调性的证明，考查对勾函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a 为实数. （1）当a =-1时，求函数y =f (x )的零点；（2）若f (x )在（-2,2）上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）对于给定的实数a ，若存在两个不相等的实数根1x ，2x ，（1x <2x 且2x ≠0）使得f (1x )=f (2x ),求221212x x x x +的取值范围.【答案】（1）函数y =f (x )的零点为0x =或1x =-；（2）见解析【解析】 【分析】（1）直接解方程即得函数y =f (x )的零点为0x =或1x =-；（2）由题得22(2)()=22(2)ax x a f x x ax x a <⎧⎨-≥⎩，利用分段函数的单调性和二次函数的图象分析即得解；（3）对a 分三种情况讨论，结合函数的图象分析得解. 【详解】（1）2()20f x x x x =++=， 所以(2)0,0x x x x ++=∴=或20x x ++=， 所以0x =或2x x +=-， 所以0x =或1x =-.所以函数y =f (x )的零点为0x =或1x =-.（2）由题得22(2)()=22(2)ax x a f x x ax x a <⎧⎨-≥⎩，二次函数的对称轴为2ax =，当22a <-即1a <-时，由题得22a≤-，即4a ≤-.因为1a <-，所以4a ≤-； 当22a >即1a >时，函数2y ax =在（-2,2）上为增函数，所以1a >； 当222a -≤≤即11a -≤≤时，由题得20a >，所以0a >，所以01a <≤. 综上，所以实数a 的取值范围为(,4](0,)-∞-+∞.（3）当0a =时，20(0)()=2(0)x f x x x <⎧⎨≥⎩， 221212121222x x x x x x x x +>=(因为1x <2x 且2x ≠0，所以不能取等) 当0a >时，函数在R 上单调递增，所以不满足题意；当0a <时，函数在(,)2a-∞单调递减，在,)2a +∞（单调递增. 所以122ax x <<，令221212x x M x x +=，①若122aa x <，则12x x a +=，由20x ≠知22a x a <-且20x ≠所以2222212222221222222222()=112()x x a x x a x x a a a M x x a x x x a x x a x x ax +-+-===+--+=-----+ 所以函数M 在,0),(0,]2a a -（上是增函数， 所以5()2,()22a M M a =-=-， 所以此时5(2,)(,]2M ∈+∞-∞-.②若12x a <，则2x a >-，则2122222ax x ax =-，22122,x x x ax =-<所以22x a >，因为2x a >-，0a <，所以222,2x ax a a a-->-∴<- 2212121221+x x x x M x x x x +==，因为2122222ax xax =-，所以122=x x a x a-， 所以22+x a aM a x a-=-， 令2=(2)x a t t a -<-，所以1+(2)M t t t=<- 所以5(,)2M ∈-∞-，综上，当0a =时，221212(2,)x x x x +∈+∞；当0a >时，不存在；当0a <时，2212125(2,)(,]2x x x x +∈+∞-∞-. 【点睛】本题主要考查函数的零点的求法，考查分段函数的单调性和零点问题，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

辽宁省2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-3＜x-1＜4}，B={x|1-x＞0}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈Z，x∈R”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,3.若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.4.函数f（x）=的定义域为（）A. B.C. D.5.已知函数f（x+1）=x2-x+3，则f（x）=（）A. B. C. D.6.设p：0＜x＜5，q：|x-2|＜3，那么p是q的（）条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要7.函数f（x）=2x2-5x-6有两个零点x1，x2（x1＜x2），则（）A. B. C. D.8.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.9.已知集合A={x|-3≤x-1＜1}，B={-3，-2，-1，0，1，2}，若C⊆A∩B，则满足条件的集合C的个数是（）A. 7B. 8C. 15D. 1610.已知函数f（x）=是R上的单调函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.11.设a＞2，b＞0，若a+b=3，则的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 512.已知函数f（x+3）为奇函数，且对任意不相等的实数a，b，都有成立，则不等式f（3x+1）+f（-x+6）＞0的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3，5}，B={0，2，3，4}，则A∩（∁U B）=______．14.已知函数f（x）=ax2-2是定义在[-2a，a+2]上的偶函数，则f（-2）=______．15.不等式≥0的解集为______．16.若函数f（x）=在[1，2]上单调递减，则正数k的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知集合A={x|x2-x-2=0}，B={x|x2+ax+2a-3=0}≠∅．（1）若a=0，求A∪B；（2）若A∩B=B，求a的取值集合．18.已知函数f（x）=mx+，点A（1，5），B（2，4）是f（x）图象上的两点．（1）求m，n的值；（2）用定义法证明：f（x）是[2，+∞）上的增函数．19.（1）已知a＜b＜c，且a+b+c=0，证明：．（2）用分析法证明：．20.已知关于x的不等式ax2-（2a+1）x+2＜0，其中a∈R．（1）当a=1时，求原不等式的解集；（2）当a≥0时，求原不等式的解集．21.2021年，随着中国第一款5G手机投入市场，5G技术已经进入高速发展阶段．已知某5G手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机x（0≤x≤10）万台，其成本为G（x），其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）万元满足，（1）将利润f（x）表示为产量x万台的函数；（2）当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？22.已知二次函数f（x）=x2-（2m+1）x+m．（1）若方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，求m的取值范围；（2）若对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|-2＜x＜5}，B={x|x＜1}，∴A∩B={x|-2＜x＜1}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：∀x∈Z，x∈R的否定是命题：∃x∈Z，x∉R．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：a＞b，则与的大小关系不确定；由函数y=x5在R上单调递增，∴a5＞b5；c=0时，ac2=bc2；取a=-1，b=-2，|a|＞|b|不成立．因此只有B成立．故选：B．利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论．本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：函数f（x）=，令，解得x≤3且x≠-1；所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，3]．故选：A．根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了利用函数解析式求定义域的问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：∵f（x+1）=x2-x+3，令x+1=t，则x=t-1，∴f（t）=（t-1）2-（t-1）+3=t2-2t+1-t+1+3=t2-3t+5，则f（x）=x2-3x+5．故选：C．令x+1=t，则x=t-1，然后代入可得f（t）=（t-1）2-（t-1）+3=t2-3t+5，即可求解．本题主要考查了利用换元法求解函数解析式，属于基础试题．6.【答案】A【解析】解：由|x-2|＜3，得：-3＜x-2＜3，即-1＜x＜5，即q：-1＜x＜5，故p是q的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=2x2-5x-6，函数的对称轴为x=，函数f（x）=2x2-5x-6有两个零点x1，x2，可知x1＜＜x2，∴函数是连续函数，∵f（0）=-6＜0，f（1）=-9＜0，f（2）=-8＜0，f（3）=-3＜0，f（4）=12＞0，f（5）=19＞0，∴f（3）•f（4）＜0，根据函数的零点的判定定理可得：函数f（x）=2x2-5x-6的零点x2所在的区间是（ 3，4），故选：C．直接利用函数的零点判断定理，求解f（0），f（1），f（2），f（3），f（4），f（5）的函数值，即可推出结果．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，二次函数的性质的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，又由f（-x）=e-x-e x+=-（e x-e-x-）=-f（x），则f（x）为奇函数，排除C、D；在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→-∞，排除B，故选：A．根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→-∞，利用排除法分析可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的判断，用排除法分析．9.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|-3≤x-1＜1}={x|-2≤x＜2}，B={-3，-2，-1，0，1，2}，C⊆A∩B={-2，-1，0，1}，∴满足条件的集合C的个数是：24=16．故选：D．推导出C⊆A∩B={-2，-1，0，1}，由此能求出满足条件的集合C的个数．本题考查满足条件的集合C的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】A【解析】解：∵f（x）=是R上的单调函数，又y=-x2-1在（-∞，0）单调递增，∴f（x）在R上单调递增．∴a＞0且-02-1≤-a，∴0＜a≤1．故选：A．本题利用分段函数单调性的性质求解，保证每一段的单调性及端点的大小满足要求．本题考查了数形结合思想，及分段函数单调性的性质．属于基础题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，若a+b=3，则（a-2）+b=1，则=（）×[（a-2）+b]=2+（+），又由a＞2，b＞0，则+≥2×=2，则=2+（+）≥4，即的最小值为4；故选：C．根据题意，分析可得（a-2）+b=1，进而可得=（）×[（a-2）+b]=2+（+），结合基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对a+b=3的变形，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：∵对任意不相等的实数a，b，都有成立，∴f（x）在R上单调递减，且f（x+3）为奇函数，∴原不等式可化成f（3x+1）＞f[-（-x+3）+3]，∴f（3x+1）＞f（x），∴3x+1＜x，解得x，∴原不等式的解集为．故选：A．根据题意可知f（x）在R上单调递减，再根据f（x+3）是奇函数即可将原不等式化成f（3x+1）＞f（x），从而得出3x+1＜x，解出x的范围即可．本题考查了奇函数的定义，减函数的定义，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．13.【答案】{1，5}【解析】解：由题意知∁U B={1，5，6}，所以A∩（∁U B）={1，5}．故答案为：{1，5}．根据补集与交集的定义，计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．14.【答案】1【解析】解：∵f（x）是定义在[-2a，a+2]上的偶函数，∴-2a+a+2=0，∴a=2，∴f（x）=2x2-2，∴f（-2）=8-2=6．故答案为：6．根据偶函数定义域的对称性即可得出-2a+a+2=0，从而可求出a=2，进而可求出f（-2）的值．本题考查了偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】{x|x＞3或-2≤x≤2}【解析】解：由≥0可得，由高次不等式的求解可知，{x|x＞3或-2≤x≤2}故答案为：{x|x＞3或-2≤x≤2}由≥0可得，结合高次不等式的求解可求本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题．16.【答案】[1，3）∪（10，+∞）【解析】解：要使f（x）=在[1，2]上单调递减，则需g（x）=kx2-2x-8在[1，2]上单调递增且同号，由k＞0，得，解得1≤k＜3或k＞10．综上，正数k的取值范围为[1，3）∪（10，+∞）．故答案为：[1，3）∪（10，+∞）．要使f（x）=在[1，2]上单调递减，则需g（x）=kx2-2x-8在[1，2]上单调递增且同号，结合k＞0，转化为关于k的不等式组求解．本题考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：（1）A={x|x2-x-2=0}={-1，2}，因为a=0，所以，∴；（2）因为A∩B=B，所以B⊆A，且B≠∅，则B={-1}或B={2}或B={-1，2}，若-1∈B，则1-a+2a-3=0，解得a=2，此时B={-1}⊆A；若2∈B，则4+2a+2a-3=0，解得，此时⊈A；若B={-1，2}，则，无解，∴a的取值集合为{2}．【解析】（1）可求出集合A={-1，2}，a=0时，求出集合B，然后进行并集的运算即可；（2）根据A∩B=B可得出B⊆A，并且B≠∅，从而得出B={-1}或B={2}或B={-1，2}，对于每种情况，求出a，并验证是否满足B⊆A即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：由题意可得，，解方程可得，m=1，n=4，（2）证明：由（1）可得，f（x）=x+，设2≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）==x1-x2=，∵2≤x1＜x2，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）是[2，+∞）上的增函数．【解析】（1）把点A（1，5），B（2，4）代入f（x），解方程可求m，n；（2）由（1）可求f（x），然后可设2≤x1＜x2，作差比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断．本题主要考查了待定系数求解函数解析式及函数单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础试题．19.【答案】证明：（1）由a＜b＜c，且a+b+c=0，所以a＜0，且a-c＜b-c＜0，所以（a-c）（b-c）＞0，所以＜，即＜；所以＞，即＜．（2）要证，只需证+＜+，即证a+（a-3）+2＜（a-1）+（a-2）+2；即证＜，即证a（a-3）＜（a-1）（a-2）；即证0＜2，显然成立；所以-＜-．【解析】（1）由题意得出a＜0，且a-c＜b-c＜0，再证明＜，即可得出＜；（2）利用分析法证明命题成立的基本步骤是：要证…，只需证…，即证…，显然成立．本题考查了不等式的证明问题，也考查了综合法与分析法的应用问题，是基础题．20.【答案】解：（1）a=1时，原不等式可化为x2-3x+2＜0，解可得，{x}1＜x＜2}，（2）a≥0时，①当a=0时，原不等式可得，-x+2＜0，解可得，{x|x＞2}；②当a＞0，（ax+1）（x+2）＜0，∴（x+）（x+2）＜0，（i）-＞-2即a时，解可得，{x|}；（ii））-＜-2即0＜a时，解可得，{x|-2}；（iii）-=-2即a=时，解可得，∅综上可得，a时，解集，{x|}；（ii））0＜a时，解集，{x|-2}；（iii）a=时，解集，∅【解析】（1）a=1时，原不等式可化为x2-3x+2＜0，解不等式即可求解；（2）a≥0时，对a分类讨论，结合二次不等式的求解即可．本题主要考查了二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用．21.【答案】解：（1）G（x）=1000x+800，∴f（x）=R（x）-G（x）=．（2）当0≤x≤5时，f（x）=-400（x-4）2+5600，故当x=4时，f（x）取得最大值5600；当5＜x≤10时，f（x）=1000x-4600为增函数，故当x=10时，f（x）取得最大值1000×10-4600=5400．综上，当产量为4万台时，公司利润最大，最大利润为5600万元．【解析】（1）根据f（x）=R（x）-G（x）得出解析式；（2）分段求出函数的最大值，从而得出利润的最大值．本题考查了分段函数的解析式与最值计算，属于中档题．22.【答案】解：（1）由方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，则，解得-＜m＜0，∴m的取值范围是（-，0）；（2）对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，即对任意的x∈[1，2]，x2-（2m+1）x+m≤2x 恒成立，∴对任意的x∈[1，2]，x2-（2m+3）x+m≤0恒成立，则，解得m≥-，∴m的取值范围是[-，+∞）．【解析】（1）二次函数f（x）=x2-（2m+1）x+m开口向上，方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，找到等价条件，解不等式组即可；（2）把对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，等价转换为对任意的x∈[1，2]，x2-（2m+3）x+m≤0恒成立，得到关于m的不等式组，求解即可求得m的取值范围．本题主要考查了二次函数的图象性质，二次式恒成立的问题，关键是找到等价条件，属于中档题．。

山东省淄博实验中学、齐盛高级中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知全集U＝{2，3，4，5}，集合M＝{2，3}，N＝{3，4}，则∁U M∩N＝（）A．{5}B．{1，2}C．{4}D．{1，2，3，4}2．下列每组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．函数和C．f（x）＝，g（x）＝D．函数f（x）＝x和3．已知a，b∈R，则“a＜b”是“a3＜b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件4．已知函数f（x）＝2x+x3﹣8的零点x0∈（m﹣1，m），则整数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．25．幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）在（0，+∞）为增函数，则m的值为（）A．1或3B．1C．3D．26．把函数f（x）＝ln|x﹣a|的图像向左平移2个单位长度，所得函数在（0，+∞）单调递增，则a的最大值为（）A．1B．2C．3D．47．已知函数是R上的单调函数，那么实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，3）C．〖，2）D．8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）为减函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的2分，有选错得0分）9．在a＞b＞0的条件下，下列不等式一定成立的是（）A．ac2＞bc2B．C．a2＞ab＞b2D．10．若实数a，b满足log a2＜log b2，则下列关系中可能成立的有（）A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜1＜b C．a＞b＞1D．0＜b＜1＜a11．设函数f（x）定义域为R，对于给定的正数k，定义函数，若函数f（x）＝，则（）A．B．在（0，1）上单调递减C．为偶函数D．最大值为112．意大利画家列奥纳多•达•芬奇（1452.4﹣1519.5）的画作《包银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数〖解析〗式：，其中a为悬链线系数，cosh x 称为双曲线余弦函数，其表达式，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为．则下列关于双曲正、余弦函数结论正确的是（）A．cosh2x﹣sinh2x＝1B．cosh（x+y）＝cosh x cosh y﹣sinh x sinh yC．sinh（x+y）＝sinh x cosh y+cosh x sinh yD．y＝cosh x为偶函数，且存在最小值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算＝．14．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e x+x，则f（x）在R上的〖解析〗式为．15．设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），f（x）＝；若对于x ∈〖1，2〗，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为．16．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则﹣x3（x1+x2）+的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}．（1）若a＝2，求（∁R P）∩Q；（2）命题q：“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数y＝ax2+4x+c（a，c∈N）满足：①当x＝1时，y＝8；②当x＝2时，14＜y＜17．（1）求a，c的值；（2）若对任意的t∈〖﹣2，2〗，不等式y+tx﹣1＞4x+t恒成立，求实数x的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝2•4x﹣a•2x+1．（1）当a＝3时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）求函数f（x）在〖0，1〗上的最小值．20．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并利用定义证明；（2）解不等式f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0．21．（12分）2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在让日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，x为年产量（单位：万箱）；已知p（x）＝．通过市场分析，如若每万箱售价400万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润＝销售收入﹣总成本）（1）求年利润与y（万元）关于年产量x（万箱）的函数关系式；（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．22．（12分）定义在上的函数f（x）满足：对任意的都有，且当时，f（x）＞0．（1）判断f（x）在上的单调性并证明；（2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．C〖解析〗∵全集U＝{2，3，4，5}，集合M＝{2，3}，N＝{3，4}，∴∁U M＝{4，5}，则∁U M∩N＝{4}．故选：C．2．D〖解析〗对于A，f（x）＝1的定义域R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，f（x）＝＝|x|定义域为R，g（x）＝＝x的定义域为〖0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）＝的定义域为（﹣∞，〗∪〖3，+∞），g（x）＝•＝的定义域为〖3，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）＝x，定义域为R，g（x）＝＝x，定义域为R，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．C〖解析〗因为函数y＝x3为增函数，由a＜b，所以a3＜b3，故“a＜b”是“a3＜b3”的充分条件，由a3＜b3，所以a＜b，故“a＜b”是“a3＜b3”的必要条件，故“a＜b”是“a3＜b3”的充要条件．故选：C．4．D〖解析〗函数f（x）＝2x+x3﹣8，因为f（1）＝2+1﹣8＝﹣5＜0，f（2）＝4+8﹣8＝4＞0，又函数f（x）在R上为单调递增函数，所以存在唯一的零点x0∈（1，2），又零点x0∈（m﹣1，m），所以m＝2．故选：D．5．B〖解析〗幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）在（0，+∞）为增函数，∴，解得，所以m的值为1．故选：B．6．B〖解析〗把函数f（x）＝ln|x﹣a|的图像向左平移2个单位长度，得到函数g（x）＝ln|x+2﹣a|，则函数g（x）在（a﹣2，+∞）单调递增，又因为所得函数在（0，+∞）单调递增，所以a﹣2≤0，即a≤2．所以a的最大值为2．故选：B．7．C〖解析〗函数，若f（x）在R上为单调递增函数，则，解得；若f（x）在R上为单调递减函数，则，无解．综上所述，实数a的取值范围为．故选：C．8．C〖解析〗根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）为减函数，则在〖0，+∞）上，f（x）为增函数，则不等式⇔f（|log3（2x﹣5）|）＞f（log38）⇔|log3（2x﹣5）|＞log38，必有log3（2x﹣5）＞log38或log3（2x﹣5）＜﹣log38，则有2x﹣5＞8或0＜2x﹣5＜，解可得：＜x＜或x＞，即不等式的解集为{x|＜x＜或x＞}，故选：C．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的2分，有选错得0分）9．BC〖解析〗对于A，令c＝0，则ac2＝bc2，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴＞0，∴，故B正确，对于C，∵a＞b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，即a2＞ab＞b2，故C正确，对于D，令a＝2，b＝1，满足a＞b＞0，当c＝1时，，故D错误．故选：BC．10．ABC〖解析〗∵log a2＜log b2，∴log a2﹣log b2＝﹣＝＜0，即＜0，若0＜b＜a＜1，则ln b＜ln a＜0，故＜0成立，故选项A正确；若0＜a＜1＜b，则ln a＜0＜ln b，故＜0成立，故选项B正确；若a＞b＞1，则ln a＞ln b＞0，故＜0成立，故选项C正确；若0＜b＜1＜a，则ln b＜0＜ln a，故＞0成立，故选项D错误；故选：ABC．11．BCD〖解析〗当k＝时，（x）＝，在同一坐标系画出图象如图所示：由图可知，函数（x）在（0，1）上单调递减，函数（x）为偶函数，最大值为1．故选：BCD．12．ACD〖解析〗对于A：cosh2x﹣sinh2x＝＝1，故A正确；对于B：cosh x cosh y﹣sinh x sinh y＝﹣•＝＝cosh（x﹣y），故B错误；对于C：sinh x cosh y+cosh x sinh y＝+＝＝sinh（x+y），故C正确；对于D：cosh（﹣x）＝＝cosh x，故函数为偶函数，由于e x+e﹣x＝e x+≥2，故cosh x ＝≥1（当且仅当x＝0时，等号成立），故D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．〖解析〗原式＝（）++2lg3÷lg3﹣1＝++2﹣1＝．故〖答案〗为：．14．〖解析〗当x＝0时，f（0）＝0，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝e﹣x﹣x，又∵f（x）为奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x+x，∴．15．2x2﹣12x+10；〖﹣8，+∞）〖解析〗因为不等式f（x）＜0的解集是（1，5），所以1和5是方程2x2+bx+c＝0的解，所以，解得b＝﹣12，c＝10，所以f（x）＝2x2﹣12x+10．对于x∈〖1，2〗，不等式f（x）≤2+t有解，即t≥2x2﹣12x+8对于x∈〖1，2〗有解，设g（x）＝2x2﹣12x+8，x∈〖1，2〗，则g（x）在〖1，2〗内单调递减，最小值为g（x）min＝g（2）＝8﹣24+8＝﹣8，所以实数t的取值范围是〖﹣8，+∞）．故〖答案〗为：2x2﹣12x+10；〖﹣8，+∞）．16．（5，〗〖解析〗作函数图象如图，可以判断0＜a≤1，﹣1≤x1＜﹣＜x2≤0，且x1+x2＝﹣1，根据对数的性质，x3x4＝1，且≤x3＜1＜x4≤2，故﹣x3（x1+x2）+＝x3+，且≤x3＜1，又由函数y＝x+在〖，1）递减，可知所求取值范围为（5，〗．故〖答案〗为：（5，〗．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：∵Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}；（1）当a＝2时，P＝{x|3≤x≤5}，∴∁R P＝{x|x＜3或x＞5}，∴（∁R P）∩Q＝{x|﹣2＜x＜3}；（2）∵“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题，∴P⊆Q，当P＝∅时，a+1＞2a+1，解得a＜0；当P≠∅时，，解得0≤a≤2，综上当“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题时a的取值范围是（﹣∞，2〗．18．解：（1）函数y＝ax2+4x+c（a，c∈N），因为当x＝1时，y＝8，当x＝2时，14＜y＜17，所以，解得，因为a，c∈N，所以a＝1，c＝3；（2）由（1）可知，y＝x2+4x+3，对任意的t∈〖﹣2，2〗，不等式y+tx﹣1＞4x+t恒成立，即x2+tx+2﹣t＞0对任意的t∈〖﹣2，2〗恒成立，令g（t）＝（x﹣1）t+x2+2，则g（t）min＞0，所以，即，解得x＜﹣2或x＞0，综上所述，实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．19．解：（1）令t＝2x，所以f（x）≤0⇔2t2﹣3t+1≤0，所以≤t≤1⇒≤2x≤1，解得﹣1≤x≤0，于是f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤0}．（2）令t＝2x∈〖1，2〗，令g（t）＝2t2﹣at+1＝2（t﹣）2+1﹣，①当≤1时，即a≤4，g（t）在〖1，2〗上单调递增，则g（t）min＝g（1）＝3﹣a，②当1＜＜2时，即4＜a＜8，g（t）min＝g（）＝1﹣，③当≥2时，即a≥8，g（t）在〖1，2〗上单调递减，则g（t）min＝g（2）＝9﹣2a，综上，f（x）min＝．20．解：（1）函数在（1，+∞）上单调递减．证明：设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝ln﹣ln＝ln•，由•﹣1＝＞0，可得•＞1，所以ln•＞0，即有f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递减；（2）由＞0，解得x＞1或x＜﹣1，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，f（﹣x）+f（x）＝ln+ln＝ln＝0，所以f（x）为奇函数．不等式f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0即为f（x2+x+3）＞﹣f（﹣2x2+4x﹣7）＝f（2x2﹣4x+7），而x2+x+3＝（x+）2+＞1，2x2﹣4x+7＝2（x﹣1）2+5＞1，由f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得x2+x+3＜2x2﹣4x+7，即为x2﹣5x+4＞0，解得x＞4或x＜1．所以原不等式的解集为{x|x＜1或x＞4}．21．解：（1）当0≤x＜60时，y＝400x﹣＝﹣+40x﹣200，当x≥60时，y＝400x﹣410x﹣+3000﹣200＝，故y关于x的函数〖解析〗式为．（2）当0≤x＜60时，y＝＝，故当x＝40时，y取得最大值600，当x≥60时，y＝＝＝1000，当且仅当，即x＝90时，y取得最大值1000，综上所述，当x＝90时，y取得最大值1000，故年产量为90万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．22．解：（1）令x＝y＝0，则，得f（0）＝0，再令y＝﹣x，则，∴f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（x）为奇函数，对任意，令x＝x1，y＝﹣x2，则，∵当时，f（x）＞0，∴f（x1﹣x2）＞0，1+f（x1）f（x2）＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在上的单调递增．（2）∵f（x）为奇函数，∴，∵f（x）在上的单调递增，且f（0）＝0，∴f（x）在上单调递增，由题意得及在上恒成立，∴，得；，，得，∴，即实数t的取值集合为{}．山东省淄博实验中学、齐盛高级中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知全集U＝{2，3，4，5}，集合M＝{2，3}，N＝{3，4}，则∁U M∩N＝（）A．{5}B．{1，2}C．{4}D．{1，2，3，4}2．下列每组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．函数和C．f（x）＝，g（x）＝D．函数f（x）＝x和3．已知a，b∈R，则“a＜b”是“a3＜b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件4．已知函数f（x）＝2x+x3﹣8的零点x0∈（m﹣1，m），则整数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．25．幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）在（0，+∞）为增函数，则m的值为（）A．1或3B．1C．3D．26．把函数f（x）＝ln|x﹣a|的图像向左平移2个单位长度，所得函数在（0，+∞）单调递增，则a的最大值为（）A．1B．2C．3D．47．已知函数是R上的单调函数，那么实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，3）C．〖，2）D．8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）为减函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的2分，有选错得0分）9．在a＞b＞0的条件下，下列不等式一定成立的是（）A．ac2＞bc2B．C．a2＞ab＞b2D．10．若实数a，b满足log a2＜log b2，则下列关系中可能成立的有（）A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜1＜b C．a＞b＞1D．0＜b＜1＜a11．设函数f（x）定义域为R，对于给定的正数k，定义函数，若函数f（x）＝，则（）A．B．在（0，1）上单调递减C．为偶函数D．最大值为112．意大利画家列奥纳多•达•芬奇（1452.4﹣1519.5）的画作《包银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数〖解析〗式：，其中a为悬链线系数，cosh x 称为双曲线余弦函数，其表达式，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为．则下列关于双曲正、余弦函数结论正确的是（）A．cosh2x﹣sinh2x＝1B．cosh（x+y）＝cosh x cosh y﹣sinh x sinh yC．sinh（x+y）＝sinh x cosh y+cosh x sinh yD．y＝cosh x为偶函数，且存在最小值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算＝．14．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e x+x，则f（x）在R上的〖解析〗式为．15．设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），f（x）＝；若对于x ∈〖1，2〗，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为．16．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则﹣x3（x1+x2）+的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}．（1）若a＝2，求（∁R P）∩Q；（2）命题q：“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数y＝ax2+4x+c（a，c∈N）满足：①当x＝1时，y＝8；②当x＝2时，14＜y＜17．（1）求a，c的值；（2）若对任意的t∈〖﹣2，2〗，不等式y+tx﹣1＞4x+t恒成立，求实数x的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝2•4x﹣a•2x+1．（1）当a＝3时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）求函数f（x）在〖0，1〗上的最小值．20．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并利用定义证明；（2）解不等式f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0．21．（12分）2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在让日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，x为年产量（单位：万箱）；已知p（x）＝．通过市场分析，如若每万箱售价400万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润＝销售收入﹣总成本）（1）求年利润与y（万元）关于年产量x（万箱）的函数关系式；（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．22．（12分）定义在上的函数f（x）满足：对任意的都有，且当时，f（x）＞0．（1）判断f（x）在上的单调性并证明；（2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．C〖解析〗∵全集U＝{2，3，4，5}，集合M＝{2，3}，N＝{3，4}，∴∁U M＝{4，5}，则∁U M∩N＝{4}．故选：C．2．D〖解析〗对于A，f（x）＝1的定义域R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，f（x）＝＝|x|定义域为R，g（x）＝＝x的定义域为〖0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）＝的定义域为（﹣∞，〗∪〖3，+∞），g（x）＝•＝的定义域为〖3，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）＝x，定义域为R，g（x）＝＝x，定义域为R，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．C〖解析〗因为函数y＝x3为增函数，由a＜b，所以a3＜b3，故“a＜b”是“a3＜b3”的充分条件，由a3＜b3，所以a＜b，故“a＜b”是“a3＜b3”的必要条件，故“a＜b”是“a3＜b3”的充要条件．故选：C．4．D〖解析〗函数f（x）＝2x+x3﹣8，因为f（1）＝2+1﹣8＝﹣5＜0，f（2）＝4+8﹣8＝4＞0，又函数f（x）在R上为单调递增函数，所以存在唯一的零点x0∈（1，2），又零点x0∈（m﹣1，m），所以m＝2．故选：D．5．B〖解析〗幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）在（0，+∞）为增函数，∴，解得，所以m的值为1．故选：B．6．B〖解析〗把函数f（x）＝ln|x﹣a|的图像向左平移2个单位长度，得到函数g（x）＝ln|x+2﹣a|，则函数g（x）在（a﹣2，+∞）单调递增，又因为所得函数在（0，+∞）单调递增，所以a﹣2≤0，即a≤2．所以a的最大值为2．故选：B．7．C〖解析〗函数，若f（x）在R上为单调递增函数，则，解得；若f（x）在R上为单调递减函数，则，无解．综上所述，实数a的取值范围为．故选：C．8．C〖解析〗根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）为减函数，则在〖0，+∞）上，f（x）为增函数，则不等式⇔f（|log3（2x﹣5）|）＞f（log38）⇔|log3（2x﹣5）|＞log38，必有log3（2x﹣5）＞log38或log3（2x﹣5）＜﹣log38，则有2x﹣5＞8或0＜2x﹣5＜，解可得：＜x＜或x＞，即不等式的解集为{x|＜x＜或x＞}，故选：C．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的2分，有选错得0分）9．BC〖解析〗对于A，令c＝0，则ac2＝bc2，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴＞0，∴，故B正确，对于C，∵a＞b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，即a2＞ab＞b2，故C正确，对于D，令a＝2，b＝1，满足a＞b＞0，当c＝1时，，故D错误．故选：BC．10．ABC〖解析〗∵log a2＜log b2，∴log a2﹣log b2＝﹣＝＜0，即＜0，若0＜b＜a＜1，则ln b＜ln a＜0，故＜0成立，故选项A正确；若0＜a＜1＜b，则ln a＜0＜ln b，故＜0成立，故选项B正确；若a＞b＞1，则ln a＞ln b＞0，故＜0成立，故选项C正确；若0＜b＜1＜a，则ln b＜0＜ln a，故＞0成立，故选项D错误；故选：ABC．11．BCD〖解析〗当k＝时，（x）＝，在同一坐标系画出图象如图所示：由图可知，函数（x）在（0，1）上单调递减，函数（x）为偶函数，最大值为1．故选：BCD．12．ACD〖解析〗对于A：cosh2x﹣sinh2x＝＝1，故A正确；对于B：cosh x cosh y﹣sinh x sinh y＝﹣•＝＝cosh（x﹣y），故B错误；对于C：sinh x cosh y+cosh x sinh y＝+＝＝sinh（x+y），故C正确；对于D：cosh（﹣x）＝＝cosh x，故函数为偶函数，由于e x+e﹣x＝e x+≥2，故cosh x ＝≥1（当且仅当x＝0时，等号成立），故D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．〖解析〗原式＝（）++2lg3÷lg3﹣1＝++2﹣1＝．故〖答案〗为：．14．〖解析〗当x＝0时，f（0）＝0，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝e﹣x﹣x，又∵f（x）为奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x+x，∴．15．2x2﹣12x+10；〖﹣8，+∞）〖解析〗因为不等式f（x）＜0的解集是（1，5），所以1和5是方程2x2+bx+c＝0的解，所以，解得b＝﹣12，c＝10，所以f（x）＝2x2﹣12x+10．对于x∈〖1，2〗，不等式f（x）≤2+t有解，即t≥2x2﹣12x+8对于x∈〖1，2〗有解，设g（x）＝2x2﹣12x+8，x∈〖1，2〗，则g（x）在〖1，2〗内单调递减，最小值为g（x）min＝g（2）＝8﹣24+8＝﹣8，所以实数t的取值范围是〖﹣8，+∞）．故〖答案〗为：2x2﹣12x+10；〖﹣8，+∞）．16．（5，〗〖解析〗作函数图象如图，可以判断0＜a≤1，﹣1≤x1＜﹣＜x2≤0，且x1+x2＝﹣1，根据对数的性质，x3x4＝1，且≤x3＜1＜x4≤2，故﹣x3（x1+x2）+＝x3+，且≤x3＜1，又由函数y＝x+在〖，1）递减，可知所求取值范围为（5，〗．故〖答案〗为：（5，〗．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：∵Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}；（1）当a＝2时，P＝{x|3≤x≤5}，∴∁R P＝{x|x＜3或x＞5}，∴（∁R P）∩Q＝{x|﹣2＜x＜3}；（2）∵“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题，∴P⊆Q，当P＝∅时，a+1＞2a+1，解得a＜0；当P≠∅时，，解得0≤a≤2，综上当“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题时a的取值范围是（﹣∞，2〗．18．解：（1）函数y＝ax2+4x+c（a，c∈N），因为当x＝1时，y＝8，当x＝2时，14＜y＜17，所以，解得，因为a，c∈N，所以a＝1，c＝3；（2）由（1）可知，y＝x2+4x+3，对任意的t∈〖﹣2，2〗，不等式y+tx﹣1＞4x+t恒成立，即x2+tx+2﹣t＞0对任意的t∈〖﹣2，2〗恒成立，令g（t）＝（x﹣1）t+x2+2，则g（t）min＞0，所以，即，解得x＜﹣2或x＞0，综上所述，实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．19．解：（1）令t＝2x，所以f（x）≤0⇔2t2﹣3t+1≤0，所以≤t≤1⇒≤2x≤1，解得﹣1≤x≤0，于是f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤0}．（2）令t＝2x∈〖1，2〗，令g（t）＝2t2﹣at+1＝2（t﹣）2+1﹣，①当≤1时，即a≤4，g（t）在〖1，2〗上单调递增，则g（t）min＝g（1）＝3﹣a，②当1＜＜2时，即4＜a＜8，g（t）min＝g（）＝1﹣，③当≥2时，即a≥8，g（t）在〖1，2〗上单调递减，则g（t）min＝g（2）＝9﹣2a，综上，f（x）min＝．20．解：（1）函数在（1，+∞）上单调递减．证明：设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝ln﹣ln＝ln•，由•﹣1＝＞0，可得•＞1，所以ln•＞0，即有f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递减；（2）由＞0，解得x＞1或x＜﹣1，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，f（﹣x）+f（x）＝ln+ln＝ln＝0，所以f（x）为奇函数．不等式f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0即为f（x2+x+3）＞﹣f（﹣2x2+4x﹣7）＝f（2x2﹣4x+7），而x2+x+3＝（x+）2+＞1，2x2﹣4x+7＝2（x﹣1）2+5＞1，由f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得x2+x+3＜2x2﹣4x+7，即为x2﹣5x+4＞0，解得x＞4或x＜1．所以原不等式的解集为{x|x＜1或x＞4}．21．解：（1）当0≤x＜60时，y＝400x﹣＝﹣+40x﹣200，当x≥60时，y＝400x﹣410x﹣+3000﹣200＝，故y关于x的函数〖解析〗式为．（2）当0≤x＜60时，y＝＝，故当x＝40时，y取得最大值600，当x≥60时，y＝＝＝1000，当且仅当，即x＝90时，y取得最大值1000，综上所述，当x＝90时，y取得最大值1000，故年产量为90万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．22．解：（1）令x＝y＝0，则，得f（0）＝0，再令y＝﹣x，则，∴f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（x）为奇函数，对任意，令x＝x1，y＝﹣x2，则，∵当时，f（x）＞0，∴f（x1﹣x2）＞0，1+f（x1）f（x2）＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在上的单调递增．（2）∵f（x）为奇函数，∴，∵f（x）在上的单调递增，且f（0）＝0，∴f（x）在上单调递增，由题意得及在上恒成立，∴，得；，，得，∴，即实数t的取值集合为{}．。

2021-2022学年北京市朝阳区陈经纶中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合A ＝{﹣1，0，1}，集合B ＝{x ∈N |x 2＝1}，那么A ∩B ＝（ ） A ．{1} B ．{0，1} C ．{﹣1，1} D ．{﹣1，0，1}2．若p ：∀x ∈（0，+∞），x +1x ≥2，则￢p 为（ ） A ．∃x ∈(0，+∞)，x +1x ＜2 B ．∃x ∈(0，+∞)，x +1x ≤2C ．∃x ∈(0，+∞)，x +1x ≥2 D ．∀x ∈(0，+∞)，x +1x＜23．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a 2＞b 2 B ．1a＜1bC ．a |c |＞b |c |D ．c ﹣a ＜c ﹣b4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．y ＝x +1 B ．y ＝﹣x 3C ．y =1xD ．y ＝x |x |5．已知正数a 、b 满足a +b ＝1，则√ab 有（ ） A ．最小值12B ．最小值√22C ．最大值12D ．最大值√226．若a ＝20.5，b ＝20.6，c ＝0.62，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b7．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax ，则“a ＜0”是“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0，1）之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化（ ） A ．“屏占比”不变 B ．“屏占比”变小 C ．“屏占比”变大 D ．变化不确定10．对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ={a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1．设函数f （x ）＝（x 2﹣2）⊗（x ﹣x 2），x ∈R ．若函数y ＝f （x ）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−2]∪(−1，32) B ．(−∞，−2]∪(−1，−34) C ．(−∞，14)∪(14，+∞) D ．(−1，−34)∪[14，+∞)二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．幂函数y ＝f （x ）的图象过点(8，2√2)，则f （9）＝ ．12．计算(2a −3b −23)×(−3a −1b)÷(4a −4b −53)= ．13．已知f （x ）={(3a −1)x +4a ，x ＜1−x +1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ．14．已知函数y ＝f （x ），x ∈R ，且f （0）＝3，f(0.5)f(0)=2，f(1)f(0.5)=2，…，f(0.5n)f(0.5(n−1))=2，n ∈N ∗，则f （2）＝ ；f （x ）的一个解析式可以是 ．15．设定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）当m ，n ∈R 时，f （m +n ）＝f （m ）•f （n ）；（2）f （0）≠0；（3）当x ＜0时，f （x ）＞1． 则在下列结论中：①f （a ）•f （﹣a ）＝1； ②f （x ）在R 上是递减函数；③存在x 0，使f （x 0）＜1；④若f(2)=12，则f(14)=14，f(16)=16． 其中正确结论的命题为 ．三、解答题（共6小题，共85分）16．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|m﹣2＜x＜m}．（Ⅰ）若m＝0，全集U＝A∪B，求∁U B；（Ⅱ）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数m的取值范围．条件①：若A∪B＝A；条件②：若A∩B＝∅．17．（14分）已知函数f(x)=x−1x．（Ⅰ）用函数单调性的定义证明f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）解不等式f(t)＞1 2．18．（14分）已知函数f（x）＝ax2+x定义在区间[0，2]上，其中a∈[﹣2，0]．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的最小值；（Ⅱ）求f（x）的最大值．19．（14分）已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x−2x．3（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．（14分）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价2万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中，有：①这种消费品进价每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格p（元）的关系如图；③每月需要各种开支2000元．（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？（Ⅱ）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额．（Ⅲ）若乙只依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还完转让费）？21．（15分）已知f（x）的定义域为R，且满足对于任意x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）＝﹣3；（1）求f（0）与f（3）；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）的单调性；（4）解不等式f（x2+1）+f（x）≤﹣9．2021-2022学年北京市朝阳区陈经纶中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合A ＝{﹣1，0，1}，集合B ＝{x ∈N |x 2＝1}，那么A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1}D ．{﹣1，0，1}解：∵A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{1}， ∴A ∩B ＝{1}． 故选：A ．2．若p ：∀x ∈（0，+∞），x +1x ≥2，则￢p 为（ ） A ．∃x ∈(0，+∞)，x +1x＜2 B ．∃x ∈(0，+∞)，x +1x ≤2C ．∃x ∈(0，+∞)，x +1x ≥2 D ．∀x ∈(0，+∞)，x +1x ＜2解：因为p ：∀x ∈（0，+∞），x +1x ≥2， 所以￢p 为∃x ∈(0，+∞)，x +1x＜2． 故选：A ．3．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．1a＜1bC ．a |c |＞b |c |D ．c ﹣a ＜c ﹣b解：由a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，取a ＝1，b ＝﹣1，c ＝0，则选项ABC 错误． 由a ＞b ，得﹣a ＜﹣b ，∴c ﹣a ＜c ﹣b 成立，故D 正确． 故选：D ．4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．y ＝x +1B ．y ＝﹣x 3C ．y =1xD ．y ＝x |x |解：由于函数y ＝x +1是非奇非偶函数，故排除A ； 由于y ＝﹣x 3是奇函数，且在R 上是减函数，故排除B ；由于y =1x 在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具有单调性，故排除C ； A ，B ，C 都不对，对于D ，y ={−x 2，x ＜0x 2，x ≥0，故函数在R 上递增且为奇函数；故选：D ．5．已知正数a 、b 满足a +b ＝1，则√ab 有（ ） A ．最小值12B ．最小值√22C ．最大值12D ．最大值√22解：因为正数a 、b 满足a +b ＝1，则√ab ≤a+b2=12，当且仅当a ＝b 时取等号，即√ab 有最大值12，故选：C ．6．若a ＝20.5，b ＝20.6，c ＝0.62，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b解：因为函数y ＝2x 是单调增函数，且0＜0.5＜0.6， 所以1＝20＜20.5＜20.6，即1＜a ＜b ； 又函数y ＝0.6x 是单调减函数，且2＞0， 所以0.62＜0.60＝1，即c ＜1； 所以c ＜a ＜b ． 故选：D ．7．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax ，则“a ＜0”是“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：f （x ）＝x 2﹣2ax ＝（x ﹣a ）2﹣a 2，开口向上，对称轴为x ＝a ， 函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，则a ≤0，“a ＜0”能推出“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”，但“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”不能推出a ＜0，a 有可能等于0， 故“a ＜0”是“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A ．8．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧， 结合所给的选项， 故选：C ．9．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0，1）之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化（ ） A ．“屏占比”不变 B ．“屏占比”变小 C ．“屏占比”变大D ．变化不确定解：设原来手机屏幕面积为b ，整机面积为a ，则屏占比=ba （a ＞b ）， 设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m （0＜m ＜1）， 升级后屏占比=b+ma+m ， ∵a ＞b ，∴b+m a+m−b a=ab+am−ab−bma(a+m)=(a−b)m a(a+m)＞0，即该手机“屏占比”和升级前比变大． 故选：C ．10．对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ={a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1．设函数f （x ）＝（x 2﹣2）⊗（x ﹣x 2），x ∈R ．若函数y ＝f （x ）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−2]∪(−1，32) B ．(−∞，−2]∪(−1，−34) C ．(−∞，14)∪(14，+∞)D ．(−1，−34)∪[14，+∞)解：∵a ⊗b ={a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1.，∴函数f （x ）＝（x 2﹣2）⊗（x ﹣x 2）={x 2−2，−1≤x ≤32x −x 2，x ＜−1或x ＞32， 由图可知，当c ∈(−∞，−2]∪(−1，−34) 函数f （x ） 与y ＝c 的图象有两个公共点，∴c 的取值范围是 (−∞，−2]∪(−1，−34)， 故选：B ．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．幂函数y ＝f （x ）的图象过点(8，2√2)，则f （9）＝ 3 ． 解：设幂函数f （x ）＝x α（α为常数）， ∵幂函数y ＝f （x ）的图象过点（8，2√2）， ∴2√2=8α，解得α=12， ∴f （x ）=√x ∴f （9）=√9=3． 故答案为：3．12．计算(2a −3b −23)×(−3a −1b)÷(4a −4b −53)= −32b 2 ． 解：原式=2×(−3)÷4⋅a −3−1−(−4)b−23+1−(−53)=−32b 2．故答案为：−32b 2．13．已知f （x ）={(3a −1)x +4a ，x ＜1−x +1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是 [17，13） ．解：由于f （x ）={(3a −1)x +4a ，x ＜1−x +1，x ≥1是定义在R 上的减函数，∴{3a −1＜0(3a −1)+4a ≥−1+1，求得17≤a ＜13， 故答案为：[17，13）．14．已知函数y ＝f （x ），x ∈R ，且f （0）＝3，f(0.5)f(0)=2，f(1)f(0.5)=2，…，f(0.5n)f(0.5(n−1))=2，n ∈N ∗，则f （2）＝ 48 ；f （x ）的一个解析式可以是 f （x ）＝3×4x ． 解：由f(0.5)f(0)=2，f(1)f(0.5)=2，…，f(0.5n)f(0.5(n−1))=2，n ∈N ∗，可得f(0.5n)f(0)=2n ，因为f （0）＝3， 所以f （0.5n ）＝3×2n ， 令x ＝0.5n ，则n ＝2x ， 所以f （x ）＝3×22x ＝3×4x ， 所以f （2）＝48．故答案为：48；f （x ）＝3×4x ． 15．设定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）当m ，n ∈R 时，f （m +n ）＝f （m ）•f （n ）； （2）f （0）≠0；（3）当x ＜0时，f （x ）＞1． 则在下列结论中： ①f （a ）•f （﹣a ）＝1； ②f （x ）在R 上是递减函数； ③存在x 0，使f （x 0）＜1；④若f(2)=12，则f(14)=14，f(16)=16． 其中正确结论的命题为 ①②③ ．解：令x ＝y ＝0，则f （0+0）＝f （0）•f （0）＝f （0）， 因为f （0）≠0，所以f （0）＝1，当m ＝n 时，f （2m ）＝f （m ）•f （m ）＝[f （m ）]2＞0①因为f （a ）•f （﹣a ）＝f （a ﹣a ）＝f （0）＝1，所以①正确； 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1﹣x 2+x 2）﹣f （x 2）＝f （x 1﹣x 2）f （x 2）﹣f （x 2）＝f （x 2）[f （x 1﹣x 2）﹣1]， 因为x 1＜x 2， 所以x 1﹣x 2＜0， 所以f （x 1﹣x 2）＞1，所以f （x 2）＞0，f （x 1﹣x 2）﹣1＞0所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 所以f （x ）在R 上是递减函数，所以②正确； ③，因为f （0）＝1，当x ＜0时，f （x ）＞1， 又由②可知f （x ）在R 上是递减函数； 所以存在x 0，使f （x 0）＜1，故③正确； ④由②可知，f （x ）在R 上是递减函数， 所以f （2）应该小于f （14），故④错误，故答案为：①②③．三、解答题（共6小题，共85分）16．（14分）已知集合A ＝{x |x 2﹣5x ﹣6＜0}，B ＝{x |m ﹣2＜x ＜m }． （Ⅰ）若m ＝0，全集U ＝A ∪B ，求∁U B ；（Ⅱ）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数m 的取值范围． 条件①：若A ∪B ＝A ； 条件②：若A ∩B ＝∅．解：（Ⅰ）当m ＝0时，B ＝{x |m ﹣2＜x ＜m }＝{﹣2＜x ＜0}， 又A ＝{x |x 2﹣5x ﹣6＜0}＝{x |﹣1＜x ＜6}， 所以U ＝A ∪B ＝{x |﹣2＜x ＜6}， 故∁U B ＝{x |0≤x ＜6}；（Ⅱ）若选条件①：由A ∪B ＝A ，可得B ⊆A ， 则{m −2≥−1m ≤6，解得1≤m ≤6， 故m 的取值范围为[1，6]． 若选条件②：由A ∩B ＝∅，则m ≤﹣1或m ﹣2≥6， 解得m ≤﹣1或m ≥8，故m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）． 17．（14分）已知函数f(x)=x −1x ．（Ⅰ）用函数单调性的定义证明f （x ）在区间（0，+∞）上是增函数； （Ⅱ）解不等式f(t)＞12．（Ⅰ）证明：任取x 1，x 2∈（0，+∞），令x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＝（x 1−1x 1）﹣（x 2−1x 2）＝（x 1﹣x 2）（1+1x 1x 2），因为x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2， 所以x 1﹣x 2＜0，1+1x 1x 2＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在区间（0，+∞）上是增函数； （Ⅱ）因为f （x ）＝x −1x ， 所以f （t ）＞12， 即t −1t＞12， 整理得2t 2−t−2t ＞0，等价于t （2t 2﹣t ﹣2）＞0， 解得1−√174＜t ＜0或t ＞1+√174， 所以不等式的解集为（1−√174，0）∪（1+√174，+∞）． 18．（14分）已知函数f （x ）＝ax 2+x 定义在区间[0，2]上，其中a ∈[﹣2，0]． （Ⅰ）若a ＝﹣1，求f （x ）的最小值； （Ⅱ）求f （x ）的最大值．解：（Ⅰ）根据题意，当a ＝﹣1时，f(x)=−x 2+x =−(x −12)2+14； 所以 f （x ）在区间(0，12)上单调递增，在(12，2)上f （x ）单调递减． 因为 f （0）＝0，f （2）＝﹣2， 所以 f （x ）的最小值为﹣2． （Ⅱ）①当a ＝0时，f （x ）＝x ． 所以 f （x ）在区间[0，2]上单调递增， 所以 f （x ）的最大值为f （2）＝2．当﹣2≤a ＜0时，函数f （x ）＝ax 2+x 图象的对称轴方程是x =−12a ． ②当0＜−12a ≤2，即−2≤a ≤−14时，f （x ）的最大值为f(−12a )=−14a ．③当−14＜a＜0时，f（x）在区间[0，2]上单调递增，所以f（x）的最大值为f（2）＝4a+2．综上，当−2≤a≤−14时，f（x）的最大值为f(−12a)=−14a；当−14＜a≤0时，f（x）的最大值为4a+2．19．（14分）已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3−2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，所以f（0）＝0．（2分）（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，所以f(−x)=−x3−2−x．又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f(x)=x3+2−x．综上，f(x)={x3−2x，x＞0 0，x=0x 3+2−x，x＜0（6分）（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．方法一令3t2﹣2t﹣k＝0，则Δ＝4+12k＜0．由Δ＜0，解得k＜−1 3．方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）＝3t2﹣2t，t∈R则g(t)=3t2−2t=3(t2−23t)=3(t−13)2−13≥−13∴k＜−13故实数k的取值范围为(−∞，−13)．（10分）20．（14分）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价2万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中，有：①这种消费品进价每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格p（元）的关系如图；③每月需要各种开支2000元．（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？（Ⅱ）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额． （Ⅲ）若乙只依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还完转让费）？解：（Ⅰ）根据图象，当14≤P ≤20时，设Q ＝kP +b ， 将点（14，22）和（20，10）代入， 则有{14k +b =2220k +b =10，解得{k =−2b =50，则Q ＝﹣2P +50；当20≤P ≤26时，设Q ＝mP +n ， 将点（20，10）和（26，1）代入， 则有{20m +n =1026m +n =1，解得{m =−1.5n =40，所以Q ＝﹣1.5P +40； 则Q ={−2P +50，14≤P ≤20−1.5P +40，20＜P ≤26， 若商品的价格应定为P 元时，该店刚好能够维持职工生活， 则有100（P ﹣14）Q ＝3600+2000，分两种情况：第一种：当14≤P ≤20时，即100（P ﹣14）（﹣2P +50）＝3600+2000，解得P 1＝18，P 2＝21（舍）； 第二种：当20≤P ≤26时，即100（P ﹣14）（﹣1.5P +40）＝3600+2000，解得P 1＝22，P 2=563（舍）， 故为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在[18，22]元范围内； （Ⅱ）设月利润和除职工最低生活费的余额为L ， 则L ＝100（P ﹣14）Q ﹣2000，分两种情况：第一种：当14≤P ≤20时，即100（P ﹣14）（﹣2P +50）﹣2000＝﹣200P 2+7800P ﹣72000， 则当P =−78002×(−200)=19.5时，L 有最大值，此时L =4×(−200)×(−72000)−780024×(−200)=4050；第二种：当20≤P ≤26时，即100（P ﹣14）（﹣1.5P +40）﹣2000＝﹣150P 2+6100P ﹣58000，则当P =−61002×(−150)=613时，L 有最大值，此时L =4×(−150)×(−58000)−610024×(−150)=401623， 因为4050＞401623，所以当P ＝19.5元时，月利润扣除最低生活费的余额最大为4050元； （Ⅲ）可设在n 年后脱贫，由题意可得12n （4050﹣3600）≥20000，解得n ≥3.7， 故乙只依靠该店，不能在3年内脱贫．21．（15分）已知f （x ）的定义域为R ，且满足对于任意x ，y ∈R ，都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，且f （1）＝﹣3； （1）求f （0）与f （3）； （2）判断f （x ）的奇偶性； （3）判断f （x ）的单调性；（4）解不等式f （x 2+1）+f （x ）≤﹣9．解：（1）令y ＝0，则由条件得f （x +0）＝f （x ）+f （0），即f （0）＝0， 当x ＝y ＝1时，f （2）＝f （1）+f （1）＝2f （1）＝2×（﹣3）＝﹣6， f （3）＝f （1+2）＝f （1）+f （2）＝﹣3﹣6＝﹣9；（2）∵f （0）＝0，∴令y ＝﹣x ，得f （x ﹣x ）＝f （x ）+f （﹣x ）＝f （0）＝0， 即f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （x ）是奇函数；（3）设x 1＜x 2，则设x 2﹣x 1＞0，此时f （x 2﹣x 1）＜0， 即f （x 2﹣x 1）＝f （x 2）+f （﹣x 1）＜0， 即f （x 2）﹣f （x 1）＜0，则f （x 2）＜f （x 1）， 即f （x ）的单调递减；（4）不等式f （x 2+1）+f （x ）≤﹣9等价为f （x 2+1）+f （x ）≤f （3）， 即f （x 2+1+x ）≤f （3）， ∵函数f （x ）的单调递减， ∴x 2+1+x ≥3，即x 2+x ﹣2≥0， 解得x ≥1或x ≤﹣2，即不等式的解集为{x |x ≥1或x ≤﹣2}．。